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Autoras: Milagros Latasa Asso y Fernanda Ramos Rodríguez Revisores: Javier Rodrigo y David Hierro
Ilustraciones: Milagros Latasa y Banco de Imágenes de INTEF
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas
4ºB ESO Capítulo 9:
Geometría
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Geometría. 4ºB de ESO
Índice
1. TEOREMA DE PITÁGORAS Y TEOREMA DE TALES
1.1. TEOREMA DE PITÁGORAS 1.2. TEOREMA DE TALES
1.3. PROPORCIONALIDAD EN LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES
2. LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES
2.1. LONGITUDES. ÁREAS Y VOLÚMENES EN PRISMAS Y CILINDROS 2.2. LONGITUDES. ÁREAS Y VOLÚMENES EN PIRÁMIDES Y CONOS 2.3. LONGITUDES. ÁREAS Y VOLÚMENES EN LA ESFERA
2.4. LONGITUDES. ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS REGULARES
3. INICIACIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
3.1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO
3.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL ESPACIO DE TRES DIMENSIONES 3.3. ECUACIONES Y RECTAS Y PLANOS
3.4. ALGUNAS ECUACIONES
4. MOVIMIENTOS Y TRANSFORMACIONES
4.1. TRASLACIONES EN EL PLANO 4.2. TRASLACIONES EN EL ESPACIO 4.3. GIROS EN EL PLANO
4.4. COMPOSICIÓN DE GIROS
4.5. SIMETRÍA CENTRAL EN EL PLANO. CENTRO DE SIMETRÍA 4.6. GIROS EN EL ESPACIO
4.7. SIMETRÍA CENTRAL EN EL ESPACIO. CENTRO DE SIMETRÍA 4.8. SIMETRÍA AXIALES. EJE DE SIMETRÍA
4.9. SIMETRÍA ESPECULAR EN EL ESPACIO. PLANO DE SIMETRÍA
4.10 USO DE GEOGEBRA PARA ANALIZAR LAS ISOMETRÍAS EN EL PLANO
Resumen
La Geometría es una de las ramas más antiguas de las Matemáticas y su estudio nos ayuda a interpretar mejor la realidad que percibimos. Su nombre significa “medida de la Tierra”. Medir es calcular longitudes, áreas y volúmenes. En este tema recordarás las fórmulas que estudiaste ya el año pasado y profundizarás sobre sus aplicaciones en la vida real.
Nos movemos en el espacio de dimensión tres, caminamos sobre una esfera (que por ser grande, consideramos plana), las casas son casi siempre ortoedros. La información que percibimos por medio de nuestros sentidos la interpretamos en términos geométricos. Precisamos de las fórmulas de áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos para calcular las medidas de los muebles que caben en nuestro salón, o para hacer un presupuesto de la reforma de nuestra vivienda.
Muchas plantas distribuyen sus hojas buscando el máximo de iluminación y sus flores en forma esférica buscando un aprovechamiento óptimo del espacio. El átomo de hierro dispone sus electrones en forma de cubo, los sistemas de cristalización de los minerales adoptan formas poliédricas, los panales de las abejas son prismas hexagonales. Éstos son algunos ejemplos de la presencia de cuerpos geométricos en
la naturaleza.
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Geometría. 4ºB de ESO
1. TEOREMA DE PITÁGORAS Y TEOREMA DE TALES
1.1. Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras en el plano
Ya sabes que:
En un triángulo rectángulo llamamos catetos a los lados incidentes con el ángulo recto e hipotenusa al otro lado.
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
2 2 2 1
2 c c
h Demostración:
Ejemplo:
Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm y 8 cm, su hipotenusa vale 10 cm, ya que:
10 100 8
62 2
h cm.
Actividades resueltas
Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 dm y uno de sus catetos mide 12 dm, halla la medida del otro cateto:
Solución: Por el teorema de Pitágoras:
dmc 132 122 1312 1312 25 5
Actividades propuestas
1. ¿Es posible encontrar un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 12 y 16 cm y su hipotenusa 30 cm?
Si tu respuesta es negativa, halla la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 y 16 cm.
2. Calcula la longitud de la hipotenusa de los siguientes triángulos rectángulos de catetos:
a) 4 cm y 3 cm b) 1 m y 7 m
c) 2 dm y 5 dm d) 23.5 km y 47.2 km.
Utiliza la calculadora si te resulta necesaria.
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Geometría. 4ºB de ESO
3. Calcula la longitud del cateto que falta en los siguientes triángulos rectángulos de hipotenusa y cateto:
a) 8 cm y 3 cm b) 15 m y 9 m
c) 35 dm y 10 dm d) 21.2 km y 11.9 km 4. Calcula el área de un triángulo equilátero de lado 5 m.
5. Calcula el área de un hexágono regular de lado 7 cm.
Teorema de Pitágoras en el espacio
Ya sabes que:
La diagonal de un ortoedro al cuadrado coincide con la suma de los cuadrados de sus aristas.
Demostración:
Sean a, b y c las aristas del ortoedro que suponemos apoyado en el rectángulo de dimensiones a, b.
Si x es la diagonal de este rectángulo, verifica que: x2 a2 b2 El triángulo de lados D, x, a es rectángulo luego: D2 x2 c2 Y teniendo en cuenta la relación que verifica x:
2 2 2
2 a b c
D
Actividades resueltas
Calcula la longitud de la diagonal de un ortoedro de aristas 7, 9 y 12 cm.
2 2 2
2 a b c
D = 72 + 92 + 122 = 274. D 16.55 cm.
Las aristas de la base de una caja con forma de ortoedro miden 7 cm y 9 cm y su altura 12 cm.
Estudia si puedes guardar en ella tres barras de longitudes 11 cm, 16 cm y 18 cm.
El rectángulo de la base tiene una diagonal d que mide: 𝑑 √7 9 √130 11.4cm Luego la barra más corta cabe apoyada en la base.
La diagonal del ortoedro vimos en la actividad anterior que mide 16.55, luego la segunda barra si cabe, inclinada, pero la tercera, no.
Actividades propuestas
6. Una caja tiene forma cúbica de 3 cm de arista. ¿Cuánto mide su diagonal?
7. Calcula la medida de la diagonal de una sala que tiene 8 metros de largo, 5 metros de ancho y 3 metros de altura.
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Geometría. 4ºB de ESO
1.2. Teorema de Tales
Ya sabes que:
Dadas dos rectas, r y r’, que se cortan en el punto O, y dos rectas paralelas entre sí, a y b. La recta a corta a las rectas r y r’ en los puntos A y C, y la recta b corta a las rectas r y r’ en los puntos B y D.
Entonces el Teorema de Tales afirma que los segmentos son proporcionales:
BD AC OD OC OB
OA
Se dice que los triángulos OAC y OBD están en posición Tales. Son semejantes. Tienen un ángulo común (coincidente) y los lados proporcionales.
Actividades resueltas
Sean OAC y OBD dos triángulos en posición Tales. El perímetro de OBD es 20 cm, y OA mide 2 cm, AC mide 5 cm y OC mide 3 cm. Calcula las longitudes de los lados de OBD.
Utilizamos la expresión:
BD OD OB
AC OC OA BD AC OD OC OB OA
sustituyendo los datos:
2 1 20 10 20
5 3 2 5 3
2
BD OD
OB , por lo que despejando, sabemos que: OB = 2∙2 = 4 cm; OD = 3∙2
= 6 cm, y BD = 5∙2 = 10 cm. En efecto: 4 + 6 + 10 = 20 cm, perímetro del triángulo.
Cuenta la leyenda que Tales midió la altura de la pirámide de Keops comparando la sombra de la pirámide con la sombra de su bastón. Tenemos un bastón que mide 1 m, si la sombra de un árbol mide 12 m, y la del bastón, (a la misma hora del día y en el mismo momento), mide 0.8 m, ¿cuánto mide el árbol?
Las alturas del árbol y del bastón son proporcionales a sus sombras, (forman triángulos en posición Tales), por lo que, si llamamos x a la altura del árbol podemos decir:
. . Por tanto x = 12/0.8 = 15 metros.
Actividades propuestas
8. En una foto hay un niño, que sabemos que mide 1.5 m, y un edificio. Medimos la altura del niño y del edificio en la foto, y resultan ser: 0.2 cm y 10 cm. ¿Qué altura tiene el edificio?
9. Se dibuja un hexágono regular. Se trazan sus diagonales y se obtiene otro hexágono regular. Indica la razón de semejanza entre los lados de ambos hexágonos.
10. En un triángulo regular ABC de lado, 1 cm, trazamos los puntos medios, M y N, de dos de sus lados. Trazamos las rectas BN y CM que se cortan en un punto O. ¿Son semejantes los triángulos MON y COB?
¿Cuál es la razón de semejanza? ¿Cuánto mide el lado MN?
11. Una pirámide regular hexagonal de lado de la base 3 cm y altura 10 cm, se corta por un plano a una distancia de 4 cm del vértice, con lo que se obtiene una nueva pirámide. ¿Cuánto miden sus dimensiones?
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1.3. Proporcionalidad en longitudes, áreas y volúmenes
Ya sabes que:
Dos figuras son semejantes si las longitudes de elementos correspondientes son proporcionales. Al coeficiente de proporcionalidad se le llama razón de semejanza. En mapas, planos… a la razón de semejanza se la llama escala.
Áreas de figuras semejantes
Si la razón de semejanza entre las longitudes de una figura es k, entonces la razón entre sus áreas es k2. Ejemplo:
Observa la figura del margen. Si multiplicamos por 2 el lado del cuadrado pequeño, el área del cuadrado grande es 22 = 4 veces la del pequeño.
Volúmenes de figuras semejantes
Si la razón de semejanza entre las longitudes de una figura es k, entonces entre sus volúmenes es k3. Ejemplo:
Observa la figura del margen. Al multiplicar por 2 el lado del cubo pequeño se obtiene el cubo grande. El volumen del cubo grande es 8 (23) el del cubo pequeño.
Actividades resueltas
La torre Eiffel de París mide 300 metros de altura y pesa unos 8 millones de kilos. Está construida de hierro. Si encargamos un modelo a escala de dicha torre, también de hierro, que pese sólo un kilo, ¿qué altura tendrá? ¿Será mayor o menor que un lápiz?
El peso está relacionado con el volumen. La torre Eiffel pesa 8 000 000 kilos, y queremos construir una, exactamente del mismo material que pese 1 kilo. Por tanto, k3 = 8 000 000/1 = 8 000 000, y k = 200. La razón de proporcionalidad entre las longitudes es de 200.
Si la Torre Eiffel mide 300 m, y llamamos x a lo que mide la nuestra tenemos: 300/x = 200. Despejamos x que resulta igual a x = 1.5 m. ¡Mide metro y medio! ¡Es mucho mayor que un lápiz!
Actividades propuestas
12. El diámetro de un melocotón es tres veces mayor que el de su hueso, y mide 8 cm. Calcula el volumen del melocotón, suponiendo que es esférico, y el de su hueso, también esférico. ¿Cuál es la razón de proporcionalidad entre el volumen del melocotón y el del hueso?
13. En la pizzería tienen pizzas de varios precios: 1 €, 2 € y 3 €. Los diámetros de estas pizzas son: 15 cm, 20 cm y 30 cm, ¿cuál resulta más económica? Calcula la relación entre las áreas y compárala con la relación entre los precios.
14. Una maqueta de un depósito cilíndrico de 1000 litros de capacidad y 5 metros de altura, queremos que tenga una capacidad de 1 litro. ¿Qué altura debe tener la maqueta?
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Geometría. 4ºB de ESO
2. LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES
2.1. Longitudes, áreas y volúmenes en prismas y cilindros
Recuerda que:
Prismas
Un prisma es un poliedro determinado por dos caras paralelas que son polígonos iguales y tantas caras laterales, que son paralelogramos, como lados tienen las bases.
Áreas lateral y total de un prisma
El área lateral de un prisma es la suma de las áreas de las caras laterales.
Como las caras laterales son paralelogramos de la misma altura, que es la altura del prisma, podemos escribir:
Área lateral = Suma de las áreas de las caras laterales =
= Perímetro de la base ∙ altura del prisma.
Si denotamos por h la altura y por PB el perímetro de la base:
Área lateral = AL = PB ∙ h
El área total de un prisma es el área lateral más el doble de la suma del área de la base:
Área total = AT = AL + 2 ∙ AB
Actividades resueltas
Calcula las áreas lateral y total de un prisma triangular recto de 11 cm de altura si su base es un triángulo rectángulo de catetos 12 cm y 5 cm.
Calculamos en primer lugar la hipotenusa del triángulo de la base:
169 25 144 5
122 2
2
x x 169 13 cm
PB = 12 + 5 + 13 = 30 cm; AB = 30 2
5 12
cm2
AL = PB ∙ h = 30 ∙ 11 = 330 cm2 AT = AL + 2 ∙ AB= 330 + 60 = 390 cm2
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Geometría. 4ºB de ESO
Volumen de un cuerpo geométrico. Principio de Cavalieri
Recuerda que:
Bonaventura Cavalieri, matemático del siglo XVII enunció el principio que lleva su nombre y que afirma:
“Si dos cuerpos tiene la misma altura y al cortarlos por planos paralelos a sus bases, se obtienen secciones con el mismo área, entonces los volúmenes de los dos cuerpos son iguales”
Ejemplo:
En la figura adjunta las áreas de las secciones A1, A2, A3, producidas por un plano paralelo a las bases, son iguales, entonces, según este principio los volúmenes de los tres cuerpos son también iguales.
Volumen de un prisma y de un cilindro
El volumen de un prisma recto es el producto del área de la base por la altura.
Además, según el principio de Cavalieri, el volumen de un prisma oblicuo coincide con el volumen de un prisma recto con la misma base y altura. Si denotamos por V este volumen, AB el área de la base y h la altura:
Volumen prisma = V = AB h
También el volumen de un cilindro, recto u oblicuo es área de la base por altura.
Si llamamos R al radio de la base, AB el área de la base y h la altura, el volumen se escribe:
Volumen cilindro = V = ABh R2 h
Actividades resueltas
Las conocidas torres Kio de Madrid son dos torres gemelas que están en el Paseo de la Castellana, junto a la Plaza de Castilla. Se caracterizan por su inclinación y representan una puerta hacia Europa.
Cada una de ellas es un prisma oblicuo cuya base es un cuadrado de 36 metros de lado y tienen una altura de 114 metros. El volumen interior de cada torre puede calcularse con la fórmula anterior:
V = AB h = 362 ∙ 114 = 147 744 m3
Actividades propuestas
15. Calcula el volumen de un prisma recto de 20 dm de altura cuya base es un hexágono de 6 dm de lado.
16. Calcula la cantidad de agua que hay en un recipiente con forma de cilindro sabiendo que su base tiene 10 cm de diámetro y que el agua alcanza 12 dm de altura.
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Áreas lateral y total de un cilindro
El cilindro es un cuerpo geométrico desarrollable. Si recortamos un cilindro recto a lo largo de una generatriz, y lo extendemos en un plano, obtenemos dos círculos y una región rectangular. De esta manera se obtiene su desarrollo.
A partir de éste, podemos ver que el área lateral de cilindro está determinada por el área del rectángulo que tiene como dimensiones la longitud de la circunferencia de la base y la altura del cilindro.
Supondremos que la altura del cilindro es H y que R es el radio de la base con lo que el área lateral AL es:
AL = Longitud de la base ∙ Altura =
2 R
H = 2RH Si a la expresión anterior le sumamos el área de los dos círculos que constituyen las bases, obtenemos el área total del cilindro.AT = AL + R² + R² = 2RH + 2R²
2.2. Longitudes, áreas y volúmenes en pirámides y conos
Recuerda que:
Áreas lateral y total de una pirámide y de un tronco de pirámide regulares
Una pirámide es un poliedro determinado por una cara poligonal denominada base y tantas caras triangulares con un vértice común como lados tiene la base.
El área lateral de una pirámide regular es la suma de las áreas de las caras laterales.
Son triángulos isósceles iguales por lo que, si la arista de la base mide b, la apotema de la pirámide es Ap y la base tiene n lados, este área lateral es:
Área lateral = AL =
2 2
Ap b n Ap
n b
y como n ∙ b = Perímetro de la base
Apotema base
la de Perímetro pirámide
la de Apotema base
la de Perímetro
AL
2 2
.
El área lateral de una pirámide es igual al semi‐perímetro por la apotema.
El área total de una pirámide es el área lateral más el área de la base:
Área total = AT = AL + AB
Desarrollo de pirámide pentagonal regular
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Un tronco de pirámide regular es un cuerpo geométrico desarrollable. En su desarrollo aparecen tantas caras laterales como lados tienen las bases. Todas ellas son trapecios isósceles.
Si B es el lado del polígono de la base mayor, b el lado de la base menor, n el número de lados de las bases y Ap es la altura de una cara lateral o apotema
Área lateral = AL =
2 . 2
. B b .Ap P P Ap
n B b
=
2
. Apotemadeltronco bases
las de perímetro de
Suma
El área total de un tronco de pirámide regular es el área lateral más la suma de áreas de las bases:
Área total = AT = AL + AB + Ab
Actividades resueltas
Calculemos el área total de un tronco de pirámide regular de 4 m de altura si sabemos que las bases paralelas son cuadrados de 4 m y de 2 m de lado.
En primer lugar, calculamos el valor de la apotema. Teniendo en cuenta que el tronco es regular y que las bases son cuadradas se forma un triángulo rectángulo en el que se cumple:
Ap2 = 42 + 12 = 17 Ap = 17 4.12 m AL =
2 Ap P PB b
= ⋅ . 49.44 m2 AT = AL + AB + Ab = 49.44 + 16 + 4 = 69.44 m2
Actividades propuestas
17. Calcula las áreas lateral y total de un prisma hexagonal regular sabiendo que las aristas de las bases miden 3 cm y cada arista lateral 2 dm.
18. El área lateral de un prisma regular de base cuadrada es 16 m2 y tiene 10 m de altura. Calcula el perímetro de la base.
19. El lado de la base de una pirámide triangular regular es de 7 cm y la altura de la pirámide 15 cm.
Calcula el apotema de la pirámide y su área total.
20. Calcula el área lateral de un tronco de pirámide regular, sabiendo que sus bases son dos octógonos regulares de lados 3 y 8 dm y que la altura de cada cara lateral es de 9 dm.
21. Si el área lateral de una pirámide cuadrangular regular es 104 cm2 y la arista de la base mide 4 cm, calcula la apotema de la pirámide y su altura.
Desarrollo de tronco de pirámide cuadrangular
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Áreas lateral y total de un cono
Recuerda que:
También el cono es un cuerpo geométrico desarrollable. Al recortar siguiendo una línea generatriz y la circunferencia de la base, obtenemos un círculo y un sector circular con radio igual a la generatriz y longitud de arco igual a la longitud de la circunferencia de la base.
Llamemos ahora R al radio de la base y G a la generatriz. El área lateral del cono es el área de sector circular obtenido. Para calcularla pensemos que esta área debe ser directamente proporcional a la longitud de arco que a su vez
debe coincidir con la longitud de la circunferencia de la base. Podemos escribir entonces:
G radio de ncia circunfere la
de Longitud
G radio de círculo del
total A tor
al iente correspond arco
de Longitud
cono del Lateral
A
sec
Es decir:
G π
G π R π AL
2 2
2 y despejando AL tenemos:
𝐴 2𝜋𝑅 𝜋 𝐺
2𝜋𝐺 𝜋𝑅𝐺
Si a la expresión anterior le sumamos el área del círculo de la base, obtenemos el área total del cono.
AT = AL + ∙R² = ∙R∙G + ∙R²
Actividades resueltas
Calcula el área total de un cono de 12 dm de altura, sabiendo que la circunferencia de la base mide 18.84 dm. (Toma 3.14 como valor de )
Calculamos en primer lugar el radio R de la base:
2𝜋𝑅 18.84 ⇒ 𝑅 . .. 3 dm.
Calculamos ahora la generatriz G:
𝐺 √𝑅 ℎ ⇒ 𝐺 √3 12 √153 12.37dm.
Entonces AT = AL + ∙R² = ∙R∙G + ∙R² = 3.14 ∙ 3 ∙ 12.37 + 3.14 ∙ 32 144.79 dm2.
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Geometría. 4ºB de ESO
Áreas lateral y total de un tronco de cono
Recuerda que:
Al cortar un cono por un plano paralelo a la base, se obtiene un tronco de cono. Al igual que el tronco de pirámide, es un cuerpo desarrollable y su desarrollo lo constituyen los dos círculos de las bases junto con un trapecio circular, cuyas bases curvas miden lo mismo que las circunferencias de las bases.
Llamando R y r a los radios de las bases y G a la generatriz resulta:
πR πr
G
πR πr
G
πR πr
GAL
2
2 2
2
2
Si a la expresión anterior le sumamos las áreas de los círculos de las bases, obtenemos el área total del tronco de cono:
AT = AL + ∙R² + ∙r²
Volumen de una pirámide y de un cono
Recuerda que:
También en los casos de una pirámide o cono, las fórmulas del volumen coinciden en cuerpos rectos y oblicuos.
El volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma que tiene la misma base y altura.
Volumen pirámide = V = 3
h AB
Si comparamos cono y cilindro con la misma base y altura, concluimos un resultado análogo
Volumen cono = V =
3 3
2 h
R h
AB
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Geometría. 4ºB de ESO
Volumen de un tronco de pirámide y de un tronco de cono
Existe una fórmula para calcular el volumen de un tronco de pirámide regular pero la evitaremos.
Resulta más sencillo obtener el volumen de un tronco de pirámide regular restando los volúmenes de las dos pirámides a partir de las que se obtiene.
Si representamos por AB1 y AB2 las áreas de las bases y por h1 y h2 las alturas de las pirámides citadas, el volumen del tronco de pirámide es:
Volumen tronco de pirámide =
V = 3 3
2 2 1
1 h A h
AB B
El volumen del tronco de cono se obtiene de modo parecido. Si R1 y R2 son los radios de las bases de los conos que originan el tronco y h1 y h2 sus alturas, el volumen del tronco de cono resulta:
Volumen tronco de cono = V =
3 3
2 2 2 1
2
1 h R h
R
Actividades resueltas
Calcula el volumen de un tronco de pirámide regular de 10 cm de altura si sus bases son dos hexágonos regulares de lados 8 cm y 3 cm.
Primer paso: calculamos las apotemas de los hexágonos de las bases:
Para cada uno de estos hexágonos:
L2= ap2+ (L/2)2 ap2=
4 3 4
2 2
2 L L
L
2 ap 3 L
Luego las apotemas buscadas miden: 𝒂𝒑𝟏 𝟑√𝟑 𝟐 𝟐. 𝟔 𝒄𝒎; 𝒂𝒑𝟐 𝟖√𝟑𝟐 𝟔. 𝟏 𝒄𝒎 Como segundo paso, calculamos la apotema
del tronco de pirámide
A2= 102+ 3.52 A = √112.25 10.6 𝑐𝑚 En tercer lugar, calculamos el valor de los segmentos x, y de la figura 3 que nos servirán para obtener las alturas y apotemas de las pirámides que generan el tronco
con el que trabajamos. Por el teorema de Tales: 𝟐.𝟔𝒙 𝟏𝟎.𝟔 𝒙𝟔.𝟏 𝟔. 𝟏 𝒙 𝟏𝟎. 𝟔 𝒙 𝟐. 𝟔 𝟔. 𝟏 𝒙 𝟐. 𝟔𝒙 𝟐𝟕. 𝟓𝟔 𝒙 𝟐𝟕.𝟓𝟔𝟑.𝟓 𝟕. 𝟗 𝒄𝒎
L ap L/2
Figura 1
10 cm
A
6,1‐2,6= 3,5 cm.
Figura 2
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Geometría. 4ºB de ESO
Entonces la apotema de la pirámide grande es 10.6 + 7.9 = 18.5 cm y el de la pequeña 7.9 cm. Y aplicando el teorema de Pitágoras:
65 , 55 6 , 2 9 , 7 6 ,
2 2 2 2
2
2 x
y y 55,657,5 cm
Luego las alturas de las pirámides generadoras del tronco miden 10 + 7,5 = 17,5 cm y 7,5 cm.
Por último calculamos el volumen del tronco de pirámide:
V = ⋅ ⋅ . ⋅ . ⋅ . . ⋅ . ⋅ . . 2412.25 𝑐𝑚
Actividades propuestas
22. Una columna cilíndrica tiene 35 cm de diámetro y 5 m de altura. ¿Cuál es su área lateral?
23. El radio de la base de un cilindro es de 7 cm y la altura es el triple del diámetro. Calcula su área total.
24. Calcula el área lateral de un cono recto sabiendo que su generatriz mide 25 dm y su radio de la base 6 dm.
25. La circunferencia de la base de un cono mide 6.25 m y su generatriz 12 m. Calcula el área total.
2.3. Longitudes, áreas y volúmenes en la esfera
Recuerda que:
Área de una esfera
La esfera no es un cuerpo geométrico desarrollable, por lo que es más complicado que en los casos anteriores encontrar una fórmula para calcular su área.
Arquímedes demostró que el área de una esfera es igual que el área lateral de un cilindro circunscrito a la esfera, es decir un cilindro con el mismo radio de la base que el radio de la esfera y cuya altura es el diámetro de la esfera.
Si llamamos R al radio de la esfera:
AT = 2𝜋𝑅 ⋅ 2𝑅 4𝜋𝑅 El área de una esfera equivale al área de cuatro círculos máximos.
Actividades propuestas
26. Una esfera tiene 4 m de radio. Calcula:
a) La longitud de la circunferencia máxima;
b) El área de la esfera.
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Geometría. 4ºB de ESO
Volumen de la esfera
Volvamos a pensar en una esfera de radio R y en el cilindro que la circunscribe. Para rellenar con agua el espacio que queda entre el cilindro y la esfera, se necesita una cantidad de agua igual a un tercio del volumen total del cilindro circunscrito.
Se deduce entonces que la suma de los volúmenes de la esfera de radio R y del cono de altura 2R y radio de la base R, coincide con el volumen del cilindro circunscrito a la esfera de radio R. Por tanto:
Volumen esfera = Volumen cilindro ‐ Volumen cono
Volumen esfera = 2
2
3 3 3 33 4 3 4 3
2 6
3
2 πR 2R πR πR πR πR
R R
π
Existen demostraciones más rigurosas que avalan este resultado experimental que hemos descrito. Así por ejemplo, el volumen de la esfera se puede obtener como suma de los volúmenes de pirámides que la recubren, todas ellas de base triangular sobre la superficie de la esfera y con vértice en el centro de la misma.
Actividades propuestas
27. El depósito de gasoil de la casa de Irene es un cilindro de 1 m de altura y 2 m de diámetro. Irene ha llamado al suministrador de gasoil porque en el depósito solamente quedan 140 litros.
a. ¿Cuál es, en dm3, el volumen del depósito? (Utiliza 3.14 como valor de π).
b. Si el precio del gasoil es de 0.80 € cada litro, ¿cuánto deberá pagar la madre de Irene por llenar el depósito?
28. Comprueba que el volumen de la esfera de radio 4 dm sumado con el volumen de un cono del mismo radio de la base y 8 dm de altura, coincide con el volumen de un cilindro que tiene 8 dm de altura y 4 dm de radio de la base.
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2.4. Longitudes, áreas y volúmenes de poliedros regulares
Recuerda que:
Un poliedro regular es un poliedro en el que todas sus caras son polígonos regulares iguales y en el que sus ángulos poliedros son iguales.
Hay cinco poliedros regulares: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo y dodecaedro
Área total de un poliedro regular
Como las caras de los poliedros regulares son iguales, el cálculo del área total de un poliedro regular se reduce a calcular el área de una cara y después multiplicarla por el número de caras.
Actividades resueltas
Calcula el área total de un icosaedro de 2 cm de arista.
Todas sus caras son triángulos equiláteros de 2 cm de base. Calculamos la altura h que divide a la base en dos segmentos iguales
2 2 2 1 2
h h2 413 h 3cm Luego el área de una cara es:
Atriángulo= 3
2 3 . 2 2
.h
b cm2 y por tanto Área icosaedro = 20 √3 cm2
1 cm 2 cm
h
249
Geometría. 4ºB de ESO
3. INICIACIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
3.1. Puntos y vectores
En el plano Ya sabes que
Un conjunto formado por el origen O, los dos ejes de coordenadas y la unidad de medida es un sistema de referencia cartesiano.
Las coordenadas de un punto A son un par ordenado de números reales (x, y), siendo “x” la primera coordenada o abscisa e “y” la segunda coordenada u ordenada.
Dados dos puntos, D(d1, d2) y E(e1, e2), las componentes del vector de origen D y extremo E, DE, vienen dadas por DE = (e1 – d1, e2 – d2).
Ejemplo:
Las coordenadas de los puntos, de la figura son:
O(0, 0), A(1, 2), B(3, 1), D(3, 2) y E(4, 4) Las componentes del vector DE son
DE = (4 – 3, 4 – 2) = (1, 2) Las componentes del vector OA son:
OA = (1 – 0, 2 – 0) = (1, 2).
DE y OA son representantes del mismo vector libre de componentes (1, 2).
En el espacio de dimensión tres
Las coordenadas de un punto A son una terna ordenada de números reales (x, y, z), siendo “z” la altura sobre el plano OXY.
Dados dos puntos, D(d1, d2, d3) y E(e1, e2, e3), las componentes del vector de origen D y extremo E, DE, vienen dadas por DE = (e1 – d1, e2 – d2, e3 – d3).
Ejemplo:
Las coordenadas de puntos en el espacio son:
O(0, 0, 0), A(1, 2, 3), B(3, 1, 7), D(3, 2, 1) y E(4, 4, 4)
Las componentes del vector DE son: DE = (4 – 3, 4 – 2, 4 – 1) = (1, 2, 3) Las componentes del vector OA son: OA = (1 – 0, 2 – 0, 3 – 0) = (1, 2, 3).
DE y OA son representantes del mismo vector libre de componentes (1, 2, 3)
Actividades propuestas
29. Representa en un sistema de referencia en el espacio de dimensión tres los puntos:
O(0, 0, 0), A(1, 2, 3), B(3, 1, 7), D(3, 2, 1) y E(4, 4, 4) y vectores: DE y OA.
30. El vector de componentes u = (2, 3) y origen A = (1, 1), ¿qué extremo tiene?
250
Geometría. 4ºB de ESO
3.2. Distancia entre dos puntos
En el plano
La distancia entre dos puntos A(a1, a2) y B(b1, b2) es:
2 2 2 2 1
1 ) ( )
(b a b a
D
Ejemplo:
Por el Teorema de Pitágoras sabemos que la distancia al cuadrado entre los puntos A = (1, 1) y B = (5, 3) es igual a:
D2 = (5 – 1)2 + (3 – 1)2 = 42 + 22 = 20
ya que el triángulo ABC es rectángulo de catetos 4 y 2.
Luego D 4.47.
En el espacio de dimensión tres
La distancia entre dos puntos A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3) es igual a:
𝐷 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎
Ejemplo:
La distancia al cuadrado entre los puntos A = (1, 1, 2) y B = (5, 3, 8) es igual, por el Teorema de Pitágoras en el espacio, a
D2 = (5 – 1)2 + (3 – 1)2 + (8 – 2)2 = 42 + 22 + 62 = 16 + 4 + 36 = 56.
Luego D 7,5.
Actividades propuestas
31. Calcula la distancia entre los puntos A(6, 2) y B(3, 9).
32. Calcula la distancia entre los puntos A(6, 2, 5) y B(3, 9, 7).
33. Calcula la longitud del vector de componentes u = (3, 4) 34. Calcula la longitud del vector de componentes u = (3, 4, 1).
35. Dibuja un cuadrado de diagonal el punto O(0, 0) y A(3, 3). ¿Qué coordenadas tienen los otros vértices del cuadrado? Calcula la longitud del lado y de la diagonal de dicho cuadrado.
36. Dibuja un cubo de diagonal O(0, 0, 0) y A(3, 3, 3). ¿Qué coordenadas tienen los otros vértices del cubo? Ya sabes, son 8 vértices. Calcula la longitud de la arista, de la diagonal de una cara y de la diagonal del cubo.
37. Sea X(x, y) un punto genérico del plano, y O(0, 0) el origen de coordenadas, escribe la expresión de todos los puntos X que distan de O una distancia D.
38. Sea X(x, y, z) un punto genérico del espacio, y O(0, 0, 0) el origen de coordenadas, escribe la expresión de todos los puntos X que distan de O una distancia D.
251
Geometría. 4ºB de ESO
3.3. Ecuaciones y rectas y planos
Ecuaciones de la recta en el plano.
Ya sabes que la ecuación de una recta en el plano es: y = mx + n. Es la expresión de una recta como función. Esta ecuación se denomina ecuación explícita de la recta.
Si pasamos todo al primer miembro de la ecuación, nos queda una ecuación: ax + by + c = 0, que se denomina ecuación implícita de la recta.
Ecuación vectorial: También una recta queda determinada si conocemos un punto: A(a1, a2) y un vector de dirección v = (v1, v2).
Observa que el vector OX puede escribirse como suma del vector OA y de un vector de la misma dirección que v, tv. Es decir:
OX = OA + tv,
donde a t se le denomina parámetro. Para cada valor de t, se tiene un punto distinto de la recta. Con coordenadas quedaría:
2 2
1 1
tv a y
tv a
x
que es la ecuación paramétrica de la recta.
Paralelismo: Dos rectas
' ' 'x b y c a
c by
ax son paralelas si
' '
' c
c b
b a
a , y
dos rectas r: OX = OA + tv y r: OX = OB + tw son paralelas si v = kw pues en ambos casos, así tienen la misma dirección.
Perpendicularidad: Dos rectas
' ' 'x b y c a
c by
ax son perpendiculares si aa’ + bb’ = 0, y dos rectas r: OX = OA + tv y r: OX = OB + tw son perpendiculares si v1w1 + v2w2 = 0, pues en esos casos puedes comprobar gráficamente que sus direcciones son ortogonales.
Actividades resueltas
De la recta de ecuación explícita y = 2x + 5, conocemos la pendiente, 2, y la ordenada en el origen, 5. La pendiente nos da un vector de dirección de la recta, en general (1, m), y en este ejemplo: (1, 2). La ordenada en el origen nos proporciona un punto, en general, el (0, n), y en este ejemplo, (0, 5). La ecuación paramétrica de esta recta es:
t y
t x
2 5
0
Su ecuación implícita es: 2x y + 5 = 0.
252
Geometría. 4ºB de ESO
Escribe la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto A(2, 1) y tiene como vector de dirección v = (1, 2).
t y
t x
2 1
2
Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 1) y B(1, 3). Podemos tomar como vector de dirección el vector AB = (1 – 2, 3 – 1) = (–1, 2), y escribir su ecuación paramétrica:
t y
t x
2 1
2
La recta es, en los tres ejemplos, la misma, la de la figura. Con ello podemos observar que una recta puede tener muchas ecuaciones paramétricas dependiendo del punto y del vector de dirección que se tome. Pero eliminando el parámetro y despejando “y” llegamos a una única ecuación explícita.
Actividades propuestas
39. Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(6, 2) y B(3, 9), de forma explícita, implícita y paramétrica. Represéntala gráficamente.
40. Representa gráficamente la recta r: 2x y + 5 = 0. Comprueba que el vector (2, 1) es perpendicular a la recta. Representa gráficamente la recta s: x 2y = 0 y comprueba que es perpendicular a r.
41. Representa gráficamente la recta r: 2x y + 5 = 0. Representa gráficamente las rectas: 2x y = 0,
2x y = 1, y comprueba que son paralelas a r.
Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio.
La ecuación implícita de un plano es: ax + by + cz + d = 0. Observa que es parecida a la ecuación implícita de la recta pero con una componente más.
La ecuación vectorial de una recta en el espacio es: OX = OA + tv, aparentemente igual a la ecuación vectorial de una recta en el plano, pero al escribir las coordenadas, ahora puntos y vectores tiene tres componentes:
3 3
2 2
1 1
tv a z
tv a y
tv a x
Una recta también puede venir dada como intersección de dos planos:
0 ' ' ' '
0 d z c y b x a
d cz by
ax
Dos puntos determinan una recta y tres puntos determinan un plano.
253
Geometría. 4ºB de ESO
Actividades resueltas
Escribe la ecuación de la recta en el espacio que pasa por los puntos A(1, 2, 3) y B(3, 7, 1).
Tomamos como vector de dirección de la recta el vector AB = (3 – 1, 7 – 2, 1 – 3) = (2, 5, –2) y como punto, por ejemplo el A, entonces:
2 3
5 2
2 1
t z
t y
t x
Podemos encontrar las ecuaciones de dos planos que se corten en dicha recta, eliminando t en dos ecuaciones. Por ejemplo, sumando la primera con la tercera se tiene: x + z = 4. Multiplicando la primera ecuación por 5, la segunda por 2 y restando, se tiene: 5x – 2y = 1. Luego otra ecuación de la recta, como intersección de dos planos es:
1 2 5
4 y x
z
x
Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos A y B de la actividad anterior, y C(2, 6, 2).
Imponemos a la ecuación ax + by + cz + d = 0 que pase por los puntos dados:
a + 2b + 3c + d = 0 3a + 7b + c + d = 0 2a + 6b + 2c + d = 0.
Restamos a la segunda ecuación la primera, y a la tercera, también la primera:
a + 2b + 3c + d = 0 2a + 5b – 2c = 0 a + 4b – c = 0
Multiplicamos por 2 la tercera ecuación y le restamos la segunda:
a + 2b + 3c + d = 0 a + 4b – c = 0
3b = 0
Ya conocemos un coeficiente, b = 0. Lo sustituimos en las ecuaciones:
a + 3c + d = 0 a – c = 0
Vemos que a = c, que sustituido en la primera: 4c + d = 0. Siempre, al tener 3 ecuaciones y 4 coeficientes, tendremos una situación como la actual, en que lo podemos resolver salvo un factor de proporcionalidad. Si c = 1, entonces d = –4. Luego a = 1, b = 0, c = 1 y d = –4. Es el plano de ecuación:
x + z = 4 plano que ya habíamos obtenido en la actividad anterior.
254
Geometría. 4ºB de ESO
Actividades propuestas
42. Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(6, 2, 5) y B(3, 9, 7), de forma explícita, y como intersección de dos planos.
43. Escribe las ecuaciones de los tres planos coordenados.
44. Escribe las ecuaciones de los tres ejes coordenados en el espacio.
45. En el cubo de diagonal O(0, 0, 0) y A(6, 6, 6) escribe las ecuaciones de los planos que forman sus caras. Escribe las ecuaciones de todas sus aristas, y las coordenadas de sus vértices.
3.4. Algunas ecuaciones Actividades resueltas
¿Qué puntos verifican la ecuación x2 + y2 = 1?
¡Depende! Depende de si estamos en un plano o en el espacio.
En el plano, podemos ver la ecuación como que el cuadrado de la distancia de un punto genérico X(x, y) al origen O(0, 0) es siempre igual a 1:
D2 = (x – 0)2 + (y – 0)2 = 12 x2 + y2 = 1
El lugar de todos los puntos del plano que distan 1 del origen es la circunferencia de centro O(0, 0) y radio 1.
En el espacio el punto genérico X(x, y, z) tiene tres coordenadas, y O(0, 0, 0), también. No es una circunferencia, ni una esfera. ¿Y qué es? Lo que está claro es que si cortamos por el plano OXY, (z = 0) tenemos la circunferencia anterior. ¿Y si cortamos por el plano z = 3? También una circunferencia. Es un cilindro. El cilindro de eje, el eje vertical, y de radio de la base 1.
¿Qué puntos verifican la ecuación x2 + y2 + z2 = 1?
Ahora sí. Sí podemos aplicar la distancia de un punto genérico X(x, y, z) al origen O(0, 0, 0), D2 = (x – 0)2 + (y – 0)2 + (z – 0)2= 12 x2 + y2 + z2 = 1
Es la ecuación de la superficie esférica de centro el origen y radio 1.
Actividades propuestas
46. Escribe la ecuación del cilindro de eje, el eje OZ y radio 2.
47. Escribe la ecuación de la esfera de centro el origen de coordenadas y radio 2.
48. Escribe la ecuación del cilindro de eje, la recta
3 2 1 z y
t x
y radio 1.
49. Escribe la ecuación de la circunferencia en el plano de centro A(2, 5) y radio 2.
50. Al cortar a un cierto cilindro por un plano horizontal se tiene la circunferencia del ejercicio anterior.
Escribe la ecuación del cilindro.
255
Geometría. 4ºB de ESO
4. MOVIMIENTOS Y TRASNFORMACIONES
4.1. Traslaciones en el plano
Si Susana está en su casa y quiere ir a casa de Nadia, que vive 2 calles al Este y 3 calles al Norte, el trayecto que debe hacer es el que en la figura está dibujado en gris.
Llamamos “O” a la posición de la casa de Susana, y “A” a la posición de la casa de Nadia. Si Susana tuviera un helicóptero podría ir directamente en línea recta y seguiría la dirección OA. Lo representamos con una flecha y se denomina vector fijo.
Un vector fijo OA es un segmento orientado con origen en el punto O y extremo en el punto A. Tiene una dirección, la de la recta, un sentido, desde O hasta A, y una longitud, a la que llamamos módulo.
Un vector fijo OA, de origen en O y extremo en el punto A, se caracteriza por:
Su módulo, que es la longitud del segmento OA y que se escribe OA. Su dirección, que es la recta que contiene al segmento.
Su sentido que va desde el origen O hasta el extremo A.
Las coordenadas o componentes de un vector vienen determinadas por su origen y su extremo.
Ejemplo:
Si conocemos las coordenadas del punto origen y del punto final podemos calcular las coordenadas del vector. Observa el dibujo del margen y comprueba que si A (2, 3) y B (6, 5) las coordenadas del vector fijo AB son AB = (6 – 2, 5 – 3) = (4, 2).
En general, si A (a, b) y B (c, d) entonces AB = (c – a, d – b)
El módulo de un vector se calcula utilizando el Teorema de Pitágoras. Así, el vector de coordenadas u = (x, y) tiene de módulo: u = x2 y2
Un coche se mueve por la ciudad desde el domicilio del dueño hasta su trabajo, y se ha trasladado 4 calles hacia el norte y 3 calles hacia el este.
Es posible conocer una traslación si sabemos el punto de origen A y el de destino B. Estos dos puntos, A y B, determinan el vector de traslación AB. AB es un vector fijo, representante del vector libre u de iguales coordenadas.
Para definir una traslación basta conocer su vector de traslación.
Si la traslación de vector libre u = AB transforma un punto del plano P en otro P’, entonces AB y PP’ tienen igual módulo, dirección y sentido.
Son el mismo vector libre. Tienen las mismas coordenadas.
Si con la traslación de vector AB trasladamos el punto P hasta el punto P’ entonces ABP'P es un paralelogramo, y AB = PP’
Para trasladar una figura se trasladan los puntos que la determinan.
Como en una traslación todos los puntos se mueven sobre rectas paralelas y una misma distancia, se
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Geometría. 4ºB de ESO
puede usar la escuadra y el cartabón para trazar las rectas paralelas y trasladar sobre ella algunos puntos de la figura, para lo que se debe medir siempre la misma distancia sobre la recta.
Actividades propuestas
51. Dibuja en tu cuaderno una figura y utiliza escuadra y cartabón para trasladarla 5 centímetros hacia la derecha.
52. Dibuja en tu cuaderno una figura. (Si no se te ocurre ninguna otra, dibuja la letra G). Coloca encima un papel vegetal y cálcala. Desplaza en línea recta el papel vegetal y vuelve a calcar la figura. Las dos figuras que has obtenido, ¿tienen todas sus medidas, tanto longitudes como ángulos, iguales? Traza las rectas que unen pares de puntos correspondientes, ¿cómo son esas rectas? ¿Qué trayectoria han seguido los puntos en el desplazamiento?
53. Con ayuda de papel cuadriculado transforma mediante una traslación una recta, una circunferencia, un segmento, un triángulo, dos rectas paralelas y dos rectas perpendiculares. ¿En qué se transforman? Analiza los resultados.
54. Observa este friso de un templo de Camboya. Es una figura que se repite por traslación. ¿Qué dirección tiene el vector de traslación? ¿De dónde a dónde iría?
4.2. Traslaciones en el espacio
Las traslaciones en el espacio tienen las mismas propiedades que las traslaciones en el plano.
Imagina un avión que se mueve. El avión se traslada.
Una traslación en el espacio, igual que una traslación en el plano, es el movimiento que consiste en deslizar un objeto según una dirección. La traslación está determinada por la distancia que se traslada, la dirección de la recta sobre la que se traslada, y por su sentido. Por tanto:
Para determinar una traslación en el espacio basta conocer su vector de traslación.
La única diferencia es que ahora el vector de traslación tiene tres componentes: AB = (a, b, c).
Ejemplo:
Para trasladar el punto P (2, 4, 1) mediante la traslación de vector AB = (3, 5, 2), simplemente sumamos las coordenadas:
P’ = (2 – 3, 4 + 5, –1 + 2) = (–1, 9, 1).
La traslación en el espacio no deja ningún punto invariante.
Actividades propuestas
55. En edificación se utilizan mucho las traslaciones. Piensa en las ventanas de un edificio y elige una. ¿Puedes obtener otra distinta mediante traslación?
Haz un dibujo que represente esta situación.
56. En la fachada de esta torre mudéjar de Teruel podemos ver distintas traslaciones. En la parte superior hay dos conjuntos de cuatro ventanitas.
Uno es trasladado del otro. Y cada ventanita forma a las otras cuatro
mediante una traslación. Al seguir bajando, los dos arcos se trasladan formando otros dos arcos.
Observa, en este caso todas las traslaciones tienen un vector de traslación horizontal. Continúa describiendo las traslaciones que ves en el diseño de esta torre.
Un friso en Camboya
