TEMA 5: La Integral Definida. DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD:

TEMA 5: La Integral Definida.

DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD:

i. Dadas dos funciones, mediante sus expresiones analíticas o mediante sus representaciones gráficas, reconoce si una es primitiva de la otra.

ii. Conoce la relación que existe entre dos primitivas de una misma función.

iii. Dada una familia de primitivas, saber determinar una cuya gráfica pase por un punto dado.

iv. Aplica los métodos básicos para el cálculo de primitivas de funciones: primitivas inmediatas, primitivas de funciones racionales en las que las raíces del denominador son reales, método de integración por partes (aplicándolo reiteradamente) y técnica de integración por cambio de variable, tanto en el cálculo de primitivas como en el cálculo de integrales definidas.

v. Conoce la propiedad de linealidad de la integral con respecto al integrando y conoce la propiedad de aditividad con respecto al intervalo de integración.

vi. Conoce las propiedades de monotonía de la integral definida con respecto al integrando.

vii. Conoce la interpretación geométrica de la integral definida de una función.

viii. Conoce la noción de función integral (o función área) y aplica el teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow.

ix. Calcula el área de recintos limitados por rectas y curvas sencillas o por dos curvas.

ÍNDICE:

0. Introducción.

1. Aproximaciones al Área. Definición de Integral Definida.

2. Propiedades de la Integral definida.

3. Teorema Fundamental del Cálculo Integral y Regla de Barrow.

4. Aplicación para el Cálculo de Áreas.

Departamento de Matemáticas del IES Salvador Serrano – Daniel G.

1.- Introducción. (Apuntes de Cálculo diferencial e Integral del profesor del Deprtamento de Análisis Matemático de la Universidad de Granada Javier Pérez González)

El cálculo integral tiene sus orígenes en los llamados problemas de cuadraturas. Inicialmente, en la antigua Grecia, dichos problemas eran geométricos y consistían en construir, siguiendo reglas precisas, un cuadrado con área igual a la de una figura plana dada. En el siglo XVII, con el descubrimiento de nuevas curvas, los aspectos geométricos de estos problemas pasaron a un segundo plano y las técnicas de cálculo ocuparon su lugar, los problemas de cuadraturas pasaron a ser simplemente problemas de cálculo de áreas y de volúmenes. Se atribuye a Eudoxo la invención del método de exhausción, una técnica para calcular el área de una región aproximándola por una sucesión de polígonos. Arquímedes perfeccionó este método y, entre otros resultados, calculó el área de un segmento de parábola y el volumen de un segmento de paraboloide, así como el área y el volumen de una esfera.

Sorprende que, siendo tan antiguos sus orígenes, la primera definición matemática de integral no fuera dada hasta el siglo XIX por Augustin Louis Cauchy. Una posible explicación es que, durante los siglos XVII y XVIII, la integración fue considerada como la operación inversa de la derivación; el cálculo integral consistía esencialmente en el cálculo de primitivas. Naturalmente, se conocía la utilidad de las integrales para calcular áreas y volúmenes, pero los matemáticos de la época consideraban estas nociones como dadas de forma intuitiva y no vieron la necesidad de precisar su significación matemática. Los trabajos de Joseph Fourier (1768-1830) sobre representación de funciones por series trigonométricas, hicieron que el concepto de función evolucionara, desde la idea restrictiva de función como fórmula, hasta la definición moderna de función dada por Dirichlet en 1837. Para entender el significado de la integral de estas nuevas funciones más generales se vio la necesidad de precisar matemáticamente los conceptos de área y de volumen.

La definición de la integral de Cauchy seguía la tradicional aproximación del área por rectángulos, en este sentido no era nada original; la novedad estaba en el hecho de considerar a la integral como un objeto matemático merecedor de estudio por sí mismo, y en el propósito de atribuirle un significado independiente de las técnicas que pudieran utilizarse en los cálculos. Este significado propio de la integral remite de forma inevitable a la idea de área. Ningún matemático anterior al siglo XIX había considerado necesario elaborar una teoría matemática del concepto de área; es en dicho siglo cuando el concepto de área adquiere un significado matemático preciso o, mejor dicho, varios significados matemáticos, porque dicho concepto evolucionó hasta que, en la primera década del siglo XX, adquirió esencialmente su forma actual.

Puede que a ti el concepto de área te parezca tan evidente que te resulte extraño que se dedicaran tantos esfuerzos a elaborar una teoría matemática del mismo. Es natural que pienses así. Las regiones planas y los sólidos que usualmente nos interesan para calcular su área o su volumen no son tan complicados que puedan hacernos dudar de si realmente tienen área o volumen: polígonos o poliedros, regiones limitadas por curvas o por superficies que pueden definirse por sus respectivas ecuaciones, todos ellos tiene claramente su área o su volumen y el problema real es calcularlos y no se entiende por qué hay que empeñarse en definirlos. Así pensaban también los matemáticos hasta el siglo XIX. Pero cuando empezaron a considerarse funciones cada vez más generales, las cosas cambiaron mucho. Hay funciones para las que no es evidente que su gráfica determine una región con área. El siguiente ejemplo te ayudará a entender lo que quiero decir.

: 0, 1 ⟶ ℝ, definida por: = 1 ∈ ℝ − ℚ

2 ∈ ℚ, (Función de Dirichlet)

¿Te imaginas cómo es la gráfica de esa función? Parecería como la de la figura: dos segmentos de línea recta, uno de ellos y = 1 sobre el que tendríamos que marcar solamente los puntos irracionales del mismo, y otro y = 2 sobre el que tendríamos que marcar los puntos racionales. La región del plano comprendida entre el intervalo [0, 1] y la gráfica de f

sería el conjunto formado por todos los segmentos verticales de altura 1 levantados y por todos los segmentos verticales de altura 2 levant

Este ejemplo pone claramente de manifiesto que el concepto de área requiere ser precisado Debes tener claro que se trata de una necesidad teórica que solamente se

funciones muy generales. Para las aplicaciones más intuitiva de área o de volumen.

La integración es una de las herramientas más versátiles del Cálculo, s áreas de regiones planas o volúmenes de sólidos, también se utiliza para momentos de inercia, áreas de superficies, para

presión, o la energía potencial en un campo de fuerzas.

1.-Aproximaciones al área. Definición de Integral Definida.

Dada una función : ℝ ⟶ ℝ con verticales , y el eje de abscisas,

Se trata de asignar área a recintos como el anterior que no se pueden completar con polígonos y, por tanto, obtener el área como se entiende en la Geométría clásica.

La propuesta nos llevará al concepto de INTEGRAL DE RIEMANN formalizar con rigor.

El proceso consiste en aproximar el área del recinto a la suma de las áreas de los rectángulos construidos con bases determinidas por una partición de subintervalos en

En cada intervalo de la partición levantamos un El área de cada rectángulo (base x altura):

or todos los segmentos verticales de altura 1 levantados sobre los puntos irracionales de [0, 1], segmentos verticales de altura 2 levantados sobre un punto racional de [0, 1]. ¿Tiene área este

Este ejemplo pone claramente de manifiesto que el concepto de área requiere ser precisado

Debes tener claro que se trata de una necesidad teórica que solamente se presenta en el estudio de la integración de funciones muy generales. Para las aplicaciones más usuales del cálculo integral puede valernos perfectamente la idea

La integración es una de las herramientas más versátiles del Cálculo, sus aplicaciones no

áreas de regiones planas o volúmenes de sólidos, también se utiliza para calcular longitudes de curvas, centros de masas, momentos de inercia, áreas de superficies, para representar magnitudes físicas como el trabaj

potencial en un campo de fuerzas.

Aproximaciones al área. Definición de Integral Definida.

con , ⊂ de modo que su gráfica encierra un recinto finito con las rectas y el eje de abscisas, 0.

Se trata de asignar área a recintos como el anterior que no se pueden completar con polígonos y, por tanto, entiende en la Geométría clásica.

La propuesta nos llevará al concepto de INTEGRAL DE RIEMANN, proceso que en este curso no podemos

Consideramos, como en la ilustración, funciones no negativas en el intervalo; si no lo fueran basta

opuesta en lo intervalos de negatividad, si generalidad.

El proceso consiste en aproximar el área del recinto a la suma de las áreas de los rectángulos construidos con bases determinidas por una partición de subintervalos en , .

_{!" !}

En cada intervalo de la partición levantamos un rectángulo de altura #_$ , siendo #_$∈ _$" , El área de cada rectángulo (base x altura):

# , _% #_% , , _{! !"} #_!

sobre los puntos irracionales de [0, 1], ados sobre un punto racional de [0, 1]. ¿Tiene área este conjunto?

Este ejemplo pone claramente de manifiesto que el concepto de área requiere ser precisado matemáticamente.

en el estudio de la integración de usuales del cálculo integral puede valernos perfectamente la idea

us aplicaciones no se limitan a calcular calcular longitudes de curvas, centros de masas, representar magnitudes físicas como el trabajo, la fuerza ejercida por una

de modo que su gráfica encierra un recinto finito con las rectas

Se trata de asignar área a recintos como el anterior que no se pueden completar con polígonos y, por tanto,

, proceso que en este curso no podemos

Consideramos, como en la ilustración, funciones no negativas en el intervalo; si no lo fueran basta con considerar su opuesta en lo intervalos de negatividad, sin pérdida de

El proceso consiste en aproximar el área del recinto a la suma de las áreas de los rectángulos construidos con bases

, _$ , 1, , &.

Departamento de Matemáticas del IES Salvador Serrano – Daniel G.

La suma de estas áreas aproxima el área del recinto: (SUMA DE RIEMANN)

− # + %− #% + ··· + !− !" #! = ( $− $" #$

!

$)

En el límite cuando las bases de los rectángulos tienden a cero, tendremos el ÁREA DEL RECINTO como LA INTEGRAL DE RIEMANN.

DEFINICIÓN 1 : (Función Integrable en un intervalo) Sea : ℝ ⟶ ℝ con , ⊂ .

Se dice que es INTEGRABLE en , si el recinto limitado por la gráfica de , las rectas verticales = , = y el eje de abscisas, = 0, es finito y se le puede asignar un área.

DEFINICIÓN 2: (Integral Definida)

Sea : ℝ ⟶ ℝ integrable en , .

Se define la INTEGRAL DEFINIDA de en , como el número real:

* +

, -

= lim_!⟶12( $− $" #$

!

$)

3

Siendo = < < ··· < !" < != una partición del intervalo , , #$∈ $" , $ , = 1,···, &

A los números reales y se les llama LÍMITES DE INTEGRACIÓN y a INTEGRANDO.

En lo que sigue consideraemos continua en , para garantizar que sea integrable.

SIGNO DE LA INTEGRAL:

I. Si ≥ 0, ∈ , ⟹ 6_-^, + ≥0 Área del recinto 7 = 6_-^, +

II. Si ≤ 0, ∈ , ⟹ 6_-^, + ≤0 Área del recinto 7 = − 6_-^, +

III. Si cambia de signo en , , el área se calcula separando los intervalos de signo de .

7 = − * + + *⁹ +

, ,

-

2.-Propiedades de la Integral Definida.

I. una función

* +

- -

= 0

II. es integrable en ,

Si ≥ 0, ∈ , ⟹ 6_-^, + ≥0 Si ≤ 0, ∈ , ⟹ 6_-^, + ≤0

III. ADITIVIDAD: es integrable en , con < # <

* +

, -

= * +

9 -

+ * +

,

9

IV. LINEALIDAD: , : es integrables en , con ; ∈ ℝ

*< + : =+

, -

= * +

, -

+ * : +

,

-

* ; · + = ; * +

, - ,

-

V. , : es integrables en , con ; ∈ ℝ

Si ≤ : , ∈ , ⟹ 6_-^, + ≤ 6 : +_-^, VI. TEOREMA DEL VALOR MEDIO.

Si es continua en , ⟹ ∃# ∈ , tal que:

* +

, -

= # −

VII. es integrable en ,

* +

, -

= − * +

-

,

3.-Teorema Fundamental del Cálculo y la Regla de Barrow.

DEFINICIÓN : (Función Integral)

Dada una función integrable : ℝ ⟶ ℝ en , con , ⊂ . Se define la FUNCIÓN INTEGRAL de en , como sigue:

?: , ⟶ ℝ

⟶ ? = * @ +@

A

-

A la función ? la llamamos FUNCIÓN ÁREA de en ,

? = 0

? = * @ +@

,

-

Si ≥ 0, ∈ , ⟹ ? representa el área del recinto limitado por la gráfica de , las rectas verticales: = ,

= y el eje de abscisas = 0.

Departamento de Matemáticas del IES Salvador Serrano – Daniel G.

Teorema Fundamental del Cálculo Integral:

Sea : ℝ ⟶ ℝ integrable en , , , ⊂ con su función integral ? = 6_-^A @ +@, ∈ , Entonces:

i) ? es continua en ,

ii) ? es derivable en , / ?^B =

EJEMPLO:

Sea ? = 6 √D_F^{A E}+ 1+@ ⟹ ?^B = √D^A+ 1

Teorema (REGLA DE BARROW):

Dada una función : ℝ ⟶ ℝ continua en , con , ⊂ y G una primitiva de . Entonces:

* + = G − G

,

-

EJEMPLOS:

* 3 ^%− 2 + 3 + = ^I− ^%+ 3 %F= 5^I− 5^%+ 3 · 5 − 2^I− 2^%− 3 · 2 = 105

F

%

* sen + = − cos ^P= − cos Q − − cos 0 = 2

P

4.-Aplicaciones para el cálculo de áreas.

I: ÁREA DEL RECINTO LIMITADO POR LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.

EJEMPLO 1: Veamos el área del recintopor la recta + = 10, las rectas verticales: = 2, = 8 y el eje de abscisas.

= − + 10

7 = * − + 10 + = S− 2 − 10 T^% _%

U

= −32 + 80 − −2 + 20 = 30 V^%

U

%

EJEMPLO 2: Veamos el área del recintopor la recta = ^IA"W_% , las rectas verticales: = 0, = 4 y el eje de abscisas.

=3 − 6 2 7 = − *3 − 6

2 +

%

+ *3 − 6 2 +

%

= −1 2 Z3

2 ^%− 6 [^%+1 2 Z3

2 ^%− 6 [

%

\= − −3 + 3 = 6V^%

II: ÁREA DEL RECINTO LIMITADO POR LAS GRÁFICAS DE DOS FUNCIONES.

EJEMPLO 1: Veamos el área del recinto por las gráficas de las funciones = ^%+ 2, = 2 + 2.

Hay que empezar por calcular los puntos de corte de las dos gráficas.

] = ^%+ 2

= 2 + 2 Puntos de corte: 0, 2 ; 2, 6

Restamos el área que queda por debajo de la recta a la que deja debajo la parábola.

7 = * 2 + 2 + − * ^%+ 2 + = * 2 + 2 − ^%− 2 + = * − ^%+ 2 + =

%

%

%

%

= S− 3 +^{I %}T^%= −8

3 + 4 =4 3 V^%