Sección 2.1

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Sección 2.1

Introducción a Funciones

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• La tabla presenta el porcentaje de estudiantes de nuevo ingreso en universidades de Estados Unidos que son mujeres y que alegaron no tener ninguna

afiliación religiosa para ciertos años después de 1970.

Año después del 1970

Porcentaje

0 9.1

10 6.7

20 10.7

30 13.2

38 19.6

La tabla representa una

correspondencia entre el año y el porcentaje.

Podemos escribir esta

correspondencia como un

conjunto de pares ordenados:

{ (0, 9.1), (10, 6.7), (20, 10.7), (30, 13.2), (38, 19.6)}

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Relación

El término matemático para un conjunto de pares ordenados forma una relación.

El dominio de una relación es el conjunto de todos los valores que aparecen como el primer componente de los pares ordenados.

El campo de valores o rango de una relación es el conjunto de todos los valores que aparecen como el segundo componente de los pares ordenados.

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Determine el dominio y el campo de valores de la relación.

{(0, 9.1), (10, 6.7), (20, 10.7), (30, 13.2), (38, 19.6)}

El dominio es el conjunto que contiene todo los valores de la primera posición.

Dominio:

{0, 10, 20, 30, 38}.

El campo de valores es el conjunto que contiene todos los valores de la segunda posición.

Campo de valores:

{9.1, 6.7, 10.7, 13.2, 19.6}.

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Relaciones

• Se puede representar una relación binaria (entre dos conjuntos) de varias formas :

– como un listado; enumerando las parejas – como una tabla

– como una gráfica – como una ecuación

A B

1 b

2 a

3 a

𝒚 = 𝒙^𝟐

{ (0, 9.1), (10, 6.7), (20, 10.7), (30,

13.2), (38, 19.6)}

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Ejemplo

 Construya un listado de los pares ordenados que

forman la relación que se da gráficamente..

 Enumere los miembros del dominio de la relación.

 D ={1, 4, 5, 7, 13, 14, 15, 19, 20}

 Enumere los miembros del campo de valores.

 R ={1, 4, 8, 10, 12, 13}

{(1,1), (4,8), (5,10), (7,4), (13,10), (14,1), (15,1), (19,10), (19,13), (20,12)}

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Función

• Una relación en la cual cada elemento del dominio, D, corresponde a exactamente un elemento del campo de valores, R, se llama una función.

x₁ x₂

y₁ y₂ x₃

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Ejemplo

 ¿Representa una función esta gráfica?

{(1,1), (4,8), (5,10), (7,4), (13,10), (14,1), (15,1), (19,10), (19,13), (20,12)}

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EJEMPLO

SOLUCIÓN

Determine si la imagen representa una función.

1 2 4 3

guitarra violin tambor flauta

Dominio Campo de valores

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Ejemplo

SOLUCIÓN

Determine si la imagen representa una función.

3 8 9 5

escarabajos grillos

hormigas mariposas

Dominio Campo de valores

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Práctica

Determine si la relación es una función o no:

(a) {(2,3), (4,5), (6,5), (9,10)}

(b) {(1,2), (3,3), (6,8), (1,10)}

(c) {(1,5), (4,5), (2,5), (3,5)}

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Funciones como ecuaciones

Las funciones se dan generalmente en términos de ecuaciones en lugar de como conjuntos de pares ordenados.

Por ejemplo y = 2x – 3

Para cada valor de x, sólo existe un valor único para y.

La variable x se llama la variable independiente y la variable y se conoce como la variable dependiente.

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Notación

• Cuando una ecuación representa una función, a menudo se nombra con una letra como f, g, h, F, G, o H.

• El valor de salida, el valor de y, se denota por f (x), que se lee "F de x" o "f en x"

• f(-3) es notación que significa

• evaluar f para el valor x= -3

• el valor de y cuando x = -3

• g(2) = 7 implica

• que si la regla de correspondencia, g, recibe 2 como entrada, produce 7 como salida.

• que el par ordenado (2, 7) satisface la función g

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Evaluar funciones

EJEMPLO

SOLUCIÓN

Determinar el valor indicado de la función:

 ³ ^para ^f  ^x ^ ^⁴^x³ ^ ²^x ^ ⁷

f

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Evaluar funciones

EJEMPLO

SOLUCIÓN

Determinar: 𝑄 −4 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑄 𝑧 = 3𝑧² − 6𝑧⁵

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Determinar ( 4)h  para h r( )  r² 7r  2.

2 2

( ) 7 2

( 4) ( 4) 7( 4) 2 46

h r r r

h

  

     



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Ejemplo

Sea f una función cuyo dominio es el conjunto de los reales tal que f(x) = 𝒙^𝟐.

Determinar:

 𝑓 −6

 𝑓( 3)

 𝑓 3𝑎 − 𝑓(𝑏)

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La función g se define con la siguiente tabla:

( )

0 3

1 0

2 1

3 2

4 3

x g x

a) Determine el dominio de g(x).

b) Determine el campo de valores de g(x).

c) Determine g(1).

d) Determine el conjunto de los valores de x tal que g(x) >1.

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La function g está definida por la siguiente table.

( )

0 3

1 0

2 1

3 2

4 3

x g x

Determine los valores de x tal que g x( )  3.