Números Racionales. 8

(1)

Sarita Melissa Cubero Solano

Colegio Nocturno de Turrialba Enrrique Menzel

Números Racionales. 8°

Departamento de Matemática

Lic. Sarita Melissa Cubero Solano

Nombre del estudiante:

(2)

1

El conjunto de los números Racionales

i

El conjunto denotado por ℚ conℚ = 𝑎_𝑏 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ ℤ , 𝑏 ≠ 0 . Este es un conjunto infinito, ordenado y discreto. Este contiene al conjunto de los Números Naturales (ℕ) y el de los Números Enteros ( ℤ).

El conjunto de los números racionales: ℚ

El conjunto de los números racionales se representa simbólicamente por ℚ y está formado por los números de la forma: 𝑎_𝑏 donde 𝑎 y 𝑏 son números enteros con (𝑏 ≠ 0)

Tenemos pues: ℚ = … ,−3₂ , … , −1, … ,−1₂ , … ,0, … ,4₃, … ,3₂, … ,2, …

También podemos expresar el conjunto de los números racionales Q por notación por comprensión de la siguiente forma: ℚ = 𝑎_𝑏; 𝑎 ∈ ℚ, 𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ≠ 0 y ℚ = ℚ+_{∪ 0 ∪ ℚ}−

Características del Conjunto de los Números racionales .

Infinito: pues no tienen ni primer ni último elemento y la cantidad de elementos, no es contable.

Denso o continuo: púes entre dos números racionales cualesquiera distintos, siempre es posible encontrar otro número real.

Ejemplo:

Nombre algunos números reales entre los indicados en cada caso.

a. 2 y 3 _b. 1 7 y 0,16 c. −5 9 y 1 6

Ordenado:El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en ℕ, ℤ , es un conjunto

totalmente ordenado. Por tanto cualquier número que se encuentre a la derecha de otro, en la recta numérica es mayor y viceversa. Además para cuales quiera 𝑎 y 𝑏, se cumple la ley siguiente:

Recuerde que todo número entero es racional y por tanto se puede expresar como una fracción.

Ejemplo:

5 =

15 3

=

25 5

=

25 1 …

(3)

2

Ley de tricotomía

Sea 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ con 𝑎 ≠ 𝑏 entonces se cumple una y solo una de las siguientes proposiciones 𝑎 < 𝑏 𝑜 𝑎 = 𝑏 𝑜 𝑎 > 𝑏

Ejemplo:

Ubique en la recta numérica los números siguientes:

a. 1 b. -1 c. 0,2 d. 0,01 _e. 1

4 f.

3 7

Opuesto de un número racional

Para cada n ∈ ℝ existe otro número real que llamaremos opuesto de n y lo denotaremos – n. El número real y su opuesto se representan en la recta numérica a la misma distancia de cero, en sentidos opuestos y por tanto tienen signos contrarios. Además se cumple que − −𝑛 = 𝑛.

Ejemplo: a. −6 ⟶__.

b. 7

2

⟶

___.

c. 𝑚 𝑐𝑜𝑛 𝑚 > 0 →___- _d. _{𝑑 𝑐𝑜𝑛 𝑑 < 0 →_____.} Valor absoluto de un número racional

Es la distancia que existe entre un número y el cero. Siempre es positivo o cero y se escribe entre barras. Ejemplo:

a. −3 = b. 0 = c. 4 = d. − −3 =

Clasificación de las fracciones:

Fracción propia: números racionales fraccionarios positivos cuyo denominador sea mayor que el numerador .

Ejemplo: 1₂

Fracción impropia: Los números racionales fraccionarios positivos, cuyo denominador sea menor que el

numerador . Ejemplo:5₃

Fracciones unitarias: Los números racionales fraccionarios, cuyo denominador sea igual que el numerador.

Ejemplo:7₇

(4)

3

Número mixto:La suma de un número entero c y una fracción propia. Se denota como

𝑐

𝑎

𝑏 con 𝑎 < 𝑏

Ejemplo:

3

1

7

Fracción irreducible o canónica:Los números racionales fraccionarios, cuyo numerador y denominador solo

tienen como m.c.d igual a 1. Ejemplo:3₅

Fracción nula: Los números racionales de la forma 𝑎

𝑏con 𝑎 = 0 ∧ y𝑏 ≠ 0. Ejemplo:0₉

Recuerde: Cualquier expresión cuyo denominador sea igual a cero, se encuentra indefinida. Práctica

1) Representación gráfica de las fracciones

2) Escribe un ejemplo para fracción: unitaria, impropia, nula, propia y un número mixto.

____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________

(5)

4 3) Determine cuales expresiones son números racionales

3,56 5,67862… 1 2

0 _{- 5} −5

2

3,11111… 0,2345

4) Determine el opuesto de cada número

-4 2 -9,32 ₉ 0 −6

2

6 −8

2 5) Determine el opuesto dado para cada caso

−3 − −4 4 + 1 0 −4 − 5 7 + 8 4 − −5 6) Simplifica o reduce las siguientes fracciones a la forma irreducible

a)154 ) 66 18 54  b) 40      144 c) 750 1000 d e) 3780 840 f) 4212 25272 7) Escribe >; < o = a d ) ... ... ... ) ... ... ... 3 4 b) -1 7 c) -4 8 e) - 3 12 f) 1 2 8 5 14 5 20 40 11 13 5 12 9 15 1 7    Conversiones en ℚ

De número mixto a fracción impropia

Para pasar de un número mixto a una fracción impropia, se mantiene el mismo denominador y el nuevo numerador se obtiene, de multiplicar la parte entera por el denominador y sumarle el numerador.

a c b a c b b    Ejemplo:52 3 5 2 3 3   

De fracción impropia a número mixto

Para pasar de una fracción impropia a un número mixto, se divide el numerador entre el denominador, donde el cociente es la parte entera del número mixto, el residuo es el numerador y se mantiene el mismo denominador.

a r

c b  b Ejemplo:7 12

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5

De notación fraccionaria a decimal

Para pasar de un número racional fraccionario a notación decimal se divide el numerador entre el denominador, hasta que el residuo de cero o hasta determinar si el número tiene periodo o no.

Ejemplo:7

3 = 2,333…=2, 3

Tipos de expansión decimal

Decimal finita: La expansión decimal finita es aquella en la que se puede contar la cantidad de decimales que

posee un número. Ejemplo:1 0,5

2 

Decimal infinito periódico: La expansión decimal infinita es aquella en la que no se puede contar la cantidad

de decimales que posee un número y se puede presentar dos casos:

Caso#1 Pura: La expansión decimal periódica es aquella en la que se repite infinitamente la parte decimal de

un número. Ejemplo: 22 2, 4 2, 4444444... 9   2 0, 66... 0, 6 3 

Caso#2 Mixta: La expansión decimal periódica mixta es aquella, en la que la parte decimal del número, posee

período (cifras que se repiten infinitamente) y ante período (cifras entre el periodo y la coma). Ejemplo: 7 0, 23 30 19 3,16 6  419 1, 269 330

De notación decimal a fraccionaria

Para pasar de un número decimal a notación fraccionaria se debe primero analizar cual expansión decimal presenta el número que se desea convertir, ya que para cada caso la conversión es diferente. Veamos los posibles casos:

Caso #1: De notación decimal finita a fraccionaria

Tomamos todas las cifras del número, tanto la parte entera como la decimal, y lo establecemos como el numerador de la fracción y por denominador una potencia de 10n , donde n representa la cantidad de decimales que posee el número.

(7)

6 Ejemplo 2 206 206 103 2, 06 10 100 50   

Caso#2: De notación decimal periódica pura a fraccionaria

Para hallar la fracción deseada, se toma como numerador la diferencia de el número dado sin coma y la parte de este número que no es período, y como denominador tantos nueves como dígitos tenga el período.

Ejemplo: a) 21 7 0, 21 99 33   b) 121 1 120 40 1, 21 99 99 33    

Caso #3: De notación decimal periódica mixta a fraccionaria

Para hallar la fracción deseada, se toma como numerador la diferencia del número dado sin coma y la parte de este que no contiene el periodo, y como denominador tantos nueves como dígitos tenga el periodo y tantos ceros como dígitos tenga el anteperíodo.

Ejemplo: 1315 13 1302 651 217 1,315 990 990 495 165          

1. Expresa los siguientes decimales infinitos como fracción común.

14 ,

0 ; 0,524 ; 4,05 ; 6,236

2. Suma las siguientes cantidades:

a) 0,300,3 b) 0,160,16 c) 0,12405,20 d)0,060,60

3. Ordena de mayor a menor.

a. 0,30 ; 0,3 ; 0,30

b. 0,150 ; 150, ; 0,15

c. 0,2250 ; 0,225 ; 0,225 ; 0,225

4. Expresa en forma de fracción:

a) 0,25 b) 3,5 c) 0,7 d) 0,02 e) 1,37 f) 1,2 g) 3,2

(8)

7

Operaciones en ℚ Suma

Para sumar dos números racionales de igual signo, se suman sus valores absolutos y se mantiene en el resultado, el signo que posee los números.

Ejemplo: a) 7 9 13 2 3 2 b) 4 2 22 5 3 15      Resta

Para restar dos # racionales, se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo, ie la operación resta se pasa a suma y al sustraendo se le cambia de signo.

Ejemplo: a) 7 0,5 7 1 13 2 2      b)21 32 17 15 44 7 5 5  7  35 Multiplicación

Para multiplicar dos número enteros se multiplican los valores absolutos de cada uno de los factores; el producto será:  Positivo: si ambos números enteros poseen igual signo.

 Cero: si uno o ambos de los números enteros es cero.  Negativo: si ambos números enteros poseen diferente signo. Es decir, podemos analizar el signo del resultado mediante la ley de signos

Definición: Sean a b, Z con b ≠ 0, a≠ 0 y a Q

b , entonces el recíproco de a

b es el número b

a, el cual es también un número racional.

Ejemplo: a) 3 1 3 8 2 16 b) 1 2 2 7 5 35     División Sean a c,

b d dos números racionales, tales que b, c, d ≠ 0, entonces :

a c a d

b d b  c y el signo del cociente se determina según la ley de signos.

Ejemplo: a) 4 5 4 2 8 3    2 3 5 15 b) 1 2 1 5 5 7 5 7 2 14         - suma - = - + suma + = + a – b = a + -b a: minuendo y b: sustraendo

(9)

8 Resuelve: a.   10 2 5 2 f) 4 3 3 5_ = b)   6 3 2 1 g) 3 2 5 2_ = c)   6 3 6 1 h) 3 2 9 7_ =

(10)

9 d)   2 5 8 4 i) 4 1 4 3_ = e)   2 2 8 1 k) 5 3 7 8_ =

Resuelva las divisiones siguientes 7 8 : 5 3 = 3 8 : 12 5 = 5 2 : 7 4 = :8 7 6 = 5 18 : 9 10 = 8 5 : 12 =

(11)

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Problemas con fracciones

1. Un comerciante compra mercaderías por valor de $870. Ha vendido las dos terceras partes de lo que compró realizando un beneficio igual a los dos quintos del precio de la compra. ¿Cuánto cobró por las mercaderías vendidas?

2. ¿A qué es igual el cociente de un número fraccionario por su numerador?

3. Una deuda más dos quintos de la misma alcanzan $14.000. ¿A cuánto asciende la deuda?

4. Una modista emplea metros para hacer un vestido. ¿Cuántos vestidos pueden hacer con 52 metros de género?

5. Dos señoras salen de compras llevando entre las dos $494. La primera gasta los tres séptimos de lo que llevaba también, quedando ambas con la misma suma de dinero. ¿Cuánto dinero tenía cada una?

6. Un terreno se remata dividido en 16 lotes iguales; se presentaron solamente 3 interesados; el primero adquirió un cuarto del terreno total, el segundo un medio y el tercero la octava parte. ¿Cuántos lotes adquirió cada uno?.¿Cuántos lotes quedaron sin vender?.

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11

Potencias : Estas leyes de potencias se aplican en todo el conjunto de los números reales. Recuerde: ... n a a a a a a b b b b b b            

n veces

Ley de signos para las potencias:



#positivo



par  positivo



#positivo



impar  positivo



#negatico



par  positivo



#negativo



impar negativo Es decir: Si nIR a)

 

n n, b b    si n es par b)

 

n n, b b    si n es par Leyes de potencia Sea aIR , b0, ,n mIR Exponente cero

 

0 1 a  Exponente uno

 

1 a a

Multiplicación de potencias de igual base

     

n m n m

a  a  a 

Potencia de una potencia

 

_m n

 

_{n m} a  a  Exponente fraccionario

 

, , n n m m a  a n mZ

Potencia de una fracción

n _n n a a b b        Potencia de un producto





n _n _n a b a b Exponente negativo , 0 n n a b n b a      _ _       

1. Completa el cuadro siguiente

Expresión 92 5𝑥2 4𝑥 2 32 4𝑥 9 2 ₃ 7 2 _4𝑥2 Base Exponente Coeficiente

2. Escriba en forma de potencias (forma abreviada) las siguientes expresiones

7 ∙ 7 = 0 ∙ 0 = 2 ∙ 2 ∙ 𝑏 = 15 ∙ 15 =

4 ∙ 4 ∙ 6 ∙ 6 = 9 ∙ 9 ∙ 9 = 25 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 25 = 32 ∙ 𝑚 ∙ 32 = 11 ∙ 11 ∙ 11 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 = 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 21 ∙ 21 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 𝑦 ∙ 𝑦 =

(13)

12 3. Escriba en forma desarrollada (como un producto) las potencias siguientes

a. 72 b. 12 c. (𝑥𝑦3)4 d. 06

e. 3(5)3 f. 3𝑥2 g. (1)9 h. (8)4

i. 112 j. (𝑎𝑏)8 k. 1214 l. 5𝑚𝑛5

4. Exprese cada una de las expresiones siguientes con exponentes sin signo (-).

9 1 3 1 3 1 3 ₂ 2 2 _          𝑎 −2₌ _𝑎𝑏5 −3₌ 8−3₌ _𝑎𝑏−3₌ ₃ 2 −3 = 1−562₌ _𝑐𝑚−56₌ _𝑎 𝑐𝑏 −4 =

5. Hallar las siguientes potencias:

 

2 -1 -4                                                                                             3 45 23 10 1 11 3 7 2 2 1 2 88 57 11 5 8 3 5 3 7 6 3 2 5 4 2 2 3 3 0 1 2 3 2 2 2 -2.

6. Aplica las propiedades de potenciación y resuelve

                                                                                                   2 4 3 2 4 4 7 4 3 1 4 3 7 8 5 8 5 8 5 ) 9 2 9 2 9 2 2 3 2 3 2 3 d) b) a) c

(14)

13

Simplificación de radicales

Si 𝑛 y 𝑘 tienen divisores en común, éstos pueden simplificarse con la ley del exponente fraccionario, ie

: : n k n d k d

x



x

con nIN n, 2 “d ” un divisor de “n ” y “k ”. Ejemplo: a. 424 24:4 2 b. 339 39:333 27

1) Calcula, si existen, las siguientes raíces y completa los espacios vacíos.

                            2 4 4 2 3 64 9 81 16 ) . 4 1 ... ... 64 ) porque d) porque porque b) ... porque 3 c a

2) Calcula las siguientes raíces

      121 25 81 1 ) 36 1000 1 . 100 16 )3 _b)3 _c) 1 _c 4 _d) a

3) Resuelve las siguientes raíces aplicando las propiedades de radicación

        8 1 2 1 5 9 25 3 5 2 2 5 3 4 9 2 3 3 3 3 _b) _: _c) _d) a)

Operaciones combinadas de números racionales

Para resolver operaciones combinadas en ℝ , debe tomar en cuenta la prioridad de las operaciones aritméticas, para esto considere la ley de prioridad de operaciones.

Paréntesis

Potencias Radicales

Multiplicaciones

_Divisiones

Sumas

_Restas

Nota : En caso de haber dos operaciones de la misma prioridad, se resuelve la que aparezca primero de izquierda a derecha Ejemplo:

 





 

  _  _

 

                                          1 2 1 2 3 2 2 2 : 2 1 1 2 1 2 1 4 3 1 ) 2 1 : 2 3 8 7 1 1 4 1 ) b a i http://www.ditutor.com/numeros_racionales/numeros_racionales.html