1 Tema 1: Estadística descriptiva

PROBLEMAS DE MATEM ´ ATICAS FACULTAD DE CIENCIAS QU´IMICAS Estad´ıstica Curso 2005-2006 Departamento de Matem´ aticas

Primero Licenciatura en Qu´ımicas Universidad de Castilla-La Mancha

1 Tema 1: Estad´ıstica descriptiva

1. Demostrar las siguientes afirmaciones:

(a) La varianza de una m.a.s. de tama˜ no muestral N , se puede expresar como el segundo t´ermino de la siguiente identidad,

1 N

X k i=1

n i · (x i − x) ² = 1 N

X k i=1

n i · x ² _i − (x) ² , donde N = X k i=1

n i

(b) La f´ormula de la mediana de una m.a.s. se puede expresar, m e = l i−1 +

µ 0.50 − F i−1

f i

¶

· α i ,

donde F i−1 es la frecuencia relativa acumulada del intervalo anterior al intervalo central y f i es la fre- cuencia relativa del intervalo central.

2. Los resultados obtenidos al lanzar un dado 200 veces vienen reflejadas en la tabla

N´ umero 1 2 3 4 5 6

Repeticiones x 32 35 33 y 35

(a) Determina las frecuencias x e y que faltan sabiendo que la puntuaci´on media es 3.6.

(b) Calcula la media, la moda y la desviaci´on t´ıpica.

(c) Obtener la tabla de datos.

3. El peso medio de 5 chicas es de 52.6 Kg y el peso medio de 7 chicos es 62.8 Kg. Halla el peso medio del grupo total.

4. Un m´edico dentista examina 150 ni˜ nos que habitualmente consumieron caramelos y anota el n´ umero de piezas careadas. Los resultados fueron

N´ umero de piezas 0 1 2 3 4 5 6 7 8

N´ umero de ni˜ nos 0 1 6 13 50 33 30 17 0 Realiza una estad´ıstica descriptiva completa con estos datos.

5. Dada la siguiente muestra de datos de tama˜ no muestral N = 26,

(1, 2, 2, 9, 4, 3, 8, 7, 3, 4, 4, 2, 3, 4, 6, 4, 7, 6, 5, 5, 7, 7, 5, 9, 3, 1) (a) Obtener la media, la moda y la mediana.

(b) Obtener los cuartiles Q 1 , Q 2 y Q 3 . ¿Has necesitado calcular los tres cuartiles?, razona la respuesta.

6. Tenemos una variable X de la que sabemos que su coeficiente de variaci´on es 0.5 y que su desviaci´on

t´ıpica es 3. ¿Cu´al es el valor de la media de X?.

siguientes:

Anchura N´ umero de huevos

13.75 - 14.25 1

14.25 - 14.75 1

14.75 - 15.25 5

15.25 - 15.75 9

15.75 - 16.25 73

16.25 - 16.75 51

16.75 - 17.25 80

17.25 - 17.75 15

17.75 - 18.25 7

18.25 - 18.75 0

18.75 - 19.25 1

Obtener el histograma correspondiente y analizar descriptivamente.

9. La distribuci´on de edades del Censo Electoral de Residentes a 1 de enero de 1999 para las comu- nidades aut´onomas de Arag´on y Canarias, en tantos por cien es la siguiente:

Edades Arag´on Canarias

[16, 18) 3.54 4.35

[18, 30) 21.56 29.99 [30, 50) 31.63 35.21 [50, 70) 28.14 21.97 [70, 90) 15.12 8.48

(a) Representa sobre los mismos ejes de coordenadas los histogramas de la distribuci´on de edad para las CC.AA. (sugiero emplear distinto trazo o distintos colores). ¿Qu´e conclusiones obtienes a la vista de los histogramas?.

(b) Obtener la edad mediana para las dos comunidades y comp´aralas. ¿Qu´e indican estos resultados?.

(c) ¿Qu´e comunidad tiene mayor variabilidad en la distribuci´on de la edad?.

10. Una empresa de fabricaci´on de productos cer´amicos dispone de tres centros de producci´on. En el centro A, el m´as grande y moderno, se hace un estudio de los m ² de azulejos producidos al mes durante el a˜ no pasado, obteni´endose una media de producci´on mensual de X A = 250000 m ² , con una desviaci´on t´ıpica σ A = 15000 m ² .

Se sabe que el centro B, por tener maquinaria m´as anticuada que A, produce cada mes un tercio de la producci´on de A, y que el centro C, por tener un horno menos que B, produce cada mes 25000 m ² menos que B. ¿Cu´al es la media y la varianza de la producci´on mensual de C?

11. Sean X e Y dos variables tales que X = 5; σ ² _X = 2; Y = 7; σ _Y ² = 8. Sabiendo que ambas

variables guardan la relaci´on y i = ax i + b y que a > 0, determinar los valores de las constantes a y b.

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Primero Licenciatura en Qu´ımicas Universidad de Castilla-La Mancha

2 Tema 2: Probabilidad

2.1 Definici´ on y leyes b´ asicas de la probabilidad

1. Dada una {B n } n≥1 sucesi´on de sucesos disjuntos dos a dos, demostrar que

P Ã _∞

[

n=1

B _n /A

!

= X ∞ n=1

P (B _n /A)

donde A es un suceso tal que P (A) > 0.

2. Sean A y B dos sucesos tales que P (A) y P (B) > 0. Comprobar la igualdad P (A/B) + P (A ^c /B) = 1.

3. Sean A y B dos sucesos tales que P (A) = 1/2, P (A ∪ B) = 3/4 y P (B ^c ) = 5/8. Calcular las siguientes probabilidades:

P (A ∩ B), P (A ^c ∩ B ^c ), P (A ^c ∪ B ^c ) y P (A ^c ∩ B).

4. Consideremos el espacio muestral Ω = {1, 2, 3, 4} y la probabilidad dada por P (w j ) = 1/4 para w j ∈ Ω. Comprobar que los sucesos A = {1, 2}, B = {1, 3} y C = {1, 4} son independientes dos a dos, pero que A, B y C no son sucesos independientes entre s´ı.

5. (a) ¿Cu´antos n´ umeros de tres d´ıgitos se pueden formar usando las cifras {1, 2, ..., 9}? ¿Cu´antos con sus tres d´ıgitos diferentes? ¿Y cu´antos de estos son n´ umeros pares?.

(b) Calcular la probabilidad de obtener un n´ umero par de tres d´ıgitos diferentes usando las cifras {1, 2, ..., 9}.

6. (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que en una reuni´on de 50 personas al menos dos de ellas tengan la misma fecha de nacimiento ?.

(b) Obtener una cota inferior de dicha probabilidad. Usar la desigualdad 1 − x ≤ e ^−x , para x ≥ 0.

7. Disponemos de dos urnas U 1 y U 2 . La primera urna contiene b 1 bolas blancas y n 1 bolas negras;

U 2 contiene b 2 bolas blancas y n 2 bolas negras. Escogemos al azar una urna y posteriormente extraemos una bola de ella.

(a) ¿Cu´al es la probabilidad de que la bola extra´ıda sea negra?.

(b) Si hemos sacado una bola blanca, ¿cu´al es la probabilidad de que hayamos seleccionado la urna U ₁ ?.

8. Hay 6 cajas que contienen cada una 12 tornillos buenos y malos; una tiene 8 buenos y 4 defectu- osos; dos cajas tienen 6 buenos y 6 defectuosos y tres 4 buenos y 8 defectuosos. Se elige una caja al azar y se extraen 3 tornillos, sin reemplazamiento de dicha caja; de ´estos 2 son buenos y 1 defectuoso. ¿Cu´al es la probabilidad de que la caja elegida contenga 6 buenos y 6 malos?.

9. ¿Cu´al es la probabilidad de que al lanzar n veces una moneda obtengamos n caras? ¿Cu´al la proba- bilidad de obtener n caras o menos? ¿Y la probabilidad de al menos una cara?

10. Una urna contiene x bolas blancas e y negras. Una persona saca k bolas, ¿cu´al es la probabili- dad de que z sean blancas y k-z sean negras?.

11. Una loter´ıa que vende n ² n´ umeros da n premios. Si compras n boletos, obtener la probabilidad

de que ganes un premio al menos.

el 10 % de los segundos tienen m´as de 50 a˜ nos. Si se elige un diputado al azar y tiene m´as de 50 a˜ nos,

¿cu´al es la probabilidad de que pertenezca al partido B?.

14. En el interior de un c´ırculo se selecciona un punto al azar. ¿Cu´al es la probabilidad de que di- cho punto se encuentre m´as cerca del centro que de la circunferencia?.

Ahora consideremos el problema de inscribir un c´ırculo en un cuadrado ¿cu´al es la probabilidad de que el punto est´e fuera del c´ırculo?.

15. Cuando la concentraci´on de sangre de una determinada sustancia en un individuo sobrepasa un cierto valor se dice que el individuo pertenece a un determinado grupo de riesgo. Supongamos que el 5

% de los habitantes de una poblaci´on pertenece al grupo de riesgo. Determinar la probabilidad de que de tres individuos elegidos al azar, uno est´e en el grupo de riesgo.

16. En una universidad el 4 % de los chicos y el 1 % de las chicas tienen una altura superior a 180 cm. El 60 % de los alumnos son chicas. Se toma un alumno al azar y se comprueba que mide m´as de 180 cm. Hallar la probabilidad de que tal alumno sea chico.

17. Dos m´aquinas A y B han producido respectivamente 100 y 200 piezas. Se sabe que A produce un 5 % de piezas defectuosas y B un 6 %. Se toma una pieza y se pide:

(a) Probabilidad de que sea defectuosa

(b) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera m´aquina.

18. Se consideran tres urnas. La urna I contiene tres bolas blancas y dos negras. La urna II con- tiene cuatro blancas y tres negras. La urna III contiene cinco blancas y cuatro negras. Se elige una urna al azar y se extraen dos bolas sin reeplazamiento.

(a) Calcular la probabilidad de que las dos bolas sean blancas.

(b) Si se extraen tres bolas sin reemplazamiento, ¿cu´al es la probabilidad de que las tres bolas sean negras?.

19. En un sistema de alarma, la probabilidad de que se produzca un peligro es 0.1. Si ´este se pro- duce, la probabilidad de que la alarma funcione es 0.95. Y la probabilidad de que funcione la alarma sin haber habido peligro es 0.03. Hallar:

(a) La probabilidad de que habiendo funcionado la alarma, no haya peligro.

(b) La probabilidad de que haya un peligro y la alarma no funcione.

(c) La probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma, haya un peligro.

20. Dado el espacio muestral Ω = [0, 1], consideraremos como sucesos del espacio muestral anterior a todos los posibles subintervalos de Ω. Por lo tanto estamos interesados en obtener las probabilidades P (B), para todo B ∈ Ω, y definimos una aplicaci´on P tal que

P (B) = Z

B

f (x)dx para una funci´on f : [0, 1] → R no negativa tal que

Z ₁

0

f (x)dx = 1 (a) Demostrar que P es una probabilidad.

(b) Demostrar que P ({r}) = 0, para todo r ∈ [0, 1].

(c) Calcular P (Q ∩ [0, 1]), donde Q ∩ [0, 1] representa el conjunto de los n´ umeros racionales en [0, 1].

(d) Demostrar que P ((a, b]) = P ([a, b]).

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Primero Licenciatura en Qu´ımicas Universidad de Castilla-La Mancha

2.2 Variables aleatorias y distribuciones

1. En el experimento que consiste en lanzar tres monedas y anotar el n´ umero de caras obtenidas, calcula:

(a) La funci´on de masa o de cuant´ıa y su representaci´on.

(b) La funci´on de distribuci´on correspondiente.

(c) La media y la varianza de la distribuci´on.

(d) Si X es la variable que expresa el n´ umero de caras obtenidas, halla P (1 < X < 3).

2. Sea X una variable aleatoria cuya funci´on de probabilidad viene dada por:

P (X = r) = 1

8 , tal que, r = 2, 3, ..., 9.

Se pide obtener:

(a) La representaci´on gr´afica de la funci´on de masa o de cuant´ıa.

(b) La funci´on de distribuci´on y su gr´afica.

(c) P (X < −3) y P (4 < X < 7).

3. Una compa˜ n´ıa de bebidas anuncia premios en los tapones asegurando que en cada 1000 tapones hay 500 con “int´entelo otra vez”, 300 con premio de 5 euros, 150 con premio de 10 euros, 40 con premio de 50 euros y 10 con premios de 100 euros. Un individuo al que no le gusta esa bebida decide comprar una botella cuyo coste es de 10 euros. Caracterizar su ganancia mediante una variable aleatoria y calcular su esperanza. Calcular su probabilidad de perder dinero.

4. En una calle hay un sem´aforo que est´a en verde para los coches durante un minuto y en rojo du- rante 15 segundos. Suponiendo que un automovilista llega al sem´aforo con igualdad probabilidad en cualquier instante, calcula el tiempo medio de espera.

5. La distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria discreta X viene dada por:

x i 3 4 5 6 7

p i 0.1 0.2 0.15 0.25 0.3

(a) Representa la funci´on de cuant´ıa correspondiente y calcula la funci´on de distribuci´on.

(b) Calcular P (X > 5) y P (X < 3).

(c) Calcular la esperanza y la varianza de la variable aleatoria X.

6. Calcular la esperanza y la varianza del n´ umero de puntos obtenidos en la tirada de un dado or- dinario.

7. Dada la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria continua X, definida de la forma:

F (x) =

 



0 si x < 0 sin x si 0 ≤ x ≤ ^π ₂ 1 si x > ^π ₂

(1)

Calcular la funci´on de densidad, su desviaci´on t´ıpica y la probabilidad de que X est´e comprendido entre −π y π.

Si X representa el contenido de aluminio en una muestra de un determinado producto industrial,

halla la probabilidad de que tomando una unidad de producto su contenido en aluminio sea mayor que

0.4 u.

Determina el valor de a y b si sabemos que P (a < ξ < 2a) = 0.375. Si ξ representa el nivel de calcio en los dientes en una poblaci´on, ¿qu´e nivel de calcio es el m´as esperado?. Halla la desviaci´on t´ıpica.

9. Una variable aleatoria X tiene como funci´on de densidad:

f (x) =

½ _k

√ x si 0 < x < 50

0 en el resto (3)

Determinar: (a) el valor de k para que f sea funci´on de densidad; (b) la funci´on de distribuci´on; (c) P (0.5 < X < 1.5); (d) la deviaci´on t´ıpica; (e) la esperanza matem´atica; (f) si representa el n´ umero de personas que asiste diariamente a una sala de reuniones, ¿cu´antas sillas han de estar disponibles en la sala para poder atender a estas personas con una probabilidad no menor a 0.90?.

10. El tiempo de vida (en minutos) de un determinado virus es una variable aleatoria con funci´on de densidad:

f (x) =

½ ₁

1000 e ^−x/1000 si x > 0

0 en el resto (4)

(a) Hallar la probabilidad de que el tiempo de vida sea superior a 100 minutos e inferior a 1000 minutos.

(b) Observemos el virus a los 500 minutos y comprobamos que ha muerto. ¿Cu´al es la probabilidad de que estuviese vivo a los 100 minutos?.

11. La funci´on de densidad de una variable aleatoria es:

f (x) =

½ ₄

3 (1 − x ³ ) si 0 ≤ x ≤ 1

0 en los dem´as casos (5)

(a) Comprobar que es funci´on de densidad.

(b) Calcular P (X ≤ 1/2); P (1/4 ≤ x ≤ 3/4).

12. La duraci´on en minutos de una llamada telef´onica de larga distancia se asimila a una variable X cuya funci´on de distribuci´on es:

F (x) =

½ 1 − ² ₃ e ^−2x/3 − ¹ ₃ e ^−x/3 para x > 0

0 para x ≤ 0 (6)

Se pide:

(a) Comprobar que F es una funci´on de distribuci´on.

(b) Calcular la funci´on de densidad correspondiente.

(c) La esperanza matemtica.

(d) La probabilidad de que la duraci´on de una llamada est´e comprendidad entre 3 y 6 minutos.

(e) Una llamada lleva 3 minutos. Probabilidad de que no pase de 6 minutos.

13. H´allese la probabilidad de obtener exactamente tres caras en cinco tiradas de una moneda.

14. Suponiendo que cada ni˜ no tiene la probabilidad 0.51 de ser var´on, h´allese la probabilidad de que una familia de seis hijos tenga:

(a) por lo menos un ni˜ no.

(b) por lo menos una ni˜ na.

15. De una estaci´on parte un tren cada 20 minutos. Un viajero llega de improviso. Hallar:

(a) Funci´on de distribuci´on de la variable aleatoria “tiempo de espera”.

(b) Probabilidad de que espere al tren menos de 7 minutos.

(c) Esperanza y varianza de la variable aleatoria “tiempo de espera”.

(d) Probabilidad de que espere exactamente 12 minutos.

16. La probabilidad de que un individuo tenga una reacci´on al´ergica al inyectarle un suero es 0.001.

Halla la probabilidad de que, entre 2000 individuos, tengan reacci´on al´ergica exactamente tres, (b) m´as de dos.

17. El coeficiente de inteligencia es una variable aleatoria que se distribuye seg´ un una normal N (100; 16).

Calcula:

(a) La probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga un coeficiente superior a 120.

(b) Suponiendo que un individuo con carrera universitaria debe tener un coeficiente superior a 110, halla la probabilidad de que un licenciado tenga un coeficiente superior a 120.

18. La presi´on de sangre arterial en reposo en escolares de edades comprendidas entre 10 y 13 a˜ nos, es una variable normal de media 120 mm de Hg y desviaci´on t´ıpica 15 mm. Determina el porcentaje de escolares

(a) con presi´on inferior a 104 mm.

(b) con presi´on superior a 110 mm.

(c) con presi´on entre 100 y 120 mm.

Determina la presi´on por debajo de la cual se encuentra el 80 % de la clase.

19. Un bot´anico ha observado que la anchura , X, de las hojas del ´alamo sigue una distribuci´on normal con µ=6 cm., y que el 90 % de las hojas tienen una anchura inferior a 7.5 cm.

(a) Halla σ. (b) Halla la probabilidad de que una hoja mida m´as de 8 cm.

20. En un examen se plantean 10 cuestiones a las que responderse verdadero o falso. Un alumno

aprobar´a el examen si, al menos, 7 respuestas son acertadas.¿Qu´e probabilidad de aprobar el examen

tiene un estudiante que responde todo al azar? ¿Y uno que sabe el 30 % de la asignatura?.

3 Tema 3: Inferencia estad´ıstica. Intervalos de confianza. Con- traste de hip´ otesis

1. Obtener el intervalo de confianza 1 − α para el par´ametro σ ² conociendo µ en una poblaci´on normal.

Nota: Consid´erese el estad´ıstico H ² = _n ¹ P _n

j=1 (X j − µ) ²

2. Se supone que el n´ umero de erratas por p´agina en un libro sigue una distribuci´on de Poisson. Elegidas al azar 95 p´aginas, se obtuvieron los siguientes resultados:

N´ umero de erratas 0 1 2 3 4 5 N´ umero de p´aginas 40 30 15 7 2 1

Halla el intervalo de confianza al 90% para el n´ umero medio de erratas por p´agina en todo el libro.

3. Se mide el tiempo de duraci´on (en segundos) de un proceso qu´ımico realizado 20 veces en condi- ciones similares, obteni´endose los siguientes resultados

93; 90; 97; 90; 93; 91; 96; 94; 91; 91; 88; 93; 95; 91; 89; 92; 87; 88; 90; 86

Suponiendo que la duraci´on sigue una distribuci´on Normal, halla los intervalos de confianza al 90% para ambos par´ametros.

4. En una poblaci´on, la altura de los individuos varones sigue una distribuci´on N (µ; ν = 7.5). Halla el tama˜ no de la muestra para estimar µ con un error inferior a ±2 cm con un nivel de confianza 0.90.

5. La vida activa (en d´ıas) de cierto f´armaco sigue una distribuci´on N (1200; 40). Se desea enviar un lote de medicamentos de modo que la vida media del lote no sea inferior a 1180 d´ıas, con probabilidad 0.95. Halla el tama˜ no del lote.

6. Se intenta estudiar la influencia de la hipertensi´on en los padres sobre la presi´on sangu´ınea de los hijos.

Para ello se seleccionan dos grupos de ni˜ nos, unos con padres de presi´on sangu´ınea normal (grupo1) y otros con uno de sus padres hipertenso (grupo 2), obteni´endose las siguientes presiones sist´olicas:

Grupo 1 104 88 100 98 102 92 96 100 96 96

Grupo 2 100 102 96 106 110 110 120 112 112 90

Halla el intervalo de confianza para la diferencia de medias, suponiendo que las varianzas en las pobla- ciones de ni˜ nos son iguales.

7. Se quiere estudiar la proporci´on p de declaraciones de la renta que presentan alg´ un defecto. En

una muestra preliminar peque˜ na (muestra piloto) de tama˜ no 50 se han observado 22 declaraciones defec-

tuosas. ¿Cu´al es el tama˜ no muestral necesario para estimar p cometiendo un error m´aximo de 0.01 con

una probabilidad de 0.99?.

8. En un estudio sobre el tiempo de desarrollo de una especie de insectos en dos poblaciones, A 1 y A 2 , aisladas se obtuvieron los siguientes datos:

n 1 = 13 x 1 = 4 s 1 = 3 n 2 = 11 x 2 = 5 s 2 = 2.2

Suponiendo que el tiempo de desarrollo en la poblaci´on A i sigue una distribuci´on N (µ i ; ν i ), para i = 1, 2, se pide:

(a) Hallar un intervalo de confianza para el cociente de varianzas al nivel 0.80.

(b) Obtener un intervalo de confianza para µ ₁ − µ ₂ , con nivel de confianza 0.95 (suponemos igualdad de varianzas).

(c) ¿Cu´antos individuos habr´ıa que observar para estimar µ 1 con un error m´aximo de ±0.2 y un nivel de confianza de 0.95?.

9. Los valores observados para la tensi´on de ruptura de una muestra de 12 elementos de una deter- minada fibra sint´etica es:

9.9; 6; 5.2; 7.3; 11.8; 10.3; 8.2; 7.5; 6.6; 12.6; 16.8; 12.3 (a) Determina el intervalo de confianza para la tensi´on media de ruptura.

(b) Calcula el intervalo de confianza para la varianza poblacional de la variable tensi´on.

(c) De acuerdo con los datos, ¿es aceptable la afirmaci´on seg´ un la cual dicha fibra soporta por t´ermino medio una tensi´on de ruptura igual a 12?.

10. Se recibe un env´ıo de latas de conserva de las que se afirma que le peso medio son 1000 gramos.

Examinada una muestra de 5 latas se obtiene un peso medio de 995 gr. con una cuasivarianza s ² = 19.6.

Al nivel confianza 95% (a) obtener el intervalo de confianza del peso medio de la muestra. (b) ¿Se puede aceptar que el peso medio son 1000 gr.?.

11. La concentraci´on media de di´oxido de carbono en el aire en una cierta zona no es habitualmente mayor que 355 p.p.m.v. (parte por mill´on de volumen). Se sospecha que esta concentraci´on es mayor en la capa de aire m´as pr´oxima a la superficie. Para contrastar esta hip´otesis se analiza el aire en 20 puntos elegidos aleatoriamente a una misma altura cerca del suelo. Result´o una media muestral de 580 p.p.m.v.

y una cuasi-desviaci´on t´ıpica muestral de 180. Suponiendo normalidad para las mediciones,¿proporcionan estos datos suficiente evidencia estad´ıstica, al nivel de significaci´on 0.01, a favor de la hip´otesis de que la concentraci´on es mayor cerca del suelo?.

12. Un dentista afirma que el 40% de los ni˜ nos de 10 a˜ nos presentan indicios de caries dental. Tomada una muestra de 100 ni˜ nos, se observ´o que 36 presentaban indicios de caries. Contrastar la hip´otesis del dentista para un nivel de confianza del 90%.

13. La duraci´on media de una muestra de 10 bombillas es x = 1250 horas, con una cuasi-desviaci´on t´ıpica muestral de s X = 115. Se cambia el material del filamento por otro nuevo y de una muestra de 12 bombillas se obtuvo una duraci´on media de y = 1340 horas, con una cuasi-desviaci´on t´ıpica muestral de s Y = 106.

(a) Realiza un boceto de las distribuciones muestrales resultantes y comp´aralas.

(b) ¿Puede aceptarse que las varianzas, antes y despu´es del cambio de filamento, son iguales? ¿bajo qu´e hip´otesis?.

14. El 67% de las empresas azulejeras tienen una plantilla de m´as de 25 empleados, mientras que de

una muestra de 56 empresas en general (cualquier actividad) result´o que 42 eran las que ten´ıan m´as de

25 empleados. Con esta informaci´on ¿cabe suponer que la proporci´on de empresas azulejeras es distinta

a la de las empresas en general si trabajamos con un nivel de significaci´on del 5%?.

4 Tema 4: Regresi´ on y correlaci´ on

1. Consideremos la siguiente reparametrizaci´on del modelo de regresi´on simple:

Y i = a + b(x i − x)

Obtener los estimadores de m´ınimos cuadrados de los par´ametros a y b.

2. Los datos sobre la longitud de las plantas en cent´ımetros al cabo de un a˜ no de vida son:

15.3; 17.8; 20.7; 25.1; 16.4; 21.6; 19.6; 18.8; 20.2; 19.4 y los datos de las mismas plantas cuando son adultas son:

30.5; 32.6; 38.3; 45.7; 33.6; 42.2; 37.5; 38.1; 41.6; 40.4

Interesados en estudiar la posible relaci´on lineal entre las caracter´ısticas: X =”longitud al cabo del primer a˜ no de vida”; e Y =”longitud m´axima que alcanzan”.

(a) Representa la nube de puntos.

(b) Estudiar la variabilidad de las caracter´ısticas.

(c) Obtener la recta de regresi´on lineal ´optima b y = b a + bb · x.

(d) Obtener los intervalos de confianza para a un nivel de confianza del 0.95 del t´ermino independiente y de la pendiente.

(e) Contrastar si la variable regresora ejerce una influencia positiva sobre la varible respuesta a un nivel de significaci´on del 0.05.

3. Un profesor de Estad´ıstica tiene la sospecha de que los salarios que perciben los licenciados en Matem´aticas dependen linealmente de sus conocimientos de estad´ıstica. Esto es Y i = a + b · x i + ² i , donde ² i es el t´ermino de error del modelo de regresi´on. Y i representa el sueldo por hora en miles de las antiguas pesetas del individuo i, x i su nivel de estad´ıstica medido en un test. Para comprobar su teor´ıa, el profesor a obtenido los siguintes resultados de una muestra de 100 licenciados en Matem´aticas:

X n i=1

x i = 1000 X n

i=1

y i = 1180 X n i=1

x i y i = 13469 X n i=1

x ² _i = 12820 X n i=1

y _i ² = 25543

(a) Obtener los estimadores insesgados de los par´ametros a y b.

(b) Obtener los intervalos de confianza del 95% para los par´ametros anteriores.

(c) Con un nivel de significaci´on del 0.05, contrastar la hip´otesis H 0 : b = 0.

4. Ajusta a una par´abola los siguientes datos:

x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 y 1.1 1.3 1.6 2.3 2.7 3.4 4.1

Calcula la varianza residual V R.

5. Dados los datos de la siguiente tabla, se pide obtener un ajuste de estos datos a la expresi´on y = αe ^βx+γx

x 1 2 3 4 5 6

y 4.3 8.2 9.5 10.35 12.1 13.1