CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL

CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL

Las curvas de nivel son aplicadas en el área de la Ingeniería para mostrar en el plano curvas isotermas, mapas topográficos de regiones montañosas que identifican las curvas de altitud de contorno de una superficie o líneas equipotenciales, por mencionar algunas. En las curvas Isotermas la líneas continuas enlazan la misma temperatura en la zona. En los mapas topográficos, si se desplazara una persona a lo largo de una curva de nivel se mantendría a la misma altitud.

Ejemplo 1. Trazar algunas curvas de nivel de la función ^{f ( x , y )   x}

^{ y}

^{ 4} para c = 4, c = 3, c = 0 y c = –5.

Solución

a) Para c = 4; ^{ x}

^{ y}

^{ 4  4 ;  x}

^{ y}

^{ 0 ; x}

^{ y}

^{ 0 ;} (1) la expresión (1) representa un punto cuando f(x,y) = c = 4

b) Para c = 3; ^{ x}

^{ y}

^{ 4  3 ;  x}

^{ y}

^{  1 ; x}

^{ y}

^{ 1 ;} (2) la expresión (2) representa una circunferencia de radio r = 1 .

c) Para c = 0; ^{ x}

^{ y}

^{ 4  0 ;  x}

^{ y}

^{  4 ; x}

^{ y}

^{ 4 ;} (3) la expresión (3) representa una circunferencia de radio r = 2

d) Para c = –5; ^{ x}

^{ y}

^{ 4   5 ;  x}

^{ y}

^{  9 ; x}

^{ y}

^{ 9 ;} (4) la expresión (4) representa una circunferencia de radio r = 3

La superficie es un paraboloide abierto hacia abajo, su extremo máximo está en z = 4 y las curvas de nivel de la función son círculos. Tal como se ilustra a continuación en las figuras 1, 2 y 3.

DEFINICIÓN Curva de nivel

El conjunto de puntos (x, y) en el plano donde una función de dos variables independientes tiene un valor constante f(x, y) = c, es una curva de nivel de f.

Fig 1. Las trazas horizontales son curvas de nivel Fig 2 Mapa de contorno

Fig 3 Mapa de contorno con los valores dados de c

Ejemplo 2. Trazar algunas curvas de nivel de la función ^{f ( x , y )  x}

^{ 2 y}

^{ 5} , para

 4



c , c = –1, c = 1 y c = 4

Solución La función dada representa la superficie de un paraboloide elíptico abierto hacia arriba. Si (x, y) = (0, 0) entonces z = –5. Las curvas de nivel son elipses.

para c   4 x

 y 2

 5   4 x

 y 2

 1 ¹ 2 1 1

2

2

 y 

x

(5)

para c   1 ^x

^{ y 2}

^{ 5   1 x}

^{ y 2}

^{ 4} 1 2 4

2

2

 y 

x (6)

para c  1 ^x

^{ y 2}

^{ 5  1 x}

^{ y 2}

^{ 6} 1 3 6

2

2

 y 

x (7)

Solución: La tercera de las expresiones del conjunto de ecuaciones (5) representa la ecuación de un elipse con a

 c  5 y b



. Obtendremos las trazas para valores de c = –4, c = –1, c = 1 y c = 4,

 0 c

Fig 3 Las trazas horizontales son curvas de nivel Fig 4 Mapa de contorno Figura 4. Mapa de contorno con los valores dados de c = –4, –1, 1 y 4.

Ejemplo 3. Describir el comportamiento de

mediante el bosquejo de algunas curvas de nivel.

Solución Es conveniente asignarle a c valores en todo el conjunto de los números reales, es decir c > 0, c < 0 y c = 0.

 La curva de nivel cuando c tiene el valor de 0, tiene la ecuación:

2 0

2 y 

x

esta ecuación representa las rectas x = y; x = – y.

 Cuando c > 0, la curva de nivel para c = 1, tiene la ecuación:

representa una hipérbola cuyo eje es el eje x.

 Cuando c < 0, la curva de nivel para c = –1, tiene la ecuación:

representa una hipérbola cuyo eje es el eje y.

Ejemplo 4. Bosqueje la curva de nivel de

que pasa por (1, 1) Solución: Calculamos f(1, 1) = c

2 2 )

1 , 1 (

2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 , 1 (

2 2

2 2













 y x

c f

f

esta expresión representa la ecuación de la circunferencia

de radio r  2

...

...

Figura 5 Gráfica de

Figura 6. Nueve curvas de nivel de la fig. 5

Figura 7. Curvas de nivel vistas de planta de la figura 6, curvas en región en tono rojo indica trazos sobre el nivel cero, curvas en tono azul indica trazos bajo el nivel cero.

SUPERFICIES DE NIVEL

Si f (x,y,z) es una función de tres variables y k una constante que debe satisfacer los valores del rango de la función. La gráfica de la ecuación f(x,y,z) = k es una superficie de nivel.

Por ejemplo, los troncos de los árboles con muchos años de vida contienen en su estructura interna superficies de nivel donde han quedado registrado los periodos de tiempo que han vivido.

Gracias a los aparatos científicos que se han construido para la ciencia médica podemos observar las superficies de nivel del cuerpo humano a diferentes niveles de profundidad de su superficie, permitiendo explorar dentro del mismo.

Ejemplo 1. Describir las superficies de nivel de la función ^{f ( x , y , z )  x}

^{ 4 y}

^{ z}

(1) Solución: Cada superficie de nivel tiene una ecuación de la forma ^x

^{ 4 y}

^{ z}

^{ k} (2) Por la naturaleza de la ecuación (2), k debe ser mayor o igual que cero. La expresión (2) es la ecuación de una familia de elipsoides concéntricos cuya forma estándar es:

2

1

2 2 2 2

2

  

c z b y a x

Si k = 1.

) 1 4 / 1 (

2 2

2

 y  z 

x

donde

Figura 7. Gràfica de f(y,z)x²y² y curvas de nivel

Figura 8. Curva de nivel para c = 2 de la figura 7. (círculo más interno).

. c , ) / ( b ,

a 1

2 4 1 1

1   



Si k = 4 entonces

4 1 1 4

2 2

2

 y  z 

x

donde

Tenemos que, si dibujamos la figura 1 y la figura 2 sobre un mismo eje de coordenadas la figura 1 estaría dentro de la figura 2 por ser concéntricas.

Ejemplo 2. Describir las superficies de nivel de la función ^{f ( x , y , z )  x}

^{ y}

^{ z}

(1)

Figura 2.

Figura 1

Solución: Cada superficie de nivel tiene una ecuación de la forma ^x

^{ y}

^{ z}

^{ k} (2) donde k es mayor o igual que cero. La expresión (2) es la ecuación de una familia de esferas concéntricas cuya forma estandar es:

^x

^{ y}

^{ z}

^{ r}

donde r es el radio de la esfera Si k = 0, se tiene un punto en el origen.

Si k = 1, la superficie es una esfera de radio 1.

Si k = 4, entonces es una esfera de radio 2.

En general, si k > 0 se obtiene una familia de esferas concéntricas, cuyo centro corresponde al punto (0, 0, 0).

y

2 2

2

y z

x ) z , y , x (

f   