UNIDAD III
CONTENIDO TEMÁTICO
FACTORIZACIÓN
ESQUEMA-Factorización de una diferencia de cuadrados Factorización de Trinomios de la forma x² + bx + c Factorización de polinomios con factor común Máximo común divisor
-RESUMEN DE LA UNIDAD III
FACTORIZACIÓN Concepto de Factorización. Casos de factorización Factorización de una suma y diferencia de cubos Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Factorización de una diferencia de cuadrados Máximo común divisor
RESUMEN DE LA UNIDAD III
3.1 CONCEPTO DE FACTORIZACIÓN
En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) en el producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza en el binomio conjugado (a - b)(a + b).
La factorización se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes. Factorizar enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y factorizar polinomios en el teorema fundamental del álgebra.
3.2 CASOS DE FACTORIZACIÓN
Antes que nada, hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos sí se puede. Existen métodos de factorización, que han sido agrupados como casos y que podemos distinguir de acuerdo a la siguiente clasificación.
• Binomios
1. Diferencia de cuadrados 2. Suma o diferencia de cubos
3. Suma o diferencia de potencias impares iguales
• Trinomios
1. Trinomio cuadrado perfecto 2. Trinomio de la forma x²+bx+c 3. Trinomio de la forma ax²+bx+c
• Polinomios
1. Factor común
3.3 MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
El máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas es el término o polinomio que divide exactamente a todas y cada una de las expresiones dadas.
Regla para obtener el MCD:
1. Se obtiene el máximo común divisor de los coeficientes.
2. Se toman los factores (monomio o polinomio) de menor exponente que tengan en común y se multiplican por el máximo común divisor de los coeficientes.
Ejemplo 1:
Encontrar el máximo común divisor de:
15x2y2z, 24xy2z, 36y4z2
Solución:
Se obtiene el MCD de 15, 24, y 36 (recuerda, el MCD es, para estos coeficientes, el número que divide exactamente a todos y cada uno de ellos)
Coeficientes: MCD 15 24 36 3 Al dividirlos entre el MCD obtenemos: 5 3 12 Entonces, el MCD = 3
Luego, se toman los factores que tengan en común y se escogen los de menor exponente, en esta caso: y2, z,
Ejemplo 2:
Obtener el MCD de los siguientes polinomios:
4m2 + 8m – 12, 2m2 – 6m + 4, 6m2 + 18m – 24;
Solución:
Se factorizan los polinomios:
4m2 + 8m – 12 = 4 (m2 + 8m – 3) = 4(m+3)(m –1) 2m2 – 6m + 4 = 2(m2 – 3m + 2) = 2(m –2)(m –1) 6m2 +18m –24 = 6(m2 + 3m –4) = 6(m+4)(m –1) Se obtiene el MCD de 4, 2, y 6 Coeficientes: MCD 4 2 6 2 Al dividirlos entre el MCD obtenemos: 2 1 3 El MCD de los coeficientes 2, 4 y 6 es 2. El MCD de los factores es m –1
Por tanto el MCD (máximo común divisor) será: 2 (m –1)
Ahora, continuaremos viendo un par de ejemplos que muestran igualmente cómo el MCD se emplea en la factorización de polinomios.
Ejemplo 3:
Factorizar: 2x3y – 6x2y2 + 8xy3
Solución:
El factor común de los coeficientes 2, -6 y 8 es su MCD: 2 –6 8 2 Así, el MCD de (2 –6 8) = 2
También el factor común de las bases literales es su MCD:
x3y x2y2 xy3 x Así el MCD de (x3y x2y2 xy3) = x • y = xy
x2y x y2 y3 y x2 x y y2
Entonces, el MCD de (2x3y – 6x2 + 8xy3) = 2 • xy = 2xy
Y factorizando: 2x3y – 6x2y2 + 8xy3 obtenemos 2xy(x2 – 3x2 + 8xy3) de donde
decimos que 2xy es el factor común del polinomio, entonces para llegar al resultado factorizado dividimos el po2linomio inicial entre el factor común de la siguiente forma: 2 3 2 2 x xy y x = xy xy y x 3 2 6 2 2 − = − 2 3 4 2 8 x xy xy = Ejemplo 4:
Factorizar: 12a3b2 – 8ab3
Solución:
Obteniendo de forma directa el MCD de 12a3b2 y de – 8ab3
12a3b2 – 8ab3 2
6a3b2 – 4ab3 2 Entonces el MCD de (12a3b2 – 8ab3) =2(2)(a)(b)(b) = 4ab2 3a3b2 – 2ab3 a
3a2b2 – 2b3 b
3a2b – 2b2 b
3a2 – 2b Así que 12a3b2 – 8ab3 = 4ab2 (3a2 – 2b)
3.4 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS CON FACTOR
COMÚN
Consideraremos a la factorización de polinomios con factor común como nuestro caso I de Factorización y también podríamos denominarlo en forma más breve como Factor Común y es el caso más simple que se presenta en la factorización y consiste en extraer un factor común en una expresión polinomio lo cual es posible por la propiedad distributiva que posemos expresar así:
a(m + n) = am + an
o bien: am + an = a(m + n)
en la que a es el factor común de la expresión polinomio am + an.
Por ejemplo, si tenemos ahora el polinomio a2m + a2n, evidentemente el factor
común es a2 y su factorización es a2 (m + n). Dicho de otra forma: Los factores de
la expresión a2m + a2n son a2 y (m + n).
Si ahora el polinomio es 2a2m + 2a2n, el factor común es 2a2 y su factorización es
2a2 (m + n), donde 2a2 es el factor común.
Así pues, sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio,
3.5 FACTORIZACIÓN
DE
POLINOMIOS
POR
AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Este es nuestro caso II de Factorización. Factor común por agrupación de términos. Este caso es derivado del anterior y consiste en hacer una doble extracción de factores comunes en los casos en que se presta a ello. Observa:
Ejemplo 1
Sea el polinomio: 2am + 2an + bm + bn. Solución:
Se observará que no existe un factor común para los cuatro términos del polinomio, pero se aprecia que los dos primeros contienen el factor 2a y los dos últimos términos contienen al factor b. Así que:
2am + 2an + bm + bn = 2a(m + n) + b(m + n)
En la expresión que nos resultó se ve que el factor paréntesis (m + n) es factor común de 2a y de b. Entonces:
2am + 2an + bm + bn = 2a(m + n) + b(m + n)= (m + n)(2a + b)
Esto es: 2am + 2an + bm + bn = (m + n) (2a + b)
Factorización por agrupación de términosEjemplo 2
Factorizar 3mn2x – 12amn2 + 2x – 8a
Solución:
Extrayendo como factor común a 3mn2 de los dos primeros términos del polinomio y al factor 2 para los dos últimos términos, tenemos:
3mn2x – 12amn2 + 2x – 8a = 3mn2(x – 4a) + 2(x – 4a)
Ejemplo 3
Factorizar 2ax – 15 + 10a – 3x Solución:
En una inspección visual del polinomio, se aprecia que los dos primeros términos no tienen factor común alguno. Lo mismo ocurre con los dos últimos términos. Sin embargo, si reordenamos los términos, por ejemplo así:
2ax + 10a –3x – 15,
Podemos escribir que: 2ax + 10a –3x – 15 = 2a(x + 5) – 3(x + 5) = (x + 5) (2a – 3) Factorización por agrupación de términos
Ejemplo 4
Factorizar 2y + 2j + 3xy + 3xj Solución:
Agrupamos primero los términos de la siguiente manera:(2y + 2j) + (3xy + 3xj) Aplicamos luego el primer caso que ya estudiamos, el de Factor común:
2 (y + j) + 3x (y + j)
Y finalmente obtenemos el resultado:
= (2 + 3x) (y + j)
Factorización por agrupación de términosFactor común polinomio
En este particular tipo de factorización, que correspondería a una variante de la factorización por agrupación de términos, se da una expresión para la cual existe un término común polinomio (es decir, que tiene más de un término).
Para factorizarla se expresa al polinomio como factor común y a los coeficientes de ellos como términos de otro factor. Primero hay que sacar el factor Nota:
común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente).
Se debe considerar aquí que el factor común no cuenta con un solo término, sino con dos o más. De ahí que reciba el nombre de factor común
polinomio.
Veamos un ejemplo:
5x2(x -y) + 3x(x -y) +7(x -y)
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x –y), entonces ese será el factor común.
El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir: (5x2 + 3x + 7)
Finalmente la respuesta será: (x -y) (5x2 + 3x +7)
En algunos casos debemos utilizar el número 1, por ejemplo en:
5a2 (3a + b) + 3a + b
Que se puede utilizar como:
5a2 (3a + b) + 1(3a + b)
Entonces la respuesta es: (3a +b) (5a2 +1)
Resumimos que en la factorización por agrupación de términos, el factor común puede ser pues un monomio o un polinomio:
Agrupación de términos con factor común monomio
3.6 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA FORMA
X
2+ BX + C
A este tipo de factorización también se le denomina Factorización de un trinomio de segundo grado. Recordemos que el trinomio del producto de
binomios con un término en común recibe el nombre de trinomio de segundo
grado. Esto es: en (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
el trinomio x2 + (a + b)x + ab es un trinomio de segundo grado, mismo que se
puede expresar en la forma reducida x2 + bx + c, si hacemos que
(a + b) = b y ab = c.
Así que la factorización de x2 + (a + b)x + ab es (x + a)(x + b), ya que
Si (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab esto implica que:
x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
De tal forma que podríamos establecer la siguiente premisa:
En los factores (x + a) (x + b) del trinomio x2 + (a + b)x + ab se aprecia que:
• El término común x es la raíz cuadrada del término cuadrático x2
del trinomio dado.
Factorización de Trinomios de la Forma x
2+ bx + c
x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
y si hacemos que (a + b) = b y ab = c, entonces la expresión algebraica equivalente y válida sería la siguiente:
• a y b son términos distintos tales que la suma de ellos es coeficiente del término de primer grado x del trinomio y el producto de ellos es el término numérico del trinomio.
Así, en x2 + 8x + 12: 8x es el término que representa a (a+b)x y 12 es el término que representa a ab.
Por lo anteriormente visto, la factorización de un trinomio de segundo grado está dada por el producto de dos factores que son binomios con un término en común, tales que:
1. El término común es la raíz cuadrada del término cuadrático del trinomio. 2. Los términos diferentes son aquellos cuya suma arroje como resultado el
coeficiente del término de primer grado (o el que hace las veces de tal) y cuyo producto es el término numérico del trinomio dado (o el que hace las veces de tal).
Ejemplo 1
Factorizar x2 – 7x + 12
Solución:
1. El término cuadrático es x2. Su raíz cuadrada es x.
2. El coeficiente del término de primer grado (o su equivalente) es –7. 3. El término numérico (o su equivalente) es 12.
Ahora bien, dos números que sumados den –7 y multiplicados den 12, son –4 y –3, ya que: (–4) + (–3) = –7 y (–4)(–3) = 12
Nota:
En este particular caso de factorización, el de Trinomios de la Forma x2+bx+c, no
pierdas de vista que el término cuadrático del trinomio siempre tiene coeficiente
Entonces: x2 – 7x + 12 = (x – 4)(x – 3) Factorización del trinomio de la forma x2+bx+c
Ejemplo 2
Factorizar m2 – m –72
Solución:
1. El término cuadrático es m2. Su raíz cuadrada es m.
2. El término de primer grado (o su equivalente) es –m. Su coeficiente es –1
3. El término numérico (o su equivalente) es –72.
Ahora bien, dos números cuya suma es –1 y cuyo producto es –72 son –9 y +8, ya que: (–9) + (+8) = –1 y (–9)(+8) = –72
Entonces: m2 – m –72= (m – 9)(m + 8)Factorización del trinomio de la forma x2+bx+c
Nota:
Cuando el cálculo de los factores que deben dar determinada suma sea complicado, recurre al siguiente procedimiento:
1. Descompón en dos factores de todas las formas posibles al factor numérico.
2. Los factores que sirven para la factorización son aquellos cuya suma de valores absolutos o diferencia de valores absolutos den el coeficiente del término de primer grado.
3.7 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA FORMA
AX
2+ BX + C
Se llama trinomio general de segundo grado al trinomio que resulta de un producto de la forma: (ax + b) (cx + d).
Esto es:
(ax + b) (cx + d) = acx2 + adx + bcx + bd = acx2 + (ad + bc)x + bd
Este trinomio acx2 + (ad + bc)x + bd puede ser expresado en forma más
simple si hacemos que ac = a, ad + bc = b y bd = c. Así que el polinomio queda
expresado por: ax2 + bx + c, que es un trinomio de segundo grado con coeficiente distinto de la unidad, en el término ax2 (en este caso a).
De manera similar a cómo hicimos en el tema anterior podríamos establecer la siguiente premisa:
Ejemplo 1
Factorizar 2x2 + 3x – 2
Solución:
1. Pensemos en dos números a y b tales que su suma sea igual al coeficiente del término de primer grado (o el que actúa como tal):
a + b = 3.
Factorización de Trinomios de la Forma ax
2+ bx + c
acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b) (cx + d)
y si hacemos que ac = a, ad + bc = b y bd = c, entonces la expresión
algebraica equivalente y válida sería la siguiente:
2. Y tales que esos mismos números tuvieran por producto a la multiplicación del coeficiente del término cuadrático por el término numérico, esto es: ab = (2) (–2) = –4
3. Los números que satisfacen estas dos condiciones señaladas son +4 y –1, ya que: (+4) + (–1) = 3 y (+4)( –1) = –4
4. Descompongamos al término de primer grado (en este caso 3x) en la suma de dos términos en x tales que sus coeficientes sean los números que acabamos de obtener: 3x = 4x – 1x.
Así que el trinomio original se puede escribir:
2x2 + 3x – 2 = 2x2 + 4x –1x – 2
Factoricemos los dos primeros términos y los dos últimos términos extrayendo a cada par de términos su propio factor común:
2x2 + 4x –1x – 2 = 2x(x + 2) – 1(x + 2) = (x + 2) (2x –1) Factorización del trinomio de la forma ax2+bx+c Ejemplo 2 Factorizar 5x2 + 13x – 6 Solución:
• a + b = 13 (dos números que sumados den 13) • ab = 5(–6) = –30 (y multiplicados den –30)
Así que son a = 15 y b = –2, ya que: (+15) + (–2) = 13 y (+15)(–2) = –30
Entonces, 13x se puede escribir: 13x = 15x – 2x Y el trinomio 5x2 + 13x – 6 se puede escribir: 5x2 + 13x – 6 = 5x2 + 15x – 2x – 6 =
= 5x(x + 3) – 2(x + 3) =
Observa bien que en este último paso empleamos la factorización por
=(x + 3) (5x – 2) Factorización del trinomio de la forma ax2+bx+c
3.8 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE
CUADRADOS
Habíamos visto que (a + b) (a – b) = a2 – b2. Esto es, que el producto de binomios conjugados resulta ser una diferencia de cuadrados. Entonces se cumple que:
Es decir, la factorización de una diferencia de cuadrados es un producto de binomios conjugados, los cuales están formados por términos que son:
• El término común es la raíz cuadrada del minuendo a2
• Los términos simétricos son la raíz cuadrada del sustraendo b2
. Ejemplo 1 • Factorizar 1 – a2 Solución: a2 – b2 = (a + b) (a – b) 1 – a2 = (1)2 – (a)2 = (1 + a) (1 – a)
Raíz cuadrada del minuendo (términos comunes) Raíz cuadrada del sustraendo
Ejemplo 1 • Factorizar x4 – 9 2 y Solución: 9 2 4 y x − =
( )
2 2 2 2 3 y x = − + 3 3 2 2 y x y xRaíz cuadrada del minuendo (términos comunes)
3.9 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO
PERFECTO (T.C.P.)
Recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto el trinomio que resulta del producto notable denominado cuadrado de un binomio.
Así en (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, el trinomio a2 + 2ab + b2 es un trinomio cuadrado perfecto. En él se aprecia que está formado por dos términos, al menos, cuyo valor absoluto tiene raíz cuadrada exacta y, un tercer término que es, en valor absoluto, el doble de las raíces cuadradas mencionadas.
Esto es, en a2 + 2ab + b2: • a2
tiene raíz cuadrada exacta. • b2
tiene raíz cuadrada exacta.
• 2ab es el doble producto de estas dos raíces: 2(a)(b) = 2ab Entonces la factorización de a2 + 2ab + b2 es (a + b) (a + b)
Esto quiere decir que los factores de a2 + 2ab + b2 son a + b y a + b, y que
los términos a y b que los forman son las raíces cuadradas de los términos cuadráticos a2 y b2, respectivamente.
Entonces, para factorizar un T.C.P. primero habrá que identificarlo como tal.
Trinomios Cuadrados Perfectos (T.C.P.)
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a su binomio al cuadrado respectivo.
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
Ejemplo 1
• Factorizar x2
+ 6x + 9
Solución:
Vamos a identificar si el trinomio es T.C.P. x2 + 6x + 9
Raíz cuadrada de 9 es 3
Doble producto de las raíces cuadradas: 2(3)(x) = 6x. Raíz cuadrada de x2 es x.
Como los tres términos quedaron identificados, el trinomio dado es T.C.P. Entonces, x2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = (x + 3)2Factorización de un T.C.P.
El signo (+) entre los términos x y 3 en el binomio es el del término que sirve de comparación (+ 6x) para 2ab en el trinomio dado.
Ejemplo 2 • Factorizar 4x2 + 9y2 – 12xy Solución: Identificando al trinomio: 4x2 + 9y2 – 12xy
Doble producto de las raíces cuadradas: 2(3y)(2x) = 12xy, que coincide, en valor absoluto con el término (– 12xy) Raíz cuadrada de 9y2 = 3y.
Raíz cuadrada de 4x2 = 2x.
Entonces, 4x2 + 9y2 – 12xy = (2x – 3y) (2x – 3y) = (2x – 3y)2Factorización del T.C.P.
Ejemplos resueltos: 1.
2. 3. 4.
Organizando los términos tenemos
3.10 FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA Y DIFERENCIA DE
CUBOS
Procedimiento de factorización
1) Se extrae la raíz cúbica de cada término en la suma de cubos original.. 2) Se debe formar un producto de dos factores.
3)
Se determina el primero de los dos factores de que constará el resultado. Este primer factor siempre es un binomio y para determinarlo se suman las raíces cúbicas de los términos de la suma de cubos.
4)
El segundo factor se determina aplicando siempre la siguiente regla: “El
cuadrado de la primera raíz cúbica obtenida del primer término en la suma de cubos original, menos el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz cúbica obtenida del segundo término en la suma de cubos original.” Ejemplo 1: Factorizar x3 + 1 Solución: 1. La raíz cúbica de : x3 es x 2. La raíz cúbica de : 1 es 1 3. Según procedimiento x3 + 1 = (x + 1)[(x)2 - (x)(1) + (1)2]
Luego x3 + 1 = (x + 1)(x2 – x + 1)
Factorización de la suma de cubos.
Ejemplo 2: Factorizar 8x3 + 64
Solución:
Factorización de una Suma de Cubos
1. La raíz cúbica de : 8x3 es 2x 2. La raíz cúbica de : 64 es 4
3. Según procedimiento 8x3 + 64 = (2x + 4)[(2x)2 - (2x)(4) + (4)2]
Luego 8x3 + 64 = (2x + 4)(4x2 - 8x + 16)
Factorización de la suma de cubos.Ejemplo 3: Factorizar 1000x6y3 + 125z12w15 Solución: 1. La raíz cúbica de : 1000x6y3 es 10x2y 2. La raíz cúbica de : 125z12w15 es 5z4w5 3. Según procedimiento 1000x6y3125z12w15 = (10x2y + 5z4w5) [(10x2y)2 - (10x2y)(5z4w5) + (5z4w5)2] Luego,1000x6y3 + 125z12w15 = (10x2y + 5z4w5)(100x4y2 - 50x2yz4w5 + 25z8w10)
Procedimiento de factorización
1) Se extrae la raíz cúbica de cada término de la diferencia de cubos original. 2) Se debe formar un producto de dos factores.
3)
Se determina el primero de los dos factores de que constará el resultado. Este primer factor siempre es un binomio y para determinarlo se restan las raíces cúbicas de los términos de la suma de cubos.
4)
El segundo factor se determina aplicando siempre la siguiente regla: “El
cuadrado de la primera raíz cúbica obtenida del primer término en la suma de cubos original, más el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz cúbica obtenida del segundo término en la suma de cubos original.”
Factorización de una Diferencia de Cubos
Ejemplo 1: Factorizar y3 - 27
Solución:
1. La raíz cúbica de : y3 es y 2. La raíz cúbica de : 27 es 3
3. Según procedimiento y3 - 27 = (y - 3)[(y)2 + (y)(3) + (3)2]
REFERENCIAS
Aula Virtual de Matemática. (Última actualización 2010) Consultado en Enero 10, 2010 en http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/sdcubos.htm
Fundación Wikimedia (2001) “Wikipedia. La Enciclopedia Libre” Consultado en Julio 28, 2009 en http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_enteros
Fernández, J.C. (2008) “Vitutor.com sitio web de libre acceso, y con contenidos
gratuitos para todos sus usuarios”. Consultado en Mayo 23, 2009 en http://www.vitutor.com/ab/p/a_1.html#
Matemáticas I para bachillerato: enfoque por competencias. Santiago Valiente
Barderas y Santiago Igor Valiente Gómez. Limusa. México, 2009. p. 151-171-
Matemáticas Simplificadas. Arturo Aguilar Márquez, Fabián Valapai Bravo
Vázquez y otros. Pearson. México, 2009. p. 332.
