Estadística Inferencia Estadística

Estadística

Inferencia Estadística

Problemas en Inferencia Estadística

) ( θ F X ≈

desconocido POBLACIÓN

A partir de una M.A.S. X₁,X₂,…,X_n queremos estimarel valor de

θ

Estimar : Asignar un valor a algo que desconocemos

Estimación puntual: Un solo valor

¿Cómo?

A partir del modelo F y de la muestra

Estimación por intervalos: Un rango de valores Contraste de hipótesis: Rechazo o aceptación de ciertas hipótesis sobre el parámetro

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Intervalo de confianza

Sea X₁,…, X_nuna m.a.s de una población X con distribución F (θ), y T_{1 ,}T₂ dos estadísticos tales que:

Entonces,

Es un intervalo para estimar θ con un nivel de confianza de 1- α

[ T

1

⁽ X

1

^,..., X

n

^), T

2

⁽ X

1

^,..., X

n

⁾ ]

α

θ ≤ = −

≤ ( ,..., )) 1

) ,..., (

( T

₁

X

₁

X

_n

T

₁

X

₁

X

_n

P

Queremos que esta probabilidad esté cercana a 1, es decir que α sea pequeño

Nivel de Confianza

El concepto de confianza puede interpretarse de la siguiente manera:

Si se repitiera el experimento un número suficiente de veces, en 1-α de cada 100 casos se confiaría que el parámetro θ pertenece al intervalo.

Por ejemplo, si elegimos 1- α =0.95, de cada 100 estimaciones, el 95% serían buenas y el 5% malas.

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Métodos de construcción de intervalos:

Método de la cantidad pivotal

El método de la cantidad pivotalconsiste en encontrar un estadístico

(pivote)que dependa del parámetro y de la muestra, pero que su distribución NO dependa de θ.

θ ≤ = −

α

≤ ( ,..., ) ) 1

(K₁ C X₁ X K₂

P _n

Para construir el intervalo, buscamos dos constantes K₁, K₂tales que:

) ,..., (X₁ X_n C_θ

De entre todos los posibles buscamos lo de menor longitud.

Esto no siempre es fácil, por lo que se construyen intervalos simétricos, que muchas veces coinciden con los de longitud mínima.

Intervalos para un población Normal

Consideremos un población con distribución NORMAL

1.1 Varianza conocida

( ) 0 , 1

, / N

n X N n

X  ⇒ − ≈



 



≈ 

σ µ µ σ

1. Intervalos para la media µ

Consideremos la siguiente cantidad pivotal para estimar la media

σ α σ µ

σ α

µ  = −



 



 ≤ − ≤

− ⇒

=

− ≤

≤ ) 1 1

/

(

_{1 2 1 2}

n K X

n K P K

n K X

P CLASES PARTICULARES, TUTORÍAS TÉCNICAS ONLINE LLAMA O ENVÍA WHATSAPP: 689 45 44 70

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Intervalo para la media en una población Normal

σ α σ µ

σ α σ µ

−

 =



 



 − ≤ ≤ −

−

 =



 



 − ≤ − ≤ −

1 1

1 2

2 1

K n n X

K X P

n X K n X

K P



 



 − −

= X K n

n K X

I

σ σ

1

2 ,

El intervalo queda:

Sólo queda calcular las constantes:

2 / 2 zα

K =

2 /

1 zα

K =−

α

− 1

2

α

/ 2

α

/

Intervalo para la media en una población Normal







 − +

= X z n

n z X

I

σ σ

α

α/2 , /2

1.1 Varianza conocida

1.2 Varianza desconocida

Si σ es deconocido, no podemos utilizar la cantidad pivotal anterior, puesto que depende del valor de la varianza.

Pero conocemos, por el teorema de la t-student(ver transparencias modelos continuos 2) que

− ≈ X µ t

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Intervalo para la media en una población Normal

α µ

µ α

−

 =







 





≤

−

⇒ ≤

−

=

− ≤

≤ 1

ˆ ˆ

1 ) ˆ /

(

_{1 2 1 2}

n K S X

n K S P K

n S K X P

α µ

α µ

−

 =







 





−

≤

≤

−

−

 =







 





−

≤

−

≤

−

1 ˆ ˆ

1 ˆ

ˆ

1 2

2 1

n K S X n

K S X P

X n K S X

n K S P

El intervalo queda: 









−

−

= n

K S X n K S X I

ˆ ,

ˆ

1 2

Sólo queda calcular las constantes:

2

α

/

α

^/2

α

− 1

2 /

; 1 1=−t_n− α

K K2=t_n−1;α/2

Fórmulas de los intervalos de confianza

Una población Normal 1. Intervalos para la media µ

1.1 Varianza conocida

1.2 Varianza desconocida







 − +

= X z n

n z X

I

σ σ

α

α/2 , /2









+

−

= _{− −}

n t S

X n t S

X

I _{n n}

ˆ ,

ˆ

2 /

; 1 2

/

;

1α α

2. Intervalo para la varianza σ²











 − −

=

−

−

−

2 2 / 1

; 1

2

2 2 /

; 1

2 ( 1)ˆ

, )ˆ 1 (

α

α

χ

χ

_{n n}

S n S I n

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Ejemplos

1. Se ha llevado a cabo un estudio sobre el tiempo medio de

funcionamiento de un componente electrónico y se ha encontrado en una muestra de 100 componentes una vida media de 26 meses de funcionamiento. Si se sabe que la desviación típica de la vida de los componentes es de 8 meses. Calcular un intervalo de confianza al 99% para la vida media de los componentes.

01 . 0 , 26 ,

100 = =

= x

α

n

Tenemos que calcular un intervalo para la media con varianza conocida (σ=8), sabiendo que

Utilizamos la fórmula



 



 − +

=



 



 − +

=

100 26 8

, 100 26 8

, _{/2 0.01/2 0.01/2}

2

/ z z

n z X n z X

I σ σ

α α

Ejemplos

Operamos y buscamos el valor en las tablas, obteniendo:

[ ²⁶ −

0.005

^{0 . 8 , 26} +

0.005

^{0 . 8} ] [ = ^{23 . 94 , 28 . 06} ]

=

z z

I

Es decir, los componentes electrónicos tendrán, con una confianza del 99%, una vida media de entre 23.94 y 28.06 meses.

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Ejemplos

2. Se desea estudiar la característica X que sigue una distribución Normal. Para estimar su varianza, se tomó una muestra de 20 elementos obteniéndose una cuasivarianza de 3.4. Obtener un intervalo de confianza para la varianza al 95%.

05 . 0 , 4 . ˆ 3 ,

20 ²= =

= s

α

n

Tenemos que calcular un intervalo para la varianza, sabiendo

Utilizamos la fórmula

] 25 . 7 , 96 . 1 91 [ . 8

6 . ,64 9 . 32

6 . 64

4 . 3 ) 1 20 ,( 4 . 3 ) 1 20 ˆ (

) 1 ,( )ˆ 1 (

2 2 / 05 . 0 1

; 19 2

2 / 05 . 0

; 19 2

2 / 1

; 1

2

2 2 /

; 1

2

=



 





=











 − −

=











 − −

=

−

−

−

−

χ χ χ

χ

n _α n _α

S n S I n

Intervalos de confianza para proporciones

Intervalo para la proporción p

 

 



 −

− +

−

= n

p z p

n p p z p

p

I ˆ ( 1 ˆ )

, ˆ ˆ ) 1 ˆ (

ˆ

_{α/2 α/2}

Ejemplo:

En una muestra de 500 familias se observa que 345 de ellas tienen ADSL en casa. Calcular un intervalo para la proporción de familias con internet al

95%

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Comparación de poblaciones

Dos poblaciones Normales

3. Intervalos para la diferencia de medias µ₁-µ₂ 3.1 Varianzas conocidas

3.2 Varianzas desconocidas pero iguales σ₁²=σ₂² = σ²

















+ +

− +

−

−

= x y z n m

m z n

y x I

2 2 2 1 2 / 2

2 2 1 2

/

σ σ

,

σ σ

α α

donde

2 )ˆ 1 ˆ (

) 1

ˆ² ( ^{12 22}

− +

− +

= −

m n

S m S S_p n

) , ( ), ,

(

µ

₁

σ

₁ Y N

µ

₂

σ

₂ N

X ≈ ≈

Se toman dos m.a.s. de tamaños n y m respectivamente.









+ +

− +

−

−

= _{+ − + −}

m S n

t y m x S n

t y x

I _{n m} ˆ_p 1 1, _{n m} ˆ_p 1 1

2 /

; 2 2

/

;

2α α

Fórmulas de los intervalos de confianza

Dos poblaciones Normales

3. Intervalo para el cociente de varianzas

) , ( ), ,

(

µ

₁

σ

₁ Y N

µ

₂

σ

₂ N

X ≈ ≈

Se toman dos m.a.s. de tamaños n y m respectivamente.

 





 





=

_{− −}

−

−

2 /

; 1 , 2 1

2 2 1 2 /

; 1 , 1

2 2 2 1

ˆ ˆ , / ˆ

ˆ

α α

n m m

n

S F S F

S I S

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Observaciones

Podemos comparar las medias de dos poblaciones mediante el intervalo de confianza de la diferencia de medias.

Si el intervalo contiene al 0, entonces aceptamos como válido ese valor, por lo que ambas medias podrían considerarse iguales, y decimos que: no existen diferencias significativas entre las medias

2 1 2

1

µ 0 µ µ

µ − = ⇔ =

Observaciones

Podemos comparar las varianzas de dos poblaciones mediante el intervalo de confianza del cociente de varianzas

Si el intervalo contiene al 1, entonces aceptamos como válido ese valor, por lo que ambas varianzas podrían considerarse iguales, y decimos que: no existen diferencias significativas entre las varianzas

2 2 2 2 1

2 2

1

1 σ σ

σ

σ = ⇔ =

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