Universidad de Valparaíso
Facultad de Cs. Económicas y Administrativas Escuela de Ingeniería Comercial.
Capítulo número 1: LOGICA. Introducción:
Ha sido señalado que, “La plena comprensión del lenguaje hablado, así como de la matemática, se consigue sólo mediante la combinación de la lógica de funciones de varias variables con la lógica de proposiciones.
Por esta razón, estudiaremos la lógica de proposiciones, para dejar atrás la lógica intuitiva o del sentido común.
La Lógica se puede decir que es una forma de actuar frente a determinados problemas que no siempre son matemáticos.
Un enunciado puede ser verdadero o falso. La verdad o falsedad de este enunciado se llama valor de verdad.
Para poder combinar 2 enunciados, usamos una serie de conectivos, los cuales son:
1- Conjunción 2- Disyunción 3- Condicional 4- Bicondicional
5- Disyunción exclusiva 6- Negación
Proposiciones y tablas de verdad.
El valor de verdad de una proposición P P, Q evaluado sobre enunciados
cualesquiera, es función solamente de los valores de verdad de los mismos enunciados particulares. Así, pues, se habla del valor de verdad de cada una de las variables
P, Q y del valor de verdad de cada una de las variables P P,Q . Ejemplo:
La tabla de verdad de la proposición P -Q , se construye de la siguiente forma:
1- Ubicamos en la tabla las variables P, Q y negamos Q. _
P Q Q V V F V F V F V F F F V
2- Ubicamos P y luego Q. Posteriormente resolvemos P Q .
P Q P Q V F F V V V F F F F V F
3- Negamos el resultado anterior y obtenemos la solución del ejercicio.
P Q P -Q
F V V F F V F V
Las tablas se pueden resolver también de la siguiente manera:
1- Se traza la tabla ubicando todas las variables que debemos ocupar. Ejemplo: - P -Q
P Q R P - Q Paso 1 : Anotar los valores de P, Q donde V V V V F F V corresponda.
V F F V V V F Paso 2 : Negar Q.
F V V F F F V Paso 3 : Resolver el paréntesis P -Q . F F V F F V F Paso 4 : Negar el resultado anterior.
1 1 4 1 3 2 1
Así obtenemos el resultado final, el cual debe ser siempre el mismo, independiente el método que se use.
Si en la columna final, es decir, si en el resultado final nos da verdadero, es una tautología. Ejemplo:
P P P P V F V F V V
Si ocurre lo contrario, es decir, si en el resultado final obtenemos solamente falsos es una contradicción.
P P P P V F F F V F
Como una tautología es siempre verdadera, su negación será falsa; y en una contradicción, su negación será verdadera.
En el caso que la proposición de como resultado verdaderos y falsos, se habla de una contingencia.
Ejemplo:
P Q P Q V V V V F F F V F F F V
Equivalencia:
2 proposiciones son equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. Se simboliza P Q.
Ejemplo: Las tablas de verdad de P Q Q P P Q.
P Q P Q Q P P Q P Q V V V V V V V V V F F F V V F F F V V F F F V F F F V V V F F V
Leyes y Propiedades de Algebra de Proposiciones .
Leyes de Idempotencia: P P P P P P
Leyes Asociativas : P Q R P Q R
P Q R P Q R
Leyes Conmutativas : P Q Q P P Q Q P
Leyes Distributivas : P Q R P Q P R
Leyes de Identidad : P F P P V V P V P P F F Leyes de Complemento: P -P V --P P P -P F -V F -F V
Leyes de Morgan : - P Q -P -Q - P Q -P -Q P Q -P Q
P Q P Q Q P
Leyes de Absorción : P P Q P P P Q P
P Q R P R Q R P Q R P R Q R
P Q R P Q P R
P Q R P Q P R
Modus Ponens : P Q P Q Modus Tollens : P Q -P -P
Cuantificadores:
Si A es un conjunto, un enunciado formal sobre A se denota P(x), que tiene la propiedad de que P(a) es V o F a A. Si P(x) se convierte en un enunciado al sustituir la variable x por un elemento a A.
Ejemplo: Sea P(x) : x + 5 > 10.
Aquí P(x) es una función lógica sobre un conjunto A; entonces el conjunto de elementos de A que tiene la propiedad de que P(a) es verdadero, se llama conjunto de validez.
Ejemplos: x / x N, x + 5 > 10
x / x N , x + 2 < 1
Su conjunto de validez es vacío. Existen dos tipos de cuantificadores: 1- Universal
2- Existencial
1- Universal: Es aquel que es válido para todos los elementos que intervienen en una proposición.
Usamos la proposición x: P(x), que significa para todo x, P de x. Una proposición puede ser verdadera o falsa.
V: Cuando todos los elementos del conjunto satisfacen la condición, lo cual, se debe demostrar.
F: Cuando por lo menos un elemento no satisface la condición. Aquí se debe dar un contraejemplo.
Ejemplo: x R / x 2 0
-x R- (-x ) · (-x ) R+ x 2 0
x R+ ( x ) · ( x ) R+ x 2 0
x = 0 ( x ) · ( x ) R0+ x 2 0
Aquí queda demostrado que esta proposición es verdadera. n N, ( n + 2 > 8 )
Esta proposición es falsa, ya que hay números, como el 1, 2, 3, 4, 5, 6, que al sumarlos con el 2, resultan 8.
2- Existencial: Es aquel en donde por lo menos un elemento satisface con la condición dada. Significa existe, y su símbolo es .
Existencial único: Quiere decir “Existe un único”, y su símbolo es !.
( ! n N ) ( 1 < n2 < 8 )
2
Una proposición puede ser verdadera o falsa:
V: debe cumplir con la condición anteriormente explicada. Se debe dar un contraejemplo.
F: cuando todos los elementos del conjunto no satisfacen la condición. Se debe demostrar.
Ejemplo: { x R / x 2 + 1 < 0 }
x 2 0 x 2 R+
1 > 0 1 R+
x 2 + 1 < 0 es falso.
{ x R+ / x + 2 < 7 }
Esta proposición es verdadera, ya que hay 4 elementos que satisfacen con esta condición, los cuales son el 1, 2, 3, 4. Si reemplazamos la x por cualquiera de estos elementos, al sumarlos con el 2, obtendremos un número menor al 7.
Negación de cuantificadores:
Se simboliza ubicando sobre el término una línea horizontal.
x : Px x : Px
x : Px x : Px
Ejemplo: Si a algún alumno lo tratan mal, entonces, todos los alumnos reclaman. Esta proposición queda de la siguiente manera:
x : Px x : Q x Algún alumno
P x lo tratan mal entonces
x todos los alumnos Qx reclaman
Al negarla, queda de la siguiente forma:
x : Px x : Qx
x : Px x : Qx
x : Px x : Qx 2
2 2
“ a algún alumno lo tratan mal, y existen algunos alumnos que no reclaman”.
Ejercicios Resueltos:
Resolver mediante tablas de verdad las siguientes proposiciones: 1) - P Q - Q P
P Q P Q - P Q Q P - Q P V V V F F V F V F F V V F V F V F V V F V F F F V V V F
1 1 2 3 6 4 5 Cotingencia
2) P -Q R
P Q R P - Q R V V V V V F V V V V V F V F F V F F V F V V V V F V V V F F V V V F V F F V V F V F V V V F V F F V F V F F F F V F V V F V V F F F F V V F V F
Simplificar utilizando las leyes correspondientes: 3) P Q P Q
V Tautología 4) ( P ( P Q ) ( P -Q )
F Contradicción Demostrar las siguientes identidades:
5) P Q R P R -R -Q
6) ( P Q ) {( P R ) ( R Q ) (-P -Q )} ( Q P ) ( P Q )
Simplificar los siguientes enunciados:
7) No es verdad que si está lloviendo entonces hace frío.
( P Q ) Está lloviendo entonces hace frío. Al negar la proposición queda:
-( P Q ), la cual se puede expresar de la siguiente manera:
P -Q Está lloviendo y no hace frío.
8) No es verdad que las rosas son rojas si las violetas son azules.
( P Q ) Las rosas son rojas si y solamente si las violetas son azules. Al negar la proposición queda:
-( P Q ), la cual se puede expresar de la siguiente manera:
P -Q Las rosas son rojas si y solamente si las violetas no son azules. Ejercicios Propuestos:
2) P P ( Q P ) 3) ( P Q ) P P
4) ( P Q ) R( R P ) ( S P)
Negar las siguientes proposiciones
5) ( P Q ) Q
6) ( P Q ) ( Q R ) ( P R )
Demuestre si se cumple la siguiente identidad: 7) ( P ( Q R ) ( P Q ) ( P R )
Escribir en forma simbólica los siguientes enunciados: 8) El es pobre o bien es rico o infeliz.
9) El no puede ser rico y feliz.
Sabiendo que P = El es rico y Q = El es feliz. Escribir en forma simbólica los siguientes enunciados:
13) Ser pobre es ser infeliz.
