Dinámica de la familia logística *

(1)

Juan Jim´ enez Fr´ıas

^**

Universidad Ju´arez Aut´onoma de Tabasco, DACB

Gamaliel Bl´ e Gonz´ alez

^***

Universidad Ju´arez Aut´onoma de Tabasco, DACB

En este trabajo se presenta un análisis de la dinámica de la familia log´ıstica, enfo- cando el estudio al espacio de parámetros donde se tiene una órbita atractora.

In this work an analysis of dynamics of the logistic family is presented particularly, the parameter space where there exist an attracting periodic orbit is studied.

Palabras clave: Palabras clave: Familia Log´ıstica, Estabilidad, Bifurcaci´on.

Keywords: Logistic Family, Stability, Bifurcation.

1. Introducci´on

En modelación matemática uno de los modelos más sencillos que se ha usado para el estudio de crecimiento de una población es el log´ıstico, gracias a que siendo un modelo polinomial de grado 2 presenta una gran variedad de comportamientos los cuales van desde el orden hasta el caos, (véase [1]). El modelo log´ıstico discreto está asociado a la familia de funciones log´ısticas f_a : [0, 1] −→ [0, 1] dada por f_a(x) = ax(1 − x) donde x ∈ [0, 1] y a ∈ R⁺.

Cuando a > 4, existe un conjunto abierto y denso de puntos cuya ´orbita tiende a menos infinito, en otras palabras, casi todos los puntos tienden a menos infinito.

Por otro lado, tenemos puntos que no tienden a menos infinito como son los puntos periódicos de fa, los cuales pertenecen al intervalo [0, 1]. Si tomamos todos los puntos cuya órbita permanece en [0, 1] obtenemos un conjunto de Cantor, cuya medida de Lebesgue es cero para a ∈ (4, ∞), (véase [1]).

Si el par´ametro a es menor o igual que 4, el intervalo [0, 1] es invariante bajo fa

y por lo tanto todas las órbitas de los puntos x ∈ [0, 1] son acotadas. Esto implica que si la órbita de x tiene un l´ımite, éste pertenece al intervalo [0, 1]. Un problema interesante es conocer todos los posibles l´ımites.

En este trabajo se presenta un análisis del comportamiento de las órbitas, cuando existe un punto fijo atractor o una órbita periódica atractora. Asimismo, se explica la bifurcación que presentan las órbitas al pasar de atractoras a repulsoras. Todo esto, se hará para a ∈ (0, 4].

Este art´ıculo esta estructurado de la siguiente manera. En la segunda secci´on se

*Recibido el 14 de enero de 2008 y aceptado el 23 de marzo de 2008

**Dirección postal: Carr. Cunduacán-Jalpa Km 1, Cunduacán Tabasco, México. A.P. 24 C.P.

86690. Tel.(+52)914 336-0928. Correo electr´onico: juanyco [email protected]

***Dirección postal: Carr. Cunduacán-Jalpa Km 1, Cunduacán Tabasco, México. A.P. 24 C.P.

86690. Tel.(+52)914 336-0928. Correo electr´onico: [email protected]

umero 1 (Junio 2008) p 15–25

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estudian los puntos fijos y periódicos de una función y se presentan algunas defini- ciones básicas en sistemas dinámicos, como estabilidad de puntos periódicos. En la tercera sección se analiza la estabilidad de los puntos fijos de la familia log´ıstica. En la cuarta sección se presenta el fenómeno de bifurcación doblamiento de periodo en la familia log´ıstica y se muestra gráficamente el diagrama de bifurcación. Por último, en la quinta sección se presenta la importancia que juega el punto cr´ıtico en el estudio de los sistemas dinámicos discretos.

2. Puntos Peri´odicos

En esta sección consideremos f : X −→ X una función continua de un espacio métrico X en si mismo. Supongamos que X es el conjunto de condiciones iniciales del sistema, si tomamos x en X, entonces f (x) representa la evolución del estado x en una unidad de tiempo, entonces estamos interesados en conocer la evolución del sistema al paso del tiempo. Por ejemplo, si x representa la cantidad inicial de individuos de una población y f (x) la población después de una unidad de tiempo, entonces la sucesión {fⁿ(x)} es el número de individuos que la población tiene al tiempo n, dado que inicialmente tenia x. Una pregunta interesante es: ¿Que ocurre con la población cuando dejamos correr el tiempo? Es decir, si

fⁿ(x) = f ◦ f ◦ . . . ◦ f (x)

¿Cu´al es el l´ımite de la sucesi´on {fⁿ(x)} cuando n tiende al infinito?.

Observemos que si este l´ımite existe y es L entonces como f es continua, f (L) = f ( l´ım

n→∞fⁿ(x))

= l´ım

n→∞f (fⁿ(x))

= l´ım

n→∞fⁿ⁺¹(x)

= L.

Por lo tanto, L es un punto fijo. Esto nos lleva a estudiar con detalles los puntos fijos y posteriormente los puntos peri´odicos de f si tomamos subsucesiones convergentes de {fⁿ(x)}, (v´ease [5]).

Definici´on 2.1. Se dice que x ∈ X es un punto fijo de f si f (x) = x, y x es un punto peri´odico de f de periodo k si f^k(x) = x, y f^j(x) 6= x para 0 < j < k.

Definici´on 2.2. Para x₀ ∈ X, la ´orbita de x₀ bajo f es el conjunto O_f(x₀) = {x₀, f (x₀), f²(x₀), ...}.

Observe que la órbita de un punto periódico x de f de periodo k, también llamado punto k − periódico, tiene k elementos y se le llama k − ciclo o ciclo de periodo k.

Ejemplo 1. Los puntos fijos de la funci´on log´ıstica f_a(x) = ax(1 − x) son las solucio- nes de fa(x) = x. Las cuales son x^∗₁= 0 y x^∗₂= 1 −¹_a. A este ´ultimo lo denotaremos por pa.

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Consideremos ahora la clasificaci´on de los puntos peri´odicos.

Definición 2.3. Sea X ⊂ R, f : X → X una función de clase C¹ y x₀ un punto k − periódico de f . Entonces

1. El punto x0 es atractor(estable) si˛

˛Df^k(x0)˛

˛< 1.

2. El punto x0 es repulsor(inestable) si˛

˛Df^k(x0)˛

˛> 1.

3. El punto x0 es neutral o indiferente si˛

˛Df^k(x0)˛

˛= 1.

Aqu´ı D denota la derivada de f .

Si f^k(x₀) = x₀y x_i= fⁱ(x₀) con i = 1, 2, . . . , k − 1, por la regla de la cadena para derivada

d

dxf^k(x₀) = f⁰(f^k−1(x₀)) . . . f⁰(f (x₀))f⁰(x₀) =

k−1

Y

i=0

f⁰(x_i).

Esto implica que Df^k(x_i) = Df^k(x₀) para toda x_i que pertenece al ciclo peri´odico ξ = {x₀, x_1,x₂, ..., x_k−1}, por lo que la derivada no depende del punto del ciclo y se dice que el ciclo ξ es atractor si

Df^k(x_i)

< 1 y repulsor si

Df^k(x_i)

> 1 para alg´un i = 0, 1, . . . , k − 1.

Ejemplo 2. El punto fijo pade faes atractor cuando 1 < a < 3 ya que f_a⁰(pa) = 2−a, es repulsor cuando a > 3 e indiferente cuando a = 1 o a = 3.

Ejemplo 3. Sea f (x) = x³, los puntos fijos de f son: 0 y ±1. Por otro lado f⁰(x) = 3x², como f⁰(0) = 0, tenemos que 0 es atractor. Adem´as f⁰(±1) = 3, as´ı con- cluimos que f tiene dos puntos fijos repulsores 1 y -1.

En la siguiente secci´on mostraremos porque se les da el nombre de atractor o repulsor.

3. Estabilidad de Puntos Fijos

Como vimos en el ejemplo 1 los puntos fijos de la funcion log´ıstica f_a(x) = ax(1−x) son: x^∗₁ = 0 y p_a= 1 −¹_a, por otro lado, el punto fijo 0 es atractor para 0 < a < 1 y repulsor para a > 1.

Proposici´on 3.1. Si 0 < a < 1 entonces l´ımn→∞f_aⁿ(x) = 0 para toda x ∈ [0, 1].

Demostraci´on. Sea x0∈ [0,¹₂]. Como a < 1, fa(x) < x y cuando x ∈ [0,¹₂] fa(x) es creciente, por consiguiente tenemos la sucesi´on

f_aⁿ(x0) < f_aⁿ⁻¹(x0) < · · · < fa(x0) < x0.

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Esta sucesión x_n= f_aⁿ(x₀) es decreciente y está acotada inferiormente por 0. Por lo tanto, converge y como vimos al principio de la sección 2 el l´ımite debe ser un punto fijo de f_a(x). Como el único punto fijo es 0 para 0 < a < 1 se tiene

n→∞l´ım f_aⁿ(x0) = 0.

Si x₀∈ [¹₂, 1] entonces f_a(x₀) ∈ [0,¹₂] y por lo anterior se tiene l´ım_n→∞f_aⁿ(x₀) = 0 (v´ease figura 1).

Figura 1.Gr´afica de fa(x) con 0 < a < 1.

Proposici´on 3.2. Si 1 < a < 3 entonces l´ım_n→∞f_aⁿ(x) = p_a para toda x ∈ (0, 1).

Demostración. Consideremos 1 < a ≤ 2 entonces 0 < pa ≤ ¹₂. La función fa(x) tiene un máximo global en ¹₂ y fa(¹₂) = â₄ ≤¹₂. Además, la función faes creciente en (0, pa) (véase figura 2).

Figura 2.Gr´afica de fa(x) con 1 < a ≤ 2 y las iteradas de x0∈ (0, pa).

As´ı para x₀∈ (0, p_a) tenemos que x₀< f_a(x₀), por consiguiente, x0< fa(x0) < f_a²(x0) < · · ·

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Esta es una sucesi´´ on creciente y acotada por 1, por lo tanto

n→∞l´ım f_aⁿ(x0) = pa.

Si x₀∈ (pa,¹₂) la función f_aes creciente y x₀> f_a(x₀). Entonces la sucesión f_aⁿ(x₀) es decreciente y acotada por cero. Por lo tanto converge a p_a(véase figura 3).

Figura 3.Gr´afica de fa(x) con 1 < a ≤ 2 y las iteradas de x0∈ (pa, 1/2).

Si x₀∈ (¹₂, 1) entonces f_a(x₀) ∈ (0,¹₂) (v´ease figura 4) y en consecuencia

n→∞l´ım f_aⁿ(x0) = pa.

Figura 4.Gr´afica de fa(x) con 1 < a ≤ 2 y las iteradas de x0∈ (1/2, 1).

Ahora supongamos que 2 < a < 3 entonces ¹₂ < pa y fa(x0) > x0 para toda x0 ∈ (0,¹₂) (v´ease la figura 5). En este caso la prueba la dividiremos en cuatro incisos:

(i) Consideremos el intervalo [¹₂, p_a] y mostremos que es invariante por f_a². Como f_a² es mon´otona en [¹₂, p_a] para encontrar la imagen del intervalo es suficiente determinar las iteradas en los puntos extremos:

f_a²([1

2, p_a]) = f_a([p_a,a

4]) = [a(a 4)(1 −a

4), p_a].

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Figura 5.Gr´aficas de fa(x) y fa²(x) con 2 < a < 3 y las iteradas de x0∈ (0, 1/2).

Como queremos mostrar que f_a²([¹₂, pa]) ⊂ [¹₂, pa], basta mostrar que a(^a₄)(1 −^a₄) > ¹₂, esto es equivalente a

0 > a³− 4a²+ 8 = (a − 2)(a²− 2a − 4).

Como las ra´ıces de a²− 2a − 4 son 1 ±√

5, el segundo factor es negativo para a < 3 y el factor (a − 2) es positivo (porque a > 2), as´ı el producto es negativo. Por lo tanto, f_a²(¹₂) = a(â₄)(1 − â₄) > ¹₂ y f²([¹₂, p_a]) ⊂ [¹₂, p_a]. Como f_a²(¹₂) está por encima de la diagonal, se sigue que f_a²(x₀) está por encima de la diagonal y x₀< f_a²(x₀) < p_apara

1

2 < x₀< p_a. Esto genera una sucesi´on creciente y por lo tanto l´ım_n→∞f_aⁿ(x₀) = p_a para toda x₀∈ [¹₂, p_a].

(ii) Si pba = ¹_a < 1/2 entonces fa(pba) = pa, fa([pba,¹₂]) = fa([¹₂, pa]), y f_a²([pba,¹₂]) ⊂ [¹₂, pa]. As´ı, todos los puntos en [bpa,¹₂] convergen a pa.

(iii) Ahora si consideramos x0<pba. La funci´on fa es mon´otona creciente en este intervalo, entonces existe k > 0 tal que f_a^k(x) ∈ [bpa, pa]. Por lo tanto f_a^k+n(x) → pa

cuando n → ∞.

(iv) Finalmente si consideramos pa< x0 < 1 entonces fa(x0) ∈ (0, pa) y por (i), (ii) y(iii), las iteradas de fa(x0) convergen a pa.

Para valores de a > 3, ambos puntos fijos son repulsores por lo que la pregunta natural es, si existen puntos peri´odicos atractores de periodo mayor o igual a 2, esto lo analizaremos en la siguiente secci´on.

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4. Bifurcaci´on

Para hallar una órbita de periodo 2 es necesario resolver la ecuación f²(x) = x, la cual nos da una ecuación de grado 4

−a³x⁴+ 2a³x³− a²(a + 1)x²+ a²x = x, la soluci´on a esta ecuaci´on es

x^∗₁=(a + 1) −p(a − 3)(a + 1)

2a y x^∗₂= (a + 1) +p(a − 3)(a + 1)

2a .

As´ı, fa tiene una ´orbita de periodo 2 tambi´en llamada 2-ciclo cuando (a − 3)(a + 1) > 0, esto es si

1. (a − 3) > 0 y (a + 1) > 0 ´o 2. (a − 3) < 0 y (a + 1) < 0.

En el caso 1 tenemos que a > 3. El caso 2 no tiene sentido porque solo estamos considerando a > 0. Por lo tanto f_a tiene un 2-ciclo siempre que a > 3. Para ver la estabilidad del 2-ciclo {x^∗₁, x^∗₂} verificamos

Df²(x^∗₁) < 1.

Esto es

|Df (x^∗₁)Df (x^∗₂)| < 1.

Luego, tenemos que −1 < a²(1 − 2x^∗₁)(1 − 2x^∗₂) < 1, de donde se obtiene que el 2-ciclo es atractor para 3 < a < 1 +√

6. Este intervalo corresponde al conjunto de parámetros donde f_atiene una órbita atractora de periodo 2 y se le llama ventana de periodo dos. De igual manera que en la proposición 3.2 se puede mostrar que salvo p_a y la frontera del intervalo (0, 1) las iteradas de los puntos converge a este 2-ciclo atractor. Cuando a = 1 +√

6, Df (x^∗₁)Df (x^∗₂) = −1 por lo que se tiene un ciclo indiferente y si a > 1 +√

6 entonces el 2-ciclo {x^∗₁, x^∗₂} es repulsor.

Hasta ahora tenemos que el punto fijo paes atractor cuando 1 < a < 3, y pierde su estabilidad cuando a > a1= 3. Despu´es de este valor, aparece un 2-ciclo el cual es atractor para cuando 3 < a < 1 +√

6 y pierde su estabilidad para a > a2= 1 +√ 6.

El fen´omeno observado en a1 = 3 y a2 = 1 +√

6 se le llama bifurcaci´on y en este caso es del tipo doblamiento de periodo. As´ı, apartir de 1 +√

6 se tiene un intervalo de par´ametros en los cuales fatiene una ´orbita atractora de periodo 4.

Para encontrar la órbita de periodo 4 también llamada 2²-ciclo debemos de resolver la ecuación

f⁴(x) = x,

lo cual implica resolver una ecuación de grado doce, que no es posible resolver con radicales. Por lo tanto, hacemos uso del análisis numérico para encontrar el 2²-ciclo.

Resulta que el 2²-ciclo aparece cuando a > a₂= 1+√

6 y ´este es atractor para cuando 1 +√

6 < a < 3,54409 y pierde estabilidad para a > a₃ = 3,54409.... Nuevamente,

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n an an− an−1 µn= ^a_aⁿ^−aⁿ⁻¹

n+1−an

1 3 − −

2 3,449489 . . . 0,449489 . . . − 3 3,544090 . . . 0,094601 . . . 4,751419 . . . 4 3,564407 . . . 0,020317 . . . 4,656248 . . . 5 3,568759 . . . 0,0043521 . . . 4,668321 . . . 6 3,569692 . . . 0,00093219 . . . 4,668683 . . . 7 3,569891 . . . 0,00019964 . . . 4,669354 . . .

Cuadro 1.Constante de Feigenbaum.

este proceso se repite y para a > a3, el 2²-ciclo se bifurca en un ciclo de periodo ocho atractor. De esta manera se obtiene una sucesión de parámetros {an} los cuales delimitan el intervalo de parámetros donde se tiene una órbita atractora de periodo 2ⁿ. Es importante observar que estas órbitas aparecen como atractoras y se convierten en repulsoras. Además, se puede demostrar que para a > 4 todas las órbitas periódicas son repulsoras y que de hecho forman un conjunto de Cantor en [0, 1] (ver [1], [2]).

En el cuadro 1 se muestran los primeros resultados de esta sucesi´on.

Al respecto, podemos hacer las siguientes observaciones:

1. La sucesi´on {an} tiene un l´ımite ya que es una sucesi´on creciente y acotada por 4.

Este l´ımite es a∞≈ 3,8145.

2. El tama˜no de ventanas (an− an−1) se va reduciendo cada vez m´as y eventualmente se aproxima a cero.

3. Se genera una sucesi´on µn = ^a_aⁿ^−aⁿ⁻¹

n+1−a_n que converge a una constante universal, válida para una familia más general conocida como funciones unimodales, ver [4]. El l´ımite de esta sucesión es llamado constante de Feigenbaum δ en honor a su descubridor y es aproxi- madamente

δ = l´ım

n→∞µn≈ 4,669201609 . . . .

Podemos representar lo anterior en una gráfica llamada diagrama de bifurca- ción, el cual en el eje horizontal presenta al parámetro a y en el eje vertical presenta las iteradas f_aⁿ(x0) cuando n → ∞ de un punto inicial espec´ıfico x0, de tal forma que el diagrama muestra la conducta l´ımite de la órbita de x0. En todos los casos, en la figura 6 se parte del mismo valor inicial x0= ¹₂ que es el punto cr´ıtico de fa.

Observemos que excepto por las ventanas de periodo 2ⁿ, la más grande en el diagrama de bifurcación ocurre para los valores de a entre 3,828 y 3,857. Esta ventana corresponde a los parámetros donde fatiene un punto periódico atractor de periodo 3 y la mostramos en la figura 7. En ese intervalo aparece una órbita de periodo 3 estable la cual esta alrededor de a = 1 +√

8 ≈ 3,828. Este 3-ciclo pierde su estabilidad y da origen a un 6-ciclo estable. El doblamiento de periodo continúa hasta a ≈ 3,8415 . . . (correspondiente a a_∞) y por el teorema de Sarkovskii (véase [1],[3]) apartir de este parámetro se tienen órbitas de todos los periodos y es posible obtener caos. As´ı que para a > 3,8415 se observa una región negra porque el diagrama indica que las órbitas atractoras que se tienen son de periodo muy grande o no existen y en cuyo caso se tiene caos.

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Figura 6.Diagrama de Bifurcaci´on.

Figura 7.Ventana de periodo 3.

5. Rol del Punto Cr´ıtico

El diagrama de bifurcaci´on que mostramos en la secci´on anterior fue hecho con la

´

orbita del punto cr´ıtico de fa, por lo que en esta sección explicaremos la importancia de la órbita del punto cr´ıtico en la dinámica global de fa. En particular, en esta sección mostraremos que si fatiene una órbita atractora, la órbita del punto cr´ıtico, siempre converge a ella.

Definici´on 5.1. Sea f : I ⊂ R → I una funci´on de clase C³(I) y sea x un punto no singular de f . La derivada Schwarziana de f se define como

Sf (x) = f⁰⁰⁰(x) f⁰(x) −3

2[f⁰⁰(x)

f⁰(x)]². (1)

Definici´on 5.2. Sea C(f ) = {x ∈ I : f⁰(x) = 0} el conjunto de puntos cr´ıticos de f , decimos que f tiene derivada Schwarziana negativa si:

1. Sf (x) < 0, ∀x /∈ C(f ).

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2. l´ımx→x₀Sf (x) = −∞, ∀x0∈ C(f ).

Ejemplo 4. Tomemos I = [0, 1] y f_a(x) = ax(1 − x) entonces, Sfa(x) = −6

(1 − 2x)² < 0 para todo x ∈ I r {¹2} y

l´ım

x→¹₂

Sfa(x) = −∞.

Por lo tanto, fa tiene derivada Schwarziana negativa.

Teorema 5.1. (Regla de la cadena para derivadas schwarzianas). Suponga que F y G son funciones de clase C³. Entonces

S(F ◦ G)(x) = SF (G(x)) · (G⁰(x))²+ SG(x).

Demostraci´on. Usando la regla de la cadena para derivadas ordinarias, tenemos (F ◦ G)⁰(x) = F⁰(G(x)) · G⁰(x)

(F ◦ G)⁰⁰(x) = F⁰⁰(G(x)) · (G⁰(x))²+ F⁰(G(x)) · G⁰⁰(x).

Diferenciando una vez m´as

(F ◦ G)⁰⁰⁰(x) = F⁰⁰⁰(G(x)) · (G⁰(x))³+ 3F⁰⁰(G(x)) · G⁰⁰(x) · G⁰(x) +F⁰(G(x)) · G⁰⁰⁰(x).

Sustituyendo las expresiones anteriores en la expresi´on 1 obtenemos el resultado deseado.

Corolario 5.1. Suponga que SF < 0 y SG < 0. Entonces S(F ◦ G) < 0. En particular, si SF < 0, entonces SFⁿ< 0.

Demostraci´on. S(F ◦ G)(x) = SF (G(x)) · (G⁰(x))²+ SG(x) < 0.

Definici´on 5.3. (Conjunto Estable). Sea x^∗ un punto fijo atractor de f . El dominio de atracci´on de x^∗ es el conjunto

Af(x^∗) = {x : l´ım

n→∞fⁿ(x) = x^∗}.

El conjunto estable (tambi´en llamado cuenca inmediata de atracci´on) A^∗_f(x^∗), es la componente conexa de Af(x^∗) que contiene a x^∗.

Los conjuntos estables para puntos k − periódicos atractores se definen usando a f^k en vez de f . Por definición, los puntos k − periódicos atractores siempre tienen dominios inmediatos de atracción, diferentes del vac´ıo.

Ejemplo 5. 1. La funci´on f (x) = x² tiene un punto fijo atractor x^∗ = 0 y la cuenca inmediata de x^∗es el intervalo (-1,1).

(11)

2. La funci´on fa(x) = ax(1 − x) tiene un punto fijo atractor pa= 1 −¹_a cuando a ∈ (1, 3) y A^∗_f_a(pa) = (0, 1).

Teorema 5.2. Si Sf < 0 y x^∗ es un punto k − peri´odico atractor para f , entonces se cumple una y s´olo una de las siguientes afirmaciones.

1. El dominio inmediato de atracci´on de x^∗se extiende a +∞ o −∞ ´o

2. Existe un punto cr´ıtico c de f tal que c ∈ A^∗_f(x^∗). Es decir, la ´orbita de c converge a x^∗.

La demostraci´on de este teorema puede ser revisada en [1].

En el caso log´ıstico se puede ver que si |x| > 1, la órbita de x se va a menos infinito. Por lo tanto, ninguna cuenca inmediata de atracción se extiende a ±∞. Ya que ¹₂ es el único punto cr´ıtico para f_a, se sigue del teorema que f_atiene a lo más un ciclo atractor y que si existe una órbita atractora entonces ¹₂ pertenece a la cuenca inmediata de atracción de esta órbita periódica. Por esta razón, en la familia log´ıstica basta con iterar el punto cr´ıtico para encontrar la órbita atractora.

En general, el tener una derivada Schwarziana negativa limita severamente los tipos de dinámicas que pueden ocurrir, ya que para funciones f definidas en intervalos acotados y con Sf < 0 cada órbita periódica atractora de f debe atraer al menos un punto cr´ıtico de la funcion f .

Referencias

[1] Robert L. Devaney (1992). A first course in chaotic dynamical sistems, Adison-Wesley.

[2] Richard A. Holmgren (1996). A first course in discrete dynamical sistems, Springer- Verlag.

[3] S. N. Elaydi (2000). Discrete chaos, Chapman and Hall, CRC Press.

[4] C. Robinson (1998). Dynamical Systems, Stability, Simbolic Dynamics and Chaos, CRC Press.

[5] G. Blé Gonzáles (2002). Conjuntos de Julia y Conjunto de Mandelbrot, Revista de Ciencias Básicas, UJAT, no. 1, pp. 23-30.