25 EJERCICIOS de RADICALES 4º ESO opc. A

25 EJERCICIOS de RADICALES

4º ESO opc.

A

RECORDAR:

•

Definición de raíz n-ésima: na ₌x_⇔ xn ₌a

Consecuencia:

_n n

x =x , y también

( )

n_x n_=x

•

Equivalencia con una potencia de exponente fraccionario: n_xm _=xm/n

•

Simplificación de radicales/índice común: n×p_xm×p ₌n m_x

•

Propiedades de las raíces: n_{a · b}n ₌n_a·b

n _nn

b

a

b

a

₌

( )

n _a m ₌n _am

m n _{a =}m·n_a

•

Introducir/extraer factores: _x·n_a=n _xn_·a

Definición de raíz

:

1.

Calcular mentalmente, sin usar calculadora:

= = = = = = = = = = = = = = = = = = 10 -9 10 2 24 5 6 7 0,49 0,0081 0,09 0,25 100 16 25 4 9 1 4 1 0 1 100 49 25 9

2.

Calcular mentalmente, sin usar calculadora:

3 0,216 3 0,001 3 0,027 3 0,125 3 1000 64 3 125 64 3 125 1 3 8 1 3 1000 3 27 3 _-8 3 1 31331 31000 3 64 3 27 3 8 = = = = = = = = = = = = = = = =

3.

Calcular, aplicando la definición de raíz (no vale con calculadora), indicando el porqué (véase el ejemplo): a) 3

₋

8

₌

₋

2

pq

(

₋

2

)

3

₌

₋

8

_b)

₋

₈

₌

_c) 6

₋

₁

₌

EJERCICIOS de RAÍCES 4º ESO opc. A d) 5

−

₃₂

=

_e) 4

₈₁

₌

_{f) 5}2 ₌ g) 6

₂

6

=

_h) = 81 625 _{i) 3 =} 64 27 j) 4_{− =} 1681 k) = 5₃15 _l) 3

₀

_,

₀₆₄

₌

m)

0

,

1

⌢

=

n)

2

,

25

=

o)

2

,

7

⌢

=

4.

Hallar el valor de k en cada caso:

a) 3 k ₌2 _{(Soluc: k=8)} b) k ₋243 ₌₋3 _{(Soluc: k=5)} c) 3 2 k 5 _{= (Soluc: k=32/243)} d) k

1,331

₌

1,1

_{(Soluc: k=3)}

Potencias de exponente fraccionario:

5.

Utilizar la calculadora para hallar, con tres cifras decimales bien aproximadas (véase el 1er _ejemplo):

a) 4

8

_≅

,1

682

_b) 5_{9 c)} 6

₂₅

_d) 3

₁₀

e) 5 _{−15 f)} 6 _{−40 g)} 4

₂

3 _h) 5

₃

2

i) 6 ₅2 _j) 8 _{256 k)} 3

₆₄

6.

Hallar 3

3

con cuatro cifras decimales bien aproximadas, razonando el error cometido

.

7.

Calcular las siguientes potencias de dos formas distintas, y comprobar que se obtiene idéntico resultado (en ambos casos no vale utilizar la calculadora):

− Pasando a forma de raíz.

− Reemplazando la base por su descomposición en factores primos. (Véase el 1er ejemplo) a) 41/2 ₌ 4 ₌2 _{, o bien} 1/2

( )

2 1/2

4 = 2 =2 b) 1251/3 =

c) 6251/4 _{= d) 8}2/3 ₌

g) 8-2/3 _{= h) 27}-1/3 ₌

Radicales equivalentes. Simplificación de radicales:

8.

Simplificar los siguientes radicales, y comprobar el resultado con la calculadora cuando proceda (véase el 1er ejemplo): a) 432 ₌4/232/2 ₌ 3 _b) 8₅4 _{= c)} 9_{27 = d)} 5_{1024 =} e) 6_{8 = f)} 9

₆₄

₌

_g) 8_{81 = h)} 12_x9 ₌ i) 12_x8 _{= j)} 5_x10 _{= k)} 4

x

9

=

_l) 6_{a b}2 4 ₌ m) 10_{a b}4 6 _{= n)} 6₅3 _{= o)} 15₂12 _{= p)} 10_a8 ₌ q) _{12x y z}4 8 4 _{= r) 8}

( )

_{x y}2 2 2 ₌

9.

Decir si los siguientes radicales son equivalentes (y comprobar después con la calculadora):

a) 5, 4_{25 ,} 6

₁₂₅

_, 8

₆₂₅

_{(Soluc: SÍ)}

b)

9

, 3 _27, 4_{49 ,} 5 _{243 (Soluc: NO)}

c)

2

, 4

₄

_, 6

₈

_, 8_{16 (Soluc: SÍ)}

EJERCICIOS de RAÍCES 4º ESO opc. A

10.

Reducir los siguientes radicales a índice común y ordenarlos de menor a mayor (y comprobar el resultado con la calculadora): a)

5

, 5

₂

3 _, 15

₇

2 b) 3

₅

_, 5

₇

3 _, 15

₃

2  _{< <}      2 5 3 15 3 Sol : 3 5 7 c) 4

₃

_, 6_16, 15

₉

d)

2

, 3 _32, 5 ₂₇

(

)

<5 <3 Sol : 2 27 32 e)

2

, 3

₃

_, 4

₄

_, 5

₅

_, 6

₆

(

_{Sol : 6}6 <5₅ <4₄ = ₂ <3₃

)

f) 3

₁₆

_, 4

₁₂₅

_, 6 ₂₄₃

(

₆

)

<3 <4 Sol : 243 16 125 g) 4_{31 y} 3

13

h) 3

₅₁

_y 9₁₃₂₆₅₀ i) 3 _{−10 y} 4 ₈

(

₃

)

<4 Sol : -10 8

Operaciones con radicales:

11.

Multiplicar los siguientes radicales de igual índice, y simplificar cuando sea posible (véase el 1er _ejemplo):

a) 2 32 = 64 =8

b) 2 15 =

c) 3_{3 9}3 ₌

e) 3 4 = f) 3_{2 5}3 ₌ g) 12 6 50 = h) 21 7 = i) 4 3 · 2 27 =

₍

Sol : 72

₎

j) _{2 4}4 ₌

(

_{Sol : 2}

)

k) 7 7 = l) 137 137 = m)_3_{x + x 1}2 3 ₊ _

(

3_{x 1−}

)

₌  

₍

Sol : x -1

₎

n)_3_{x + a x}2 3 3 ₊3_a2 _

(

3_{x −}3_a

)

₌  

₍

Sol : x - a

₎

12.

Multiplicar los siguientes radicales de distinto índice, reduciendo previamente a índice común, y simplificar (véase el 1er _ejemplo): a) ₂3_{32 = 2}3 ₂5 ₌6 ₂3 6 ₂10 ₌6 ₂13 b) 3

_{2 8}

4

₌

(

_Sol:12₂13

)

c) 3_{2 2}5 ₌

(

_Sol:15₂8

)

d) 3_{9 3}6 ₌

(

_{Sol : 2436}

)

e) 3_{2 2}2 4 ₌

(

_Sol:12₂11

)

f) 4

_{a a}

3 6 5

₌

(

_Sol:12_a19

)

g) 3

_{2 3 8}

4

₌

(

_Sol:12₂13₃6

)

h) _{48 4 a3} 3 ₌

(

_Sol:12₂17_a18

)

i) 10

_{7 49}

5

₌

(

_{Sol : 7}

)

13.

Simplificar, aplicando convenientemente las propiedades de las raíces (véase el 1er ejemplo):

a)

16

4

2

32

2

32

₌

₌

₌

b) 8 =

EJERCICIOS de RAÍCES 4º ESO opc. A c) 3 3 81 9 = d) 15 3 = e) 3 = 4 f) 3 3 16 = 2 g) 256 ₌ 729

(

Sol:16/27

)

h)

33

=

3

(

Sol: 11

)

i) 21 = 2 7

(

Sol : 3/2

)

j) 3 125 = 512 k) 4 16 = 625 l) 2 8 ₌ 32

(

Sol:1/ 2

)

m) 5 25 4 25 1 _{2 2} 25 2 ₂₅ 2 − − = −

(

Sol : 3

)

14.

¿Cómo podríamos comprobar rápidamente que

3 3 2 6

6

2 _{= ? (no vale calculadora)}

(Sol: multiplicando en cruz)

15.

Operar los siguientes radicales de distinto índice, reduciendo previamente a índice común (véase el 1er

ejemplo): a) 4 5 4 4 6 4 3 4 ₂ 2 2 2 2 2 8 _{= = =} b) 3 6 9 = 3

(

Sol: 3

)

c) 3 2 = 32      6₂7 1 : Sol d) 4 6 4 = 8 (Sol:1)

e) 372 = 7

(

)

6₇ : Sol f) 3 9 = 3

(

)

3₉ : Sol g) 516 ₌ 2

(

)

10₈ : Sol h) 3 ab = ab

(

)

6_ab : Sol i) 4 3 5 3 3 a b c = ab c      ₄ 5 bc a : Sol j) 6 3 2 3 a = a

(

)

6_a 1 : Sol k) 3 6 4 3 = 12

(

)

3₆ : Sol l) 8 4 8 = 4 2        8 5  1 Sol : 2 m) 3 ₄ = 25 125 · 5

₍

_Sol:3₆₂₅

₎

n) 3 ×₁₂ ×12 = 18 2 3 2

₍

_Sol:3₆

₎

o) ₌ 4 12 3 2 2 · 3 · 4

₍

_{Sol: 6}

₎

p) 6_{12 4}12 = 12 · 4 27 · 54

₍

_{Sol: 3 2}

₎

q) 4 ₆2

×

₂12₂ 3 5 2

=

c

b

a

c

b

a

abc

₍

_Sol:6_ab2_c3

₎

EJERCICIOS de RAÍCES 4º ESO opc. A

16.

Simplificar (véanse los dos ejemplos): a)

( )

3 _a2 6 ₌3_a12 _=a12/3 _=a4 b)

( )

6_ab2 2 =

(

_Sol:3_ab2

)

c)

( )

_x 3×3 _x =

(

_Sol:6_x11

)

d)

( )

( )

₄ 2 = 4 3 2 2

(

_{Sol : 32}6

)

e)

( )

( )

₄ 3 = 4 3 2 2 2

(

_Sol:12₂13

)

f) ₂

( ) ( )

4₂ 3 3₂ 2=

(

_Sol:12₂23

)

g)

( )

( ) ( )

2 ₃ 4 = 5 4 3 3 3         12₃13 1 : Sol h) _{2 2 4}

(

4 3

)

3 ₌

(

_Sol:4₂13

)

i) ₂6 ₌4₂6 _{= 2}3 _{= 8} j) 12 =

(

_Sol:4₁₂

)

k) ₂8 ₌      (Sol:2) l) 3 4 _x5_x7 = _(Sol:x) m) 3 4 _x15 =

(

_Sol:4 _x5

)

n) _{ =}     _{3 7 3} 7 x 8

(

Sol: 2x

)

o) 

( )

₌      ₃ 5 ₄ 3 5 5

(

Sol:12519

)

p) 2

( ) ( )

8 −8 2 6+24 2

( )

4−32 2

( )

2+16=

(

Sol : 0

)

q)

( )

₌      3 4 6 3 x x _(Sol:x) r)

( ) ( )

( )

₃ 2 = 3 4 4 3 4 8 · 2

(

_Sol:12₂35

)

s)

( )

( )

3 3 4 = 3 3 3 2 a · a a · a

₍

_Sol:a2

₎

t)

( )

( )

3 = 3 3 3 3 · 81 9 · 27

₍

_Sol:9

₎

u) ₃ 5 3 27 =

(

)

15 Sol : 9

17.

Introducir convenientemente factores y simplificar (véase el 1er ejemplo): a) 2 2 ₌ 22·2₌ 23 ₌ 8 b) 2 3 = c) 2 3 = 2

(

Sol: 6

)

d) 3 2 = e) 3 2 = 27

(

Sol: 2/3

)

f) _{3 3 =}3 g) 6 5 = 12

(

Sol: 15

)

h) _{3 5 =}4 i) 3 c ab = ab      b ac : Sol j) 3 7 =

EJERCICIOS de RAÍCES 4º ESO opc. A k) _2a 3c ₌ 2a

(

Sol: 6ac

)

l) x x =

(

_Sol:4 _x3

)

m)

_2·

3

₂

=

(

_Sol:3₄

)

n) 2 2 2 =

(

_Sol:8₂7

)

o) 333 3 ₌

(

₄

)

Sol : 27 p) _{2· 2 ·}4₂=

₍

_Sol:2

₎

q) 3

2

2

·

2

=

(

Sol: 2

)

r)  ₌      3_{4 2 2} 3

(

Sol:4

)

s)

₃

₃

3

₃

3

₃

=

(

Sol:3

)

t)  ₌     3 _{3 3}3₃ 2

(

_Sol:18₃13

)

u)

( )

₌ 3 3 3 3 9 3 3 3 81

(

Sol:9

)

v) ₌ 4 3 3 3 8 2 2 2 16 2 2

(

Sol: 2

)

w)

(

)

= 4 3 3 2 2 2 2 2

(

Sol:2

)

18.

Realizar las siguientes operaciones de dos formas distintas, y comprobar que se obtiene el mismo resultado:

− Operando, teniendo en cuenta las propiedades de las raíces (Resultado como un único radical).

− Pasando a potencia de exponente fraccionario, y aplicando a continuación las propiedades de las potencias. a) ₂4₂ = 2 1       4₂ 1 : Sol b)

=

a

a

a

3 2       6_a5 1 : Sol c)

=

a

a

a

a

3 2 3 2

(

_Sol:6_a7

)

d) 23 2 2 =

(

_Sol:4₈

)

19.

Extraer factores, y simplificar cuando proceda (véase el 1er _ejemplo):

a) 8 ₌ 23 ₌ 22 2₌2 2 b) 18 = c) 98 = d) 32 = e) 60 = f) 72 = g) 128 = h) 162 = i) 200 = j) 12 =

EJERCICIOS de RAÍCES 4º ESO opc. A k) 27 = l) 48 = m) 75 = n) 108 = o) 3_{3 5 =} 4 5

(

_Sol:15 3₇₅

)

p) 4_{80 =}

(

_Sol:2 4₅

)

q) 3_{2592 =}

)

3₁₂ 6 : Sol r) 5_{279936 =}

)

5₃₆ 6 : Sol s)  ₂ 10₌     Sol:4 2

(

t) 3_{500 =} ( _Sol:53₄

)

u) 3_{32x =}4 (Sol:2x34x

)

v) 1936 = ( Sol:44

)

w)

3,24 =

(

Sol:1,8

)

x)

529 =

(Sol:23

)

y)

676 =

(Sol:26

)

z) 3

_{128a b =}

2 7      _{Sol :4b}23_2a2_b α αα α) 3_{81a b c =} 3 5

(

_Sol:3ab 3_3b2_c

)

ββββ) 3

_{2 a b =}

11 2 19       63 2 Sol : 8b 4a b γγγγ) 5_{64 =}

(

_Sol:2 5₂

)

δδδδ) 3_{16x =} 6 εεεε) 5 3 28x = 75y         3y 7x 5y 2x : Sol 2 ζζζζ) 11 132 ₌ 132

(

Sol: 33/6

)

ηηηη) 396 = 66

(

Sol: 11/11

)

ϑ ϑϑ ϑ) 3a2 = 4      3 2 a : Sol ιιιι) 11 132 ₌ 132

(

Sol: 3/6

)

κκκκ) 25 25 = 4 +

(

Sol:5 5/2

)

λλλλ) 12· 3· 50 =

(

Sol:30 2

)

µ) 3 3 ₌ 81 4 2 3 5       ₃ 2 3 5 : Sol

ν) 362+272 =

(

Sol : 45

)

20.

Sumar los siguientes radicales, reduciéndolos previamente a radicales semejantes (véase el 1er ejemplo):

a) b) 5 + 45 + 180 − 80 = (Soluc: 6 5 ) c) 24 5 6− + 486 = (Soluc: 6 6 ) d) 3_{54 2 16 = −} 3 (Soluc:

-

3

2

) e) 27 3 5 27 9 12 = − − (Soluc: -6 3 ) f) 75 − 20 − 12 + 45 = (Soluc: 3 3+ 5 ) g) _{2 2 +}

( )

4₂ 3_{+ 2 ·}4₂₋4_{8 = (Soluc: 2 8}4 ) h) 2 8 +5 72 −7 18 − 50 = (Soluc: 8 2 ) i) 5 2 +3 2 −2 3 6 = (Soluc: 2 2 ) j) ₅ 6₂₅₆−₂ 3₁₆− 3₁₂₈= _{(Soluc: 2} 3_{2 )} k) 32 2 3+ − 8 + 2 2 12 = − (Soluc: 3 2-2 3 ) 2 2 2 4 -2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 32 -18 8 2_{+ + = +} 3 ₊ 2

_-

5 _{= + +}

_-

2 _{= + + =} FACTORIZAMOS

RADICANDOS EXTRAEMOS FACTORES RADICALES SUMAMOS SEMEJANTES

EJERCICIOS de RAÍCES 4º ESO opc. A l) 3 24 1 54 150 = 3 − + (Soluc: 10 6 ) m) 5 2 +4 8 +3 18 +2 32 + 50 = (Soluc: 35 2 ) n) 20 1 5 45 = 5 − + (Soluc: 5 5 24 ₎ o) 2 108 − 75 − 27 − 12 − 3 = (Soluc: 3 ) p) 128+5 12−2 18−3 27− 2 = (Soluc: 2+ 3 ) q) 2 6 1 24 1 54 4 2 + − = (Soluc: 6 ) r) ₅ 45 ₌ 4 + (Soluc: 5 2 5 ₎ s) 2 18 ₌ 3 + 75 (Soluc: 3 2 5 8 ₎ t) 1 ₃ 1 ₌ 2 + 8 (Soluc: 2 1 2 5 ₎ u) 3 _{4 12 =} 16 − (Soluc: ₃ 4 31 − ) v) 5 10 ₌ 12 − 6 (Soluc: 3 5 2 1 − )

w) 50a − 18a = (Soluc: 2 2a )

x) + 27−4 3− 300= 4 3 5 (Soluc: 3 2 17 − )

c) 5 ₌ 2 3 (Soluc: 5 6 ) 3 d) 5 ₌ 3 5 (Soluc: 35 ) e) 2 ₌ 3 (Soluc: 36 ) f) 3 ₌ 2 (Soluc: 2 6 ₎ g) 2 2 ₌ 7 − _(Soluc: 2 7 − 14 7 ) h) 2 2 ₌ 2 + _(Soluc:

2

_{+ )}

1

i) 4 ₌ 6 (Soluc: 3 6 2 ₎ j) = 27 1 _(Soluc: 9 3 ₎ k) 3 ₌ 2 3 (Soluc: 2 3 ₎ l) ₌ 8 12 _{(Soluc: 3 2 )} m) − ₌ 2 3 4 2 _(Soluc: 3 2 2 3 1_{− )} n) 15 3 ₌ 2 5 (Soluc: 2 15 3 ₎ a) _{= =} 3 3 3 3 1 = 5 (Soluc: 5 5 ₎ b)

EJERCICIOS de RAÍCES 4º ESO opc. A p) 2 7 ₌ 7 2 − _(Soluc: 7 14 − ) q) 11 = 12 (Soluc: 633 ) r) 3 1 = 2         (Soluc: 42 ) s)

(

)

2 1 2 1+ 2 + _{(Soluc: 2+2 2 )} t)

(

)

2 1 1 2 = 2 − − (Soluc: 2− 2 ) u) 81 81 4 ₌ 5 + (Soluc: 2 9₎ v) 2 2 = 5 − 125 (Soluc: 25 5 8 ₎ w) 3 1 = 3         (Soluc: 93 ) x) 3 15 2 ₌ 15 2         (Soluc: 30 15 ) y) 5 5 ₌ 10 + _(Soluc: 10 5 10 50+ ₎ z) 2 6 ₌ 6 2 (Soluc: 3 3 ₎

α) 3 10 ₌ 5 6 (Soluc: 5 15 ₎ β)

+

=

x

2

x

x

(Soluc: 23 ) x

23.

Racionalizar denominadores, y simplificar (veáse el 1er _ejemplo):

a) 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 1 2 2 4 = = = 2 2 2 2 2 b) 5 3 = 9 (Soluc: 5_{27 )} c) 6 8 = 8 (Soluc: 4 2 ) d) 4 10 = 3 125 (Soluc: 4₅ 3 2 ₎ e) 5 3 25 = 5 5 (Soluc: 5 5 15 ) f) ₅ = 128 10 _(Soluc: 5₈ 2 5 ₎ g) 5 3 = 5 27 (Soluc: 15 3 10 9 ) h) 5 3 3 9 = 2 243 (Soluc: 6 3 15 11 ) i) 3 5 15 = 15 (Soluc: ₅6_{15 )}

EJERCICIOS de RAÍCES 4º ESO opc. A j) 5 3 = 9 (Soluc: 10_{3 )} k) 5 2 = 2 (Soluc: 10₈) l) 3 3 = 3 (Soluc: 6₂₄₃₎ m) 4 4 = 64 (Soluc: 2 ) n) 2 3 x x = x + x (Soluc: 3_x x+ ) o) = 3 6 2 3 2 · 4 a · 2 a 2 a (Soluc: 6 5 2 a a ) p) 3 _{1 2 9 6}1 _{= (Soluc:} 3 _{3 6}3 6 ₎ q) ₅

7 =

49

(Soluc: 1 0 7 )

24.

Racionalizar denominadores, y simplificar (véase el ejemplo):

a)

(

)(

)

(

)(

)

_{( )}

2 1 2 1 3 1 2 1 3 2 2 3 1 3 2 6 1 3 2 6 = = = = 1 3 1 3 1 3 _{1 3} 1 3 2 + + + + + + + + + + + + − − − + ₋ − b) 9 ₌ 7 − 3 (Soluc: ₃ 4 9 7 4 9 _{+ )} c) 4( 5 2)₌ 5 1 + − (Soluc: 7+3 5 )

d) 3( 7 1)₌ 7 2 + + (Soluc: 5− 7 ) e) 3 1₌ 3 1 + − (Soluc: 2+ 3 ) f) 1 2 ₌ 2 2 + − (Soluc: ₂ 2 3 2+ ) g) 5 7 3 ₌ 1 3 − + (Soluc: −13+6 3 ) h) 2 2 ₌ 1 2 + + (Soluc: 2 ) i) ₌ + − 6 6 3 2 2 3 _{(Soluc: 3} 5 3 2 5 4 _{− )} j) 7 ₌ 7− 7 (Soluc: 6 7 6 7_{+ )} k) 4 ₌ 3 + 2 (Soluc: 4 3−4 2 ) l) 2 1 ₌ 3 2 2 + − (Soluc: ₂ 14 5 7 4_{+ )} m) 3 ₌ 3 + 2 (Soluc: 3− 6 )