Matem´atica Discreta
Agust´ın G. Bonifacio
UNSL
Relaciones BinariasAgust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Relaciones Binarias (Secci´on 3.1 del libro)
Definici´ on
Una relaci´on (binaria) R de un conjunto X a un conjunto Y es un subconjunto del producto cartesiano X × Y. Si (x, y) ∈ R,
escribimos xRy y decimos que “x est´ a relacionada con y”. Si X = Y, R es una relaci´on binaria sobre X.
El dominio de R es el conjunto
{x ∈ X | (x, y) ∈ R para algun y ∈ Y }.
La imagen de R es el conjunto
{y ∈ Y | (x, y) ∈ R para algun x ∈ X}.
Observaci´on
Una funci´on es un tipo especial de relaci´on. Una funci´on f : X → Y es una relaci´on de X a Y que cumple:
1
domf = X,
2
para cada x ∈ X, existe un ´ unico y ∈ Y tal que (x, y) ∈ f.
Ejemplo
Sean X{2, 3, 4} y Y = {3, 4, 5, 6, 7}. si definimos una relaci´on R de X a Y de la siguiente forma:
(x, y) ∈ R ⇐⇒ x divide a y se obtiene
R = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}.
Notemos que domR = {2, 3, 4} y ImR = {3, 4, 6}.
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Ejemplo
Sea R sobre {1, 2, 3, 4} definida por xRy ⇐⇒ x ≤ y.
Entonces
R = {(1, 1), . . . , (1, 4), (2, 2), . . . , (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
y domR = ImR = X.
Una forma informativa de visualizar una relaci´on es a trav´es de un digrafo (grafo dirigido). Para ello:
1
Se dibujan v´ertices para representar los elementos de X.
2
Si (x, y) ∈ R, se dibuja una arista dirigida de x a y.
3
Una arista dirigida de x a x se denomina lazo.
Ejemplo
Mostrar a trav´es de un digrafo la relaci´on
R = {(a, b), (b, c), (c, b), (d, d)}.
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Propiedades
Definici´ on: Una relaci´on R sobre un conjunto X se dice reflexiva si (x, x) ∈ R para todo x ∈ X.
Observaci´ on: El digrafo asociado a una relaci´on reflexiva tiene un lazo en cada v´ertice.
Ejemplo: R sobre {1, 2, 3, 4} definida por xRy ⇐⇒ x ≤ y es reflexiva.
Ejemplo: La relaci´on R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} sobre X = {a, b, c, d} NO es reflexiva, ya que (b, b) / ∈ R.
Definici´ on: Una relaci´on R sobre un conjunto X se dice sim´etrica si para todo par x, y ∈ X, si (x, y) ∈ R, entonces (y, x) ∈ R.
Observaci´ on: El digrafo asociado a una relaci´on sim´etrica
cumple que siempre que existe una arista dirigida de v a w,
tambi´en existe una arista dirigida de w a v.
Ejemplo: La relaci´on R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} es sim´etrica.
Ejemplo: La relaci´on R sobre {1, 2, 3, 4} definida por xRy ⇐⇒ x ≤ y NO es sim´etrica, ya que (2, 3) ∈ R pero (3, 2) / ∈ R.
Definici´ on: Una relaci´on R sobre un conjunto X se dice antisim´etrica si para todo par x, y ∈ X, si (x, y) ∈ R y x 6= y, entonces (y, x) / ∈ R.
Observaci´ on: una forma equivalente de enunciar la antisimetr´ıa es la siguiente. Si (x, y) ∈ R y (y, x) ∈ R, entonces x = y. (Ejercicio)
Ejemplo: La relaci´on R sobre {1, 2, 3, 4} definida por xRy ⇐⇒ x ≤ y es antisim´etrica.
Observaci´ on: El digrafo asociado a una relaci´on antisim´etrica tiene la propiedad de que entre dos v´ertices cualesquiera existe a lo sumo una arista dirigida.
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Ejemplo: La relaci´on {(a, a), (b, b), (c, c)} sobre X = {a, b, c}
es antisim´etrica, y tambi´en es sim´etrica.
Definici´ on: Una relaci´on R sobre un conjunto X se dice transitiva si para toda terna x, y, z ∈ X : si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R, entonces (x, z) ∈ R.
Ejemplo: La relaci´on R sobre X = {1, 2, 3, 4} definida por (x, y) ∈ R ⇐⇒ x ≤ y es transitiva.
Observaci´ on: El digrafo asociado a una relaci´on transitiva tiene la propiedad de que siempre que haya una arista dirigida de x a y y otra de y a z, tambi´en habr´ a una de x a z.
Ejemplo: La relaci´on R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} NO es
transitiva, ya que (b, b) / ∈ R y (c, c) / ∈ R.
Las relaciones resultan ´ utiles para ordenar conjuntos . Por ejemplo, la relaci´on “menor o igual” ≤ para ordenar los enteros.
Definici´ on
Una relaci´on R sobre un conjunto X es un orden orden parcial si es reflexiva, antisim´etrica y transitiva.
Ejemplo: La relaci´on R definida en los naturales por (x, y) ∈ R ⇐⇒ “x divide a y” es un orden parcial.
Si R es orden parcial, a veces (x, y) ∈ R se escribe x y, lo que sugiere ordenaci´ on.
Los elementos x, y ∈ X son comparables si x y ´ o y x. Si no, son incomparables. Si todo par de elementos de X es comparable, R es un orden total.
El “menor o igual” definido en los enteros es un orden total.
La relaci´on “divide” definida en los naturales es un orden parcial (ya que 2 y 3, por ejemplo, son incomparables).
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Definici´ on: Sea R una relaci´on de X a Y. La inversa de R, denotada R
−1, es la relaci´on de Y a X definida por
R
−1= {(y, x) | (x, y) ∈ R}.
Ejemplo: Si R es la relaci´on “divide” de X = {2, 3, 4} a Y = {3, 4, 5, 6, 7}, se obtiene
R = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}.
Entonces
R
−1= {(4, 2), (6, 2), (3, 3), (6, 3), (4, 4)}.
R
−1se lee “es divisible entre” ´ o “es m´ ultiplo de”.
Definici´ on: Sean R
1una relaci´on de X a Y y R
2una relaci´on de Y a Z. La composici´on de R
1y R
2, denotada por R
2◦ R
1, es la relaci´on de X a Z definida por:
R
2◦R
1= {(x, z) | (x, y) ∈ R
1y (y, z) ∈ R
2para algun y ∈ Y } Ejemplo: La composici´on de
R
1= {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}
y
R
2= {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}
es
R
2◦ R
1= {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u)}
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Relaciones de Equivalencia (Secci´on 3.2 del libro)
Sean X un conjunto y S una partici´on de X. Se puede definir una relaci´on R en X si relacionamos entre s´ı a los elementos de X que pertenecen a un mismo elemento S de la partici´on S. (Ejemplo: ser del mismo color.)
Teorema 1
Sean X un conjunto no vac´ıo y S una partici´on de X. Definamos
una relaci´on sobre X de la siguiente manera: xRy si y s´ olo si tanto
x como y pertenecen a S ∈ S. Entonces R es reflexiva, sim´etrica y
transitiva.
Teorema 1
Sean X un conjunto no vac´ıo y S una partici´on de X. Definamos una relaci´on sobre X de la siguiente manera: xRy si y s´olo si tanto x como y pertenecen al mismo S ∈ S. Entonces R es reflexiva, sim´etrica y
transitiva.
Demostraci´on:
Sea x ∈ X. Por definici´on de partici´on, existe un S ∈ S tal que x ∈ S. Esto implica que xRx y, por lo tanto, R es reflexiva.
Sean x, y ∈ X. Supongamos que xRy. Entonces, tanto x como y pertenecen a un mismo S ∈ S. Equivalentemente, tanto y como x pertenecen a un mismo S ∈ S. Se sigue que yRx y, en
consecuencia, R es sim´etrica.
Sean x, y, z ∈ X. Supongamos que xRy y que yRz. Entonces, tanto x como y pertenecen a un mismo S ∈ S y tanto y como z pertenecen a un mismo T ∈ S. Como S es partici´on, y pertenece a un ´unico miembro de S. Por lo tanto S = T, lo que significa que tanto x como z pertenecen a S ∈ S. Se sigue que xRz, esto es, R es transitiva. Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Ejemplo
Consideremos la partici´on S = {{1, 3, 5}, {2, 6}, {4}} de {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Entonces
R = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (2, 2), (2, 6), (6, 2), (6, 6), (4, 4)}.
Ejercicio: dibujar el digrafo que representa la relaci´on.
Definici´ on
Una relaci´on reflexiva, sim´etrica y transitiva en un conjunto X se
llama relaci´on de equivalencia sobre X.
Ejemplo
La relaci´on R sobre X = {1, 2, 3, 4} definida por (x, y) ∈ R si y s´ olo si x ≤ y NO es de equivalencia porque no es sim´etrica.
Ejemplo
La relaci´on R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} NO es de equivalencia porque no es ni reflexiva ni transitiva, ya que (b, b) / ∈ R.
Definici´ on
Sea R una relaci´on de equivalencia sobre un conjunto X. Para cada a ∈ X, el conjunto
[a] ≡ {x ∈ X | xRa}
se denomina clase de equivalencia de a.
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Observaci´on
Las clases de equivalencia aparecen con bastante claridad en el digrafo asociado con una relaci´on de equivalencia. Una clase es el subgrafo m´as grande que cumple que, para cualesquiera 2 v´ertices en ´el, existe una arista dirigida entre ellos.
Ejemplo
Para la relaci´on del primer ejemplo, [1] = [3] = [5] = {1, 3, 5}, [2] = [6] = {2, 6} y [4] = {4}.
Afirmaci´on
Sea R relaci´on de equivalencia sobre X y c, d ∈ X. Si cRd, entonces [c] = [d].
Demostraci´on:Supongamos c, d ∈ X tales que cRd. Tomemos x ∈ [c].
Entonces xRc. Como cRd y R es transitiva, xRd. Por lo tanto, x ∈ [d].
Acabamos de ver que [c] ⊆ [d]. Razonando an´alogamente obtenemos que [d] ⊆ [c]. Se sigue que [c] = [d].
Teorema 2
Sea R una relaci´on de equivalencia sobre un conjunto X. Entonces S = {[a] | a ∈ X},
donde [a] denota la clase de equivalencia de a, es una partici´on de X.
Demostraci´ on: Debemos ver que todo elemento de X pertenece exactamente a un miembro de S.
Sea a ∈ X. Como, por reflexividad, aRa, tenemos que a ∈ [a].
Esto significa que todo elemento de X pertenece al menos a un miembro de S. Resta ver que todo elemento de X pertenece a exactamente un miembro de S. Es decir, si x ∈ [a] y x ∈ [b], entonces [a] = [b]. Supongamos entonces que x ∈ [a] y x ∈ [b].
Esto implica que xRa y xRb. Por la afirmaci´ on anterior, [x] = [a] y [x] = [b]. Por lo tanto, [a] = [x] = [b], esto es, [a] = [b].
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Teorema 3
sea R una relaci´on de equivalencia sobre un conjunto finito X. Si cada clase de equivalencia tiene r elementos, existen
|X|rclases de equivalencia.
Demostraci´ on: Sean X
1, . . . , X
klas clases de equivalencias.
Como estas clases forman una partici´on de X,
|X| = |X
1| + |X
2| + . . . + |X
k| = r.k,
por lo tanto, k =
|X|r.
Hemos visto que, dado un conjunto X no vac´ıo,
1
Toda partici´on de X define una relaci´on de equivalencia sobre X (Teorema 1),
2
Toda relaci´on de equivalencia sobre X define una partici´on de X (Teorema 2).
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Conjuntos Parcialmente Ordenados y Reticulados
Cap´ıtulo 4 del libro de B. Kolman, R. Busby y S. Ross.
Definici´ on
Una relaci´on R sobre un conjunto X es un orden orden parcial si es reflexiva, antisim´etrica y transitiva. El conjunto A con el orden parcial R se llama conjunto parcialmente ordenado (c.p.o.) y se escribe (A, R).
Ejemplo
Sea A una colecci´on de subconjuntos de un cierto conjunto X. La
relaci´on “⊆” de inclusi´ on de conjuntos es un orden parcial en A,
por lo cual (A, ⊆) es un c.p.o.
Ejemplo
Sea Z
+el conjunto de los enteros positivos. La relaci´on “≤”
(menor o igual) es un orden parcial sobre Z
+, al igual que “≥”
(mayor o igual).
Ejemplo
La relaci´on “<” (menor) no es orden parcial, ya que no es reflexiva.
Ejercicio
Ver que si R es un orden parcial sobre A y R
−1es la relaci´on inversa de R (esto es, aR
−1b ⇐⇒ bRa), entonces R
−1es un orden parcial en A.
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Definici´ on
El c.p.o. (A, R
−1) se llama dual del c.p.o. (A, R), y al orden parcial R
−1se le llama dual del orden parcial R.
Notaci´on
En general, en vez de R escribiremos 6, y en vez de R
−1escribiremos > .
Definici´ on
Si (A, 6) es un c.p.o, dos elementos a y b de A se dicen
comparables si a 6 b ´o b 6 a. Si cada par de elementos en un
c.p.o. es comparable, se dice que A est´ a linealmente ordenado (o
totalmente ordenado) y que 6 es un orden lineal (orden total o
cadena).
Ejemplo
(Z
+, ≤) est´ a linealmente ordenado, pero (A, ⊆) (del primer ejemplo), no.
El siguiente teorema muestra c´omo construir un c.p.o. a partir de otros c.p.o.
Teorema
Sean (A, 6
A) y (B, 6
B) dos c.p.o. Definamos la relaci´on 6
A×Ben el conjunto A × B de la siguiente manera:
(a, b) 6
A×B(a
′, b
′) si y s´ olo si a 6
Aa
′y b 6
Bb
′. Entonces (A × B, 6
A×B) es un c.p.o.
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
(a, b) 6A×B(a′, b′) si y s´olo si a 6Aa′y b 6B b′. Demostraci´on:
Sea(a, b)∈ A × B. Por reflexividad de 6A, a 6Aa. Por reflexividad de 6B, b 6Bb. Entonces, por definici´on de 6A×B,(a, b) 6A×B (a, b). Por lo tanto, 6A×B es reflexiva.
Sean(a, b) y (a′, b′) en A× B. Supongamos que (a, b) 6A×B(a′, b′) y que(a′, b′) 6A×B(a, b). Por definici´on de 6A×Btenemos que a 6Aa′y que a′6Aa. Por antisimetr´ıa de 6A, a= a′. An´alogamente, como b 6B b′y b′6Bb, la antisimetr´ıa de 6B implica que b= b′. Conclu´ımos entonces que(a, b) = (a′, b′), por lo que 6A×B es antisim´etrica.
Sean(a, b), (a′, b′) y (a′′, b′′) en A× B. Supongamos que
(a, b) 6A×B(a′, b′) y que (a′, b′) 6A×B(a′′, b′′). Por definici´on de 6A×B, tenemos a 6Aa′y a′6Aa′′, y por transitividad de 6A, llegamos a que a 6Aa′′. An´alogamente, como b 6Bb′y b′6b′′, por transitividad de 6B llegamos a que b 6B b′′. Conclu´ımos entonces, por definici´on de 6A×B, que(a, b) 6A×B(a′′, b′′), por lo que 6A×B es transitiva.
Observaci´on
Al orden parcial 6
A×Bdefinido en el Teorema anterior se le llama orden parcial del producto.
Definici´ on
Si (A, 6) es un c.p.o., se escribe a < b si a 6 b pero a 6= b.
Otro orden parcial ´ util que puede definirse en el producto cartesiano de dos c.p.o. es el orden lexicogr´ afico.
Definici´ on
Sean (A, 6
A) y (B, 6
B) dos c.p.o. El orden lexicogr´ afico en A × B, denotado por ≺
A×B, se define de la siguiente manera:
(a, b) ≺
A×B(a
′, b
′) ⇐⇒ a <
Aa
′´ o (a = a
′y b 6
Bb
′).
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Ejemplo
Sean A = R y ≤ su orden usual. Entonces el plano R
2puede ordenarse lexicogr´ aficamente.
Aqu´ı p
1≺ p
2, p
1≺ p
3y p
2≺ p3.
Ejemplo
Sea S = {a, b, c, . . . , z} es alfabeto con el orden usual. Entonces S
nes el conjunto de palabras de longitud n. El orden lexicogr´ afico en S
nda el orden de diccionario de las palabras.
Teorema
El digrafo de un orden parcial no tiene ciclos de longitud mayor que 1.
Demostraci´ on: Supongamos que el digrafo asociado al orden parcial 6 sobre A tiene un ciclo de longitud n ≥ 2. Entonces existen a
1, . . . , a
ndistintos en A tales que
a
16 a
2, a
26 a
3, . . . , a
n−16 a
n, a
n6 a
1.
Por transitividad, a
16 a
n. Como adem´ as a
n6 a
1, por antisimetr´ıa a
1= a
n.
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Diagrama de Hasse
Dado un c.p.o. 6, borramos del digrafo asociado:
1
Los lazos implicados por la reflexividad,
2
Las aristas implicadas por la transitividad.
Ejemplo
Digrafo y diagrama de Hasse para (A, 6) con A = {a, b, c} y
a 6 b 6 c.
Ejemplo
Sean X = {a, b, c} y A = P(X). El diagrama de Hasse de A ordenado con ⊆ es el siguiente:
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Observaciones
1
El diagrama de Hasse de un conjunto ordenado linealmente es una l´ınea vertical.
2
Si (A, 6) es un c.p.o. y (A, >) es su dual, el diagrama de Hasse de (A, >) es el de (A, 6) girado cabeza abajo.
Dado un c.p.o. (A, 6), a veces es necesario encontrar un orden
lineal del conjunto A que extienda al orden parcial, en el sentido
de que a 6 b =⇒ a b. El proceso de construcci´ on de un tal
orden se denomina clasificaci´on topol´ ogica.
Ejemplo
Existen muchas maneras de hacer una clasificaci´on topol´ ogica.
Para el siguiente c.p.o.
existen (por lo menos) las siguientes dos:
1
a b c d e g f,
2
a c g b d e f.
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Definici´ on
Sea (A, 6) un c.p.o.
1
Un elemento a ∈ A se llama elemento maximal de A si no existe un c ∈ A tal que a < c.
2
Un elemento b ∈ A se llama elemento minimal de A si no existe un c tal que c < b.
Observaci´on
Si (A, >) es el dual de (A, 6), a es maximal (minimal) de (A, 6) si y s´ olo si a es minimal (maximal) de (A, >).
Ejemplo
1
(R
+, ≤), el 0 es minimal y no tiene maximales.
2
(Z, ≤) no tiene ni minimales ni maximales.
Ejemplo
Un c.p.o. con tres elementos maximales y tres elementos minimales.
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Teorema
Sea (A, 6) un c.p.o. finito. Entonces A tiene al menos un maximal y al menos un minimal.
Demostraci´ on: Sea a ∈ A. Si a no es maximal, existe un a
1∈ A tal que a < a
1. Si a
1no es maximal, existe un a
2∈ A tal que a
1< a
2. Como A es finito este argumento no puede extenderse indefinidamente y, en el peor de los casos, obtendremos una cadena finita
a < a
1< . . . < a
k−1< a
kque no podr´ a extenderse, por lo que a
kes un elemento maximal de
(A, 6). Usando el mismo argumento podemos asegurar existencia
de elemento maximal en el dual (A, >), por lo cual (A, 6) tiene un
elemento minimal.
Definici´on
Sea (A, 6) un c.p.o.
1 Un elemento a ∈ A es unm´aximode A si x 6 a para todo x ∈ A.
2 Un elemento a ∈ A es unm´ınimode A si a 6 x para todo x ∈ A.
Ejemplo
1 Sea X = {a, b, c} y A = P(X) ordenado por la inclusi´on de conjuntos, ⊆ . Entonces el m´ınimo es ∅ y el m´aximo es X.
2 (Z, ≤) no tiene ni m´ınimo ni m´aximo.
Teorema
Un c.p.o. tiene a lo sumo un m´aximo y a lo sumo un m´ınimo.
Demostraci´on:Supongamos que a y b son m´aximos. Entonces a 6 b y b 6 a. Por antisimetr´ıa, a = b. La prueba para unicidad del m´ınimo es similar.
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Definici´ on
Sean (A, 6) un c.p.o. y B ⊆ A.
1
Un a ∈ A es cota superior de B si b 6 a para todo b ∈ B.
2
Un a ∈ A es cota inferior de B si a 6 b para todo b ∈ B.
3
Un a ∈ A es cota superior m´ınima de B (o supremo de B) si:
(i) a es cota superior de B, y (ii) si a
′∈ A es otra cota superior de B, entonces a 6 a
′.
4
Un a ∈ A es cota inferior m´ axima de B (o ´ınfimo de B) si: (i)
a es cota inferior de B, y (ii) si a
′∈ A es otra cota inferior de
B, entonces a
′6 a.
Ejemplo B
1= {a, b}
No tiene cotas inferiores.
Cotas superiores:
c, d, e, f, g, h.
sup(B
1) = c.
No existe ´ınf(B
1).
B
2= {c, d, e}
Cotas inferiores: a, b, c.
Cotas superiores: f, g, h.
No existe sup(B
2), ya que f y g no se pueden comparar.
´ınf(B
2) = c.
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Teorema
Sea (A, 6) un c.p.o. Todo B ⊆ A tiene a lo sumo un supremo y a lo sumo un ´ınfimo.
Demostraci´ on: Ejercicio (similar al de unicidad de m´ aximo).
Reticulados
Definici´ on
Un reticulado (o lattice) es un c.p.o. (A, 6) en el cual cada subconjunto de dos elementos tiene ´ınfimo y supremo. Es decir, un reticulado es un (A, 6, ∧, ∨) tal que para cualquier par a, b ∈ A tenemos:
1
a ∧ b ≡ ´ınf{a, b},
2
a ∨ b ≡ sup{a, b}.
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Ejemplo
Sea X un conjunto y A = P(X). Si definimos, para cada par de subconjuntos X
1y X
2del conjunto X el ´ınfimo y el supremo de la siguiente forma:
1
X
1∧ X
2≡ X
1∩ X
2,
2
X
1∨ X
2≡ X
1∪ X
2,
entonces (A, ⊆, ∧, ∨) es un reticulado.
Con X = {a, b, c} tenemos el siguiente diagrama de Hasse:
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Definici´on
Sean a, b ∈ N. Decimos quea divide a b,lo que denotamosa|b,si existe un k ∈ N tal que b = a · k.
Ejemplo
Sea D6= {1, 2, 3, 6} el conjunto de los divisores de 6. El conjunto D6junto con la relaci´on de divisibilidad forman un c.p.o. Si definimos el ´ınfimo entre dos elementos de D6
como el m´aximo com´un divisor (MCD) entre ellos y el supremo como el m´ınimo com´un m´ultiplo (MCM) entre ellos, obtenemos el reticulado (D6, |, M CD, M CM ). Su diagrama de Hasse es el siguiente:
¿Cu´ ales de los siguientes diagramas corresponden a un reticulado?
S´I es un reticulado.
NO es reticulado (falta f ∨ g).
NO es reticulado (faltan d ∧ e, b ∨ c).
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Observaci´on
Sea (A, 6) un c.p.o. y sea (A, >) su dual. Si (A, 6, ∧, ∨) es un reticulado, entonces (A, >, ∧
′, ∨
′) con ∧
′= ∨ y ∨
′= ∧, tambi´en es un reticulado.
Teorema
Si (A, 6
A) y (B, 6
B) son reticulados, entonces (A × B, 6
A×B)
tambi´en es un reticulado.
Teorema
Si (A, 6A) y (B, 6B) son reticulados, entonces (A × B, 6A×B) tambi´en es un reticulado.
Demostraci´on:Como (A, 6A) es reticulado, tenemos definidos tanto el
´ınfimo ∧A como el supremo ∨A entre dos elementos cualesquiera de A.
An´alogamente, tenemos definidos tanto ∧B como ∨B en B. Tenemos entonces que definir, en base a estas operaciones, las operaciones de
´ınfimo y supremo en A × B. Dados dos elementos cualesquiera (a, b), (a′, b′) en A × B, sean:
1 (a, b) ∧A×B(a′, b′) ≡ (a ∧Aa′, b ∧Bb′),
2 (a, b) ∨A×B(a′, b′) ≡ (a ∨Aa′, b ∨Bb′).
Se deja como ejercicio verificar que estas definiciones, de hecho, se corresponden con los ´ınfimos y supremos de pares de elementos de A × B con el orden producto.
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Definici´ on
Sea (A, 6, ∧, ∨) un reticulado. Un subconjunto no vac´ıo S de A es un subreticulado (o sublattice) si, para todo par a, b ∈ S se cumple que a ∧ b ∈ S y a ∨ b ∈ S.
Ejemplo:
Reticulado original. NO es subreticulado
(falta a ∨ b = c). S´I es subreticulado.
Definici´ on
Sean (A, 6, ∧, ∨) y (A
′, 6
′, ∧
′, ∨
′) dos reticulados. Una funci´on biyectiva f : A → A
′es un isomorfismo de (A, 6, ∧, ∨) en (A
′, 6
′, ∧
′, ∨
′) si, para cualquier par a, b ∈ A, se tiene
1
f (a ∧ b) = f (a) ∧
′f (b), y
2
f (a ∨ b) = f (a) ∨
′f (b).
Si f : A → A
′es un isomorfismo, decimos que A y A
′son isomorfos.
Observaciones
Si A y A′ son isomorfos bajo el isomorfismo f : A → A′, entonces para todo par a, b ∈ A,
a 6 b ⇐⇒ f (a) 6′f (b).
Los diagramas de Hasse de dos reticulados isomorfos son id´enticos.
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Ejemplo
Consideremos el reticulado(D6,|, M CD, M CM ) y el reticulado
(P(X), ⊆, ∩, ∪) donde X = {a, b}. La funci´on f: D6→ P(X) definida por:
f(1) =∅, f(2) ={a}, f(3) ={b}, f(6) ={a, b},
es un isomorfismo. Los diagramas de Hasse de D6 yP(X) son equivalentes:
Teorema
Sea (A, 6, ∧, ∨) un reticulado. Entonces, para todo par a, b ∈ A :
1
a ∨ b = b ⇐⇒ a 6 b,
2
a ∧ b = a ⇐⇒ a 6 b,
3
a ∨ b = a ⇐⇒ a ∧ b = b.
Demostraci´ on: Veamos (1). (=⇒) Supongamos a ∨ b = b. Por definici´ on de supremo, a 6 a ∨ b. Como a ∨ b = b, se sigue que a 6 b.
(⇐=) Supongamos a 6 b. Como adem´ as (por reflexividad) b 6 b, tenemos que b es cota superior de a y b. Por ser a ∨ b cota superior m´ınima (supremo) y b cota superior, a ∨ b 6 b. Por otro lado, a ∨ b es cota superior de b, por lo que b 6 a ∨ b. Entonces, por
antisimetr´ıa, al tener a ∨ b 6 b y b 6 a ∨ b, se deduce que a ∨ b = b.
La parte (2) es similar a la parte (1). La parte (3) es consecuencia inmediata de (1) y (2).
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Teorema
Sea (A, 6, ∧, ∨) un reticulado y sean a, b y c elementos de A.
Entonces valen las siguientes propiedades:
1
Idempotencia: a ∧ a = a y a ∨ a = a
2
Conmutatividad: a ∧ b = b ∧ a y a ∨ b = b ∨ a
3
Asociatividad: a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c y a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c
4
Absorci´ on: a ∧ (a ∨ b) = a y a ∨ (a ∧ b) = a
Demostraci´ on: Ejercicio.
Definici´ on
Un reticulado (A, 6, ∧, ∨) se dice distributivo si, para cualquier terna a, b, c de elementos de A se cumple que:
1
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c),
2
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Ejemplo
Dado un conjunto X no vac´ıo, (P(X), ⊆, ∩, ∪) es un reticulado distributivo.
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta
Ejemplo
Los siguientes reticulados NO son distributivos:
d ∧ (b ∨ c) = d ∧ e = d (d ∧ b) ∨ (d ∧ c) = b ∨ a = b
b ∧ (c ∨ d) = b ∧ e = b (b ∧ c) ∨ (b ∧ d) = a ∨ a = a
Teorema
Un reticulado es no distributivo si y s´ olo si contiene un subreticulado isomorfo con uno de los reticulados del ejemplo anterior.
Demostraci´ on: Fuera del alcance de este curso.
Agust´ın G. Bonifacio Matem´atica Discreta