Trabajo de Fin de Grado

An´ alisis y dise˜ no de controladores hister´ eticos con

prealimentaci´ on paralela para el control directo de la tensi´ on de salida en convertidores CC-CC reductores

Andr´ es Cervantes Pons Director: Robert Gri˜ n´ o

Departamento de Ingenier´ıa de Sistemas, Autom´ atica e Inform´ atica Industrial

14 de septiembre de 2020

´ Indice

1. Introducci´ on 5

1.1. Objetivos del proyecto . . . . 5

1.2. Alcance del proyecto . . . . 5

1.3. Estructura del proyecto . . . . 5

2. Fundamentos te´ oricos 6 2.1. Introducci´ on . . . . 6

2.2. Sistemas de retroalimentaci´ on mediante rel´ e . . . . 6

2.3. Locus of a Perturbed Relay System (LPRS) . . . . 8

2.3.1. Procedimiento para la obtenci´ on de la velocidad de oscilaci´ on propia y la ganancia equivalente . . . . 10

2.3.2. Verificaci´ on de la estabilidad de las ´ orbitas . . . . 11

2.4. C´ odigo en Matlab para la obtenci´ on de la velocidad de oscilaci´ on propia y la ganancia equivalente . . . . 12

3. Convertidor CC-CC reductor b´ asico 14 3.1. Estudio del sistema en lazo abierto . . . . 14

3.1.1. Esquema del circuito de la planta . . . . 15

3.1.2. Funci´ on de transferencia de la planta . . . . 16

3.2. Estudio del sistema en lazo cerrado . . . . 18

3.2.1. Diagrama de bloques del sistema . . . . 18

3.2.2. Valor de los par´ ametros del circuito . . . . 19

3.2.3. Primeras simulaciones del sistema . . . . 20

3.2.4. Obtenci´ on de la ganancia equivalente . . . . 21

3.2.5. Verificaci´ on de los resultados . . . . 26

3.3. Comentario acerca del divisor de tensi´ on . . . . 27

3.4. Comparativa entre las respuestas temporales del sistema modelado con rel´ e y el sistema promediado . . . . 28

4. Convertidor CC-CC con prealimentaci´ on paralela 31 4.0.1. Esquema del circuito . . . . 32

4.0.2. Estudio preliminar del sistema . . . . 34

4.0.3. Valor de los par´ ametros del circuito . . . . 37

4.0.4. Planteamiento del estudio . . . . 38

4.1. Caso principal. Convertidor con desacoplo entre filtro del convertidor y preali- mentaci´ on . . . . 39

4.1.1. Primeras simulaciones del sistema . . . . 42

4.1.2. Obtenci´ on de la ganancia equivalente . . . . 45

4.1.3. Comparativa entre las respuestas temporales del sistema modelado con rel´ e y el sistema promediado . . . . 56

4.1.4. Planificaci´ on de ganancia . . . . 58

4.1.5. Simulaci´ on m´ as cercana a la realidad . . . . 60

4.2. Variantes del esquema principal . . . . 61

4.2.1. Convertidor sin C _b , R ₁ y R ₂ . . . . 61

4.2.2. Convertidor con R _c

en lugar de C _c . . . . 62

4.2.3. Convertidor con la rama pero sin el condensador C _b . . . . 63

4.2.4. Convertidor sin la rama del condensador C _c . . . . 64

5. Conclusi´ on y v´ıas futuras de trabajo 67 5.1. Conclusi´ on . . . . 67

5.2. V´ıas futuras de trabajo . . . . 68

6. Presupuesto 69 6.0.1. Coste de personal . . . . 69

6.0.2. Coste de licencias . . . . 70

6.0.3. Coste de instalaciones . . . . 70

6.0.4. Coste de material . . . . 70

6.1. Coste total del proyecto . . . . 71

7. Impacto ambiental 73 8. Agradecimientos 74 9. Anexo 75 9.1. Rutinas para la obtenci´ on de Ω y k n . . . . 75

10.Bibliograf´ıa 84

Prefacio

Los convertidores de tensi´ on en corriente continua juegan un papel fundamental en la ac- tualidad ya que act´ uan de enlace entre la tensi´ on de red y una carga cualquiera, que requiere una tensi´ on de entrada diferente a la proporcionada por la red para su funcionamiento. Por ejemplo, en un circuito de corriente continua en el cual una carga necesita ser alimentada con una tensi´ on V mientras que la red posee una tensi´ on E. En ese momento es en el cual entran en juego los convertidores de tensi´ on CC-CC. Su papel es el de transformar la tensi´ on E en una tensi´ on V para que la carga pueda ser alimentada. Se podr´ıa decir, de un modo tosco, que su funci´ on es comparable con la acci´ on de los transformadores en corriente alterna.

Los convertidores de tensi´ on CC-CC son convertidores que trabajan en conmutaci´ on, al- macenando energ´ıa de entrada en inductores y condensadores, para posteriormente entregar un voltaje diferente en la salida. Dependiendo del caso de aplicaci´ on se emplean diversos convertidores de tensi´ on CC-CC, que se clasifican seg´ un su respectiva relaci´ on entre las ten- siones de entrada y de salida. Por un lado existen los convertidores elevadores, cuya funci´ on es proporcionar una tensi´ on de salida mayor a la tensi´ on de entrada del convertidor. Por otro, los convertidores reductores, que permiten obtener una tensi´ on de salida menor a la de entrada. Y por ´ ultimo, los reductores-elevadores que permiten obtener un voltaje de salida mayor o menor a la tensi´ on de entrada. Los m´ as conocidos son el convertidor elevador de ti- po “Boost”, el convertidor reductor “Buck” y el convertidor reductor-elevador “Buck-Boost”.

De los convertidores-reductores citados anteriormente destaca el convertidor reductor

“Buck”, que es capaz de reducir la tensi´ on con un rendimiento generalmente mayor al 95 %.

Y que por tanto, al tener pocas p´ erdidas, permite obtener un convertidor denso, de reducido tama˜ no y peso y con un incremento de temperatura bajo. Nada comparable con la funci´ on que desempe˜ nar´ıa un divisor de tensi´ on, que reducir´ıa la tensi´ on con un rendimiento reducido adem´ as de poseer una baja fiabilidad ya que aumentar´ıa considerablemente la temperatura, siendo necesario un sistema de refrigeraci´ on adecuado.

Sin embargo, para llevar a cabo la implementaci´ on de este convertidor reductor se ne-

cesita un sistema de control fiable que permita un sencillo y correcto funcionamiento del

convertidor. Para ello, entran en escena los controladores reductores hister´ eticos, que en con-

traposici´ on a los controladores cl´ asicos “todo/nada”, permiten establecer intervalos para un

mayor control de la conmutaci´ on. En otras palabras, abren un abanico de posibilidades para

un dise˜ no mucho m´ as robusto del convertidor, evitando problemas tales como el exceso de

conmutaci´ on que pueden desencadenar la rotura del actuador.

1.1. Objetivos del proyecto

El objetivo de este trabajo es el an´ alisis y dise˜ no de controladores hister´ eticos con preali- mentaci´ on paralela para el control directo de la tensi´ on de salida de convertidores CC-CC reductores. A tal efecto, se estudiar´ an los m´ etodos de dise˜ no de prealimentaciones paralelas y su interrelaci´ on con el dise˜ no de los controladores por hist´ eresis con el fin de generar una metodolog´ıa de aplicaci´ on pr´ actica sencilla que se plasme en estructuras circuitales de bajo coste. Este enfoque permitir´ a su aplicaci´ on en convertidores CC-CC de potencias bajas dan- do una fundamentaci´ on te´ orica, desde el punto de vista de la ingenier´ıa de control, a ciertos planteamientos emp´ıricos que se siguen en la actualidad.

1.2. Alcance del proyecto

Debido al factor tiempo, el alcance del proyecto se limitar´ a fundamentalmente a los aspec- tos te´ oricos del mismo. Lo que significa que se buscaran soluciones te´ oricas complementadas con las simulaciones pertinentes, pero en ning´ un caso se llegar´ a a implementar f´ısicamente el circuito de control y el convertidor CC-CC reductor bajo estudio.

1.3. Estructura del proyecto

A modo de llevar a cabo este trabajo y conseguir los objetivos propuestos se estructura el proyecto dividi´ endolo en tres grandes cap´ıtulos:

En el primero de ellos, el cap´ıtulo 2, se fundamentan los aspectos te´ oricos b´ asicos y se introduce la metodolog´ıa correspondiente para llevar a cabo el dise˜ no y an´ alisis de los convertidores CC-CC reductores desde el punto de vista de la ingenier´ıa de control. Adem´ as, se desarrollan unos c´ odigos en Matlab a fin de modelar este tipo de aplicaci´ on de forma sistem´ atica.

En el segundo de ellos, el cap´ıtulo 3, se realiza el primer an´ alisis de un convertidor re- ductor a trav´ es de la metodolog´ıa propuesta, en este caso del convertidor reductor CC-CC b´ asico. El prop´ osito de esta parte del proyecto es analizar dicho convertidor y observar co- mo se comporta para posteriormente dise˜ nar un convertidor con prealimentaci´ on paralela, manteniendo la misma planta, a fin de mejorar su respuesta.

Por ´ ultimo, en el cap´ıtulo 4 es donde se lleva a cabo el dise˜ no de dicho convertidor, man-

teniendo siempre el punto de vista de la ingenier´ıa de control. Para ello se estudian diversas

variantes de un esquema principal basado en un art´ıculo cient´ıfico-divulgativo [1] con el ob-

jetivo de obtener una respuesta mejorada en la tensi´ on de salida del sistema del convertidor

reductor.

2.1. Introducci´ on

Los sistemas que se pretenden estudiar en este proyecto, tal y como se ha comentado en la introducci´ on, son convertidores hister´ eticos reductores de tensi´ on, procedentes de conver- tidores ON-OFF pero con una amplitud de hist´ eresis concreta. Estos sistemas pertenecen al grupo de los denominados Servo Relay Systems, o lo que es lo mismo sistemas de retroali- mentaci´ on mediante un rel´ e, ya que a trav´ es de las entradas del sistema se pretende controlar la tensi´ on de salida del mismo mediante el uso de un rel´ e.

La ventaja de trabajar con este tipo de sistemas es que permiten simplicidad de dise˜ no, uso de componentes baratos y un comportamiento robusto del sistema. Adem´ as no introducen ning´ un efecto en frecuencias bajas, que son las que tienen que ver con movimientos forzados causados por un input o por una perturbaci´ on. Sin embargo, s´ı que introducen efectos en alta frecuencia, debidas a la conmutaci´ on, que llamaremos oscilaciones de excitaci´ on propia o rizado. A priori no parece haber ning´ un inconveniente pero el problema principal de esta clase de convertidores es el an´ alisis y el dise˜ no ya que al existir un rel´ e dentro del circuito de control el sistema deja de ser lineal y se convierte en un problema de control de sistemas discontinuos y, por lo tanto, no lineales.

Es por este motivo que la metodolog´ıa de aplicaci´ on de este proyecto va a consistir en sustituir el modelo del rel´ e por un modelo lineal equivalente intercambiando el bloque de control del rel´ e por un controlador proporcional. El valor de dicho controlador ser´ a una ga- nancia equivalente k _n que represente el valor promediado (sobre el periodo de la oscilaci´ on propia) de las caracter´ısticas del rel´ e para unas condiciones de trabajo concretas. Con ello se consigue un sistema lineal equivalente al sistema con el rel´ e para poder trabajar tan solo con conocimientos de control lineal.

2.2. Sistemas de retroalimentaci´ on mediante rel´ e

Una vez introducida la metodolog´ıa de aplicaci´ on se muestra el enfoque para trabajar con

Servo Relay Systems. Cualquier sistema de este tipo, como los convertidores reductores que

se estudian en los siguientes cap´ıtulos, puede estructurarse de la siguiente manera:

Figura 2.1: Esquema de bloques de un servomecanismo con rel´ e.

donde el sistema planta en el espacio de estados est´ a definido por las matrices A ∈ R ^n×n , B ∈ R ^n×1 y C ∈ R ^1×n . Por un lado el sistema planta sigue la expresi´ on ˙x = Ax + Bu y y = Cx. Por otro u es la variable de control, y es la salida de la planta, σ es la se˜ nal de error, c

2 es la amplitud del rel´ e, 2b es el valor de hist´ eresis del rel´ e y X(s) es la funci´ on de transferencia del sistema lineal de la planta en lazo abierto, X(s) = Y (s)

U (s) = C(sI −A) ⁻¹ B.

Cabe destacar que normalmente el rel´ e en estas aplicaciones es asim´ etrico, como en la Figura 2.1. Sin embargo, para llevar a cabo el desarrollo del proyecto, es necesario que el rel´ e sea sim´ etrico para luego poder aplicar la metodolog´ıa que se explica en las pr´ oximas secciones de este cap´ıtulo. Es por este motivo que se opta por usar un rel´ e sim´ etrico con salidas c ₁ = 1 y c ₂ = −1 como el de la Figura 2.2.

Figura 2.2: Rel´ e sim´ etrico con valor de hist´ eresis 2b y amplitud de control c [2].

Una vez definido el tipo de rel´ e con el que se trabaja se debe considerar si hay que modificar el esquema de bloques del sistema para no cambiar su funcionamiento. Efectivamente, para pasar del rel´ e cl´ asico c ₁ = 1, c ₂ = 0 al rel´ e sim´ etrico c ₁ = 1 y c ₂ = −1 tiene que llevarse a cabo un cambio de variable, que no es m´ as que un desplazamiento ficticio de la se˜ nal de control. Se adjudica la variable w(t) a la salida de control del nuevo rel´ e que puede tomar como valores c y −c. Y para obtener la u(t) se realiza un cambio de variable a fin de obtener una u(t) acorde a w(t):

u(t) = w(t) + c

2 (2.1)

de tal manera que cuando w(t) = c, u(t) = 1 y cuando w(t) = −c, u(t) = 0. El ´ unico inconveniente es que se adhiere al sistema una nueva perturbaci´ on, que por ahora se define como una constante D(s) = 1, ya que viene definida por el valor de c, que se fija como c = 1.

El sistema resultante es el siguiente:

Figura 2.3: Esquema de bloques de un servomecanismo con rel´ e sim´ etrico.

El objetivo es que esa representaci´ on se transforme en la siguiente una vez obtenida la k _n :

Figura 2.4: Esquema de bloques de un servomecanismo con ganancia k _n en lugar del rel´ e [2].

Para ello se deben seguir los pasos del m´ etodo Locus of a Perturbed Relay System, que se explica en el siguiente apartado.

2.3. Locus of a Perturbed Relay System (LPRS)

La metodolog´ıa de aplicaci´ on utilizada en este proyecto proviene de una teor´ıa de control de sistemas discontinuos en dominio frecuencial dise˜ nada por Igor Boiko [2]. Dicho m´ etodo se denomina Locus of a Perturbed Relay System (LPRS) y gracias a este m´ etodo anal´ıtico se puede obtener un valor promediado exacto de las propiedades del sistema que modifica el rel´ e.

El m´ etodo se basa en la obtenci´ on de un hod´ ografo denominado J (w) ¹ , una funci´ on que

contiene toda la informaci´ on del sistema, teniendo en cuenta tanto de los movimientos de alta frecuencia (la frecuencia de oscilaci´ on propia debida al rel´ e) como de los movimientos de baja frecuencia (movimiento debido a entradas y perturbaciones). Existen varias alternativas para obtener dicha funci´ on J (w) pero en este proyecto, al tratar plantas no integradoras, se opta por la obtenci´ on a trav´ es del espacio de estados [2] donde:

J (w) = −0,5 C [A ⁻¹ + 2π

w (I − e

^A ) ⁻¹ e

^A ] B + j π

4 C(I + e

^A ) ⁻¹ (I − e

^A )A ⁻¹ B (2.2) Del mismo modo, por [2], se determina que:

J (w) = − 1 2

1 k _n + j π

4c y(t)| _t=0 (2.3)

donde t = 0 es el momento en el que el rel´ e conmuta de la posici´ on −c a la posici´ on c.

La parte real de J (w) contiene informaci´ on sobre la ganancia equivalente del sistema y la parte imaginaria contiene todo lo relacionado con la conmutaci´ on del rel´ e y por tanto tambi´ en la informaci´ on relativa a la frecuencia de oscilaci´ on propia. Por lo que a trav´ es de la ecuaci´ on (2.3) se pueden obtener los valores exactos para la velocidad de oscilaci´ on propia Ω y la ganancia equivalente k _n .

Dicho esto se denomina Locus of a Perturbed Relay System (LPRS) a la representaci´ on del hod´ ografo J (w) variando la velocidad de oscilaci´ on w en el plano complejo, una repre- sentaci´ on tal como la que se encuentra a continuaci´ on.

Figura 2.5: Locus of a Perturbed Relay System [2].

Suponiendo que se ha obtenido el LPRS de un sistema dado en concreto se pueden ob- tener la velocidad de oscilaci´ on propia Ω y la ganancia equivalente k _n a trav´ es del punto de intersecci´ on de J (w) con el eje imaginario −πb

4c .

Teniendo en cuenta la Figura 2.5 la velocidad de oscilaci´ on propia Ω se puede obtener a trav´ es de la siguiente ecuaci´ on:

Im(J (Ω)) = −πb

4c (2.4)

Por su parte la ganancia equivalente k _n se puede obtener a trav´ es de:

k _n = −1

2Re(J (Ω)) (2.5)

Encontrar la ganancia k _n es el punto m´ as importante para el an´ alisis input-output del sistema porque una vez obtenida y sustituida, el sistema deja de tener discontinuidades, la aplicaci´ on es mucho m´ as sencilla y cualquier an´ alisis posterior podr´ a realizarse como si el sistema fuera lineal, con el rel´ e reemplazado por dicha ganancia.

Cabe comentar que hay que tener en cuenta que los par´ ametros obtenidos Ω y k _n , aunque es cierto que se pueden obtener f´ acilmente a partir del sistema en lazo abierto, solo son v´ ali- dos para un sistema completamente definido. Si se cambia cualquier par´ ametro del sistema se deber´ıan hacer nuevamente los c´ alculos puesto que el LPRS proporciona una equivalencia exacta local del sistema modelado con el rel´ e.

Por otro lado cabe a˜ nadir que este m´ etodo para la obtenci´ on de la k _n no se puede usar para frecuencias nulas y que es exacto ´ unicamente cuando se trata de un sistema peri´ odi- co sim´ etrico. Sin embargo, si hay alguna perturbaci´ on estas oscilaciones pueden volverse asim´ etricas o sesgadas. Por tanto cabe comentar que en el caso tratado en este trabajo s´ı se obtiene la k _n exacta puesto que, como se ver´ a en los cap´ıtulos posteriores, se trata de un sistema sim´ etrico ya que la tensi´ on de salida del sistema es la tensi´ on de entrada escalada.

Una vez explicada la teor´ıa se resumen los pasos para la obtenci´ on de los par´ ametros Ω y k _n .

2.3.1. Procedimiento para la obtenci´ on de la velocidad de oscilaci´ on propia y la ganancia equivalente

A continuaci´ on se enumeran los paso a llevar a cabo para la obtenci´ on de ambos par´ ame- tros Ω y k _n mediante el procedimiento te´ orico de [2]:

1. Obtener la funci´ on de transferencia del sistema en lazo abierto X(s) y obtener las matrices del espacio de estados.

2. A partir de la funci´ on de transferencia y de las matrices del espacio de estados obtener

la funci´ on J (w) mediante la ecuaci´ on (2.2).

3. Desde la funci´ on J (w) obtener tanto la k _n como la frecuencia de las oscilaciones propias Ω a trav´ es de las expresiones (2.5) y (2.4) respectivamente.

Para el caso que ocupa al sistema tratado en este proyecto antes de proceder con la ob- tenci´ on de la k _n se debe resaltar que se debe verificar si las oscilaciones propias provocadas por el rel´ e son estables, cuyo procedimiento se explica a continuaci´ on en el cap´ıtulo 2.3.2.

Suponiendo que las oscilaciones son estables hay que diferenciar dos casos. El sistema cuan- do trabaja con carga y el sistema cuando trabaja sin carga (en vac´ıo) ya que dependiendo del caso se obtiene una funci´ on de transferencia X(s) diferente y por tanto una k _n tambi´ en diferente. Es por ello que al ser dos procedimientos diferentes en los cap´ıtulos 3 y 4 se divide el estudio de los convertidores reductores diferenciando los casos en los que el convertidor trabaja en vac´ıo y en los que trabaja en carga.

Por ´ ultimo pero no menos importante, se debe saber que para una posterior implantaci´ on del sistema se tomar´ a la ganancia equivalente k _n correspondiente al caso en vac´ıo puesto que es el caso m´ as desfavorable. Se estipula as´ı puesto que es el caso en el que se lidia con las grandes oscilaciones de alta frecuencia del sistema, al ser un caso que no disipa energ´ıa debido a la ausencia de carga.

2.3.2. Verificaci´ on de la estabilidad de las ´ orbitas

Una vez obtenida la velocidad de oscilaci´ on propia se procede verificando la estabilidad de las ´ orbitas peri´ odicas (ciclo l´ımite) de dichas oscilaciones. Cabe recordar que la estabilidad de las ´ orbitas es un concepto diferente al de la estabilidad en un punto de equilibrio. No significa que las oscilaciones debidas a la perturbaci´ on tiendan a cero, sino que para que un ciclo l´ımite sea estable lo que se necesita es que el ciclo l´ımite debido a la perturbaci´ on converja en el ciclo de la parte del sistema no perturbado.

A modo de verificar la estabilidad de las ´ orbitas se introduce el siguiente teorema de estabilidad propuesto en [2]:

Theorem 2.1. El sistema en lazo cerrado con el rel´ e es asint´ oticamente estable localmente si y solo si todos los valores propios de la matriz

Φ 0 =







 I −

v  T 2 −

 C Cv  T

2 −











e

(2.6)

son de magnitud menor que la unidad. T = 2π

ω es el periodo de las oscilaciones y v es la matriz velocidad,

v  T 2 −



= 2 

I + e

 −1

e

B (2.7)

Adem´ as del an´ alisis de estabilidad, tambi´ en se debe comprobar la direcci´ on de conmutaci´ on del rel´ e, que debe cumplir la siguiente inecuaci´ on:

˙ y  T

2 −



= Cv  T 2 −



> 0 (2.8)

En este caso el an´ alisis tambi´ en se va a dividir entre el caso en vac´ıo y el caso en el que el sistema trabaja con carga ya que las matrices A, B y C del sistema resultan diferentes para cada caso.

2.4. C´ odigo en Matlab para la obtenci´ on de la velocidad de osci- laci´ on propia y la ganancia equivalente

A fin de facilitar el an´ alisis y dise˜ no de los modelos tratados en el proyecto, en vez de utilizar la metodolog´ıa te´ orica del cap´ıtulo 2.3.1, se crea un c´ odigo con el programa Matlab para poder obtener Ω y k _n de forma directa, teniendo en cuenta tan solo como input la parte de funci´ on de transferencia X(s) del sistema que relaciona la se˜ nal de control del rel´ e w(t) con la salida del sistema v _o (t). Este es un gran avance para el desarrollo de todo el proyecto puesto que evita numerosos c´ alculos laboriosos y repetitivos, con una gran probabilidad de error.

Los c´ odigos en cuesti´ on se encuentran en el anexo del trabajo y son los siguientes:

Tres ficheros base:

J SSniwvec.m. Fichero para la obtenci´ on del hod´ ografo J (w) a partir del espacio de estados del sistema y un vector de frecuencias.

J SSniw.m. Fichero para la obtenci´ on del hod´ ografo J (w) a partir del espacio de es- tados del sistema y una frecuencia exacta.

J SSniOscw.m. Fichero para la obtenci´ on de una velocidad de oscilaci´ on propia tal que Im(J (Ω)) + ^πb _4c = 0 a partir del espacio de estados y los par´ ametros b y c.

Y 3 ficheros creados a partir de los c´ odigos base que son los que se deben usar para obtener los par´ ametros de los sistemas dependiendo del orden del que sean. Estos ficheros son:

ex1o01.m. Para sistemas de primer orden ex2o01.m. Para sistemas de segundo orden ex2o02.m. Para sistemas de orden mayor a 2.

El procedimiento del c´ odigo con el que se obtienen los resultados es el siguiente. En primer lugar se adquiere la funci´ on hod´ ografo J (w) para el caso que se est´ a tratando. Posteriormente se representa por una parte la funci´ on J (w) sobre el plano complejo (figure 10 del c´ odigo) y por otra parte la parte imaginaria de la funci´ on J (w) respecto a la frecuencia ω (figure 11 del c´ odigo) . Una vez se obtienen dichas gr´ aficas se calcula la velocidad de oscilaci´ on propia Ω y se verifica si dicha oscilaci´ on es estable. En el caso de que no lo sea se acaba el c´ odigo y en el caso en el que se haya encontrado que la oscilaci´ on es estable se obtiene la ganancia equivalente k _n .

La creaci´ on de estas rutinas, que se encuentran en el anexo del proyecto (p´ agina 75), ha

estos tres ´ ultimos ficheros descritos se deben tener los tres anteriores (ficheros base).

Con el objetivo de llevar a cabo el an´ alisis de controladores hister´ eticos, en primer lugar, se procede a estudiar el caso del convertidor reductor con realimentaci´ on m´ as b´ asico para as´ı observar su comportamiento y evitar m´ as adelante sus imperfecciones. El objetivo de este cap´ıtulo 3 es el de entrar en contacto con el sistema empezando por la que en el cap´ıtulo 4 de este trabajo de final de grado es la planta de un nuevo sistema bastante m´ as complejo.

Por tanto dicha planta (Figura 3.6) es el sistema que se tiene como referencia en este primer estudio.

Figura 3.6: Convertidor reductor con control directo de la tensi´ on de salida [1].

En este cap´ıtulo se estudia el sistema tanto en lazo abierto como en lazo cerrado, se ob- tienen las funciones de transferencia pertinentes para un posterior an´ alisis, se definen los valores de los par´ ametros del circuito y posteriormente, se obtiene la ganancia equivalente k _n del convertidor y se realizan varias simulaciones para observar el comportamiento de la respuesta del sistema.

Cabe destacar que antes de iniciar el an´ alisis del sistema de la Figura 3.6 se realizan varias modificaciones.

Primeramente se modificar´ a la simbolog´ıa de las variables para un desarrollo m´ as acorde a los libros [2] y [3].

Posteriormente otro cambio que se realiza es la eliminaci´ on del divisor de tensi´ on de resis- tencias R ₁ y R ₂ , puesto que no aporta informaci´ on al sistema y su efecto es despreciable, tal y como se demuestra en el apartado 3.3.

Y finalmente, a fin de adaptar el modelo al estudio de controladores por hist´ eresis, se sustitu- ye el modulador de ancho de pulso por un rel´ e con hist´ eresis sim´ etrico siguiendo el esquema que se ha presentado anteriormente en la secci´ on 2.2 de este proyecto.

3.1. Estudio del sistema en lazo abierto

A fin de analizar el sistema en lazo cerrado se estudia, en primer lugar, la planta del

convertidor en lazo abierto. Este paso es fundamental ya que con la metodolog´ıa presentada

tambi´ en dicho sistema en lazo cerrado.

3.1.1. Esquema del circuito de la planta

Se puede observar que la planta del convertidor que se estudia (Figura 3.6), es decir, el filtro correspondiente al circuito RLC, coincide con el esquema del convertidor reductor

“Buck” b´ asico.

En concreto, en este proyecto se decide trabajar con el convertidor reductor CC-CC b´ asi- co, bidireccional en corriente puesto que al ser bidireccional en corriente el comportamiento te´ orico de los transistores MOSFET es equivalente al de un interruptor.

Una vez aclarada esta premisa se puede obtener el siguiente esquema de circuito de la planta:

Figura 3.7: Convertidor reductor CC-CC b´ asico bidireccional en corriente.

Habiendo definido el circuito se procede con la asignaci´ on de las variables que aparecen:

E es la tensi´ on de red que entra en el convertidor.

u(t) es la se˜ nal de control del sistema. Puede tomar tan solo dos valores u(t) = {0, 1}.

C es la capacidad del condensador.

L es la inductancia de la bobina.

R es la resistencia interna de la bobina.

i(t) es la corriente que atraviesa la bobina y la resistencia R.

v _o (t) es la tensi´ on de salida aplicada a la carga de impedancia Z _load .

i _o (t) es la intensidad que circula por la carga Z _load .

Definidas las variables del circuito, se toman como entradas del sistema u(t) y i _o (t) y co- mo salida la tensi´ on v _o (t) que se quiere controlar. Hay que tener en cuenta que la variable i _o (t) se proceder´ a a fijarla como una constante dada determinada puesto que en la mayor´ıa de los casos de desconoce la impedancia de la carga a la cual se conecta el sistema. Dado que en este proyecto se trabaja con cargas puramente resistivas se supone i _o (t) = v _o (t)G _load donde G _load = 1

Z _load = 1

R _load es la conductancia de la carga que se vaya a conectar al sistema.

Por otro lado, tal y como se puede observar en la Figura 3.7 la planta puede hallarse tan s´ olo en dos estados posibles. El estado ON, que implica u = 1, en el que la tensi´ on de red E alimenta el circuito, transmitiendo energ´ıa y cargando tanto el campo el´ ectrico del condensador como el campo magn´ etico de la bobina. Y el estado OFF, en el que u = 0, estado en el que se corta la transmisi´ on desde la fuente y son la bobina y el condensador los encargados de trasmitir la energ´ıa almacenada a la carga.

3.1.2. Funci´ on de transferencia de la planta

A continuaci´ on se prosigue con la evaluaci´ on de la funci´ on de transferencia de la planta.

Para ello en primer lugar cabe adquirir las ecuaciones de la din´ amica del sistema planta en dominio temporal para luego transformarlas al dominio de la frecuencia y as´ı poder trabajar desde el punto de vista de la ingenier´ıa de control. A modo de conseguirlo, primeramente se realiza una distinci´ on entre los casos ON y OFF para posteriormente obtener las ecuaciones para el caso general.

Para el caso estado ON ² , u = 1, analizando el circuito a trav´ es de la primera y la segunda Ley de Kirchhoff se obtiene:

E = L di(t)

dt + Ri(t) + v o (t) (3.1)

C dv _o (t)

dt = i(t) − i _o (t) (3.2)

Para el caso estado OFF, u = 0, analizando el circuito a trav´ es de la primera y la segunda Ley de Kirchhoff se obtiene:

0 = L di(t)

dt + Ri(t) + v _o (t) (3.3)

C dv _o (t)

dt = i(t) − i _o (t) (3.4)

2 La dependencia temporal se omite para facilitar la lectura excepto cuando sea imprescindible.

Reuniendo los dos estados topol´ ogicos, se expresa el sistema del siguiente modo:

L di(t)

dt = −Ri(t) − v _o (t) + Eu(t) (3.5)

C dv _o (t)

dt = i(t) − i _o (t) (3.6)

Puesto que el sistema es lineal se puede aplicar directamente la transformada de Laplace, para as´ı trabajar en el dominio de la frecuencia, y a su vez obtener la funci´ on de transferencia del sistema. Aplicando la transformada se obtiene:

LI(s)s = −RI(s) − V o (s) + EU (s) (3.7)

CV _o (s)s = I(s) − I _o (s) (3.8)

Ahora, para estudiar el sistema interesa que la funci´ on de transferencia tenga una estruc- tura en la que la salida del sistema V o (s) sea funci´ on de las entradas U (s) y I o (s) tal que as´ı V _o (s) = G ₁ (s)U (s) + G ₂ (s)I _o (s), puesto que de esta manera es m´ as sencillo estudiar el com- portamiento del sistema frente a cambios en la entrada U (s) o en la perturbaci´ on I _o (s). Con el fin de obtener esta estructura, se procede a aislar I(s) de la ecuaci´ on (3.7) y se sustituye la expresi´ on en la ecuaci´ on (3.8). Resulta la expresi´ on:

V _o (s) = E

LCs ² + RCs + 1 U (s) + −Ls − R

LCs ² + RCs + 1 I _o (s) (3.9) que se trata efectivamente de la funci´ on de transferencia del sistema planta en lazo abierto.

Sin embargo cabe tener en cuenta que para luego llevar a cabo la metodolog´ıa propuesta el rel´ e tiene que ser sim´ etrico y la variable u, en este caso, es la salida de control del rel´ e asim´ etrico. Dicho de otra manera, se necesita pasar del esquema de la Figura 2.1 al esquema de la Figura 2.3. As´ı que se debe modificar la funci´ on de transferencia. La variable de salida del rel´ e sim´ etrico es w y tal y como se ha indicado en el cap´ıtulo 2 cumple una relaci´ on (2.1) establecida con u.

Se recuerda que:

U (s) = W (s) + D(s)

2 (3.10)

donde D(s) es una perturbaci´ on del sistema correspondiente a un desplazamiento ficticio de la se˜ nal de control.

Realizando este cambio de variable y sustituyendo esta ecuaci´ on (3.10) en (3.9) se obtiene la funci´ on de transferencia de la tensi´ on de salida en lazo abierto, funci´ on de las entradas del sistema planta w, i _o y d:

V _o (s) = E/2

LCs ² + RCs + 1 W (s) + −Ls − R

LCs ² + RCs + 1 I _o (s) + E/2

LCs ² + RCs + 1 D(s), (3.11)

una ecuaci´ on de la forma V o = GW + Z o Io + F .

3.2. Estudio del sistema en lazo cerrado

Una vez definida la funci´ on de transferencia en lazo abierto se pasa a estudiar la respues- ta del convertidor en lazo cerrado. Esta secci´ on tiene como objetivo estudiar y analizar el convertidor en lazo cerrado a fin de observar su comportamiento, detectar causas de ciertos errores y mejorar su respuesta. Para ello se presenta el diagrama de bloques del sistema y se establece el valor de varios par´ ametros del sistema. Adem´ as se realizan simulaciones y, gracias a la metodolog´ıa explicada en el cap´ıtulo 2, se determina la frecuencia de oscilaci´ on propia y la ganancia equivalente del convertidor a modo de obtener un convertidor lineal equivalente tanto para el caso con carga como para el caso sin presencia de carga.

3.2.1. Diagrama de bloques del sistema

Recapitulando todo lo explicado, una representaci´ on b´ asica del diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado en el caso de que la carga conectada al convertidor de tensi´ on fuera resistiva ser´ıa la siguiente:

Figura 3.8: Diagrama de bloques del sistema con rel´ e asim´ etrico con hist´ eresis.

donde la planta del sistema, subsistema denominado Buck Converter, es:

Figura 3.9: Diagrama de bloques del subsistema Buck Converter.

Esta es la representaci´ on del diagrama de bloques del convertidor en lazo cerrado con la que se trabaja en este cap´ıtulo. Adem´ as es la que se usa para realizar las simulaciones del sistema conmutado cuya respuesta se mide en las pr´ oximas secciones. Cabe comentar que dicha representaci´ on se ha realizado siguiendo el esquema base del convertidor de la Figura 2.3, la Figura 3.6 y las ecuaciones din´ amicas del circuito (3.5) y (3.6).

3.2.2. Valor de los par´ ametros del circuito

Antes de empezar con las simulaciones el sistema, se definen los valores que toman los par´ ametros C, L y R para poder empezar a trabajar num´ ericamente. Los valores que se escogen son:

C = 100 µF L = 100 µH R = 10 mΩ

ya que son unos valores plausibles, f´ aciles de adquirir puesto que son est´ andares, econ´ omi- cos y con los que obtenemos un equilibrio entre la capacidad de carga y el filtrado de la se˜ nal.

Ahora, el ´ unico par´ ametro que falta por definir es el valor de la amplitud de la hist´ eresis

puesto que el valor de la hist´ eresis c = 1 se defini´ o ya en el cap´ıtulo 2. Se escoge un valor de

b = 0,01 despu´ es de realizar algunas simulaciones con el esquema de la Figura 3.8, ya que

es un valor adecuado en cuanto a velocidad de conmutaci´ on y coste que evita una amplitud

considerable de las oscilaciones producidas por el rel´ e. Como se puede apreciar en la siguiente

gr´ afica (Figura 3.10) se consigue minimizar considerablemente la amplitud de las oscilaciones

con un par´ ametro b = 0,01 respecto a b = 0,1.

(a) Gr´ afico de la salida V o para b = 0,1. (b) Gr´ afico de la salida V o para b = 0,01.

Figura 3.10: Diferencias en la amplitud de oscilaciones seg´ un valor del par´ ametro b.

3.2.3. Primeras simulaciones del sistema

Habiendo definido b y con ´ el todos los par´ ametros del sistema este se simula para ver su respuesta. Para ello se determina una tensi´ on de red E = 48 V, una tensi´ on de referencia objetivo de la salida del convertidor V _ref = 24 V, una carga completa P _load = 500 kW para cuando el convertidor trabaje con una carga aplicada y una resistencia de carga Rn _load = 4 kΩ que se tendr´ a en cuenta exclusivamente cuando el sistema se encuentre en trabajando en vac´ıo ³ . Cabe destacar que al ser la tensi´ on de referencia V _ref una tensi´ on escalada de E el sistema tiene una velocidad de oscilaci´ on de rizado peri´ odica Ω y por tanto la ganancia k _n que se obtendr´ a ser´ a exacta.

(a) Sistema trabajando con carga completa. (b) Sistema trabajando en vac´ıo.

Figura 3.11: Primeras simulaciones del sistema.

Se observa que sobre todo en el caso de vac´ıo la amplitud de las oscilaciones es demasiado elevada al ser un sistema que no disipa casi energ´ıa, lo que provoca un rizado considerable en la salida del sistema.

3 Para el resto de las simulaciones de todo el proyecto se tienen en cuenta los mismos valores de dichos

par´ ametros si no se manifiesta lo contrario

3.2.4. Obtenci´ on de la ganancia equivalente

A modo de simplificar el sistema y poder estudiarlo mediante herramientas de control lineal se procede a obtener la frecuencia de oscilaci´ on propia y la ganancia equivalente k _n para el sistema del convertidor. Cabe destacar que se deben diferenciar dos casos:

Convertidor trabajando en ausencia de carga Convertidor trabajando con presencia de carga

ya que la funci´ on de transferencia que relaciona las variables tensi´ on de salida y control del rel´ e sim´ etrico w es diferente en ambos casos y por tanto la funci´ on hod´ ografo J (w) tambi´ en lo es. Es por ello que en esta secci´ on se diferencian ambos casos. Se recuerda que adem´ as de obtener w y k n se debe comprobar posteriormente la estabilidad de las ´ orbitas para confirmar que estas no diverjan.

Convertidor trabajando en en vac´ıo Para el sistema trabajando en ausencia de carga la funci´ on de transferencia que relaciona las variables V _o (s) y W (s) es:

V _o (s) = E/2

LCs ² + RCs + 1 W (s) (3.12)

Ya que I _o (s) en este caso se considera despreciable puesto que al no haber carga la intensidad que se transmite es muy peque˜ na, idealmente nula.

Una vez obtenida la funci´ on de transferencia que relaciona V _o (s) y W (s), mediante el programa de Matlab del anexo del proyecto para funciones de transferencia de segundo orden (Ex02o01.m) se obtiene la J (w) representada en las Figuras 3.12 y 3.13. A parte se obtienen una velocidad de oscilaci´ on propia

Ω = 33418,082 rad/s (3.13)

y una ganancia equivalente

k _n = 0,25401. (3.14)

Figura 3.12: Gr´ afico en el plano complejo de la funci´ on J (w) para el caso de sistema en vac´ıo.

Figura 3.13: Gr´ afico de la funci´ on parte imaginaria de J (w) respecto de w para el caso de sistema en vac´ıo.

Como se puede observar ampliando la Figura 3.13 las gr´ aficas del hod´ ografo J (w) son correspondientes a los resultados obtenidos de la Ω en vac´ıo. Se comprueba que la velocidad de corte es Ω = 33418,082 rad/s en la Figura 3.15 y que la funci´ on hod´ ografo J (w) solo corta la recta horizontal y = −πb

4c = −π 0,01

4 1 = −0, 00785 en una ocasi´ on (Figura 3.14) por lo que

no hay otras velocidades candidatas a ser la velocidad de oscilaci´ on propia del convertidor.

Figura 3.14: Gr´ afico de la funci´ on parte imaginaria de J (w) respecto de w para el caso de sistema en vac´ıo (ampliada).

Figura 3.15: Gr´ afico de la funci´ on parte imaginaria de J (w) respecto de w para el caso de sistema en vac´ıo (ampliada).

Despu´ es de obtener los par´ ametros Ω y k n se comprueba la estabilidad de las ´ orbitas tam- bi´ en mediante el programa de Matlab creado anteriormente. Se obtiene v  T

2 −



= 0,5024 0,9953

 . Los valores propios de la matriz son λ = {−0,9906, 0} y ˙ y  T

2 −



= 1,2058 10 ⁹ y por tanto

positivo. Se concluye que dado que ˙ y es positivo se cumplen todas las condiciones suficientes

y necesarias. Las ´ orbitas son estables para este caso.

Convertidor con presencia de carga De la misma forma se procede a resolver el sistema con presencia de carga, exceptuando la funci´ on de transferencia del sistema, que en este caso ser´ a diferente ya que I o (s) depende directamente de V o (s).

De esta manera y sustituyendo I _o (s) por la expresi´ on I _o (s) = V _o (s)G _load , expresi´ on donde G _load es la conductancia de la carga, se obtiene la siguiente funci´ on de transferencia que relaciona V o (s) con W (s):

V (s) = 1/2 EW (s)

LCs ² + (RC + G load L) s + G load R + 1 (3.15) Una vez obtenida la funci´ on de transferencia se procede de la misma forma que en apartado anterior (mismo fichero, Ex02o01.m, pero distinta funci´ on de transferencia) se obtiene la funci´ on J (w) representada en la Figuras 3.16 y 3.17. Adem´ as se obtienen la velocidad de oscilaci´ on propia

Ω = 139939,32 rad/s (3.16)

y la ganancia equivalente

k _n = 4,9536. (3.17)

para este caso.

Figura 3.16: Gr´ afico en el plano complejo de la funci´ on J (w) para el caso de sistema en

presencia de carga.

Figura 3.17: Gr´ afico de la funci´ on parte imaginaria de J (w) respecto de w para el caso de sistema con presencia de carga.

Como se puede observar ampliando la Figura 3.17 las gr´ aficas del hod´ ografo J (w) son correspondientes a los resultados obtenidos para la Ω en carga. Se comprueba que la velocidad de corte es Ω = 139939,32 rad/s en la Figura 3.18 y que la funci´ on hod´ ografo J (w) solo corta la recta horizontal y = −πb

4c = −π 0,01

4 1 = −0, 00785 en una ocasi´ on (Figura 3.17).

Figura 3.18: Gr´ afico de la funci´ on parte imaginaria de J (w) respecto de w para el caso de sistema en carga (ampliada).

Despu´ es de obtener los par´ ametros Ω y k n se comprueba la estabilidad de las ´ orbitas tam-

bi´ en mediante el programa de Matlab creado anteriormente. Se obtiene v  T 2 −



= 1,2 10 ⁹ 2,4 10 ⁹



Para este caso los valores propios de la matriz son λ = {−1, 0} y ˙ y  T 2 −



= 1,2 10 ⁹ y por tanto positivo.

Se concluye que para este caso, ya que se cumplen todas las condiciones suficientes y necesarias, las ´ orbitas son tambi´ en estables.

3.2.5. Verificaci´ on de los resultados

Con el fin de verificar los par´ ametros k _n y Ω obtenidos en los apartados anteriores estos se comparan, en primer lugar, con las frecuencias de oscilaci´ on obtenidas en la simulaci´ on a trav´ es del programa Simulink [4]. Se muestran por tanto a continuaci´ on las gr´ aficas de ambas simulaciones simulando el par´ ametro u (variable de control del rel´ e) dependiendo del tiempo. Como es evidente, la frecuencia de conmutaci´ on de u deber´ıa ser la misma que la frecuencia de oscilaci´ on del sistema Ω obtenida en la secci´ on 3.2.4.

Figura 3.19: Gr´ afico de la variable de control u respecto al tiempo para el caso en ausencia

de carga.

Figura 3.20: Gr´ afico de la variable de control u respecto al tiempo para el caso del sistema con presencia de carga.

A trav´ es de los gr´ aficos se observa para el caso en vac´ıo una frecuencia de 5,318 kHz y para el caso en carga una frecuencia de 22,272 kHz. Sabiendo que la velocidad angular w es igual a 2πf , donde f es la frecuencia, se obtienen los resultados de 33413,9795 rad/s y 139939,103 rad/s, que por ser iguales a los encontrados anteriormente, se concluye que son correctos.

Por un lado, los resultados obtenidos adem´ as de ser exactos a los obtenidos en las simu- laciones son resultados coherentes. Cuando el sistema trabaja en vac´ıo, la k _n obtenida es menor que cuando el sistema est´ a trabajando con carga. Este era el resultado esperado ya que cuanto menor es la ganancia equivalente del rel´ e, mayor es el error estacionario en el sistema. Por otro lado, cuanto menor es la ganancia equivalente la frecuencia de oscilaci´ on es tambi´ en menor, tal y como tambi´ en reflejan los resultados obtenidos.

3.3. Comentario acerca del divisor de tensi´ on

Como se ha podido observar, en los apartados anteriores no se ha tenido en cuenta el divisor de tensi´ on que aparece en la parte izquierda de la Figura 3.6. Esto es debido a que el efecto que este divisor produce en el sistema es pr´ acticamente inobservable, ya que las resistencias R ₁ y R ₂ son de una magnitud suficientemente elevada (del orden de kΩ).

Al tratarse de kΩ, la potencia que disipan es pr´ acticamente nula, por lo que la diferencia

entre tratar el sistema con o sin divisor de tensi´ on es despreciable. De hecho, el error que

comporta no considerar el divisor de tensi´ on se ha cuantificado con Maple estructurando el

denominador de la funci´ on de transferencia de la forma:

s ² + 2 w _n ξs + w _n ² (3.18)

y se ha obtenido un error porcentual respecto al valor real para la ξ igual a 2,5 10 ⁻⁷ % y para la w _n de 5 10 ⁻⁴ % considerando R ₁ = 15 kΩ y R ₂ = 5 kΩ.

Por lo que se puede concluir con que los resultados no se ver´ an casi alterados por haber despreciado consiguientemente el divisor de tensi´ on, es decir, que la consideraci´ on de despre- ciar ambas resistencias es correcta.

3.4. Comparativa entre las respuestas temporales del sistema mo- delado con rel´ e y el sistema promediado

Una vez completados los apartados anteriores se procede a la simulaci´ on del sistema a trav´ es del programa [4], tanto para el sistema modelado con el rel´ e como para el converti- dor modelado con la ganancia k _n obtenida ⁴ , a fin de visualizar si las respectivas respuestas temporales se mantienen respecto a la tensi´ on de referencia objetivo o si por el contrario se producen comportamientos no deseados. Se miden principalmente las respuestas del sistema para cambios de carga, cambios en la referencia, cambios en la tensi´ on E y se comparan ambos sistemas. En un principio se espera que se comporten de modo muy semejante para cambios en la carga pero que difieran para cambios en la tensi´ on E y en V _ref puesto que el sistema deja de trabajar en el punto que se ha utilizado para calcular la ganancia equivalente con lo que k n deja de ser exacta.

Conmutaci´ on entre carga completa y vac´ıo En cuanto a cambios de vac´ıo a carga y de carga a vac´ıo tal y como se hab´ıa previsto se puede observar que el rel´ e (Figura 3.21a) se comporta de manera muy parecida frente a los cambios que el modelo de la k _n (Figura 3.21b).

(a) Modelado con rel´ e. (b) Modelado con k n .

Figura 3.21: Sistema conmutando entre carga completa y vac´ıo.

4 Se recuerda que para el caso del sistema promediado se trabaja con la k _n equivalente correspondiente al

caso en vac´ıo.

Cambios en la referencia En lo que respecta a cambios en la referencia V _ref , como se observa en la Figura 3.22b, el sistema con la ganancia k _n no responde bien al cambio, obteni´ endose un error estacionario. Sin embargo en el caso del rel´ e (Figura 3.22a) el sistema responde bien al cambio.

(a) Modelado con rel´ e. (b) Modelado con k n .

Figura 3.22: Transici´ on del sistema debida a cambios en la referencia.

Cambios en la carga En lo referente a cambios en la carga el sistema con la ganancia responde peor que el sistema con el rel´ e al incrementarse la carga ya que tarda m´ as en llegar a estado estacionario (ver Figura 3.23b) mientras que el sistema del rel´ e necesita menos tiempo (Figura 3.23a). Cabe comentar que este error viene propiciado por utilizar la k _n propia del caso en vac´ıo. De todas formas como se aprecia en las figuras que aparecen a continuaci´ on, el modelo de la ganancia equivalente tiene un error estacionario menor ya que la frecuencia de oscilaci´ on es menor al llegar a estado estacionario al tratarse de un modelo promediado.

(a) Modelado con rel´ e. (b) Modelado con k n .

Figura 3.23: Transici´ on del sistema de vac´ıo a carga completa pasando por media carga.

(a) Modelado con rel´ e. (b) Modelado con k _n .

Figura 3.24: Transici´ on del sistema de vac´ıo a carga de 100 W.

Cambios en la tensi´ on de red Por ´ ultimo, relacionado con un cambio en la tensi´ on E se observa que se crea un error estacionario para el sistema modelado con la ganancia k _n mientras que el modelado con el rel´ e responde correctamente (ver Figuras 3.25b y 3.25a).

(a) Modelado con rel´ e. (b) Modelado con k n .

Figura 3.25: Respuestas temporales frente a cambios en la E.

Una vez comparados los dos sistemas, conmutado y promediado, se puede afirmar que el comportamiento del sistema modelado con el rel´ e es bastante m´ as robusto que el obtenido con el m´ etodo de la k n en cuanto a cambios en la tensi´ on de red E y en la tensi´ on de refe- rencia. Sin embargo el comportamiento con cambios de carga es muy semejante.

Por ´ ultimo, a modo de conclusi´ on del cap´ıtulo, se ha podido observar en el estudio del

convertidor reductor CC-CC b´ asico que su comportamiento, sobre todo para el caso en que

se trabaja en vac´ıo, no es para nada ´ optimo. Las causas de este fen´ omeno se atribuyen al

orden del filtro del convertidor puesto que se trata de una planta de grado relativo 2. Por

tanto al haber todav´ıa rango de mejora y a fin de optimizar la respuesta del convertidor se

procede a estudiar la adici´ on de una rama de prealimentaci´ on paralela a la planta de dicho

convertidor en el cap´ıtulo 4.

A fin de mejorar la respuesta del convertidor tanto en ausencia de carga como en presencia de carga en la segunda parte del proyecto se estudia la Figura 4.26 proveniente de [1]. Se puede observar que efectivamente se trata del convertidor estudiado en el cap´ıtulo 3 con la adici´ on de una rama de prealimentaci´ on correspondiente a los componentes R c , C c y C b .

Figura 4.26: Esquema del convertidor CC-CC con prealimentaci´ on paralela.

En este cap´ıtulo, en primer lugar, se estructura el nuevo esquema de circuito con la preali- mentaci´ on paralela y se realiza un estudio te´ orico preliminar del sistema para determinar si la respuesta del sistema se asemeja a la esperada. Posteriormente se simula el sistema con- mutado y se aplica la metodolog´ıa LPRS a fin de obtener la frecuencia de oscilaci´ on propia y la ganancia equivalente. Y por ´ ultimo, se simula dicho sistema y se estudia la viabilidad de diversas variantes del esquema principal.

Para este nuevo sistema se usa un enfoque basado en PFC (Parallel Feed-Forward Com- pensator). El objetivo es que el nuevo convertidor con la rama de prealimentaci´ on paralela tenga una nueva funci´ on de transferencia G ⁰ tal que G ⁰ = (GX + Y ) donde G es la funci´ on de transferencia de la planta del convertidor b´ asico tratado ya en el cap´ıtulo 3 (ecuaci´ on (3.11)). Los objetivos de este enfoque son obtener unas funciones de transferencia parciales X e Y tal que se obtenga:

Una funci´ on de transferencia G ⁰ de grado relativo 1.

Una funci´ on de transferencia Y de grado relativo 1 que tenga un derivador puro.

Una funci´ on de transferencia X que sea igual a la unidad en estado estacionario y que

corrija la acci´ on de G en estado transitorio.

Con estas consideraciones se espera obtener una mejora en la respuesta de G ⁰ para los estados transitorios manteniendo el mismo comportamiento en estado estacionario que G. Se espera tambi´ en que estos componentes permitan una compensaci´ on en la tensi´ on de salida tal que la k _n obtenida sea mayor a la de los apartados anteriores. Con ello, la intenci´ on es obtener un sistema m´ as robusto con un error estacionario menor.

En conclusi´ on, las ventaja que pueden suponer estas consideraciones a priori es la de obtener un sistema que evite los comportamientos no deseados producidos en las secciones anteriores.

4.0.1. Esquema del circuito

En primer lugar, a fin de realizar el estudio del circuito, se procede a aclarar la topolog´ıa

utilizada. Este paso es b´ asico ya que posteriormente se utiliza un m´ etodo reglado para obtener

las ecuaciones del circuito evitando errores, el m´ etodo nodal modificado. Este m´ etodo tiene

unas caracter´ısticas espec´ıficas que se describen a continuaci´ on: la corriente de las fuentes de

tensi´ on independientes se toma del polo positivo al negativo, el lado derecho de las ecuaciones

es siempre igual a 0 y las corrientes que entren por el nodo ser´ an de signo negativo y las

que salgan positivo. Es por ello que es imprescindible diferenciar los nodos del circuito. El

esquema que aclara la topolog´ıa, creado con [9], es el siguiente:

este proyecto:

E es la tensi´ on de red que entra en el convertidor.

u(t) es la se˜ nal de control del sistema. Puede tomar tan solo dos valores u(t) = {0, 1}.

C es la capacidad del condensador.

L es la inductancia de la bobina.

R es la resistencia interna de la bobina.

v ₃ = v _o (t) es la tensi´ on de salida aplicada a la carga de impedancia Z _load . i _o (t) es la intensidad que circula por la carga Z _load .

Y por otro lado se asignan las siguientes variables para determinar completamente el circuito:

R _c es la nueva resistencia de la rama compensaci´ on.

C c es el nuevo condensador de la rama de compensaci´ on.

R ₁ y R ₂ son las resistencias pertenecientes al divisor de tensi´ on de la rama de reali- mentaci´ on.

C b es el nuevo condensador de la rama de compensaci´ on paralela.

An´ alogamente al sistema estudiado en el cap´ıtulo 3, se toman como entradas u(t) y i _o (t), esta ´ ultima, como en el primer sistema tratado, se procede a fijarla como una constante dada determinada puesto que en la mayor´ıa de los casos de desconoce la impedancia de la carga a la cual se conecta el sistema. La funci´ on objetivo es, an´ alogamente al cap´ıtulo 3, la tensi´ on de salida del convertidor v _o .

Por otra parte, cabe comentar que en este circuito la fluctuaci´ on de la tensi´ on de salida est´ a dise˜ nada para que est´ e comprendida entre un 1 % y un 2 % de la tensi´ on de salida.

Generalmente para tensiones elevadas este fen´ omeno no comporta ning´ un problema pero sin embargo para salidas de voltaje bajas, como 1V, la fluctuaci´ on de salida podr´ıa ser inferior que el intervalo de hist´ eresis b. En el caso que esto ocurriera, el rel´ e no detectar´ıa los cambios y se perder´ıa el control del sistema. Para evitarlo, siguiendo las directrices de [1], se procede a establecer la siguiente relaci´ on:

L

R = R c C c (4.1)

Una vez definidas las variables y las relaciones entre ellas se realiza un estudio del sistema

dividi´ endolo en dos circuitos distintos. Se hace una distinci´ on entre la rama de potencia (R,

L, C) y la rama de prealimentaci´ on o compensaci´ on (R _c , C _c , C _b , R ₁ y R ₂ ).

Antes de comenzar con c´ alculos y simulaciones se realiza un estudio preliminar del circuito para observar la viabilidad de la obtenci´ on de los resultados esperados. Se separa el sistema en dos circuitos, filtro y prealimentaci´ on, por el momento desacoplados. La hip´ otesis de desacoplamiento consiste en considerar que ambos circuitos comparten tensiones pero por el contrario no existen relaciones de corrientes entre uno y otro. Los motivos principales de esta suposici´ on son simplicidad y capacidad de reutilizar los avances del cap´ıtulo 3 de este proyecto. De hecho se estima que esta suposici´ on es l´ıcita si se toman unos valores para las resistencias R _c , R, R ₁ y R ₂ lo suficientemente grandes para que la corriente que circule sea tan peque˜ na que se pueda despreciar.

Figura 4.29: Esquema completo del sistema.

El circuito de la Figura 4.29 se subdivide en las dos partes ya comentadas tal que estos son sus esquemas el´ ectricos:

(a) Esquema topol´ ogico de la prealimentaci´ on. (b) Esquema topol´ ogico del filtro.

Figura 4.30: Esquemas de los circuitos desacoplados.

Para el circuito que concierne la prealimentaci´ on, las entradas del sistema son uE y v _o = v ₃ y la salida es v ₄ = v _f (correspondiente al nodo 4), que es la tensi´ on en el punto medio entre las resistencias R 1 y R 2 . Respetando esta implementaci´ on la salida v f queda en funci´ on de las entradas u y v _o . Se estructura de la forma tal que:

V _f = H ₁ u + H ₂ V _o (4.2)

Por otro lado, la funci´ on de transferencia de la rama del filtro del convertidor es de la forma:

V _o = Gw + Z _o Io + F (4.3)

donde G es la funci´ on de transferencia que relaciona la salida con w, Z _o es la impedancia de salida y F es la funci´ on de transferencia de la perturbaci´ on 1 del cambio de variable de w a u, como ya se vio en el cap´ıtulo 3, ecuaci´ on (3.11).

Sustituyendo la V _o de la ecuaci´ on (4.3) en la ecuaci´ on (4.2) se obtiene la siguiente relaci´ on:

V _f = H ₁ u + H ₂ (Gw + Z _o Io + F ) (4.4) Y sustituyendo la relaci´ on u = w + 1

2 queda:

V _f = H ₁ w + 1

2 + H ₂ (Gw + Z _o Io + F ) (4.5)

Interesa que la ecuaci´ on final tenga la estructura V _f = G ⁰ w + Z _o ⁰ I _o + F ⁰ para que sea funci´ on de las entradas globales del sistema. Imponiendo dicha estructura la ecuaci´ on resultante es la siguiente:

V _f = (GH ₂ + H ₁

2 )w + H ₂ Z _o I _o + F H ₂ + H ₁

2 (4.6)

Donde G ⁰ = GH ₂ + H ₁

2 , Z _o ⁰ = H ₂ Z _o y F ⁰ = F H ₂ + H ₁ 2 . Se puede observar con la expresi´ on V _f = (GH ₂ + H ₁

2 )w que se obtiene a priori la estructura t´ıpica de Parallel feed-forward compensator (PFC), enfoque principal de esta segunda parte del proyecto. Sin embargo falta confirmar que H 2 = 1 y que adem´ as H ₁

2 sea de grado relativo 1 y tenga un derivador puro. Esta es la hip´ otesis para que en estado estacionario el sistema G ⁰ se comporte del mismo modo que el sistema G estudiado en el cap´ıtulo 3 y para que a su vez sea posible mejorar la respuesta del sistema en estados transitorios.

V _f = (G + H ₁

2 )w + Z _o I _o + F + H ₁

2 (4.7)

Por lo tanto, para que este supuesto se cumpla, se comprueban las caracter´ısticas de ambas funciones de transferencia ⁵ H ₁ ⁰ y H ₂ . Siguiendo la estructura V _f = (GH ₂ + H ₁ ⁰ )w +

5 A partir de este momento se trabaja con H ₁ ⁰ = H 1

2 para facilitar la lectura.

H ₁ ⁰ = C b R 1 R 2 Es

2 C _b C _c R ₁ R ₂ R _c s ² + ((2 C _b R ₂ + 2 R _c (C _b + C _c )) R ₁ + 2 R ₂ R _c (C _b + C _c )) s + 2 R ₁ + 2 R ₂ (4.8) H ₂ = R 2 (1 + C b C c R 1 R c s ² + R c (C b + C c ) s)

C _b C _c R ₁ R ₂ R _c s ² + ((R ₁ + R ₂ ) (C _b + C _c ) R _c + C _b R ₁ R ₂ ) s + R ₁ + R ₂ (4.9)

Una vez obtenidas las funciones de transferencia se calculan los l´ımites para cuando s tiende a 0:

H ₁ ⁰ = 0 (4.10)

H ₂ = R ₂

R ₁ + R ₂ (4.11)

y para el caso en el que s tiende a infinito:

H ₁ ⁰ = 0 (4.12)

H ₂ = 1 (4.13)

Se analiza en primer lugar H 2 . Los resultados no son los esperados puesto que H 2 no es igual a 1 sino al escalado proporcionado por el divisor de tensi´ on, pero se acerca bastante a esa cifra ⁶ , con lo que se procede con el estudio. En las simulaciones se espera ver la respuesta del sistema y las variaciones debido a este factor.

Por otra parte se analiza H ₁ ⁰ . Como se puede observar en la ecuaci´ on (4.8) H ₁ ⁰ es de grado relativo 1 y el numerador de H ₁ ⁰ es un derivador puro, por lo que en estado estacionario se obtiene H ₁ ⁰ = 0, ecuaci´ on (4.10). Adem´ as al ser de grado relativo 1 se simplificar´ıa la com- plejidad de las oscilaciones en r´ egimen transitorio al ser G ⁰ = GH ₂ + H ₁ ⁰ de grado relativo 1, puesto que GH 2 es de grado relativo 2 tal como se puede observar en la siguiente ecuaci´ on:

GH ₂ = 1 2

R ₂ E (1 + C _b C _c R ₁ R _c s ² + R _c (C _b + C _c ) s)

(LCs ² + RCs + 1) (C _b C _c R ₁ R ₂ R _c s ² + ((R ₁ + R ₂ ) (C _b + C _c ) R _c + C _b R ₁ R ₂ ) s + R ₁ + R ₂ ) (4.14)

Por lo tanto, se concluye que la planta del circuito ser´ıa muy parecida a G ⁰ = G en estado

estacionario. Se proceder´ a con el estudio de este esquema puesto que en estado estaciona-

rio se comporta de forma muy similar a la estudiada en el cap´ıtulo 3 y probablemente su

respuesta sea m´ as acorde a la buscada en estado transitorio al tratarse de una funci´ on de

transferencia de grado relativo 1.

Antes de hacer c´ alculos y simular el sistema se definen los valores que toman los par´ ametros para poder trabajar num´ ericamente. . Los valores que se escogen son:

E = 48 V C = 100 µF L = 100 µH R = 10 mΩ

an´ alogamente al primer caso estudiado. Por otro lado se asignan los siguientes valores a las nuevas variables:

R _c = 15 kΩ. Suficientemente elevada para evitar resonancias en la salida. Por lo menos del orden de R 1 .

C _c = 0,6 µF seg´ un la relaci´ on establecida anteriormente en la ecuaci´ on (4.1).

R ₁ = 15 kΩ y R ₂ = 5 kΩ para escalar la tensi´ on de salida un valor igual a un cuarto.

C _b = 0,022 µF. Es la ´ ultima variable que se ha fijado despu´ es de haber realizado algunas simulaciones del sistema. Se trata de un valor v´ alido est´ andar.

Por otro lado, una vez establecidos los valores de las variables se puede confirmar la contri- buci´ on de ambas funciones de transferencia H ₁ ⁰ y H ₂ . Con la ayuda del programa Matlab se comparan los diagramas de Bode resultantes seg´ un los valores escogidos de los par´ ametros (Figuras 4.31 y 4.32) y se verifican las hip´ otesis del comportamiento de los t´ erminos H ₁ ⁰ y H ₂ expuestas en la secci´ on 4.0.2.

Figura 4.31: Diagrama de Bode de H ₁ ⁰ .

4.0.4. Planteamiento del estudio

Una vez llevado a cabo el estudio preliminar del circuito y habiendo definido las variables se procede a realizar el an´ alisis de distintas variaciones relativas a dicho circuito. Se conside- ra en todos los casos que existe desacoplo entre el filtro del convertidor y prealimentaci´ on, es decir, se supone que no se transmite corriente entre la rama de potencia y la rama de prealimentaci´ on.

Este enfoque asume que la corriente que llega al condensador C (v _o ) no altera la tensi´ on demasiado y por tanto se considera v´ alido. Se asume la viabilidad de este caso puesto que si los valores de R 1 , R 2 y R c son lo suficientemente grandes, esta consideraci´ on se verifica.

Todas las simulaciones siguientes se han obtenido a trav´ es de las ecuaciones diferenciales del

sistema para cada caso en concreto.

Figura 4.33: Esquema completo del sistema.

Los casos que se estudian, siempre teniendo de base el esquema de la Figura 4.33, son los siguientes:

1. Convertidor con desacoplo entre filtro del convertidor y prealimentaci´ on.

2. Convertidor sin las ramas C _b , R ₁ y R ₂

3. Convertidor sustituyendo C c por una resistencia 4. Convertidor sin la rama C _c

5. Convertidor sin C _b

Se subdivide el estudio en caso principal y variantes.

4.1. Caso principal. Convertidor con desacoplo entre filtro del con- vertidor y prealimentaci´ on

En esta secci´ on se estudia el circuito completo aunque sin la interacci´ on entre estas dos

ramas. Se trabaja por tanto con el siguiente esquema:

Figura 4.34: Esquema del sistema a estudiar.

Con tal de llevar a cabo la simulaci´ on del circuito se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales del sistema con el programa Maple m´ odulo Syrup [5] [6], en funci´ on de las variables de estado v _C

y v _C

y la variable de salida v _f :

dv _C

(t)

dt = − R ₁ v _C

(t) − R ₁ v _C

(t) − R ₁ V _o + R ₂ v _C

(t) − R ₂ v _C

(t)

R ₁ R ₂ C _b (4.15)

dv

(t)

dt = uER

R

− v

(t) R

R

− V

R

R

+ R

R

v

(t) − R

R

v

(t) − R

R

V

+ v

(t) R

R

− v

(t) R

R

C

R

R

R

(4.16)

v _f = −v _C

(t) + v _C

(t) + V _o (4.17)

Mediante estas ecuaciones se implementa el diagrama de bloques del sistema desacoplado en

Simulink [4] (Figura 4.35).

Figura 4.35: Esquema de bloques del circuito.

Donde el subsistema correspondiente al filtro es:

Figura 4.36: Diagrama de bloques del subsistema Filtro.

Y el subsistema correspondiente a la rama de prealimentaci´ on es:

Figura 4.37: Diagrama de bloques del subsistema prealimentaci´ on.

4.1.1. Primeras simulaciones del sistema

Al simular el sistema se obtiene la siguiente respuesta:

Figura 4.38: Respuesta del sistema en presencia de carga.

Como se observa se consigue el resultado esperado. A priori se perciben las mejoras espe-

radas tanto para el caso con carga de la Figura 4.38, como para el caso en vac´ıo de la Figura

4.39.