CONTROL II. Tema: ESTABILIDAD RELATIVA MARGEN DE GANANCIA. Prof. Ing. Carlos F. Martín. Año: 2009

CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín 1

CONTROL II

Tema:

ESTABILIDAD RELATIVA MARGEN DE GANANCIA

MARGEN DE FASE

Prof. Ing. Carlos F. Martín

Año: 2009

CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín 2

Introducción

Algunas de las preguntas importantes que pueden formularse con relación a la estabilidad y al funcionamiento en general de un sistema de control realimentado son:

1. Si el sistema es estable, cuan estable es.

2. Si el sistema no es lo suficientemente estable, o inestable, como puede ser mejorada la condición de estabilidad.

La primera pregunta es un problema de análisis, mientras que la segunda es de diseño. En general, estamos no solo en sistemas estables, sino también que tengan un cierto grado de estabilidad, o estabilidad relativa.

En muchas situaciones se puede usar el máximo de resonancia, M_R, o el coeficiente de amortiguamiento relativo,δ, del par de polos complejos dominantes del sistema, para indicar la estabilidad relativa de un sistema de control realimentado. Otra forma de medir la estabilidad relativa de un sistema es por medio del diagrama de Nyquist de la función de

transferencia del lazo. La cercanía del lugar de L(jw) a el punto crítico, (-1, j0) nos da una indicación de cuan estable o inestable es el sistema bajo análisis. Para demostrar el concepto de estabilidad relativa, los gráficos de Nyquist y las correspondientes respuestas al escalón de entrada y

frecuenciales de un sistema típico de tercer orden, se muestran en las figuras 1(a)-(d), para diferentes valores de la ganancia del lazo K.

-60 -30 0 30

M(jw), Diagrama de Bode

10⁰ 10² -270

-180 -90 0

0 10 20

0 0.5 1 1.5

( a ) Resp. al Escalón

-1.5 0 1.5

-2 -1 0 1

Diag. de Nyquist

-3 -1.5 0 1.5

-6 -4 -2 0 2

0 10 20

0 1 2

( b )

-60 -30 0 30

10⁰ 10² -270

-180 -90 0 (1)

(2) (1)

(2)

(1) (2)

(2) (1)

jImL ReL jImL

ReL

ω^g<ω^c

Figuras 1(a) y (b)

CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín 3

-4 -2 0 2

-6 -4 -2 0 2

Diag. de Nyquist

0 5 10 15

0 0.5 1 1.5 2

Resp. al Escalón

( c )

-100 0 100 200

M(jw), Diag. de Bode

10⁰ 10² -90

0 90 180

-5 -2.5 0

-5 -2.5 0

0 5 10 15

-8 -4 0 4 8

( d )

-80 -40 0

10⁰ 10² -90

0 90 180 jImL

ReL K = KL

ω^g=ω^c

jImL

ReL

K > KL ω^c<ω^g

Figuras: 1(c) y 1(d)

Para el primer caso figura 1(a), en la cual la ganancia del lazo es baja, la traza de Nyquist de L(jw) intercepta el eje real negativo en un punto, (punto de cruce de fase), legos del punto crítico (-1, j0). Las

correspondientes respuestas al escalón son muy amortiguadas, y el M_R es bajo.

Cuando K se incrementa, figuras 1(b), el punto de cruce de fase se acerca al punto crítico (-1, j0), el sistema es aún estable pero la respuesta al escalón tiene una mayor sobreelongación Mp, y un MR también mayor. La curva de fase no nos da una buena indicación de la estabilidad relativa como M_R, acepto que la pendiente de la curva se vuelve mayor cuando la estabilidad relativa decrece.-

El diagrama de Nyquist de la figuras 1(c), pasa por el punto crítico (-1, j0), el sistema es marginalmente estable, (o inestable), con una oscilación de amplitud constante, como se muestra en la respuesta al escalón, y MR→∞. Si K se incrementa de nuevo, la traza de Nyquist incluirá el punto crítico, (se supone que L(s) es de fase mínima), y el sistema será inestable con una respuesta sin amortiguación, que crece con el tiempo como se ve en la figura 1(d). En este caso la curva de magnitud M(jw) carece de significado alguno, y solo el síntoma de inestabilidad desde el diagrama de Bode, es que ahora la curva de fase tiene una pendiente positiva en la frecuencia de resonancia w_R.-

CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín 4

Se supondrá en lo que sigue que la función L(jw) es del tipo de

Fase Mínima Típica

, por lo que la inclusión o no del punto crítico (-1, j0) es suficiente para el análisis de la estabilidad.

Margen de Ganancia

El

margen de ganancia

, (M.G.) es uno de los criterios mas empleados para medir la estabilidad relativa de un sistema de control. En el dominio de la frecuencia, el margen de ganancia se emplea para indicar la cercanía de la intersección del eje real negativo y la traza de Nyquist de L(jw) al punto crítico (-1, j0). Antes de dar el significado del margen de ganancia, primero se definirá el

cruce de fase

de la traza de Nyquist y la

frecuencia de cruce de fase

(wC).

Cruce de fase

:

Un cruce de fase sobre la traza de Nyquist de L(jw) es un punto en el cual la traza se intercepta con el eje real negativo.

Frecuencia de cruce de fase

:

Es la frecuencia wC en el cruce de fase, o donde:

º 180 )

( =−

∠L jω_C ; o la parte imaginaria de L(jw) es nula; P.Im.[L(jω_C)]=0 Recordar que la definición del Margen de Ganancia dada aquí es para funciones del lazo de

fase mínima típicas

, (donde el peligro es

aumentar

la ganancia del lazo). La traza de Nyquist de L(jw), se muestra en la figura 2.

ω ^{= 0}

ω ^{= infito} jIm L

Re L L(jω^c)

ω⁼ω^c Cruce de Fase

-1

Plano L(jω⁾

M.G.= 1 / IL(jω^c)I

Figura 2

La frecuencia de cruce de fase se denomina wC, y la magnitud de L(jwC) en

CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín 5

w=wC se designa como el valor absoluto de L(jω_C) . Entonces el margen de ganancia del sistema, que tiene L(s) como la función de transferencia del lazo se define como:

) ( . 1 .

j C

G L

M ⁼ ω

Por lo tanto si el M.G. es mayor que la unidad, el sistema será estable.

Si el M.G. es igual a la unidad, el sistema será marginalmente estable.

Si el M.G. es menor que la unidad, el sistema será inestable.

El M.G. también se puede expresar en decibeles:

) ( ., 1

.

j C

log L 20 dB G

M ⁼ ω ⇒ M.G.,dB=−20log L(jω_C)

Por lo tanto si el M.G. es mayor que cero, el sistema será estable.

Si el M.G. es igual a cero, el sistema será marginalmente estable.

Si el M.G. es menor que cero, el sistema será inestable.

En base a esta definición, se pueden obtener las siguientes conclusiones acerca de M.G. de un sistema, dependiendo de las propiedades de la traza de Nyquist.

1. La traza de L(jw) no intercepta eje real negativo, (no hay un cruce de fase finito).-

L(jω_C) =0 ⇒ M.G.,dB=∞dB, sistema estable para todo K>0.

2. La traza de Nyquist de L(jw) intercepta eje real negativo entre 0 y el punto crítico (-1, j0):

0 < L(jω_C) <1 ⇒ M.G.,dB> 0 ; Sistema estable.

3. La traza de Nyquist de L(jw) pasa a través del punto crítico (-1, j0):

L(jω_C) =1 ⇒ M.G., dB=0dB; Sistema marginalmente estable.

4. La traza de Nyquist de L(jw) incluye al punto crítico (-1, j0), o sea el cruce de fase está a su izquierda:

dB dB G M j

L( ω_C) >1 ⇒ . ., <0 ; Sistema inestable.

En base a la discusión anterior, el significado físico del M. G. se puede resumir como:

“El Margen de Ganancia es la cantidad de ganancia en dB que se puede añadir al lazo del sistema antes de que el mismo se vuelva inestable”.

Las siguientes conclusiones se pueden obtener de un sistema con la L(s)

típica y de fase mínima

.-

• Cuando la traza de Nyquist no intercepta al eje real negativo en una frecuencia no nula y finita, el margen de ganancia es infinito en dB, esto significa que teóricamente, el valor de la ganancia del lazo se puede incrementar al infinito antes de que el sistema se vuelva inestable.-

CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín 6

• Cuando la traza de Nyquist de L (jw) pasa a la derecha del punto crítico (-1, j0), el margen de ganancia es positivo en dB, y la

ganancia del lazo se puede incrementar en la cantidad del margen de ganancia para que el sistema sea marginalmente estable.

• Cuando la traza de Nyquist pasa a través del punto crítico (-1, j0), el margen de ganancia es igual a 0 dB, lo que implica que la ganancia del lazo no podría crecer más, ya que el sistema es marginalmente estable.-

• Cuando el cruce de fase está a la izquierda del punto crítico (-1, j0), el margen de ganancia es negativo en dB, y la ganancia del lazo se debe reducir para que el sistema se vuelva marginalmente inestable, (pues es inestable).-

Ejemplo 1:

Un sistema tiene:

) 0 1 ( ) 2 / 1 ( ) 3 / 1 ) (

( >

+ +

= + Con K

s s

s s K L

Se puede demostrar que el sistema es estable para K<5/3. Suponiendo que K=5/6.

a) Determinar el M.G. en dB.-

b) Determinar el valor de K para que el M.G. en dB sea 20dB.- a) Se puede determinarlo de las dos maneras siguientes:

1) 2 M.G. 2 oen dB M G dB 20log2 6.02dB

5/6 5/3 K

M.G.= K^Lím = = ⇒ = ⇒ . ., = =+

2) PIm si r s

j j

L . 0 : (1 _c) 0 _C 1 /

) 6 6 ( ) 11 1 ( ) 5

( _{2 2} ⇒ = − ² = ⇒ =

− +

= − ω ω

ω ω

ω ω

) ( .,

. 50

. 1 0 11 1 ) 5

(j _C M G dB 20log L j _C

L ω =− ⇒ =− ω

×

= −

Por lo tanto: M.G.,dB=+6.02dB

b) Como M.G., dB=20, resulta que: M.G. = 10, por ende:

1) × = ⇒ = = = ⇒ = .−

6 1 30

5 10

3 / 5

10 _. K10^. K

K K

K _Lím ^Lím

2) Como M.G.,dB=20=−20log L(jω_C) 10 . 0 ) ( 1

) (

log L jω_C =− ⇒ L jω_C =

Como la frecuencia de cruce de fase wC no cambia con el valor de la ganancia K, w_C = 1 rad/seg. Por lo tanto:

10 1 5 3 10 6 11

1 ) 6

( ₂ = =

= −

= − K K K

j L

C

C ω

ω

6 1 30

5 ⇒ =

= K

K .-

Por ende si K = 1/6, el margen de ganancia será el solicitado de 20 dB.-

CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín 7

Margen de Ganancia de Sistemas con la L(s) de Fase Mínima Atípicas En estos sistemas el peligro para desestabilizar es la disminución de la ganancia del lazo K. Por ejemplo la traza de Nyquist de un sistema con estas características es la indicada en la figura 3.

jImL

ReL ω⁼⁰

I L(jω^{c) I}

1 / M.G.

ω^c

Cruce de Fase

Zona de Inclusión

Figura 3

Como se puede ver para que el punto crítico no este incluido y el sistema sea estable, la frecuencia de cruce de fase deberá estar a la izquierda del mismo. O sea el M. G. en dB deberá ser negativo.

Ejemplo 2:

Un sistema tiene la función de transferencia del lazo siguiente:

) 9 (

) 2 ( ) 1 ) (

( ₃

+ +

= +

s s

s s s K

L

Determinar el margen de ganancia del sistema para K = 90.-

Como L(s) es de fase mínima atípica, para que el sistema sea estable deberá tener un margen de ganancia negativo.

3 4

2

9 3 ) 2 90( )

( ω ω

ω ω ω

j j j

L −

+

= −

Para que la parte imaginaria sea nula deberá ser:

. / 3 18

6 )

2 ( 9

3ω_C⁵ =− ω_C³ −ω_C² ⇒ ω_C² = ⇒ ω_C = rad seg 9 10

3 9

) 3

( ₃ − ₂ =− =−

− =

= K K

K j

L

C C

C

C ω ω

ω ω

dB dB

G M dB

G

M. ., =−20log(10) ⇒ . ,. =−20 ; Sistema estable.-

CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín 8

La figura 4, muestra el diagrama de Bode y la traza de Nyquist de L (jw).

Diagrama de Bode de L(jw)

-50 0 50 100 150

10^-2 10⁰ 10²

-270 -180 -90

-15 -10 -5 0 5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Traza de Nyquist jImL

ω^c ReL

-K/9 ω^{c <} ω^g

Figura 4

Sistemas Condicionalmente Estables, con L(s) de Fase Mínima.

En estos sistemas existen uno o más rangos de la ganancia del lazo dentro de los cuales el sistema será estable. Por ende habrá más de una

frecuencia de cruce de fase y por lo tanto más de un margen de ganancia.

En la práctica es común que el sistema condicionalmente estable tenga dos M. G., los mismos pueden ser los dos positivos o los dos negativos, o uno positivo y el otro negativo y sin embargo el sistema puede ser estable.

En estos casos lo que define sin duda si el sistema es estable o no es el llamado margen de fase que se tratara mas adelante, el mismo, cualquiera sea el caso, deberá ser positivo para que el sistema sea estable.-

Ejemplo 3:

Un sistema tiene la siguiente función de transferencia del lazo:

) 2 ( ) 1 (

) 22 3 ) (

(

2

+ +

+

= +

s s s

s s s K

L ;

Para K = 6, determinar los M. G. en dB.-

La figura 5, muestra los diagramas de Bode y la traza de Nyquist de L (jw).

Como se puede apreciar en este ejemplo el sistema será estable si los dos márgenes de ganancia son del mismo signo, los dos negativos o los dos positivos.

CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín 9

Diagrama de Bode

-40 0 40 80

10^-2 10⁰ 10²

-225 -180 -135 -90

-15 -10 -5 0 5

-1 -0.5 0 0.5

Traza de Nyquist

ω^c1 ω^c2

-1.5K

-9

-K/3 jImL

ReL

Figura 5

Procediendo como se sabe, las dos frecuencias de cruce de fase son:

−

=

= 11 / . ₂ 2 / .

1 rad seg y _C rad seg

C ω

ω

3 / 2 5

. 1 )

(j _C2 =− K ⇒ K_{Lím. 2} =

L ω

−

=

⇒

−

= 3.

) 3

( _C1 K K_Lím.1

j L ω

Como se aprecia para K = 6, el sistema será estable con los dos M. G. en dB negativos, a saber:

dB dB

G K M

G K

M ^Lím . . , 19.085

9 1 6

3 / . 2

. ₁= ^.1 = = ⇒ ₁ =−

dB dB

G K M

G K

M ^Lím . . , 6.0205

2 1 6 . 3

. ₂= ^.2 = = ⇒ ₂ =−

Si se disminuyen cualquiera de esos dos valores a los dB que hay el sistema será marginalmente estable.-

Ejemplo 4:

Un sistema tiene la siguiente función de transferencia del lazo:

) 40 14 (

) 5 . 0 ) (

( _{3 2}

2

+ +

+

= +

s s s

s s s K

L ;

Para K = 150, determinar los M. G. en dB.-

La figura 6, muestra la traza de Nyquist de L (jw).

CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín 10

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

ωc2=0.883r/s

ωc1=5.072r/s

-K/30.5

-K/367.3 jω

σ Estable si K>0; L(jωc1)>-1

y L(jω^c2)<-1

Rango resultante: 30.5 < K < 367.3

M.G.,dB = +7.778 dB ; _ωc1 M.G., dB = -13.836 dB ; _ωc2

Figura 6

Como se puede apreciar en este sistema, será estable si los dos márgenes de ganancia tienen distinto signo, uno positivo y el otro negativo. Si

tuvieran el mismo signo el sistema sería inestable como se puede apreciar.

Margen de Ganancia de Sistemas con la L(s) de Fase no Mínima

Se debe tener cuidado al intentar extender el concepto de margen de ganancia como medida de la estabilidad relativa para sistemas con

funciones de transferencias del lazo de fase no mínima. En tales sistemas, los mismos pueden ser inestables aun si el punto crítico no esta incluido por las trazas de Nyquist de L (jw). También el punto de cruce de fase puede estar a la derecha de (-1, j0), y por tanto tener un M.G. positivo y puede aún corresponder a sistemas inestables. De todas formas la cercanía del cruce de fase al punto (-1, j0) todavía da información de la estabilidad relativa. El concepto de M.G. con la ayuda del criterio de Nyquist para

determinar el Φ_11E y comparándolo con el Φ_11R, ver si el sistema es estable.

Ejemplo 5:

Si un sistema tiene la L(s) siguiente:

) 1 ( ) 1 (

) 2 ( ) 5

( + −

= −

s s s s s L

La traza de Nyquist se muestra en la figura 7, si tuviéramos solo la traza y no tenemos más información, si L(s) fuera de fase mínima tendría un M.G.

CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín 11

en dB infinito, o sea M.G,.dB=∞dB, y el sistema sería estable para cualquier valor de la ganancia del lazo K.

-2 -1 0

-3 -2 -1 0 1 2 3

jω

σ Como Φ11E=-270º

y Φ11R=-90º

El sistema será Inestable a pesar que la traza de Nyquist no incluye el punto crítico.-

Figura 7 Sin embargo: Φ_11E =−(0.5+1)180º=−270º

Como Φ_11R =−90º, el sistema inestable para cualquier valor de K.

Ejemplo 6:

Si un sistema tiene la L(s) siguiente:

10 3

) 2 ( ) 10

( _{3 2}

+ +

= +

s s

s s K

L ; para K = 0.8 y 2.-

Como: P = 2 y Pw = 0, se tiene que:

º 360 º

180 ) 2 0

11 =−( + =−

Φ _E

Como se puede apreciar en la figura 8, donde se muestran las trazas para K = 0.8 y K = 2, el Φ_11R, para el primer caso es 0º, sistema es inestable y la frecuencia de cruce de fase esta a la derecha del punto crítico (-1, j0).

Para el segundo es -360º, sistema estable y la frecuencia de cruce de fase esta a la izquierda del punto crítico (-1, j0).

Aplicando la definición del margen de ganancia los mismos serian:

Para el primer caso, K = 0.8, el margen de ganancia es de:

dB dB

G

M. ,. =+1.938

Para el segundo caso, K = 2, el margen de ganancia es de:

dB dB

G

M. ,. =−6.02 ; en wC=3.1623rad/seg.-

CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín 12

-8 -4 0 4

-2 0 2 4 6 8 10

12 jω

σ

2K 2K

-1

Para K=2

Para K=0.8

ω^c

Sistema Estable

Sistema Inestable

-K -K

Φ^11R=Φ^11E=-360º Φ11R=0º ; distinto de

Φ11E=-360º

Figura 8 Ejemplo 7:

Un sistema tiene:

) 1 (

) 4 1 ) (

( −

= + s s

s s K

L ; para K = 0.5 , M.G., dB = ?

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

3 jIm L

Re L ωc = 0.5 r/s

- 4 K = - 2

L(s) de Fase no Mínima:

L(jωc) = -2 M.G., dB = -6.02 dB

Figura 9

CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín 13

La traza de Nyquist para K = 0.5, se indica en la figura 9.

R

E 11

11 =−(0.5+1)180º=−270º≡Φ

Φ , por lo tanto el

sistema es estable

y el

margen de ganancia es: MG dB dB

K G K

M ^Lím 0.5 . ., 6.02

50 . 0

25 . . 0

. = = = ⇒ =−

O también: L(jω_C)=−2 ⇒ M.G.,dB=−20log2 ⇒ M.G.,dB=−6.02dB.− Margen de Fase. (Para Sistemas con L(s) de Fase Mínima)

Como ya vimos el margen de ganancia indica solo la influencia que tiene sobre la estabilidad de un sistema solo la variación de la ganancia del lazo.

En principio uno creería que un con un margen de ganancia grande debería ser siempre mas estable que uno con un margen de ganancia pequeño, o que dos sistemas con idénticos márgenes de ganancias tendrían la misma estabilidad relativa. Sin embargo, esta afirmación

no es en general válida

, cuando

otros parámetros

del sistema

distintos

de la ganancia del lazo están sujetos a

variaciones

, por ende solamente el margen de ganancia es

inadecuado para medir la estabilidad relativa en estos casos. Por ejemplo, los dos sistemas representados por las trazas de L(jw) en la figura 10a en apariencia tendrían la misma estabilidad relativa, pues los márgenes de ganancia son idénticos. Sin embargo la traza del sistema A en realidad corresponde a un sistema mas estable que el B ya que cualquier cambio de algún parámetro que afecte la fase de L(jw), el lugar A está mas cerca del punto crítico, y puede ser incluido con mayor facilidad. Aún más se puede

jIm L

Re L -1

(A)

(B)

( b ) jIm L

Re L 0

-1

(A) (B)

( a )

Figura 10

CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín 14

Demostrar que el sistema A en realidad tiene un MR más grande que el sistema B. En la figura 10b, el sistema B tiene un margen de ganancia menor que el sistema A y sin embargo el sistema B, por las razones ya comentadas seria mas estable que el A.

Para tener en cuenta el efecto del corrimiento de la fase sobre la

estabilidad elativa, (atrasos debidos a la variación de otros parámetros distintos que la ganancia del lazo), se introduce el concepto de,

Margen de Fase, (M.F.)

, el mismo requiere que se den primero las siguientes

definiciones:

Cruce de Ganancia:

El cruce de ganancia es un punto sobre la traza L (jw) en el cual la magnitud de L(jw) es igual a la unidad. Generalmente para los sistemas estables con la L(s) de fase mínima, este punto esta en el 3º o 4º

cuadrante del plano de Nyquist.

Frecuencia del Cruce de Ganancia:

La frecuencia del cruce de ganancia, ϖ_g, es la frecuencia de L (jw) en el cruce de ganancia, o donde: L(jω_g) =1

Para que el sistema sea estable deberá ser ω_g <ω_C.

La definición del Margen de Fase dada a continuación es para los sistemas con la función de transferencia del Lazo típica y de fase mínima.

-2 -1 0 1

-2 -1 0 1

ωg

Cruce de Ganancia

0 jIm L

Re L ω^c

Margen de Fase = M. F.º

ω ^{= 0}

Figura 11

“El Margen de Fase (M.F.) se define como el mínimo ángulo en grados que

CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín 15

la traza L (jw) se debe rotar alrededor del origen, para que el cruce de ganancia pase por el punto critico (-1, j0)”. Si la rotación es horaria el M.F.

es positivo y el sistema es estable, admite un atraso. Si la misma es en sentido antihorario el M.F. será negativo y el sistema es inestable.

La figura 11, muestra la traza de Nyquist de una L (jw) típica de fase mínima. El margen de fase se indica como el ángulo entre la línea que partiendo del origen del plano L (jw) pasa por el punto del cruce de ganancia, y el eje real negativo del mismo plano.

En contraste al M.G., el cual da una medida de los efectos de la ganancia del lazo sobre la estabilidad relativa del sistema, el M.F. indica el efecto sobre la estabilidad, debido a cambios en los parámetros del sistema que teóricamente alteran la fase de L (jw) en una cantidad igual para todas las frecuencias.

También se puede decir que:

El margen de fase es la cantidad de retardo puro que se puede añadir al lazo, (de un sistema estable), antes de que el mismo se vuelva inestable.

Cuando el sistema tiene una L(s) de fase mínima, la expresión analítica del margen de fase, como se observa en la figura 11, se puede expresar

como:

º 180 ) ( ) º ( . . 0

)

( > ⇒ =∠ −

∠L j _g M F L j _g

Si ω ω

) ( º 180 ) º ( . . 0

)

(j _g M F L j _g

L

Si ∠ ω < ⇒ = +∠ ω

En donde ω_g es la frecuencia del cruce de ganancia.-

Para los sistemas con L(s) de fase mínima, (tanto típicas, atípicas o condicionalmente inestables), si son estables el cruce de fase ocurre generalmente en el 3º cuadrante, (eventualmente el 4º), y por ende el M.F. será siempre positivo, (o sea todavía admite un retardo). Si estos sistemas son inestables este cruce ocurre generalmente en el 2º

cuadrante, (eventualmente en el 1º), y por ende el M.F. será siempre negativo.

Se pueden sacar las siguientes conclusiones para los M.G. y M.F.:

• Para un sistema con la L(s) típica y de fase mínima, para que el mismo sea estable deberán ser: M.G., dB y M.F. (º), positivos.

• Para un sistema con la L(s) atípica y de fase mínima, para que el mismo sea estable deberán ser: M.G., dB < 0 y M.F. (º) >0.

• Para un sistema con la L(s) condicionalmente estable, para que el mismo sea estable deberá ser el M.F. (º), positivo.

Nota:

En una L(s) con el parámetro variable, la ganancia del lazo K, una vez fijado el valor de la misma, se puede determinar el M.G. con la L(s) real, o en una L(s) equivalente, L _equiv.(s), si el parámetro que varía es distinto de la ganancia del lazo K.

CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín 16

En cambio el Margen de Fase resultante, fijado el valor del parámetro variable, sea cualquiera,

solo se deberá determinar con la L(s) real.-

Margen de Fase de Sistemas con la L(s) de Fase no Mínima

Se debe tener cuidado si se interpreta el M.F. desde la traza de Nyquist de una función de transferencia del lazo de fase no mínima. En estos casos, el cruce de ganancia puede ocurrir en cualquier cuadrante del plano L(jw) y el sistema ser estable o inestable, según sea:

E

R 11

11 =Φ

Φ o Φ_11R ≠Φ_11E respectivamente.

Por ejemplo en los ejemplos, 5, 6 y 7:

• Para el ejemplo 5: El sistema es inestable y si se aplica el concepto de M.F. el mismo daría positivo.

• Para el ejemplo 6: Para K=2, el sistema es estable y si se aplica el concepto de M.F. el mismo también daría positivo.

• Para el ejemplo 7: El sistema es estable y si se aplica el concepto de M.F. el mismo daría positivo.

El margen de fase al igual que el M.G. puede determinarse en forma analítica.

Ejemplo 8:

Un sistema tiene:

) 2 ) (

( = +

s s s K

L ; para K=1.5 determinar : 1. El Margen de Ganancia del sistema.

2. El Margen de fase del sistema

3. El tiempo de retardo máximo permitido, Td_Máx..- 1º) Por tratarse de un sistema típico de segundo orden,:

dB dB

G M j

L _g

g →∞ ⇒ ( ω ) =0 ⇒ . ,. =+∞

ω

2º) Primero se determinara la frecuencia de cruce de ganancia:

ω 1 4 ω

1.5 )

jω (2 jω j 1.5

L 2

g g g

g

g =

= +

= + )

( ω ⇒ ω_g 4+ω²_g −1.5=0; operando:

0 2.25 ω

4 ²_g

g + − =

ω4 ; si x=ω_g² ⇒ ω_g = x

. / 707 . 0 50 . 0 50

. 0 5

. 4 0

25 . 2

4 _{1 2}

2 x x y x rad seg

x + − = ⇒ =− =+ ⇒ ω_g = ≅

Por lo tanto:

º 47 . 109 )

( º

47 . 109 )

º 47 . 19 º 90 ( ) 2 / º

90 ( )

( =− + ¹ =− + =− ⇒ ∠ =−

∠L jω_g tag⁻ω_g L jω_g

Por ende el M. F. será:

M.F.º=180º-109.47º ⇒ M.F.º=+70.53º

3º) El tiempo de retardo máximo permitido es entonces:

. 741 . 1 .

741 . 180 1 707 . 0

º 53 . 70 º

180 /

/º º

. .

.

. seg Td seg

s r

rad F

Td M _MÁX

g

MÁX = ⇒ =

×

= ×

×

= × π

ω π

La figura 12 muestra la traza de Nyquist de L(jw), con Td=0 y Td=Td_MÁX.-

CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín 17

-2 -1 0 1

-4 -3 -2 -1 0 1

M.F. = INF dB ωc = INF Rad/s M.F. = 70.53 deg

ωg = 0.707 Rad/s Traza de Nyquist de L(jω)

Td = 0 seg.

Td = Tdm áx. = 1.741 seg.

Re L jIm L

ωg

Figura 12 Ejemplo 9:

Un sistema tiene:

) 50 ( ) 5 ) (

( = + +

s s s s K

L ; para K = 2500 determinar :

1. El Margen de Ganancia del sistema.

2. El Margen de fase del sistema

3. El tiempo de retardo máximo permitido, Td_Máx..- 1º) La ecuación característica del sistema es:

13750 2500

55 0

250 55 ²

3 + s + s+K = ⇒K_L = × =

s

por ende el M.G. será:

dB dB

G M G

K M G K

M ^KL . . 5.5 . ., 20log(5.5) 14.81 2500

13750 .

. = = = ⇒ = =+

Otra forma de hallar el M.G. es determinar la frecuencia de cruce de fase:

La misma resulta ser: ω_C =15.81rad/seg., luego el módulo de L(jwC):

dB j

L dB

G M j

L( ω_C) =2500/13750=0.1818 ⇒ . ., =−20log ( ω_C) =−20log(0.1818)=+14.81

2º) La frecuencia de cruce de ganancia se determina así:

2500 1 25

) 2500

( 2 2 =

+

= +

g g

g

j g

L ω ω ω ω

) 2500 ( ) 25 (

6250000=ω_g² +ω²_g +ω_g² ; operando se llega a:

0 6250000 62500

2525 ^{4 2}

6 + _g + _g − =

g ω ω

ω ; las soluciones son:

2184 . 6 0423

. 8 99

.

49 _{3 4 5 6}

2

1₋ =± _{g −} =± _{g −} =±

g j ω j y ω

ω , en consecuencia la

frecuencia buscada es: ω_g =6.2184rad/seg.−

CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín 18

La fase de L(jw) será:

º 3 . 148 )

50 / 5

/ º

90 ( )

( =− + ¹ + ¹ =−

∠L jω_g tag⁻ω_g tag⁻ω_g

Otra forma de hallar la fase de L(jw) es:

) 250 ( 55

) 2500

( _{2 2}

ω ω

ω ω

− +

= − j j

L ; por lo tanto:

862 . 2127

358 . 1314 55

) 250

( ¹

2 1

− −

− =

− −

=

∠L j tag⁻ tag⁻

g g

g ω

ω ω , llamando:

862 . 2127

358 .

11314

= tag−

α , será:

º 28 . 148 )

180 ( )

( =− − =−

∠L jω_g α , en consecuencia: M.F.º=180º+∠L(jω_g) M.F.= 31.72º.-

3º) El Tdmáx, será: ⇒ = −

×

= × 0.0889 .

180 2184 . 6

º 72 . 31

.

. Td seg

Td_máx π _máx

La figura 13 resume todo lo calculado.

-3 -2 -1 0 1

-20 -15 -10 -5 0 5

M .G. = 14.81 dB ωc = 15.81 Rad/s M.F. = 31.72 deg

ωg = 6.22 Rad/s

jIm L

Re L

Con Td = 0 seg.

Con Td = 0.0889 seg.

Figura 13 Ejemplo 10:

Un sistema de control tiene la siguiente función de transferencia del lazo:

s Kt s

s s

s s s Ka

L − + +

+

= +

) 2 ( ) 1 (

) 4 ( ) 2 ) (

(

Si Kt = 2.1 es constante determinar, aplicando el criterio de Nyquist.

1) El o los rangos de la ganancia Ka para que el sistema sea estable.

2) Si Ka = 2, el o los M.G. en dB y el M.F. en grados del sistema.

Si Ka = 0.5 es constante determinar, aplicando el criterio de Nyquist.

3) El rango de la ganancia Kt para que el sistema sea estable.

4) Si Kt = 2.25, el M.G. en dB y el M.F. en grados del sistema.