Variación de cocientes y espacios de los sueños de Mori

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemática

Tesis de Licenciatura

Variación de cocientes

y espacios de los sueños de Mori

Lucas Gabriel de Amorin

Director: Dr. Fernando Cukierman

Fecha de Presentación: 7 de julio de 2021

Agradecimientos

A mi familia por cuidarme y apoyarme. A mis tíos Beto y Moni, a mis primos Pablo y Seba y, muy especialmente, a mi mamá y a Facu por siempre estar ahí.

A Gabi que me enseño a plantear ecuaciones más cortas y muchas otras cosas.

A Fernando por dirigir esta tesis y por sus consejos.

A Marco y a Martín por tomarse el tiempo de leer esta tesis y por sus preguntas, sugerencias y comentarios.

A C. Araujo y A. Massarenti que sin saberlo motivaron la tesis.

A C. Massri por su sugerencia para el primer ejemplo de 1.4.

A A. Pianzola por brindarnos una referencia que no encontrábamos.

A los profesores y docentes de esta facultad, especialmente a G. Cortiñas, por todo lo que me enseñaron.

A R. Heluani por sus consejos.

A la gente de los seminarios. En particular, a Charly por todas sus charlas.

A mis compañeros de la facultad. Particularmente, a Guido, Ian, Leo, Marchi y Marcos por muchas charlas interesantes, y a Agus, Buso y Carla por un lindo verano.

A la OMA y a todos lo que la hacen posible. En particular, a Flora y a Patricia que sin ellas no sería lo mismo.

A los ninjas de zona sur por tantos recuerdos.

A los ex-olímpicos y especialmente a Lucas, a Mati y a Prillo.

A los pibes, al Hugo y a Kari por todas esas tardes, entre otras cosas.

A todas las instituciones que aportaron financieramente a mi educación. A la Acade- mia Nacional de Ciencias Exactas Físicas y Naturales, a la Fundación Operación Éxito, al Instituto de Matemática Pura e Aplicada, al Instituto Nuestra Señora del Loreto y a la Municipalidad de Avellaneda.

A Mia, Mimi y Nano.

iii

Índice general

Introducción vii

1. Teoría geométrica de invariantes 1

1.1. Invariantes . . . . 1

1.2. Construcción de cocientes: caso afín . . . . 7

1.3. Construcción de cocientes: caso proyectivo . . . . 13

1.4. Criterio numérico de Hilbert–Mumford . . . . 17

1.5. Linearizaciones . . . . 23

1.6. Descenso de linearizaciones . . . . 27

2. Variación de cocientes 33 2.1. Un ejemplo introductorio . . . . 33

2.2. Descomposición de Bialynicki-Birula . . . . 36

2.3. Descomposición GIT . . . . 41

2.4. Estratificación de Kempf–Hesselink . . . . 52

2.5. Variación de cocientes . . . . 56

3. Espacios de los sueños de Mori 63 3.1. Teoría de intersección . . . . 63

3.2. Equivalencia Mori . . . . 65

3.3. Espacios de Mori . . . . 67

3.4. Espacios de Mori como cocientes GIT . . . . 72

3.5. Variedades Tóricas . . . . 77

3.6. Espacios Homogéneos . . . . 82

3.7. Variedades de tipo Fano . . . . 86

A. Clasificación birracional de variedades: un breve panorama 89 A.1. El divisor canónico . . . . 89

A.2. Clasificación de Enriques . . . . 90

A.3. Teoría de Mori . . . . 92

Bibliografía 97

v

Introducción

Dada una variedad proyectiva X, ¿cómo son los morfismos f : X → Y con fibras conexas a otra variedad proyectiva? Cualquiera de ellos está completamente determina- do por las curvas que contrae

. Una pregunta más delicada es cuando vale el problema inverso; dado un conjunto de curvas, ¿existe un morfismo que solo las contrae a ellas?

En [HK00], Yi Hu y Sean Keel introdujeron los espacios de los sueños de Mori (Mori dream spaces en inglés), ciertas variedades donde tanto esta correspondencia como una

“dual” se comportan muy bien. Algunos ejemplos interesantes de las mismas son las variedades tóricas y las Fano.

La historia comienza décadas atrás con una pregunta diferente. Dada una acción de un grupo G en una variedad X, ¿existe un cociente? ¿el espacio de órbitas X/G es una variedad? Una obstrucción fundamental es que si X → X/G es un morfismo, sus fibras, las órbitas, serán cerradas. Una pregunta más interesante es si existe una variedad X // G que parametrice “geométricamente” las órbitas cerradas. Para variedades afines la respuesta es siempre que sí. Pero en general es no, por ejemplo, para la acción en la siguiente figura.

(0:1)

(1:0)

Figura 1: Acción t · (x : y) = (tx : y) de C

en P

.

En 1965, el matemático David Mumford, motivado por la construcción de espacios de moduli, introdujo [MFK94] una solución novedosa para los grupos reductivos; la teoría geométrica de invariantes (o GIT por sus siglas en inglés). La construcción empieza eligiendo una linearización L; una inclusión X ⊂ P

para la cual la acción de G se extiende de forma lineal. La teoría provee un abierto X

( L) ⊂ X que admite un cociente X //

G en el sentido categórico que parametriza las órbitas cerradas. Más aún, en un abierto X

( L) ⊂ X

( L) más chico, dicho cociente es el espacio de órbitas.

1

Ver A.3.1 para un enunciado preciso.

vii

Aunque X //

G no es un cociente de X si no de X

( L), es intrínseco a X en el sentido de que los conjuntos X

( L) son los abiertos maximales de X que admiten cocientes

“buenos”, bajo ciertas hipótesis [MFK94, converse 1.13].

Como aplicación de esta nueva teoría, Mumford construyó los espacios de moduli M

de curvas suaves de género g ≥ 2 y los de las variedades abelianas polarizadas principalmente, realizándolas como el conjunto X

( L) para ciertas elecciones adecua- das. En el primer caso, la acción es la natural de PGL

( C) en el

esquema de curvas en P

incluidas n-canónicamente, para n  0. Años más tarde, David Gieseker [Gie82] y Mumford [Mum77] probaron que las curvas Deligne–Mumford semi- estables coinciden con X

( L) para n aún más grande, dando una construcción GIT de la compactificación M

.

Por otro lado, en 1982, Shigefumi Mori [Mor82] dio esperanzas a una generalización de la clasificación de Enriques a dimensión tres y superior, posteriormente llamada programa del modelo minimal o teoría de Mori. En su forma más gruesa, la clasificación de las superficies suaves, ideada por la escuela italiana del 1900, le asocia a cada una un modelo a través de operaciones simples. Si S es una superficie proyectiva suave, hay tres posibles opciones: o bien S tiene curvatura no positiva en el sentido que

C · K

= − 1 2πi

Z

C

Θ(Ω

) ≥ 0

para toda curva suave C ⊂ S, donde Θ(Ω

) es la 2-forma de curvatura del fibrado canónico

; o bien existe C ' P

con C · K

= −1 y un morfismo f : S → S

a otra superficie suave que solo contrae a C; o S es un fibrado proyectivo sobre una curva suave.

En general, para una variedad normal X, se dice que su divisor canónico K

es nef si C · K

≥ 0 para toda curva C ⊂ X. Mori probó que en cualquier variedad suave X donde el divisor canónico K

no es nef, existe una curva C ' P

con C · K

< 0 y un morfismo f : X → Y que solamente contrae a las curvas numéricamente equivalentes a C. Además, clasificó todas las f posibles. Para obtener una clasificación similar a la de Enriques uno quisiera simplemente iterar el resultado de Mori hasta que o bien K

sea nef o bien dim Y < dim X. Pero, resulta que hay que permitir ciertas singularidades e introducir una nueva operación llamada flip para evitar que las mismas se vuelvan demasiado malas al punto de que − · K

no tenga sentido. En pocas palabras

, un flip es una cirugía que extrae una subvariedad “negativa”, de codimensión al menos dos, y la cambia por una “positiva”, también con codimensión al menos dos. En 1988 [Mor88]

el programa fue concluido exitosamente en dimensión tres.

Fue observado por Miles Reid [Rei92] que todo flip localmente puede ser realizado como un morfismo entre cocientes GIT para dos linearizaciones de una misma acción

2

En realidad hay dos opciones naturales, como subesquema del esquema de Hilbert o del de Chow.

3

Una definición algebraica de − · K

se puede encontrar en 3.1 y la definición de K

en A.1.

4

Para una definición precisa ver A.3.5.

de C

. Recíprocamente, Michael Thaddeus probó que, bajo ciertas condiciones, los distintos cocientes GIT de una variedad se relacionan por una secuencia de flips.

En la década de los noventa, la variación de los cocientes GIT en una acción fija fue estudiada, motivada principalmente por sus potenciales aplicaciones al estudio de la geometría de los cocientes y, en particular, a la de algunos espacios de moduli. Mi- chael Brion y Claudio Procesi [BP90], e independientemente Yi Hu en su tesis doctoral [Hu92], analizaron el caso tórico, pero con la inmersión subyacente X ⊂ P

fijada.

El caso general fue descrito por Igor Dolgachev e Yi Hu [DH98] y Michael Thaddeus [Tha96] independientemente. Hay una descomposición del espacio de linearizaciones, llamada descomposición GIT, en finitos conos racionales y poliedrales que parametri- zan los posibles abiertos X

( L). En particular, hay solamente finitos cocientes X //

G posibles al variar L. Además, bajo hipótesis de suavidad, cualesquiera dos de los co- cientes dados por cámaras, i.e. conos de interior no vacío, en esta composición están relacionados por una secuencia de operaciones muy particulares que recuerdan a un flip.

Más explícitamente, estas operaciones son diagramas X //

+

G

f⁺

&& // X //

G

f⁻

xx

X //

0

G

tales que f

y f

tienen como fibras a cocientes finitos de espacios proyectivos con pesos. Más aún, f

y f

satisfacen cierta trivialidad local en la topología étale.

En el año 2000, Hu y Keel [HK00] mostraron que la observación de Reid y Thad- deus es en cierto sentido fundamental. Una generalización natural de los flips son las modificaciones pequeñas Q-factoriales, o SQM por sus siglas en inglés. Las mismas son transformaciones birracionales f : X 99K Y que son isomorfismos salvo por cerrados de codimensión al menos dos, más cierta condición en las singularidades. Cualquier compo- sición de SQM y morfismos con fibras conexas puede ser codificado en un cono en cierto espacio vectorial asociado a X, el espacio de Nerón-Severi. Estos conos conforman la descomposición de Mori y son la descomposición “dual” a la que nos referimos al princi- pio de la introducción. Hu y Keel probaron que, bajo ciertas hipótesis, las cámaras GIT en una variedad proyectiva X coinciden con las cámaras de Mori en el cociente X //

G.

Recíprocamente, si en una variedad X la descomposición de Mori es “buena”

, existe una linearización en las condiciones del resultado anterior que da como cociente a X.

Estas últimas variedades son los espacios de los sueños de Mori, o espacios de Mori para acortar. Además, Hu y Keel mostraron que todos los teoremas y conjeturas usuales de la teoría de Mori valen para estos espacios y que todas las posibles composiciones de SQM con morfismos de fibras conexas coinciden con los posibles resultados de todas las posibles formas de correr el programa del (log) modelo minimal.

5

Ver 3.3.3 para el significado de buena.

El objetivo principal de esta tesis fue entender la conexión anterior y cada una de sus partes. Cabe destacar que hay muchas cosas importantes e interesantes que dejamos de lado ya sea por una cuestión de tiempo, longitud u otros motivos. Por ejemplo, en el texto no hablamos sobre espacios de moduli o reducciones simplécticas. También hay temas que no están desarrollados completamente o en medida positiva. Al lector interesado le recomendamos explorar la literatura y, en particular, las referencias que citamos. A continuación, resumimos los contenidos de cada capítulo.

El primer capítulo está destinado a introducir la teoría geométrica de invariantes, así como algunas herramientas que necesitaremos más adelante. La primera sección introduce las nociones básicas de invariantes y algunas formas de computarlos a través de ejemplos explícitos. Las siguientes dos secciones están destinadas a las construcciones de los cocientes y a la estabilidad. Culminando en la cuarta sección con el criterio numérico de Hilbert–Mumford. La quinta sección enfoca el problema de existencia de linearizaciones. En las mismas seguimos manteniendo el enfoque en los ejemplos más que en las demostraciones, aunque eventualmente presentamos algunas ideas. La última sección estudia los fibrados de línea en los cocientes y, en particular, la Q-factorialidad de los mismos. Para este capítulo las referencias esenciales son [Muk03], [MFK94] y [Bri18]. Referencias adicionales se pueden encontrar en el texto.

En el segundo capítulo estudiamos la variación de los cocientes GIT en una varie- dad proyectiva fija. El análisis está basado en [DH98]. Las secciones 2 y 4 presentan herramientas fundamentales para el mismo; la descomposición de A. Bialynicki-Birula [Bia73] y a parte de los trabajos de G. Kempf, L. Ness, W. Hesselink y F. Kirwan en el estudio de los puntos inestables ([Kem78], [Nes84], [Hes79], [Kir84]). En la tercera sec- ción demostramos que hay una descomposición en finitos conos racionales y poliedrales de un espacio vectorial de dimensión finita que parametrizan los cocientes GIT. En la misma también presentamos dos ejemplos de tales descomposiciones. En la última sección probamos el teorema de variación de Dolgachev y Hu. Damos una versión local de su argumento que recupera uno de los resultados de Thaddeus, la trivialidad local en la topología étale.

En el último capítulo, presentamos la teoría de Keel y Hu sobre espacios de Mori.

Las primeras secciones siguen [HK00]. Incluimos además algunos ejemplos y demostra-

ciones más detalladas. En particular, la sección 3 solo está destinada a la proposición

1.11 del artículo. Para darle un poco de contexto a la misma incluimos el apéndice

A que introduce brevemente el programa del modelo minimal. Al lector interesado le

recomendamos ver los libros [Bea96], [Rei97] y [KM98]. Las últimas tres secciones del

capítulo tres muestran ejemplos de espacios de Mori.

Capítulo 1

Teoría geométrica de invariantes

1.1. Invariantes

Una forma natural de distinguir objetos es a través de invariantes asociados a ellos.

Por ejemplo, uno puede distinguir transformaciones lineales a través de sus polinomios característicos o espacios topológicos vía su homología. Una pregunta que surge entonces es la describir los invariantes buenos posibles. Diferentes instancias de esta pregunta fueron estudiadas por Hilbert, Cayley, Sylvester, Jordan, Noether, Weyl, etc. En esta sección abordaremos algunos invariantes algebraicos.

Como primer ejemplo, consideremos las configuraciones de cuatro puntos distintos en P

C. Cualesquiera dos de estas configuraciones deberíamos considerarlas la misma si difieren en un automorfismo de P

C. Estos últimos forman el grupo PGL

C de trasformaciones de Möebius. La acción de una matriz

 a b c d



en la recta proyectiva

está dada por 

a b c d



· (x : y) = (ax + by : cx + dy)

donde (x : y) es un punto de P

C. Esta acción es algebraica, es decir, cumple la siguiente definición.

Definición 1.1.1. A lo largo de esta tesis, un grupo algebraico será una variedad alge- braica afín G sobre C junto con una morfismo de variedades G × G → G que hace de G un grupo en el sentido usual. Una G-variedad es una variedad X dotada de una acción de G, es decir, un morfismo ρ : G × X → X tal que

e · x = x y (gh) · x = g · (h · x)

donde g · x = ρ(g, x) y e es el neutro de G.

Continuando el ejemplo, resulta que cualesquiera tres puntos distintos de P

C son mapeados a cualesquiera otros tres por una única transformación de Möebius. Este

1

hecho nos permite transformar cualquier tupla de cuatro puntos distintos en 0 = (0 : 1), 1 = (1 : 1), (λ : 1), ∞ = (1 : 0) para algún λ ∈ C \ {0, 1}. Nos gustaría distinguir qué valores de λ nos dan la misma configuración. Una forma de hacer esto es buscar funciones racionales en C(λ) definidas en C \ {0, 1} cuyos valores sean invariantes al actuar por transformaciones de Möebius que preservan {0, 1, ∞}. Hay exactamente seis de dichas automorfismos; la inversión (x : y) 7→ (y : x), la función (x : y) 7→ (y − x : y) y sus composiciones.

Buscamos soluciones simultaneas a p(λ)

q(λ) = p(

)

q(

) y p(λ)

q(λ) = p(1 − λ)

q(1 − λ) (1.1) con p, q ∈ C[λ] coprimos. Como queremos que tengan polos a lo sumo en 0 y en 1, q debe ser de la forma cλ

(1 − λ)

. Ahora bien, como σ : λ 7→ 1 − λ permuta a 0 y a 1, se sigue que n = m. Las ecuaciones anteriores se reducen a

p(λ) = λ

p( 1

λ ) = p(1 − λ)

con n natural y p ∈ C[λ]. Afirmo que p es un polinomio en x = λ(1 − λ). En efecto, x es σ-invariante y no hay polinomios lineales fijados por σ. Para que además p satisfaga la primera igualdad, p(λ) debe tener grado 3n y sus coeficientes ser simétricos. El polinomio en x de menor grado que tiene sus coeficientes en λ simétricos es 1 − x = 1 − λ + λ

. Encontramos finalmente al invariante

j(λ) = 2

(λ

− λ + 1)

λ

(λ − 1)

.

Por construcción sabemos que j vale lo mismo en las configuraciones {0, 1, λ, ∞}

equivalentes. Pero ¿realmente las distingue? Se puede chequear a mano que efectiva- mente es cierto, ver por ejemplo [Muk03] proposición 1.27. Más adelante veremos otro motivo, 1.2.3. En conclusión, fuimos capaces de distinguir las configuraciones de cua- tro puntos en P

C salvo automorfismos vía invariantes algebraicos. En el caso general vamos a tomar el mismo procedimiento para intentar distinguir órbitas por acciones de grupos. Definamos precisamente a que nos referimos por invariante algebraico.

Definición 1.1.2. Un invariante (algebraico) para la acción de un grupo algebraico G en una variedad X es un morfismo de variedades algebraicas f : X → C que es constante en las órbitas de la acción. Denotaremos C[X]

, o R

si X = Spec R, al anillo de invariantes, donde las operaciones son las heredadas de C[X].

En el ejemplo anterior, podemos pensar los conjuntos de cuatro puntos distintos

como los ceros de un polinomio homogéneo en dos variables de grado 4 no singular. Esto

identifica dichos conjuntos con la subvariedad de P

donde no se anula el discriminante.

Bajo esta identificación, mandar los cuatro puntos en el invariante j asociado es un invariante en el sentido anterior. Ver la sección 1.3.b de [Muk03] para más detalles.

Probemos que cualquier otra invariante es un polinomio en j. Cualquier invariante esta unívocamente determinado por sus valores en los conjuntos de la forma {0, 1, λ, ∞}.

Por lo tanto, queremos probar que cualquier solución

a 1.1 es un polinomio en j. El primer punto es que son funciones racionales en j. En efecto,

[ C(λ) : C(j)] = m´ax{deg(1 − λ + λ

)

, deg λ

(1 − λ)

}

= 6 = |S

| = |hτ, σi| = [C(λ) : C(λ)

]

donde τ : λ 7→

. Sabemos que C[j] ⊂ C[C\{0, 1}]

. Para probar la igualdad, basta ver que si p y q son polinomios con deg p < deg q,

no puede estar definido en C \ {0, 1}.

Si este fuera el caso, como j tiene polos en 0 y en 1,

tendría ceros en 0 y 1 por la condición en los grados. En consecuencia, tendríamos un polinomio en λ invariante.

Pero no hay ninguno que sea invariante por τ .

Ahora consideremos la acción de O

C en M

C dada por A · M = MA

. Un ejemplo de invariante para esta acción es el determinante. En particular, GL

C es un abierto denso de M

C invariante. Esto nos permitirá calcular los invariantes en M

C a través de restringirnos a GL

C. La ventaja es que O

C es un subgrupo algebraico de GL

C y por lo tanto el cociente X = GL

C/ O

C es una variedad, ver la sección 3.7 de [OV90]. Además, cualquier morfismo invariante en GL

C desciende a X. Solo necesitamos entender a X.

Los cocientes G/H por subgrupos algebraicos pueden ser construidos de la siguiente manera. Hay que encontrar una acción de G en una variedad Y tal que H sea el estabilizador de algún punto y ∈ Y . En tal caso, G/H se puede identificar con la órbita de y la cual tiene una estructura de subvariedad. Esta construcción no depende de la acción. En nuestro ejemplo, podemos tomar M

C con la acción A · M = AMA

e y como la matriz identidad. Afirmo que la órbita de y consiste de la matrices simétricas e invertibles. Por un lado, AA

es simétrica e invertible si A lo es. Por otro lado, cualquier matriz simétrica M puede ser escrita como ADA

con A invertible y D diagonal con solo ceros y unos en sus entradas. Cuando M es invertible, debe ser D = I. Se sigue que el anillo de coordenadas de X es la localización en det(AA

) del anillo generado por las entradas de AA

. De estos invariantes los únicos que se extienden a M

C son los polinomios en los coeficientes de AA

.

Sabemos de los discutido anteriormente que los O

C-invariantes son suficientes para distinguir las órbitas en GL

C. Pero, no logran en general separar las órbitas en M

C.

Por ejemplo, en M

C las matrices 0 y

 1 i

−i 1



no se pueden distinguir con invariantes puesto que

 1 i

−i 1

  1 i

−i 1



=

 0 0 0 0



pero no existe ninguna matriz A ∈ O

C tal que A · 0 =

 1 i

−i 1

 .

En el ejemplo anterior, si bien los invariantes no fueron suficientes para distinguir todas las órbitas, si lo hicieron en un abierto denso. Eso no es lo peor que puede pasar.

Consideremos las representaciones lineales de dimensión n como álgebra de Lie de C

. Identificando el espacio ambiente con C

, interpretamos las mismas como elecciones de r matrices de n × n conmutables. Explícitamente, a una tupla M

, . . . , M

∈ M

C de matrices conmutables le asociamos la representación

(a

, . . . , a

) ∈ C

7→ a

M

+ . . . + a

M

∈ M

C

Cualesquiera dos de estas tuplas nos dan representaciones isomorfas si y solo si difieren en un cambio de base. De esta forma identificamos las representaciones de C

con las órbitas por conjugación de GL

C en la subvariedad Y de (M

C)

dada por las ecuaciones cuadráticas [M

, M

] = 0 con i, j = 1, . . . , r. Para calcular generadores de los invariantes podemos olvidarnos de la condición de conmutatividad. Esto se debe a que GL

C es un ejemplo de un grupo linealmente reductivo.

Definición 1.1.3. Un grupo algebraico G se dice linealmente reductivo si para todo morfismo sobreyectivo V → W entre representaciones lineales de dimensión finita de G, se tiene que la transformación inducida entre los invariantes V

→ W

es sobreyectiva.

Algunos ejemplos de grupos linealmente reductivos son los grupos lineales GL

C, SL

C, SO

C, los toros (C

)

= ( C \ {0})

y los grupos finitos. El resultado preciso al que hicimos alusión antes es el siguiente.

Proposición 1.1.1. Sea G un grupo algebraico actuando en una variedad X. Entonces 1. La representación lineal inducida en C[X] es localmente finita, es decir, para cual- quier f ∈ C[X] existe una subrepresentación de dimensión finita que lo contiene.

2. Si Y ⊂ X es un cerrado G-invariante y G es linealmente reductivo, el morfismo dado por restringir

C[X]

→ C[Y ]

es sobreyectivo.

Demostración. Para 1 ver [Muk03, proposición 4.6]. Probemos 2. Si f ∈ C[Y ]

, sabemos que existe ˆ f ∈ C[X] que lo levanta al ser Y un cerrado de X. Por el ítem anterior podemos tomar un subespacio ˆ f ∈ V ⊂ C[X] invariante de dimensión finita. Ahora bien, si llamamos φ : C[X] → C[Y ] a la restricción, φ| : V

→ φ(V )

es sobreyectivo al ser G linealmente reductivo. Como f = φ( ˆ f ) ∈ φ(V )

, concluimos lo deseado.

Si aplicamos este resultado a nuestro ejemplo obtenemos que el morfismo dado por restringir

C[(M

C)

]

→ C[Y ]

es sobreyectivo. En consecuencia, podemos conseguir generadores de los invariantes a través de calcularlos para la acción de GL

C en (M

C)

. En este caso Artin conjeturo que los invariantes están generados por las trazas tr(M

M

· · · M

) sobre todas las palabras i

i

· i

de r letras. En 1976, C. Procesi [Pro76] probó esta conjetura junto con otros resultados sobre los invariantes en las tuplas de matrices.

Teorema 1.1.1 (C.Procesi). Los invariantes polinomiales para la acción de GL

C por conjugación en las tuplas de r matrices de n × n están generados por

tr(M

M

· · · M

)

donde M

M

· · · M

recorre todas las palabras de largo a lo sumo 2

en r letras.

Un ingrediente importante en la demostración de este teorema es el llamado mé- todo simbólico que permite reducir el cómputo de invariantes polinomiales a lineales.

A continuación, daremos una idea del método. Referimos a [DC71] para una exposi- ción detallada. Empezamos con un G-invariante polinómico f : V → C con V una representación lineal de G. Primero que nada, la acción de G preserva los grados de los monomios y, en consecuencia, cada una de las componentes homogéneas de f es invariante. Asumimos entonces que f es homogéneo de grado d.

Sea x

, . . . , x

una base de V . Para cada z ∈ V , tenemos el operador diferencial

∂

= z

∂

+ . . . + z

∂

donde escribimos z = z

x

+ . . . + z

x

. Tenemos una función ∂

f : V

→ C. La fórmula de Euler afirma que ∂

f (x) = rf (x). Por lo tanto, siempre que trabajemos en característica cero, podemos recuperar a f a través de ∂

f . Uno puede ir más lejos y considerar P f : V

→ C definido por

P f (z

, . . . , z

, x) = ∂

· · · ∂

f (x),

la llamada polarización total de f . Notar que P f es contante respecto a x. Así que solamente lo consideraremos como una función P f : V

→ C. Además, P f es multilineal y P f (x, . . . , x) = r!f (x). Afirmo que P f es invariante. Más aún, cualquier derivada es invariante. En efecto, podemos escribir por Taylor

f (λ

z

+ . . . + λ

z

) = X

α

c

λ

∂

f (z

, . . . , z

)

donde α recorre los multi-índices. Si g ∈ G, tenemos por invariancia de f que X

α

c

λ

∂

f (z

, . . . , z

) = X

α

c

λ

∂

f (g · z

, . . . , g · z

)

para todo λ ∈ C

. Ahora bien, si dos polinomios con coeficientes C coinciden, sus

coeficientes deben coincidir. En particular, P f = ∂

f (z

, . . . , z

) es invariante.

Concluimos que el problema de calcular invariantes polinomiales se reduce a calcular los multilineales. A su vez, considerando los productos tensoriales V

, es inmediato reducir este último a calcular los invariantes lineales en V

para todo n > 0. En el resultado de Procesi, uno puede ir aún más lejos. Si pensamos M

C como V ⊗ V

para un espacio vectorial de dimensión n, un invariante lineal en (V ⊗ V

)

es un elemento de V

⊗ (V

)

= (End V

)

. Es un resultado clásico que los endomorfismos lineales V

→ V

invariantes bajo la acción diagonal de GL(V ) son combinaciones lineales de aquellos que permutan las variables.

En nuestro ejemplo tenemos que imponer además la condición de conmutatividad.

Obtenemos que las trazas de los monomios de grado a lo sumo 2

generan los invariantes.

Siguiendo el estudio de los invariantes multilineales se puede probar, ver [Pro15], una descripción más concreta; la restricción de los invariantes a las matrices diagonales

C[Y ]

→ C[(C

)

]

es un isomorfismo. Moralmente esto nos dice que los invariantes solo logran distinguir a las tuplas de matrices diagonalizables simultáneamente; a todas las otras componentes irreducibles de Y no las "detectan". Más adelante formalizaremos esta observación, por ahora solo veamos que pasa para r = 1. En este caso Y = M

C y la forma de Jordan nos da un representante distinguido de cada órbita. El punto es que si la forma no es diagonal en la clausura de su órbita hay una que si lo es. Por ejemplo,

 t 0 0 1



·

 λ 1 0 λ



−−→

 λ 0 0 λ



En consecuencia, todo invariante vale lo mismo en la forma de Jordan no diagonal que en la diagonal asociada puesto que los invariantes son constantes en las órbitas y por lo tanto en sus clausuras.

Un punto en común que tienen los ejemplos anteriores es que el anillo de invariantes es finitamente generado. Una instancia del problema 14 de Hilbert es determinar si es siempre el caso. En general esto es falso dado a unos contraejemplos de Popov [Pop79]

basados en trabajo previo de Nagata. Resulta que esta propiedad solo la cumplen los grupos reductivos. Hilbert mismo lo había probado con anterioridad para acciones li- neales de SL

C. Su argumento se extiende a cualquier acción de grupo linealmente reductivo en una variedad afín.

Lema 1.1.1. Sea X una variedad afín dotada de una acción de un grupo algebraico G.

Entonces existe una inclusión cerrada X → A

para la cual la acción de G se extiende a una lineal en A

.

Demostración. Ver [Muk03, lema 4.52]. Dado un sistema de generados de C[X], por la

proposición 1.1.1, existe un subespacio invariante V ⊂ C[X] de dimensión finita que

los contiene. Obtenemos un morfismo equivariante sobreyectivo SV → C[X], donde

SV es el álgebra simétrica sobre V . El morfismo inducido X → V

nos da la inclusión buscada.

Teorema 1.1.2 (Hilbert). Sea G linealmente reductivo y X una variedad afín donde G actúa. Entonces el anillo de invariantes C[X]

es finitamente generado.

Demostración. Debido al lema anterior y a 1.1.1, podemos reducirnos al caso de una acción lineal de G en A

. En este caso, C[X] = C[x

, . . . , x

] y G actúa preservando el grado. Consideremos al ideal I generado en R = C[x

, . . . , x

] por los polinomios homogéneos invariantes no constantes. Podemos tomar finitos generadores homogéneos invariantes f

, . . . , f

de I al ser R noetheriano.

La aplicación R L

· · · L

R → I, (a

, . . . , a

) 7→ P

a

f

, es un morfismo sobre- yectivo de G-representaciones lineales. Por lo tanto, el inducido en los invariantes R

L

· · · L

R

→ I

es sobreyectivo.

Si h ∈ R

es homogéneo, lo podemos escribir como h = P

h

f

con h

invariante homogéneo de grado deg h − deg f

< deg h. Inductivamente se concluye que los f

generan como álgebra a R

.

Cabe destacar que la demostración anterior permite idear algoritmos para calcular los invariantes, ver por ejemplo [DK15]. Igualmente, en general estos algoritmos tienen complejidad doble exponencial. Finalizamos la sección enunciando varias maneras dis- tintas de caracterizar los grupos linealmente reductivos. Las demostraciones pueden ser encontradas en [OV90] secciones 4.1.1, 5.2.5 y 5.2.6, por ejemplo.

Teorema 1.1.3. Sea G un grupo algebraico afín sobre los complejos. Son equivalentes:

1. G es linealmente reductivo,

2. cualquier subrepresentación de una representación lineal de dimensión finita ad- mite un complemento,

3. G es isógeno (es un cociente finito de) a un producto semidirecto de un toro por un grupo semisimple,

4. el radical de G es un toro,

5. G es reductivo, es decir, para alguna (cualquiera) inclusión G ⊂ GL

C la forma bilineal tr(XY) en M

C es no degenerada en el álgebra tangente g de G,

6. su álgebra de Lie g es de la forma z L

s con z diagonalizable y s semisimple, 7. G admite una forma compacta real.

1.2. Construcción de cocientes: caso afín

En vista del teorema de Hilbert, a una G-variedad afín X = Spec R con G reductivo

uno puede asociarle la variedad X // G = Spec R

, el cociente GIT de X por G. La

inclusión R

⊂ R induce un morfismo π : X → X // G y, por definición, todo invariante X → C se factoriza por π. Mumford probó que esto es cierto para cualquier morfismo X → Y a alguna variedad Y que es invariante bajo la acción de G.

Teorema 1.2.1. Sea G un grupo reductivo y X una G-variedad afín. Entonces el cociente GIT X // G es un cociente categórico; si Y es una variedad y f : X → Y es un morfismo G-invariante, existe un único morfismo g : X // G → Y tal que f = g ◦ π.

Para probar el teorema necesitamos el siguiente resultado que nos dice, en particular, que el cociente GIT es un cociente en el sentido topológico. La demostración se puede encontrar en [Muk03, sección 5.1.b] y [MFK94, teorema 1.1].

Teorema 1.2.2. Sea G un grupo reductivo y X una G-variedad afín. Entonces 1. La proyección natural π : X → X // G es sobreyectiva.

2. si Z ⊂ X es un cerrado G-invariante, hay una inclusión cerrada Z // G → X // G natural cuya imagen es π(Z). En particular, π(Z) es un cerrado de X // G.

3. si {Z

}

es una familia de cerrados G-invariantes de X, π( T

j∈J

Z

) = T

j∈J

π(Z

).

Demostración del teorema 1.2.1. Sea V

un cubrimiento por abiertos afines de Y . Como f es invariante, Z

= X \ f

(V

) es un cerrado invariante de X. En consecuencia, por el resultado anterior, U

= X // G \ π(Z

) son abiertos con π

(U

) = f

(V

). Además, estos abiertos cubren a X // G.

Sea W ⊂ U

un abierto de la forma {h 6= 0} para h ∈ R

, donde R = C[X]. Afirmo que existe un único g : W → V

que factorice a f : π

(W ) → V

. Equivalentemente, f

: H

(V

) → H

(π

(W )) se factoriza por H

(W ) ⊂ H

(π

(W )). Ahora bien, dado que f es invariante, f

tiene imagen en

H

(π

(W ))

= (R[ 1

h ])

= R

[ 1

h ] = H

(W )

donde usamos que h es invariante. La unicidad nos permite pegar los g y probar el teorema.

Considerando los resultados anteriores, es natural preguntarse si el cociente GIT es el espacio de órbitas. Consideremos la acción de C

en A

dada por t ·(x, y) = (tx, t

y).

Las funciones invariantes son los polinomios en xy. Tenemos que A

// C

= A

. Los

conjuntos xy = a con a 6= 0 son efectivamente órbitas. Pero xy = 0 es la unión de

tres órbitas distintas; {y = 0, x 6= 0}, {x = 0, y 6= 0} y {(0, 0)}. Ver la figura 1.1. El

problema está en que si un morfismo es constante en G · x, entonces necesariamente

también es constante en G · x. Esto nos impide separar las tres órbitas anteriores. En

general, este es el único impedimento.

π 0

 



x = 0, y 6= 0 x = 0, y = 0 x 6= 0, y = 0 a 6= 0

X = Spec C[x, y] X // G = Spec C[xy]

Figura 1.1: Cociente de la acción (tx, t

y) en A

de C

.

Teorema 1.2.3 (Nagata–Mumford). Sean x e y dos puntos de Spec R. Existe un in- variante f ∈ R

con f (x) 6= f(y) si y solamente si G · x ∩ G · y = ∅.

Demostración. Notar que dos puntos x e y son separados por invariantes si y solo si π(x) y π(y) son puntos distintos de X // G. Ahora bien

π(G · x ∩ G · y) = π(G · x) ∩ π(G · y) = π(x) ∩ π(y) por el teorema 1.2.2.

Retomemos el ejemplo de las configuraciones de cuatro puntos en la recta proyectiva.

Habíamos probado que los invariantes eran polinomios en j. En particular, el cociente GIT es la recta afín. Además, todas las órbitas por la acción de S

en λ son cerradas al ser finitas. Por lo tanto, el teorema anterior nos asegura que j distingue todas las órbitas.

Si bien el cociente GIT no parametriza en general las órbitas de la acción de G, es una consecuencia de Nagata–Mumford que sí parametriza las órbitas cerradas. Para las demostraciones ver los corolarios 5.4 y 5.5 de [Muk03].

Corolario 1.2.1. Sea G un grupo reductivo actuando en una variedad afín X. Para cada x ∈ X, existe una única órbita cerrada de G en G · x.

Corolario 1.2.2. Sea G un grupo reductivo y X una G-variedad afín. Entonces la proyección natural X → X // G parametriza las órbitas cerradas de G en X, es decir, la aplicación Z 7→ π(Z) induce una biyección entre las órbitas cerradas de G en X y los puntos de X // G.

Este corolario sugiere que si nos restringimos a los puntos con órbitas cerradas

obtendremos el espacio de órbitas. El problema es que dicho conjunto puede ser muy

complicado. Para solucionar esto se pide además que los estabilizadores sean finitos.

Definición 1.2.1. Sea G un grupo reductivo actuando en una variedad afín X. Un punto x ∈ X se dice estable si tienen órbita cerrada y estabilizador finito. Al conjunto de puntos estables lo denotamos X

.

Teorema 1.2.4. Sea G un grupo reductivo y X una G-variedad afín. Entonces X

es un abierto de X y π(X

) ⊂ X // G es un abierto que parametriza las órbitas de G en X

, donde π es el cociente GIT.

Cabe destacar que el conjunto de puntos estables puede ser vacío. Por ejemplo, en la acción t ·(x, y) = (tx, ty) de C

en A

, el único punto de órbita cerrada es el origen, pero no tiene estabilizador finito. En caso de que existan puntos estables, se obtienen más propiedades buenas. Las demostraciones del resultado anterior y del siguiente pueden encontrarse en [Muk03], ver las proposiciones 5.15 y 6.2.

Teorema 1.2.5. Sea G un grupo reductivo y X una G-variedad afín. Supongamos que la acción de G admite un punto estable en X. Entonces C(X)

es el cuerpo de funciones racionales en X // G y la dimensión de X // G es dim X − dim G.

Calculemos la estabilidad en un ejemplo. Sea X = A

la variedad de polinomios f ∈ C[x, y] homogéneos de grado 4 (incluyendo al polinomio nulo). En este espacio actúa SL

C vía por (g · f)(x) = f(g

x). Cabe destacar que esta acción concuerda salvo proyectivizar con la acción natural de SL

C en las tuplas de 4 puntos en P

. Sea U = {f sin raíces múltiples} ⊂ X. Afirmo que si f 6∈ U, no es estable. Recordemos que la acción de los automorfismos en P

es transitiva en las tuplas de tres puntos. Por lo tanto, si f 6∈ U, en su órbita esta alguno de los polinomios aX

(X + Y )Y , aX

Y , aX

Y

o aX

con a ∈ C. Los últimos dos tienen estabilizadores infinitos. Mientras que aX

(X + Y )Y y aX

Y no tiene órbita cerrada. En efecto,

 t

0 0 t



· aX

(X + Y )Y = aX

(t

X + Y )Y → aX

Y

y 

t

0 0 t



· aX

Y = at

X

Y → 0

cuando t → 0. Probamos que X

⊂ U. Para probar que los puntos de U son estables, usaremos el siguiente criterio.

Proposición 1.2.1. Sea G un grupo reductivo y X una G-variedad afín. Sean h

, . . . , h

invariantes en X e Y = X \Z(h

, . . . , h

). Supongamos que todos los puntos de Y tienen estabilizador finito. Entonces Y ⊂ X

.

Demostración. Hay que probar que los puntos de Y tienen órbita cerrada. Fijemos

y ∈ Y y sea x ∈ G · y un punto de órbita cerrada. Sabemos que x 6∈ Z(h

, . . . , h

)

dado que h

(y) 6= 0 para algún j y los h

son invariantes. En consecuencia, x ∈ Y tiene estabilizador finito. Ahora bien,

dim G

= dim G − dim G · x ≥ dim G − dim G · y = dim G

≥ 0

dado que G · x ⊂ G · y. Debe darse la igualdad en las dimensiones de las órbitas de x e y y por lo tanto G · x = G · y dados que ambos son cerrados irreducibles. Se sigue que la órbita de y es cerrada.

Continuemos el ejemplo. Sabemos que todos los puntos de U tienen estabilizador finito dado que el único automorfismo de P

que fija tres puntos es la identidad y PGL

C = SL

C/{±1}. Para concluir que los puntos de U son estables, basta probar que U está dado por la no anulación de algunos invariantes. De hecho, U = {∆ 6= 0}

para cierto invariante ∆, el discriminante. Para probar esta afirmación, consideremos Z = {(p, f) ∈ P

× X : p es un punto singular de f}

Por definición, la proyección Z → X tiene como imagen al complemento de U. Pero, además, este morfismo tiene fibras finitas. Se sigue que dim X \ U = dim Z. Por otro lado, las fibras de la proyección a P

son A

. En efecto, actuando por un automorfismo podemos suponer que p = 0 y en tal caso la fibra es el subespacio generado por X

, X

Y y X

Y

. Concluimos que dim X \ U = dim A

+ dim P

= 4. Esto nos dice que X \ U es una hipersuperficie en A

y, por lo tanto, está dada por la anulación de un polinomio libre de cuadrados ∆. Para cada g ∈ SL

C, g · ∆ se anula en X \ U y como el ideal generado por ∆ es radical, debe ser p

· g · ∆ = ∆

para algún polinomio p

y algún n > 0. Pero SL

C actúa preservando los grados. Debe ser p

= λ(g) ∈ C y n = 0.

Ahora bien, los valores λ(g) nos dan un carácter λ : SL

C → C

y por lo tanto λ es trivial al ser SL

C semisimple. Concluimos que ∆ es invariante y que U = X

.

Explícitamente, el discriminante está dado por

∆(f ) = c

Y

i6=j

(a

− a

)

si f (X, Y ) = c(X +a

Y )(X +a

Y )(X +a

Y )(X +a

Y ). Notar que ∆ es un polinomio en los coeficientes de f al ser un polinomio simétrico en sus raíces. De hecho, ∆ = g

−27g

con

g

(f ) = a

a

− 4a

a

+ 3a

y

g

(f ) = a

a

a

− a

a

− a

a

+ 2a

a

a

− a

escribiendo f (X, Y ) = a

X

+ 4a

X

Y + 6a

X

Y

+ 4a

XY

+ a

Y

. Resulta que g

y g

son invariantes algebraicamente independientes que generan el anillo de invariantes.

Un punto clave es que calcular la serie de Hilbert de los invariantes para una acción

lineal en un espacio afín no es imposible.

Teorema 1.2.6 ([DK15, corolario 4.6.9]). Sea G un grupo reductivo y T ⊂ G un toro maximal con álgebra tangente t. Fijemos un isomorfismo (z

, . . . , z

) ∈ C

7→ z ∈ t.

Supongamos que V es una representación lineal de dimensión finita de G. Sea R

= {f ∈ C[V ]

homogéneo de grado n }

para n ≥ 0. Entonces la serie de Hilbert P

dim R

t

es el coeficiente que acompaña a z

· · · z

en la serie

Q

α∈Φ⁺

(1 − z

)

(1 − m

(z)t)(1 − m

(z)t) · · · (1 − m

(z)t)

donde m

, m

, . . ., m

son los pesos de la acción de T en V y Φ

es un conjunto de raíces positivas de G en T .

Para la acción discutida antes podemos tomar como toro maximal T a las matrices diagonales. Tenemos un isomorfismo C

' T dado por z 7→ diag(z, z

). Para el Borel de las matrices triangulares inferiores, hay una sola raíz positiva y es la z 7→ −2z con autovector e

. La acción de T en X tiene como a autovectores a los monomios x

, x

y, x

y

, xy

y y

. Reemplazando obtenemos que

Q

α∈Φ⁺

(1 − z

)

(1 − m

(z)t) · · · (1 − m

(z)t) = 1 − z

(1 − z

t)(1 − z

t)(1 − t)(1 − z

t)(1 − z

t)

= (1 − z

)

X

z

t

El término constante respecto a z es X

4n1+2n2=2n4+4n5

t

− X

2+4n1+2n2=2n4+4n5

t

= X

n=0

t

X

#

 n

+ n

+ n

+ n

= k, 4n

+ 2n

= 2n

+ 4n



− #

 n

+ n

+ n

+ n

= k, 2 + 4n

+ 2n

= 2n

+ 4n



Considerando la biyección parcial (n

, n

, n

, n

, n

) 7→ (n

, n

+ 1, n

, n

, n

− 1) entre los conjuntos de arriba, se reduce a

X

t

X

#

 n

+ n

+ n

= k, 4n

+ 2n

= 2n



− #

 n

+ n

+ n

= k, 2 + 4n

= 2n

+ 4n



= X

t

X

k=0

# {3n

+ 2n

= k } − #{3n

+ 4n

= 2k + 1 }

= X

t

X

# {3n

+ 2n

= k } − #{3n

+ 2n

= k − 1}

= X

t

# {3n

+ 2n

= n }

= X

X

t

Concluimos que la serie de Hilbert es 1

(1 − t

)(1 − t

) . Lo que sugiere que hay dos gene- radores algebraicamente independientes de grado 2 y 3 respectivamente. Efectivamente estos son g

y g

. Ver [Muk03] sección 1.3.b. La siguiente figura resume lo discutido.

g

(f ) g

(f )

∆ = g

− 27g

= 0

 x

y

−x

(x + y)(x − y)

 x

y x

A

= Spec C[g

, g

]

xy(x + y)(x − y)

1.3. Construcción de cocientes: caso proyectivo

Sabiendo construir cocientes para variedades afines, uno podría querer construir co- cientes en general pegando los cocientes de un cubrimiento afín invariante. Esta estrate- gia tiene dos problemas esenciales. El primero es que puede no existir dicho cubrimiento y el segundo es que el cociente GIT no es compatible con todas las inmersiones abiertas.

Por ejemplo, consideremos la acción usual de C

en A

dada por t · (x, y) = (tx, ty).

El cociente A

// C

es un punto dado que no hay invariantes no constantes. Por otro lado, los abiertos los abiertos afines U

= {x 6= 0} y U

= {y 6= 0} son invariantes y en ambos casos el cociente es A

= Spec C[

] = Spec C[

].

Proposición 1.3.1. Sea G un grupo reductivo y X una G-variedad afín. Sean h

, . . . , h

invariantes en X y U el abierto afín X \ Z(h

, . . . , h

). Entonces C[U]

= C[X]

.

En particular, hay una inmersión abierta natural U // G → X // G.

Demostración. Es un caso especial de (1) en la página 28 de [MFK94], en la demostra- ción del teorema 1.1. La demostración está al final de dicha página.

Este resultado nos permite construir cocientes de la siguiente forma. Consideremos una acción lineal de un grupo reductivo G en P(V ), es decir, la proyectivización de una representación lineal en V . Para cada polinomio homogéneo de grado positivo e invariante F ∈ S(V ), el abierto U

= {F (x) 6= 0} es afín e invariante. Por lo tanto, tiene sentido considerar el cociente U

//G. Además, si H es otro tal polinomio, tenemos que U

∩ U

= U

\ Z(

). En consecuencia, podemos pegar los cocientes U

// G al recorrer F los elementos homogéneos de S(V )

no constantes. Notemos que

C[X

// G] = (S(V )

)

= (S(V )

)

al ser F invariante. Se sigue que el pegado anterior es la construcción de Proj S(V )

usual. Más aún, si P(V )

= ∪

U

, tenemos un morfismo π : P(V )

→ Proj S(V )

que localmente es un cociente GIT afín. En particular, π es un cociente categórico, es sobreyectivo y puede probarse que parametriza las órbitas cerradas de G en P(V )

. En general hacemos las siguientes definiciones.

Definición 1.3.1. Sea π : L → X un fibrado de línea sobre una G-variedad X. Una G-linearización de L es una acción de G en L par la cual π resulta equivariante y los morfismo inducidos L

→ L

son lineales para cada x ∈ X y g ∈ G.

Notar que una linearización en L induce una acción lineal de G en H

(X, L), donde L es el haz de secciones asociado a L. Si L es muy amplio esto nos da una extensión de la acción de G en X a una lineal en PH

(X, L)

. Recíprocamente, tal extensión induce una linearización en L dado que en tal caso O(1) se lineariza naturalmente, si X es proyectiva, ver [MFK94] teorema 1.7. Por último, notar que si L

y L

están linerizados, tenemos naturalmente una linearización en L

⊗ L

. Además, para dicha linearización, la multiplicación

H

(X, L

) ⊗ H

(X, L

) → H

(X, L

⊗ L

)

conmuta con la acción de G. En particular, el anillo de secciones globales de una linea- rización L

R( L) = M

n∈N

H

(X, L

)

obtiene una acción de G compatible con la estructura de anillo graduado. Para más detalles en linearizaciones ver la sección 1.5 de esta tesis o la sección 1.3 de [MFK94].

Definición 1.3.2. Sea X una G-variedad y L una G-linearización. Supongamos que el fibrado L es amplio. Definimos el cociente GIT de X en la dirección de L como

X //

G = Proj R( L)

= Proj M

n∈N

H

(X, L

)

donde R( L) es el anillo de secciones globales de L.

Al igual que para P(V ), para obtener un cociente deberíamos restringirnos a ciertos puntos. Un punto x ∈ X se dice semiestable respecto a L si existe f ∈ R(L)

homo- géneo no constante tal que f (x) 6= 0. Denotamos con X

( L) al conjunto de puntos semiestables. Notar que X

( L) es un abierto de X.

Teorema 1.3.1. Sean G un grupo reductivo y X una G-variedad proyectiva. Si L es una linearización amplia en X, el cociente X //

G es una variedad proyectiva y hay un morfismo natural π

: X

( L) → X //

G que localmente es un cociente GIT afín. Más precisamente, si L

es muy amplio, π

es el pegado de los cocientes X

→ X

// G donde f recorre los elementos homogéneos no constantes de R( L

) y X

= {f 6= 0}.

Demostración. Ver el teorema 1.10 de [MFK94]. Sin pérdida de la generalidad podemos asumir que L es muy amplio. Notar que X

es afín al ser X proyectiva y L muy amplio.

La proposición 1.3.1 nos permite pegar los morfismos X

→ X

// G. Más aún, nos dice que el pegado es π

. Es claro que el anillo L

n∈N

H

(X, L

) no tiene elementos nilpotentes. Luego, X //

G es reducida. Además, por el teorema de Hilbert, al ser L amplio, también es de tipo finito. Finalmente, es proyectiva sobre H

(X, L

) = C

, con r la cantidad de componentes conexas de X. En consecuencia, X //

G es proyectivo sobre C.

Corolario 1.3.1. Sean G un grupo reductivo y X una G-variedad proyectiva. Si L es una linearización amplia en X, π

es un cociente categórico de X

( L) por G y parametriza las órbitas cerradas en X

( L) de G.

Demostración. Ver el teorema 1.10 de [MFK94]. La primer afirmación es consecuencia del resultado anterior y del análogo para el cociente afín. Para la segunda, notar que dos puntos x, y son identificados por π

si y solo si hay un invariante f con x, y ∈ X

y las imágenes de x, y en X

// G coinciden. En consecuencia, la afirmación se reduce al corolario 1.2.2.

Como primer ejemplo consideremos los espacios proyectivos con pesos. Tomemos una acción de C

en A

de la forma

t · x = (t

x

, t

x

, · · · , t

x

)

para enteros a

, . . . , a

mayores que 1. Esta acción es una linearización L de O

(1) si consideramos en P

la acción t · x = (x

: t

x

: · · · : t

x

). Un monomio x

· · · x

de grado d es invariante si y solo si (a

− 1)d

+ · · · + (a

− 1)d

= d

. Además, un polinomio f pertenece a C[x

, . . . , x

]

si y solamente si es una suma de monomios invariantes. Se sigue que el anillo R( L)

es isomorfo a C[x

, . . . , x

] con la graduación dada por deg x

· · · x

= a

d

+ . . . + a

d

. En consecuencia,

P

//

C

= P(a

, . . . , a

)

es el espacio proyectivo con pesos a

, . . . , a

. Más aún, recuperamos la construcción usual de estos espacios. En efecto, los puntos semiestables son aquellos que tienen x

6= 0 y al menos otra coordenada no nula. Tenemos un isomorfismo A

\ {0} ' (P

)

( L) dado por x 7→ (1 : x). Bajo este isomorfismo la acción de C

está dada por

t · x = (t

x

, · · · , t

x

)

y un invariante homogéneo de grado d se corresponde con un polinomio homogéneo de grado pesado d. Por último, notar que todas las órbitas son cerradas en ( P

)

( L) y, por lo tanto, el cociente es el espacio de órbitas.

Una construcción similar se puede hacer para los fibrados proyectivos sobre P

, ver [Rei97]. Consideremos la acción de ( C

)

en P

linearizada en O

(1) por

(s, 1) · (x

, x

, x

, y

, . . . , y

) = (s

x

, sx

, sx

, s

y

, . . . , s

y

) (1, t) · (x

, x

, x

, y

, . . . , y

) = (t

x

, t

x

, t

x

, t

y

, . . . , t

y

)

para ciertos enteros positivos a

, . . . , a

y S = a

+. . .+a

. Un monomio x

x

x

y

· · · y

es invariante si y solo si

ω = a + b − (2a

+ 1)d

− . . . − (2a

+ 1)d

= (2S + 1)(d

+ . . . + d

) − a − b y un polinomio es invariante siempre y cuando sea suma de monomios invariantes. Se sigue que un punto es semiestable si y solo si x

6= 0, o bien x

o bien x

no es cero y alguno de los y

tampoco es cero. Tenemos un isomorfismo

A

\ {0} × A

\ {0} ' (P

)

( L),

donde L es la linearización que estamos considerando. La proyección de las primeras dos coordenadas en A

\{0}×A

\{0} a P

es invariante y, por lo tanto, induce un morfismo π : P

//

( C

)

→ P

. Afirmo que esto le da estructura de P

-fibrado sobre P

al cociente. Sobre el abierto U

= {x

6= 0} ⊂ P

tenemos el morfismo equivariante

φ : ˆ {x

6= 0} × A

\ {0} → U

× P

(x

, x

, y

, . . . , y

) 7→ ((x

: x

), (x

y

: · · · : x

y

))

Como además {x

6= 0} × A

\ {0} se cubre con los abiertos {x

x

y

6= 0} para 1 ≤ j ≤ n, el morfismo anterior define un morfismo φ : π

(U

) → U

× P

sobre U

. Ahora bien, ˆ φ es sobreyectivo y distingue todas las órbitas. Por lo tanto, φ es biyectiva.

Como además U

× P

es normal, φ es un isomorfismo. Análogamente se prueba que π es un P

-fibrado trivial sobre U

= {x

6= 0}. Notar que el morfismo de transición de las trivializaciones que dimos es

((x

: x

), (y

, . . . , y

)) 7→



(x

: x

) ,

 x

x



y

: · · · :

 x

x



y