Bioelectricidad y Biomagnetismo

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Contenido Campos Magn´eticos Ley de Faraday

Bioelectricidad y Biomagnetismo

Universidad Antonio Nari˜no

27 de mayo de 2014

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Contenido

1

Campos Magn´ eticos

Campo magn´ etico generado por una corriente

2

Ley de Faraday

Flujo del campo magn´ etico

Ley de Gauss del magnetismo.

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Contenido

1

Campos Magn´ eticos

Campo magn´ etico generado por una corriente

2

Ley de Faraday

Flujo del campo magn´ etico

Ley de Gauss del magnetismo.

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Campo magn´etico generado por una corriente

Campo magn´ etico generado por una corriente rectil´ınea (repaso).

I

Β r 28.3 Campo magnético de un conductor que transporta corriente 963 tran alambres conductores rectos. La figura 28.5 muestra un conductor con longitud

2a que conduce una corriente I. Encontraremos en un punto a una distancia x del conductor, sobre su bisectriz perpendicular.

Primero usamos la ley de Biot y Savart, ecuación (28.5) para encontrar el campo generado por el elemento de conductor con longitud dl 5 dy que se ilustra en la figura 28.5. De acuerdo con la figura, y sen f 5 sen (p 2 f) 5 x> La regla de la mano derecha para el producto vectorial indica que la dirección de es hacia el plano de la figura, perpendicular al plano; además, las direcciones de los generados por todos los elementos del conductor son las mismas. Así, para integrar la ecuación (28.7), simplemente se suman las magnitudes de los elementos una simplificación significativa.

Al reunir los elementos, se encuentra que la magnitud total del campo es

Podemos integrar esto por sustitución trigonométrica o con ayuda de una tabla de integrales. El resultado final es

(28.8)

Cuando la longitud 2a del conductor es muy grande en comparación con su distan- cia x desde el punto P, se puede considerar infinitamente larga. Cuando a es mucho mayor que x, es aproximadamente igual a a; de aquí que en el límite,

y la ecuación (28.8) se convierte en

La situación física tiene simetría axial con respecto del eje y. Por lo tanto, debe tener la misma magnitud en todos los puntos de un círculo con centro en el conductor y que yace en un plano perpendicular a él, y la dirección de debe ser tangente a to- do ese círculo. Así, en todos los puntos de un círculo de radio r alrededor del conduc- tor, la magnitud B es

(cerca de un conductor largo y recto portador de corriente) (28.9)

En la figura 28.6 se ilustra parte del campo magnético alrededor de un conductor largo, recto y portador de corriente.

La geometría de este problema es similar a la del ejemplo 21.11 (sección 21.5), en el que resolvimos el problema del campo eléctrico generado por una línea infinita de carga. En ambos problemas aparece la misma integral, y en ellos las magnitudes del campo son proporcionales a 1>r. Pero las líneas de en el problema del magnetismo tienen formas completamente diferentes de las de en el problema eléctrico análogo.

Las líneas de campo eléctrico irradian hacia fuera desde una distribución lineal de carga positiva (hacia dentro en el caso de cargas negativas). En contraste, las líneas de campo magnético circundan la corriente que actúa como su fuente. Las líneas de campo eléctrico debidas a las cargas comienzan y terminan en otras cargas, pero las líneas del campo magnético forman espiras cerradas y nunca tienen extremos, sin im- portar la forma del conductor portador de corriente que genera el campo. Como se vio en la sección 27.3, ésta es una consecuencia de la ley de Gauss para el magnetismo, que plantea que el flujo magnético total a través de cualquier superficie cerrada siem- pre es igual a cero:

E^SB^S B 5m₀I

2pr

BS

B 5m₀I 2px aS `, "x²1a²

B 5m0I 4p

2a x"x²1a² B 5m₀I

4p³

a 2a

x dy 1 x²1y²2³/²

B^S dB^S’s,

dB^S’s dB^S

dl^S3r^

"x²1y².

r 5"x²1y² dB^S

BS

dl^S

dB^S

S

En el punto P, el campo dB causado por cada elemento del conductor apunta hacia el plano de la página, al igual que el campo total B.

r ! !x² " y² x P

O x

y p 2 f

r^

f a

y

2a I

28.5Campo magnético producido por un conductor recto portador de corriente de longitud 2a.

Regla de la mano derecha para el campo magnético alrededor de un alambre que conduce corriente: Apunte el pulgar de su mano derecha en dirección de la corriente.

Cierre sus dedos alrededor del alambre en dirección de las líneas del campo magnético.

B^S I B^S

B^S 28.6Campo magnético alrededor de un conductor largo y recto portador de corriente. Las líneas de campo son círculos, con direcciones determinadas por la regla de la mano derecha.

Las corrientes

el´ectricas generan campos magn´eticos.

El campo magn´etico B generado por

un alambre largo de corriente I es proporcional a la corriente e inversamente proporcional a la distancia r perpendicular al alambre.

B =µ0

2π I r

µ0= 4π×10⁻⁷T .m/A : permeabilidad del vacio Las l´ıneas de

B giran alrededor de la corriente en el sentido indicado por la regla de la mano derecha.

(5)

Campo magn´ etico generado por un aro de corriente

~B generado por un aro de corriente I :

a r R

Beje central = µ0

2 Ia²

r³ =µ0

2 Ia² (a²+ R²)^3/2. Bcentro(R=0) = µ0

2 I a.

La direcci´on de las l´ıneas de ~B se obtiene con la regla de la mano derecha.

(6)

Campo magn´ etico generado por N aros de corriente

~B generado por un N aros de corriente I :

Beje central = µ0

2 NIa²

r³ = µ0

2

NIa² (a²+ R²)^3/2. Bcentro(R=0) = µ0

2 NI

a .

La direcci´on de las l´ıneas de ~B se obtiene con la regla de la mano derecha.

(7)

Campo magn´ etico en el interior de un solenoide

El campo magnético generado en el interior de un solenoide (con un número N muy grande de vueltas) por el cual circula una corriente eléctrica I está dado por la expresión

Binterior= µ0

N

LI = µ0nI , Bexterior= 0.

N es el n´umero de espiras y L es la longitud del solenoide. n es la densidad de espiras por unidad de longitud: n = N/L.

⃗B

(8)

Resumen.

Resumen de f´ormulas para el campo magn´etico generado por diversos tipos de corriente.

Alambre rectil´ıneo largo: B = µ0

2π I

r. (1)

Un aro: Bcentro(R=0)=µ0

2 I

a. (2)

N aros: Bcentro(R=0)=µ0

2 N.I

a . (3)

Bobina (solenoide): B_interior= µ0

N

LI = µ0nI . (4)

~B siempre gira alrededor de la corriente que lo genera.

(9)

Ejemplos.

Ejemplo 1.El axón de una neurona puede ser representado aproximadamente por un cable rectil´ıneo. Si la corriente en el axón generada por un impulso nervioso es de aproximadamente I = 0,5µA, calcule el campo magnético a una distancia r = 1 mm.

Solución. Usamos la fórmula (1) del resumen de fórmulas.

B = µ0

2π I

r =4π × 10⁻⁷(T .m/A) 2π

0,5 × 10⁻⁶A

1 × 10⁻³m = 1 × 10⁻¹⁰T .

Ejemplo 2.En un experimento acerca de los efectos del campo magn´etico sobre el sentido de orientaci´on de las aves, se pone una bobina a cada lado de la cabeza de una paloma. Cada bobina tiene 10 espiras de radio a = 1 cm. Calcule el B producido por una corriente I = 80 mA.

Solución. Usamos la fórmula (3) del resumen de fórmulas con N = 20 = 2 × 10 ( 2 bobinas, 10 vueltas c/u) y a = 1 cm.

B =µ0

2 N.I

a =4π × 10⁻⁷(T .m/A) 2

20 × 80 × 10⁻³A

1 × 10⁻²m ≈ 1 × 10⁻⁴T .

Este B es del mismo orden del campo magn´etico terrestre yes suficientemente alto para alterar el sentido de orientaci´on de la paloma.

(10)

Ejemplos.

B = µ0

2π I r =

4π × 10⁻⁷(T .m/A) 2π

0,5 × 10⁻⁶A

1 × 10⁻³m = 1 × 10⁻¹⁰T .

B =µ0

2 N.I

a =4π × 10⁻⁷(T .m/A) 2

20 × 80 × 10⁻³A

1 × 10⁻²m ≈ 1 × 10⁻⁴T .

(11)

Ejemplos.

B = µ0

2π I

r =4π × 10⁻⁷(T .m/A) 2π

0,5 × 10⁻⁶A

1 × 10⁻³m = 1 × 10⁻¹⁰T .

B =µ0

2 N.I

a =4π × 10⁻⁷(T .m/A) 2

20 × 80 × 10⁻³A

1 × 10⁻²m ≈ 1 × 10⁻⁴T .

(12)

Ejemplos.

B = µ0

2π I

r =4π × 10⁻⁷(T .m/A) 2π

0,5 × 10⁻⁶A

1 × 10⁻³m = 1 × 10⁻¹⁰T . Ejemplo 2.En un experimento acerca de los efectos del campo magn´etico sobre el sentido de orientaci´on de las aves, se pone una bobina a cada lado de la cabeza de una paloma. Cada bobina tiene 10 espiras de radio a = 1 cm. Calcule el B producido por una corriente I = 80 mA.

B =µ0

2 N.I

a =4π × 10⁻⁷(T .m/A) 2

20 × 80 × 10⁻³A

1 × 10⁻²m ≈ 1 × 10⁻⁴T .

(13)

Ejemplos.

B = µ0

2π I

r =4π × 10⁻⁷(T .m/A) 2π

0,5 × 10⁻⁶A

B =µ0

2 N.I

a =

4π × 10⁻⁷(T .m/A) 2

20 × 80 × 10⁻³A

1 × 10⁻²m ≈ 1 × 10⁻⁴T .

(14)

Ejemplos.

B = µ0

2π I

r =4π × 10⁻⁷(T .m/A) 2π

0,5 × 10⁻⁶A

B =µ0

2 N.I

a =4π × 10⁻⁷(T .m/A) 2

20 × 80 × 10⁻³A

1 × 10⁻²m ≈ 1 × 10⁻⁴T .

(15)

Ejemplos.

B = µ0

2π I

r =4π × 10⁻⁷(T .m/A) 2π

0,5 × 10⁻⁶A

B =µ0

2 N.I

a =4π × 10⁻⁷(T .m/A) 2

20 × 80 × 10⁻³A

1 × 10⁻²m ≈ 1 × 10⁻⁴T .

(16)

Campo magn´ etico generado por un im´ an

El campo magn´etico generado por las corrientes internas de un im´an es semejante al campo generado por un aro de corriente y por un solenoide.

972 C APÍTU LO 28 Fuentes de campo magnético

campo de ese alambre es igual a cero, ya que el ángulo u correspondiente a ese alambre barre un cambio neto de cero en vez de 2p durante la integración. Todo con- ductor presente que no esté encerrado por una trayectoria particular puede contribuir al valor de en todos los puntos, pero las integrales de línea de sus campos alrededor de la trayectoria tienen un valor de cero.

De esta forma, en la ecuación (28.19) se puede remplazar I por I

_enc

, la suma alge- braica de las corrientes encerradas o enlazadas por la trayectoria de integración, con la suma evaluada con base en la regla de los signos que se acaba de describir (figura 28.18). Así, el enunciado de la ley de Ampère es

(ley de Ampère)

(28.20)

Aunque hemos obtenido la ley de Ampère sólo para el caso especial del campo de va- rios conductores largos, rectos y paralelos, la ecuación (28.20) de hecho es válida pa- ra conductores y trayectorias de cualquier forma. En principio, la obtención general no es diferente de lo que se ha expuesto, pero la geometría es más complicada.

Si esto no necesariamente significa que a todo lo largo de la trayectoria, sino sólo que la corriente total a través de un área limitada por la trayec- toria es igual a cero. En las figuras 28.16c y 28.l7b, las trayectorias de integración no encierran ninguna corriente. En la figura 28.19 hay corrientes positivas y negativas de igual magnitud a través del área encerrada por la trayectoria. En ambos casos, I

_enc

5 0, y la integral de línea es cero.

CUIDADO

Integrales de línea de campos eléctricos y magnéticos En el capítulo 23 vimos que la integral de línea del campo electrostático alrededor de cualquier trayectoria ce- rrada es igual a cero; éste es el enunciado de que la fuerza electrostática sobre una car- ga puntual q es conservativo, por lo que esta fuerza realiza un trabajo de cero sobre una carga en movimiento alrededor de una trayectoria cerrada y que vuelve al punto de partida. Tal vez usted piense que el valor de la integral de línea se relaciona de manera similar con la pregun- ta de si la fuerza magnética es conservativa. Éste no es en absoluto el caso. Recuerde que la fuerza magnética sobre una partícula con carga en movimiento siempre es per- pendicular a por lo que no se relaciona con el trabajo realizado por la fuerza mag- nética; como se establece en la ley de Ampère, esta integral sólo se relaciona con la corriente total que cruza una superficie limitada por la trayectoria de integración. De hecho, la fuerza magnética sobre una partícula con carga en movimiento no es conservativa. Una fuerza con- servativa sólo depende de la posición del cuerpo sobre el que se ejerce la fuerza, pero la fuerza magnética sobre una partícula con carga y en movimiento también depende de la velocidad de la partícula. ❚

En la forma que se enunció, la ley de Ampère resulta ser válida sólo si las corrien- tes son estables y si no están presentes materiales magnéticos o campos eléctricos que varíen con el tiempo. En el capítulo 29 veremos cómo generalizar la ley de Ampère para campos variables con el tiempo.

r B

^S

# ^d

^S

^l

B

^S

,

F

^S

5 qv

^S

3 B

^S

r B

^S

# ^d

^S

^l

F

^S

5 qE

^S

E

^S

B

S

5 0 r B

^S

# ^d

^S

^l ⁵ ^0,

C B

^S

# ^d

^S

^l ^{5 m}

⁰

^I

^enc

B

^S

B

^S Vista en perspectiva

Vista superior

Plano de la curva

B^S

I_enc5 I₁2 I₂1I₃ B^S

Ley de Ampère: Si se calcula la integral de línea del campo magnético alrededor de una curva cerrada, el resultado es igual a m₀ multiplicado por la corriente total encerrada:

rB ^S

#

dl 5 m^S ₀ I_enc Curva cerrada arbitraria alrededor de los conductores

Doble los dedos de la mano derecha alrededor de la trayectoria de inte- gración: el pulgar apunta en la dirección de la corriente positiva.

I₂

I₁

I₃ I₂

I₁ I₃

dl^S dl^S

28.18 Ley de Ampère.

!I

"I B^S

B^S B^S

B^S B^S B^S

B^S B^S

B^S

B^S dl^S

dl^S

dl^S dl^S dl^S

dl^S dl^S

dl^S

28.19 Dos conductores largos y rectos que transportan corrientes iguales en sentidos opuestos. Los conductores están vistos desde sus extremos, y la trayectoria de integración va en sentido antihorario.

La integral de línea recibe una contribución nula de los segmentos superior e inferior, una contribución positiva del segmento de la izquierda y otra negativa del segmento de la derecha;

la integral neta es igual a cero.

r B

^S

# ^d

^S

^l

S S S N N N

B^S

Evalúe su comprensión de la sección 28.6 La siguiente figura muestra líneas de campo magnético a través del centro de un imán permanente. El imán no está conectado a una fuente de fem. Una de las líneas de campo está en color rojo. ¿Qué puede usted concluir acerca de las corrientes dentro de un imán permanente en el interior de la región encerrada por esta línea de campo? i) No hay corrientes en el interior del imán; ii) hay corrientes dirigidas hacia fuera del plano de la página; iii) hay corrientes dirigidas hacia el plano de la página;

iv) no se da información suficiente para decidir.

❚

El lugar por donde salen las l´ıneas de B se llama polo norte (N) y el lugar por donde

(17)

Origen del campo magn´ etico de un im´ an

El origen del campo magnético de un imán son las corrientes eléctricas generadas por dipolos magnéticos microscópicos ~µ en el material del cual está constituido el imán. Si los dipolos magnéticos microscópicos están alineados, el material presenta un momento dipolar neto permanente y un campo magnético permanente.

(18)

Magnetismo en la materia (unas poqu´ısimas palabras).

DiamagnetismoMateriales que no tienen electrones sin pareja. El momento magn´etico total de los electrones no produce ning´un efecto.

ParamagnetismoMateriales que tienen electrones sin pareja. Cuando un campo magnético ~B0se aplica sobre estos materiales, los momentos magnéticos de estos electrones sin pareja tienden a alinearse con el campo magnético.

FerromagnetismoComo en el caso anterior, son materiales que tienen electrones sin pareja. Adicionalmente los momentos magnéticos de estos electrones tienden a estar alineados entre ellos. Esta tendencia produce un momento dipolar neto permanente aún cuando no hay un campo magnético externo aplicado sobre el material. Existe una relación directa entre los momentos dipolares y el campo magnético en el interior del material.

B = ~~ B0+ µ0M,~ M =~ ~µtotal

Vol. = χm

~B0

µ0

~

µtotal→ Momento dipolar magn´etico total del material. M → Magnetizaci´~ on. χm→ susceptibilidad magn´etica.

Esta relaci´on s´olo vale para cierto tipo de materiales. No entraremos en detalles.

(19)

Magnetismo en la materia (unas poqu´ısimas palabras).

FerromagnetismoComo en el caso anterior, son materiales que tienen electrones sin pareja. Adicionalmente los momentos magnéticos de estos electrones tienden a estar alineados entre ellos. Esta tendencia produce un momento dipolar neto permanente aún cuando no hay un campo magnético externo aplicado sobre el material. Existe una relación directa entre los momentos dipolares y el campo magnético en el interior del material.

B = ~~ B0+ µ0M,~ M =~ ~µtotal

Vol. = χm

~B0

µ0

~

(20)

Magnetismo en la materia (unas poqu´ısimas palabras).

FerromagnetismoComo en el caso anterior, son materiales que tienen electrones sin pareja. Adicionalmente los momentos magnéticos de estos electrones tienden a estar alineados entre ellos. Esta tendencia produce un momento dipolar neto permanente aún cuando no hay un campo magnético externo aplicado sobre el material.

Existe una relaci´on directa entre los momentos dipolares y el campo magn´etico en el interior del material.

B = ~~ B0+ µ0M,~ M =~ ~µtotal

Vol. = χm

~B0

µ0

~

(21)

Magnetismo en la materia (unas poqu´ısimas palabras).

~B = ~B0+ µ0M,~ M =~ ~µ_total Vol. = χm

~B0

µ0

~

µtotal→ Momento dipolar magn´etico total del material.

M → Magnetizaci´~ on. χm→ susceptibilidad magn´etica.

(22)

Magnetismo en la materia (unas poqu´ısimas palabras).

~B = ~B0+ µ0M,~ M =~ ~µ_total Vol. = χm

~B0

µ0

~

µtotal→ Momento dipolar magn´etico total del material.

M → Magnetizaci´~ on. χm→ susceptibilidad magn´etica.

(23)

Flujo del campo magn´etico Ley de Gauss del magnetismo.

Flujo del campo magn´ etico

Flujo del campo magn´etico

B

A

A



Flujo ΦB sobre una superficie A:

Φ_B= ~B · ~A = BA cos θ.

Unidades: [ΦB] = T .m²

A tiene asociado el vector normal

~A. θ es el ´angulo formado por ~A y ~B

El flujo es m´aximo para θ = 0 y nulo para θ = 90^◦.

996 C APÍTU LO 29 Inducción electromagnética

29.2Ley de Faraday

El elemento común en todos los efectos de inducción es el flujo magnético cambiante a través de un circuito. Antes de enunciar la ley física sencilla que resume todas las clases de experimentos descritos en la sección 29.1, revisemos primero el concepto de flujo magnético FB(que presentamos en la sección 27.3). Para un elemento de área infinitesimal en un campo magnético (figura 29.3), el flujo magnético dFBa tra- vés del área es

donde B'es la componente de perpendicular a la superficie del elemento de área, y f es el ángulo entre y (Al igual que en el capítulo 27, hay que tener cuidado en distinguir entre dos cantidades llamadas “fi”, f y FB.) El flujo magnético total FB

a través de un área finita es la integral de esta expresión sobre el área: (29.1) Si es uniforme sobre un área plana entonces

(29.2) La figura 29.4 repasa las reglas para el uso de la ecuación (29.2).

CUIDADO Al elegir la dirección de o En las ecuaciones (29.1) y (29.2) tenemos que ser cuidadosos para definir la dirección del área vectorial o sin ambigüedades. Siem- pre hay dos direcciones perpendiculares a cualquier área dada, y el signo del flujo magnético a través de ésta depende de cuál se elija como positiva. Por ejemplo, en la figura 29.3 se eligió que apuntara hacia arriba, por lo que f es menor que 90° y es positivo. En vez de lo anterior, hubiéramos podido elegir que apuntara hacia abajo, en cuyo caso f habría sido mayor que 90° y habría sido negativo. Cualquier opción es igualmente buena, pero una vez que se elige una, debemos respetarla.❚

La ley de Faraday de la inducción establece lo siguiente: La fem inducida en una espira cerrada es igual al negativo de la tasa de cambio del flujo magnético a través de la espira con respecto al tiempo.

En símbolos, la ley de Faraday es

(29.3) E 5 2dFB

dt 1 ley de Faraday de la inducción 2 BS#dA^S

dA^S B^S#dA^S dA^S

AS dA^S AS dA^S FB5B^S#A^S5BAcosf

A^S, BS

FB5 3B^S#dA^S5 3B dAcosf dA^S.

B^S B^S

dFB5B^S#dA^S5B' dA 5 B dAcosf B^S dA^S

Flujo magnético a través de un elemento de área dA: dFB 5 B •dA 5 B_!dA 5 B dA cos f.

S S S

dA B_'

Bi

f B^S dA^S 29.3Cálculo del flujo magnético a través de un elemento de área.

A B

f 5 908 A^S

S

La superficie está de perfil al flujo magnético:

• B y A son perpendiculares (el ángulo entre B y A es f 5 908).

• El flujo magnético FB 5 B • A 5 BA cos 908 5 0.

S S S

SS S

A B

A f

S S

La superficie está inclinada un ángulo f con respecto a una orientación de frente:

• El ángulo entre B y A es f.

• El flujo magnético FB 5 B • A 5 BA cos f. S S

S S La superficie está de frente al flujo magnético:

• B y A son paralelos (el ángulo entre B y A es f 5 0).

• El flujo magnético FB 5 B • A 5 BA. SS

SS S S

A B

A f 5 0

S S

29.4Cálculo del flujo de un campo magnético uniforme a través de un área plana. (Compare con la figura 22.6, que muestra las reglas para calcular el flujo de un campo eléctrico uniforme.)

ΦB = B.A. ΦB = B.A. cos θ. ΦB= 0.

(24)

Flujo del campo magn´ etico

B

A

A



29.2Ley de Faraday

a través de un área finita es la integral de esta expresión sobre el área: (29.1) Si es uniforme sobre un área plana entonces

La ley de Faraday de la inducción establece lo siguiente: La fem inducida en una espira cerrada es igual al negativo de la tasa de cambio del flujo magnético a través de la espira con respecto al tiempo.

(29.3) E 5 2dFB

dA^S B^S#dA^S dA^S

AS dA^S AS dA^S FB5B^S#A^S5BAcosf

A^S, BS

B^S B^S

Flujo magnético a través de un elemento de área dA: dFB 5 B •dA 5 B_!dA 5 B dA cos f.

S S S

dA B_'

Bi

A B

f 5 908 A^S

S

S S S

SS S

A B

A f

S S

• El flujo magnético FB 5 B • A 5 BA cos f. S S

S S La superficie está de frente al flujo magnético:

• El flujo magnético FB 5 B • A 5 BA. SS

SS S S

A B

A f 5 0

S S

ΦB = B.A. ΦB = B.A. cos θ. ΦB= 0.

(25)

Flujo del campo magn´ etico

B

A

A



29.2Ley de Faraday

a través de un área finita es la integral de esta expresión sobre el área:

(29.1) Si es uniforme sobre un área plana entonces

La ley de Faraday de la inducción establece lo siguiente:

La fem inducida en una espira cerrada es igual al negativo de la tasa de cambio del flujo magnético a través de la espira con respecto al tiempo.

(29.3) E 5 2dFB

dA^S B^S#^dA^S

dA^S

A^S dA^S A^S dA^S FB5B^S#A^S5BAcosf

A^S, BS

B^S B^S

Flujo magnético a través de un elemento de área dA:

dFB 5 B •dA 5 B!dA 5 B dA cos f.

S S S

dA B_'

Bi

A B

f 5 908 A^S

S

S S S

SS S

A B

A f

S S

• El flujo magnético FB 5 B • A 5 BA cos f.

S S S S La superficie está de frente al flujo magnético:

• El flujo magnético FB 5 B • A 5 BA.

SS SS

S S

A B

A f 5 0

S S

(26)

Flujo del campo magn´ etico

29.2 Ley de Faraday 999 Si se tiene una bobina con N espiras idénticas y si el flujo varía a la misma tasa a

través de cada espira, la tasa total de cambio a través de todas las espiras es N veces más grande que para una sola espira. Si FBes el flujo a través de cada espira, la fem total en una bobina con N espiras es

(29.4) Como se vio en la introducción de este capítulo, las fem inducidas desempeñan un papel esencial en la generación de energía eléctrica para uso comercial. Varios de los ejemplos que siguen exploran diferentes métodos para generar fem por medio del movimiento de un conductor con respecto a un campo magnético, lo que da lugar a un flujo cambiante a través de un circuito.

E 5 2NdFB dt

Estrategia para resolver problemas 29.1 Ley de Faraday IDENTIFICAR:los conceptos relevantes:La ley de Faraday se aplica cuando hay un campo magnético cambiante. Para utilizarla hay que asegurarse que es posible identificar un área a través de la cual hay un flujo de campo magnético. Por lo general, ésta será el área encerrada por una espira, hecha de un material conductor [aunque no siempre;

véase el inciso b) del ejemplo 29.1]. Como siempre, hay que identificar la(s) variable(s) buscada(s).

PLANTEARel problemade acuerdo con los siguientes pasos:

1. La ley de Faraday relaciona la fem inducida con la tasa de cambio del flujo magnético. Para calcular esa tasa primero se tiene que entender qué es lo que genera el cambio del flujo: ¿El conductor se está moviendo? ¿Está cambiando su orientación? ¿El campo magnético está cambiando? Recuerde que no es el flujo en sí mis- mo lo que importa, sino su tasa de cambio.

2. Elija una dirección para el vector de área o La dirección siempre debe ser perpendicular al plano del área. Observe que siempre hay dos opciones de dirección. Por ejemplo, si el plano del área es horizontal, podría apuntar directamente hacia arriba o hacia abajo.A^S

dA^S. A^S

Es como elegir cuál es el sentido positivo en un problema de movimiento rectilíneo. No importa cuál dirección se elija, pero hay que usarla de manera consistente en todo el problema.

EJECUTARla solucióncomo sigue:

1. Calcule el flujo magnético con base en la ecuación (29.2) si es uniforme sobre el área de la espira, o con la (29.1) si no es uniforme, tomando en cuenta la dirección que se eligió para el vector de área.

2. Calcule la fem inducida empleando la ecuación (29.3) o la (29.4).

Si el conductor tiene N espiras en una bobina, no olvide multiplicar por N. Recuerde la regla de los signos referente a la dirección po- sitiva de la fem y úsela en forma congruente.

3. Si conoce la resistencia del circuito, puede calcular la magnitud de la corriente inducida I con E 5 IR.

EVALUARla respuesta:Compruebe las unidades de los resultados y vuelva a revisar que haya empleado correctamente las reglas de los signos para el cálculo del flujo magnético y la fem inducida.

BS

Ejemplo 29.2 Magnitud y dirección de una fem inducida Se coloca una bobina de alambre que contiene 500 espiras circulares con radio de 4.00 cm entre los polos de un electroimán grande, donde el campo magnético es uniforme y tiene un ángulo de 60° con respecto al plano de la bobina. El campo disminuye a razón de 0.200 T>s. ¿Cuá- les son la magnitud y dirección de la fem inducida?

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR:Nuestra incógnita es la fem inducida por un flujo mag- nético variable a través de la bobina. El flujo varía debido a que la magnitud del campo magnético disminuye.

PLANTEAR:Se elige que la dirección del vector de área sea la que se observa en la figura 29.7. Con esta elección, la geometría es muy similar a la de la figura 29.6b. Esa figura nos ayudará a determinar la dirección de la fem inducida.

EJECUTAR:El campo magnético es uniforme en toda la espira, por lo que es posible calcular el flujo con la ecuación (29.2): FB5BAcosf, donde f 5 30°. En esta expresión, la única cantidad que cambia con respecto al tiempo es la magnitud B del campo.

A^S

CUIDADO Recuerde cómo se definef Tal vez estuvo tentado a utilizar f 5 60° en este problema. Si así fue, recuerde que f es el án- gulo entre y A^S B^S,no entre B^S,y el plano de la espira.❚

29.7Diagrama para este problema.

continúa

Ejemplo 3.En

la figura se representa un anillo de radio r = 4 cm en una región con un campo magnético constante de magnitud B = 2 mT. Calcule el flujo de ~B en la posición representada en la figura.

Solución. Note que el ángulo de referencia es el ángulo formado por ~A y ~B.

ΦB= BA cos θ = 2mTπ(0,04m)²cos(30^◦) ≈ 43,5 × 10⁻⁷T .m²

Bioelectricidad y Biomagnetismo