Funciones Exponenciales.
Representación analítica y gráfica
Se llama función exponencial a las funciones que tienen como regla de correspondencia a una constante positiva elevada a una variable
ax
x
f( )= ∀ >a 0
La forma de la gráfica va a depender de que si la constante es mayor a uno o está entre cero y uno:
f(x)= a x
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
4 3 2 1 1 2 4 5 6
0<a<1 3
a>1
f x( ) g x( )
Propiedades de las funciones exponenciales de la forma x
ax
x f( )= a) todas pasan por (0,1)
b) todas son continuas en el dominio
− ∞ < x < ∞
c) el eje X es una asíntota horizontal
d) si a>1, la función aumenta conforme aumenta x e) si 0<a<1, la función disminuye conforme aumenta x f) la función f(x) o siempre es creciente o siempre es
decreciente, es decir, tiene inversa
Aplicaciones
Las funciones exponenciales se aplican principalmente para la modelación de fenómenos en donde la cantidad final depende de la cantidad inicial y el aumento o disminución es una
proporción constante como por ejemplo en poblaciones, inversiones o préstamos de capital sometidas a un interés compuesto o decaimientos radiactivos.
Por ejemplo:
Si tenemos una bacteria y ésta se duplica cada hora, suponiendo que cada una de las bacterias puede seguir
dividiéndose al mismo ritmo, podemos hacer la siguiente tabla:
hora 0 1 2 3 4
bacterias 1 2 4 8 16
20 21 22 23 24
entonces, si queremos conocer la población a cualquier hora la regla de correspondencia sería P(t)=2t
donde
P(t) es la población al tiempo t
t es el tiempo al que se quiere conocer la población
Si se comienza con una población de 10 bacterias podemos formar la siguiente tabla
0 1 2 3 4 10 20 40 80 160 (10)20 (10)21 (10)22 (10)23 (10)24
entonces, si queremos conocer la población a cualquier hora la regla de correspondencia es P(t)= P02t
donde
P(t) es la población al tiempo t Po es la población inicial
t es el tiempo al que se quiere conocer la población
Si se comienza con una población de 10 bacterias, pero estas
entonces, si queremos conocer la población a cualquier hora la regla de correspondencia es P(t)= P02t/d
donde
P(t) es la población al tiempo t Po es la población inicial
t es el tiempo al que se quiere conocer la población d es el tiempo en que se duplica la población
Si lo que se conoce es el tiempo en que se triplica la población la regla de correspondencia será: d
t
Po
t
P( )= 3 donde
P(t) es la población al tiempo t Po es la población inicial
t es el tiempo al que se quiere conocer la población d es el tiempo en que se triplica la población
Si lo que se conoce es el tiempo en que se reduce a la mitad la población la regla de correspondencia será: d
t
Po
t
P ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ 2 ) 1
( donde
P(t) es la población al tiempo t Po es la población inicial
t es el tiempo al que se quiere conocer la población d es el tiempo en que se reduce a la mitad la población
Si lo que se conoce es el tiempo en que aumenta un diez por ciento la población la regla de correspondencia será:
d t
Po
t
P( )= (1.1) donde
P(t) es la población al tiempo t Po es la población inicial
t es el tiempo al que se quiere conocer la población
d es el tiempo en que aumenta un diez por ciento la población
Si lo que se conoce es el tiempo en que disminuye un diez por ciento la población la regla de correspondencia será:
d t
Po
t
P( )= (0.9) donde
P(t) es la población al tiempo t Po es la población inicial
t es el tiempo al que se quiere conocer la población d es el tiempo en que se reduce en un diez por ciento la población
Varios problemas de Matemáticas se simplifican notablemente usando al número e como su base, además de que modela muy bien a mucho fenómenos naturales.
Para el crecimiento de la población a corto plazo (personas bacterias, etc.) crecimiento de dinero a un interés compuesto continuo, el modelo matemático que mejor se ajusta es:
t
ek
C x f( )= 0 donde
C0 es la cantidad inicial
k constante de crecimiento o decrecimiento
Ejemplos:
1. La bacteria E. coli se encuentra en muchos organismos
incluyendo a los humanos, en una población experimental éstas duplican su población según la siguiente regla de
correspondencia. ¿Cuántas E.Coli estarán presentes a las 6 horas de empezado el experimento, si había 1,500,000 inicialmente?
( ) o(2)2t
N t = N
(6) 1, 500, 000(2)2 6
N = i
2. El isótopo radioactivo del tecnecio 99 se usa en imágenes del cerebro y decrece de acuerdo a la siguiente función. Este
isótopo tiene una vida media de 6 horas.
1 6
( ) 2
t
C t =Co⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Si se usan 12 miligramos, ¿cuánto quedaría después de:
a) 3 horas? 6
3
2 12 1 )
( ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ t C
b) 24 horas? 6
24
2 12 1 )
( ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ t C
3. El carbono-14 tiene, cuando mueren los seres vivos decae en forma continua con k =−0.000121
.
La función es:( )
( )
o ktA t = A e
−Suponga que 100 gramos de carbono 14 estaban presentes en un organismo cuando estaba vivo hace 3000 años. ¿Qué
cantidad de carbono-14 quedaría actualmente?
) 3000 ( 000121 .
