LECTURA 12: POLINOMIOS (CONT.)

LECTURA 12: POLINOMIOS (CONT.)

1. Ra´ıces de un polinomio

El objetivo de esta secci´ on es describir un interesante problema en el contexto de polinomios el cual, de manera indirecta, hemos visitado en otras ocasiones.

Definici´ on 12.1. Sea f un polinomio sobre un campo y sea a un elemento de ese mismo campo.

Decimos que a es una ra´ız de f si f (a) = 0.

Para poder encontrar las ra´ıces de un polinomio podemos utilizar el teorema de la divisi´ on para expresar de manera sencilla el cociente y residuo cuando se toma el divisor como un polinomio lineal.

Lema 12.1. Sea f un polinomio sobre un campo y sea a un elemento de dicho campo. Entonces, existe un polinomio q de forma que

f = q(x − a) + f (a).

Demostraci´ on. Por el teorema de divisi´ on existen polinomios q y r de forma que f = q(x − a) + r

con grd(r) < 1. Como f (a) = r(a) y r debe ser un polinomio constante, entonces r = f (a). 

Corolario 12.2. Un elemento a del campo es una ra´ız de f si y s´ olo si f es m´ ultiplo de x − a.

Teorema 12.3. Cualquier polinomio no nulo de grado n sobre un campo tiene a lo m´ as n ra´ıces distintas.

Demostraci´ on. Procedemos por inducci´ on sobre el grado del polinomio. Si grd(f ) = 0, entonces f debe ser un polinomio constante no nulo, por lo que no posee ra´ıces. Supongamos ahora el resultado para n, i. e., todo polinomio de grado n tiene a lo m´ as n ra´ıces y supongamos tambi´ en que f sea de grado n + 1. Si f no tiene ra´ıces entonces el resultado sigue al tener la cantidad de ra´ıces de f es menor que n + 1. Si por el contrario, f tiene al menos una ra´ız, digamos a, entonces (x − a) | f seg´ un el lema 12.2. En otras palabras, existe un polinomio q de forma que f = q(x − a) lo que nos permite calcular el grado de q directamente: grd(q) = n. En ese caso, la hip´ otesis de inducci´ on garantiza que q tiene a lo m´ as n ra´ıces. Adem´ as, si b es una ra´ız de f distinta de a, entonces

0 = f (b) = q(b)(b − a)

y como b − a 6= 0, podemos concluir q(b) = 0 por ser elementos de un campo. En conclusi´ on, cualquier ra´ız de f distinta de a, es una ra´ız de q. En ese caso, las ra´ıces de f distintas de a no pueden ser m´ as de n y agregando a a esa lista, se deben tener a lo m´ as n + 1 ra´ıces de f . De esto

se concluye el resultado. 

Como precauci´ on, los polinomios que no est´ an sobre dominios enteros pueden no poseer la pro- piedad mencionada en el teorema. Consideremos un ejemplo de este hecho:

1

Ejemplo. El polinomio de grado 2 en Z ⁸ definido como x ² −[1] ∈ Z 8 [x] tiene cuatro ra´ıces distintas, a decir [1], [3], [5] y [7]. Esto, por supuesto, no es una contradicci´ on del teorema pues Z ⁸ no es un campo.

Debemos observar que la existencia de las ra´ıces garantiza una forma sencilla de expresar un polinomio como una descomposici´ on. La prueba del teorema es relativamente sencilla y se presenta en el ejercicio 12.7.

Teorema 12.4. Sea f un polinomio de grado n sobre un campo y sean a 1 , a 2 , . . . , a n ra´ıces distintas de f , entonces existe un elemento c en el campo de forma que

f = c(x − a 1 )(x − a 2 ) . . . (x − a n ).

Ejemplo. El polinomio f = x ⁿ − 1 tiene como ra´ıces a las ra´ıces n-´ esimas de la unidad. Esto quiere decir que tomando ζ 1 , . . . , ζ n como las ra´ıces n-´ esimas de la unidad, podemos expresar

f = (x − ζ ₁ ) · · · (x − ζ _n ).

No debe ser descabellado observar que cada ra´ız de un polinomio puede aparecer repetida en su factorizaci´ on en t´ erminos lineales. Esto quiere decir que (x − a) ^k divide a f para algunos enteros positivos k pero no todos pues el valor de k debe permanecer debajo del grado de f para tener dicha propiedad. Esto en particular implica que existe un entero positivo k, de modo que (x − a) ^k es un divisor de f pero (x − a) ^k+1 no lo es.

Definici´ on 12.2. Sea f un polinomio sobre un campo y sea a una ra´ız de dicho polinomio. Al entero positivo k de modo que (x − a) ^k resulta un divisor de f pero (x − a) ^k+1 no lo es, se le denomina el ´ındice de multiplicidad de la ra´ız a. Si el ´ındice de multiplicidad es 1, a la ra´ız a se le denomina simple mientras que si no lo es, se le denomina m´ ultiple.

Ejemplo. En interesante observar que las ra´ıces de x ⁿ − 1 en los complejos son todas simples al existir exactamente n ra´ıces distintas de la unidad. Por otro lado el polinomio x ³ − x ² − x + 1 tiene como ra´ıces a los n´ umeros 1 y −1, el primero resulta una ra´ız m´ ultiple con ´ındice 2 y el segundo una ra´ız simple. Esto se puede observar expresando

x ³ − x ² − x + 1 = (x − 1) ² (x + 1).

2. Ra´ıces de polinomios con coeficientes complejos

En esta secci´ on, indagaremos un poco sobre la existencia de las ra´ıces de un polinomio con coefi- cientes en los campos real y complejo. Para el primero, debemos recordar que el teorema de valor intermedio garantiza que un polinomio de grado impar con coeficientes reales posee una ra´ız real admitiendo con esto la existencia de un divisor lineal. En general, sabemos que un polinomio con coeficientes en los reales no siempre posee una soluci´ on en el campo real pero es posible afirmar algo completamente distinto si permitimos que los coeficientes de un polinomio est´ en en el campo de los n´ umeros complejos. Este resultado se crey´ o cierto por un largo tiempo antes de ser comprobado.

Leonhard Euler consigui´ o desarrollar un m´ etodo que garantizaba esto para polinomios de grado 4 y 6 pero fue incapaz de ofrecer una comprobaci´ on general. Fue Carl Friedrich Gauss quien en 1800 exhibi´ o un proceso que garantizaba lo que Euler buscaba. El resultado derivado de las indagacio- nes de Gauss es tan importante que lleva por nombre de el teorema fundamental del ´ algebra y a continuaci´ on mencionamos su enunciado. Su prueba, lamentablemente, escapa el alcance de este curso.

Teorema 12.5. Todo polinomio no constante con coeficientes complejos, tiene una ra´ız compleja.

De tal teorema, es posible dar un resultado que vincula las ra´ıces con los divisores lineales y los

´ındices de multiplicidad de cada ra´ız en un polinomio con coeficientes complejos.

Corolario 12.6. Para cada polinomio f que es m´ onico con coeficientes complejos, existen complejos distintos α 1 , . . . , α s , y enteros positivos r 1 , . . . , r s de modo que

f = (x − α 1 ) ^r

. . . (x − α s ) ^r

. Adem´ as, cada entero r k resulta el ´ındice de multiplicidad de la ra´ız α k .

Como puede observarse, mucho se habla de las ra´ıces de un polinomio pero poco de c´ omo encon- trarlas. Esto se debe a que la determinaci´ on de ra´ıces de un polinomio es un problema complicado.

El objetivo ahora es presentar algunos m´ etodos que nos permitan calcular las ra´ıces de un poli- nomio para los campos con los que trabajamos con m´ as frecuencia y aunque estos tienen obvias limitaciones, nos ser´ an de ayuda en la soluci´ on de muchos problemas.

Para presentar el primero, realizaremos una observaci´ on del corolario 12.2. ´ Este afirma que el problema de encontrar una ra´ız del polinomio es equivalente con encontrar un divisor lineal y por eso interesante explorar un m´ etodo que nos permita obtener la divisi´ on cuando usamos un polinomio lineal como divisor lo cual puede conseguirse de la siguiente manera: Sea

f = f 0 + f 1 x + · · · + f n x ⁿ de modo que, seg´ un el teorema de la divisi´ on podemos expresar

f = q(x − a) + r.

En ese caso, el grado de q debe ser n − 1 por lo que podemos escribir q = q 0 + q 1 x + · · · + q n−1 x ⁿ⁻¹ y como

q(x − a) + r = (r − aq 0 ) + (q 0 − aq 1 )x + · · · + (q n−2 − aq n−1 )x ⁿ⁻¹ + q n−1 x ⁿ obtenemos

f n = q n−1

f n−1 = q n−2 − aq n−1

.. .

f ₁ = q ₀ − aq ₁ f 0 = r − aq 0 .

Lo anterior, permite calcular los coeficientes del polinomio q a trav´ es de los coeficientes de f y el elemento a del campo tomando q n−1 = f n , q k = aq k+1 + f k+1 para 1 ≤ k ≤ n − 1 y r = aq 0 + f 0 . A tal m´ etodo de calcular el cociente (y por supuesto el residuo) de dividir un polinomio entre un polinomio lineal se le denomina la regla de Horner.

Ejemplo. Consideremos el polinomio f = x ⁴ − x ³ − 5. Si deseamos dividirlo entre el polinomio

x − 3, la regla de Horner nos indica que el polinomio q = q 3 x ³ + q 2 x ² + q 1 x + q 0 puede ser calculado

tomando q 3 = 1, q 2 = 2, q 1 = 6 y q 0 = 8. Adem´ as, podemos tambi´ en calcular r = 19.

En general, no se usan las f´ ormulas de manera expl´ıcita sino se organizan los coeficientes en un tabla. Para explicar c´ omo realizar esto tomemos de nueva cuenta f = f 0 + f 1 x + · · · + f n x ⁿ y q = q 0 + q 1 x + · · · + q n−1 x ⁿ⁻¹ . Usando la descripci´ on de la regla de Horner podemos escribir

f n f n−1 f n−2 . . . f 1 f 0

a aq n−1 aq n−2 . . . aq 1 aq 0

q n−1 q n−2 q n−3 . . . q 0 r

notando que cada columna de tal tabla representa una suma que se obtiene usando la columna anterior. Debemos observar que bajo ese esquema podemos encontrar el cociente y el residuo con un divisor lineal usando s´ olo sumas y productos lo cual, adem´ as, permite determinar si un n´ umero es o no una ra´ız del polinomio observando el residuo.

Ejemplo. Sea el polinomio f = x ⁴ + x ³ − 13x ² − x + 12. Si deseamos efectuar la divisi´ on de ´ este entre el polinomio x − 2, podemos simplemente usar la tabla descrita con anterioridad:

1 1 −13 −1 12

2 2 6 −14 −30

1 3 −7 −15 −18

En ese caso, q = x ³ + 3x ² − 7x − 15 y r = −18 por lo que 2 no es un ra´ız. Adem´ as, al dividir entre el polinomio x + 1 obtenemos

1 1 −13 −1 12

−1 −1 0 13 −12

1 0 −13 12 0

de lo que podemos concluir que x + 1 divide a f y por tanto −1 es una ra´ız de f .

Como puede observarse, la regla de Horner est´ a lejos de ser suficiente como herramienta en la determinaci´ on de ra´ıces pues requiere de antemano dar el divisor lineal. Sin embargo, si podemos estudiar polinomios lo suficientemente sencillos y obtener sus ra´ıces, ´ esta ser´ a ´ util para dar los cocientes sin tener que realizar la divisi´ on entre dos polinomios. Persiguiendo este objetivo, explo- ramos ahora c´ omo son las soluciones de polinomios m´ onicos de segundo, tercero y cuarto grado observando que encontrar las ra´ıces para ´ estos no es relevante pues si no lo fueran, podr´ıamos sim- plemente dividir entre su coeficiente principal encontrando la ra´ıces del polinomio que obtengamos.

Comenzamos enunciando un conocido resultado para el caso cuadr´ atico cuya f´ ormula nos debe resultar familiar (su prueba debe realizarse como el ejercicio 12.2).

Teorema 12.7. Sea f = x ² + bx + c un polinomio con coeficientes complejos. Entonces, las ´ unicas ra´ıces de f resultan los complejos

−b ± √ b ² − 4c

2 .

Es interesante comentar que lo anterior corresponde a la f´ ormula general para la soluci´ on de una ecuaci´ on cuadr´ atica con la ventaja de desarrollar el caso en que los coeficientes son complejos. El radical, por supuesto, debe interpretarse como la ra´ız de un complejo que fue desarrollada en una lectura anterior observando que aunque se recomend´ o no usar tal notaci´ on, ´ esta es una situaci´ on donde es conveniente usarla para indicar un c´ alculo donde no se realizan manipulaciones algebraicas.

Ejemplo. Consideremos el polinomio f = x ² − 3x + (3 − i). Seg´ un el teorema anterior, debemos

obtener primero las dos ra´ıces del complejo −3+4i. Para tal problema hemos expuesto ya un m´ etodo

que nos permite afirmar que ´ estas son 1 + 2i y −1 − 2i. Una vez obtenidas, podemos simplemente afirmar que las ra´ıces del polinomio son 2 + i y 1 − i

Ahora es de nuestro inter´ es encontrar las ra´ıces de un polinomio c´ ubico con coeficientes complejos:

y ³ + by ² + cy + d.

Para resolverlo, utilizaremos el cambio de variable y = x − b/3 el cual reduce la obtenci´ on de las ra´ıces del polinomio original a la ra´ıces de un polinomio con la forma

x ³ + px + q.

Brevemente, se mencion´ o que a tal expresi´ on se le denomina como un polinomio cubico deprimido y seg´ un el teorema fundamental ´ este debe poseer tres ra´ıces. Supongamos que α es una de tales ra´ıces. Utilizando el polinomio

x ² − αx − p 3

de manera auxiliar, podemos afirmar que sus ra´ıces u 1 y v 1 satisfacen las f´ ormulas de Vieta (primer inciso del ejercicio 12.3):

u 1 + v 1 = α u 1 v 1 = − p

3 .

Bajo estas expresiones, la ecuaci´ on que define a la ra´ız α del polinomio c´ ubico deprimido puede expresarse como un par de ecuaciones acerca de u 1 y v 1 :

u ³ ₁ + v ₁ ³ + q = 0 u ³ ₁ v ³ ₁ = − p ³

27 .

Estas ecuaciones nos permiten afirmar que u ³ ₁ y v ³ ₁ son ra´ıces del polinomio x ² + qx − p ³

27 .

Utilizando el resultado en 12.7 podemos describir los valores expl´ıcitos de u 1 y v 1 como u ³ ₁ =

r

 p 3

 ³ +  q

2

 ²

− q 2 v ₁ ³ = −

r

 p 3

 3

+  q 2

 2

− q 2 .

Los valores expl´ıcitos de u 1 y v 1 pueden ser ahora f´ acilmente calculados y en consecuencia la soluci´ on que queda simplemente expresada por α = u 1 + v 1 . Bajo esta descripci´ on podr´ıamos creer que por existir tres posibilidades para u 1 y otras tres para v 1 , podr´ıamos combinarlas con total libertad pero eso involucrar´ıa olvidarnos que satisfacen las f´ ormulas de Vieta y ´ estas igualdades nos revelan su relaci´ on: Supongamos que u 1 es uno de los n´ umeros con las propiedades indicadas, entonces v 1 es el ´ unico complejo que satisface u ₁ v ₁ = −p/3. Podemos llevar esto un poco m´ as lejos, si suponemos que u ₁ es una de las ra´ıces terceras del n´ umero

r

 p 3

 3

+  q 2

 2

− q

2

podemos encontrar las restantes con los n´ umeros u 2 = u 1 ζ y u 3 = u 1 ζ ² tomando ζ con una ra´ız tercera de la unidad. De manera complementaria, si suponemos que v 1 es la ra´ız tercera del n´ umero

− r

 p 3

 3

+  q 2

 2

− q 2

que satisface u 1 v 1 = −p/3, entonces podemos encontrar las otras tomando v 2 = v 1 ζ y v 3 = v 1 ζ ² . Finalmente, como ζ ³ = 1,

u ₂ v ₃ = u ₁ ζv ₁ ζ ² = u ₁ v ₁ = −p/3 y

u ₃ v ₂ = u ₁ ζ ² v ₁ ζ = u ₁ v ₁ = −p/3.

Esto indica que la ra´ıces del polinomio deprimido quedan determinadas del siguiente modo:

α ₁ = u ₁ + v ₁ α ₂ = u ₁ ζ + v ₁ ζ ² α ₃ = u ₁ ζ ² + v ₁ ζ.

Teorema 12.8. Sea f = x ³ + px + q un polinomio con coeficientes en los complejos y sea ζ una ra´ız tercera de la unidad. Si u y v son ra´ıces terceras, respectivamente, de los n´ umeros

r

 p 3

 ³ +  q

2

 ²

− q

2 y −

r

 p 3

 ³ +  q

2

 ²

− q 2 de modo que satisfacen uv = −p/3, entonces las ra´ıces del polinomio f resultan

α 1 = u + v α 2 = uζ + vζ ² α 3 = uζ ² + vζ.

Ejemplo. Consideremos el polinomio f = x ³ − 6x + 9. Seg´ un el teorema, debemos obtener primero los n´ umeros u y v que satisfacen u ³ = 8, v ³ = 1 y uv = 2. No es dif´ıcil observar que esto se cumple si u = 2 y v = 1 por lo que una de las ra´ıces del polinomio f debe resultar α 1 = 3. Las dos restantes se pueden calcular usando la ra´ız tercera de la unidad ζ = (−1 + i √

3)/2 obteniendo con ´ esta las dos ra´ıces restantes:

α ₂ = − 3 2 + i

√ 3

2 y α ₂ = − 3 2 − i

√ 3 2 .

Tambi´ en es posible explorar las soluciones de un polinomio de cuarto grado a trav´ es de una reducci´ on y tal m´ etodo es atribuido a Ludovico Ferrari. Para mostrar c´ omo funciona, supongamos que el polinomio con coeficientes complejos

y ⁴ + by ³ + cy ² + dy + e

junto al cambio de variable y = x − b/4. En ese caso, el problema de encontrar una ra´ız del primero puede reducirse a encontrar una ra´ız de un polinomio de la forma

x ⁴ + px ² + qx + r.

Para tal polinomio, es posible completar el cuadrado tomando un n´ umero α cualquiera y expresando el anterior polinomio como

 x ² + p

2 + α  ²

−



2αx ² − qx +



α ² + pα − r + p ² 4



.

Si el segundo t´ ermino se pudiera expresar como el cuadrado de un factor lineal, entonces tendr´ıa una ra´ız m´ ultiple por lo que sus coeficientes deben satisfacer

q ² − 8α



α ² + pα − r + p ² 4



= 0.

Debe observarse que lo anterior es equivalente a ser α la ra´ız de un polinomio c´ ubico con coeficientes complejos del cual sabemos que existen a lo m´ as tres distintos que satisfacen tal igualdad. Si α 1 es una de tales soluciones, entonces el polinomio original puede escribirse como

 x ² + p 2 + α  ²

− 2α 1

 x − q

4α 1

 2

y factorizando, expresamos el polinomio reducido como

 x ² − √

2α ₀ x +  p

2 + α ₀ + q 2 √

2α ₀

  x ² + √

2α ₀ x +  p

2 + α ₀ − q 2 √

2α ₀



.

La expresi´ on anterior, debe observarse, reduce el problema de encontrar las ra´ıces un polinomio de cuarto grado a encontrar las ra´ıces de dos polinomios de segundo grado. Sin embargo, debe notarse cuan complicado es dar una expresi´ on general para un polinomio de cuarto grado y debe parecer preferible realizar la substituciones que aprenderse la monstruosa f´ ormula general que resultar´ a.

De cualquier forma, bajo estos m´ etodos es siempre posible encontrar una ra´ız de un polinomio de segundo, tercero o cuarto grado pues basta reducir al problema adecuado en cada instancia. Un interesante y enigm´ atico resultado debido a un famoso matem´ atico Noruego, Niels Abel, indica que no existen f´ ormulas generales para grados superiores. Esto no indica nada acerca de la posibilidad de resolver casos particulares pero nos inhabilita en poder proveer un proceso que permita resolver cualquier polinomio de grado mayor o igual que 5.

3. Polinomios irreducibles

En la introducci´ on del cap´ıtulo anterior, observamos que un polinomio con coeficientes complejos puede expresarse como un producto de coeficientes lineales a raz´ on de tener cada polinomio al menos una ra´ız. Esto no obliga a preguntar si expresiones parecidas pueden darse en campos sobre los que no todos los polinomios pueden resolver en ellos. En realidad, la respuesta a tal interrogante radica en realizar una analog´ıa con las factorizaciones de un entero en n´ umeros primos por lo que presentamos ahora el concepto an´ alogo a un n´ umero primo en el anillo de polinomios.

Definici´ on 12.3. Un polinomio no constante p sobre un campo se dice irreducible cuando, p = f g implica que alguno de los polinomios f o g es constante.

Ejemplo. El concepto de irreducible puede no ser tan sencillo como el de n´ umero primo y depende en gran medida de la estructura base:

El polinomio x ² + 1 es irreducible en R[x] pero es no es irreducible en C[x] al ser i una ra´ız.

El polinomio x ³ − 2 es irreducible en Q[x] pero no es irreducible en R[x] al ser √

2 una ra´ız.

El polinomio x ² + [1] es irreducible en Z ³ [x] pues ning´ un entero m´ odulo 3 es ra´ız.

Los polinomios ax − b son irreducibles en K[x] para cualquier campo K.

Lema 12.9. Si p es un polinomio irreducible y f un polinomio tal que p - f , ambos sobre un campo,

entonces son primos relativos, i. e., (p, f ) = 1.

Demostraci´ on. Como p - f , el residuo de la divisi´on f = qp + r es no nulo con grd(r) < grd(p). Si elegimos d como un m´ aximo com´ un divisor de f y q, entonces d divide a r al ser el residuo una combinaci´ on lineal de f y p; en ese caso

grd(d) ≤ grd(r) < grd(p).

Ahora, por definici´ on d | p, por lo que existe un polinomio e de forma que p = ed y en consecuencia grd(p) = grd(e) + grd(d),

pero al ser p irreducible, alguno de estos polinomios debe ser constante. Si grd(e) = 0, entonces grd(p) = grd(d) lo cual es contradictorio. Obtenemos con esto que d es constante y el ´ unico polinomio m´ onico constante es 1 por lo que (p, f ) = 1 como afirma el lema. 

No debe ser sorprendente que el lema de Euclides se pueda dar de manera muy similar al caso entero al cambiar el concepto de n´ umero primo por el de polinomio irreducible, a continuaci´ on se presenta el teorema sin prueba esperando que se provea una a imagen (y semejanza) del teorema an´ alogo para n´ umeros primos (ejercicio 12.12).

Teorema 12.10 (Euclides). Sean f , g y p polinomios sobre un campo de forma que p sea irreducible.

Entonces, si p | f g se tiene p | f o p | g.

Proposici´ on 12.11. Sea f un polinomio de grado 2 o 3 sobre un campo. Entonces, f es irreducible si y s´ olo si f no tiene una ra´ız en el campo.

Demostraci´ on. Si f tiene una ra´ız entonces admite un divisor de grado 1, resultando ´ este no irre- ducible. Con esto se prueba lo siguiente: Si f es irreducible, entonces f no tiene una ra´ız. Si ahora asumimos que f no es irreducible, entonces existen polinomios p y q que permiten expresar f = pq, con 0 < grd(p) < grd(f ) y 0 < grd(q) < grd(f ). Ahora, como grd(f ) = 2 o 3 la suma grd(p)+grd(q) lo ser´ a de igual forma. Eso quiere decir que por lo menos uno de estos grados debe ser 1, por lo que f admite un divisor de grado 1 y en consecuencia una ra´ız. Con esto hemos probado: Si f no tiene

una ra´ız en el campo, entonces es irreducible. 

En particular, el ejercicio 12.15 muestra bajo qu´ e condiciones un polinomio de grado 2 es irre- ducible en R lo cual es profundamente interesante para diversos desarrollos posteriores.

Corolario 12.12. Sea f un polinomio en R[x]. Si f es irreducible, entonces grd(f ) ≤ 2.

Demostraci´ on. Probaremos el resultado de manera contrapositiva mostrando que un polinomio f con grd(f ) > 2 no es irreducible, i. e., que admite un divisor no constante. Si por un lado, el polinomio f tiene un ra´ız real, entonces admite un divisor de grado 1 y en consecuencia no ser´ a irreducible. Supongamos entonces que f no tiene ra´ıces reales. Seg´ un el teorema fundamental del

´ algebra, debe existir una ra´ız α ∈ C de f de forma que α / ∈ R. Adem´as el ejercicio 12.6 garantiza que su conjugado, tambi´ en es una ra´ız y cumple que α 6= ¯ α. Ahora, si definimos el polinomio p = (x − α)(x − ¯ α), ´ este resulta un polinomio con coeficientes reales, en otras palabras es un elemento de R[x]. Dividimos f por este polinomio para obtener los polinomios q y r, ambos en R[x], de forma que

f = qp + r

donde r = 0 o grd(r) < 2. En ese caso podemos tomar r = ax + b, con a y b reales. Como α y ¯ α son ra´ıces de los polinomios f y p, se tiene la siguiente igualdad

aα + b = r(α) = 0 = r( ¯ α) = a ¯ α + b

lo cual s´ olo es posible si a = b = 0. Por tanto f = qp y, como el grado f es mayor que 2, entonces el grado de q es al menos 1. En ese caso, debemos concluir que f no es irreducible. 

Con estos resultados, hemos conseguido dar condiciones para clasificar polinomios irreducibles en R[x] y C[x]. Aunque estos m´etodos son limitados (y los polinomios que resultan no son muy interesantes) nos permiten observar cuan completos son estos campos al contener una buena can- tidad de soluciones para ecuaciones que poseen una relativa complejidad. Por supuesto, mientras menos propiedades algebraicas tenga un campo, menos ecuaciones se resuelven ´ el y m´ as variedad de polinomios irreducibles tendr´ a.

4. Factorizaci´ on prima

Como en el caso de los enteros, probaremos primero que es posible realizar dichas factorizaciones, sin embargo, dejaremos cierta terminolog´ıa sin aclarar guardando con ilusi´ on que estos conceptos puedan ser explicados en contexto y usando toda la experiencia previa.

Lema 12.13. Sea un polinomio no constante f sobre un campo. Entonces, existen polinomios m´ onicos irreducibles p 1 , p 2 , . . . , p k y un elemento c del campo de forma que

f = cp 1 . . . p k .

Demostraci´ on. Probaremos el resultado por inducci´ on sobre el grado f . Para grd(f ) = 1, f = ax+b para algunos a 6= 0 y b elementos del campo; en ese caso f = a(x − a ⁻¹ b) y como todo polinomio lineal es irreducible, el resultado sigue. Supongamos ahora el resultado para n, i. e., todo polinomio de grado n o menor se puede expresar como un producto de polinomios m´ onicos irreducibles.

Tomemos entonces f de grado n + 1. Si f es irreducible, entonces el resultado sigue como en el caso lineal. Supongamos entonces que no es irreducible. En ese caso, existen polinomios p y q con 0 < grd(p) < n + 1 y 0 < grd(q) < n + 1 que satisfacen f = pq. Por hip´ otesis de inducci´ on, esto implica que existen polinomios m´ onicos irreducibles p 1 , . . . , p l , q 1 . . . , q k de forma que

p = c ₁ p ₁ . . . p _l y

q = c 2 q 1 . . . q k . En ese caso,

f = c ₁ c ₂ p ₁ . . . p _l q ₁ . . . q _k

y el resultado es v´ alido para n + 1. Por inducci´ on fuerte, el enunciado del lema sigue. 

Al conjunto de polinomios m´ onicos irreducibles que aparecen en el lema 12.13 se llama una factorizaci´ on en irreducibles. Como el caso de los enteros, el orden no importar´ a cuando establecemos la igualdad entre factorizaciones.

Teorema 12.14. Sea un polinomio no constante f sobre un campo. Entonces, existe una ´ unica factorizaci´ on de f en polinomios m´ onicos irreducibles salvo el orden en que se presenten los factores.

Demostraci´ on. El lema 12.13 garantiza la existencia de al menos una factorizaci´ on. Supongamos entonces que f = c 1 p 1 . . . p k y f = c 2 q 1 . . . q l son factorizaciones de f . Queremos probar que c 1 = c 2 , k = l y ambas factorizaciones est´ an formadas por los mismos polinomios. Primero, como los polinomios involucrados en ambas son m´ onicos, podemos concluir que c 1 y c 2 son iguales y distintos de 0. Lo anterior implica que la siguiente igualdad debe ser cierta

p 1 . . . p k = q 1 . . . q l .

En ese caso, cualquiera de los polinomios p i divide al producto q 1 . . . q l y por el lema de Euclides para alg´ un j, el polinomio p i divide a q j . Ahora, como ambos son irreducibles debemos concluir que p i = q j . Esto, como en el caso entero, es suficiente para garantizar que las factorizaciones involucran

la misma cantidad de polinomios y los mismos factores. 

Ejemplo. Es importante notar qu´ e sucede con las factorizaciones sobre un anillo cualquiera. Por ejemplo, en el anillo de polinomios Z 4 [x] es posible expresar

x ² − [1] = (x − [1]) (x + [1]) = (x − [3]) (x + [3]) .

Parecer´ıa que esto contradice la existencia de una ´ unica factorizaci´ on pero el problema se encuentra en no ser Z ⁴ un campo. Si se estudia con detenimiento la prueba del teorema, se encontrar´ an al menos dos instancias en donde las propiedades de campo se ponen en juego.

Ejemplo. Por el teorema fundamental del ´ algebra, todo polinomio f de grado n en C[x] se puede expresar como

f = c(x − c ₁ )(x − c ₂ ) . . . (x − c _n )

siendo ´ esta su factorizaci´ on en irreducibles m´ onicos. Por supuesto, los complejos c 1 , . . . , c n−1 y c n son las ra´ıces del polinomio que el teorema fundamental del ´ algebra garantiza son ra´ıces del polinomio.

Ejemplo. El teorema fundamental del ´ algebra tambi´ en nos presenta la descomposici´ on en irre- ducibles de un elemento en R[x]: Supongamos que f es un polinomio m´onico de grado n en R[x].

Como ´ este es tambi´ en un polinomio en C[x], entonces podemos encontrar complejos c ¹ , . . . , c n−1 y c n tales que

f = (x − c 1 )(x − c 2 ) · · · (x − c n ).

Al ser estos complejos las ra´ıces de f sabemos que, si el complejo c _i no es real, entonces ¯ c _i debe ser tambi´ en una ra´ız y debe ser distinta de c _i . Entonces, el conjunto de ra´ıces de f presenta la forma

{r 1 , . . . , r j , c 1 , ¯ c 1 , . . . , c k c ¯ k }

donde r 1 , . . . , r j−1 y r j son n´ umeros reales y c 1 , . . . , c k−1 y c k son complejos no reales. Bajo esta descripci´ on, podemos descomponer el polinomio f como

f = l ₁ · · · l _j q ₁ · · · q _k

donde l i = x − r i es un polinomio lineal con coeficientes reales y q i = (x − c i )(x − ¯ c i ) es un polinomio cuadr´ atico con coeficientes reales. Por supuesto, la hip´ otesis de tener f como m´ onico es realmente innecesaria y se impone s´ olo para evitar la constante al inicio de la factorizaci´ on.

Como en el caso entero, la factorizaci´ on en irreducibles puede ser expresada usando exponentes e impedir que los polinomios se repitan en la expresi´ on. A esto le llamaremos una factorizaci´ on en irreducibles en forma exponencial. Adem´ as, en una factorizaci´ on en forma exponencial

f = ap ^m ₁

. . . p ^m _k

denominaremos a los polinomios p _i como los factores irreducibles de f y al entero positivo m _i como el orden del factor p i . Tambi´ en, si m i = 1 diremos que el factor es simple y si m i ≥ 2 el factor se denominar´ a m´ ultiple. Lo anterior nos permite establecer una analog´ıa con los enteros pues nos permite dar una expresi´ on en forma exponencial del m´ aximo com´ un divisor de dos polinomios.

Adem´ as, el concepto de m´ınimo com´ un m´ ultiplo se puede definir de manera an´ aloga al de m´ aximo

com´ un divisor y siguiendo este camino, denotamos al ´ unico polinomio m´ onico que sea un m´ınimo

com´ un m´ ultiplo de los polinomios f y g como [f, g].

Teorema 12.15. Sean p 1 , . . . , p k−1 y p k polinomios m´ onicos irreducibles distintos, m 1 , . . . m k , n 1 , . . . n k−1

y n k n´ umeros naturales cualquiera, y sean por ´ ultimo f = ap ^m ₁

. . . p ^m _k

y g = bp ⁿ ₁

. . . p ⁿ _k

. Entonces, si se eligen los n´ umeros r i = m´ın{m i , n i } y s i = m´ ax{m i , n i }, se tiene

(f, g) = p ^r ₁

. . . p ^r _k

y

[f, g] = p ^s ₁

. . . p ^s _k

.

El enunciado debe parecer familiar pues resulta id´ entico al propuesto en el caso de enteros. La prueba, por consiguiente, es una recreaci´ on a calca de la prueba del enunciado para enteros y es un ejercicio interesante mostrar que las manipulaciones necesarias son las mismas en ambos casos.

Esta expresi´ on en realidad nos permitir´ a dar un m´ etodo que algunos casos simplifica la obtenci´ on de una factorizaci´ on en irreducibles.

Definici´ on 12.4. Sea R un anillo conmutativo. La derivada formal en el anillo R[x] es la funci´ on D : R[x] → R[x] definida como

D(f 0 + f 1 x + · · · + f n x ⁿ ) = f 1 + 2f 2 x + · · · + nf n x ⁿ⁻¹ .

Debe observarse que la definici´ on anterior involucra algunas sutilezas. La m´ as evidente, por supuesto, es la absoluta ausencia de l´ımites en la definici´ on de la derivada y a esto se refiere la palabra ((formal)) en la definici´on. A pesar de estas consideraciones, la derivada as´ı definida est´a evidentemente inspirada en los desarrollos anal´ıticos y no debe ser sorpresa que mantenga todas estas propiedades las cuales se pueden explorar en el ejercicio 12.9 en el cual podremos observar las sutilezas de tal operaci´ on bajo toda la teor´ıa que hemos desarrollado de anillos.

Lema 12.16. Si p es un factor irreducible de f con orden k ≥ 2, entonces p es un factor irreducible de D(f ) con orden k − 1. En particular, un factor simple de f no aparece en la factorizaci´ on prima de D(f ).

Demostraci´ on. Como p es un factor m´ ultiple de f , podemos escribir f = q ^k g para alg´ un polinomio g que no es m´ ultiplo de g y un entero k ≥ 2. Entonces,

D(f ) = p ^k D(g) + kp ^k−1 gD(p) = p ^k−1 (pD(g) + kpgD(p))

pero el segundo t´ ermino no es divisible por p por lo que k − 1 debe ser el orden de p como factor

irreducible del polinomio D(f ). 

El lema anterior, nos permite explorar con cierto detalle la obtenci´ on de las factorizaciones irre- ducibles usando la derivada. Para conseguir esto, primero observemos que un polinomio factorizado en su forma exponencial resulta

f = ap ^m ₁

. . . p ^m _k

por lo que involucra factores p i cada uno de orden m i . Seg´ un el lema anterior, esto quiere decir que cada uno de ellos aparece de igual forma en la factorizaci´ on de D(f ) con orden m i − 1. Seg´ un el teorema 12.15, cualquier otro factor que pudiera aparecer en D(f ) no aparecer´ a en la factorizaci´ on prima del m´ aximo com´ un divisor entre f y D(f ) por lo que podemos calcular ´ este directamente usando el teorema 12.15 y justificar el siguiente resultado.

Teorema 12.17. Sea f un polinomio en un campo K de modo que su factorizaci´ on en irreducibles resulta f = ap ^m ₁

. . . p ^m _k

. Entonces,

(f, D(f )) = p ^m ₁

⁻¹ . . . p ^m _k

⁻¹ .

Ahora, la igualdad anterior nos permite observar que dado un polinomio f , es posible calcular d = (f, D(f )) para obtener el polinomio q de modo que f = qd. En ese caso, el polinomio q se puede obtener expl´ıcitamente como

q = p 1 . . . p k .

Bajo este planteamiento, tenemos garant´ıa que el polinomio q contiene a todos los factores irredu- cibles de f siendo todos estos simples en q por lo que el grado de q puede ser significativamente menor. Para obtener la factorizaci´ on que buscamos del polinomio f , debemos simplemente encontrar el orden de sus factores irreducibles.

Ejemplo. Consideremos el polinomio f = −8+28x−38x ² +25x ³ −8x ⁴ +x ⁵ . A trav´ es del algoritmo de Euclides, podemos calcular el m´ aximo com´ un divisor de ´ este y su derivada, de lo que resulta

(f, D(f )) = x ³ − 5x ² + 8x − 4.

Si tomamos d = x ³ − 5x ² + 8x − 4, debemos entonces encontrar el polinomio q de modo que f = qd pero utilizando el teorema de la divisi´ on es sencillo obtenerlo:

q = x ² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2).

Esto quiere decir que los ´ unicos factores irreducibles de f son los polinomios x − 1 y x − 2, con lo cual resta encontrar su orden en la factorizaci´ on de f como factores y para esto debemos ocupar la divisi´ on entre polinomios: Tomamos f = q ₁ (x − 1) donde

q ₁ = x ⁴ − 7x ³ + 18x ² − 20x + 8.

Como 1 es ra´ız de q ₁ , podemos encontrar q ₂ de modo que q ₁ = q ₂ (x − 1) lo cual resulta en tener q 2 = x ³ − 6x ² + 12x − 8.

Observemos que 1 no es ra´ız de q 2 y en consecuencia no es posible dividir q 2 entre x − 1 lo que permite concluir que el orden de x − 1 debe ser 2. En ese caso, q 2 debe ser un m´ ultiplo de x − 2 de lo que podemos calcular q ₂ = q ₃ (x − 2) donde

q 3 = x ² − 4x + 4x.

Este ´ ultimo polinomio es sencillo de factorizar al ser evidente que q 3 = (x − 2) ² lo que finalmente permite concluir que x − 2 tiene orden 3. La factorizaci´ on en irreducibles de f entonces resulta

f = (x − 1) ² (x − 2) ³ . Ejercicios

Ejercicio 12.1. Usando la regla de Horner, determina cu´ ales elementos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5}

son ra´ıces de los siguientes polinomios encontrando el ´ındice de multiplicidad de cada ra´ız.

a) x ³ − 6x ² + 11x − 6

b) x ⁴ − 10x ³ + 35x ² − 50x + 24 c) x ⁴ − 7x ³ + 13x ² − 7x + 12

d) x ⁵ − 8x ⁴ + 12x ³ + 12x ² + 11x + 20

e) x ⁴ − 2x ³ + 2x ² − 2x + 1

f) x ⁵ − 8x ⁴ + 25x ³ − 38x ² + 28x − 8

g) x ⁴ − (1 − i)x ³ + (1 − i)x ² − (1 − i)x − i

h) x ⁴ − (6 − i)x ³ + (12 − 6i)x ² + (8 + 12i)x − 8i

Ejercicio 12.2. En el teorema 12.7 se presenta la f´ ormula general para la soluci´ on de ecuaciones

cuadr´ aticas. Demuestra que tal es la f´ ormula completando el cuadrado en la ecuaci´ on que se desea

resolver. Adem´ as, determina en qu´ e casos un polinomio con coeficientes reales tiene una soluci´ on

real.

Ejercicio 12.3. Sea f = ax ² + bx + c un polinomio con coeficientes complejos.

a) Si α y β son ra´ıces distintas de f , demuestra que α + β = −b/a y αβ = c/a.

b) Si f posee una ra´ız m´ ultiple, demuestra que los coeficientes satisfacen b ² − 4ac = 0.

Ejercicio 12.4. Sea f = x ³ + px + q un polinomio con coeficientes reales. El discriminante del polinomio f se define como el n´ umero ∆ = − 4p ³ + 27q ²
el cual tiene una funci´on parecida al caso cuadr´ atico:

a) Si ∆ < 0, demuestra que el polinomio f tiene un ra´ız real y dos complejas.

b) Si ∆ = 0, demuestra que todas las ra´ıces son reales y una de ellas es m´ ultiple.

c) Si ∆ > 0, demuestra que el polinomio f tiene tres ra´ıces reales distintas.

Ejercicio 12.5. Sea α un n´ umero complejo cualquiera. Muestra que el polinomio q = (x − α)(x − ¯ α) es un polinomio con coeficientes reales.

Ejercicio 12.6. Sea f un polinomio sobre R y sea α un n´ umero complejo. Demuestra que α es una ra´ız de f si y s´ olo si ¯ α tambi´ en lo es.

Ejercicio 12.7. Demuestra el teorema 12.4 Sugerencia: Usa inducci´ on sobre n ≥ 1.

Ejercicio 12.8. Sea f un polinomio no constante con coeficientes enteros de modo que f n sea su coeficiente principal y f 0 6= 0 sea su coeficiente constante. Si x = p/q es una ra´ız racional de f , tomando (p, q) = 1, demuestra que p divide a f 0 y q divide a f n . Observa que tal resultado provee un m´ etodo para encontrar las ra´ıces racionales de un polinomio con coeficientes en los enteros.

Ejercicio 12.9. Sea R un anillo conmutativo y sea D : R[x] → R[x] la derivada formal en el anillo de polinomios.

a) Demuestra que D(f + g) = D(f ) + D(g).

b) Demuestra que D(f g) = f D(g) + gD(f ).

c) Demuestra que D(f ^k ) = kf ^k−1 D(f ).

Ejercicio 12.10. Sea K un campo cualquiera y sea D : K[x] → K[x] la derivada formal en el anillo de polinomios.

a) Si a es una ra´ız simple del polinomio f , demuestra que a no es ra´ız del polinomio D(f ).

b) Si a es una ra´ız m´ ultiple del polinomio f con ´ındice k, demuestra que a deber tambi´ en ser una ra´ız del polinomio D(f ) con ´ındice de multiplicidad k − 1.

Ejercicio 12.11. Muestra que los polinomios de la forma x − a sobre un campo cualquiera son irreducibles.

Ejercicio 12.12. Prueba el lema de Euclides para polinomios.

Ejercicio 12.13. Sean f ₁ , f ₂ , . . . , f _n y p polinomios sobre un campo de forma que p sea irreducible.

Si p | f 1 . . . f n , demuestra que p | f k para alg´ un entero k entre 1 y n.

Ejercicio 12.14. Vamos a revisitar un problema de una sesi´ on anterior en vista de las expresiones en irreducibles: Sean m, n y d enteros positivos de forma que d = (m, n). Demuestra que

(x ⁿ − 1, x ^m − 1) = x ^d − 1.

Ejercicio 12.15. Para un polinomio f = x ² + bx + c en R[x], demuestra que f que es un polinomio irreducible si y s´ olo si b ² − 4c < 0.

Ejercicio 12.16. Define el concepto de m´ınimo com´ un m´ ultiplo y prueba el teorema 12.15.

Referencias

[Chi95] Childs, Lindsay N.: A concrete introduction to higher algebra. Springer, 2

edici´ on, 1995.

[Kur77] Kurosch, Alexander G.: Curso de ´ algebra superior. Editorial MIR, 1

edici´ on, 1977.

[Rot05] Rotman, Joseph J.: A first course in abstract algebra. Pearson, 3

edici´ on, 2005.

Eduardo Antonio Gomezca˜ c na Alanis. Versi´ on 4aa011f (2018-06-12 20:53:56 +0000) Esta obra est´ a licenciada bajo la Licencia Creative Commons Atribuci´ on-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional. Para ver una copia de esta licencia, visita http://creativecommons.org/licenses/

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