Universidad de Costa Rica Facultad de Ciencias Escuela de Matemática
Departamento de Educación Matemática Enseñanza de la Matemática II Ciclo lectivo del 2020
CARTA AL ESTUDIANTE
MA-0610: Introducción a la Variable Compleja
• Naturaleza del curso: Teórico • Número de horas sincrónicas: 5
• Número de horas estudio independiente: 10 • Modalidad: Semestral/Virtual
• Créditos: 5
• Requisitos: MA-0552: Introducción a la Topología • Correquisitos: Ninguno
¡Bienvenidos al curso MA-0610: Introducción a la Variable Compleja, correspondiente al segundo ciclo lectivo del 2020! En este documento encontrará información sobre los aspectos del curso que usted debe conocer, tales como objetivos, contenidos, evaluación y bibliografía. Es su derecho y su deber, estar informado sobre lo que se espera que aprenda en este curso y sobre la manera en que será evaluado su aprendizaje. Es conveniente leer con detenimiento esta carta y consultar sobre cualquier duda que tenga al respecto. El aprendizaje de las matemáticas requiere del dominio de los conceptos y de práctica.
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Descripción del curso
Este curso está dirigido a estudiantes de décimo ciclo de la carrera de Bachillerato y Licenciatura en Enseñanza de la Matemática. Aunque posiblemente usted ha tenido contacto previo con los números complejos, se considera que este es su primer acercamiento formal con el tema. Se parte del conocimien-to adquirido en cursos previos de álgebra elemental y análisis real, para enmarcar y contextualizar ese conocimiento en un ámbito más general y de mayor riqueza, tanto algebraica como analítica.
La teoría de funciones de variable compleja es una de las ramas más ricas e interesantes desde el punto de vista de la evolución histórica. Desde la resolución de la ecuación cúbica en el siglo XVI, se inicia una constante secuencia de intentos por formalizar cada día de manera más precisa los llamados números
utilizarla eficientemente, no lograban dar con una definición satisfactoria. De manera que en cierta forma hoy topamos con la fortuna de poder hablar de los números complejos con toda propiedad, gracias a quienes debieron abrir camino en este campo que ha llegado a ser tan basto e imprescindible dentro de la matemática.
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Objetivos
Durante el curso, se espera que el estudiante sea capaz de:
1-) Comprender, representar y utilizar los números complejos.
2-) Utilizar las funciones de variable compleja para modelar y resolver problemas. 3-) Comprender el concepto de mapeo conforme y utilizarlo en aplicaciones concretas.
4-) Analizar convergencia de sucesiones y series de números complejos, así como de series de
poten-cias.
5-) Comprender el concepto de integral sobre contornos y aplicarlo en problemas concretos.
6-) Aplicar la integración de contorno en la resolución de problemas y deducción de otros resultados. 7-) Comprender las propiedades de las funciones de variable compleja y aplicarlas en la resolución de
problemas.
8-) Comprender el desarrollo histórico de la teoría de funciones de variable compleja, enmarcándola
dentro del crecimiento natural de la matemática como disciplina que evoluciona en la búsqueda de respuestas a problemas del entorno.
9-) Utilizar los conceptos y resultados de la teoría de números complejos como herramienta útil para
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Contenidos
Capítulo 1: Estructura algebraica de los números complejos (2 semanas)
Noción intuitiva de los números imaginarios. Construcción del conjunto de los números complejos C. Operaciones en C. La estructura (C, +, ·) como un cuerpo que no es totalmente ordenado. Parte real y parte imaginaria de un número complejo, números imaginarios puros. Conjugado, módulo y argumen-tos de un número complejo. Forma algebraica , forma rectangular, forma polar (trigonométrica) y forma exponencial de un número complejo. La fórmula de DeMoivre y el teorema de Euler. Raíces n-ésimas de un número complejo. Soluciones de ecuaciones polinomiales en C. Graficación de conjuntos en el plano complejo.
Capítulo 2: Geometría analítica en C (2 semanas)
Distancia, rectas, ángulos, triángulos, rectángulos y círculos. Representación de conjuntos en el plano de Argand. Traslaciones, rotaciones, inversiones y reflexiones. La transformaciones de Möbius. Aplica-ciones conformes. Curvas de nivel. Reflexiones isógonas. TransformaAplica-ciones homográficas. La esfera de Riemann y la proyección estereográfica.
Capítulo 3: La topología de C (1 semana)
Topología en los números complejos. Bolas y vecindarios. Conjuntos abiertos y cerrados. Conexidad, conexidad simple y arco-conexidad. Subconjuntos compactos de C. Regiones y dominios.
Capítulo 4: Funciones complejas de variable compleja (3 semanas)
Funciones analíticas. Sucesiones y series complejas. Series de potencias complejas. La función expo-nencial y la función logarítmica. Las funciones trigonométricas circulares y las funciones trigonométricas hiperbólicas. Límites y continuidad de funciones complejas. Derivada de una función compleja, las ecua-ciones de Cauchy-Riemann. Funecua-ciones holomorfas, funecua-ciones meromorfas y funecua-ciones enteras. Funecua-ciones armónicas.
Capítulo 5: Integración compleja y aplicaciones (4 semanas)
Polos de una función compleja. Integrales de línea. El teorema de Goursat para rectángulos. La fórmula integral de Cauchy. Clasificación de singularidades. El teorema de Liouville. El Teorema Fundamental del Álgebra. El teorema de Casorati- Weiestrass y el pequeño teorema de Picard, Series de Laurent para funciones meromorfas. El teorema del residuo y sus aplicaciones para el cálculo de integrales impropias reales. Integrales de contorno. Cálculo de integrales definidas. La función Gamma y la función Beta. Temas adicionales (según el tiempo lo permita).
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Metodología
Debido a la crisis que enfrenta el país (y el mundo entero) por pandemia del COVID-19, el curso será evaluado de manera virtual (de forma sincrónica). La teoría se presenta mediante videos que el profesor colgará en línea, videoconferencias en la plataforma ZOOM y archivos en formato *pdf. Dichas activida-des serán complementadas con sesiones de ejercicios resueltas por los estudiantes mediante el uso de la plataforma ZOOM o videos. Es importante enfatizar que el curso tiene un objetivo ineludible de
apropia-Desde luego que no se espera adquirir un conocimiento solo por adquirirlo. Como todo concepto mate-mático, los números complejos traen consigo una riqueza histórica y una serie de conexiones con otras áreas de la matemática y fuera de esta. Es conociendo y entendiendo todas esas relaciones y toda esa evo-lución, como realmente se espera que se logre apreciar la belleza y utilidad de la teoría de funciones de variable compleja. Para lograr eso, el trabajo realizado en la clase deberá estar respaldado por su aporte como estudiante en aspectos como:
• Repasar la materia.
• Levantar un listado de preguntas pertinentes. • Resumir las ideas principales.
• Resolver los ejercicios.
• Participar en grupos de estudio. • Hacer uso de las horas de consulta.
• Participación regular en clase de trabajo grupal e intercambio de opiniones en relación con la prác-tica docente
• Estudio individual extra-clase de la evolución histórica de las ideas en torno al tema de los números complejos.
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Normativa
Según lo establecido en el CONVENIO PARA UNIFICAR LA DEFINICIÓN DE CRÉDITO EN EDUCACIÓN SUPERIOR DE COSTA RICA, un Crédito es una unidad valorativa que exige tres horas reloj por parte del estudiante. Este es un curso de cuatro créditos, por lo que el estudiante le debe dedicar 12 horas reloj de trabajo semanal. Se debe tener presente el reglamento de Régimen Académico Estudiantil el cual norma los procedimientos de Evaluación y Orientación Académica de estudiantes de la UCR. Importante queremos señalarles que el capítulo V en sus artículos 14 y 15 trata sobre la administración de los cursos. En el Capítulo VI se abordan las normas de Evaluación. Los detalles los puede encontrar en la dirección electrónica http://www.cu.ucr.ac.cr/normativa/
Además, en el siguiente enlace encontrará la normativa de orden y disciplina: https://www.cu.ucr. ac.cr/normativ/orden_y_disciplina.pdf; cualquier incumplimiento a esta normativa será penali-zado según corresponda.
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Plataforma Virtual
Con el fin de aprovechar los recursos digitales que nuestra Universidad pone a nuestra disposición, esta-remos utilizando una Plataforma Virtual, que servirá de repositorio de información y comunicación. La dirección es:
https://mv2.mediacionvirtual.ucr.ac.cr/course/view.php?id=16061
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Evaluación
Se realizarán tres exámenes parciales que representan el 90 % de su nota de aprovechamiento (NA). El 10 % restante será evaluado en un proyecto.
Actividad Porcentaje Temas a evaular Feha de aplicación
I Examen Parcial 30 % Capítulos 1 y Capítulo 2 Sábado 19 de septiembre, 8:00am II Examen Parcial 30 % Capítulos 3 y Capítulo 4 Sábado 24 de octubre, 8:00am. III Examen Parcial 30 % Capítulo 5 Sábado 21 de noviembre, 8:00am
Proyecto 10 % No aplica Última semana del ciclo lectivo.
El examen de ampliación será el día sábado 05 de diciembre del 2020, a la 1:00pm Directrices con respecto a la evaluación
I Los exámenes parciales serán individuales. En la semana respectiva se les estará subiendo, mediante la plataforma de Mediación Virtual, con fecha de entrega indicada y para ser subidos como un solo
documento en formato .*pdf. Cada página del examen debe incluir su nombre y número de carné. Además, el nombre del archivo subido debe ser de la forma Nombre-Carné-XParcial.pdf.
I El proyecto será grupal (en grupos de dos o tres personas1) y consistirá en una exposición de media
hora sobre algún tema relacionado con los contenidos del curso. La parte oral tendrá un valor de 5 % y la parte escrita tendrá un valor de 5 %. El reporte debe ser escrito utilizando LATEX. Algunas
propuestas de temas son las siguientes:
? La historia del conjunto de los números complejos.
? Construcción de C como el conjunto cociente R[x]/(x2+ 1).
? Ventajas y desventajas de la implementación del conjunto de los números complejos en la educación media.
? Aplicaciones de los números complejos a la Teoría de Números.
? Los números complejos en la resolución de problemas de Olimpiadas Costarricense de Mate-mática.
? El Teorema de Rouché. ? Continuación analítica.
? La función Zeta de Riemann (introducción). ? Superficies riemannianas (introducción).
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Cronograma tentativo
Semana Días Temas
1 10 al 15 de agosto Noción intuitiva de los números imaginarios. Construcción del conjunto de los números complejos C. Operaciones en C. La estructura (C, +, ·) como un cuerpo que no es totalmente orde-nado. Parte real y parte imaginaria de un número complejo, nú-meros imaginarios puros. Conjugado, módulo y argumentos en C. Forma algebraica , forma rectangular, forma polar (trigono-métrica) y forma exponencial de un número complejo.
2 17 al 22 de agosto La fórmula de DeMoivre y el teorema de Euler. Raíces n-ésimas de un número complejo. Soluciones de ecuaciones polinomiales en C. Graficación de conjuntos en el plano complejo,
3 24 al 29 de agosto Distancia, rectas, ángulos, triángulos, rectángulos y círculos. Re-presentación de conjuntos en el plano de Argand. Traslaciones, rotaciones, inversiones y reflexiones. La transformaciones de Möbius.
4 31 de agosto al 5 de septiemre Aplicaciones conformes. Curvas de nivel. Reflexiones isógonas. Transformaciones homográficas. La esfera de Riemann.
5 07 al 12 de septiembre Topología en los números complejos. Bolas y vecindarios. Con-juntos abiertos y cerrados. Conexidad, conexidad simple y arco-conexidad. Subconjuntos compactos de C. Regiones y dominios. 6 14 al 19 de septiembre Repaso para el I Examen Parcial
7 21 al 26 de septiembre Funciones analíticas. Sucesiones y series complejas. Series de potencias complejas. La función exponencial y la función loga-rítmica. Las funciones trigonométricas circulares y las funciones trigonométricas hiperbólicas.
8 28 de sep. al 03 de oct. Límites y continuidad de funciones complejas. Derivada de una función compleja, las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
9 05 al 10 de octubre Funciones holomorfas, funciones meromorfas y funciones ente-ras. Funciones armónicas.
10 12 al 17 de octubre Polos de una función compleja. Integrales de línea. El teorema de Goursat para rectángulos. La fórmula integral de Cauchy. 11 19 al 24 de octubre Repaso para el II Examen Parcial
12 26 al 31 de octubre Clasificación de singularidades. El teorema de Liouville. El Teo-rema Fundamental del Álgebra. Series de Laurent para funciones meromorfas.
13 02 al 07 de noviembre El teorema del residuo y sus aplicaciones para el cálculo de in-tegrales impropias reales.
14 09 al 14 de noviembre Integrales de contorno. Cálculo de integrales definidas. La fun-ción Gamma y la funfun-ción Beta. Temas adicionales.
15 16 al 21 de noviembre Repaso para el III Examen Parcial
16 23 al 28 de noviembre Exposiciones de los proyectos. 17 30 de nov. al 05 de dic. Entrega de promedios
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Referencias bibliográficas
Como es común en las áreas centrales de la matemática, la literatura es abundante. La siguiente lista es una muestra de las fuentes que se pueden consultar para ampliar el estudio de los temas abordados en el curso. Se recomienda consultar tantas referencias como sea posible.
Bibliografía
[1] Ahlfors, L. Complex analysis. 3rd ed. McGraw Hill, NY. 1979.
[2] Andreescu, T. & Andrica, D. Complex Numbers from A to Z. Birkhäuser Boston, 1ra edición, Ru-mania, 2006.
[3] Brown, J. Functions on One Complex Functions. Springer, 2da edición, New York, 1978.
[4] Brown, J. & Churchill, R Complex Variables and Applications. 7th Ed. McGraw Hill.
[5] Cambronero, S. Apuntes del curso MA-0610: Introducción a la Variable Compleja. Universidad de Costa Rica, San José, 2016.
[6] Derrick, W. Variable Compleja y Aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamericana. 1987.
[7] Ivorra, C. Funciones de Variable Compleja (con aplicaciones a la teoría de números). Disponible en https://www.uv.es/ivorra/Libros/Varcom.pdf.
[8] Kleiner, I. Thinking the Unthinkable. The Story of Complex Numbers (with a moral). The Mathema-tics Teacher, 81:7, 1988.
[9] Marsden y Hoffman. Análisis Básico de Variable Compleja. Editorial Trillas. 1996.
[10] Naranjo, A. Apuntes del curso: MA-0610: Introduccción a la Variable Compleja. Universidad
de Costa Rica, San José, 2020.
[11] Priestley, H.A. Introduction to Complex Analysis. 2da edición. 2003.
[12] Rivero, F. Una Introducción a los Números Complejos. Universidad de los Andes, Mérida, Vene-zuela. 2001.
[13] Stein, E & Shakarchi, R. Complex Analysis. Princeton University Press. 2da edición 2003.
[14] Spiegel, M.R. Variable Compleja. Editorial McGraw Hill. 2da. edición 2009.
Deseándole muchos éxitos en este ciclo lectivo, se despide atentamente:
Profesor: Adrián José Naranjo Alvarado
Correo electrónico: [email protected] Oficina: 330 del Edificio Anexo Teléfono: (+506)2511-3451 Casillero # 103
