. Obtenga la magnitud y dirección del vector E.

(1)

1

UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA “JOSÈ SIMEÒN CAÑAS”

MATRICES Y VECTORES. CICLO 01 DE 2013.

Hoja de ejercicios sobre vectores en R

2.

SUMA Y RESTA DE VECTORES EXPRESADOS COMO LA COMBINACIÓN LINEAL DE LOS VECTORES UNITARIOS i , j.

Sean los vectores:

A a i



_x

ˆ



a j

_y

ˆ

y

B b i b j



_x

ˆ



_y

ˆ

, entonces:

a) La suma de dichos vectores en 2, se obtiene de la siguiente forma:

A

 

B

(

a

_x



b i

_x

)



(

a

_y



b

_y

)

j

b) La resta

A B



se obtiene de la siguiente forma:

A B

 

(

a

_x



b i

_x

)



(

a

_y



b

_y

)

j

c) La resta

B



A

se obtiene de la siguiente forma:

B

 

A

(

b

_x



a i

_x

)



(

b

_y



a

_y

)

j

d) El producto del escalar m



m





por el vector

A se calcula de la siguiente forma.

m

A



m



a i

x

ˆ



a j

y

ˆ



mA ma i _xˆma j_yˆ

EJERCICIOS

1) Dados los siguientes vectores: A  5i 2 j, B 4i 3 j, C  7i 8j, D  9i 4 j. a) Dibuje el vector

A

en el plano cartesiano

b) Calcule en forma analítica la magnitud o módulo del vector

A

c) Calcule en forma analítica el ángulo que hace el vector

A

con la parte positiva del eje de las x.

d) Utilizando la suma y resta de vectores expresados como la combinación lineal de los vectores unitarios i , j, encuentre

D

 

4 A



5 B



2 C

. Obtenga la magnitud y dirección del vector

D

. Grafique el vector

D

.

2) Dados los siguientes vectores: A3i2 j, B  5i 3j, C  6i 8j, D  7i 2 j. a) Dibuje cada uno de los vectores anteriores en el plano cartesiano

b) Calcule en forma analítica la magnitud o módulo de cada uno de los vectores anteriores

c) Calcule en forma analítica el ángulo que hace cada uno de los vectores anteriores con la parte positiva del eje de las x.

d) Utilizando la suma y resta de vectores expresados como la combinación lineal de los vectores unitarios i , j, encuentre: i)

A



B

ii)

A B



iii)

B



A

e) Una vez obtenidos los vectores anteriores, calcule en forma analítica la magnitud y dirección de los Vectores: i)

A



B

ii)

A B



iii)

B



A

f)

E

 

3 A



3 B



4 C

. Obtenga la magnitud y dirección del vector

E .

3) Dados los siguientes vectores cuyas magnitudes y direcciones son:

Magnitud de

F

₁= 60 N, formando con respecto a la parte positiva del eje x Magnitud de

F

₂= 50 N formando con respecto a la parte positiva del eje x

Magnitud de

F

₃= 40 N formando con respecto a la parte positiva del eje x Magnitud de

F

₄= 35 N formando con respecto a la parte positiva del eje x

(2)

2

Encuentre la resultante del sistema de fuerzas utilizando el método de las componentes rectangulares.

4) Dados los siguientes vectores: A  5i 2 j, B 4i 3 j, C  7i 8j, D  9i 4 j. a) Encuentre el vector e

R

  

2 A

4 B



5 C



7 D

b) Calcule la magnitud, dirección y sentido del vector encontrado en el literal anterior. .

5) Dados los siguientes vectores:

Magnitud de

F

_A= 30 N Magnitud de

F

_B= 25 N

a) Dibuje la resultante de los siguientes vectores utilizando el método gráfico que usted estime conveniente. Indique la magnitud, dirección y sentido de dicho vector.

b) Utilizando el método analítico (ley de cosenos y ley de senos) encuentre la resultante de

A

F

+

F

_B

c) Utilizando el método de componentes rectangulares, encuentre la resultante de

F

_A +

F

_B

6) Dados los siguientes vectores:

Magnitud de

F

_A= 50 N Magnitud de

F

_B= 75 N

a) Dibuje la resultante de los siguientes vectores, utilizando el método gráfico que usted estime conveniente. En forma gráfica obtenga la magnitud y dirección del vector resultante.

b) Utilizando el método analítico (ley de cosenos y ley de senos) encuentre la resultante de los vectores

F

_A y

F

_B. c) Utilizando el método de componentes rectangulares, encuentre la resultante de

F

_A +

F

_B

7) Dados los siguientes vectores: A  5i 2 j, B 4i 3 j, C  7i 8j, D  9i 4 j. a) Encuentre el vector e

R

  

2 A

4 B



5 C



7 D

b) Calcule la magnitud, dirección y sentido del vector encontrado en el literal anterior. .

8) Dados los siguientes vectores cuyas magnitudes son:

Magnitud de

F

₁= 75 N Magnitud de

F

₂= 65 N Magnitud de

F

₃= 40 N Magnitud de

F

₄= 30 N Magnitud de

F

₅= 25 N Magnitud de

F

₆= 45 N

F

_B

F

_A

47°

F

_A

F

_B

30°

60°

(3)

3

Magnitud de

F

₇= 65 N

Encuentre la resultante del sistema de fuerzas utilizando el método de las componentes rectangulares. Expréselo como la combinación lineal de los vectores unitarios i j, .

Dibújelo en el sistema de coordenadas cartesianas y encuentre su módulo y dirección.

9) Al oír el cascabel de una serpiente, usted realiza 2 desplazamientos rápidos de 8.0 m y de 6.0 m.

Realice un dibujo a escala mostrando cómo dichos deslazamientos podrían dar una resultante de magnitud a) 2.0 m; b) 2.0 m; c) 10.0 m.

10) Un empleado postal conduce su camión por la ruta de la siguiente figura.

a) Determine la magnitud y dirección del desplazamiento resultante, en forma gráfica realizando en un diagrama a escala.

b) Determine la magnitud y dirección del desplazamiento resultante, utilizando el método de componentes

rectangulares

11) i) Para los vectores de la siguiente figura, use un dibujo a escala para obtener la magnitud y dirección de a) el vector

suma

A B



; b) la diferencia

A B



. A partir de sus respuestas a (a) y (b), deduzca la magnitud y dirección de c)

A B

 

; y d)

B A



.

Magnitud: 12 m

37°

B

18m

F

₁

F

₂

F

3

F

₄

F

₅

F

6

F

₇

y

x

25°

30°

45°

65°

inicio

destino

45°

2.6 Km

4 Km

3.1 Km

(4)

4

ii) Para los vectores anteriores, calcule utilizando el método analítico (ley de senos y ley de cosenos) el vector suma

A B



; b) la diferencia

A B



, c)

 

A B

; y d)

B A



.

iii) Para los vectores anteriores, calcule utilizando el método de las componentes rectangulares, a) el vector suma

A B



; b) la diferencia

A B



, c)

 

A B

y d)

B A



.

12) Calcule el vector resultante del siguiente sistema de fuerzas:

13) El vector es de 2.80 cm y está ubicado a partir de la vertical en el primer cuadrante. es de 1.90 cm y está

ubicado por debajo del eje x, en el cuarto cuadrante, según se muestra en la figura.

a) Utilizando el método analítico, utilizando la ley de senos de cosenos obtenga la magnitud , dirección y sentido del

vector , para auxiliarse dibuje un diagrama.

b) Utilizando el método analítico, utilizando la ley de senos de cosenos obtenga la magnitud ,dirección y sentido del

vector ,para auxiliarse dibuje un diagrama

c) Utilizando el método analítico, utilizando la ley de senos de cosenos obtenga la magnitud y dirección del vector

,para auxiliarse dibuje un diagrama

d) Utilizando el método de componentes rectangulares obtenga la magnitud, dirección y sentido del vector . e) Utilizando el método de componentes rectangulares obtenga la magnitud, dirección y sentido del vector f) Utilizando el método de componentes rectangulares obtenga la magnitud, dirección y sentido del vector

37.0°

40.0°

60.0°

A

(12.0 m)

B

(15.0 m)

C

(6.0 m)

x

y

60.0°

A

(2.80 cm)

B

(1.90 cm)

x

y

(5)

5

14) a) Escriba los vectores en función de los vectores unitarios ,

b) Utilice vectores unitarios , para expresar al vector , donde . Calcule la magnitud y dirección del vector . Dibújelo en el plano cartesiano, para mostrar su sentido.

c) Calcule la magnitud y dirección del vector . y dibújelo para mostrar su sentido.