LOS NÚMEROS RACIONALES.

(1)

Tal parece que en los pueblos primitivos no existió la necesidad de utilizar los números que hoy conocemos con el nombre de fracción. Los primeros testimonios jeroglíficos egipcios nos muestran que ellos conocían las fracciones con numerador 1 (las inversas de los números naturales). Así mismo, empleaban la fracción

3 2. La información que se tiene acerca de los sumerios y los babilonios, es que ellos también trabajaron con las fracciones unitarias y posiblemente con las decimales.

Al mirar los antecedentes históricos del uso de las fracciones, nos damos cuenta que ellas presentaron en su momento dificultades que actualmente percibimos en nuestros escolares. Este concepto y las operaciones en torno a ellas, tienen su complejidad la cual comprobamos diariamente. Estas dificultades pueden surgir por la descontextualización de su aprendizaje, conceptos erróneos asociados con la acción de fraccionar, descono- cimiento de las relaciones con otros números, manejo inapropiado del material concreto, etc.

Frecuentemente nos encontramos con situaciones en las que es preciso dividir un todo en partes, repartir un conjunto de objetos en partes iguales o medir una cierta cantidad de una magnitud que no es múltiplo de la unidad de medida. Para resolver estas situaciones prácticas, tenemos necesidad de expresar el cociente de dos números naturales (en los casos en que no es un número natural) . Ello nos lleva a la idea de fracción y tras un proceso de abstracción a la introducción de los números racionales.

DIFERENTES INTERPRETACIONES.

Comencemos analizando las diversas interpretaciones que se le puede dar a la idea de fracción y luego estu- diamos los números racionales y sus operaciones.

A. RELACIÓN PARTE – TODO Y MEDIDA.

Esta situación se refiere cuando un todo (continuo o discreto) es dividido en partes congruentes (equivalentes como cantidad de superficie o cantidad de objetos). La fracción es empleada para representar la re- lación existente entre el número de partes y el número total de partes. El todo es denominado unidad Ejemplos:

a. Representaciones continuas. En este contexto lo más usual es utilizar diagramas rectangulares o cir- culares:

De las cuatro partes del todo, hemos sombreado una: 1 de las 4,

ó 1 / 4

De las dieciseis partes del todo, hemos sombreado cuatro: 4 de las

16, ó 1 / 4

De las siete partes del todo, hemos resaltado cinco: 5 de las 7, o 5 / 7 b. En un contexto discreto:

El todo lo constituyen las 6 calabazas.

Hemos sombreado 4 de ellas para diferenciarlas de las que aprarecen en blanco. Decimos cuatro partes del todo, y escribimos 4 / 6

Aquí el todo lo constituyen los 8 gatos.

Como hay 4 blancos, decimos cuatro partes del todo, y escribimos 4 / 8

En este caso tenemos objetos discretos que han sido agrupados. El todo lo constituyen los tres grupos y como hemos agrupado dos de ellos, nos resulta representada la fracción 2 / 3

(2)

c. Decimales.

Empleamos la representación continua y el modelo del rectángulo, considerándolo como unidad y dividiéndolo en potencias de 10:

Unidad

La unidad dividida en 10 part iguales. La región sombreada corresponde a 1 / 10

d. Recta numérica.

En esta situación, la fracción a / b es asociada con un punto de la recta numérica. En ella, cada unidad entera es dividida en “b” unidades (o múltiplos de b) y de ellas se escogen “a” partes. Esta re- presentación puede considerarse como un caso de la relación parte todo.

0 1 2 3

B C

A

En el dibujo, hemos considerado b = 4, de modo que cuando a = 2 estaremos ubicados en A. La letra B sirve para representar 1 + 1 / 4 = 5 / 4

B. LAS FRACCIONES COMO COCIENTE.

En este caso, la fracción se asocia con la operación de dividir un número natural entre otro (a ÷ b = a / b).

En este contexto, la fracción tiene un doble aspecto:

i. La fracción 3 / 5 es vista como una división indicada, estableciéndose la equivalencia entre 3 / 5 y 0,6 en una acción de reparto.

ii. Considerar las fracciones (números racionales) como elementos de una estructura algebraica.

Esto es, como elementos de un conjunto numérico en el cual se define una relación de equivalencia y en el conjunto cociente resultante unas operaciones.

a. División indicada.

Esta interpretación surge en una situación de reparto:

Se desean repartir 3 barras de chocolate entre 5 niños. ¿Cuánto le toca a cada uno?

Se divide cada barra en 5 partes iguales y a cada niño le corresponderá 3 / 5 b. Como elemento de un cuerpo cociente.

Aquí las fracciones son vistas como elementos de una estructura algebraica. Se conciben las fracciones como objetos de la forma a / b, siendo a y b números enteros, b ≠ 0. En este caso a / b, corresponde a la solución de la ecuación b · x = a.

C. LA FRACCIÓN COMO RAZÓN.

Las fracciones son empleadas como índice comparativo entre dos cantidades de una magnitud (compara- ción de situaciones).

Ejemplos:

A

B

La relación entre los cuadritos de A y los de B es de 3 / 5 ( 3 : 5)

La altura del muñeco en A es 3 / 5 ( 3 : 5) de la de B

A

B

(3)

a. Probabilidades.

Se establece una comparación todo – todo entre un conjunto de casos favorables y el conjunto de casos posibles. Por ejemplo:

• En una bolsa hay 3 bolas negras y 2 blancas. Sacando aleatoriamente una bola, ¿cuál es la probabilidad de que salga negra?.

• Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de salir un 6?.

b. Porcentajes.

La relación de proporcionalidad entre un número y 100, recibe el nombre de porcentaje. General- mente los porcentajes tienen asignado un significado de operador. Por ejemplo al decir el 15 % de mil, se mira actuando a la fracción 15 / 100 sobre 1000 (hacer 100 partes de mil y coger 15). Em- pleando el lenguaje de aplicaciones, los porcentajes pueden verse como el establecimiento de relaciones entre conjuntos. Así cuando hablamos de un descuento del 15 % en un artículo, estamos estableciendo una relación de “15 a 100” de modo que por un producto que cueste $ 300 tendríamos:

$15

$100

De manera que existe la misma relación de “15 a 100” como de “45 a 300”.

D. LA FRACCIÓN COMO OPERADOR.

En esta interpretación, las fracciones son vistas bajo el papel de “transformaciones”: algo que actúa sobre una situación (estado) y la modifica. Por ejemplo: en un contexto discreto, si tomamos como situación inicial un grupo conformado por 36 niños de un grupo escolar, el efecto de aplicar el operador 2 / 3 se puede representar en la matriz

Estado inicial Operador Estado final 36 niños

Dividir entre 3 y multiplicar

por 2

24 niños En esta interpretación, las fracciones se emplean en un doble aspecto:

• Describiendo una orden, una acción a realizar (operador)

• Describiendo un estado de cosas, es decir, describiendo una situación.

El ejemplo anterior es una muestra de esta situación.

Cuando representamos el estado inicial con la unidad, el resultado de aplicarle el operador “dos tercios”

nos resulta el estado final 2 / 3:

Estado inicial Operador Estado final

1 x ( 2 / 3 ) 2 / 3

Utilizando este doble aspecto, puede establecerse la equivalencia de fracciones:

i. Equivalencia de operadores. Operadores fraccionarios diferentes que al actuar sobre un mismo estado inicial, producen el mismo efecto final:

12 x ( 2 / 3 ) 8

12 12

x ( 4 / 6 ) x ( 8 /12 )

8 8

(4)

ii. Equivalencia de estados. Un mismo operador que al actuar sobre estados unidad diferentes, pro- duce la misma transformación (comparando el estado final con el inicial):

12 x ( 2 / 3 ) 8

15 24

10 16 x ( 2 / 3 )

x ( 2 / 3 )

MATERIALES DE APOYO PARA TRABAJAR LAS FRACCIONES.

1. Reglas de Cuisenaire.

Las regletas de Cuisenaire son una colección de paralelepípedos rectangulares de igual sección, pero de color y longitud diferente. La más pequeña es de un centímetro de largo y la más larga es de 10 centímetros. A continuación te presentamos un juego de ellas, vistas desde arriba:

1 cm 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm 6 cm

7 cm 8 cm 9 cm

1 0 cm

B Roja Verde Claro Violeta Amarilla Verde Oscuro

Negra Marrón Azul

Naranja

ACTIVIDADES.

COMPARANDO LAS REGLETAS.

a. ¿Qué parte de cada una de las otras reglas es la regla blanca?

b. ¿Qué parte de las regletas verde claro, violeta, amarilla, verde oscuro, negra, marrón, azul y naranja, es la regla roja?

c. ¿Qué parte de las regletas, violeta, amarilla, verde oscuro, negra, marrón, azul y naranja, es la regla verde claro?

d. ¿Qué parte de las regletas, amarilla, verde oscuro, negra, marrón, azul y naranja, es la regla violeta?

e. ¿Qué parte de las regletas, verde oscuro, negra, marrón, azul y naranja, es la regla amarilla?

f. ¿Qué parte de las regletas, negra, marrón, azul y naranja, es la regla verde oscuro?

g. ¿Qué parte de las regletas, marrón, azul y naranja, es la regla negra?

h. ¿Qué parte de las regletas, azul y naranja, es la regla marrón?

i. ¿Qué parte de la regleta naranja, es la regla azul?

j. Representar los fraccionarios ½ y ¾, usando como denominador la regla de color violeta.

k. Qué fracción representa el siguiente arreglo:

B

Verde Oscuro

l. Empleando como denominador la regla verde oscuro, representar los siguiente fraccionarios:

a. ½ b. 2/3 c. 5/6 d. 2/6

m. Disponer las reglas de modo que representen las siguiente fracciones, usando como denominador la ma- rrón:

b. 4/8 b. ¾ c. 3/8 d. 2/8 e. 5/8

(5)

n. Si colocamos la regla roja a continuación de la naranja, tendremos una nueva regla que llamaremos NARO, la cual consideraremos como una unidad. Representa cada una de las siguientes fracciones usando como denominador la regla NARO:

c. 7/12 b. ½ c. 1/3 d. ¼ e. 5/6

IDENTIFICANDO EL NUMERADOR Y EL DENOMINADOR.

o. En los siguientes arreglos, la primera regla (de izquierda hacia derecha) corresponderá al numerador y la segunda al denominador. Escribe la fracción asociada a cada uno:

a) ^B ^Roj b) c) d)

a Roja VerdeClaro VerdeClaro Roja VerdeClaro Violeta

g)

e) f) h)

Amarilla VerdeOscuro Violeta VerdeClaro VerdeClaro Amarilla VerdeOscuro Violeta

2. Plegado de papel.

Materiales: Hojas de papel de bloc tamaño oficio, regla, tijeras, lápices de colores diferentes.

Con los materiales anteriores, elaborar tiras rectangulares de longitud el largo de las hojas y ancho dos centí- metros. Cada una de estas bandas, representará la unidad.

Construyendo fracciones:

• Medios. Se dobla una tira de modo que coincidan los extremos angostos. Se aplana y se desdobla. La tira queda dividida en dos regiones, cada una corresponde a la mitad de ella y representa 1 / 2 de toda su superficie.

• Tercios. Se enrolla la tira una vuelta y media. Desdoblar y marcar por el doblez. Cada región comprendida entre dos marcas o entre una marca y uno de los extremos, representa un tercio.

• Cuartos. Se dobla para obtener medios y después nuevamente en medios.

• Quintos. Se enrolla dos vuelta y media

(6)

• Sextos. Existen tres modos diferentes de obtenerlos:

a. Doblar por la mitad y luego en tercio.

b. Doblar en tercios después cada tercio en mitad.

c. Enrollar para tener 3 vueltas.

• Séptimos. Enrollar 3 vueltas y media.

3. Tangram.

Descripción: El Tangram fue inventado hace años por los chinos. Es un cuadrado formado por en siete piezas. Con sus piezas se pueden forman una gran variedad de formas. Este rompecabezas nos proporciona un excelente medio para explorar las partes fraccionarias de un todo.

Materiales: Hojas de papel cuadriculado, regla, tijeras, pegante, cartón paja ( 1 / 8 ), lápiz.

Construyendo un tangram:

a. Dibuja un cuadrado de 10 cm de lado.

b. Traza los segmentos sugeridos por la figura de la izquierda a continuación. El de la derecha puede ser útil para la comparación:

c. Pega el papel cuadriculado en el cartón paja y recorta las piezas, siguiendo las líneas de división.

Comparando las piezas del tangram con el cuadrado que las generaron.

Si escogemos como unidad lineal el lado del cuadrado grande, ¿qué parte del cuadrado unidad es cada una de las siguientes piezas?:

Figura Área Cuadrado grande 1

Triángulo recto grande Cuadrado pequeño Triángulos rectos pequeños

Triángulo recto mediano

Paralelogramo

FRACCIONES EQUIVALENTES.

Existen infinitas fracciones que sirven para representar la misma situación. Todas ellas forman una clase de equivalencia.

En la siguiente figura, mostramos dos casos de fracciones equivalentes. En el primero tenemos un cuadrado que se ha dividido en cuatro partes iguales y se sombreó una, la cual representa 1 / 4 de todo el área del cua-

(7)

drado. A su lado mostramos el mismo cuadrado, pero dividido en ocho regiones iguales. En este caso la re- gión sombreada representa 2 / 8 del área del cuadrado. Como estos números corresponden a la misma región, decimos que son equivalentes. Otro tanto ocurre con los hexágonos dibujados a la derecha de los cuadrados.

En estos casos decimos que 1 / 6 es equivalente a 2 / 12.

Podemos escribir:

8 2 41 = y

12 2 61 =

Fracciones equivalentes en la recta:

Divide cada unidad de las siguientes rectas, en las partes indicadas. Escribe el fraccionario que representa a cada una de las divisiones. Encierra en cada recta, usando en cada caso un color diferente, los puntos correspondientes a fracciones equivalentes en todas las rectas.

dos partes

tres partes

cuatro partes

seis partes

ocho partes

0

1

1 2

2 2 2

2 3

3 3

3

Fracciones equivalentes con las reglas de Cuisenaire.

Usando reglas del mismo color para el numerador y para el denominador, hallaremos Fracciones que representen la misma situación y cuyos denominadores tengan la misma medida de la regla indicada:

• Representa con reglas Blancas la fracción 2 / 8. Usa ahora reglas Rojas para representar la anterior situación. ¿Cuál es la fracción ilustrada en este caso?.

• Representa con reglas Blancas la fracción 4 / 8. Usa reglas Rojas para representar la anterior situa- ción. ¿Cuál es la fracción ilustrada en este caso?. Usa ahora reglas Violetas para representar la misma situación. ¿Cuál es la fracción ilustrada en este caso?.

• Representa con reglas Blancas la fracción 6 / 8. Usa reglas Rojas para representar la anterior situa- ción. ¿Cuál es la fracción ilustrada en este caso?.

• Representa con reglas Blancas la fracción 2 / 10. Usa reglas Rojas para representar la anterior situa- ción. ¿Cuál es la fracción ilustrada en este caso?.

• Representa con reglas Blancas la fracción 4 / 10. Usa reglas Amarillas para representar la anterior si- tuación. Cuál es la fracción ilustrada en este caso?.

(8)

CARACTERIZACIÓN DE LAS FRACCIONES EQUIVALENTES.

Dos fracciones a / b y c / d son equivalentes si se cumple “la igualdad de los productos cruzados”, o sea:

a · d = b · c.

En efecto, si a · d = b · c, dividiendo ambos miembros entre b . d y simplificando se obtiene,

d b

c b d b

d a

·

· = que

al simplificarse nos da d c

ba = . Y viceversa, si multiplicamos ambos miembros de esta igualdad por b · d y simplificamos se obtiene a · d = b · c

Esta relación cumple las tres condiciones exigidas a las llamadas relaciones de equivalencia, o sea:

• Reflexiva: toda fracción es equivalente a sí misma;

• Simétrica: si una fracción x es equivalente a otra fracción y e y es equivalente a x, entonces x e y son la misma fracción;

• Transitiva: si una fracción x es equivalente a otra fracción y e y es equivalente a otra fracción z, en- tonces x y z son equivalentes

Es importante destacar que en la mayor parte de las situaciones, las fracciones equivalentes se usan indistin- tamente. Intuitivamente vemos que dos fracciones equivalentes, tales como 2 / 3 y 4 / 6 se refieren a una misma cantidad si se trata de una magnitud o a una misma razón si se trata de una comparación. Lo mismo ocurre con todas las fracciones equivalentes a la dada: 3 / 9, 20 / 30, 200 / 300, etc. Esta idea intuitiva se for- maliza introduciendo los números racionales.

Número racional

El conjunto de las fracciones queda dividido en “clases de equivalencia”, cada una de ellas formada por todas las fracciones equivalentes entre sí. Cada una de las clases se dice que es un número racional; y el conjunto de todas las clases, el conjunto de los números racionales Q .

Si H = {(a , b ) ∈ Z x Z: b ≠ 0 }, la relación ( a , b ) ~ ( c , d ) si a · d = b · c , es una relación de equivalencia en H. Se emplea la letra Q para representar el conjunto cociente H / ~ . Los elementos de Q son llamados números racionales ( o números fraccionarios); a / b sirve para representar la clase de equivalencia [(a , b )]

Esta descripción abstracta se puede interpretar desde un punto de vista más intuitivo:

El número racional [2/3] = {2/3, 4/6,...} lo identificamos con la fracción 2/3 cuando es usada como represen- tante de cualquier otro miembro de la clase de fracciones equivalentes a 2/3.

Las distintas fracciones de una misma clase de fracciones equivalentes son todas ellas diferentes unas de otras. Cuando escribimos que

15 9 10

6 5

3= = , estas tres fracciones como tales fracciones, no son iguales entre sí, sino equivalentes (se puede sustituir una por otra). Pero todas estas fracciones representan la misma clase de equivalencia, el mismo número racional. Por ello se usa el símbolo de igualdad.

La equivalencia de fracciones es la propiedad que justifica varias técnicas importantes de manipulación de racionales. Una de ellas es la técnica de “simplificación de fracciones” que nos permite pasar de una fracción a la fracción irreducible equivalente a ella y que consiste en dividir numerador y denominador por el máximo común divisor de ambos números. Otra técnica es la de “reducir a común denominador” o “reducir a común numerador” varias fracciones, técnica consistente en elegir fracciones equivalentes a las dadas, todas ellas con el mismo denominador o con el mismo numerador, para lo cual hay que buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores o numeradores.

Fracciones irreducibles: Cuando trabajamos con un número racional, conviene designarlo por la fracción más simple posible, como por ejemplo, 3/5 en el ejemplo anterior. Estas fracciones que no se pueden simplifi- car (dividiendo numerador y denominador por el mismo número) se llaman fracciones irreducibles.

(9)

Números racionales particulares

• Todo número entero es un racional, pues cualquier entero se puede escribir en la forma de fracción:

0 = 0 / 1 = 0 / 2 =...

1 = 1 / 1 = 2 / 2 =...

2 = 4 / 2 = 6 / 3 =...

• Todo número decimal finito o periódico, es un racional, pues todo número decimal se puede escribir bajo la forma de una fracción cuyo denominador es una potencia de diez:

1 , 2 = 12 / 10 (= 6/5); 34 , 56 = 3456 / 100; 0, 333333... = 1 / 3

En consecuencia, el conjunto de los enteros y el de los decimales son subconjuntos de Q, el conjunto de los números racionales.

PRIMERAS PROPIEDADES DEL NÚMERO RACIONAL POSITIVO

1. Si a ≠ b, los números racionales representados por las fracciones a / b y b / a son distintos: uno de ellos es el inverso del otro.

2. El denominador de una fracción no puede ser cero, el numerador si puede serlo.

3. El racional 0 es el que tiene como representante cualquier fracción de la forma 0 / b.

4. Las fracciones con numerador igual al denominador son equivalentes y representan al número racio- nal uno ( 1 ).

5. El numerador de una fracción puede ser mayor, igual o menor que el denominador y en consecuencia hay números racionales mayores, iguales o menores que la unidad.

6. Los fracciones de denominador uno ( 1 ) representan a los números naturales que son, por tanto un subconjunto de los racionales.

7. Entre dos racionales a / b y c / d , existe otro número racional ( basta escoger ( a + c ) / ( b + d ) ).

8. Existen infinitos números racionales. Es muy conocida la demostración de este hecho, estableciendo la correspondencia de N con Q, de la siguiente manera ( se sigue la flecha):

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

...

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

...

(2,6)

...

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

...

... ... ... ... ... ... ...

1 2 3 4

(1,1) (2,1) (1,2) (1,3)

...

COMPARACIÓN DE RACIONALES.

Podemos emplear diferentes estrategias para comparar fracciones. Revisemos la que emplea bandas rectangu- lares a las que denominaremos cintas fraccionadas:

Escribe la parte fraccionaria de la cinta que corresponde a cada parte:

unidad

Cada parte es __________ del total Cada parte es __________ del total.

Cada parte es __________ del total.

(10)

Ahora, usa las fracciones de las cintas anteriores para comparar fracciones y responder las siguientes cuestio- nes, de acuerdo con el tamaño de la banda, asociada con cada fracción :

Escribe el signo> o < entre cada par de fracciones.

a) 2 1

3

1 b) 4 1

3

1 c) 3 2

2

1 d) 4 3

3 2 e)

2 1

4 3

¿Cómo podemos utilizar el “producto cruzado” para comparar fracciones?.

OPERACIONES CON FRACCIONES.

1. Adición (sustracción).

A. Utilizando modelos continuos (regiones del plano)

I. Sombrea las partes correspondientes a las fracciones que se indican:

a. ¿Cuál es el fraccionario que representa a esta suma?.

b. ¿Cómo puedes obtener el fraccionario que representa la suma, a partir de sumandos?.

II. Sombrea las partes correspondientes a las fracciones que se indican:

+ =

5 / 12 4 / 12

?

a. ¿Cuál es el fraccionario que representa a esta suma?.

III. Sombrea las partes correspondientes a las fracciones que se indican:

a. ¿Cuál es el fraccionario que representa a esta suma?

b. ¿Cómo puedes obtener el fraccionario que representa la suma, a partir de sumandos?

(11)

IV. Sombrea las partes correspondientes a las fracciones que se indican:

+ =

3 / 12 2 / 4 ?

a. ¿Cuál es el fraccionario que representa a esta suma?

V. La sustracción puede realizarse de acuerdo con lo sugerido en el siguiente dibujo:

B. En el Tangram.

Conociendo la parte fraccionaria de cada pieza, se “juntan” para obtener su adición. Mostramos los siguientes ejemplos:

2 / 16 1 / 16

+ =

^{2 / 16}

1 / 16

1 / 16 + 2 / 16 = 3 / 16

a)

2 / 16

+ =

2 / 16

2 / 16 + 2 / 16 = 4 / 16

b)

(12)

1 / 4

2 / 16

+ =

^{2 / 16}

1 / 16

1 / 16 1 / 16

1 / 16

1 / 4

1 / 4 + 2 / 16 = 6 / 16

c)

C. Plegando papel.

I. Adición. Mostramos el proceso con ( 1 / 2 ) + ( 1 / 3 ):

a. Plegamos para tener un medio y marcamos la división con color definido:

1 / 2 1 / 2

b. En otra tira, plegamos para tener un tercio y hacemos las marcas correspondientes a las divisiones.

1 / 3 1 / 3 1 / 3

c. Situamos la porción de tira correspondiente a un tercio, a continuación de la marca que divide la primera tira en dos regiones y marcamos su extremo:

1 / 2 1 / 3

Exceso de tira. Doblar en acordeón

d. Plegamos en “acordeón” el exceso de tira, para determinar que parte del total representa:

1 / 3

1 / 2

tira desdoblada después de plegar por el exceso señalado anteriormente

Se observa que ( 1 / 2 ) + ( 1 / 3 ) es cubierta por 5 porciones de regiones y que cada una de éstas es ( 1 / 6 ) de toda la tira. En consecuencia: ( 1 / 2 ) + ( 1 / 3 ) = 5 / 6

II. Sustracción. Mostramos el proceso con ( 1 / 2 ) – ( 1 / 3 ):

a. Plegamos para tener un medio y marcamos la división con color definido:

1 / 2 1 / 2

b. Ahora plegamos la anterior tira para tener tercios y marcamos los puntos de división. La po- ción de tira comprendida entre las marcas de (1 / 2) y (1 / 3) corresponde a su diferencia:

(13)

1 / 2 1 / 2

1 / 3 1 / 3 1 / 3

(1 / 2) - ( 1 / 3)

c. Para determinar que parte de la tira es esta porción, plegamos en “acordeón” y luego desdoblamos:

1 / 2 1 / 2

1 / 3 1 / 3 1 / 3

(1 / 2) - ( 1 / 3) = ( 1 / 6 )

D. Usando las reglas de Cuisenaire.

MINÍMO COMUN MÚLTIPLO.

Para hallar el m.c.m de 2 y de 3, escogemos las reglas roja y verde claro. Formamos con ellas, “trenes” (múltiplos de cada una de ellas) cuyas longitudes coincidan:

Para encontrar el m.c.m de 3 y de 4, escogemos las reglas verde claro y violeta. Formamos con ellas los “trenes” cuyas longitudes coincidan:

Para sumar o restar fracciones, cuando tienen diferentes denominadores, seguiremos el proceso ilustrado en el siguiente ejemplo:

3 1 21 + .

• Se representa cada sumando con las reglas.

B

Roja

B

Verde Claro

• Se convierte cada sumando en otra fracción equivalente. Para ello se halla el m.c.m de los denominadores:

B Roja

B Verde Claro Roja Roja Roja

Verde Claro Verde Claro Verde Oscuro

m.c.m

( Porque si hay una blanca por una roja, habrán 3 blancas por las 3 Rojas del m.c.m) Verde Oscuro

Verde Oscuro

B B B

B B ( Porque si hay una blanca por una verde claro, habrán 2 blancas por las 2 verde claro del m.c.m)

(14)

• Respondemos a la pregunta: ¿Cuántos sextos hay en total?.

Verde Oscuro Verde Oscuro

B B B B B

3 / 6 + 2 / 6

=

5 / 6

E. Empleando la recta numérica.

Observa las siguientes figuras. ¿En cuantas partes se ha dividido la unidad en cada una de las rectas nu- méricas dibujadas?. En ellas, llamaremos primera flecha la que comienza en cero y segunda flecha la que se coloca a continuación (más oscurecida). Cada flecha puede representarse mediante un número Racio- nal. La flecha colocada debajo de cada dibujo corresponde a un racional que representa el tamaño de las dos flechas, cuando ellas se unen. Completa la tabla:

0 1

2 3

0 1

1 2

0

1 2

0

2 a)

b)

c)

d)

Racional para la primera flecha

Racional para la segunda flecha

Racional para la flecha grande

Operación aritmética

e) Para cada dibujo, ¿Cómo es el denominador de cada racional que representa a las Flechas?.

f) ¿Qué conclusión puedes escribir para realizar directamente la operación aritmética entre este tipo de Racionales?.

Ahora observa estas otras figuras y completa la siguiente tabla:

0 1

2 3

0 1

1 2

0

1 2

0

2 a)

b)

c)

d)

Racional para la primera flecha

Racional para la segunda flecha

Racional para la flecha grande

Operación aritmética

(15)

e) Para cada dibujo, ¿Cómo es el denominador de cada racional que representa a las Flechas?

f) ¿Cómo se puede obtener directamente el fraccionario que representa a la flecha grande, a partir de los fraccionarios que representan a las otras flechas?.

La sustracción usando este modelo, puede realizarse en forma parecida a la adición.

Efectuaremos 2 1 85 − Partir de cero, en la recta:

0 1 2 3

Situar el fraccionario minuendo. En el extremo derecho del segmento que lo representa, colocamos hacia la izquierda, un segmento que tenga el tamaño del sustraendo. ¿Hasta que punto llega el extremo iz- quierdo del sustraendo?

2. Multiplicación.

A. Usando la recta numérica.

Recordando que la multiplicación puede interpretarse como una adición de sumandos iguales, veremos como se multiplica un entero por un fraccionario. En el dibujo, las flechas de arriba se han colocado una a continuación de otra:

0 1

2 3

0 1

2

a)

b)

Racional para las flechas encima de

la recta

Racional para la flecha debajo

de la recta

Adición Adición

Abreviada

1 2

0

1 2

0

c)

d)

Observa la escritura abreviada y el racional que representa a las flechas situadas debajo de la recta. ¿Qué se puede concluir?

B. Modelo de un plano.

Consiste en trabajar en un sistema de coordenadas cartesianas. La unidad será el área del cuadrado unita- rio Se coloca cada factor en uno de los ejes, a partir del cero. Se trazan paralelas por los extremos de los segmentos correspondientes a cada racional para después determinar que parte del cuadrado unidad es la región creada: Por ejemplo para el producto

2 x1 2 1

(16)

El área de la región sombreada representa dicho producto y es ( 1 / 4 ) del área del cuadrado unidad. Por lo tanto: ( 1 / 2 ) x ( 1 / 2 ) = ( 1 / 4 )

C. Modelo continuo. Ilustremos con los tres cuartos de un medio:

( 1 / 2 )

La región sombreada representa los ( 3 / 4 )

de ( 1 / 2 )

1 La región sombreada

representa los ( 3 / 8 ) de la unidad

Por lo tanto ( 3 / 4 ) x ( 1 / 2 ) = ( 3 / 8 )

D. Plegando papel.

Existen diferentes maneras de doblar una tira en seis partes iguales. Una de ellas, es doblarla en 3 y des- pués en 2. En este hecho, se basa la multiplicación. Se trata de hallar la mitad de un tercio:

a. Doblar en tercios:

b. Teniendo la tira doblada en tercios, doblamos por la mitad y desdoblamos:

c. Finalmente desdoblamos y tendremos que: ( 1 / 2 ) de ( 1 / 3 ) o ( 1 / 2 ) x ( 1 / 3 ), es ( 1 / 6 ).

3. División.

A. Modelo continuo.

Veamos como funciona este modelo, teniendo en cuenta que la división puede mirarse determinando las veces que un número está contenido en otro.

¿Cuántas veces cabe 1 / 9 en 2 / 3?.

Observemos las figuras:

1 unidad ( 2 / 3 ) de la unidad ( 2 / 3 ) divididos en 6

partes iguales

(17)

Puede apreciarse que cada una de las regiones sombreadas de la última figura es (1 / 9 ) del total.

Concluimos que ( 1 / 9 ) está contenido 6 veces en ( 2 / 3 ), por lo tanto ( 2 / 3 ) ÷ ( 1 / 9 ) = 6 Otro ejemplo: ¿Cuántas veces cabe ( 1 / 10 ) en ( 3 / 5 )?

1 unidad ( 3 / 5 ) de la unidad Dividimos cada quinto en 2 partes iguales

Puede observarse que cada una de las regiones sombreadas de la última figura es (1 / 10 ) del total.

Concluimos que ( 1 / 10 ) está contenido 6 veces en ( 3 / 5 ), por lo tanto ( 3 / 5 ) ÷ ( 1 / 10 ) = 6 B. Plegando papel.

También se basa en la técnica anterior de la división a saber: Preguntar cuantas veces está contenido un número en otro. Veamos el siguiente ejemplo: ¿Cuántos octavos hay en ( 3 / 4 )?. O su equivalente, hallar el cociente de ( 3 / 4 ) ÷ ( 1 / 8 ):

1 unidad ( 3 / 4 ) de la unidad. La fracción no marcada, la doblamos hacia atras 1 / 4 1 / 4 1 / 4

Otra cinta doblada en octavos

Ahora comparamos los octavos con los ( 3 / 4 ):¿cuántos octavos hay en ( 3 / 4 )?.

Comparando los octavos con los ( 3 / 4 )

Se observa que en ( 3 / 4 ) hay 6 octavos. Por los tanto: ( 3 / 4 ) ÷ ( 1 / 8 ) = 6 Cuando el cociente no es un número entero, la situación no es tan fácil.

Por ejemplo: ( 2 / 5 ) ÷ ( 1 / 3 ), o , ¿cuánto tercios hay en ( 2 / 5 )?.

• Doblar dos tiras, una en quintos y otra en tercios. Señalar los ( 2 / 5 ):

1 / 3 1 / 5

1 / 5

• Comparemos los dos quintos con un tercio. ¿cuántos tercios hay en dos quintos?.

( 1 / 5 ) ( 1 / 5 )

( 1 / 3 ) ( 1 / 3 ) ( 1 / 3 )

( 1 / 3 ) ( 1 / 3 )

Vemos que un tercio cabe un a vez más la región sombreada. Ahora debemos determinar cuán- tas de estas regiones sombreadas hay en un tercio. Para ello, doblamos en “acordeón” dicha re-

(18)

gión y encontramos que cabe 5 veces. Por lo tanto un tercio esta 1 vez mas ( 1 / 5 ) en ( 2 / 5 ).

Por lo tanto: ( 2 / 5 ) ÷ ( 1 / 3 ) = 1 + ( 1 / 5 ) = 5 11 4. Fracciones decimales.

Las fracciones cuyo denominador son una potencia de 10, reciben el nombre de fracciones decimales.

Por ejemplo:

4 / 10 24 / 100

Ellas pueden escribirse como fracción o en forma de decimal. La escritura de una forma de fracción a una forma decimal fue sugerida por el Belga Simón Stiven.

La de los anteriores es: .4 0.4 10

4 = = y .24 0.24

10 4 . 2 10

·1 10 24 100

24 = = = =

Si tenemos un número racional, podemos expresarlo como un decimal. Como que los números decimales se generan a partir de fracciones cuyo denominador es una potencia de 10, debemos convertir el racional dado a otro equivalente o aproximado cuyo denominador sea una potencia de 10. Observa los ejemplos:

a.

0,3

10 3 9 3 3

1= ≈ ≈

b.

0,4

10 4 5

2= =

c.

0,45

100 45 20

9 = =

d.

0,33

100 33 99 33 3

1= ≈ ≈

Si deseamos escribir 3

1 con mayor número de cifras decimales, podemos proceder e la siguiente manera:

10

·1 3 1 10

3 10

·1 3 1 10

· 3

9 10

· 3

1 10

· 3

9 1 30 10 3

1= = + = + = + = +

100

· 1 3 1 100

3 10

3 100

· 1 3 1 10

·1 10

3 10

·1 10

·1 3 1 10

3 10

3 ⎟ = + + = + +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+

=

1000

· 1 3 1 1000

3 100

3 10

3 100

· 1 10

·1 3 1 10

3 100

3 10

3 ⎟ = + + +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+ +

=

Como puede verse, el proceso de remplazar un tercio se hace infinito. Por ello esta fracción tiene un desarrollo decimal infinito:

1000

· 1 3 333 1 . 1000 0

· 1 3 1 1000

333 1000

· 1 3 1 1000

3 1000

30 1000

300 1000

· 1 3 1 1000

3 100

3 10

3 3

1= + + + = + + + = + = +

La última expresión se escribe abreviadamente 0,3333... =0,3, donde la rayita escrita encima del último 3 indica que podemos repetirlo las veces que sea necesario; que este número decimal es infinito. El 3 es llamado el período de este número.

Un número escrito en forma decimal puede expandirse polinómicamente. Así:

42,685 = 4 x 10 + 2 x 1 + 0,6 + 0,08 + 0,005 = = 4 x 10¹ + 2 x 10⁰+

10 6 +

100 8 +

1000 5 .

(19)

Las cifras escritas a la izquierda de la separación decimal, se denominan parte entera (42) y las ubicadas a la derecha se le conoce como parte decimal (0.685). Por su posición en el desarrollo polinómico, el 6 corresponde a décimas, el 8 a las centésimas y el 5 a las milésimas. Para leerlo se hace mención del últi- mo digito: Cuarenta y dos unidades con seiscientos ochenta y cinco milésimas.

Para comparar dos decimales, se comparan digito a digito. El que tenga mayor las unidades comparadas de un orden determinado, será mayor.

Para realizar operaciones las operaciones básicas con decimales, primero es conveniente convertir cada número a su equivalente fracción, realizar la correspondiente operación y finalmente transformar el resultado en decimal.

Podemos convertir en racional, un número escrito en su forma decimal. Miremos los siguientes ejemplos:

• Los decimales son finitos:

a.

5 2 10 4 4 .

0 = = b.

8 17 1000 125 2125 .

2 = =

• Los decimales son infinitos periódicos:

3 333 .

0 = ?. El proceso consiste en hallar la fracción que genera dicho número. Para ello, representamos con una letra a dicha fracción. Esto es, x = 0,3. Ahora se trata de eliminar la parte periódica y para ello multiplicamos por 10, quedándonos 10·x = 3,3. Al restar la primera igualdad de la segunda, nos resulta 9·x = 3 y por lo tanto x = 3 / 9 = 1 / 3

Referencias:

1. Llinares, Salvador y María Victoria Sánchez. Fracciones, la relación parte – todo. Editorial Síntesis, Madrid 1997.

2. Acevedo, Myriam y Mary Falk. Algunas estrategias para la enseñanza de las fracciones en la escuela primaria. En la revista, de la Universidad Nacional, notas de matemáticas, No 31, Abril de 1991.