M.I. Ernesto Alejandro Ruiz Coello

Solución de

armaduras con

matriz de rigidez

M.I. Ernesto Alejandro Ruiz Coello

Definición

Armadura Cercha Celosía Reticulados

Es una estructura plana constituida por un conjunto de barras articuladas en forma triangulada que permite la rigidez de la estructura, cuyo sistema de carga esta integrado por fuerzas concentradas que actúan en las articulaciones, también llamadas nodos y que se ubican en el mismo plano de a armadura. En estas condiciones las barras de una armadura solo resistencias fuerzas axiales (normales).

Definición

Al suponer que las cargas actúan en los nodos, al momento de hacer la bajada de cargas, el peso de cada una de las barras de la armadura, debe repartirse, por mitad, en cada uno de sus nodos extremos.

Igualmente, al considerar que las barras están articuladas, la soldadura o los remaches deben ubicarse lo mas cercanos al nodo a fin de evitar que se presenten fuerzas internas que provoquen momentos flexionantes.

Definición

Nodo, unión o articulación

Definicion

Tipos de barras:

a) Cuerda Superior: es el conjunto de barras que conforman la parte mas elevada de la estructura. Para solicitaciones de tipo gravitacional, normalmente, son piezas que trabajan a compresión.

b) Cuerda Inferior: es el conjunto de barras que forman la parte mas baja de la estructura. Para solicitaciones gravitacionales generalmente trabajana tensión.

c) Montantes: denominados así a las barras verticales de una armadura.

d) Diagonales: son las piezas que, como su nombre lo indica, tienen posición inclinada.

"Cometer errores es humano, pero para estropear realmente las cosas necesitas un ordenador“

-- Paul Ehrlich El hundimiento del Hartford Coliseum (1978)

Coste: 70 millones de dólares, más otros 20 millones en daños a la economía local.

Desastre: Sólo unas horas después de que miles de aficionados al hockey abandonaran el Hartford Coliseum, la estructura de acero de su techo se desplomaba debido al peso de la nieve.

Causa: El desarrollador del software de diseño asistido (CAD) utilizado para diseñar el coliseo asumió incorrectamente que los soportes de acero del techo sólo debían aguantar la compresión de la propia estructura. Sin embargo, cuando uno de estos soportes se dobló debido al peso de la nieve, inició una reacción en cadena que hizo caer a las demás secciones del techo como si se tratara de piezas de dominó.

Paso 1: establecer la matriz de rigidez para cada miembro

y´ x´

X Y

Øx Øy

N(x_N, y_N)

F(x_F, y_F)

𝐾 = 𝐴𝐸 𝐿

λ_𝑥² λ_𝑥λ_𝑦

λ_𝑥λ_𝑦 λ_𝑦²

−λ_𝑥²

−λ_𝑥λ_𝑦

−λ_𝑥λ_𝑦

−λ_𝑦²

−λ_𝑥²

−λ_𝑥λ_𝑦

−λ_𝑥λ_𝑦

−λ_𝑦² λ_𝑥²

λ_𝑥λ_𝑦

λ_𝑥λ_𝑦 λ_𝑦² N_x N_y F_x F_y

N_x N_y F_x F_y

Donde:

λ_𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 ∅_𝑥 = 𝑋_𝐹 − 𝑋_𝑁

𝐿 = 𝑋_𝐹 − 𝑋_𝑁

𝑋_𝐹 − 𝑋_𝑁 ² + 𝑌_𝐹 − 𝑌_𝑁 ²

λ_𝑦 = 𝐶𝑜𝑠 ∅_𝑦 = 𝑌_𝐹 − 𝑌_𝑁

𝐿 = 𝑌_𝐹 − 𝑌_𝑁

𝑋_𝐹 − 𝑋_𝑁 ² + 𝑌_𝐹 − 𝑌_𝑁 ²

Paso 1: establecer la matriz de rigidez para cada miembro (Ejemplo)

X Y

N(0,0)

F(3,4)

λ_𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 ∅_𝑥 = 𝑋_𝐹 − 𝑋_𝑁

𝐿 = 3 − 0

3 − 0 ² + 4 − 0 ² = 3 5

λ_𝑦 = 𝐶𝑜𝑠 ∅_𝑦 = 𝑌_𝐹 − 𝑌_𝑁

𝐿 = 4 − 0

3 − 0 ² + 4 − 0 ² = 4 5 Entonces:

𝐾 = 𝐴𝐸 𝐿

9/25 12/25

12/25 16/25

−9/25

−12/25

−12/25

−16/25

−9/25

−12/25

−12/25

−16/25 9/25

12/25

12/25 16/25

N_x N_y F_x F_y

N_x N_y F_x F_y

Paso 2: Ensamblar la matriz de rigidez global

x y

4 mts

3 mts

1

1

2

3

1 2

3 4

5 6

Miembro 1:

Longitud 3 mts λ_𝑥 = 3 − 0

3 = 1 λ_𝑦 = 0 − 0 3 = 0

(0,0) (3,0)

(3,4)

𝐾 = 𝐴𝐸

1/3 0

0 0

−1/3 0

0 0

−1/3 0

0 0 1/3

0

0 0 1 2 3 4

12 34

Miembro 2:

Longitud 5 mts λ_𝑥 = 3 − 0 5 = 3

5 λ_𝑦 = 4 − 0 5 = 4

5

𝐾 = 𝐴𝐸

9/125 12/125

12/125 16/125

−9/125 −12/125

−9/125

−12/125

−12/125

−16/125 9/125 12/125 1 2 5 6

12 56 𝐾 = 𝐴𝐸

𝐿

λ_𝑥² λ_𝑥λ_𝑦

λ_𝑥λ_𝑦 λ_𝑦²

−λ_𝑥² −λ_𝑥λ_𝑦

−λ_𝑥²

−λ_𝑥λ_𝑦

−λ_𝑥λ_𝑦

−λ_𝑦² λ_𝑥² λ_𝑥λ_𝑦 2 Ton

Paso 2: Ensamblar la matriz de rigidez global

𝐾₁ = 𝐴𝐸

1/3 0 −1/3

0 0 0

−1/3 0 1/3

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

𝐾₂ = 𝐴𝐸

9/125 12/125 0 12/125 16/125 0

0 0 0

0 −9/125 −12/125 0 −12/125 −16/125

0 0 0

0 0 0

−9/125 −12/125 0

0 0 0

0 9/125 12/125 1 2 3 4 5 6

12 34 56

12 34 56 1 2 3 4 5 6

Entonces:

K₁ + K₂ = K_Global

𝐾_{𝐺𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙} = 𝐴𝐸

152/375 12/125 −1/3 12/125 16/125 0

−1/3 0 1/3

0 −9/125 −12/125 0 −12/125 −16/125

0 0 0

0 0 0

−9/125 −12/125 0

−12/125 −16/125 0

0 0 0

0 9/125 12/125 0 12/125 16/125

12 34 56 1 2 3 4 5 6

Paso 3: Aplicación de la teoría del método de la Rigidez

𝑄_𝑘

𝑄_𝑢 = 𝐾₁₁ 𝐾₁₂ 𝐾₂₁ 𝐾₂₂

𝐷_𝑢 𝐷_𝑘

Q_k, D_k = Se refiere a las cargas y los desplazamientos externos conocidos (Know); las cargas aquí sobre la armadura como parte del problema y los desplazamientos se especifican generalmente como iguales a cero debido a las restricciones de los apoyos.

Q_u, D_u = Se refiere a las cargas y los desplazamientos externos Desconocidos (Unknow); las cargas representan a las reacciones en este caso y los desplazamientos en las nudos sin restricciones.

Q_k = k₁₁D_u + K₁₂D_k Q_u = k₂₁D_u + K₂₂D_k

Frecuentemente D_k = 0; ya que en los apoyos restringen los desplazamientos (Según sea el tipo de apoyo) Q_k = k₁₁D_u

D = (k )^-1 Q

Lo que a su vez

Permitirá calcular Qu,

Que son los esfuerzos tension Q_u = k₂₁D_u

Paso 3: Aplicación de la teoría del método de la Rigidez

0

−2 𝑄₃ 𝑄₄ 𝑄₅ 𝑄₆

= 𝐴𝐸

152/375 12/125 −1/3 12/125 16/125 0

−1/3 0 1/3

0 −9/125 −12/125 0 −12/125 −16/125

0 0 0

0 0 0

−9/125 −12/125 0

−12/125 −16/125 0

0 0 0

0 9/125 12/125 0 12/125 16/125

𝐷₁ 𝐷₂ 0 0 0 0 𝑄_𝑘

𝑄_𝑢 = 𝐾₁₁ 𝐾₁₂ 𝐾₂₁ 𝐾₂₂

𝐷_𝑢 𝐷_𝑘

Paso 3.1: Calculo de desplazamientos en nodos libres

Q_k = k₁₁D_u

0

−2 = 𝐴𝐸

152 375

12 125 12

125

16 125

𝐷₁ 𝐷₂

Se propone resolver por método Gauss - Jordan 152/375 15/125 0

12/125 16/125 −2 Efectuar (-9/38)F1 +F2

152/375 15/125 0

0 2/19 −2

Ya que se tiene una matriz escalonada, procedemos

(2/19)D₂ = -2 D₂ = -19

(152/375)D₁ + (15/125)D₂ = 0 (152/375) D₁ + (15/125)(-19) = 0 (152/375) D₁ -228/125 = 0

(152/375) D₁ = 228/125 D₁ = 9/2

Por tanto los desplazamientos desconocidos en El nodo 1 son:

𝐷_𝑢 = 1 𝐴𝐸

9/2

−19

Paso 3.2: Calculo de reacciones

Q_u = k₂₁D_u + K₂₂D_k 𝑄₃

𝑄₄ 𝑄₅ 𝑄₆

= 𝐴𝐸

−1/3 0

0 0

−9/125

−12/125

−12/125

−16/125 1 𝐴𝐸

9/2

−19 + 0 0 0 0

𝑄₃ 𝑄₄ 𝑄₅ 𝑄₆

= (𝐴𝐸) 1 𝐴𝐸

−1/3 9/2 + 0 −19 0 9/2 + 0 −19

−9/125 9/2 + −12/125 −19

−12/125 9/2 + −16/125 −19

=

−3/2 0 3/2

2

𝑄₃ 𝑄₄ 𝑄₅ =

−3/2 0 3/2

Reacciones en los apoyos

Paso 4: Calculo de los esfuerzos en los miembros

𝑞 = 𝐴𝐸

𝐿 −λ_𝑥 −λ_𝑦 λ_𝑥 λ_𝑦

𝐷_𝑁𝑥 𝐷_𝑁𝑦 𝐷_𝐹𝑥 𝐷_𝐹𝑦 Usamos:

Miembro 1:

λx = 1 λy = 0 L = 3

𝑞₁ = 𝐴𝐸

3 −1 0 1 0 1 𝐴𝐸

9/2

−19 0 0

= 𝐴𝐸 3𝐴𝐸

((-1)(9/2)+(0)(-19)+(1)(0)+(0)(0))

q₁ = (1/3)(-9/2) = -3/2 = -1.5 TON (compresión)

Paso 4: Calculo de los esfuerzos en los miembros

Miembro 2:

λx = 3/5 λy = 4/5 L = 5

𝑞₂ = 𝐴𝐸

5 −3/5 −4/5 3/5 4/5 1 𝐴𝐸

9/2

−19 0 0

= 𝐴𝐸

5𝐴𝐸 ((-3/5)(9/2)+(-4/5)(-19)+(3/5)(0)+(4/5)(0))

q₂ = (1/5)(25/2) = 5/2 = 2.5 TON (tensión)

Solución Final

2 Ton

2 Ton

3/2 Ton

3/2 Ton -19/AE

9/2AE

4.00 MTS

3.00 MTS