Estadística: E. Letón
PROBABILIDAD
Emilio Letón Dpto. Estadística, UC3M
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROB.
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Estadística: E. Letón
¿Dónde estamos?
1988
CÁLC. P. INFERENCIA DESCR.
Probabilidad 1981
YT: EOF
Let me sail, let me sail, let the orinoco flow,
Let me reach, let me beach on the shores of tripoli.
Carry me on the waves to the lands
Frentes abiertos
Llegar a las poblaciones
Estadística: E. Letón
Experimento y espacio muestral Sucesos
Probabilidad de un suceso
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROB.
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Estadística: E. Letón
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROB.
x i ? x
Experimento y espacio muestral
Experimento Espacio muestral Obtener un dato
bajo condiciones (población):
E= Ω =
{resultados elementales}
Ejemplo E 1
F S F
F Se observa una pieza si F o S
F=fallo, defectuoso; S=correcto
Si el dígito se ha transmitido F o S
E 1 ={F,S}
Estadística: E. Letón
Ejemplo E 2
FFF FSS FSS FSF SFF
FFF Se observa una pieza de 3 comp.
con cada componente F o S E 2 ={FFF,FFS,FSF,FSS,SSS,
SSF,SFS,SFF}
Discreto finito de 8 elementos
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Ejemplo E 3
FS FS S FFS
FS
S Se observa nº de veces hasta transmitir un bit correctamente E 3 ={S,FS,FFS,FFFS, FFFFS,…}
Discreto inf. (infinito numerable)
Ejemplo E 4
45 3 12
15 Se observa el tiempo hasta transmitir un bit correctamente Tiempo de acceso a una web E 4 =R +
Resumen: exp. y espacio muestral
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Sucesos
Cualquier subconjunto “de interés” en E Letras mayúsculas: A, B, C, D, F, … Suceso elemental
Suceso complementario
Suceso vacío Ø; suceso seguro
Operaciones con sucesos ∩ (y), U (o)
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Ejemplo E 1
4
{F } {S }
Ejemplo E 2
{F ,F ,F } {F ,F ,S } {F ,S ,F } {F ,S ,S } {S ,S ,S } {S ,S ,F } {S ,F ,S } {S ,F ,F }
Ejemplo E 3
{S } {F ,S } {F ,F ,S }
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Ejemplo E 4
infnn
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Euler-Venn (1/2)
Leonhard Euler (1707-1763)
A
Euler-Venn (2/2)
E 1 , E 2 , E 3 : suceso es todo subcjto de E E 4 : suceso (a,b], [a,b), [a,b], (a,b)
Resumen: sucesos
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Operaciones de sucesos
Intersección Unión
Complementario Diferencia
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Intersección (1/3)
A B
Intersección (2/3)
A B
Intersección (3/3)
B
A
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Unión (1/3)
A B
Estadística: E. Letón
Unión (2/3)
A B
Unión (3/3)
B A
Complementario
A
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Diferencia (1/4)
A B
Estadística: E. Letón
Diferencia (2/4)
A B
Diferencia (3/4)
B A
Diferencia (4/4)
A
B
Estadística: E. Letón
Resumen: ope. de sucesos
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Propiedades ope. de sucesos
Básicas Distributiva
Leyes de Morgan
Básicas (1/2) Básicas (2/2)
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Distributiva (1/3)
( B C ) ( A B ) ( A C )
A ∪ ∩ = ∪ ∩ ∪
C A B
Estadística: E. Letón
Distributiva (2/3)
( B C ) ( A B ) ( A C )
A ∪ ∩ = ∪ ∩ ∪
C A B
Distributiva (3/3)
( B C ) ( A B ) ( A C )
A ∪ ∩ = ∪ ∩ ∪
Leyes de Morgan (1/3)
A B
B A
B
A ∪ = ∩
Estadística: E. Letón
Leyes de Morgan (2/3)
A B
B A
B
A ∪ = ∩
Estadística: E. Letón
Leyes de Morgan (3/3)
B A
B
A ∪ = ∩
Resumen: prop. ope. de sucesos Probabilidad de un suceso
E 2 ={FFF,FFS,FSF,FSS,SSS,SSF,SFS,SFF}
FFF n 1 n 1 /n
FFS n 2 n 2 /n
FSF n 3 n 3 /n
FSS n n /n
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Fermat
Fermat (1601-1665)
Fermat Pascal Probability
Estadística: E. Letón
Laplace
Laplace (1749-1827)
Kolmogorov Resumen: prob. de un suceso
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Prop. probabilidad
( ) 1
0 ≤ P A ≤
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( ) A = ?
P
Complementario
( ) ∅ = ?
P
Vacío
( A − B ) = ?
P
Diferencia
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¿Unión / Intersección?
La prob. de lluvia el sábado es del 50%
La prob. de lluvia el domingo es del 50%
Entonces la probabilidad de que llueva el fin de semana es del …
Estadística: E. Letón
( A ∪ B ) = ?
P
Unión (1/2)
( A ∪ B ∪ C ) = ?
P
Unión (2/2)
( A ∩ B ) = ?
P
Intersección
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Sucesos elementales
( ) A = ?
P
{ } ⇒ ( ) = ∑ ( ) { }
=
i
i i
i P A P a
a A
Si U
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Espacios equiprobables
{ } ( ) { } i n n
i e i P e
E 1
1
=
= ⇒
=
U
( ) ( ) ( )
( ) E
card A A card
n card A
P = 1 =
Resumen: propiedades Combinatoria
Si una elección tiene M alternativas y otra elección N → La realización de ambas
admite MN alternativas.
Regla del producto
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Ejemplo 1
5 camisetas y 4 pantalones
Estadística: E. Letón
Ejemplo 2
Ordenaciones distintas con {1, 2, …n}
Ejemplo 3
De un conjunto de n elementos, subconjuntos de m elementos
Resumen: combinatoria
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Binomio de Newton
Estadística: E. Letón
n=3
n cualquiera Ejemplo
¿Cuántos subcjtos se pueden formar
de un conjunto de n elementos
Estadística: E. Letón
Resumen: binomio de Newton
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Independencia
Teorema de la probabilidad total Teorema de Bayes
PROBABILIDAD CONDICIONADA CONCEPTOS BÁSICOS DE PROB.
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Manejando información extra Sabiendo que …
( ) : = ( ( ) ) si P ( ) B > 0
B P
B A B P
A
P I
Independencia
A y B son independientes sii
P(A|B)=P(A) y P(B|A)=P(B)
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Caracterización
A y B son independientes si y solo si P(A ∩ B)=P(A)P(B)
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Intuición
Ejemplo
La probabilidad de cometer un error en un
“movimiento” es del 0,01.
Si se hacen 100 movimientos, ¿cuál es la probabilidad de cometer al menos un error?
Ejemplo (cont)
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Resumen: independencia
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Teorema de la probabilidad total
( ) A = ?
( ) A B j P
P P ( ) B j
Enunciado
dos a
dos disjtos
B E
Si
J j
U j
= 1
=
( ) = ∑ ( ) ( )
⇒
J
j
j P B
B A P A
P
Demostración (1/2)
( ) A =
P
disjtos B
B
E = 1 ∪ 2
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Demostración (2/2)
Estadística: E. Letón
Resumen: teorema de la Prob. Tot.
Teorema de Bayes
( ) B r
P
( ) B A = ?
P r
( ) A B r
P
Enunciado
( B A )
P a
dtos B
E r
J j
j 2 2 |
1
= ⇒
=
U
( ) ( )
( ) ( )
= J P A B r P B r
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Demostración (1/2)
( B A ) =
P r |
Estadística: E. Letón
