DMCI. Agradecimientos

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aplicaciones de lattice Boltzmann en fluidos

Por Javier Dottori

Trabajo de Tesis para optar al T´ıtulo de Doctor en Matem´atica Computacional e Industrial

Directores:

Dr. Gustavo Boroni Dr. Alejandro Clausse

Facultad de Ciencias Exactas

Universidad Nacional del Centro de la Prov. de Bs. As.

Tandil, 2016

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Agradecimientos

Dedicatoria y agradecimiento

En la vida parece haber invariantes. Siempre que comienzo a escribir un agradecimiento me acuerdo de eso. Incluso mirando muchos agradecimientos de diversos autores uno siempre parece que est´a leyendo lo mismo, y al mismo tiempo algo muy especial y original. Ac´a va el mio.

Hay gente que siempre se debe nombrar. La familia suele aparecer en el primer lugar, y no será la excepción esta tesis. Gracias Má! Gracias Pá! Gracias Kari! Gracias a toda mi familia por cada momento compartido, sea en persona o una llamada, por el apoyo y acompañamiento. Siempre presentes en cada encuentro, en cada abrazo.

A los amigos, esa otra familia por elección sobre la que uno se apoya. Hoy años después vuelvo a agradecer a mis amigos de Tandil y de Mar del Plata, y aquellos que tengo desperdigados por el mundo también. Las charlas, los mates, tes y cafes son solo una excusa, estar cerca de un amigo es la única razón. Recordar el invariante, esos amigos que ten´ıa cuando escrib´ı mi anterior agradecimiento y ver que siguen aqu´ı la mayor´ıa es una caricia al alma. Recibir nuevos es un aire fresco que me mantiene joven.

A Mariela, mi novia, mi mujer y compa˜nera. Gracias por ense˜narme a ver la vida con otros ojos, los tuyos.

A mis directores, Alejo y Boro para los amigos. Es gracioso como todo se resume en lo mismo que en la familia, mis directores son sin duda mis padres en este camino, cargaron esa responsabilidad durante 5 a˜nos y este es el momento de pasar a la mayor´ıa

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Gracias en particular a la gente que de alguna forma u otra colaboró con este trabajo. Al Pladema, ese ”último instituto” chiquito, escondido que me refugio durante este tiempo. Ese lugar donde nada parece imposible, todo fluye hacia ningún lugar, sin sentido, sin orden, caótico y mágico. Esa tierra donde eleg´ı crecer, que parec´ıa tierra fértil, y en lo personal no me defraudo. Gracias Pladema, gracias equipo por tanto aprendizaje. En cada plano que se me ocurra tengo miles de experiencias con ustedes para tomar de lección, de recuerdo y para valorar. Gracias Marc, DD, Mara, Lazo, Cris, Juan, Rina, Guadcore, Lucas, Pablo, Mante, Nacho 1, Nacho 2, Vicky, Aldo, Fer, Mariana, Rosana, etc, etc, etc. Me enorgullece tener que poner tantos etcéteras por lo grande que es este equipo. A Nicolas Silin que es de la casa ya, y sin sus experimentos parte de esta tesis no ser´ıa posible. A la Facultad y Universidad de la que siempre me sent´ı parte.

El ´ultimo gracias es para el Conicet y el Estado Argentino que hicieron posible esta tesis financi´andola y a su autor.

Al fin y al cabo todo lo que hace uno en la vida es para uno, y si no ama lo que hace no deber´ıa hacerlo jam´as. Por eso, en ´ultimo lugar, ofrendo esta tesis a m´ı, a todos, a al universo.

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´Indice general

Agradecimientos 2

´Indice de figuras 12

´Indice de tablas 13

Resumen 15

Abstract 17

Introducci´on 19

Motivaci´on . . . 20

Objetivos . . . 21

Antecedentes . . . 22

Contribuciones . . . 24

Organizaci´on de la Tesis . . . 25

1. M´etodo de lattice Boltzmann 27 1.1. Resumen . . . 28

1.2. Introducci´on . . . 29

1.3. El m´etodo de lattice-Boltzmann . . . 29

1.3.1. Caracter´ısticas del LBM . . . 33

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1.3.3. Tratamiento de contornos . . . 35

2. Entrop´ıa y desarrollo del flujo 41 2.1. Resumen . . . 42

2.3. Contornos de velocidad para perfil desarrollado . . . 44

2.3.1. Otros m´etodos . . . 45

2.3.2. M´etodo de m´axima entrop´ıa para flujo desarrollado . . . 48

2.4. Resultados . . . 53

2.4.1. Flujo de Poisseuille. . . 54

2.4.2. Canal con una fuerza volum´etrica transversal . . . 58

2.4.3. Entrop´ıas y gradientes de velocidad . . . 61

2.5. Conclusiones . . . 66

2.6. Trabajos futuros . . . 67

3. Un algoritmo eficiente de frontera inmersa para interacción fluido- sólido en el método de lattice-Boltzmann 69 3.1. Resumen . . . 70

3.3. El m´etodo de frontera inmersa. . . 72

3.4. Interacci´on discreta . . . 74

3.5. Acoplamiento IB-LBM . . . 76

3.6. Algoritmo de IB-LBM . . . 77

3.7. Implementaci´on Paralela en GPU . . . 80

3.8.1. Contorno el´ıptico deformable inmerso en un fluido . . . 82

3.8.2. Flujo de Poiseuille . . . 84

3.8.3. Generaci´on de v´ortices . . . 86

3.8.4. Performance . . . 88

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4. Modelado de medios penetrables con lattice-Boltzmann 93

4.1. Resumen . . . 94

4.2.1. Modelado del medio permeable con LBM . . . 96

4.3. Experimentos . . . 98

4.4.1. Correlaciones cruzadas . . . 114

4.5. Conclusiones . . . 115

4.6. Trabajos futuros . . . 117

Conclusiones y Trabajos futuros 119 Conclusiones Generales . . . 119

Trabajos futuros . . . 121

A. Integraci´on de m´etodos desarrollados 123 A.1. Resumen . . . 124

A.2. Utilizaci´on conjunta de los m´etodos . . . 125

A.3. Conclusiones . . . 129

B. Modelado de desviadores de flujo 131 B.1. Resumen . . . 132

B.2. Aneurismas intracraneales . . . 133

B.2.1. Modelado de desviador de flujo como medio penetrable . . . 134

Bibliograf´ıa 141

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´Indice de figuras

1.1. Conjunto de velocidades discretas del modelo D2Q9. . . 31 2.1. Diagrama de las variables desconocidas (flechas punteadas) en una

celda de borde. . . 45 2.2. Comparaci´on de mapas de entropias H y H_iρ para un canal con un

perfil de entrada de velocidad constante que se desarrolla a una par´abola. 49 2.3. Diferentes valores de entrop´ıa seg´un el f₅ escogido, teniendo en cuenta

las restricciones de velocidad y su relaci´on con el nivel de entrop´ıa calculado con los valores conocidos. . . 50 2.4. Flujo de Posseuille en un canal rectangular. . . 54 2.5. Flujo de Poiseuille. Convergencia a la soluci´on anal´ıtica de los diferentes

métodos al incrementar la resolución de la grilla. El error relativo del perfil de velocidad a la salida respecto a la solución anal´ıtica se gráfica en función del ancho del canal. . . 56 2.6. Flujo de Poiseuille. Mapa de contorno de la desviación de la veloci-

dad comparada con una simulación numérica de un canal más largo (Nx=500). . . 57 2.7. Flujo de Poiseuille. Dependencia del máximo error con el largo del canal. 57 2.8. Flujo en un canal con fuerza volumétrica transversal. Mapa de contor-

nos de la desviación local de la velocidad comparada con una solución numérica de una simulación de canal largo (N x = 500). . . 60

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largo del canal. . . 61 2.10. Canal con una fuerza transversal volum´etrica. Mapa de ∆u/

u_in^Gy_2c2^o³ s

representando la desviaci´on de la velocidad sin fuerza. . . 62 2.11. Flujo de Poiseuille. Distancia entre la entrop´ıa actual espec´ıfica, y la

m´axima entrop´ıa alcanzable condicionada corriente abajo. . . 64 2.12. Canal con fuerza volum´etrica. Distancia entre la entrop´ıa actual es-

pec´ıfica, y la m´axima entrop´ıa alcanzable condicionada corriente abajo. 65 2.13. Mapa del m´odulo de gradiente de velocidad. Flujo de Poiseuille (arriba),

canal con fuerza volum´etrica transversal (abajo). . . 65 3.1. Frontera inmersa cerrada en una malla LBM 2D. . . 73 3.2. Evoluci´on temporal de una frontera inmersa eliptica deformable (Xk)

en un fluido viscoso (Lx = Ly = 100 celdas,ρ0(~x) = 0,05, τ = 1,5, k_f = 0,01, k_c= 0,01, k_γ = 0,0.) . . . 83 3.3. Evoluci´on temporal del radio horizontal y vertical de la elipse (L_x =

L_y = 100 celdas,ρ₀(~x) = 0,05, τ = 1,5). . . 84 3.4. Representación del canal por medio de IB. . . 85 3.5. Comparación entre soluciones anal´ıtica y numérica del perfil de ve-

locidad de un flujo de Poiseuille (k_f = 0,01, k_c = 0,0, k_γ = 0,0).

. . . 86 3.6. Orden de convergencia para un canal de Poisseuille. El error es la

m´axima diferencia absoluta entre las soluciones anal´ıtica y num´erica.

∆s es la distancia entre puntos de IB. La linea se corresponde con una dependencia proporcional a ∆ s². . . 87 3.7. Dependencia del n´umero de Strouhal con el n´umero de Reynolds (d =

22). Correlación emp´ırica (linea) y cálculo de LBM (puntos). . . 88 3.8. Evolución temporal de perfil y de ux para x =192, representada en

escala de grises (m´as oscuro significa menor velocidad). . . 89

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3.10. Influencia de la resolución de IB sobre el St. . . 90 4.1. Configuración experimental , a) obstrucción central , b) obstrucción

lateral. . . 99 4.2. Perfil transversal de la velocidad media (•) y desviaci´on est´andar de las

fluctuaciones de velocidad (o) para la configuración lateral. El perfil fue tomado con la sonda S_o en la posición x_o 50mm corriente arriba del final de la región permeable. Las curvas se corresponden al resultado numérico con velocidad de entrada constante (l´ınea llena) y con una perturbación de 0,1 % en la entrada (l´ınea punteada). . . 103 4.3. Perfil transversal de la velocidad media (•) y desviación estándar de

las fluctuaciones de velocidad (o) para la configuración central. El perfil fue tomado en la posición xo 50mm corriente arriba del final de la región permeable. Las curvas se corresponden al resultado numérico con velocidad de entrada constante (l´ınea llena) y con una perturbación de 0,1 % en la entrada (l´ınea punteada). . . 104 4.4. Mapa de contorno para la configuración lateral. De arriba a abajo:

promedio y desviación estándar de la componente en sentido del canal (u_x) , promedio y desviación estándar de la componente transversal de la velocidad (u_y). La linea punteada indica la región permeable. . . . 106 4.5. Mapa de contorno para la configuración central. De arriba a abajo:

promedio y desviación estándar de la componente en sentido del canal (u_x) , promedio y desviación estándar de la componente transversal de la velocidad (uy). La linea punteada indica la región permeable. . . . 107 4.6. Secuencias de mapas de contorno de la velocidad tomadas en diferentes

tiempos (configuraci´on lateral). . . 108 4.7. Secuencias de mapas de contorno de la velocidad tomadas en diferentes

tiempos (configuraci´on central). . . 109

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configuración lateral. Izquierda: promedio de la velocidad en el sentido de la corriente u_x (arriba) y su desviación estándar (abajo). Derecha:

promedio de la velocidad en la componente transversal u_y (arriba) y su desviación estándar (abajo). . . 110 4.9. Mapas de contorno calculados dentro de la región permeable para la

configuración central. Izquierda: promedio de la velocidad en el sentido de la corriente u_x (arriba) y su desviación estándar (abajo). Derecha:

promedio de la velocidad en la componente transversal u_y (arriba) y su desviación estándar (abajo). . . 111 4.10. Lineas de corriente de la velocidad media en la región permeable. Arri-

ba: configuración lateral. Abajo: configuración central. . . 112 4.11. Mapas de contornos de la velocidad instantanea dentro de la región

permeable. Arriba: configuración lateral. Abajo: configuración central. 113 4.12. Correlación cruzada numérica y experimental entre sondas S_o y S₁ (ver

Fig. 4.1). Arriba: configuración lateral. Abajo: configuración central. . 116 A.1. Configuración de LBM-IB-región de porosidad. . . 127 A.2. Simulación de una aneurisma lateral sin desviador de flujo (permeabi-

lidad infinita). . . 127 A.3. Simulaci´on de una aneurisma lateral con desviador de flujo, conside-

rando un valor de permeabilidad κ = 2,5. . . 128 A.4. Simulaci´on de una aneurisma lateral con desviador de flujo, conside-

rando un valor de permeabilidad κ = 0,05. . . 129 B.1. Ilustraci´on de vasos cerebrales con una aneurisma. . . 133 B.2. Relaci´on entre Eu y Re para un DF obtenida mediante DNS en el

rango fisiol´ogico. . . 136

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a) campo de velocidades según DNS (como contorno de velocidad), b) campo de presión según DNS y c) campo de presión según LBM. En a) se muestra un plano de la sección y se deformó proporcionalmente a la velocidad. En b) y c) se observa el campo de presión alta (rojo) y baja (azul) del otro lado del DF. . . 138 B.4. Euler vs. Reynolds. Resultados para DNS, curva ajustada y LBM. . . 139

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´Indice de tablas

2.1. Tabla comparativa de m´etodos. . . 67 3.1. Tiempos de c´alculo para implementaciones CPU y GPU de IB-LBM

para 1000 iteraciones. . . 91 3.2. Tiempo de cada kernel de GPU individual obtenido durante 1.000

iteracioones, simulando flujo de Poiseuille en una grilla de 400 × 240. 92 4.1. Parámetros de la simulación con LBM. . . 102 4.2. Parámetros de las simulaciones numéricas. . . 102

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Resumen

En este trabajo se presentan t´ecnicas desarrolladas para resolver problemas de fluidos interactuando con contornos y estructura basadas en aut´omatas de lattice Boltzmann (LBM).

Primeramente se presenta un método que permite fijar condiciones de salida de perfil desarrollado, basado en el principio de máxima entrop´ıa. Se realizaron evaluacio- nes en simulaciones de flujo desarrollándose en un canal rectangular con y sin fuerzas volumétricas. Los resultados se compararon con otras condiciones de contorno alternativas. El método de máxima entrop´ıa presentado mostró la mejor combinación de precisión y estabilidad. En base a estos resultados se definió un indicador del grado de desarrollo del flujo basado en el mapa de la desviación de la entrop´ıa real respecto la máxima entrop´ıa con las restricciones apropiadas.

En la segunda parte de la tesis, se desarrolló un algoritmo eficiente para implementar fronteras inmersas (IB) en LBM, de fácil paralelización en placas gráficas (GPU).

Los resultados de simulaciones se validaron contra soluciones anal´ıticas conocidas, evaluando también la aceleración obtenida mediante su implementación en GPU.

Por último, se desarrolló un modelo para simular obstrucciones permeables parciales. La región obstruida se modeló mediante fuerzas, siguiendo un procedimiento similar a la IB. La diferencia con IB radica en que utiliza puntos de referencia inde- pendientes, y que la fuerza ejercida sigue la ley de Darcy. El método arrojó buenos resultados para simular flujos en medios permeables, especialmente en condiciones inestables.

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Abstract

This thesis presents a series of numerical techniques developed to solve problems of fluids interacting with structures and boundaries, based on Lattice Boltzmann au- tomata.

Firstly, the problem of fully-developed flow boundary conditions at a channel exit was studied. A special method based in the principle of maximum entropy was proposed, which is applied to close the set of algebraic equations to determine the inward populations at the boundary. The method was tested for a rectangular channel with and without volumetric forces. Comparisons with other techniques showed that the present method has better precision and stability. Finally, a numerical indicator of the degree of development of the velocity profile in a channel was proposed, which takes into account the deviation of the actual local entropy respect to the maximum achievable entropy.

Secondly, an efficient algorithm to implement immersed boundaries (IB) in LBM is presented. The algorithm is easy to parallelize in graphic processor units (GPU). The results from a series of simulations were validated against analytical solutions showing good performance and substantial accelerations on GPU.

Finally, a model to simulate partially obstructed permeable media was developed and tested against experimental data. The obstructed region is modelled through effective forces following a procedure similar to the method of IB. In our case the points of reference are not coupled and the force follows the Darcy law. The method showed good agreement against experimental solutions.

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Introducci´ on

La simulaci´on num´erica de fluidos (Computational Fluid Dynamics - CFD) es un

´

area activa de investigación dentro de la mecánica computacional, y se ha encarado desde diversos enfoques. Los métodos numéricos clásicos en este área se fundamen- tan en discretizaciones de las ecuaciones de Navier-Stokes (N–S)[23]. En cambio, el método de lattice Boltzmann (LBM), se basa en autómatas celulares simples a nivel mesoscópico que reproducen las reglas f´ısicas en el nivel macroscópico.

Desde que se presentó el primer modelo bidimensional de LBM para representar ecuaciones de N–S incompresibles [36], este método ha atra´ıdo mucho la atención y actualmente es utilizado para resolver una gran variedad de ecuaciones diferenciales parciales y modelar fenómenos f´ısicos. LBM es un autómata celular que discretiza el espacio como una grilla regular de celdas, cuyo estado está representado por poblaciones de part´ıculas con una velocidad asociada. Básicamente, el algoritmo resuelve ecuaciones microscópicas que representan la interacción entre part´ıculas y, a partir de dicha interacción, se emula el comportamiento macroscópico del sistema.

En LBM, el concepto básico es construir un modelo cinético con variable interna discreta, cuyas propiedades macroscópicas promediadas cumplan con las ecuaciones deseadas [13]. El estado actual de un paso de simulación depende sólo de su condición previa en el vecindario de cada punto. Es decir, LBM es un caso particular de autómata celular [20] aplicable en sistemas distribuidos o de computación paralela.

Como contraparte, LBM es un método más costoso que los métodos que resuelven discretizaciones de las ecuaciones de N–S desde el punto de vista de utilización de

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la estrictamente necesaria para resolver dichas ecuaciones. No obstante esto, brinda numerosas ventajas entre las que se pueden destacar la facilidad en la creación de algoritmos que se adaptan naturalmente a varias arquitecturas de software y hardware, as´ı como la paralelización de las simulaciones. Esta última caracter´ıstica se debe a la lattice regular y la dinámica puramente local, que involucra únicamente la interacción entre nodos de la grilla con sus nodos vecinos más próximos en cada paso de iteración.

Dentro de CFD, la simulación de los flujos que ocurren en geometr´ıas complejas es un tema de gran relevancia debido su aplicabilidad en diversas ciencias aplicadas. Este tipo de interacciones se dan en campos como hemodinamia [69], entre plantaciones y el viento[22], en el enfriamiento de componentes eléctricos o mecánicos (disipa- dores de calor) [92], computación gráfica [53], meteorolog´ıa [51], etc. La simulación computacional de fluidos que interactúan con obstáculos, bordes y medios porosos es una herramienta cada vez más popular en el campo cient´ıfico y de la industria, desde el tratamiento de enfermedades cardiovasculares a visualizaciones 3D de fenómenos naturales.

Motivaci´ on

En el uso CFD para resolver problemas de las ciencias aplicadas se presentan una cantidad de problemas particulares que hay que tratar cuidadosamente. Entre

éstos, se pueden nombrar en primer lugar la definición de las condiciones de contorno en los l´ımites del dominio. Según la condición a modelar existen diferentes métodos disponibles para las mismas. Generalmente es dif´ıcil encontrar un método que resuelva correctamente todas las condiciones, sin embargo, existen métodos que presentan ventajas sobre otros para casos espec´ıficos.

En segundo lugar, es frecuente que dichas definiciones de contorno provengan de la interacción con un cuerpo sólido, que pocas veces va a tener una descripción regularizada acorde a la grilla. Además, este contorno puede ser móvil e incluso flexible,

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En conjunto, todas estas caracter´ısticas de los contornos con los que interactúa el fluido, pueden agregar complejidad en memoria y tiempo de cómputo. Como caso l´ımite, se puede volver inviable la aplicación de CFD para resolver el problema. Por esta razón, las condiciones de contorno e interacción fluido-estructura son un ámbito de estudio permanente en CFD.

Una solución frecuente para limitar la complejidad del problema a resolver es recu- rrir a métodos de interpolación o a resoluciones con un nivel de detalle mayor mediante la descripción de las interacciones a nivel mesoscópico. Como ejemplo, se puede observar el modelado de medios penetrables mediante la ley de Darcy, donde se describe la ca´ıda de presión en función de la velocidad del fluido que atraviesa el medio, sin incluir en la simulación los detalles del mismo.

Objetivos

Teniendo en cuenta esta clase de problemas, el objetivo general de esta tesis ha sido el estudio y desarrollo de métodos numéricos para sus escenarios más frecuentes.

En particular, se restringe al método de LBM por sus capacidades de paralelización y la facilidad para incorporarle comportamiento en base a interacciones microscópicas. El objetivo general es entonces investigar los problemas que se presentan en la aplicación de LBM como una herramienta de solución en la dinámica computacional de fluidos, en situaciones donde éste se encuentra interactuando con condiciones de contorno complejas. A largo plazo, se busca que los estudios de modelado e implementación realizados tengan aplicación en los diversos dominios antes mencionados.

En particular, se busca desarrollar modelos y algoritmos sobre LBM que permitan simular:

condiciones de salida de flujo desarrolladas en canales con fuerzas externas, contornos flexibles m´oviles de manera eficiente,

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Por otro lado, el alcance de este trabajo est´a limitado a flujos 2D que se comporten seg´un las ecuaciones de N–S. Sin embargo, las soluciones propuestas son extendibles a dominios tridimnesionales.

Adicionalmente, las diferentes t´ecnicas espec´ıficas desarrolladas deben ser com- patibles entre s´ı. Esto es importante para el modelado de situaciones donde sean requeridas combinadas entre ellas.

Por otro lado, se pretende desarrollar métodos que también sean paralelizables con una simplicidad similar a LBM. Esta es una de las principales caracter´ısticas a tener en cuenta al momento de su implementación y uso en grandes dominios.

Antecedentes

La simplicidad de la formulación de LBM llevó a una rápida expansión de los trabajos relacionados al mismo. En [2, 13] se puede encontrar dos revisiones muy completas sobre diferentes aspectos del mismo. En particular, en esta sección se hace hincapié en los antecedentes relacionados a los objetivos espec´ıficos. Posteriormente, se explicarán en mayor profundidad en sus cap´ıtulos correspondientes.

Cuando se realizan simulaciones de fluidos con LBM, la precisión de la simulación completa está influenciada por las condiciones de contorno establecidas en los l´ımites del dominio [52]. Al simular canales por los que avanza el fluido, frecuentemente el dominio se suele suponer lo suficientemente largo para asegurar que el flujo se logra desarrollar completamente. Continuar con la simulación desde ese punto corriente abajo resultar´ıa irrelevante ya que se obtiene un perfil uniforme de todas las variables, a excepción de la presión cuyo gradiente es uniforme. De esta forma, se busca asegurar que la condición de contorno elegida no esté influyendo la región de interés del canal. En este aspecto, existen algunos métodos basados en interpolación de las variables mesoscópicas [81,96] o macroscópicas [84] que buscan imponer condiciones de contorno que aseguren el perfil desarrollado.

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acciones entre el fluido y diversos objetos. Los mismos pueden ser bordes fijos, sólidos flotantes, paredes elásticas u otros l´ıquidos no solubles. Matemáticamente, esta inter- acción suele interpretarse como condiciones de contorno para el fluido. La interacción entre un fluido viscoso, un cuerpo deformable, y un contorno con movimiento libre puede ser complicada y dif´ıcil de diferenciar en algunas zonas. Las formas clásicas de resolver una interacción de este tipo se suelen basar en el método de grilla no estructu- rada o el método de grillas solapadas [97,98]. Para resolver interacciones de este tipo Peskin [70] propuso el método de frontera inmersa (IB). Con éste método, se logra desacoplar las soluciones de las ecuaciones que gobiernan el fluido y las condiciones de contorno al sustituir el efecto del contorno por la adición de fuerzas a las ecuaciones de fluidos. Además, esta técnica evita el ruido por voxelización mediante una función de suavizado. Cheng y Zhang [15] acoplaron con éxito LBM con IB. Existen también otros enfoques de LBM-IB [25, 63], en los que se proponen esquemas similares de interacción, variando principalmente la función de suavizado utilizada y el esquema de cálculo para resolver el sistema de ecuaciones resultante.

Por último, cuando las obstrucciones presentes en el dominio son complejas com- binan un gran rango de escalas que van desde el flujo alrededor de los objetos que producen la obstrucción, o escala microscópica, hasta el tamaño total de la zona de flujo de interés, o escala macroscópica. Estas escalas pueden diferir en varios órdenes de magnitud y por ello es común utilizar un modelo de obstrucción donde el comportamiento de los elementos que conforman dicha obstrucción se promedia temporal y espacialmente. El estudio de este tipo de obstrucciones tiene gran relevancia en dis- tintas áreas de la ingenier´ıa y la ciencia. Un caso t´ıpico es el pasaje del viento a través de plantas, o de agua a través de vegetación acuática [27]. En ambas situaciones se tiene una zona de flujo libre y otra de flujo a través de la obstrucción. Es sabido que este tipo de flujos presenta fuertes inestabilidades en los l´ımites de la vegetación [93].

La investigación realizada durante este doctorado se centra en el análisis de simulaciones de canales en los que el fluido interactúa con geometr´ıas complejas, me-

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anteriormente, se presta especial atenci´on a la factibilidad de paralelizaci´on de los algoritmos propuestos.

Contribuciones

Los resultados fueron presentados en las siguientes publicaciones y congresos.

Publicaciones en revistas internacionales

Downstream-conditioned maximum entropy method for exit boundary conditions in the Lattice Boltzmann Method. J. Dottori, G. Boroni and A. Clausse. Mathematical Problems in Engineering. ISSN N^o: 1024-123X. 2015.

Lattice-Boltzmann modeling of unstable flows amid arrays of wires. G. Boroni, N. Silin, D. Dalponte, J. Dottori and A. Clausse. Computers and Fluids. ISSN N^o: 0045-7930. 2015.

Lattice-Boltzmann Method with immersed boundary conditions for fluid simulations of multiples species. G. Boroni and J. Dottori. Journal of Applied Sciences. ISSN N^o: 1812-5654, 14: 259-265. DOI 10.3923/jas.2013.

An improved Immersed-Boundary algorithm for fluid-solid interaction in Lattice- Boltzmann simulations. G. Boroni, J. Dottori, D. Dalponte, P. Rinaldi P. and A.

Clausse. Latin American Applied Research. ISSN N^o: 0327-0793. 2013.

Publicaciones en congresos internacionales

Lattice-Boltzman modelling of porous medium: application to modelling Flow Di- verter stents, G. Boroni, J. Dottori, A. Clausse, I. Larrabide. T´ıtulo de libro: Pro- ceedings of the 1st Pan-American Congress on Computational Mechanics and XI Ar- gentine Congress on Computational Mechanics. ISBN N^o: 978-84-943928-2-5, pp.

1133-1142, 2015.

Publicaciones en revistas nacionales

Un nuevo enfoque para modelar regiones porosas sobre aut´omatas de Lattice Bol- tzmann. G. Boroni, J. Dottori, D. Dalponte, N. Silin, J. Madrigal Arg´aez, y A. Clausse.

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Condiciones De Contorno De Flujos Totalmente Desarrollados Para El M´etodo De Lattice Boltzmann J. Dottori, G. Boroni, M. Lazo, C. Garc´ıa Bauza, A. Clausse.

Mec´anica Computacional. pp. 1121-1134. 2013. (LATIN INDEX)

Aplicación del método de Lattice Boltzmann a la simulación de obstrucciones complejas fácilmente penetrables. N. Silin, G. Boroni, D. Dalponte, J. Dottori, A.

Clausse. Anales AFA. ISSN N^o: 0327-358X. . pp. 39-42. 2013. (LATIN INDEX).

Un método para la interacción de fluido y objetos flotantes para aplicaciones de tiempo real M. Lazo, C. Garc´ıa Bauza, G. Boroni, J. Dottori, A. Clausse. Mecánica Computacional, Vol. XXXI, ISSN 1666-6070. 2012 (LATIN INDEX)

CALB: Una capa de abstracci´on para motores de lattice Boltzmann J. Dottori, G.

Boroni, D. Dalponte, A. Clausse. Mec´anica Computacional. V.26. pg. 349-360. ENIEF – Ciudad de Rosario. ISSN 1666-6070. pp. 3431-3440. 2011. (LATIN INDEX)

Organizaci´ on de la Tesis

Este trabajo de tesis se compone de cuatro cap´ıtulos. En el Capitulo 1 se presentan conceptos generales de la simulación de fluidos mediante autómatas de LBM y la formulación del autómata en detalle. Adicionalmente, se incluye métodos de apli- cación de fuerzas y condiciones de contorno básicas en LBM. En el Cap´ıtulo 2 se presenta un método para establecer condiciones de salida de perfil desarrollado sobre un canal, desde la formulación del método hasta los resultados. Además, se presenta un indicador nuevo que correlaciona con el gradiente de velocidades y, por lo tanto, con el desarrollo del flujo. Posteriormente, en el Capitulo3 se introduce un algoritmo eficiente para la simulación de contornos r´ıgidos o flexibles basado en el método de frontera inmersa, al cual se le mejoró su eficiencia y paralelización. También se detallan simulaciones realizadas con el mismo y comparaciones contra resultados anal´ıticos y experimentales. El Cap´ıtulo4presenta un estudio realizado sobre el modelado mediante la técnica de medios penetrables. Éste se comparó contra resultados tanto anal´ıticos

(26)

cada uno de estos cap´ıtulos se presenta una secci´on de resultados obtenidos, conclusiones y trabajos futuros. Finalizando, el ´ultimo cap´ıtulo presenta las conclusiones y trabajos futuros de modo integrador.

(27)

Cap´ıtulo 1

M´ etodo de lattice Boltzmann

(28)

1.1. Resumen

En el presente cap´ıtulo se explica el método de lattice Boltzmann (LBM) para la simulación de flujos según las ecuaciones de Navier-Stokes (N–S). Este automáta se basa en dos pasos, llamados colisión y advección que se realizan sobre una grilla regular. Los valores sobre los que operan son una población de part´ıculas que puede tener un conjunto finito de velocidades. Se detallan las ecuaciones del modelo básico, as´ı como un modelo para aplicar un campo de densidades de fuerza. Para terminar se explican diferentes condiciones de contorno que pueden ser utilizadas en los l´ımites del dominio para casos rectangulares simples.

(29)

1.2. Introducci´ on

El método de lattice Boltzmann (LBM) es un método numérico que ha demostrado tener un fuerte potencial en numerosas aplicaciones, principalmente en simulaciones de dinámicas de fluidos. En muchos rangos de utilidad práctica, LBM tiene mejor ren- dimiento que métodos tradicionales de dinámica de fluidos, como diferencias finitas o elementos finitos. Entre sus ventajas más destacables se pueden mencionar la facilidad para la paralelización directa, su flexibilidad para incluir cualquier tipo de fuerza o de interacción interna, y la capacidad para operar fácilmente en geometr´ıas complejas.

LBM es particularmente ventajoso para la simulaci´on de flujo en medios porosos, de flujos multifase y multicomponente, y hemodin´amica, por nombrar algunos dominios [21, 45,66, 75, 76,85].

1.3. El m´ etodo de lattice-Boltzmann

LBM es una clase de algoritmo que produce simulaciones de problemas de transporte, basándose en una representación mesoscópica de la cinemática [83]. Desde el punto de vista numérico, LBM puede ser visto como un método expl´ıcito para resolver ecuaciones de transporte utilizando una mayor cantidad de variables de las estrictamente necesarias para caracterizar el flujo macroscópico. El comportamiento de diferentes momentos de estas variables se aproximan a alguna ecuación de un campo en el l´ımite infinitesimal [13]. El presente trabajo se centra en el LBM que representa las ecuaciones de Navier Stokes 2D.

Este método opera sobre una grilla regular que representa el fluido mediante un conjunto de part´ıculas. Estas part´ıculas se ubican y desplazan sobre la grilla según la ecuación discreta de Boltzmann. El método de discretización se basa en la idea de propiedades mesoscópicas.

La escala mesosc´opica se refiere a la escala de longitud en la que se puede representar las propiedades continuas de un material o proceso. A efectos pr´acticos, la

(30)

u otras propiedades espec´ıficas de un material, y cuando las propiedades estad´ısticas como la temperatura y la entrop´ıa tienen sentido.

El concepto fundamental del LBM es construir modelos cinéticos simplificados que incorporen la f´ısica esencial del proceso microscópico o mesoscópico, de manera que las variables mesoscópicas promediadas obedezcan las ecuaciones macroscópicas deseadas. La premisa básica para usar estos modelos de tipo cinéticos simplificados es que la dinámica macroscópica de un fluido es el resultado del comportamiento colectivo de muchas part´ıculas microscópicas en el sistema, y que la dinámica macroscópica no es sensible más que indirectamente a los detalles subyacentes de la f´ısica microscópica [43]. Esta clase de metodolog´ıa de trabajo se utiliza en diversos campos de la f´ısica debido a es imposible seguir el comportamiento de cada átomo individual de un material.

Por estos motivos, es frecuente realizar cálculos promedio multiescala, sustituyendo la estructura discreta de átomos por una distribución continua de masa y demás variables de interés. Los valores de estas variables se calculan como un promedio de conjuntos de part´ıculas.

En el caso de LBM, el estado de cada celda está dado por la función de densidad de part´ıculas f_i(~x, t) (que no es directamente observable), y representa el número de part´ıculas en la celda ubicada en la posición x en el tiempo t moviéndose con una velocidad ~e_i. Desarrollando una versión simplificada y discretizada de la f´ısica de part´ıculas, se evita resolver ecuaciones cinemáticas complicadas como las ecuaciones completas de Boltzmann o simular cada part´ıcula por separado.

Com´unmente estas part´ıculas se desplazan sobre una malla regular. En cada celda se colisionan dichas poblaciones y luego se vuelven a desplazar a la celda siguiente.

Los modelos de LBM, se pueden clasificar según la vecindad utilizada en la grilla y según el operador de colisión utilizado. De la grilla y el operador de colisión depende la resolución numérica y estabilidad del método, mientras que el modelo f´ısico resuelto depende sólo del operador de colisión y los parámetros que se utilicen para el mismo.

Los vectores ~e_i forman un conjunto finito de q direcciones que restringen el movi-

(31)

e

₄

e

₅

e

6

e

3

e

₂

e

₁

e

₇

e

₈

e

0

Figura 1.1: Conjunto de velocidades discretas del modelo D2Q9.

miento de las part´ıculas. Por ejemplo, la malla más común en 2D se llama el modelo D2Q9 [83], que se corresponde con una malla cuadrada con 9 direcciones de velocidad interna. Este modelo es el utilizado durante este trabajo, y puede observarse en la Fig. 1.1. La simplicidad del mismo radica en su facilidad de implementación sobre matrices regulares, ya que el conjunto de ~e_i en unidades de grilla queda expresado como vectores de coordenadas 0, 1, −1 como

~

e0 = c(0, 0);

~

e₁ = c(1, 0); ~e₂ = c(1, 1); ~e₃ = c(0, 1); ~e₄ = c(−1, 1);

~

e₅ = c(−1, 0); ~e₆ = c(−1, −1); ~e₇ = c(0, −1); ~e₈ = c(1, −1).

, (1.1)

donde c = ∆x/∆t es la velocidad unitaria en unidades de la discretizaci´on usada.

La función f_i(~x, t) cambia su valor de acuerdo a un conjunto de reglas predeter- minadas para simular los mecanismos del transporte. Su evolución está dada por un paso de colisión (Eq. 1.2) y uno de advección (Eq. 1.3), definidos según

f_i⁰(~x, t) = fi(~x, t) + 1

τ[f_iê(~x, t) − fi(~x, t)], (1.2) f_i(~x + ~e_i∆t, t + ∆t) = f_i⁰(~x, t), (1.3) donde ∆t es el paso de tiempo, τ es un parámetro de relajación que controla la viscosidad y f_iê(~x, t) es la llamada población o distribución de equilibrio. Es decir, f_i(~x, t) representa la densidad de part´ıculas en el punto ~x y el tiempo t bajo un

(32)

i

La distribución de equilibrio es construida en función de los términos de momento local de f_i(~x, t) siendo

ρ(~x, t) =

8

X

i=0

f_i(~x, t), (1.4)

y

~

u(~x, t) = 1 ρ(~x, t)

8

X

i=0

~e_if_i(~x, t), (1.5) los cuales se corresponden a la densidad del fluido (cantidad de part´ıculas) y su velocidad promedio respectivamente.

La función de f_iê(~x, t) determina las ecuaciones en derivadas parciales que satisfa- cen los campos de ρ(~x, t) y ~u(~x, t) en el l´ımite diferencial. Por simplicidad, se utilizará la notación con parámetros impl´ıcitos ( ρ(~x, t) = ρ(~x) = ρ y ~u(~x, t) = ~u(~x) = ~u) salvo cuando sea necesario aclarar que el argumento posee cierto desplazamiento temporal o espacial.

La función de equilibrio se calcula sólo en base a variables macroscópicas locales.

En el presente trabajo se utiliza el esquema Bhatnagar-Gross-Krook (BGK) [7], el cual reproduce las ecuaciones de Navier-Stokes (N–S) [12]. En el caso 2D la funci´on de equilibrio de BGK est´a dada por

f_i^e = w_iρ

1 + 1

c²_s(~e_i· ~u) + 1

2c⁴_s(~e_i· ~u)² − 1

2c²_s(~u · ~u)

, (1.6)

donde w_i determina los valores de cada poblaci´on para una celda en equilibrio y velocidad nula y c²_s se lo denomina pseudo velocidad del sonido. Los valores de w_i en el caso de BGK son

wi =











4/9 si i = 0, 1/9 si i = 1, 3, 5, 7, 1/36 si i = 2, 4, 6, 8,

(1.7)

es decir, cada caso se corresponde con la poblaci´on de reposo, las direcciones carte-

(33)

El parámetro c²_s en la Ec. 1.6 es el coeficiente que relaciona la presión con la densidad, es decir, propone una pseudo ecuación de estado según

p = c²_sρ, (1.8)

y toma valor c²_s = 1/3 expresado en unidades de (∆x/∆t)².

La viscosidad cinemática ν está relacionada con el parámetro de relajación τ [13]

seg´un

ν = 1

3(τ − 1

2), (1.9)

en unidades de ∆x²/∆t. Como la viscosidad debe ser siempre positiva, τ debe ser mayor a 1/2.

Es importante observar que

X

i

f_i^e = ρ, (1.10)

X

i

~e_if_i^e= ρ~u, (1.11)

que son las condiciones necesarias para conservaci´on de masa y momento del operador de colisi´on.

1.3.1. Caracter´ısticas del LBM

La naturaleza cinética del LBM introduce tres propiedades importantes que lo distinguen de otros métodos numéricos [13].

Primero, el operador de advección del LBM en el espacio de fases es lineal. Es- ta propiedad ha sido tomada de la teor´ıa cinética y contrasta con los términos de convección no lineal en otros enfoques que usan representaciones macroscópicas. La advección simple combinada con un proceso de relajación (u operador de colisión) permiten recuperar la advección no lineal macroscópica.

(34)

S usando una funci´on de equilibrio f_i^e(~x, t) apropiada respecto de ~e_i [35, 73, 95].

LBM calcula la presión usando sólo una ecuación de estado. En contraste, en las simulaciones numéricas directas de las ecuaciones de N–S, la presión resuelve una ecuación compleja usando las curvas de velocidad como fuentes, lo cual usualmente produce dificultades numéricas que requieren un tratamiento especial.

Tercero, el LBM utiliza un conjunto finito de velocidades en el espacio de fases. En la teor´ıa cinética tradicional con la distribución de equilibrio de Maxwell-Boltzmann, el espacio de fases es un funcional del espacio de velocidades completo que abarca R². El proceso de promediado involucra información de todo el espacio de fases. Como sólo una o dos velocidades y unas pocas direcciones de movimiento son usadas en LBM, la transformación que relaciona la función de distribución microscópica con las cantidades macroscópicas queda muy simplificada y consiste de cálculos de aritmética simple.

1.3.2. Aplicaci´ on de fuerzas externas

En la mayor´ıa de los casos, el fluido ejerce fuerzas sobre su entorno y recibe otras del mismo que lo influencian. Ejemplos de fuerzas que afectan a un fluido pueden ser la gravedad, fuerzas electromagnéticas en caso de metales l´ıquidos o plasmas, y también es frecuente utilizar fuerzas para modelar interacciones con un cuerpo sumergido. Para esta clase de problemas, a la Ec. (1.2) se le agrega un término que refleja el cambio en las poblaciones causado por una fuerza externa,

f_i⁰(~x, t) = fi(~x, t) + 1

τ[f_iê(~x, t) − fi(~x, t)] + ∆t gi(~x, t). (1.12) donde g_i(~x, t) (denominado por brevedad como g_i) es la densidad de fuerza externa ejercida sobre el fluido. Existe cierta flexibilidad para manejar este término ya que principalmente debe cumplir solamente algunas restricciones macroscópicas generalmente relacionadas con la dirección.

(35)

lumétrica ~F^LBM(~x, t) en cada celda. Es decir, una densidad de fuerza ~F^LBM aplicada sobre una celda aumentará su velocidad en ~F^LBM∆t y su momento lineal en ρ ~F^LBM∆t en un paso de tiempo ∆t. La notación F^LBM se utiliza para diferenciarla de los términos de fuerzas de fronteras y medios que se explicarán en los cap´ıtulos posteriores.

La definici´on de gi debe ser tal que al calcular la contracci´on sobre las diferentes velocidades para las expresiones gi y ~eigi cumpla

X

i

g_i = 0 (1.13)

y

X

i

~e_ig_i = ρ ~F^LBM (1.14)

que aseguran la conservaci´on de masa y el cambio del momento correspondiente a la densidad de fuerza volum´etrica aplicada.

En este trabajo se utiliza la expresión desarrollada en [55], recomendada según el estudio de Mohamad y Kuzmin [61]. Dicha expresión consta de

g_i(~x, t) = 3w_iρ

c² ~e_i· ~F^LBM(~x, t). (1.15)

1.3.3. Tratamiento de contornos

Un punto que falta mencionar es lo que sucede con el fluido en aquellas celdas vecinas al limite del dominio simulado. Resulta necesario definir la regla de advección para dichas celdas, ya que algunas poblaciones f_i no pueden ser determinadas porque las celdas vecinas correspondientes no son parte del dominio simulado. Existen dis- tintas técnicas que permiten obtener los valores de estas incógnitas en el borde del canal, la elección se basa en la condición de contorno que se desea establecer y las propiedades de cada método. A continuación se presentan las técnicas más usuales

(36)

Condiciones de l´ımites peri´odicos

Las condiciones de l´ımites periódicos son las más sencillas de implementar. Su- poniendo un borde periódico de izquierda y derecha en la dirección x, luego de la advección, se asignan a las poblaciones entrantes las poblaciones salientes opuestas, esto es

f_i(1, y) = f_i(N_x, y) para i = 1, 2, 8 (1.16) fi(Nx, y) = fi(1, y) para i = 4, 5, 6 (1.17) donde 1 y N indican los l´ımites del dominio, y la notación simplificada fi(x, y) indica la distribución de part´ıculas i-ésima en el instante de tiempo t en celda de coordenadas (x, y). En la dirección y se procede de forma análoga, resultando en

f_i(x, N_y) = f_i(x, 1) para i = 6, 7, 8 (1.18) fi(x, 1) = fi(x, Ny) para i = 2, 3, 4 (1.19) Velocidad y Presi´on

Para establecer condiciones de velocidad o presi´on es necesario determinar las poblaciones de f_i faltantes de forma que satisfagan las propiedades macrosc´opicas deseadas.

Dado que se suele utilizar para entradas en canales es normal definir la velocidad transversal nula. Para el caso del extremo derecho de un canal rectangular esto es u_y = 0, y las incógnitas son f₄,f₅ yf₆. En general, se fijan sólo dos de los parámetros entre ρ y u_x. Luego se puede determinar ρ según la velocidad de entrada del fluido a un valor determinado según

ρ = f₀+ f₃+ f₇+ 2(f₁+ f₂+ f₈)

1 + u_x , (1.20)

(37)

u_x = −1 + f₀+ f₃+ f₇+ 2(f₁+ f₂+ f₈)

ρ . (1.21)

Resulta entonces que las Ecs. 1.4 y 1.5 en la dimensión x son linealmente depen- dientes, y se tiene también la Ec. 1.5 en la dimensión y. Al haber sólo dos ecuaciones lineales para tres incógnitas es necesario incorporar información adicional. Esto es la principal dificultad cuando se implementan condiciones de borde en LBM [82]. Esta elección no es trivial, ya que como se indica en [52] puede afectar la precisión y la convergencia del método en todo el dominio.

Zou y He [100] propusieron el modelo más extendido para el modelo de colisión BGK. En su trabajo asumen el rebote de las población de no-equilibrio en la población perpendicular a la salida, f₅, esto es

f₅− f₅^e = f₁− f₁^e. (1.22)

Lo que resulta en una expresi´on anal´ıtica para la inc´ognita f₅ = f₁− 2

3ρu_x. (1.23)

En dos dimensiones, para las inc´ognitas f₅, f₄y f₆(flujo en el extremo este del sentido positivo de x) resulta en

f₆ = f₂ +f₃− f₇

2 − ρu_x

6 −ρu_y

2 , (1.24)

y

f₄ = f₈+f7− f3

2 − ρux

6 +ρuy

2 . (1.25)

Ambas fórmulas se obtienen al despejar f4y f6 de las Ecs.1.4y1.5en la dimensión y y usando la expresión Ec. 1.23. Son conocidos los valores de las restantes f_i y las

(38)

En el Capitulo 2 se dar´a mas detalle de las condiciones de contorno para el caso particular del perfil desarrollado.

Condiciones de rebote sin deslizamiento

Las condiciones de contorno sin deslizamiento (no-slip) generan una rebote completo de todas las part´ıculas que llegan a ella. Se implementa siguiendo el esquema on-grid bounce-back [39], en la cual el l´ımite f´ısico se encuentra exactamente sobre el borde de la grilla. La regla b´asica resultante es muy simple y establece que una part´ıcula que alcanza el borde es revertida inmediatamente hacia el fluido, volviendo al mismo en el siguiente tiempo de simulaci´on.

Para el caso del extremo superior de un canal rectangular, las part´ıculas correspondientes a las poblaciones f₂, f₃, y f₄ rebotan en el borde quedando

f₆ = f₂, (1.26)

f₇ = f₃, (1.27)

y

f₈ = f₄. (1.28)

De esta manera se asegura que la suma de los momentos de las part´ıculas cercanas a la pared es cero. El esquema on-grid bounce-back es una manera muy simple y estable de simular un borde sólido, sin embargo esta condición logra una aproximación numérica de primer orden. Esto degrada la ecuación de LBM, porque la aproximación numérica del método es de segundo orden. Por otro lado existe el esquema del tipo mid-grid no-slip [35] en el cual las part´ıculas rebotan en el punto medio entre la celda que todav´ıa corresponde al fluido y la celda borde. El esquema mid-grid es equivalente al on-grid en cuanto a los valores usados para resolver las incógnitas, pero cambia el tiempo en el que se asignan. Este esquema logra una aproximación de segundo orden

(39)

(40)

(41)

Cap´ıtulo 2

Entrop´ıa y desarrollo del flujo

(42)

2.1. Resumen

En este cap´ıtulo se presenta un método desarrollado en esta tesis para modelar condiciones de contorno de salida en el método de lattice Boltzmann (LBM) basado en la maximización de la entrop´ıa local. El proceso de maximización se realiza restringido por las constantes macroscópicas y los componentes corriente abajo que son conocidos.

El método surge de observar que la entrop´ıa de la distribución de velocidades de Boltzmann en cada celda es máxima para el caso de flujos desarrollados en canales rectangulares bajo restricciones adecuadas.

Se estudiaron diferentes casos de canales rectangulares en donde el flujo entra con un perfil plano y se desarrolla a lo largo del canal. Se compararon resultados con diferentes métodos alternativos que existen en la literatura y encontraron buenos resultados para el método propuesto. Adicionalmente, se estudió en detalle el comportamiento de la nueva entrop´ıa condicionada corriente abajo y se encontró que esta relacionada a los gradientes de velocidad a medida que el flujo se desarrolla.

(43)

2.2. Introducci´ on

Como LBM está basado en una representación cinemática del fluido, la tarea de implementar condiciones de contorno consistente con las restricciones macroscópicas no es trivial y requiere especial atención. Por un lado, la representación dinámica provee cierto grado de flexibilidad que puede ser usado para diseñar condiciones de contorno, pero lamentablemente la precisión y la estabilidad del esquema son fuertemente in- fluenciados por el criterio usado para completar los grados de libertad restantes. No sorprende entonces, que exista una gran cantidad de trabajos desde que LBM comenzó a utilizarse enfocados en el manejo de las condiciones de contorno. En efecto, desde los comienzos de los 90’s, muchos autores han propuesto e investigado el comportamiento de varias condiciones de contorno [4,18, 30, 39,79, 89, 97, 99,100].

Las condiciones de contorno en el campo de la simulación de fluidos que ocurren con más frecuencia son las paredes sólidas, condiciones de velocidad constante, y entradas o salidas de flujo. En general es suficiente con especificar solamente la velocidad o la densidad solamente, es decir, no es necesario especificar ambas. El enfoque más simple utilizado para incorporar paredes sólidas es usar nodos de bounce-back (rebote) explicados en la Sección 1.3.3. Para contornos de velocidad y densidad se puede encontrar una gran variedad de métodos espec´ıficos desarrollados para limites rectos [52]. Para condiciones de contorno curvas, los métodos existentes están generalmente basados en esquemas de interpolación que hacen perder la localidad del método, la cual es una de las caracter´ısticas más atractivas del LBM [14,31,34,42]. Cuando se trata de una salida libre, existe información adicional que podr´ıa considerarse para el desarrollo de métodos espec´ıficos. Si además se impone que el flujo llega a desarro- llarse, todo dominio simulado corriente abajo respecto del desarrollo ser´ıa redundante, siempre que las condiciones de contorno no introduzcan información que afecte el mismo. Alternativas para canales abiertos se detallan posteriormente.

Por otro lado, en muchos trabajos se ha señalado que la naturaleza cinemática del LBM contribuye a la aplicación directa de los principios de entrop´ıa para mejorar

(44)

principalmente en la búsqueda de algoritmos más estables, mientras que se mantienen las atractivas propiedades numéricas del método, como son el esquema expl´ıcito y la localidad. El resultado más importante en este sentido es el desarrollo del llamado entropic LBM (ELBM), basado en el teorema H. Se ha demostrado [3] que la función de distribución de equilibrio dada por la Ec. 1.6 maximiza un potencial de entrop´ıa a segundo grado de la velocidad (u²) sujeto a las restricciones dadas por las ecuaciones macroscópicas (Ecs. 1.4 y 1.5). Dicho potencial se define como

H = −

8

X

i=0

f_ilog fi

w_i. (2.1)

En este cap´ıtulo, se presenta un método para modelar contornos con restricciones de velocidad en el LBM 2D especialmente diseñado para el caso de perfiles desarrollados. El método está basado en la maximización de la entrop´ıa local sujeto a las restricciones macroscópicas y que los componentes con dirección corriente abajo (en el sentido del flujo) son conocidos. Partiendo de ello se logra derivar una formula al- gebraica, la cual es muy fácil de implementar sin degradar la performance de cálculo.

Este método es aplicado a la simulación de contornos completamente desarrollados y comparado con otras soluciones propuestas en la literatura. Como se verá más ade- lante, se puede constatar que la nueva entrop´ıa condicionada corriente abajo presenta una interesante correlación con el gradiente de velocidad.

2.3. Contornos de velocidad para perfil desarrollado

Tomando como caso de referencia una celda de contorno a la salida de un canal, como la que se muestra en la Fig.2.1 se puede analizar el problema de las condiciones de contorno en el caso general. Como se explicó en la Sección 1.3.3, para ejecutar el paso de advección (Ec.1.3) los valores de las poblaciones corriente arriba, f₄, f₅, f₆ (es

(45)

f

4

f

₅

f

₆

f

₃

f

2

f

₁

f

₇

f

₈

f

₀

Figura 2.1: Diagrama de las variables desconocidas (flechas punteadas) en una celda de borde.

decir, la advecci´on de las part´ıculas provenientes de “afuera” del dominio simulado) son desconocidas por no pertenecer al dominio. La informaci´on disponible para imponer esos valores en f₄, f₅, f₆ son las condiciones del fluido en la salida del canal.

Nótese que las poblaciones incógnitas apuntan corriente arriba, es decir, en sentido contrario al flujo. Además es frecuente necesitar simular el flujo solamente hasta que se halla desarrollado, ya que a partir de este punto toda simulación extra conducirá a una repetición del perfil de velocidades y será por lo tanto redundante. Sin embargo muchas veces se prefiere agregar longitud para asegurar que se alcanzó el desarrollo, y para prevenir el agregado de información defectuosa originada por la condición de contorno.

2.3.1. Otros m´ etodos

Los métodos para modelar condiciones de contorno de salida en LBM se basan en interpolar cierta cantidad de las celdas inmediatamente adyacentes anteriores para determinar las poblaciones faltantes. Los mismos se pueden clasificar en dos grandes grupos. Por un lado están los métodos que trabajan a escala mascroscópica, interpolando la velocidad desde el vecindario local y usando una condición de contornos

(46)

lado, están los métodos que trabajan a nivel microscópico, interpolando directamente los valores de las poblaciones de part´ıculas desde el vecindario sin tener en cuenta las variables macroscópicas.

Asumiendo que el flujo a la salida est´a totalmente desarrollado, se tiene

∂u_x

∂x = 0, (2.2)

∂u_y

∂x = 0. (2.3)

Estas condiciones se aseguran usando alguna estimación numérica de la derivada par- cial en función de las celdas corriente arriba. La forma más simple es utilizar una interpolación a nivel de celda

u_x(N_x, y) = u_x(N_x− 1, y), (2.4) Por otro lado, en estado estacionario la conservaci´on de masa implica

∂ρu_x

∂x = 0, (2.5)

que no puede satisfacerse al mismo tiempo junto a la Ec.2.2, ya que ρ es proporcional a la presi´on en el esquema BGK (Ec. 1.8) y el gradiente de presiones a lo largo del canal concluye en ∂ρ/∂x = 0. Tomando en consideraci´on este problema, Tong et al.

[84] propusieron la siguiente correcci´on para la Ec. 2.4

u_x(N_x, y) = σu_x(N_x− 1, y) , (2.6) donde

σ =

P

yρ (1, y) u_x(1, y) P

yρ (N_x− 1, y) u_x(N_x− 1, y), (2.7)

(47)

la entrada x = 1 que a la salida x = N_x.

El problema luego es un caso especial de determinar las poblaciones que apuntan en una direcci´on (en este caso corriente arriba), f4, f5, f6 conocidas todas las otras poblaciones de la celda y las dos componentes de su velocidad macrosc´opica ~u. Esto puede expresarse (Fig. 2.1) como

f₄+ f₅+ f₆ = f₂+ f₁+ f₈− u_xρ = f_x, (2.8) f4− f6 = uyρ + f8− f2 = fy, (2.9) donde las inc´ognitas f4, f5, f6 est´an aisladas en el lado izquierdo.

Como se explicó en la Sección 1.3.3, debe notarse que la densidad ρ en la celda queda completamente determinada por u_x y los valores de población conocidos.

Además hay tres incógnitas y dos datos, por lo que se necesita una relación adicional.

Se recuerda que esto es la dificultad central en estos problemas, y que la solución puede afectar la precisión en todo el dominio [52]. El método explicado en dicha sección asume el rebote de las población de no-equilibrio en la población perpendicular a la salida [100] y es el método más extendido en la literatura.

Alternativamente, en su trabajo para establecer perfil desarrollado, Tong et al.

[84] proponen usar los valores del contorno de ~u y ρ para calcular las poblaciones de equilibrio y forzar a este valor todas las poblaciones, incluso aquellas que ya eran conocidas. A su vez, asumen velocidad transversal nula (u_y = 0).

Por otro lado, existen métodos para fijar perfil desarrollado que no calculan variables macrosópicas sino que trabajan directamente sobre las poblaciones de part´ıculas f_i. Estos métodos, se pueden describir como interpolaciones de los valores de celdas anteriores en el sentido del canal. En general, se expresan como

f_i(N_x, y) = ψf_i(N_x− 1, y) + (1 − ψ)f_i(N_x− 2, y) (2.10)

(48)

respectivamente, que se corresponden con una interpolación de los valores de grado 1 y 2 respectivamente. El problema cuando ψ = 1 es que la ca´ıda de presión no puede ser representada a la salida del canal. Para ello ψ = 2 es una elección mucho mejor, pero esta selección puede llevar a valores negativos de f_i cuando el flujo de salida tiene grandes gradientes. Esta elección se basa en suponer que la tasa de variación de las f_i es constante una vez que el perfil completó su desarrollo.

2.3.2. M´ etodo de m´ axima entrop´ıa para flujo desarrollado

En la búsqueda de una mejor opción para condiciones de contorno de perfil desarrollado en esta tesis se comenzó por el análisis del comportamiento de diferentes variables durante el desarrollo del flujo. Posteriormente se buscó una tercer cantidad que permitiera agregar la información faltante. Se analizaron por ejemplo la evolución de las poblaciones, la entrop´ıa, entre otras, buscando una interpretación f´ısica sobre los resultados obtenidos.

En LBM hist´oricamente se ha utilizado la entrop´ıa H propuesta por Ansumali (Eq.

2.1), cuyo valor está influenciado por ρ. Debido a que ρ no es constante a lo largo del flujo desarrollado, es natural observar que H var´ıa. Como se explicó en la Seccion 2.2, es sabido que la función de equilibrio f_iê maximiza H, pero es importante notar que a su vez depende de ρ de forma proporcional. Por esto se analizó una propuesta de entrop´ıa utilizando f_i/ρ, las cuales constituyen una distribución de probabilidad propiamente dicha considerando que P

if_i/ρ = 1. De esta manera se obtiene una entrop´ıa independiente de la densidad H_iρ, cuya expresi´on est´a dada por

H_iρ= −

8

X

i=0

f_i ρlog f_i

ρw_i. (2.11)

La Fig.2.2 muestra la evoluci´on de H y Hiρ para un mismo caso. Se observa como H se ve influenciado por los cambios de densidad y presi´on, mientras que H_iρ es una

(49)

(a) Entrop´ıa H (b) Entrop´ıa Hiρ

Figura 2.2: Comparaci´on de mapas de entropias H y H_iρ para un canal con un perfil de entrada de velocidad constante que se desarrolla a una par´abola.

variable que se desarrolla parecido al flujo. Sobre la salida del canal H_iρ hace evidente la influencia de la condici´on de contorno utilizada.

El objetivo fue entonces encontrar una forma de incorporar esta variable que se desarrolla para completar el sistema. Para esto se analizó la celda central del dominio por ser la que menor influencia de los contornos tendr´ıa. Se estudiaron los posibles valores de f5 y la entrop´ıa correspondiente a cada uno de ellos, comparándola con el nivel real de H obtenido en la simulación. Es decir, se supuso que la celda era un contorno para el que los verdaderos valores de las f_i son conocidos. En la Fig. 2.2 se observa con l´ınea punteada el nivel de H de referencia (−0,6 10⁻⁴), y los valores obtenidos para diferentes valores de f₅. Se observa que el único valor de f₅ que iguala la entrop´ıa obtenida a la esperada también es el que la maximiza.

Es importante analizar la relaci´on entre la entrop´ıa propuesta y la previamente utilizada en [3].

H_iρ = −Xf_i ρlog

f_i ρw_i

(2.12) Extrayendo ρ de la sumatoria y del logaritmo se obtiene

H_iρ = −1 ρ

Xf_ilog f_i w_i

+log(ρ) ρ

X(f_i). (2.13)

(50)

0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 -19,8

-13,2 -6,6 0,0

f 5

/ [x10]

Valor real de referencia

Nivel para f 5

H i

[x1000]

Figura 2.3: Diferentes valores de entrop´ıa seg´un el f₅ escogido, teniendo en cuenta las restricciones de velocidad y su relaci´on con el nivel de entrop´ıa calculado con los valores conocidos.