Ejer i iosdeProbabilidad 2 o
deBa hilleratoCien iasyTe nología. 1
1. En una empresa de auditorías se ha ontratado a tres personas para inspe ionar a las empresas
ban arias realizando las orrespondientes auditorías. La primera se en arga de efe tuar el 30%; la
segunda,el45% ylater era, elrestante 25%.Se ha omprobado queel1% de lasinspe ionesque
realizalaprimerapersonasonerróneas,lasegundapersona ometeun3%deerrores,ylater era,un
2%.
a) Hallarlaprobabilidadderealizarunaauditoría orre tamente.Solu ión
A 1 = {
Auditoríalaprimerapersona} A 2 = {
Auditoríalasegundapersona} A 3 = {
Auditoríalater erapersona}
C = {
Auditoría orre ta} C = {
Auditoríano orre ta}
0, 3
0, 25
A 1
A 3
0, 99
0, 01
0, 98
0, 02
C
C
C
C A 2
0, 45
C
C 0, 97
0, 03
b b
b b b
b
b b
b
b b bb
DepartamentodeMatemáti as ProfesorAndrésDíazJiménez
Ejer i iosdeProbabilidad 2 o
deBa hilleratoCien iasyTe nología. 2
P (C) = P (A 1 )P (C/A 1 ) + P (A 2 )P (C/A 2 ) + P (A 3 )P (C/A 3 ) = 0, 3 · 0, 99 + 0, 45 · 0, 97 + 0, 25 · 0, 98 P (C) = 0,9785
b) Alelegirunaauditoría orre ta,¾ uáleslaprobabilidaddequehayarealizadolasegundapersona?
Solu ión
P (A 2 /C) = P (A 2 ∩ C)
P (C) = 0, 45 · 0, 97
0, 3 · 0, 99 + 0, 45 · 0, 97 + 0, 25 · 0, 98 = 0, 45
2. Disponemos de una urna que ontiene dos bolas blan as y 4 bolas negras y sa amos dos bolas sin
reemplazamiento.Calularlaprobabilidadde:
a) Dosbolasblan as.Solu ión
B = {
bolablan a} N = {
bolanegra} A = {
dosbolasblan as}
P (A) = 2 6 1 5 = 2
30 = 1 15
b) Dosbolasnegras.
C = {
dosbolasnegras} P (C) = 4
6 3 5 = 12
30 = 2 5
) Lasdosbolassean delmismo olor.
D = {
dosbolasdelmismo olor} P (D) = 4
6 3 5 + 2
6 1 5 = 14
30 = 7 15
3. Sean
A
yB
dossu esosaso iadosaundeterminadoexperimentoaleatoriotalqueP (A) = 0, 3 P (B/A) = 2
3 P (A ∪ B) = 0, 7
Cal ular
a)
P (B/A)
.P (B/A) = 1 − P (B/A) = 1 − 2 3 = 1
3
b)
P (A ∩ B)
P (B/A) = P (A ∩ B)
P (A) =⇒ P (A ∩ B) = P (B/A)P (A) = 1
3 · 0, 3 = 0, 1
)
P (B)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =⇒ 0, 7 = 0, 3 + P (B) − 0, 1 =⇒ P (B) = 0, 5
d)
P (B/A)
P (B/A) = P (B ∩ A)
P (A) = P (B) − P (A ∩ B)
1 − P (A) = 0, 5 − 0, 1 1 − 0, 3 = 0, 4
0, 7 = 4 7
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e)
P (A/A ∩ B)
P (A/A ∩ B) = P (A ∩ (A ∩ B))
P (A ∩ B) = P (A ∩ B) P (A ∩ B) = 1
4. Una lase tiene24alumnos ytodosellos ursaninglés ymatemáti as.Lamitad aprueban inglés,16
apruebanmatemáti as,y4suspendeninglésymatemáti as.
a) Cal ula la probabilidad de que, al elegir un alumno de esta lase al azar, resulte que apruebe
matemáti asysuspendeinglés.
I = {
ApruebaInglés} M = {
ApruebaMatemáti as} P (I) = 1
2 P (M ) = 16 24 = 2
3 P (I ∩ M ) = 4 24 = 1
6 P (M ∩ I) = P (M ) − P (M ∩ I)
P (I ∩ M ) = P (I ∪ M ) = 1 − P (I ∪ M ) =⇒ 1
6 = 1 − P (I ∪ M ) =⇒ P (I ∪ M ) = 5 6 P (I ∪M ) = P (I)+P (M )−P (I ∩M ) =⇒ 5
6 = 1 2 + 2
3 −P (I ∩M ) =⇒ P (I ∩M ) = 1 2 + 2
3 − 5 6 = 1
3
b) Enesta lase¾sonindependientes lossu esosaprobaringlésyaprobarmatemáti as?.
Para omprobarlaindependen iadelosdossu esosdebemos al ular
P (I) · P (M ) = 1 2 1 6 = 1
12 6= P (I ∩ M )
Portantolosdossu esos,aprobaringlésyaprobarmatemáti asnosonindpendientes
5. Aundadolepintamos4 arasde olorblan oydos arasde olorazul.Lanzamosdosve eseldado
yanotamosel olordelas aras.Cal ularlaprobabilidad deque
a) Dos arasblan as.
A = {
dos arasazules} B = {
dos arasblan as} C = {
dos arasdelmismo olor}
P (B) = 4 6 4 6 = 16
36 = 4 9
b) Dos arasazules.
P (A) = 2 6 2 6 = 4
36 = 1 9
) Lasdos arasseandel mismo olor.
P (c) = 2 4 6 2 6 = 16
36 = 4 9
6. El60% delosalumnos deun entroaprobaronFísi a, yel70% aprobaronMatemáti as.Ademásel
por entaje de alumnosque aprobaronFísi a habiendoaprobadoMatemáti as esdel 80%.Si Arturo
sabequehaaprobadoFísi a¾Quéprobabilidadtiene dehaberaprobadotambiénMatemáti as?
F = {
AprobarFísi a} M = {
AprobarMatemáti as} P (F ) = 0, 6 P (M ) = 0, 7 P (F/M ) = 0, 8
P (M/F ) = P (M ∩ F )
P (F ) = 0, 56
0, 6 = 0, 93
Porotrolado
P (F/M ) = P (F ∩ M )
P (M ) =⇒ 0, 8 = P (F ∩ M ) 0, 7 P (M ∩ F ) = 0, 56
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