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(1)

Matem´atica Discreta

Agust´ın G. Bonifacio

UNSL

Relaciones Binarias

Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta

(2)

Relaciones Binarias (Secci´on 3.1 del libro)

Definici´ on

Una relaci´on (binaria) R de un conjunto X a un conjunto Y es un subconjunto del producto cartesiano X × Y. Si (x, y) ∈ R,

escribimos xRy y decimos que “x est´ a relacionada con y”. Si X = Y, R es una relaci´on binaria sobre X.

El dominio de R es el conjunto

{x ∈ X | (x, y) ∈ R para algun y ∈ Y }.

La imagen de R es el conjunto

{y ∈ Y | (x, y) ∈ R para algun x ∈ X}.

(3)

Observaci´on

Una funci´on es un tipo especial de relaci´on. Una funci´on f : X → Y es una relaci´on de X a Y que cumple:

1

domf = X,

2

para cada x ∈ X, existe un ´ unico y ∈ Y tal que (x, y) ∈ f.

Ejemplo

Sean X{2, 3, 4} y Y = {3, 4, 5, 6, 7}. si definimos una relaci´on R de X a Y de la siguiente forma:

(x, y) ∈ R ⇐⇒ x divide a y se obtiene

R = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}.

Notemos que domR = {2, 3, 4} y ImR = {3, 4, 6}.

Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta

(4)

Ejemplo

Sea R sobre {1, 2, 3, 4} definida por xRy ⇐⇒ x ≤ y.

Entonces

R = {(1, 1), . . . , (1, 4), (2, 2), . . . , (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

y domR = ImR = X.

Una forma informativa de visualizar una relaci´on es a trav´es de un digrafo (grafo dirigido). Para ello:

1

Se dibujan v´ertices para representar los elementos de X.

2

Si (x, y) ∈ R, se dibuja una arista dirigida de x a y.

3

Una arista dirigida de x a x se denomina lazo.

(5)

Ejemplo

Mostrar a trav´es de un digrafo la relaci´on

R = {(a, b), (b, c), (c, b), (d, d)}.

Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta

(6)

Propiedades

Definici´ on: Una relaci´on R sobre un conjunto X se dice reflexiva si (x, x) ∈ R para todo x ∈ X.

Observaci´ on: El digrafo asociado a una relaci´on reflexiva tiene un lazo en cada v´ertice.

Ejemplo: R sobre {1, 2, 3, 4} definida por xRy ⇐⇒ x ≤ y es reflexiva.

Ejemplo: La relaci´on R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} sobre X = {a, b, c, d} NO es reflexiva, ya que (b, b) / ∈ R.

Definici´ on: Una relaci´on R sobre un conjunto X se dice sim´etrica si para todo par x, y ∈ X, si (x, y) ∈ R, entonces (y, x) ∈ R.

Observaci´ on: El digrafo asociado a una relaci´on sim´etrica

cumple que siempre que existe una arista dirigida de v a w,

tambi´en existe una arista dirigida de w a v.

(7)

Ejemplo: La relaci´on R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} es sim´etrica.

Ejemplo: La relaci´on R sobre {1, 2, 3, 4} definida por xRy ⇐⇒ x ≤ y NO es sim´etrica, ya que (2, 3) ∈ R pero (3, 2) / ∈ R.

Definici´ on: Una relaci´on R sobre un conjunto X se dice antisim´etrica si para todo par x, y ∈ X, si (x, y) ∈ R y x 6= y, entonces (y, x) / ∈ R.

Observaci´ on: una forma equivalente de enunciar la antisimetr´ıa es la siguiente. Si (x, y) ∈ R y (y, x) ∈ R, entonces x = y. (Ejercicio)

Ejemplo: La relaci´on R sobre {1, 2, 3, 4} definida por xRy ⇐⇒ x ≤ y es antisim´etrica.

Observaci´ on: El digrafo asociado a una relaci´on antisim´etrica tiene la propiedad de que entre dos v´ertices cualesquiera existe a lo sumo una arista dirigida.

Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta

(8)

Ejemplo: La relaci´on {(a, a), (b, b), (c, c)} sobre X = {a, b, c}

es antisim´etrica, y tambi´en es sim´etrica.

Definici´ on: Una relaci´on R sobre un conjunto X se dice transitiva si para toda terna x, y, z ∈ X : si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R, entonces (x, z) ∈ R.

Ejemplo: La relaci´on R sobre X = {1, 2, 3, 4} definida por (x, y) ∈ R ⇐⇒ x ≤ y es transitiva.

Observaci´ on: El digrafo asociado a una relaci´on transitiva tiene la propiedad de que siempre que haya una arista dirigida de x a y y otra de y a z, tambi´en habr´ a una de x a z.

Ejemplo: La relaci´on R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} NO es

transitiva, ya que (b, b) / ∈ R y (c, c) / ∈ R.

(9)

Las relaciones resultan ´ utiles para ordenar conjuntos . Por ejemplo, la relaci´on “menor o igual” ≤ para ordenar los enteros.

Definici´ on

Una relaci´on R sobre un conjunto X es un orden orden parcial si es reflexiva, antisim´etrica y transitiva.

Ejemplo: La relaci´on R definida en los naturales por (x, y) ∈ R ⇐⇒ “x divide a y” es un orden parcial.

Si R es orden parcial, a veces (x, y) ∈ R se escribe x  y, lo que sugiere ordenaci´ on.

Los elementos x, y ∈ X son comparables si x  y ´ o y  x. Si no, son incomparables. Si todo par de elementos de X es comparable, R es un orden total.

El “menor o igual” definido en los enteros es un orden total.

La relaci´on “divide” definida en los naturales es un orden parcial (ya que 2 y 3, por ejemplo, son incomparables).

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(10)

Definici´ on: Sea R una relaci´on de X a Y. La inversa de R, denotada R

−1

, es la relaci´on de Y a X definida por

R

−1

= {(y, x) | (x, y) ∈ R}.

Ejemplo: Si R es la relaci´on “divide” de X = {2, 3, 4} a Y = {3, 4, 5, 6, 7}, se obtiene

R = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}.

Entonces

R

−1

= {(4, 2), (6, 2), (3, 3), (6, 3), (4, 4)}.

R

−1

se lee “es divisible entre” ´ o “es m´ ultiplo de”.

(11)

Definici´ on: Sean R

1

una relaci´on de X a Y y R

2

una relaci´on de Y a Z. La composici´on de R

1

y R

2

, denotada por R

2

◦ R

1

, es la relaci´on de X a Z definida por:

R

2

◦R

1

= {(x, z) | (x, y) ∈ R

1

y (y, z) ∈ R

2

para algun y ∈ Y } Ejemplo: La composici´on de

R

1

= {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}

y

R

2

= {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

es

R

2

◦ R

1

= {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u)}

Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta

(12)

Relaciones de Equivalencia (Secci´on 3.2 del libro)

Sean X un conjunto y S una partici´on de X. Se puede definir una relaci´on R en X si relacionamos entre s´ı a los elementos de X que pertenecen a un mismo elemento S de la partici´on S. (Ejemplo: ser del mismo color.)

Teorema 1

Sean X un conjunto no vac´ıo y S una partici´on de X. Definamos

una relaci´on sobre X de la siguiente manera: xRy si y s´ olo si tanto

x como y pertenecen a S ∈ S. Entonces R es reflexiva, sim´etrica y

transitiva.

(13)

Teorema 1

Sean X un conjunto no vac´ıo y S una partici´on de X. Definamos una relaci´on sobre X de la siguiente manera: xRy si y s´olo si tanto x como y pertenecen al mismo S ∈ S. Entonces R es reflexiva, sim´etrica y

transitiva.

Demostraci´on:

Sea x ∈ X. Por definici´on de partici´on, existe un S ∈ S tal que x ∈ S. Esto implica que xRx y, por lo tanto, R es reflexiva.

Sean x, y ∈ X. Supongamos que xRy. Entonces, tanto x como y pertenecen a un mismo S ∈ S. Equivalentemente, tanto y como x pertenecen a un mismo S ∈ S. Se sigue que yRx y, en

consecuencia, R es sim´etrica.

Sean x, y, z ∈ X. Supongamos que xRy y que yRz. Entonces, tanto x como y pertenecen a un mismo S ∈ S y tanto y como z pertenecen a un mismo T ∈ S. Como S es partici´on, y pertenece a un ´unico miembro de S. Por lo tanto S = T, lo que significa que tanto x como z pertenecen a S ∈ S. Se sigue que xRz, esto es, R es transitiva. Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta

(14)

Ejemplo

Consideremos la partici´on S = {{1, 3, 5}, {2, 6}, {4}} de {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Entonces

R = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (2, 2), (2, 6), (6, 2), (6, 6), (4, 4)}.

Ejercicio: dibujar el digrafo que representa la relaci´on.

Definici´ on

Una relaci´on reflexiva, sim´etrica y transitiva en un conjunto X se

llama relaci´on de equivalencia sobre X.

(15)

Ejemplo

La relaci´on R sobre X = {1, 2, 3, 4} definida por (x, y) ∈ R si y s´ olo si x ≤ y NO es de equivalencia porque no es sim´etrica.

Ejemplo

La relaci´on R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} NO es de equivalencia porque no es ni reflexiva ni transitiva, ya que (b, b) / ∈ R.

Definici´ on

Sea R una relaci´on de equivalencia sobre un conjunto X. Para cada a ∈ X, el conjunto

[a] ≡ {x ∈ X | xRa}

se denomina clase de equivalencia de a.

Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta

(16)

Observaci´on

Las clases de equivalencia aparecen con bastante claridad en el digrafo asociado con una relaci´on de equivalencia. Una clase es el subgrafo m´as grande que cumple que, para cualesquiera 2 v´ertices en ´el, existe una arista dirigida entre ellos.

Ejemplo

Para la relaci´on del primer ejemplo, [1] = [3] = [5] = {1, 3, 5}, [2] = [6] = {2, 6} y [4] = {4}.

Afirmaci´on

Sea R relaci´on de equivalencia sobre X y c, d ∈ X. Si cRd, entonces [c] = [d].

Demostraci´on:Supongamos c, d ∈ X tales que cRd. Tomemos x ∈ [c].

Entonces xRc. Como cRd y R es transitiva, xRd. Por lo tanto, x ∈ [d].

Acabamos de ver que [c] ⊆ [d]. Razonando an´alogamente obtenemos que [d] ⊆ [c]. Se sigue que [c] = [d]. 

(17)

Teorema 2

Sea R una relaci´on de equivalencia sobre un conjunto X. Entonces S = {[a] | a ∈ X},

donde [a] denota la clase de equivalencia de a, es una partici´on de X.

Demostraci´ on: Debemos ver que todo elemento de X pertenece exactamente a un miembro de S.

Sea a ∈ X. Como, por reflexividad, aRa, tenemos que a ∈ [a].

Esto significa que todo elemento de X pertenece al menos a un miembro de S. Resta ver que todo elemento de X pertenece a exactamente un miembro de S. Es decir, si x ∈ [a] y x ∈ [b], entonces [a] = [b]. Supongamos entonces que x ∈ [a] y x ∈ [b].

Esto implica que xRa y xRb. Por la afirmaci´ on anterior, [x] = [a] y [x] = [b]. Por lo tanto, [a] = [x] = [b], esto es, [a] = [b]. 

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(18)

Teorema 3

sea R una relaci´on de equivalencia sobre un conjunto finito X. Si cada clase de equivalencia tiene r elementos, existen

|X|r

clases de equivalencia.

Demostraci´ on: Sean X

1

, . . . , X

k

las clases de equivalencias.

Como estas clases forman una partici´on de X,

|X| = |X

1

| + |X

2

| + . . . + |X

k

| = r.k,

por lo tanto, k =

|X|r

. 

(19)

Hemos visto que, dado un conjunto X no vac´ıo,

1

Toda partici´on de X define una relaci´on de equivalencia sobre X (Teorema 1),

2

Toda relaci´on de equivalencia sobre X define una partici´on de X (Teorema 2).

Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta

(20)

Conjuntos Parcialmente Ordenados y Reticulados

Cap´ıtulo 4 del libro de B. Kolman, R. Busby y S. Ross.

Definici´ on

Una relaci´on R sobre un conjunto X es un orden orden parcial si es reflexiva, antisim´etrica y transitiva. El conjunto A con el orden parcial R se llama conjunto parcialmente ordenado (c.p.o.) y se escribe (A, R).

Ejemplo

Sea A una colecci´on de subconjuntos de un cierto conjunto X. La

relaci´on “⊆” de inclusi´ on de conjuntos es un orden parcial en A,

por lo cual (A, ⊆) es un c.p.o.

(21)

Ejemplo

Sea Z

+

el conjunto de los enteros positivos. La relaci´on “≤”

(menor o igual) es un orden parcial sobre Z

+

, al igual que “≥”

(mayor o igual).

Ejemplo

La relaci´on “<” (menor) no es orden parcial, ya que no es reflexiva.

Ejercicio

Ver que si R es un orden parcial sobre A y R

−1

es la relaci´on inversa de R (esto es, aR

−1

b ⇐⇒ bRa), entonces R

−1

es un orden parcial en A.

Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta

(22)

Definici´ on

El c.p.o. (A, R

−1

) se llama dual del c.p.o. (A, R), y al orden parcial R

−1

se le llama dual del orden parcial R.

Notaci´on

En general, en vez de R escribiremos 6, y en vez de R

−1

escribiremos > .

Definici´ on

Si (A, 6) es un c.p.o, dos elementos a y b de A se dicen

comparables si a 6 b ´o b 6 a. Si cada par de elementos en un

c.p.o. es comparable, se dice que A est´ a linealmente ordenado (o

totalmente ordenado) y que 6 es un orden lineal (orden total o

cadena).

(23)

Ejemplo

(Z

+

, ≤) est´ a linealmente ordenado, pero (A, ⊆) (del primer ejemplo), no.

El siguiente teorema muestra c´omo construir un c.p.o. a partir de otros c.p.o.

Teorema

Sean (A, 6

A

) y (B, 6

B

) dos c.p.o. Definamos la relaci´on 6

A×B

en el conjunto A × B de la siguiente manera:

(a, b) 6

A×B

(a

, b

) si y s´ olo si a 6

A

a

y b 6

B

b

. Entonces (A × B, 6

A×B

) es un c.p.o.

Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta

(24)

(a, b) 6A×B(a, b) si y s´olo si a 6Aay b 6B b. Demostraci´on:

Sea(a, b)∈ A × B. Por reflexividad de 6A, a 6Aa. Por reflexividad de 6B, b 6Bb. Entonces, por definici´on de 6A×B,(a, b) 6A×B (a, b). Por lo tanto, 6A×B es reflexiva.

Sean(a, b) y (a, b) en A× B. Supongamos que (a, b) 6A×B(a, b) y que(a, b) 6A×B(a, b). Por definici´on de 6A×Btenemos que a 6Aay que a6Aa. Por antisimetr´ıa de 6A, a= a. An´alogamente, como b 6B by b6Bb, la antisimetr´ıa de 6B implica que b= b. Conclu´ımos entonces que(a, b) = (a, b), por lo que 6A×B es antisim´etrica.

Sean(a, b), (a, b) y (a′′, b′′) en A× B. Supongamos que

(a, b) 6A×B(a, b) y que (a, b) 6A×B(a′′, b′′). Por definici´on de 6A×B, tenemos a 6Aay a6Aa′′, y por transitividad de 6A, llegamos a que a 6Aa′′. An´alogamente, como b 6Bby b6b′′, por transitividad de 6B llegamos a que b 6B b′′. Conclu´ımos entonces, por definici´on de 6A×B, que(a, b) 6A×B(a′′, b′′), por lo que 6A×B es transitiva. 

(25)

Observaci´on

Al orden parcial 6

A×B

definido en el Teorema anterior se le llama orden parcial del producto.

Definici´ on

Si (A, 6) es un c.p.o., se escribe a < b si a 6 b pero a 6= b.

Otro orden parcial ´ util que puede definirse en el producto cartesiano de dos c.p.o. es el orden lexicogr´ afico.

Definici´ on

Sean (A, 6

A

) y (B, 6

B

) dos c.p.o. El orden lexicogr´ afico en A × B, denotado por ≺

A×B

, se define de la siguiente manera:

(a, b) ≺

A×B

(a

, b

) ⇐⇒ a <

A

a

´ o (a = a

y b 6

B

b

).

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(26)

Ejemplo

Sean A = R y ≤ su orden usual. Entonces el plano R

2

puede ordenarse lexicogr´ aficamente.

Aqu´ı p

1

≺ p

2

, p

1

≺ p

3

y p

2

≺ p3.

(27)

Ejemplo

Sea S = {a, b, c, . . . , z} es alfabeto con el orden usual. Entonces S

n

es el conjunto de palabras de longitud n. El orden lexicogr´ afico en S

n

da el orden de diccionario de las palabras.

Teorema

El digrafo de un orden parcial no tiene ciclos de longitud mayor que 1.

Demostraci´ on: Supongamos que el digrafo asociado al orden parcial 6 sobre A tiene un ciclo de longitud n ≥ 2. Entonces existen a

1

, . . . , a

n

distintos en A tales que

a

1

6 a

2

, a

2

6 a

3

, . . . , a

n−1

6 a

n

, a

n

6 a

1

.

Por transitividad, a

1

6 a

n

. Como adem´ as a

n

6 a

1

, por antisimetr´ıa a

1

= a

n

. 

Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta

(28)

Diagrama de Hasse

Dado un c.p.o. 6, borramos del digrafo asociado:

1

Los lazos implicados por la reflexividad,

2

Las aristas implicadas por la transitividad.

Ejemplo

Digrafo y diagrama de Hasse para (A, 6) con A = {a, b, c} y

a 6 b 6 c.

(29)

Ejemplo

Sean X = {a, b, c} y A = P(X). El diagrama de Hasse de A ordenado con ⊆ es el siguiente:

Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta

(30)

Observaciones

1

El diagrama de Hasse de un conjunto ordenado linealmente es una l´ınea vertical.

2

Si (A, 6) es un c.p.o. y (A, >) es su dual, el diagrama de Hasse de (A, >) es el de (A, 6) girado cabeza abajo.

Dado un c.p.o. (A, 6), a veces es necesario encontrar un orden

lineal  del conjunto A que extienda al orden parcial, en el sentido

de que a 6 b =⇒ a  b. El proceso de construcci´ on de un tal

orden  se denomina clasificaci´on topol´ ogica.

(31)

Ejemplo

Existen muchas maneras de hacer una clasificaci´on topol´ ogica.

Para el siguiente c.p.o.

existen (por lo menos) las siguientes dos:

1

a  b  c  d  e  g  f,

2

a  c  g  b  d  e  f.

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(32)

Definici´ on

Sea (A, 6) un c.p.o.

1

Un elemento a ∈ A se llama elemento maximal de A si no existe un c ∈ A tal que a < c.

2

Un elemento b ∈ A se llama elemento minimal de A si no existe un c tal que c < b.

Observaci´on

Si (A, >) es el dual de (A, 6), a es maximal (minimal) de (A, 6) si y s´ olo si a es minimal (maximal) de (A, >).

Ejemplo

1

(R

+

, ≤), el 0 es minimal y no tiene maximales.

2

(Z, ≤) no tiene ni minimales ni maximales.

(33)

Ejemplo

Un c.p.o. con tres elementos maximales y tres elementos minimales.

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(34)

Teorema

Sea (A, 6) un c.p.o. finito. Entonces A tiene al menos un maximal y al menos un minimal.

Demostraci´ on: Sea a ∈ A. Si a no es maximal, existe un a

1

∈ A tal que a < a

1

. Si a

1

no es maximal, existe un a

2

∈ A tal que a

1

< a

2

. Como A es finito este argumento no puede extenderse indefinidamente y, en el peor de los casos, obtendremos una cadena finita

a < a

1

< . . . < a

k−1

< a

k

que no podr´ a extenderse, por lo que a

k

es un elemento maximal de

(A, 6). Usando el mismo argumento podemos asegurar existencia

de elemento maximal en el dual (A, >), por lo cual (A, 6) tiene un

elemento minimal. 

(35)

Definici´on

Sea (A, 6) un c.p.o.

1 Un elemento a ∈ A es unm´aximode A si x 6 a para todo x ∈ A.

2 Un elemento a ∈ A es unm´ınimode A si a 6 x para todo x ∈ A.

Ejemplo

1 Sea X = {a, b, c} y A = P(X) ordenado por la inclusi´on de conjuntos, ⊆ . Entonces el m´ınimo es ∅ y el m´aximo es X.

2 (Z, ≤) no tiene ni m´ınimo ni m´aximo.

Teorema

Un c.p.o. tiene a lo sumo un m´aximo y a lo sumo un m´ınimo.

Demostraci´on:Supongamos que a y b son m´aximos. Entonces a 6 b y b 6 a. Por antisimetr´ıa, a = b. La prueba para unicidad del m´ınimo es similar. 

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(36)

Definici´ on

Sean (A, 6) un c.p.o. y B ⊆ A.

1

Un a ∈ A es cota superior de B si b 6 a para todo b ∈ B.

2

Un a ∈ A es cota inferior de B si a 6 b para todo b ∈ B.

3

Un a ∈ A es cota superior m´ınima de B (o supremo de B) si:

(i) a es cota superior de B, y (ii) si a

∈ A es otra cota superior de B, entonces a 6 a

.

4

Un a ∈ A es cota inferior m´ axima de B (o ´ınfimo de B) si: (i)

a es cota inferior de B, y (ii) si a

∈ A es otra cota inferior de

B, entonces a

6 a.

(37)

Ejemplo B

1

= {a, b}

No tiene cotas inferiores.

Cotas superiores:

c, d, e, f, g, h.

sup(B

1

) = c.

No existe ´ınf(B

1

).

B

2

= {c, d, e}

Cotas inferiores: a, b, c.

Cotas superiores: f, g, h.

No existe sup(B

2

), ya que f y g no se pueden comparar.

´ınf(B

2

) = c.

Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta

(38)

Teorema

Sea (A, 6) un c.p.o. Todo B ⊆ A tiene a lo sumo un supremo y a lo sumo un ´ınfimo.

Demostraci´ on: Ejercicio (similar al de unicidad de m´ aximo). 

(39)

Reticulados

Definici´ on

Un reticulado (o lattice) es un c.p.o. (A, 6) en el cual cada subconjunto de dos elementos tiene ´ınfimo y supremo. Es decir, un reticulado es un (A, 6, ∧, ∨) tal que para cualquier par a, b ∈ A tenemos:

1

a ∧ b ≡ ´ınf{a, b},

2

a ∨ b ≡ sup{a, b}.

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(40)

Ejemplo

Sea X un conjunto y A = P(X). Si definimos, para cada par de subconjuntos X

1

y X

2

del conjunto X el ´ınfimo y el supremo de la siguiente forma:

1

X

1

∧ X

2

≡ X

1

∩ X

2

,

2

X

1

∨ X

2

≡ X

1

∪ X

2

,

entonces (A, ⊆, ∧, ∨) es un reticulado.

(41)

Con X = {a, b, c} tenemos el siguiente diagrama de Hasse:

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(42)

Definici´on

Sean a, b ∈ N. Decimos quea divide a b,lo que denotamosa|b,si existe un k ∈ N tal que b = a · k.

Ejemplo

Sea D6= {1, 2, 3, 6} el conjunto de los divisores de 6. El conjunto D6junto con la relaci´on de divisibilidad forman un c.p.o. Si definimos el ´ınfimo entre dos elementos de D6

como el m´aximo com´un divisor (MCD) entre ellos y el supremo como el m´ınimo com´un m´ultiplo (MCM) entre ellos, obtenemos el reticulado (D6, |, M CD, M CM ). Su diagrama de Hasse es el siguiente:

(43)

¿Cu´ ales de los siguientes diagramas corresponden a un reticulado?

S´I es un reticulado.

NO es reticulado (falta f ∨ g).

NO es reticulado (faltan d ∧ e, b ∨ c).

Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta

(44)

Observaci´on

Sea (A, 6) un c.p.o. y sea (A, >) su dual. Si (A, 6, ∧, ∨) es un reticulado, entonces (A, >, ∧

, ∨

) con ∧

= ∨ y ∨

= ∧, tambi´en es un reticulado.

Teorema

Si (A, 6

A

) y (B, 6

B

) son reticulados, entonces (A × B, 6

A×B

)

tambi´en es un reticulado.

(45)

Teorema

Si (A, 6A) y (B, 6B) son reticulados, entonces (A × B, 6A×B) tambi´en es un reticulado.

Demostraci´on:Como (A, 6A) es reticulado, tenemos definidos tanto el

´ınfimo ∧A como el supremo ∨A entre dos elementos cualesquiera de A.

An´alogamente, tenemos definidos tanto ∧B como ∨B en B. Tenemos entonces que definir, en base a estas operaciones, las operaciones de

´ınfimo y supremo en A × B. Dados dos elementos cualesquiera (a, b), (a, b) en A × B, sean:

1 (a, b) ∧A×B(a, b) ≡ (a ∧Aa, b ∧Bb),

2 (a, b) ∨A×B(a, b) ≡ (a ∨Aa, b ∨Bb).

Se deja como ejercicio verificar que estas definiciones, de hecho, se corresponden con los ´ınfimos y supremos de pares de elementos de A × B con el orden producto. 

Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta

(46)

Definici´ on

Sea (A, 6, ∧, ∨) un reticulado. Un subconjunto no vac´ıo S de A es un subreticulado (o sublattice) si, para todo par a, b ∈ S se cumple que a ∧ b ∈ S y a ∨ b ∈ S.

Ejemplo:

Reticulado original. NO es subreticulado

(falta a ∨ b = c). S´I es subreticulado.

(47)

Definici´ on

Sean (A, 6, ∧, ∨) y (A

, 6

, ∧

, ∨

) dos reticulados. Una funci´on biyectiva f : A → A

es un isomorfismo de (A, 6, ∧, ∨) en (A

, 6

, ∧

, ∨

) si, para cualquier par a, b ∈ A, se tiene

1

f (a ∧ b) = f (a) ∧

f (b), y

2

f (a ∨ b) = f (a) ∨

f (b).

Si f : A → A

es un isomorfismo, decimos que A y A

son isomorfos.

Observaciones

Si A y A son isomorfos bajo el isomorfismo f : A → A, entonces para todo par a, b ∈ A,

a 6 b ⇐⇒ f (a) 6f (b).

Los diagramas de Hasse de dos reticulados isomorfos son id´enticos.

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(48)

Ejemplo

Consideremos el reticulado(D6,|, M CD, M CM ) y el reticulado

(P(X), ⊆, ∩, ∪) donde X = {a, b}. La funci´on f: D6→ P(X) definida por:

f(1) =∅, f(2) ={a}, f(3) ={b}, f(6) ={a, b},

es un isomorfismo. Los diagramas de Hasse de D6 yP(X) son equivalentes:

(49)

Teorema

Sea (A, 6, ∧, ∨) un reticulado. Entonces, para todo par a, b ∈ A :

1

a ∨ b = b ⇐⇒ a 6 b,

2

a ∧ b = a ⇐⇒ a 6 b,

3

a ∨ b = a ⇐⇒ a ∧ b = b.

Demostraci´ on: Veamos (1). (=⇒) Supongamos a ∨ b = b. Por definici´ on de supremo, a 6 a ∨ b. Como a ∨ b = b, se sigue que a 6 b.

(⇐=) Supongamos a 6 b. Como adem´ as (por reflexividad) b 6 b, tenemos que b es cota superior de a y b. Por ser a ∨ b cota superior m´ınima (supremo) y b cota superior, a ∨ b 6 b. Por otro lado, a ∨ b es cota superior de b, por lo que b 6 a ∨ b. Entonces, por

antisimetr´ıa, al tener a ∨ b 6 b y b 6 a ∨ b, se deduce que a ∨ b = b.

La parte (2) es similar a la parte (1). La parte (3) es consecuencia inmediata de (1) y (2). 

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(50)

Teorema

Sea (A, 6, ∧, ∨) un reticulado y sean a, b y c elementos de A.

Entonces valen las siguientes propiedades:

1

Idempotencia: a ∧ a = a y a ∨ a = a

2

Conmutatividad: a ∧ b = b ∧ a y a ∨ b = b ∨ a

3

Asociatividad: a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c y a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c

4

Absorci´ on: a ∧ (a ∨ b) = a y a ∨ (a ∧ b) = a

Demostraci´ on: Ejercicio. 

(51)

Definici´ on

Un reticulado (A, 6, ∧, ∨) se dice distributivo si, para cualquier terna a, b, c de elementos de A se cumple que:

1

a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c),

2

a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Ejemplo

Dado un conjunto X no vac´ıo, (P(X), ⊆, ∩, ∪) es un reticulado distributivo.

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(52)

Ejemplo

Los siguientes reticulados NO son distributivos:

d ∧ (b ∨ c) = d ∧ e = d (d ∧ b) ∨ (d ∧ c) = b ∨ a = b

b ∧ (c ∨ d) = b ∧ e = b (b ∧ c) ∨ (b ∧ d) = a ∨ a = a

(53)

Teorema

Un reticulado es no distributivo si y s´ olo si contiene un subreticulado isomorfo con uno de los reticulados del ejemplo anterior.

Demostraci´ on: Fuera del alcance de este curso. 

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Referencias

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