Nivelaci´ on de Matem´ atica MTHA UNLP 1

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Derivada (continuaci´ on)

1. Regla de la cadena. Derivadas de orden superior

1.1. Funciones Compuestas

Sean f y g dos funciones tales que f est´ a definida en todos los n´ umeros que son valores de g, entonces se puede construir una nueva funci´ on denotada por f ◦ g cuyo valor en cada x es:

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) la funci´ on f ◦ g se llama funci´ on compuesta de f y g.

Ejemplo:

1) Consideremos f (x) = x ⁴ + 1, y g(x) = x ⁶ , ambas tienen por dominio los n´ umeros reales, entonces:

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x ⁶ ) = (x ⁶ ) ⁴ + 1 = x ²⁴ + 1 (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x ⁴ + 1) = (x ⁴ + 1) ⁶

Tanto (f ◦ g)(x) como (g ◦ f )(x) tendr´ an por dominio el conjunto de los n´ umeros reales.

2) Consideremos f (x) = √

x + 2, y g(x) = x ³ . Domf = [−2, +∞); Domg = R

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x ³ ) = √

x ³ + 2, cuyo dominio ser´ a: [ √

−2, +∞) (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g( √

x + 2) = ( √

x + 2) ³ , cuyo dominio ser´ a: [−2, +∞)

1.2. Regla de la cadena

Sean f y g dos funciones que tienen derivadas, y tales que f est´ a definida en todos los n´ umeros que son valores de g. Entonces la funci´ on compuesta f ◦ g tiene una derivada, dada por la f´ ormula:

(f ◦ g) ⁰ (x) = f ⁰ (g(x))g ⁰ (x) Ejemplos:

1) Consideremos f (x) = x ⁴ + 1, y g(x) = x ⁶ , entonces f ⁰ (x) = 4x ³ y g ⁰ (x) = 6x ⁵ (f ◦ g) ⁰ (x) = f ⁰ (g(x))g ⁰ (x) = 4(g(x)) ³ · 6x ⁵ = 4(x ⁶ ) ³ · 6x ⁵

2) Si H(x) = (7x + 4) ⁹ , H(x) es la composici´ on de dos funciones: u(x) = 7x + 4 y v(x) = x ⁹ , luego, la derivada de H(x) es: H ⁰ (x) = 9(7x + 4) ⁸ · 7

3) Si T (x) = √

8x ³ − 3x ² = (8x ³ − 3x ² ) ^1/4 ;

T ⁰ (x) = ¹ ₄ (8x ³ − 3x ² ) ^−3/4 · (24x ² − 6x) = 24x ² − 6x

4 ^q

(8x ³ − 3x ² ) ³

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1.3. Derivadas de orden superior

Dada una funci´ on f definida en un intervalo, su derivada f ⁰ es tambi´ en una fun- ci´ on en ese intervalo. Si sucede que tambi´ en es derivable, entonces su derivada se llama segunda derivada de f y se denota por f ⁰⁰ (x). De este modo puede seguirse tambi´ en con la derivada tercera, cuarta, etc. siempre que existan.

Notaci´ on: f ⁽ⁿ⁾ (x) es la derivada n-´ esima de f . Ejemplos:

1) Hallar la derivada primera, segunda y tercera de g(x) = 4 √

x + 3 = 4(x + 3) ^1/2 : g ⁰ (x) = 4

2 √

x + 3 g ⁰⁰ (x) = − 1

q (x + 3) ³

g ⁰⁰⁰ (x) = 3 2 ^q (x + 3) ⁵

2) Si una part´ıcula se mueve a lo largo de cierta recta una distancia que depende del tiempo t. Entonces la distancia s es una funci´ on de t, que escribimos s = f (t).

La raz´ on de cambio de s respecto a t es la derivada f ⁰ (t), que llamaremos rapidez:

v(t) = rapidez = f ⁰ (t)

La raz´ on de cambio de la rapidez se llama aceleraci´ on. As´ı.

a(t) = aceleraci´ on = v ⁰ (t) = f ⁰⁰ (t)

En el caso en que y = f (x) es funci´ on de x y adem´ as x es funci´ on de t (digamos x = g(t)); entonces, mediante la regla de la cadena, podemos determinar tanto la raz´ on de cambio de y con respecto a x, o sea f ⁰ (x) como tambi´ en la raz´ on de cambio de y con respecto a t: f ⁰ (g(t)) = f ⁰ (g(t))g ⁰ (t).

2-a) Un objeto viaja sobre una recta una distancia dada por la funci´ on s(t) = 2t ³ + t. Determinar en que instante la rapidez es 7:

v(t) = s ⁰ (t) = 6t ² + 1 es la rapidez en cada instante t;

la rapidez es 7 en el t tal que 6t ² + 1 = 7; es decir, cuando t = 1 2-b)Hallar la aceleraci´ on en el instante t = 2.

a(t) = v ⁰ (t) = 12t es la aceleraci´ on en cada instante t;

luego, cuando t = 2 el valor de la aceleraci´ on es a(2) = 24.

3) Un cuadrado se expande de manera que su lado cambia a raz´ on de 3 cm/seg.

Hallar la raz´ on de cambio de su ´ area cuando el lado mide 6 cm de largo.

La longitud del lado del cuadrado es una funci´ on del tiempo L(t) y su raz´ on de cambio es L ⁰ (t) = 3.

El ´ area del cuadrado como funci´ on del lado es A(L) = L ² , como la longitud del lado depende del tiempo, la raz´ on de cambio del ´ area con respecto al tiempo es la derivada de la funci´ on compuesta A(L(t)); es decir, (A(L(t))) ⁰ = A ⁰ (L(t)) · L ⁰ (t) = 2L(t) · L ⁰ (t) = 2L(t) · 3.

En el momento T en que el lado mide 6 cm de largo, la raz´ on de cambio del ´ area

ser´ a 2L(T ) · 3 = 2 · 6 · 3 = 36cm/seg.

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1.4. Ejercicios

1. Hallar la ecuaci´ on de la recta tangente a las gr´ aficas de las funciones:

a) f (x) = sen 2x b) g(x) = cos(3x + 2π) en x = π.

2. Hallar las derivadas de las funciones siguientes:

a) f ₁ (x) = (x + 1) ⁶ b) f ₂ (x) = (2x − 5) ^1/2 c) f ₃ (x) = (2x ² + 3) ³ d) f ₄ (x) = 1

(3x − 4) ³ e) f ₅ (x) =cos(sen 5x) f) f ₆ (x) =sen(x ² + 5x) g) f ₇ (x) = 1

senx + cosx h) f ₈ (x) = ^q (x + 1) ⁵ i) f ₉ (x) = sen2πx cos3x j)f ₁₀ (x) = cos((x + 1) ⁶ ) k) f ₁₁ (x) =tg (2x ² + π) ³

l)

f ₁₂ (x) = sen ² (3x) − cos(3x ³ + 5x) 3. Hallar la segunda derivada de

a) f (x) = 3x ³ + 5x − 3 b) g(x) = (x ² + 2) ⁵ c) s(z) =cos(z ² − 2) d) f (t) = cos(t ³ + π) e) h(u) = tg(−4u − u ⁷ ) f) F (x) = x sen(x ² ) 4. Hallar la derivada cuarta de a) y(t) = cos t b) u(x) = sen(πx)

¿Cu´ al ser´ a la derivada de orden 25 de la funci´ on y(t) = cos t? ¿Cu´ al ser´ a la derivada de orden 33 de la funci´ on r(t) = sen t?

5. Hallar la derivada sexta de r(t) = t ⁶ − t ⁴ + t − 6 6. Hallar la derivada tercera de z(t) = t ³ − t ² + t − 3 7. Hallar la derivada 40-´ esima de r(t) = t ⁶ − t ⁴ + t − 6

8. Sea f (x) = x ^k donde k es un entero positivo. Hallar f ^(k) (x). Si n es un entero positivo mayor que k, ¿cu´ al es f ⁽ⁿ⁾ (x)?

9. Una part´ıcula se mueve de modo que en el instante t la distancia est´ a dada por s(t) = t ³ − 2t; ¿en que instante la aceleraci´ on es igual a: a) 1 ; b) 0 ; c) -5? . 10. Una part´ıcula se mueve de modo que en el instante t la distancia est´ a dada por

s(t) = 2t ⁴ + t ² ; ¿en que instante la rapidez es igual a 0?

11. Un objeto viaja sobre una recta con una rapidez dada por la funci´ on v(t) = 4t ⁵ . Hallar la aceleraci´ on en el instante t = 2.

12. Un cuadrado se expande de manera que su lado cambia a raz´ on de 2 cm/seg.

Hallar la raz´ on de cambio de su diagonal cuando el lado mide 4 cm de largo.

13. Un cubo se expande de manera que su lado est´ a cambiando a raz´ on de 5 m/seg.

Hallar la raz´ on de cambio de su volumen cuando su arista mide 4 m de longitud.

Nivelaci´ on de Matem´ atica MTHA UNLP 4 14. Movimiento arm´ onico simple. Consideremos un cuerpo que descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Se encuentra sujeto a un soporte mediante un resorte, si se lo aparta de su posici´ on de equilibrio una distancia peque˜ na, oscila ejecutando lo que se conoce como movimiento arm´ onico simple.

- x

@

@ @

@

@ @

@

@ @

@ @

0

La posici´ on del cuerpo en funci´ on del tiempo, tomando como origen el lugar donde el cuerpo se hallaba en equilibrio es:

x(t) = A sen (2πf t)

donde A se llama amplitud del movimiento y f es la frecuencia del mismo (n´ umero de oscilaciones por unidad de tiempo).

a) Si A = 5cm y f = 2Hz (Hz: Hertz es la unidad de frecuencia y tiene dimensi´ on f´ısica 1/seg). Representar gr´ aficamente para un intervalo de tiempo igual a 1 seg.

b) Calcular la velocidad en funci´ on del tiempo.Representar gr´ aficamente para un intervalo de tiempo igual a 1 seg.

c) Calcular la aceleraci´ on en funci´ on del tiempo.Representar gr´ aficamente para un intervalo de tiempo igual a 1 seg.

d ) Interpretar f´ısicamente los resultados obtenidos.