Cap´ıtulo 1
EL PROBLEMA DE LA LUZ COMO ANTECEDENTE
HIST ´
ORICO DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
Cap´ıtulo 2
INVARIANZA DE LAS LEYES DE MAXWELL
Cap´ıtulo 3
EVOLUCI ´
ON DE CONCEPTOS HACIA LA TEOR´
IA DE LA
RELATIVIDAD
Cap´ıtulo 4
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA TEOR´
IA DE LA
RELATIVIDAD ESPECIAL
Cap´ıtulo 5
EFECTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL EN LA DIN ´
AMICA
Cap´ıtulo 6
DID ´
ACTICA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
Introducci´
on
Existen fundamentalmente dos tipos de obras sobre F´ısica Relativista; unas abordan el tema desde el punto de vista epistemol´ogico mientras que otros lo desarrollan a trav´es de resultados matem´aticos, pasando muchas veces por alto las explicaciones.
La ense˜nanza de la Teor´ıa de la Relatividad adolece actualmente de muchas dificultades. La mayor´ıa de los autores a nivel de secundaria se limitan a establecer definiciones y a ilustrarlas por medio de gr´aficos. No existe un verdadero razonamiento f´ısico de la Relatividad respaldado por procedimientos matem´aticos. Otra dificultad para un principiante radica en el empleo de un an´alisis matem´atico bastante elevado en los libros especializados que termina por caer en un grado de abstracci´on tal, que deja a las ecuaciones la tarea de explicar los fen´omenos f´ısicos. Nada m´as absurdo; el modelamiento matem´atico es la manera de organizar y presentar una visi´on f´ısica creada y discutida de antemano.
Para la ense˜nanza de la Teor´ıa de la Relatividad Especial se sugiere el siguiente derrotero: - Iniciar con los conceptos cl´asicos de: posici´on o sitio, distancia, evento o suceso, tiempo o duraci´on, movimiento, velocidad.
- Precisar cu´ando dos o m´as eventos son simult´aneos. Diferenciar entre eventos simult´aneos y eventos copuntuales; simultaneidad local y simultaneidad a distancia.
- Definir e ilustrar los sistemas de referencia y distinguirlos de los sistema de coordenadas. Establecer las caracter´ısticas de los sistemas inerciales a partir del principio de relatividad de Galileo. Ilustrar las transformaciones de Galileo aplicadas al concepto cl´asico de velocidad rela-tiva.
- Cuestionar la existencia de un sistema de referencia absoluto y asociarlo con el principio de la relatividad especial de Einstein.
- Explicar el principio de equivalencia de Einstein.
Los cinco ´ıtems anteriores est´an detallados en el cap´ıtulo 3. El profesor en compa˜n´ıa de los alumnos puede modificar, complementar o profundizar seg´un las circunstancias.
- Decribir el experimento de Michelson-Morley como la aspiraci´on de los f´ısicos cl´asicos por comprobar la existencia de un sistema de referencia absoluto (el ´eter). A ra´ız del fracaso de este experimento, presentar los problemas que llevaron a pensar que la velocidad de la luz en el vac´ıo es la misma en todos los sistemas inerciales, independientemente del movimiento de la fuente y el observador. Se recomienda recurrir al cap´ıtulo 1.
- Comparar los tratamiento cl´asico y relativista acerca del experimento de Michelson-Morley. Encontrar inconsistencias en el tratamiento cl´asico de acuerdo a las evidencias y resaltar la ge-nialidad del tratamiento relativista. Ver cap´ıtulo 6, secciones 6.1. a 6.4.
- Enunciar los postulados de la relatividad de Einstein y su validez frente a otras posturas para explicar los resultados inesperados del experimento de Michelson-Morley. Desmontar el conceptos de tiempo absoluto. Ver cap´ıtulo 4, secci´on 4.1.; cap´ıtulo 6, secci´on 6.2.
- Introducir la contracci´on del espacio y la dilataci´on del tiempo como una consecuencia ine-ludible de los postulados de Einstein. Deducir y aplicar las f´ormulas correspondientes. Describir el concepto ”defecto de simultaneidad”. Ver cap´ıtulo 4 secciones 4.4. y 4.5.; cap´ıtulo 6, secci´on 6.3.; cap´ıtulo 7, secci´on 7.1. El profesor puede unificar criterios respecto a la forma de correla-cionar ´estas secciones.
- Definir suficientemente los llamados intervalos o separaciones espacio-temporales, clasi-ficarlos e ilustrarlos. Ver cap´ıtulo 4, secciones 4.2., 4.3.; cap´ıtulo 7, secciones 7.2.4., 7.3. La secciones a escoger dependen del nivel acad´emico del estudiante.
- Emplear diagramas de espacio-tiempo para relacionar la apreciaci´on de un evento desde di-ferentes sistemas de referencia. Clarificar el concepto de recta de marcha. Cap´ıtulo 7, secciones 7.2.1. a 7.2.3.
- Deducir las transformaciones de Lorentz a partir de los diagramas de espacio-tiempo y uti-lizarlas para calcular la velocidad relativa entre sistemas inerciales.Cap´ıtulo 7, secciones 7.4., 7.5. - Redefinir los conceptos de momento, fuerza, trabajo, aceleraci´on y masa desde la f´ısica re-lativista. Cap´ıtulo 5, secciones 5.1., 5.2.
- Comprobar la equivalencia masa/energ´ıa a partir de un experimento mental y sus implica-ciones. Cap´ıtulo 5, secci´on 5.3. Para esta demostraci´on basta tener claros los conceptos cl´asicos de la Din´amica.
Un excelente recurso para la ense˜nanza de la Teor´ıa de la Relatividad es el experimento de Michelson-Morley. Una vez conocida la experiencia de Michelson-Morley, el estudiante elabo-rar´a los tratamientos cl´asico y relativista sobre la propagaci´on de la luz. El interfer´ometro de Michelson se convirti´o en la piedra angular para el nacimiento de la Teor´ıa de la Relatividad. Por lo tanto es a partir del interfer´ometro adaptado que se puede ense˜nar la Relatividad Especial de una manera sencilla y fenomenol´ogica sin sacrificar la rigurosidad matem´atica.
Los diagramas espacio-tiempo constituyen otro recurso excelente para la did´actica de la Re-latividad Especial. Dichos diagramas son representaciones pict´oricas de los sistemas de referen-cia en movimiento relativo. Permiten la deducci´on simple de las Transformaciones de Lorentz, as´ı como de las f´ormulas para calcular la velocidad relativa entre laboratorios en movimiento; as´ı mismo, permiten establecer ´ordenes de sucesi´on de eventos simult´aneos o copuntuales bajo un sistema de referencia pero no desde otro. En este cap´ıtulo se realizar´an variados ejemplos ilustrativos.
No basta que el estudiante conozca los conceptos sino tambi´en sus or´ıgenes. Con un ejemplo es suficiente: los autores definen el concepto de intervalo por medio de una f´ormula y luego lo caracterizan como magnitud absoluta para todos los sistemas de referencia; a veces agregan una demostraci´on matem´atica. No se puede decir que con este tratamiento se est´a aprendiendo Relatividad; es necesario indicar c´omo surge este concepto y verificarlo primero desde el punto de vista f´ısico (la parte matem´atica es complementaria). Razonar la Relatividad no es deleitarse practicando demostraciones matem´aticas, sino cuestionando los argumentos y razonando los principios que dieron origen a la misma. Los resultados matem´aticos siempre se deben asociar al fen´omeno f´ısico.
Los f´ısicos cl´asicos pronosticaban que los rayos reflejados por los espejos del interfer´ometro de Michelson no retornar´ıan simult´aneamente al espejo semireflectante. Para la ense˜nanza de la Relatividad Especial el interfer´ometro ser´a reemplazado por un m´ovil, de tal manera que la fuente de luz estar´a incorporada en su interior en el punto o’ como se puede observar en la figura 6.1 b). Se colocar´an tres espejos equidistantes al punto o’ en las posiciones m’, n’ y b’ del m´ovil en reemplazo de los espejos del interfer´ometro. El famoso ´eter como sistema de refe-rencia ser´a reemplazado por la v´ıa respecto a la cual se desplaza el m´ovil. Este peque˜no dise˜no ser´a suficiente para iniciar a plenitud los fundamentos de la teor´ıa relativista.
6.1.
Resultados esperados por la Teor´ıa Cl´
asica Fundamental con
relaci´
on al experimento de Michelson-Morley
En la teor´ıa cl´asica fundamental se supone que la emisi´on de luz por parte del manantial luminoso o’ provoca una sacudida del ´eter en dicho punto. Es por lo tanto a partir de la marca 0 de la v´ıa que se contabiliza la propagaci´on de la onda luminosa en todas direcciones y no del punto m´ovil o’.
Figura 6.1: Adaptaci´on del interfer´ometro de MIchelson al caso particular de un m´ovil
a) modelo del interfer´ometro tradicional de Michelson. b) equivalente m´ovil del interfer´ometro con la fuente de luz en el punto o’ y tres espejos equidistantes a dicho punto en las posiciones m’, n’ y b’; el ”´eter” es representado por la ”v´ıa” exterior.
El pensamiento que predominaba en la ´epoca de Michelson con relaci´on a la velocidad de la luz puede ilustrarse claramente a partir de un problema tipo. Este ejercicio ayudar´a a compren-der m´as tarde la Teor´ıa de la Relatividad Especial.
Descripci´on del problema. a) Se desea encontrar el punto de encuentro de dos se˜nales luminosas que partiendo en sentido contrario desde el punto central de un laboratorio L’ en movimiento uniforme rectil´ıneo con respecto a otro laboratorio L, son luego reflejadas por es-pejos en el m´ovil equidistantes de la fuente luminosa. b) Hallar tambi´en el punto de retorno de un tercer rayo que parte al mismo tiempo de la fuente luminosa, y que se propaga perpendicu-larmente a los dos rayos anteriores hasta otro espejo del m´ovil situado a igual distancia que los anteriores.
Soluci´on Primera parte del problema
Para poder resolver el problema desde la f´ısica cl´asica ser´a necesario emplear gr´aficas ilustra-tivas para cada evento. Se tendr´an en cuenta cuatro eventos a saber:
Evento (O): emisi´on simult´anea de las se˜nales luminosas r y s en sentido contrario desde el punto central o’ del m´ovil en un tiempo t = 0. La figura 6.2 a) ilustra ´este primer evento
Figura 6.2: Emisi´on de dos rayos luminosos en sentido contrario
a)Dos rayos luminosos parten de o’ simult´aneamente en sentido contrario. b) El rayo r choca contra el espejo en m’ y se devuelve. c) El rayo s choca contra el espejo en n’ y se devuelve. d) Los rayos s y r regresan simult´aneamente al punto o’
Evento (M): la se˜nal r alcanza el espejo izquierdo en un tiempo t = t1, e instant´aneamente
se refleja; v´ease figura 6.2 b)
Evento (N): la se˜nal s llega al espejo de la derecha al cabo de un tiempo t=t2, e instant´
anea-mente se refleja; figura 6.2 c).
Evento(R): regreso simult´aneo de las se˜nales r y s al punto central o’ del m´ovil, en un tiempo t=t3. Ver figura 6.2 d)
En qu´e posici´on, con respecto a la v´ıa, se encontrar´an los rayos r y s en su retorno? Cu´anto tiempo, tambi´en con respecto a la v´ıa, transcurri´o desde el momento que fueron lanzados los rayos del punto o’ en la marca 0 de la v´ıa, para retornar luego simult´aneamente a o’ en alg´un punto (?) de la v´ıa? ´Estos son los interrogantes que deber´an ser resueltos en la primera parte
del problema planteado.
Expresemos la velocidad del m´ovil (V) como una fracci´on f positiva de la velocidad de la luz (c), es decir, V = f.c. Puesto que la velocidad de la luz es tomada actualmente como referencia para todas las velocidades del mundo f´ısico, puede ser tomada como patr´on o unidad de medida. En este sentido puede ser estandarizada a un valor de uno, es decir, c=1 y en consecuencia, la velocidad del m´ovil ser´a V= f.
As´ı mismo, de la figura 6.2 a) se desprende que la longitud del m´ovil es |m0n0| = +p − (−p) = 2p
.
Para los f´ısicos cl´asicos los tama˜nos de las divisiones en el m´ovil y en la v´ıa son iguales. Para el Evento(M) (figura 6.2 b)), el extremo m’ del m´ovil se desplaz´o al cabo de t = t1,
la cantidad
V.t1 = f.c.t1 = f.|t1|
Las barras indican valor num´erico sin unidad de medida pues se est´a utilizando el sistema est´andar. La nueva posici´on de m’ es entonces: m0(t
1) = −p + f.|t1| (posici´on inicial m´as
des-plazamiento). En el instante t1 la posici´on del rayo r ser´a r(t1) = −c.t1 = −|t1|. El signo menos
obedece a que el rayo se dirige hacia la izquierda.
Generalizando, desde el origen o’ (en la marca 0 de la v´ıa) hasta el encuentro con el espejo situado en m’ se cumple que el rayo r se desplaza:
r(t) = −|t|, 0 < t 6 t1 (6.1)
C´omo hallar el valor de t1? Puesto que las posiciones de m’ y r coinciden al encontrarse rayo
y espejo, basta escribir:
m(t1) = r(t1) ⇒ −p + f.|t1| = −|t1|
Despejando el valor de t1 obtenemos 1:
t1 = p/(1 + f ) (6.2)
El valor de t1 tiene sus l´ımites. Cuando f se aproxima a cero, t1 lo hace a p, y cuando f
tiende a 1, t1 lo hace a p/2. Por lo tanto, 0 < t1 < |p/2|.
Para el Evento (N) (figura 6.2 c)), el extremo n’ del m´ovil se desplaza, en alg´un tiempo t2,
la cantidad V.t2 = f.c.|t2| = f.|t2|. La nueva posici´on de n’ ser´a entonces: n(t2) = +p+f.|t2|
(posi-ci´on inicial m´as desplazamiento). En el instante t2 la posici´on del rayo s ser´a: s(t2) = c.t2 = +|t2|. 1Los procedimientos algebraicos son de f´acil comprensi´on para estudiantes de secundaria; el concepto de l´ımite tambi´en se maneja
El signo m´as indica que el rayo se dirige a la derecha.
Generalizando desde el origen o’ en la marca 0 de la v´ıa hasta el encuentro con el espejo situado en n’ se cumple que:
s(t) = |t|, 0 < t 6 t2 (6.3)
C´omo hallar el valor de t2? Puesto que las posiciones de n’ y s coinciden al encontrarse rayo
y espejo, basta escribir: n(t2) = s(t2)⇒ +p + f.|t2| = |t2|. Despejando se obtiene:
t2 = p/(1 − f ) (6.4)
Observamos que cuando f tiende a cero, t2 tiende a p, y cuando f tiende a 1, t2 lo har´a a
infinito. Por lo tanto, t2 > |p|. Por qu´e t1 es de valor limitado y t2 puede llegar a ser ilimitado;
es un buen ejercicio de razonamiento f´ısico para interpretar los resultados matem´aticos; todo depende de la velocidad del m´ovil.
Para el evento (R) (figura 6.2 d)), vemos que el punto o’ que inicialmente estaba en la marca 0 de la v´ıa se desplaz´o al cabo de t = t3, la cantidad V.t3 = f.|t3|. Los tiempos de retorno
para los rayos r y s desde cada espejo hasta el punto o’, son respectivamente (t3− t1) y (t3− t2).
Esto se debe a que del tiempo final t3, se deben restar los tiempos empleados por los rayos para
ir a los espejos.
Por lo tanto, los rayos luminosos r y s se desplazan durante el retorno desde los espejos las cantidades: +c.(t3 − t1) = |t3| − |t1|, y ,−c.(t3 − t2) = −(|t3| − |t2|) respectivamente; el signo
+ indica que el retorno del rayo r es hacia la derecha (figura 6.2 b)), y el signo menos indica retorno hacia la izquierda del rayo s (figura 6.2 c)).
Pero las posiciones iniciales antes de los retornos de r y s eran (−p + f.|t1|) y (+p + f.|t2|)
respectivamente, como se pudo establecer en los an´alisis de los eventos (M) y (N). En conse-cuencia, las posiciones de dichos rayos, con respecto a la v´ıa, en el momento del retorno hacia el punto o’, es decir en t = t3, corresponder´an a las sumas algebraicas de las posiciones iniciales
y los desplazamientos obtenidos as´ı:
Para el rayo s, s(t3) = (+p + f.|t2|) + (−(|t3| − |t2|)) = p + |t2|.(1 + f ) − |t3|
Como t2 = p/(1 − f ), resulta despu´es de un juego algebraico:
(A) : s(t3) = −|t3| + 2p/(1 − f ) = −|t3| + 2t2
.
Generalizando el retorno de s es:
s(t) = −|t| + 2t2, t2 < t 6 t3 (6.5)
Como t1 = p/(1 + f ), resulta, despu´es de reducir:
(B) : r(t3) = |t3| − 2p/(1 + f ) = |t3| − 2t1
Generalizando, el retorno de r es:
r(t) = |t| − 2t1, t1 < t 6 t3 (6.6)
Cu´al es el valor de t3? Puesto que en los retornos las posiciones de r y s son las mismas con
respecto a la v´ıa (ver figura 6.2 d)), basta igualar las ecuaciones (A) y (B) as´ı: −|t3| + 2p/(1 − f ) = |t3| − 2p/(1 + f )
y despejando cuidadosamente obtenemos:
t3 = 2p/(1 − f2) (6.7)
Ejercicio. Demuestre que el valor de t3 tambi´en se puede calcular igualando r(t3) ´o s(t3) al
recorrido que hace el m´ovil desde la marca 0 hasta la posici´on de retorno de los rayos. Sugeren-cia: la distancia recorrida por el m´ovil hasta la posici´on de retorno de los rayos es V.t3.
Cuando f tiende a cero t3 se aproxima a 2p, y cuando f se aproxima a 1, t3 se acerca a
infinito; todo depende de la velocidad del m´ovil. Por consiguiente, t3 > 2p.
Queda de esta manera resuelta la primera parte del problema:
El tiempo de encuentro de los rayos r y s est´a dado por t3 y la posici´on de
encuen-tro se halla con cualquiera de las ecuaciones (A) ´o (B), o directamente mediante el desplazamiento del m´ovil (V.t3).
APLICACI ´ON 1. Supongamos que el m´ovil imaginario se mueve con una velocidad igual a 3/5 la velocidad de la luz y tiene una longitud de 4 h-luz (1 h-luz = distancia que recorre la luz en 1 hora2). Hallar el tiempo y el punto sobre la v´ıa en que los rayos r y s llegan a encontrarse.
Calcular adem´as, los instantes con respecto a la v´ıa en que los rayos chocan con los espejos. Soluci´on. Los datos son: f = 3/5, p = |mn|/2 = 4/2 = 2h − luz.
Luego:
Tiempo de encuentro:
t3 = 2p/(1 − f2) = 2 × 2/(1 − (3/5)2) = 6,25h = 6h15min
2Lo de 1 hora es netamente simb´olico; hubi´eramos podido emplear otra unidad de tiempo, por ejemplo 1 nanosegundo, caso en
Instantes de choque con los espejos
Para el rayo r: t1 = p/(1 + f ) = 2/(1 + 3/5) = 1,25h
Para el rayo s: t2 = p/(1 − f ) = 2/(1 − 3/5) = 5h
Punto de encuentro:
s(t3)= r(t3)= V.t3 = (3/5) × (6,25h) = 3,75h − luz
Las ecuaciones que rigen los movimientos de los rayos r y s son: Para s, a partir de de las ecuaciones(6.3) y (6.5):
s(t) = t, con t[0; 5] ´o s(t) = −t + 10 con t(5; 6,25]
Para r, a partir de las ecuaciones(6.1) y (6.6):
r(t) = −t, con t[0; 1,25] ´o r(t) = t − 2,5 con t(1,25; 6,25]
Las gr´aficas de las figuras 6.3 y 6.4 muestran las trayectorias correspondientes a los rayos.
Figura 6.4: Desplazamiento del rayo r
La superposici´on de las gr´aficas de r y s permite visualizar el punto y tiempo de encuentro de los dos rayos.
En conclusi´on, los rayos r y s se encontrar´an al cabo de 6.25 h y a una distancia de 3.75 h-luz a partir de la marca 0 de la v´ıa.
Con ejercicios similares a este el estudiante podr´a responder las siguientes preguntas: Si los rayos r, s parten simult´aneamente de la marca 0 de la v´ıa, por qu´e no chocan simult´aneamente con los espejos? Es correcto decir que el tiempo de encuentro de los rayos es igual a la suma de los tiempos que emplean para chocar con los espejos? Por qu´e?
Segunda parte del problema
Debido al movimiento relativo entre v´ıa y m´ovil el rayo i no se ver´a propag´andose vertical-mente desde la marca 0 de la v´ıa, sino diagonalvertical-mente como se puede observar en la figura 6.5.
Definamos los siguientes eventos a partir de dicha figura:
Evento (B): llegada del rayo i al espejo en la posici´on b con respecto a la v´ıa. Evento (W): Retorno del rayo i al punto o’ del m´ovil en la posici´on w de la v´ıa.
Para el Evento (B), cuando el rayo i llegue al espejo que pasa por b al cabo en un tiempo t, habr´a recorrido una distancia diagonal igual a |ob| = c.t = |t|, ya que la velocidad de la
Figura 6.5: El m´ovil se desplaza hacia la derecha con movimiento uniforme respecto la v´ıa.
luz se ha estandarizado a c = 1. En ese mismo instante el m´ovil habr´a recorrido una distancia horizontal igual a |oa| = V.t y la nueva posici´on de o’ ser´a el punto a de la v´ıa. Observe que o y b son diferentes a o’ y b’; los dos primeros son posiciones fijas en la v´ıa y los otros dos est´an en movimiento con respecto a ´esta.
Aplicando, el Teorema de Pit´agoras al tri´angulo rect´angulo oba resulta: |ob|2 = |oa|2+ |ab|2
Al reemplazar queda: |t|2 = V2.|t|2+ |ab|2, donde |ab| = p y V = f.c = f
Haciendo los reemplazos y despejando el valor de t obtenemos
t = p
p1 − f2 (6.8)
Ejercicio para el estudiante. Demostrar que para cualquier valor permitido de f , t > p. Su-gerencia: analizar la f´ormula anterior para valores l´ımites de f
Finalmente, como el tiempo de ida al espejo en b es igual al tiempo de retorno desde b hasta o’ en la posici´on w de la v´ıa, vemos que el tiempo total tow del recorrido del rayo i es el doble
de t, o sea, tow = 2|t|.
Averig¨uemos ahora la posici´on final de o’ cuando el rayo i retorna a dicho punto en la posici´on w. Como el tiempo total fue tow, basta multiplicar ´este tiempo por la velocidad del m´ovil para
obtener: |ow| = V × tow = 2f t (distancia o alcance final hasta la posici´on w con respecto a la
marca 0 de la v´ıa). En conclusi´on, tow = 2t = 2 × | p p1 − f2| (6.9) |ow| = f tow (6.10)
Seg´un acabamos de ver, la teor´ıa cl´asica nos dice que el Evento (W) se produce en el ins-tante tow del sistema horario de la v´ıa, y en la posici´on w de la misma.
APLICACI ´ON 2. Con base a los datos suministrados para la APLICACI ´ON 1, hallar el tiem-po que emplea el rayo i para ir hasta el espejo que pasa tiem-por b, el tiemtiem-po total hasta la tiem-posici´on w y el valor de ´esta. Qu´e concluye al compararlos con los rayos r y s?
Soluci´on. Los datos son: p = 2h − luz, f = 3/5,
Luego, aplicando las ecuaciones (6.8), (6.9) y (6.10) obtenemos:
t = 2 p1 − (3/5)2 = 2,5h tow = 2 × t = 5h |ow| = 3 5 h − luz h × 5h = 3h − luz
El instante de choque con el espejo que pasa por b es de 2.5h, el tiempo total hasta el retorno fue de 5h, y el punto de encuentro con o’ fue de w = 3h − luz a partir de 0. Para los rayos r y s el tiempo total de retorno fue de 6.25h, y la posici´on de encuentro fue de 3.75 h-luz desde la marca 0. Corolario: como se dijo para el evento (B), |ob| = |t| = tow/2 ⇒ |ob| = 5/2 = 2,5h − luz
(recorrido del rayo i hasta el punto b).
Seg´un acabamos de ver, la teor´ıa cl´asica nos dice que el evento (W) se produce en el instante tow = 5h del sistema horario de la v´ıa, en el el punto +3 de la misma.
Recapitulemos ahora los resultados del conjunto de nuestro an´alisis:
Seg´un lo que antecede, el regreso (R) de las se˜nales s y r (figura 6.6), reflejadas por los espejos correspondientes colocados a lo largo de la direcci´on del movimiento, se produce en el instante t = 6h15min en el punto +3,75 de la v´ıa; pero el evento de retorno (W) de la se˜nal i reflejada por el espejo en b, dispuesto con respecto al origen de la radiaci´on y perpendicular-mente a la direcci´on de marcha del m´ovil, se produce en el instante tow = 5h en el punto w = +3.
De acuerdo al razonamiento cl´asico, el retorno (R) de r y s es posterior en una hora y cuarto al retorno (W) de i. Entre el retorno (W) de i y el regreso com´un (R) de r y s, el receptor o’ avanza 3/4 de unidad, desde W hasta R. Ello est´a plenamente de acuerdo con lo que sabemos acerca del movimiento del m´ovil, el cual a la velocidad de 3/5 debe avanzar 3/4 en 5/4 de hora (6.25h-5h). Por otra parte, el camino recorrido por los rayos luminosos (se˜nales) r (o s) e i en el ´eter no es el mismo: sobre la figura puede observarse que es de (1,25 + 5) = 6,25 para r (l´ınea roja a trazos)o s (l´ınea verde), mientras que para i es de 5 unidades (l´ınea negra a trazos). Con base a la aplicaci´on que se acaba de presentar, se pueden presentar al estudiante variados ejercicios similares donde se le recalque que corresponden a los razonamientos cl´asicos.
´
Estos eran los c´alculos que los f´ısicos a finales del siglo XIX presentaban para justificar el fen´omeno de interferencia que deb´ıa presentarse con el empleo del Interfer´ometro; no todos los rayos en los retornos llegar´ıan simult´aneamente lo cual provocar´ıa variaciones en el patr´on de
Figura 6.6: Pron´ostico cl´asico de los rayos luminosos en sus retornos
Los rayos r, s e i no presentan simultaneidad local en los retornos al punto o’ seg´un la teor´ıa cl´asica. Los dos primeros llegan simult´aneamente a un mismo punto (Evento (R)) de la v´ıa, pero i llega a otro punto de la v´ıa (Evento (W).)
interferencia detectado al variar el ´angulo β del interfer´ometro (ver figura 6.1). El mismo Lorentz suger´ıa a Michelson mejorar el dispositivo para que aumentara su sensibilidad.
La teor´ıa cl´asica que acabamos de presentar proporciona un resultado que difiere de la propiedad Michelson comprobada experimentalmente: en lugar de un retorno simult´aneo de las tres se˜nales, la teor´ıa cl´asica prev´e un retraso del retorno com´un de r y de s respecto al retorno de i.
La experiencia efectiva realizada por Michelson result´o en desacuerdo con las previsiones la teor´ıa cl´asica fundamental, por lo cual se plantearon otras teor´ıas a fin de justificar la simulta-neidad en los retorno de los rayos luminosos, ninguna de las cuales logr´o explicar eficientemente las propiedades Michelson y de Unicidad del comportamiento de la luz. S´olo la Teor´ıa de la Relatividad Especial de Einstein lo logr´o en forma eficaz.
6.2.
An´
alisis de los resultados del experimento de Michelson-Morley
bajo la Teor´ıa Especial de la Relatividad
La Teor´ıa de la Relatividad de Einstein es una teor´ıa que no se pronuncia acerca de la na-turaleza de la luz, pero le atribuye ciertas propiedades que sugiere la experiencia (v´ease secci´on 4.1):
1) la propiedad (E) o de Einstein 2) la propiedad (U) o de Unicidad
Supone adem´as el abandono de la idea cl´asica acerca del car´acter absoluto de los intervalos de tiempo y atribuye a las se˜nales luminosas el papel de agente horario; el tiempo universal est´a basado en las se˜nales luminosas . Es as´ı, como la teor´ıa de Einstein vincula el patr´on de duraci´on al patr´on de longitud; si las longitudes se miden en unidades-luz, esas mismas unidades representan los tiempos. Por ejemplo, 1 h-luz es la longitud que recorre la luz en una 1h. En vez de decir que la velocidad de la luz es de 300.000 Km/s diremos simplemente que es de 1s-luz/s, donde 1s-luz=300.000 Km
Seg´un la propiedad E, la velocidad de la luz no depende de la velocidad del m´ovil (labora-torio L’) y adem´as tiene un valor constante evidenciado por el experimento de Michelson; en consecuencia da lo mismo que el m´ovil est´e en movimiento o reposo para obtener los mismos resultados. La figura 6.7 muestra c´omo los eventos (W) y (R) coinciden necesariamente en el m´ovil (laboratorio L’) donde se utilizan posiciones y tiempos con letras primadas para distin-guirlas de las posiciones en la v´ıa o laboratorio L.
Figura 6.7: Simultaneidad de los rayos luminosos en sus retornos en el m´ovil
Para Einstein, la evidencia experimental predomina sobre la especulaci´on matem´atica; por lo tanto, los rayos r, s e i retornan al mismo punto sin ning´un desfase entre ellos.
Es l´ogico que al ser las distancia hasta los espejos de un valor p = 2h − luz (en la APLI-CACI ´ON 1), entonces los tiempos empleados por los rayos para llegar hasta ellos ser´an tambi´en de to0m0 = to0n0 = to0m0 = to0b0 = p/c = 2h utilizando el concepto de tiempo universal de Einstein.
En Forma similar el tiempo total de ida y regreso al emisor-receptor o’, ser´a igual al doble del anterior, o sea 4h.
en 2.5h para el rayo i que viaja diagonalmente hasta el punto b seg´un se dedujo de la APLI-CACI ´ON 2; el tiempo total de dicho rayo hasta su retorno en la posici´on w ser´a el doble. Con base en dicho tiempo, el m´ovil hasta el evento (W) se habr´a desplazado la cantidad:
|ow| = V × tow = 35c × 5h = 351h−luzh × 5h = 3h − luz = +3.
Figura 6.8: Simultaneidad en los retornos y desfase hasta los espejos
En la Teor´ıa de la Relatividad Especial los eventos (R) y (W) son simult´aneos, pero los eventos (M), (N) y (B) no lo son desde la v´ıa aunque desde el m´ovil s´ı lo sean. El tiempo que tarda el rayo r para ir hasta m es igual a |m|, el tiempo que tarda el rayo s para ir hasta n es igual a |n|, y el tiempo que tarda el rayo i para ir hasta b es igual a |p(w/2)2+ p2| aplicando el T. de Pit´agoras al tri´angulo oab.
La figura 6.8 muestra la propuesta relativista en contraposici´on con la dada por la f´ısica cl´asica fundamental. La reflexi´on del rayo r en el espejo situado en el punto m’ del m´ovil, se dar´a en alg´un punto m sobre la v´ıa. Algo parecido suceder´a con la reflexi´on del rayo s sobre el espejo situado en la posici´on n’; se dar´a en alguna posici´on n de la v´ıa. El avance horizontal de la reflexi´on del rayo i corresponder´a a la distancia |ow|2 = +3/2 = +1,5 en la v´ıa.
Cuando el el punto o’ del m´ovil cruza la marca 0 de la v´ıa se produce la emisi´on de las se˜nales r, s e i simult´aneamente. En ese instante m0 = −2. n0 = +2 y b0 = +2 por encima de 0; observar la figura ??. Para Einstein, en realidad, no son tres rayos independientes sino trayec-torias radiales de una sola emisi´on ondulatoria de car´acter esf´erica que se propaga en todas las direcciones con la misma velocidad de la luz. Cuando haya transcurrido 5 h respecto a la v´ıa el rayo i habr´a llegado al punto w = +3. Pero los rayos r y s tambi´en llegar´an en ese mismo instante, es decir emplear´an tambi´en 5h cada uno; cada uno de estos rayos luminosos recorrer´an en 5h una distancia igual a c × 5h = 5h − luz.
Figura 6.9: Diversas posiciones del m´ovil respecto a la v´ıa
Tres posiciones diferentes de o’: cuando pasa por la marca 0 de la v´ıa donde se origina el rayo i; cuando cruza la marca a de la v´ıa y el rayo i se refleja en el punto b; cuando o’ pasa la marca w donde finalmente el rayo i regresa a dicho punto. Empleando tiempos universales, cada onda de luz punteada representa media unidad de tiempo y tambi´en media unidad de longitud.
Para que el rayo r recorra 5h-luz y llegue a la posici´on w = +3 partiendo de la marca 0 de la v´ıa, requiere que avance una unidad a la izquierda y se devuelva otras 4 a la derecha. Para que el rayo s cumpla el mismo cometido requiere avanzar 4 unidades a la derecha y devolverse una hacia la izquierda. Los puntos en que se devuelven corresponden a las posiciones en la v´ıa de los espejos que reflejan los rayos r y s; dichas posiciones han sido marcados con m = −1 y n = +4. Obs´ervese que para la v´ıa no se utilizan letras primadas.
Es muy importante resaltar que de los tres tiempos para los rayos r, s, i con respecto a la v´ıa, la Relatividad Especial s´olo acepta como verdadero el tiempo del rayo i, puesto que al ser lanzado perpendicularmente a la direcci´on en que se desplaza el m´ovil, no experimenta reflexio-nes horizontales que interactuen con la posici´on instant´anea del m´ovil. Es conveniente que el estudiante compare las figuras 6.6 y 6.8 y deducir la segunda conociendo la primera. Para ello se requiere realizar varios ejercicios variando, por ejemplo, la velocidad del m´ovil o su longitud; se puede tomar el caso en que V = 4/5.
Un aspecto primordial a discutir consiste en distinguir los eventos simult´aneos y no si-mult´aneos con respecto a la v´ıa o al m´ovil tal como lo manifiestan las figuras citadas ante-riormente. Es momento de repasar los conceptos de simultaneidad a distancia y simultaneidad local que fueron vistos en la secci´on 3.1.11. Se puede colocar un listado de pares de eventos para que el estudiante los clasifique.
Ejemplo. De los siguientes pares de eventos diga cu´ales son localmente simult´aneos o si-mult´aneos a distancia con respecto al m´ovil o a la v´ıa: (M) y (N), (O) y (W), (B) y (N),
etc.
6.3.
Los conceptos de tiempo propio y longitud propia
Las nociones de longitud y tiempo son relativos, dependiendo el sistema de referencia bajo el cual se hagan las mediciones.
6.3.1. Duraci´on propia o tiempo propio de un proceso
La duraci´on de un proceso cualquiera que se inicia o desarrolla en un punto fijo o’ de un laboratorio inercial (L’), determinado mediante las se˜nales luminosas que parten de o’ y re-gresan a o’, se denomina duraci´on propia y se representa por t’. Ejemplo: para la figura 6.7, t0 = to0b0o0 = 2 × to0b0 = 4h
La duraci´on bruta o impropia obtenida de un movimiento relativo, depende a la vez, de las caracter´ısticas del proceso considerado y de la velocidad relativa V del laboratorio (L’); corresponde a t y est´a determinado por las se˜nales luminosas que parten de o y progresan si-mult´aneamente con el desplazamiento de o’ por una trayectoria diferente a las se˜nales luminosas que parten de o’. Ejemplo: para la figura 6.5 o la figura ??, t = tobw= 2 × tob= tow = 5h
Como todas las se˜nales luminosas parten de la marca cero y se reencuentran en la marca w de la v´ıa, los tiempos propio e impropio se representan por t0ow y tow respectivamente.
El cociente que se establece entre las duraciones propia e impropia se denomina Relaci´on de dilataci´on relativista del tiempo y se representa por β.
β = to0b0o0 tobw = t 0 ow tow (6.11) Ejemplo: para la figura 6.9,
β = to0b0o0 tobw
= 4/5
Como tow > t0ow, el valor de β siempre es positivo y menor que la unidad. 0 < β < 1
C´alculo de β a partir de V y c
Por definici´on, tiempo propio = t0ow = to0b0o0 = 2 × to0b0 = 2 × (|o0b0|)/c (se toma en el m´ovil)
Entonces, β = t0ow tow = 2×|o0b0|/c 2×(|ob|)/c ⇒ β = |o 0b0| |ob| (6.12) Elevando β al cuadrado, β2 = |o0b0|2
|ob|2 . Pero del tri´angulo rect´angulo resaltado de la figura ??
tenemos que: |o0b0|2 = |ob|2− |oa|2; por lo tanto,
β2 = |ob| 2− |oa|2 |ob|2 ⇒ β 2 = 1 − |oa| 2 |ob|2
El valor de |oa| es la distancia que recorre el m´ovil en un tiempo toa = tob, puesto que tanto el
m´ovil como el rayo i llegan simult´aneamente a los puntos a y b respectivamente. Tomando pues |oa| = V × toa= V × tob, y |ob| = c × tob resulta:
β2 = 1 − (V × tob) 2 (c × tob)2 ⇒ β2 = 1 − V 2 c2 ⇒ β = r 1 −V 2 c2 (6.13)
Conociendo la duraci´on impropia y la velocidad relativa entre dos laboratorios, es posible calcular la duraci´on propia del laboratorio m´ovil. En efecto, sabiendo que β = t0ow
tow, resulta t0ow = βtow ⇒ t0ow = tow r 1 − V 2 c2 (6.14)
Un caso particular consiste en reemplazar tow por su equivalente seg´un la ecuaci´on (6.9) as´ı:
t0ow = 2 × √p 1−f2 × q 1 − Vc22 ⇒ t 0 ow = 2p ⇒ p = |t 0 ow 2 | (6.15)
Lo cual cual no indica que el valor de p (longitud del m´ovil) es igual en magnitud a la mitad del tiempo propio.
|V | representa tanto la velocidad relativa de L’ con respecto a L, como la velocidad de L con respecto a L’, ya que el proceso es rec´ıproco.
Ejemplo 1. Si la velocidad del m´ovil es los 3/5 de la velocidad de la luz, hallar el tiempo pro-pio de un evento al interior del m´ovil sabiendo que con respecto a la v´ıa tiene una duraci´on de 5h.
soluci´on. Aplicando la ecuaci´on 6.14: tiempo propio = 5h × q
1 −(3/5)c22c2 = 5h × (4/5) = 4h
Donde β = 4/5 es la relaci´on de dilataci´on relativista para tiempos
La expresi´on dilataci´on relativista hace referencia al hecho de que el tiempo entre eventos tales como (O) y (W) copuntuales en el m´ovil, donde es igual a 4h, se extiende a 5h registrado desde la v´ıa, es decir, en el laboratorio en el que no son copuntuales. Lo que en el m´ovil sucede a las 4h, en la v´ıa corresponde a 5h; ”corre” m´as el tiempo en la v´ıa que en el m´ovil. La dilataci´on relativista del tiempo es mayor entre m´as peque˜na sea β, en efecto, de dos valores de β, 3/5 y 4/5 por ejemplo, el primero representa mayor dilataci´on o ”alargamiento” del tiempo pues apenas van 3h en el m´ovil cuando en la v´ıa ya van 5h.
Se puede solicitar al estudiante que construya una tabla de valores de β para diferentes valores de V y deduzca luego alguna relaci´on entre ellos. Tambi´en se le puede hacer razonar con argumentos imaginarios como el siguiente: de tres personas con igual fecha de nacimiento, dos parten de viaje sin ”paradas” al mismo tiempo en m´oviles diferentes a velocidades de 3/5 y 4/5 la velocidad de la luz respectivamente; la tercera persona no viaj´o. El viajero que permaneci´o en Tierra report´o que los otros dos regresaron al cabo de 5 a˜nos exactos. En ese transcurso de tiempo cu´al de las tres viajeros celebr´o m´as cumplea˜nos?
Este ejercicio requiere aplicar la f´ormula β = t0/t = q
1 − Vc22, sin embargo con razonamiento
f´ısico se puede hacer conjeturas y luego verificarlas matem´aticamente; t0 se mide en el m´ovil y t en Tierra.
Cuando V = 3/5, β = 4/5. Entonces, t0 = 4/5 × 5 = 4 (cuatro cumplea˜nos).
Cuando V = 4/5, β = 3/5. Entonces, t0 = 3/5 × 5 = 3 ( tres cumplea˜nos).
Claramente, el viajero que permaneci´o en Tierra tuvo m´as cumplea˜nos, y el viajero que march´o a mayor velocidad celebr´o menos cumplea˜nos.
Ejemplo 2: Suponga que el d´ıa que naci´o el ni˜no Einstein cinco viajeros programaron partir sin hacer escalas a determinadas regiones del cosmos a diferentes porcentajes de la velocidad de la luz como se observa en la figura 6.10. El primer viajero tuvo problemas de arranque y permaneci´o en Tierra. Cuando el segundo viajero regres´o report´o que el viaje le demor´o 10 a˜nos despreciando el tiempo de viraje. De cu´antos a˜nos encontr´o al ni˜no Einstein? Si los dem´as viajeros dieron el mismo reporte de qu´e edad encontr´o cada uno al ni˜no? En qu´e orden llegaron?
Soluci´on. La f´ormula a emplear es t0/t = r 1 − V 2 c2 ⇒ t = t0 q 1 − Vc22
Para el segundo viajero: t = q 10 1−0,252
12
Para el tercer viajero: t = q 10 1−0,502
12
≈ 11 a˜nos, 6 meses, 17 d´ıas Para el cuarto viajero: t = q 10
1−0,752
12
≈ 15 a˜nos, 1 mes, 13 d´ıas Para el quinto viajero: t = 10
q 1−0,992
12
≈ 70 a˜nos, 10 meses, 20 d´ıas.
L´ogicamente, el viajero que encontr´o m´as joven al ni˜no Einstein, es porque lleg´o primero; el que lo encontr´o anciano, lleg´o de ´ultimo.
Lo que Einstein quiere demostrar es que el tiempo es una variable m´as de un sistema de referencia, y que los valores que toma no son necesariamente los mismos valores en otro sistema de referencia para un mismo evento registrado simult´aneamente desde ambos sistemas.
6.3.2. Longitud propia
Einstein afirma que una varilla se hace ”m´as corta” cuando se encuentra en movimiento. Esto significa que la longitud impropia de una varilla, definida por el m´etodo de ”observaciones simult´aneas”, es m´as reducida que la longitud propia. Por tal raz´on se establece que de las dos lecturas que se hacen sobre una longitud desde diferentes sistemas de referencia, la mayor corresponde a la longitud propia.
Veamos la figura 6.9. La longitud del m´ovil tomada al interior del mismo es igual a 2p = n0−m0 = +2−(−2) = 4, mientras que la longitud anotada desde la v´ıa es de n−m = 4−(−1) = 5.
Por consiguiente la longitud propia esta dada por la longitud del segmento mn, mientras que la longitud impropia est´a dada por la medida del segmento m’n’.
Para el caso de longitudes, el cociente |m|mn|0n0| se denomina relaci´on de contracci´on relati-vista de la longitud y corresponde num´ericamente al valor de β hallado anteriormente. En efecto, de la figura 6.9 se desprende que |m0n0| = 2 × |o0b0| y, |mn| = 2 × |ob|. En consecuencia,
Figura 6.10: Varios viajero parten simult´aneamente de un sitio a diferentes velocidades inerciales comparables en porcentaje con la velocidad de la luz
la ecuaci´on (6.12) se convierte en β = |m|mn|/20n0|/2 = |m|mn|0n0|. Entonces, |mn| = |m 0n0| β = |m0n0| q 1 −Vc22 , 0 < β < 1
Ejemplo. Si la longitud del m´ovil vista desde su interior es 4 y su velocidad es los 3/5 de la velocidad de la luz, hallar la longitud propia registrada en la v´ıa.
soluci´on: |mn| = r 4 1−(3/5)2c2
c2
= 4/54 = 5
donde β = 4/5 es la relaci´on de contracci´on relativista de la longitud.
La expresi´on contracci´on relativista hace referencia al hecho de que la distancia entre acon-tecimientos tales como (M) y (N), igual a 5 unidades sobre la v´ıa, se reduce o ”contrae” a 4 unidades en el m´ovil, es decir en el laboratorio en el que son simult´aneos. La contracci´on relativista de la longitud es mayor entre m´as peque˜na sea β, en efecto, de dos valores de β, 3/5 y 4/5 por ejemplo, el primero representa mayor contracci´on o ”acortamiento” de la longitud, pues apenas es de 3 unidades en el m´ovil cuando desde la v´ıa mide de 5.
siguientes:
- Si a mayor velocidad de un cuerpo, mayor contracci´on de la dimensi´on que est´a en la mis-ma direcci´on del movimiento, ¿Cu´ando las longitudes propia e impropia son iguales? (Si falla en el razonamiento f´ısico, se puede recurrir al razonamiento matem´atico: si β = 1, entonces p1 − V2/c2 = 1 ⇒ V = 0; el m´ovil queda en reposo).
- Si la longitud propia de un m´ovil es igual a 5 y la longitud impropia es de 4. ¿ Cu´al ser´a la longitud del m´ovil cuando pierda su velocidad y quede en reposo? (Es l´ogico que, si con la velocidad la longitud se acorta, entonces en reposo no la altera)
- A qu´e velocidad la longitud de un m´ovil se reduce en un 40 por ciento? En general,
longitud impropia = β × longitud propia
duraci´on impropia = 1
β × duraci´on propia
6.4.
Ecuaciones que rigen el desplazamiento de los rayos r y s bajo
la Teor´ıa Relativista
Ser´ıa interesante verificar c´omo se relacionan los tiempos y posiciones empleados por los rayos r y s de la f´ısica cl´asica con lo tiempos y posiciones utilizados en la f´ısica relativista. Para la f´ısica cl´asica el tiempo que tardan los rayos r y s para ir desde la posici´on o hasta el punto de retorno w se calcula a partir de la ecuaci´on (6.7) y el tiempo que tarda el rayo i para el mismo acometido est´a dado por la ecuaci´on (6.9). La f´ısica relativista s´olo acepta la segunda ecuaci´on como la correcta con respecto a la v´ıa y condiciona a que los rayos r y s deben tambi´en emplear el mismo tiempo de i puesto que las pruebas experimentales demuestran que todos los rayos llegan simult´aneamente (experimento de Michelson-Morley). Busquemos entonces alguna relaci´on de conversi´on entre los dos tiempos, de tal manera que conociendo un valor cl´asico se pueda establecer su equivalente relativista; es muy sencillo, basta hallar un cociente de conver-si´on entre los dos tiempos as´ı:
tow t3 = 2p √ 1−f2 2p 1−f2 =p1 − f2 = β ⇒ t ow = t3× β
Esta expresi´on nos define que el tiempo relativista se obtiene multiplicando el tiempo cl´asico por β. Se puede generalizar diciendo:
trelativista= tclasico× β
Ejemplo 1.. De la APLICACI ´ON 1 acerca del m´ovil con velocidad V = (3/5)c se dedujo que t3 = 6,25h, t1 = 1,25h y t2 = 5h. Halle los valores correctos relativistas.
Soluci´on: Llamemos:
tm, tiempo relativista que tarda el rayo r para llegar hasta el espejo en la posici´on m de la v´ıa,
partiendo desde la marca 0.
tn, tiempo relativista que tarda el rayo s para llegar hasta el espejo en la posici´on n de la v´ıa,
partiendo desde la marca 0.
tow, tiempo relativista que tardan los rayos r, s, i para llegar simult´aneamente hasta la posici´on
w de la v´ıa, partiendo desde la marca 0, y reflej´andose luego en los respectivos espejos que pasan por las posiciones m, n, b. Este tiempo tambi´en corresponde al tiempo que gasta el m´ovil en recorrer la v´ıa desde 0 hasta w.
tow = t3rel = t3× β = 2p 1 − f2 × β = 2p p1 − f2 (6.16) tow = 6,25 × p 1 − (3/5)2 = 6,25 × 0,8 = 5h tm = t1rel = t1× β = p 1 + f × β ⇒ (6.17) tm = 1,25 × 0,8 = 1h tn= t2rel = t2× β = p 1 − f × β ⇒ (6.18) tn= 5 × 0,8 = 4h
El estudiante podr´a descubrir los resultados hallados, en la figura 6.8 e interpr´etarlos.
Con relaci´on al punto de encuentro de los tres rayos se sabe que se encuentra en el punto w de la figura 6.8. Se puede averiguar en forma sencilla a partir de la velocidad del m´ovil: dow = V × tow = f.c × t3rel = 1−f2f pβ2 = 2f p √ 1−f2 ⇒ w = + 2f p p1 − f2 = V × tow (6.19)
De forma similar, las posiciones de m y n, puntos de reflexi´on de los rayos r y s con respecto a la v´ıa estar´an facilitadas por r(tm) y s(tn). De acuerdo a las ecuaciones (6.1) y (6.3) se pueden
hallar tales valores as´ı:
r(tm) = −|tm| ⇒ m = −|t1 × β| ⇒ m = −|tm| = −| pβ 1 + f| (6.20) s(tn) = |tn| ⇒ n = |t2× β| ⇒ n = |tn| = | pβ 1 − f| (6.21)
Como ilustraci´on tomemos los mismos valores de tm y tn indicados anteriormente. Entonces,
r(1) = −1 y s(4) = 4 (const´atelos en la figura 6.8).
Las gr´aficas relativistas tienen la particularidad de ser del tipo t contra r o t contra s como se ver´a m´as adelante, es decir, utiliza pares ordenados (r,t) o (s,t) respectivamente. Las ecuaciones que rigen los movimientos de los rayos r y s bajo la teor´ıa relativista se pueden deducir a partir de los valores hallados as´ı:
Para el rayo r. Desde su origen hasta el punto m el punto inicial es (0,0) y el punto final (m, tm). Luego la pendiente del rayo luminoso es:
pendiente = tm−0 m−0 = tm m = t−0 r−0. Despejando el tiempo, t = tm m × r, m 6 r 6 0 (6.22)
En el segundo tramo, el rayo r se desplaza desde el punto m hasta el punto w. Las coordenadas de estos puntos son: (m, tm) y (w, tow); los tiempos se cuentan desde el momento de la emisi´on.
La pendiente en este caso est´a dada por pendiente = tow−tm
w−m = t−tm
r−m. Por un manejo algebraico
se llega a que:
t = tow− tm
w − m × r +
wtm− mtow
w − m , m 6 r 6 w (6.23)
Para el rayo s. Desde su origen hasta el punto n el punto inicial es (0,0) y el punto final (n, tn).
Luego la pendiente del rayo luminoso es: pendiente = tn−0
n−0 = tn
n = t−0
s−0. Despejando el tiempo resulta
t = tn
n × s, 0 6 s 6 n (6.24)
En el segundo tramo, el rayo s se desplaza desde el punto n hasta el punto w. Las coordenadas de estos puntos son: (n, tn) y (w, tow); los tiempos se cuentan desde el momento de la emisi´on.
La pendiente en este caso est´a dada por pendiente = tow−tn
w−m = t−tn
s−m. Por un manejo algebraico
se llega a que:
t = tow− tn w − n × s +
wtn− ntow
w − n , w 6 s 6 n (6.25)
Ejemplo 2. Hallar las ecuaciones de desplazamiento de los rayos r y s a partir de los datos suministrados por el ejemplo 1 y proceda luego a graficarlas.
Soluci´on. 1) Para el rayo r: a) Seg´un la ecuaci´on (6.22), t = tm m × r = 1 −1 × r ⇒ t = -r donde r[−1, 0].
Figura 6.11: Trayectorias de los rayos r y s para la f´ısica relativista.
Obs´ervese las posiciones de los puntos m, n y w, adem´as de los eventos (M), (N), y (W). Los ejes est´an intercambiados al compararla con la gr´afica cl´asica de la figura ??.
b) Recordemos que |ow| = V × tow = (3/5) × 5 = 3 ⇒ w = +3;
aplicando entonces la ecuaci´on (6.23), t = 5−1
3−(−1) × r + 3×1−(−1)×5 3−(−1) ⇒ t = r + 2 donde r[−1, 3]. 2) Para el rayo s: a) A partir de la ecuaci´on (6.24), t = tn n × s = 4 4 × s ⇒ t = s donde s[0,4]. b) Aplicando la ecuaci´on (6.25): t = 5−43−4× s + 3×4−4×5 3−4 ⇒ t = −s + 8 donde s[3, 4].
Las gr´aficas de los dos rayos se muestran unificadas en la figura 6.11. Una buena pr´actica para los estudiantes es construirla e interpretarla. Adem´as encontrar diferencias al compararla con la gr´afica obtenida desde la f´ısica cl´asica en la figura ??.
Ejemplo 3. Reconstruya la gr´afica anterior cuando la velocidad del m´ovil es U = 45c y las distancias a los espejos se conservan.
Soluci´on. Para hallar las ecuaciones se requiere conocer β, m, n, w, tm, tn y tow. De los datos
Figura 6.12: Trayectorias de los rayos r y s para el ejemplo 3. Luego, β =p1 − f2 =p1 − (4/5)2 = 3/5 De la ecuaci´on (6.19), w = 2f p/β = 2×(4/5)×23/5 = 16/3 ⇒ w = +5 y 1/3 De la ecuaci´on (6.20), m = −pβ/(1 + f ) = −2×(3/5)1+4/5 ⇒ m = −2/3 De la ecuaci´on (6.21), n = pβ/(1 − f ) = 2×(3/5)1−4/5 ⇒ n = +6
Tambi´en de las ecuaciones (6.20) y (6.21), tm = |m| = | − 2/3| = 2/3, y tn = |n| = | + 6| = 6
De la ecuaci´on (6.16), tow = 2×pβ = 2×23/5 ⇒ tow = 6 y 2/3
Entonces, con el rayo r de acuerdo a las ecuaciones (6.22) y (6.23) obtenemos: a) Para −2/3 6 r 6 0, t = tm m × r = 2/3 −2/3 × r ⇒ t = -r. b) Para −2/3 6 r 6 16/3, t = 16/3−(−2/3)20/3−2/3 × r + (16/3)×(2/3)−(−2/3))×(20/3)16/3−(−2/3) ⇒ t=r+4/3
Con el rayo s tenemos las siguientes opciones seg´un las ecuaciones (6.24) y (6.25): a) Para 0 6 s 6 6, t = tn
n × s = 6
6 × s ⇒ t = s.
b) Para 16/3 6 s 6< 6, t = 20/3−616/3−6 × s +(16/3)×6−6×(20/3)16/3−6 ⇒ t = −s + 12
La figura 6.12 muestra en forma conjunta las gr´aficas de los dos rayos. El estudiante veri-ficar´a los puntos y eventos notables.
Cap´ıtulo 7
DIAGRAMAS DE ESPACIO-TIEMPO Y TRANSFORMACIONES
DE LORENTZ
Ver parte V
CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS: Ver parte V
´
Indice de figuras
6.1. Adaptaci´on del interfer´ometro de MIchelson al caso particular de un m´ovil . . . 9
6.2. Emisi´on de dos rayos luminosos en sentido contrario . . . 10
6.3. Desplazamiento del rayo s . . . 14
6.4. Desplazamiento del rayo r . . . 15
6.5. El m´ovil se desplaza hacia la derecha con movimiento uniforme respecto la v´ıa. . 16
6.6. Pron´ostico cl´asico de los rayos luminosos en sus retornos . . . 18
6.7. Simultaneidad de los rayos luminosos en sus retornos en el m´ovil . . . 19
6.8. Simultaneidad en los retornos y desfase hasta los espejos . . . 20
6.9. Diversas posiciones del m´ovil respecto a la v´ıa . . . 21
6.10. Varios viajero parten simult´aneamente de un sitio a diferentes velocidades iner-ciales comparables en porcentaje con la velocidad de la luz . . . 26
6.11. Trayectorias de los rayos r y s para la f´ısica relativista. . . 30
´
Indice general
1.
EL PROBLEMA DE LA LUZ COMO ANTECEDENTE HIST ´
ORI-CO DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
1
2.
INVARIANZA DE LAS LEYES DE MAXWELL
2
3.
EVOLUCI ´
ON DE CONCEPTOS HACIA LA TEOR´
IA DE LA
RELATIVIDAD
3
4.
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA TEOR´
IA DE LA
RELATIVIDAD ESPECIAL
4
5.
EFECTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL EN LA DIN ´
AMI-CA
5
6.
DID ´
ACTICA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
6
6.1. Resultados esperados por la Teor´ıa Cl´asica Fundamental con relaci´on al
experi-mento de Michelson-Morley . . . 8
6.2. An´alisis de los resultados del experimento de Michelson-Morley bajo la Teor´ıa Especial de la Relatividad . . . 18
6.3. Los conceptos de tiempo propio y longitud propia . . . 22
6.3.1. Duraci´on propia o tiempo propio de un proceso . . . 22
6.3.2. Longitud propia . . . 25 6.4. Ecuaciones que rigen el desplazamiento de los rayos r y s bajo la Teor´ıa Relativista 27
7.
DIAGRAMAS DE ESPACIO-TIEMPO Y TRANSFORMACIONES
DE LORENTZ
32
CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS 32
