Pensamiento Matemático II

Pensamiento

Matemático II

Unidad 2

2do Semestre

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL ESTADO DE PUEBLA

SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA Y MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA

SUPERVISIÓN DE BACHILLERATOS DIGITALES ZONA ESCOLAR 07 BACHILLERATO DIGITAL N.141

DIRECTORIO

DIRECTORIO INSTITUCIONAL DE LA SECRETARÍA DE EDUCACIÓN

MELITÓN LOZANO PÉREZ

SECRETARIO DE EDUCACIÓN DEL ESTADO

ALEJANDRA DOMÍNGUEZ NARVÁEZ

SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN OBLIGATORIA

IX-CHEL HERNÁNDEZ MARTÍNEZ

DIRECTORA DE APOYO TÉCNICO PEDAGÓGICO, ASESORÍA A LA ESCUELA Y FORMACIÓN CONTINUA

ANDRÉS GUTIÉRREZ MENDOZA

DIRECTOR DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA

GUADALUPE MORALES EVANGELISTA

ENCARGADA DE DESPACHO DE LA ZONA ESCOLAR DIGITAL 007

LUIS MARIO DE LA CRUZ GALLEGOS

PRESENTACIÓN

La presente guía se ha creado con la intención de continuar con la estrategia de educación a distancia para cuidar de la salud de los estudiantes y al mismo tiempo no interrumpir la promoción de los aprendizajes que se deben de abordar en la unidad de aprendizaje curricular 1 del 2do semestre de pensamiento matemático ll.

Se han diseñado actividades que te ayudarán a adquirir los aprendizajes correspondientes a tu etapa escolar que cursas en 2do semestre en la disciplina de Pensamiento Matemático II al igual de la selección de materiales de apoyo, los cuales puedes consultar para una mejor comprensión de las temáticas a abordar.

Te invito a aprovechar los recursos y actividades que se han diseñado en ella para que logres un dominio y valoración relevante de esta disciplina y sobre todo de las temáticas a abordar, recuerda que el aprendizaje se promueve con voluntad y esfuerzo.

PROPÓSITO

Al finalizar ésta situación, las y los estudiantes desarrollarán su pensamiento matemático al utilizar los números reales, el álgebra y la geometría para que tomen conciencia, construyan soluciones y observen el impacto de sus acciones en la disminución de la generación de basura en su entorno.

SIMBOLOGÍA

 Actividades de lectura 5  Actividad audiovisual  Poner en practica  Actividad de aplicación

APRENDIZAJES ESPERADOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Interpreta y evalúa expresiones algebraicas.

EXPONENTES Y POLINOMIOS

Reduce términos semejantes y representación física del cuadrado y cubo de una magnitud.

ECUACIONES LINEALES

Resuelve ecuaciones lineales de un solo paso y de ecuaciones de la forma ax+b=cx+d mediante el método de la balanza.

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

Realiza producto de binomios a partir de la determinación de áreas. En particular, desarrollo de un binomio al cuadrado, producto de binomios conjugados y factorización.

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE:

MIS HECHOS…Y MIS DESECHOS

La contaminación del suelo supone la alteración de la superficie terrestre con sustancias y productos químicos que resultan perjudiciales para la vida en distinta medida, poniendo en peligro los ecosistemas y también nuestra salud. Una de las formas de contaminar el suelo es la basura. En el año 2015, el Censo Nacional de Gobiernos Municipales y Delegaciones (CNGMD) dado a conocer por el Instituto Nacional de Estadística, Geografía e informática (INEGI), informó que en el estado de Puebla se generaba diariamente un total de 4,125 toneladas de basura. Lo que colocó a la entidad en el quinto lugar nacional como generador de residuos sólidos. En ese mismo año, Puebla junto a otros cinco estados (Estado de México, Jalisco, Veracruz, Michoacán y la Ciudad de México) producían casi la mitad de los residuos que se recolectaban en el país. En ese año, se sabía que la recolección promedio diaria por habitante a nivel nacional era de 0.861 kilogramos, mientras que en Puebla el promedio era de 0.713 kilogramos. Y tú, ¿Qué tipo de basura generas en tu hogar? y ¿Cuánta es aproximadamente en kilogramos la basura que desechas en una semana en tu hogar?, ¿Cómo crearías conciencia, para disminuir la contaminación del suelo con basura?, ¿Qué solución darías para disminuir la cantidad de basura generada en tu comunidad?

Actividad 1, segunda parte

Criterios de evaluación 10% Redacción y ortografía (2%)

Respuesta a las 4 cuatro cuestiones (3%) Veracidad de información presentada (4%) Puntualidad (1%)

Expresiones algebraicas

Observa la siguiente expresión:

Esta incluye algunos símbolos que son comunes en álgebra, pero no en matemáticas básicas. La forma en que se escriben la expresiones algebraicas se llama notación algebraica.

Esta notación incluye cinco componentes principales: variables o incógnitas, coeficientes, operadores, exponentes y paréntesis.

Veamos de qué se trata cada uno de ellos.

Variables o incógnitas

Una variable o incógnita es una letra que se usa para representar un número. Por ejemplo, en la siguiente expresión, la variable “x” representa un número desconocido que al sumarle 2 dará 5.

Expresado como una pregunta sería: ¿a qué número puedes agregarle 2 para que dé 5?

Escribimos “x” porque, inicialmente, no sabemos cuál es tal número, pero lo podemos averiguar. Como sabemos que 2+3=5, nuestra variable debe ser 3 o, en otras palabras, x=3.

Encontrar el valor de un número desconocido es uno de los objetivos del álgebra.

Aunque “x” es la más usada, cualquier letra puede ser una variable. Un problema de álgebra puede tener una o muchas variables y, si una variable se usa más de una vez en el mismo problema, su valor será igual en todos los casos. Observa esta ecuación: x + x + y = 20

Cada “x” en esta expresión representa la misma cantidad. La otra variable, “y”, puede tener un valor diferente.

El valor de una variable en un problema no es necesariamente igual en otro. Por ejemplo, “x” era igual a 3 en nuestro primer problema, pero no necesariamente “x” será 3 en otros problemas.

Coeficientes

Algunas veces verás una variable con un número frente a ella, así: 2x

En este ejemplo, 2 es el coeficiente. Los coeficientes son una forma de agrupar variables. 2x es solo una forma compacta de escribir x + x.

Veamos otro ejemplo, ¿cómo podrías usar coeficientes para reescribir la siguiente expresión? x + x + x + x + y + y + y

Como hay cuatro “x” y tres “y”, podrías escribirla como 4x + 3y. Así es mucho más fácil de leer: 4x + 3y La expresión anterior no es igual a 7xy. Puedes solamente sumar o restar variables que son la misma letra, como x + x o y + y, pero nunca x + y.

Operadores

Los operadores son los símbolos que nos indican la operación que debemos realizar. Suma (+), resta (-), división (÷), multiplicación (*).

Estos símbolos te permiten saber cómo calcular una expresión: cuando ves el símbolo de suma, sabes que debes sumar dos números; cuando vez el de resta, sabes que debes restarlos. En álgebra, los símbolos + y - no tienen cambios, pero los símbolos de multiplicación y división, se escriben de otra forma.

Multiplicación

En aritmética, la multiplicación se escribe usualmente como: 2 x 6

En álgebra el símbolo de multiplicación se escribe diferente. Esto se debe a que x se ve muy parecido a la variable “x”. Por esta razón, se usa el símbolo punto *. Así que en álgebra, un problema de multiplicación se escribe así: 2 * 6 o puede ser un punto pero a altura media.

Hay otras formas de expresar la multiplicación en álgebra. Puedes simplemente escribir una variable junto a otra para multiplicarlas. Por ejemplo, para multiplicar “x” y “y”, podrías simplemente escribir lo siguiente:

xy

División

Quizás estés más familiarizado con problemas de división que lucen así:

4 ÷ 2 En álgebra, podrás verla también así:

4 / 2

Además, si estás dividiendo grupos de números, la división se indica con una línea horizontal:

Todo lo que está sobre la línea está dividido por todo lo que esta debajo de ella, en este ejemplo se divide 3x-12y+18 sobre 3.

Paréntesis

En álgebra, los paréntesis se usan para agrupar partes de una expresión algebraica. En un problema debes resolver primero las expresiones que están dentro de ellos. Observa: 7 + (40/x) = 15

En este problema, debes comenzar por resolver todo lo que está entre paréntesis y, después, resolver lo demás.

Veamos qué pasa cuando dos grupos de paréntesis están uno junto al otro, sin ningún operador entre ellos: (3) (5)

Recuerda que en álgebra, cuando hay dos variable juntas, pero no hay ningún signo entre ellas, estas se multiplican. De igual forma, debes multiplicar dos grupos de paréntesis que están están uno junto a otro. (3) (5) = 3 * 5 = 15

Potencias

Las potencias indican que un número ha sido multiplicado por sí mismo varias veces. Por ejemplo: 103

Significa que 10 ha sido multiplicado por sí mismo 3 veces. Es decir, es lo mismo que 10 * 10 * 10.

O usando variables, x2

Significa que el número desconocido “x” ha sido multiplicado por sí mismo 2 veces, lo que es igual a x * x.

14

https://www.youtube.com/wa

tch?v=UNWFLuUfiX4

Actividad 2

1) Aplicando el contenido de las páginas anteriores resuelve la siguiente tabla escribiendo la expresión algebraica que corresponda en cada caso.

2) Con las expresiones verbales que aparecen en la parte inferior selecciona la relación correcta que correspondan a cada una de las partes de las expresiones algebraicas.

Expresión en lenguaje común

Expresión algebraica

Dos números consecutivos mas 5

El cuadrado de un numero menos su doble

El quíntuplo de un numero mas 26

Tres números consecutivos La edad de Carlos más la edad de Manuel

Criterios de evaluación 10%

Resultados correctos de la tabla (5%) Relaciones acertadas de expresiones verbales y expresiones algebraicas (3%) Presentación y limpieza (1%)

Puntualidad (1%)

4𝑥 + 𝑥 − 2

𝑥

3

(

𝑥

3

)

por mas menos un

número numero un al cubo dos el cuádrupl e de un número la tercera parte del número

Leyes de exponentes

Las leyes de los exponentes son las reglas a seguir para realizar operaciones con potencias. La potencia de un número es el resultado de multiplicar ese número por sí mismo más de una vez. Al número se le llama base, y las veces que se multiplica es el exponente, que se coloca en pequeño arriba y a la derecha de la base.

a

n

_{= base}

exponente

1) Potencia con exponente cero y base diferente de cero Todo número con exponente 0 (es decir, elevado a cero) es igual a 1.

Por ejemplo:

a

0

_{= 1}

2

0

_{= 1}

15

0

_{= 1}

2) Potencia con exponente igual a uno

Todo número con exponente 1 es igual a sí mismo. Ejemplos de ello serían los siguientes:

a

1

_{= a}

10

1

_{= 10}

15

1

_{= 15}

3) Producto de potencias de igual base

Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes, como, por ejemplo:

a

3

_{. a}

5

_{= (a . a . a)(a . a . a . a . a) = a}

3+5

_{= a}

8

Por ejemplo:

2

3

_{. 2}

3

_{= 2}

3+3

_{= 2}

6

_{= 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64}

a

15

_{. a}

0

_{= a}

15+0

_{= a}

15

4) División de potencias de igual base

Para dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes.

Por ejemplo:

a10 _{÷ a}3 _{= a}10 - 3_{= a}7

b3 _{÷ b}4 _{= b}3 - 4_{= b} -1_{= 1 / b}

x23_{/ x}13_{= x} 23 - 13_{= x}10

Todo número con exponente negativo es igual a su inverso con exponente positivo, como ejempllificamos a

continuación:

Otra forma de entender la división de potencias es eliminando términos comunes en el numerador y denominador, como, por ejemplo:

5) Potencia de un producto

También se conoce como ley distributiva de la potenciación con respecto de la multiplicación. Esta ley establece que la multiplicación (a.b.c) elevada a la n (enésima potencia) es igual a cada uno de los factores elevado a esa potencia y luego multiplicado.

Por ejemplo:

(a.b.c)n _{= a}n _{. b}n _{. c}n

(a.b.c)n _{= (a.b.c) (a.b.c) (a.b.c) multiplicado n veces}

= (a .a. a multiplicado n veces) (b. b. b multiplicado n veces) (c .c .c multiplicado n veces)

= an _{. b}n_{. c}n

Por ejemplo:

(2 x 3 )3 _{= 2}3 _{x 3}3 _{= (2.2.2) (3.3.3) = 8 x 27 = 216}

(3ab)2 _{= 3}2_{. a}2 _{. b}2 _{= 9 a}2_b2

6) Potencia de una fracción

También se conoce como ley distributiva de la potenciación respecto de la división exacta. Para elevar una fracción a una potencia, se elevan su numerador y denominador a dicha potencia de la siguiente forma:

Por ejemplo:

En el caso de una fracción mixta, se transforma el número a fracción:

7) Potencia de una potencia

Si multiplicamos potencias de igual base e igual exponente tendremos una potencia de otra potencia:

am _{. a}m _{. a}m _{multiplicada n veces = (a}m₎n _{= a}m . n

b3_{. b}3 _{. b}3_{= (b}3₎3_{= b} 3.x 3 _{= b}9

Para resolver la potencia de una potencia, dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes:

(24₎2_{= 2}4 x 2 _{= 2}8_{= 16}

ACTIVIDAD 3

Con ayuda de la información presentada anteriormente realiza lo siguiente:

1) Completa la siguiente tabla escribiendo la ley de potencia a la que corresponde cada ejercicio, la fórmula con la que se resuelve y la solución de cada uno

Criterios de evaluación 10%

Nombre correcto de la ley que corresponde a los ejercicios (2.5%) Fórmula correcta de la ley que corresponde a los ejercicios (2.5%) Solución correcta de cada uno de los ejercicios (4%)

Puntualidad (1%) Nombre de ley Fórmula con la que se resuelve Ejercicios a resolver Soluciones de ejercicios 𝑥8 𝑥3 = 𝑥4𝑦7 𝑥3_𝑦2 = (3 2) 0₌ ( π )0= 𝑏5 𝑏7 = 𝑥3𝑦2 𝑥𝑦3 = (𝑥2)5= (32)5= 𝑥−2= 4−5=

Ecuaciones lineales

Una ecuación lineal es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen elementos conocidos y desconocidos (denominados variables), y que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

Por ejemplo, 2x – 3 = 3x + 2 es una ecuación lineal o de primer grado. Donde:

El Primer término es 2x – 3 y el segundo 3x + 2.

Los coeficientes 2 y 3, y los números 3 y 2, son contantes conocidas.

x es la incógnita y constituye el valor que se desea hallar para que la igualdad sea cierta. Por ejemplo, si x = – 5, entonces en la ecuación anterior tenemos:

2( – 5) – 3 = 3( – 5) + 2 – 13 = – 13

ECUACIÓN LINEAL DE UNA VARIABLE

Una ecuación lineal de una variable puede ser escrita de la forma ax = b, donde a y b son números reales y con a ≠ 0. Por ejemplo: 15x = 2.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE En caso que estén presentes, quitar paréntesis y denominadores.

Agrupar los términos de la variable en un miembro y los términos independientes en el otro.

Reducir los términos semejantes. Despejar la variable.

Ejemplo: Resolver: 2x – 3 = 3x + 2 2x – 3x = 2 + 3 → x = – 5

Para ecuaciones de la forma ac+c=bx+d se aplica el método de la balanza que consiste en lo siguiente: Si se tiene por ecuación 4x+5=x+8

ECUACIÓN LINEAL DE DOS O MÁS VARIABLES

Puede ser escrita de la forma ax + by = c, donde x e y son las variables (o incógnitas), a y b son números reales conocidos. Una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es un par de valores (x, y) que hacen cierta la igualdad. Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones y si las representamos forman una recta. Por ejemplo:

2x – y = 3 x – 2y = 9

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES CON DOS O MÁS VARIABLES

La ecuación anterior o cualquier otra ecuación lineal con dos o más variables, pueden resolverse mediante varios métodos; uno de ellos es el método de sustitución: Para resolver un sistema por el método de sustitución se despeja una variable en una de las ecuaciones y se sustituye su valor en la otra ecuación. De esta forma se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita que resolvemos. Para calcular la otra incógnita basta sustituir el valor hallado donde se ha despejado en primer lugar.

Ejemplo: Resolver:

2x – y = 3 x – 2y = 9

En la primera ecuación, despejamos y, por lo tanto: y = 2x – 3

Sustituimos en la otra ecuación:

x – 2(2x – 3) = 9

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x = -1, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en la ecuación original obtendremos y = -5, con lo que el sistema queda ya resuelto.

ACTIVIDAD 4

Con la información presentada en las páginas anteriores identifica los procedimientos a aplicar en la solución de ecuaciones de 1er grado y resuelve las siguientes ecuaciones y situaciones justificando tus resultados:

1) −7𝑥 + 4 = 17

2) −6 6 − 𝑥 = 36

3) 2𝑥 + 5 = −7

4)𝑥 + 5𝑥 + 10 = 14

5) La suma de dos números es 32 y uno de ellos es la séptima parte del otro. Halla los dos números.

(4 y 28)

6) La suma de dos números consecutivos es 107. Calcula esos números. (53 y 54)

7) Se reparten bombones entre tres niños. Al 2º le dan el doble que al

primero y al tercero el triple que al segundo. Si el total es de 18 bombones. ¿Cuántos bombones dan a cada niño?

(Al primero 2 bombones, al segundo 4 bombones y al tercero 12 bombones) 8) En un salón hay doble número de niñas que de niños y la mitad de adultos que de niños. Si en total hay 35 personas ¿Cuántos niños, niñas y adultos hay?

(Niños 10, Niñas 20, Adultos 5)

Criterios de evaluación 10% Resultados correctos(4%)

Claridad de procedimientos aplicados (4%) Presentación y limpieza (1%)

Productos notables y

factorización

Productos notables

Los productos notables son productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Estas operaciones son fáciles de recordar sin necesidad de efectuar la multiplicación correspondiente.

1. Cuadrado de la suma de dos cantidades (a+b)2

Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya suma está elevada al cuadrado, lo que realmente se pide es que se multiplique la suma por si misma:

(a+b)2_=(a+b)(a+b)

Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma: (a+b)(a+b)=a._a+a._b+b._a+b._b=a2_+2ab+b2

Regla del cuadrado de la suma de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

El cuadrado de la suma de a y b se representa como un cuadrado compuesto por los cuadrados de a y de b y dos rectángulos cuyos lados son a y b. Podemos representar gráficamente el cuadrado de la suma de dos cantidades cuando los valores son positivos. Así, la suma de dos cantidades positivas al cuadrado será igual a la suma de:

un cuadrado con sus lados iguales a la primera cantidad; un cuadrado con sus lados iguales a la segunda cantidad, y

dos rectángulos cuyos lados son iguales a la primera y la segundad cantidad.

Como podemos ver, el cuadrado resultante tendrá un área igual a (a+b) por (a+b)= (a+b)2

Ejemplos con solución paso a paso 1) Desarrolle (x+10)2_.

 Cuadrado del primer término: x2.

 Dos veces el primero por el segundo: 2(x)(10)=20x.  Cuadrado del segundo término: 102=100.

Respuesta:

(x+10)2_=x2_+20x+100

2) Desarrolle (7a2_+5x3₎2_.

 Cuadrado del primer término: 72(a2)2=49a4.

 Dos veces el primero por el segundo: 2(7a2)(5x3)= 70a2x3.  Cuadrado del segundo término: (5)2(x3)2=25x6.

Respuesta:

2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades (a-b)2

Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya resta está elevada al cuadrado, lo que realmente se pide es que se multiplique la resta por si misma:

(a-b)2_{= (a-b)(a-b)}

Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma: (a-b)(a-b)=a._a+a._(-b)+(-b)._a+(-b)._(-b)=a2_-2ab+b2

Recordemos que dos números negativos cuando se multiplican, el signo resultante es positivo: (-b)._(-b)=b2

Regla del cuadrado de la resta de dos cantidades

El cuadrado de la resta de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos dos veces el primer término por el segundo término, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplos con solución paso a paso 1) Desarrolle (x-10)2_.

 Cuadrado del primer término: x2.

 Menos dos veces el primero por el segundo:- 2(x.10)=-20x.  Cuadrado del segundo término: 102=100

Respuesta:

(x-10)2_=x2_-20x+100

2) Desarrolle (7a2_-5x3₎2_.

 Cuadrado del primer término: 72(a2)2=49a4.

 Menos dos veces el primero por el segundo: -2(7a2)(5x3)= -70a2x3.  Cuadrado del segundo término: (5)2(x3)2=25x6.

Respuesta:

3. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (binomios conjugados) (a+b)(a-b)

En este caso, la multiplicación se realiza de la siguiente forma; (a+b)(a-b) = a._{a + a}._{(-b) + b}._{a + b}._{(-b) = a}2 _{– ab + ab –b}2 _{= a}2_–b2

Regla del producto de la suma por la resta de dos cantidades

La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.

Ejemplos con solución paso a paso 1) Desarrolle (x+1)(x-1).

 Cuadrado del minuendo: x2.

 Menos el cuadrado del sustraendo: -(12)=-1 Respuesta:

(x+1)(x-1) = x2_-1

2) Desarrolle (5a+3a2_)(3a2_-5a).

 Cuadrado del minuendo: (3a2)2=9a4

 Menos el cuadrado del sustraendo: -(52a2)=-25a2 Respuesta:

4. Cubo de la suma de dos cantidades (a+b)3

En el cubo de un binomio tenemos lo siguiente: (a+b)3 _{= (a+b)(a+b)(a+b) = (a+b)}2_(a+b)

Podemos desarrollar el cuadrado de la suma y luego multiplicarlo por (a+b): (a+b)2_(a+b)=(a2_+2ab+b2_)(a+b)=a3_+2a2_b+ab2_+a2_b+2ab2_+b3

=a3_+3a2_b+3ab2_+b3

Regla del cubo de la suma de un binomio

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, más 3 seguido del cuadrado del primero por el segundo, más 3 seguido del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Ejemplos con solución paso a paso 1) Desarrolle (a+2)3_.

 Cubo del primer término: a3.

 Triple del cuadrado del primero por el segundo: 3a22=6a2.  Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(a)(2)2=12a.  Cubo del segundo término: 23=8.

Respuesta:

(a+2)3_=a3_+6a2_+12a+8

2) Desarrolle (3+y2₎3_.

 Cubo del primer término: 33=27.

 Triple del cuadrado del primero por el segundo: 3(3)2y2=27y2.  Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(3)(y2)2=9y4.  Cubo del segundo término: (y2)3=y6.

Respuesta:

5. Cubo de la resta de dos cantidades (a-b)3

En el cubo de un binomio con una resta tenemos lo siguiente: (a-b)3_{= (a-b)(a-b)(a-b) = (a-b)}2_(a-b)

Podemos desarrollar el cuadrado de la resta y luego multiplicarlo por (a-b):

(a-b)2_(a-b)=(a2_-2ab+b2_)(a-b)=a3_-2a2_b+ab2_-a2_b+2ab2_-b3

=a3_-3a2_b+3ab2_-b3

Regla del cubo de la resta de un binomio

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo del primer término, menos el triple del cuadrado de la primera por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

Ejemplos con soluciones paso a paso 1) Desarrolle (x-2)3_.

 Cubo del primer término: x3.

 Menos el triple del cuadrado del primero por el segundo: -3(x)2 2=-6x2_.

 Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(x)(22)=12x.  Menos el cubo del segundo término: -(23)=-8.

Respuesta:

(x-2)3_=x3_-6x2_+12x-8

2) Desarrolle (a2_-2b)3_.

 Cubo del primer término: (a2)3=a6.

 Menos el triple del cuadrado del primero por el segundo: -3(a2₎2_(2b)=-6a4_b.

 Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(a2)(2b)2=12a2b2.  Menos el cubo del segundo término: -(2b)3=-8b3.

Respuesta:

6. Producto de dos binomios con tres cantidades diferentes (a+b)(a+c) o (a+b)(a-c) o (a-b)(a-c) Primer caso

(a+b)(a+c) = (a)(a)+(a)(c)+(b)(a)+(b)(c)=a2_+a(b+c)+bc

Segundo caso

(a+b)(a-c) = (a)(a)+(a)(-c)+(b)(a)+(b)(-c)=a2_+a(b-c)-bc

Tercer caso

(a-b)(a-c) = (a)(a)+(a)(-c)+(-b)(a)+(-b)(-c)=a2_-a(b+c)+bc

Regla del producto de dos binomios con tres cantidades diferentes

El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios; en el segundo término del producto, el coeficiente es la suma o resta de los segundos términos de cada binomio y la x está elevada a la mitad del exponente que tiene la x en el primer término; el tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.

Ejemplos con solución paso a paso 1) Desarrolle (x+7)(x+2).

 Producto de los primeros términos de los binomios: (x)(x)=x2.  Suma de los segundos términos por el primer término: (7+2)x=9x.  Producto de los segundos términos de los binomios: (7)(2)=14. Respuesta:

(x+7)(x+2)=x2_+9x+14

2) Desarrolle (x+5)(x-2).

 Producto de los primeros términos de los binomios: (x)(x)=x2.

 Suma de los segundos términos por el primer término: [(5)+(-2)]x=3x.  Producto de los segundos términos de los binomios: (5)(-2)=-10.

Respuesta:

(x+5)(x-2)=x2_+3x-10

3) Desarrolle (x-10)(x-5).

 Producto de los primeros términos de los binomios: (x2)(x)=x3.

 Suma de los segundos términos por el primer término: [(-10)+(-5)]x=-15x.  Producto delos segundos términos de los binomios: (-10)(-5)=50.

Respuesta:

(x-10)(x-5)=x2_-15x+50

ACTIVIDAD 5

Criterios de evaluación 10%

Respuestas correctas a nombre de cada ilustración (2%)

Resultados correctos de cada uno de los productos notables (7%) Puntualidad (1%)

Con la información presentada hasta el momento, identifica a qué tipo de producto notable corresponde cada una de las siguientes ilustraciones

1. ___________

2. ___________

3. ___________

_{4. ___________}

Resuelve los siguientes ejercicios de productos notables: 1) (x-20)2₌

2) (4x4_+6y3₎2₌ 3) (x+4)(x-4) =

4) (7a2_+2a)(2a2_{-7a) =}

5) (y+5)3₌ 6) (2x-8)3₌

Factorización

La factorización o descomposición factorial es el proceso de presentar una expresión matemática o un número en forma de multiplicación. Recordemos que los factores son los elementos de la multiplicación y el resultado se conoce como producto.

El objetivo de la factorización es llevar un polinomio complicado y expresarlo como el producto de sus factores polinomiales simples.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión. Por ejemplo:

(x+3)(x+4)=x2_+7x+12

Los factores son: (x+3)(x+4)

Hay distintos casos de factorización por lo que es importante evaluar de que caso se trata la expresión a factorizar.

Debemos de tener presente que la factorización es lo inverso de los productos notables, es decir ahora tenemos el resultado de la

multiplicación y lo que se debe de encontrar son los valores que se multiplicaron para encontrar dichos resultados.

Te invito a revisar la siguiente tabla para analizar el contenido de factorización

Productos notables



 Factorización Ejemplos de factorización

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (binomios conjugado s) (a+b)(a-b) a2_-b2 Diferencia de cuadrados perfectos x2_{-1  (x+1)(x-1)} √ √ x 1

9a4 _{- 25a}2 _{ (5a+3a}2_)(3a2_-5a)

√ √ 3a2 _5a Cuadrado de la suma de dos cantidades (a+b)2 _a2_+2ab+b2 Trinomio cuadrado perfecto x2_{+20x+100  (x+10)(x+10)} √ √ x + 10 49a4_{+ 70a}2_x3_{+ 25x}6 √ √ 7a2 _{+ 5x}3  (7a2_+5x3_)(7a2_+5x3₎ Cuadrado de la diferencia de dos cantidades (a-b)2 _a2_-2ab+b2 x2_{-20x+100  (x-10)(x-10)} √ √ x - 10 49a4 _{- 70a}2_x3 _{+ 25x}6 √ √ 7a2 _{- 5x}3  (7a2_-5x3_)(7a2_-5x3₎

Productos notables   Factorización Ejemplos de factorización Producto de binomios con tres cantidades diferentes (a+b)(a+c) a2_+a(b+c)+bc Trinomio de la forma x2_+bx+c x2 _{+9x +14  (x+7)(x+2)} √ a+b=9 (a)(b)=14 x 2+7 (2)(7) x4 _+3x2 _-10(x2_+5)(x2_-2) √ a+b=3 (a)(b)=-10 x2 _{-2+5 (-2)(5)} x2 _{-15x +50(x-10)(x-5)} √ a+b=-15 (a)(b)=50 x -10-5 (-10)(-5) Cubo de la suma de dos cantidades

(a+b)3 _a3_+3a2_b+3ab2_+b3

Cubo perfecto tetrano mios

a3_+6a2_{+12a +8  (a+2)}3

3

+ 3

a 2

27+27y2_+9y4_+y6_{ (3+y}2₎3

3 + 3 3 y2 Cubo de la diferencia de dos cantidades

(a-b)3 _a3_-3a2_b+3ab2_-b3

x3_-6x2_{+12x-8  (x-2)}3 3 − 3 x 2 a6_-6a4_b+12a2_b2_-8b3 3 − 3 a2 _2b (a2_-2b)3

ACTIVIDAD 6

Con la información presentada respecto a factorización resuelve los siguientes ejercicios relacionando las columnas con su respuesta correcta y justificando tus resultados con la construcción de las áreas o volumen según corresponda.

Ejercicios 16a4_{- 9a}2 _ x2_{+12x+36 } 4a4_{- 12a}2_x3_{+ 9x}6_ x2 _{+9x +8 } 8+12x2_+6y4_+x6_ 125x6_-300x4_+240x2_{-64 } Criterios de evaluación 10%

Relación correcta de ejercicios con su resultado(3%)

Justificación acertada con la construcción de áreas o volumen (5%) Presentación y limpieza (1%) Puntualidad (1%) Respuestas (x+8)(x+1) (x+6)(x+6) (5x2_-4)3

(3a+4a2_)(4a2_-3a)

(2+x2₎3

PRODUCTO INTEGRADOR

En base a los contenidos de la unidad selecciona 3 temas de la misma y expresa mediante un audio o vídeo lo siguiente:

 ¿Concepto de cada tema?

 ¿Qué necesitas saber en cada tema para poder comprenderlo?

 Un ejemplo de cada tema

INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN

DEL PRODUCTO INTEGRADOR

Regular (3) Bien (4) Excelente (5)

Conceptos de cada tema Se divaga en los conceptos de los temas. Se presentan claramente dos conceptos de cada tema Se presentan los conceptos de manera clara de los tres temas seleccionados Lo que se requiere para comprender el tema Se mencionan solo algunos de los conceptos clave para comprender los temas seleccionados. Se mencionan la mayoría de los conceptos necesarios para comprender los temas seleccionados. Se mencionan los conocimientos necesarios que se deben de poseer para comprender los tres temas solicitados. Ejemplo de cada tema Se menciona y explica algún ejemplo de un tema seleccionado. Se menciona y explican los ejemplo de cada tema seleccionado. Se menciona y explica claramente un ejemplo de cada tema seleccionado. Lo que agrado de cada tema Se menciona lo que agrado de algún tema seleccionado. Se menciona lo que agrado de dos de los tres temas

seleccionados.

Se menciona con claridad lo que agrado de cada uno de los tres temas seleccionados.

INSTRUMENTO DE SEGUIMIENTO

DE ACTIVIDADES

Número de

actividad

Fecha de

entrega

Calificación

Actividad 1

24 de Marzo

Actividad 2

14 de Abril

Actividad 3

14 de Abril

Actividad 4

21 de abril

Actividad 5

28 de abril

Actividad 6

28 de abril

Producto

Integrador

12 de mayo

Evaluación escrita

Calificación final:

Retroalimentación

Se crearán las sesiones virtuales para apoyar la retroalimentación de cada uno de los contenidos de la unidad, además de mantener una comunicación constante con los alumnos para resolver dudas en el horario establecido.

REFERENCIAS

BIBLIOGRÁFICAS

https://www.todamateria.com/leyes-de-los-exponentes/ https://miprofe.com/ecuacion-lineal/ https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/ algebra/polinomios/productos-notables.html https://www.todamateria.com/productos-notables/ https://www.todamateria.com/factorizacion/