NÚMEROS BINARIOS Y SITEMA BASE 4

NÚMEROS BINARIOS

NÚMEROS BINARIOS

Para otros usos de este término, véase

Para otros usos de este término, véase Sistema binario (astronomía)Sistema binario (astronomía)..

El

El sistema binariosistema binario, en, en matemáticasmatemáticas ee informáticainformática, es un, es un sistema de numeraciónsistema de numeración en elen el que los

que los númerosnúmeros se representan utilizando solamente lasse representan utilizando solamente las cifrascifras cerocero yy unouno ((00 yy 11). Es el). Es el

que se utiliza en las

que se utiliza en las computadorascomputadoras,, debido a que trabajan internamente con dos nivelesdebido a que trabajan internamente con dos niveles de

de voltajevoltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido

1 1, apagado, apagado 00).).

Contenido

Contenido

• 1 Historia del sistema binario1 Historia del sistema binario

○

○ 1.1 Aplicaciones1.1 Aplicaciones

•

• 2 Representación2 Representación •

• 3 Conversión entre binario y 3 Conversión entre binario y decimaldecimal

○

○ 3.1 Decimal a binario3.1 Decimal a binario ○

○ 3.2 Decimal (con decimales) a 3.2 Decimal (con decimales) a binariobinario ○

○ 3.3 Binario a decimal3.3 Binario a decimal ○

○ 3.4 Binario a 3.4 Binario a decimal (con parte fraccionaria binaria)decimal (con parte fraccionaria binaria)

•

• 4 Operaciones con números binarios4 Operaciones con números binarios

○

○ 4.1 Suma de números binarios4.1 Suma de números binarios ○

○ 4.2 Resta de 4.2 Resta de números binariosnúmeros binarios ○

○ 4.3 Producto de números 4.3 Producto de números binariosbinarios ○

○ 4.4 División de números binarios4.4 División de números binarios

•

• 5 Conversión entre sistema binario y 5 Conversión entre sistema binario y octaloctal

○

○ 5.1 Sistema Binario a 5.1 Sistema Binario a octaloctal ○

○ 5.2 Octal a binario5.2 Octal a binario

•

• 6 Conversión entre binario y 6 Conversión entre binario y hexadecihexadecimalmal

○

○ 6.1 Binario a hexadecimal6.1 Binario a hexadecimal ○

○ 6.2 Hexadecimal a binario6.2 Hexadecimal a binario

•

• 7 Tabla de 7 Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimaconversión entre decimal, binario, hexadecimal, octal, BCD, l, octal, BCD, Exceso 3Exceso 3

y Código Gray o

y Código Gray o ReflejaReflejadodo

•

• 8 Factorialización8 Factorialización •

• 9 Véase también9 Véase también •

• 10 Enlaces externos10 Enlaces externos

Página del artículo

Página del artículo Explication de l'Arithmétique BinaireExplication de l'Arithmétique Binaire de Leibniz.de Leibniz.

El antiguo matemático indio

El antiguo matemático indio PingalaPingala presentó la primera descripción que se presentó la primera descripción que se conoce deconoce de un sistema de numeración binario en el siglo III a.

un sistema de numeración binario en el siglo III a. C.C.

Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (análogos a 3

Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (análogos a 3 bitbit) y números) y números binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto clásico del

binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto clásico del I ChingI Ching.. Series similares de combinaciones binarias también han sido utilizadas en sistemas de Series similares de combinaciones binarias también han sido utilizadas en sistemas de adivinación tradicionales africanos, como el

adivinación tradicionales africanos, como el IfáIfá, así como en la, así como en la geomanciageomancia medievalmedieval occidental.

occidental.

Un arreglo binario ordenado de los

Un arreglo binario ordenado de los hexagramashexagramas del I Ching, representando la secuenciadel I Ching, representando la secuencia decimal de 0 a 63,

decimal de 0 a 63, y un método para generar el y un método para generar el mismo fue desarrollado por el erudito ymismo fue desarrollado por el erudito y filósofo Chino

filósofo Chino Shao YongShao Yong en el siglo XI.en el siglo XI. En 1605

En 1605 Francis BaconFrancis Bacon habló de un sistema por el cual las letras del alfabeto podríanhabló de un sistema por el cual las letras del alfabeto podrían reducirse a secuencias de dígitos binarios, las cuales podrían ser codificadas como reducirse a secuencias de dígitos binarios, las cuales podrían ser codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario.

variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario. El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por 

El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por  LeibnizLeibniz, en el siglo, en el siglo XVII, en su artículo "

XVII, en su artículo "Explication de l'Arithmétique BinaireExplication de l'Arithmétique Binaire". En él se mencionan los". En él se mencionan los

símbolos binarios usados por matemáticos chinos. Leibniz utilizó el 0 y el 1, al igual símbolos binarios usados por matemáticos chinos. Leibniz utilizó el 0 y el 1, al igual que el sistema de numeración binario actual.

que el sistema de numeración binario actual. En

En 18541854, el matemático británico, el matemático británico George BooleGeorge Boole publicó un artículo que marcó un antespublicó un artículo que marcó un antes y un después, detallando un sistema de lógica que terminaría denominándose

y un después, detallando un sistema de lógica que terminaría denominándose ÁlgebraÁlgebra

de Boole

de Boole. Dicho sistema desempeñaría un papel fundamental en el desarrollo del. Dicho sistema desempeñaría un papel fundamental en el desarrollo del sistema binario actual, particularmente en el desarrollo de circuitos electrónicos. sistema binario actual, particularmente en el desarrollo de circuitos electrónicos.

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editar

]

] Aplicacio

Aplicaciones

nes

En

En 19371937,, Claude ShannonClaude Shannon realizó su tesis doctoral en elrealizó su tesis doctoral en el MITMIT, en la cual implementaba, en la cual implementaba el

el Álgebra de BooleÁlgebra de Boole y aritmética binaria utilizandoy aritmética binaria utilizando relésrelés yy conmutadoresconmutadores por primerapor primera vez en la historia. Titulada

vez en la historia. Titulada Un Análisis Simbólico de Circuitos Conmutadores y RelésUn Análisis Simbólico de Circuitos Conmutadores y Relés,,

la tesis de Shannon básicamente fundó el diseño práctico de circuitos digitales. la tesis de Shannon básicamente fundó el diseño práctico de circuitos digitales. En noviembre de

En noviembre de 19371937,, George StibitzGeorge Stibitz, trabajando por aquel entonces en los, trabajando por aquel entonces en los Laboratorios Bell

Laboratorios Bell, construyó una computadora basada en, construyó una computadora basada en relésrelés—a la cual apodó—a la cual apodó "Modelo K" (porque la construyó en una cocina, en

"Modelo K" (porque la construyó en una cocina, en inglés "inglés "k k itchen")— que utilizaba laitchen")— que utilizaba la

suma binaria para realizar los cálculos. Los

suma binaria para realizar los cálculos. Los Laboratorios BellLaboratorios Bell autorizaron un completoautorizaron un completo programa de investigación a finales de

programa de investigación a finales de 19381938, con Stibitz, conStibitz al mando. Elal mando. El 8 de enero8 de enero dede 1940

1940terminaron el diseño de una "Calculadora de Números Complejos", la cual eraterminaron el diseño de una "Calculadora de Números Complejos", la cual era capaz de realizar cálculos con

capaz de realizar cálculos con números complejosnúmeros complejos. En una demostración en la. En una demostración en la conferencia de la

conferencia de la Sociedad Americana de MatemáticasSociedad Americana de Matemáticas,, elel 11 de septiembre11 de septiembre dede 19401940,, Stibitz

Stibitz logró enviar comandos de manera remota a la Calculadora de Númeroslogró enviar comandos de manera remota a la Calculadora de Números Complejos a través de la línea telefónica mediante un

Complejos a través de la línea telefónica mediante un teletipoteletipo. Fue la primera máquina. Fue la primera máquina computadora utilizada de manera remota a través de la línea de teléfono. Algunos

computadora utilizada de manera remota a través de la línea de teléfono. Algunos participa

participantes de ntes de la conferencia que presenciaron la la conferencia que presenciaron la demostracidemostración fueronón fueron John VonJohn Von

Neumann

Neumann,, John MauchlyJohn Mauchly yy Norbert Wiener Norbert Wiener , quien escribió acerca de dicho suceso en, quien escribió acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de memorias en la cual alcanzó diferentes logros.

sus diferentes tipos de memorias en la cual alcanzó diferentes logros.

Véase también:

Véase también: Código binarioCódigo binario

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]

] Representació

Representaciónn

Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos binarios), que suelen representar cualquier mecanismo capaz de estar en

mutuamente excluyentes. Las siguientes secuencias de símbolos podrían ser  mutuamente excluyentes. Las siguientes secuencias de símbolos podrían ser  interpreta

interpretadas como el das como el mismo valor numérico binario:mismo valor numérico binario:

1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 | | | | | | | | | | -x o -x o o -x -x o -x o x o x o o x x o x o y n y n n y y n y n y n y n n y y n y n

El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada símbolo. En una computadora, los valores numéricos pueden representar dos

símbolo. En una computadora, los valores numéricos pueden representar dos voltajesvoltajes diferentes; también pueden indicar polaridades magnéticas sobre un disco magnético. diferentes; también pueden indicar polaridades magnéticas sobre un disco magnético. Un "positivo", "sí", o "sobre el estado" no es necesariamente el equivalente al valor  Un "positivo", "sí", o "sobre el estado" no es necesariamente el equivalente al valor  numérico de uno; esto depende de la nomenclatura usada.

numérico de uno; esto depende de la nomenclatura usada. De acuerdo con

De acuerdo con la representación más habitual, que es usando números la representación más habitual, que es usando números árabes, losárabes, los números binarios comúnment

números binarios comúnmente son escritos usando los símbolos 0 y 1. e son escritos usando los símbolos 0 y 1. Los númerosLos números binarios se escriben a menudo

binarios se escriben a menudo con subíndices, prefijos o sufijos para indicar su con subíndices, prefijos o sufijos para indicar su base.base. Las notaciones siguientes son equivalentes:

Las notaciones siguientes son equivalentes:

•

• 100101 binario (declaración explícita de formato)100101 binario (declaración explícita de formato) •

• 100101b (un sufijo que indica formato binario)100101b (un sufijo que indica formato binario) •

• 100101B (un sufijo que indica formato binario)100101B (un sufijo que indica formato binario) •

• bin 100101 (un prefijo bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)que indica formato binario)

•

• 10010110010122(un subíndice que indica base 2 (binaria) notación)(un subíndice que indica base 2 (binaria) notación)

•

• %100101 (un prefijo que indica formato %100101 (un prefijo que indica formato binario)binario) •

• 0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de

programación) programación)

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] Conversión entre binario y

] Conversión entre binario y decimal

decimal

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] Decimal a binario

] Decimal a binario

Se

Se dividedivide el número del sistema decimal entreel número del sistema decimal entre 22, cuyo resultado entero se vuelve a, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y

dividir entre 2, y así sucesivamentasí sucesivamente. Ordenados los re. Ordenados los restos, del último al primero, estos, del último al primero, ésteéste será el número

será el número binario que buscamos.binario que buscamos. Ejemplo

Ejemplo

Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy

Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:simple:

131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1 131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1 65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1 65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1 32 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0 32 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0 16 dividido entre

16 dividido entre 2 da 2 da 8 8 y el y el resto es resto es igual a igual a 00 8 dividido entre

8 dividido entre 2 da 2 da 4 4 y el y el resto es resto es igual a igual a 00 4 dividido entre

4 dividido entre 2 da 2 da 2 2 y el y el resto es resto es igual a igual a 00 2 dividido entre

2 dividido entre 2 da 2 da 1 1 y el y el resto es resto es igual a igual a 00 1 dividido entre

1 dividido entre 2 da 2 da 0 0 y el y el resto es resto es igual a igual a 11

-> Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011 -> Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011

En sistema binario, 131 se escribe 10000011 En sistema binario, 131 se escribe 10000011 Ejemplo

Ejemplo

Transformar el número decimal 100

Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en

Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en númerosnúmeros

primos

primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar,

también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremo

colocaremos un cero s un cero o un uno en o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, la columna de la derecha. Si es impar, le restaremosle restaremos uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar  uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar  el último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la

el último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba.

columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba. Ejemplo Ejemplo 100|0 100|0 50|0 50|0 25|1

25|1 --> --> 1, 1, 25-1=24 25-1=24 y y seguimos seguimos dividiendo dividiendo por por 22 12|0 12|0 6|0 6|0 3|1 3|1 1|1 1|1 --> --> (100)(100)1010 = (1100100)= (1100100)22

Existe un último método denominado de distribución. Consiste en distribuir los unos Existe un último método denominado de distribución. Consiste en distribuir los unos necesarios entre las potencias sucesivas de 2 de modo que su suma resulte ser el número necesarios entre las potencias sucesivas de 2 de modo que su suma resulte ser el número decimal a convertir. Sea por ejemplo el número 151, para el que se necesitarán las 8 decimal a convertir. Sea por ejemplo el número 151, para el que se necesitarán las 8 primeras potencia

primeras potencias de 2, s de 2, ya que la siguiente, 2ya que la siguiente, 288_{=256, es superior al número a =256, es superior al número a convertir.convertir.} Se comienza poniendo un 1 en 128, por

Se comienza poniendo un 1 en 128, por lo que aún faltarán 23, 151-128 = 23, lo que aún faltarán 23, 151-128 = 23, parapara llegar al 151. Este valor se conseguirá distribuyendo unos entre las potencias cuya suma llegar al 151. Este valor se conseguirá distribuyendo unos entre las potencias cuya suma dé el resultado buscado y poniendo ceros en el resto. En

dé el resultado buscado y poniendo ceros en el resto. En el ejemplo resultan ser lasel ejemplo resultan ser las potencias 4, 2, 1 y 0, esto es, 16, 4, 2 y 1, respectivamente.

potencias 4, 2, 1 y 0, esto es, 16, 4, 2 y 1, respectivamente. Ejemplo Ejemplo 2 200_{= = 1|11|1} 2 211_{= = 2|12|1} 2 222_{= = 4|14|1} 2 233_{= = 8|08|0} 2 244 = 16|1 = 16|1 2 255_{= 32|0= 32|0} 2 266 = 64|0 = 64|0 2 277_{= = 128|1 128|1 128 128 + + 16 16 + + 4 4 + + 2 2 + + 1 1 = = (151)(151)} 10 10 = (10010111)= (10010111)22

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] Decimal (con decimales) a binario

] Decimal (con decimales) a binario

Para transformar un número

Para transformar un número del sistema decimal al sistema binario:del sistema decimal al sistema binario: 1.

1. Se transforma lSe transforma la parte enta parte entera a binarioera a binario. (Si la parte en. (Si la parte entera es 0 en btera es 0 en binario será 0,inario será 0, si la parte entera es 1 en binario será 1, si la parte entera es 5 en binario será 101 si la parte entera es 1 en binario será 1, si la parte entera es 5 en binario será 101 y así sucesivamente).

2.

2. Se sigue coSe sigue con la parte fran la parte fraccionaria, mulccionaria, multiplicatiplicando cada númendo cada número por 2. Si elro por 2. Si el resultado obteni

resultado obtenido es mayor o do es mayor o igual a 1 se anota como igual a 1 se anota como un uno (1) un uno (1) binario. Si esbinario. Si es menor que 1 se

menor que 1 se anota como un 0 binario. (Por anota como un 0 binario. (Por ejemplo, al multiplejemplo, al multiplicar 0.6 por icar 0.6 por 22 obtenemos como resulta

obtenemos como resultado 1.2 lo cual do 1.2 lo cual indica que nuestro resultado es un uno (1)indica que nuestro resultado es un uno (1) en binario, solo se toma la parte entera del resultado).

en binario, solo se toma la parte entera del resultado). 3.

3. Después de reDespués de realizar cada alizar cada multiplicmultiplicación, se coación, se colocan los núlocan los números obtenimeros obtenidos en eldos en el orden de su obtención.

orden de su obtención. 4.

4. Algunos númAlgunos números se transfoeros se transforman en dígitrman en dígitos periódios periódicos, por ejempcos, por ejemplo: el 0.1.lo: el 0.1. Ejemplo

Ejemplo

0,3125

0,3125 (decimal) (decimal) => => 0,0101 0,0101 (binario).(binario). Proceso: Proceso: 0,3125 · 2 = 0,625 => 0 0,3125 · 2 = 0,625 => 0 0,625 0,625 · · 2 2 = = 1,25 1,25 => => 11 0,25 0,25 · · 2 2 = = 0,5 0,5 => => 00 0,5 0,5 · · 2 2 = = 1 1 => => 11 En

En orden: orden: 0101 0101 -> -> 0,0101 0,0101 (binario)(binario)

Ejemplo Ejemplo

0,1 (decimal) => 0,0 0011

0,1 (decimal) => 0,0 0011 0011 ... (binario).0011 ... (binario). Proceso: Proceso: 0,1 · 2 = 0,2 ==> 0 0,1 · 2 = 0,2 ==> 0 0,2 · 2 = 0,4 ==> 0 0,2 · 2 = 0,4 ==> 0 0,4 · 2 = 0,8 ==> 0 0,4 · 2 = 0,8 ==> 0 0,8 · 2 = 1,6 ==> 1 0,8 · 2 = 1,6 ==> 1 0,6 · 2 = 1,2 ==> 1 0,6 · 2 = 1,2 ==> 1 0,2 · 2 = 0,

0,2 · 2 = 0,4 ==> 0 4 ==> 0 <--se repite<--se repiten las cuatrn las cuatro cifras, peo cifras, periódicamentriódicamentee 0,4 0,4 · · 2 2 = = 0,8 0,8 ==> ==> 0 0 <- <-0,8 0,8 · · 2 2 = = 1,6 1,6 ==> ==> 1 1 <- <-0,6 0,6 · 2 · 2 = 1,= 1,2 =2 ==> 1 => 1 <- .<- ...

En orden: 0 0011 0011 ... => 0,0 0011 0011 ... (binario periódico) En orden: 0 0011 0011 ... => 0,0 0011 0011 ... (binario periódico)

Ejemplo Ejemplo

5.5 = 5,5 5.5 = 5,5 5,5

5,5 (decimal) (decimal) => => 101,1 101,1 (binario).(binario). Proceso: Proceso: 5 => 101 5 => 101 0,5 · 2 = 1 => 1 0,5 · 2 = 1 => 1

En orden: 1 (un sólo dígito fraccionario) -> 101,1 (binario) En orden: 1 (un sólo dígito fraccionario) -> 101,1 (binario)

Ejemplo Ejemplo

6,83

6,83 (decimal) (decimal) => => 110,11010100110,110101000111 0111 (binario).(binario). Proceso: Proceso: 6 => 110 6 => 110 0,83 · 2 = 1,66 => 1 0,83 · 2 = 1,66 => 1 0,66 · 2 = 1,32 => 1 0,66 · 2 = 1,32 => 1 0,32 · 2 = 0,64 => 0 0,32 · 2 = 0,64 => 0 0,64 · 2 = 1,28 => 1 0,64 · 2 = 1,28 => 1 0,28 · 2 = 0,56 => 0 0,28 · 2 = 0,56 => 0 0,56 · 2 = 1,12 => 1 0,56 · 2 = 1,12 => 1 0,12 · 2 = 0,24 => 0 0,12 · 2 = 0,24 => 0 0,24 · 2 = 0,48 => 0 0,24 · 2 = 0,48 => 0 0,48 · 2 = 0,96 => 0 0,48 · 2 = 0,96 => 0 0,96 · 2 = 1,92 => 1 0,96 · 2 = 1,92 => 1 0,92 · 2 = 1,84 => 1 0,92 · 2 = 1,84 => 1 0,84 · 2 = 1,68 => 1 0,84 · 2 = 1,68 => 1 En orden:

En orden: 11010100011110101000111 (binario)1 (binario) Parte entera: 110

Parte entera: 110 (binario)(binario) Encadenando parte entera y

[editar] Binario a decimal

Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:

1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada cifra multiplíquela por 2

elevado a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0, 2 0_).

2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Ejemplos:

• (Los números de arriba indican la potencia a la que hay que elevar 2)

También se puede optar por utilizar los valores que presenta cada posición del número binario a ser transformado, comenzando de derecha a izquierda, y sumando los valores de las posiciones que tienen un 1.

Ejemplo

El número binario 1010010 corresponde en decimal al 82. Se puede representar de la siguiente manera:

entonces se suman los números 64, 16 y 2:

Para cambiar de binario con decimales a decimal se hace exactamente igual, salvo que la posición cero (en la que el dos es elevado a la cero) es la que está a la izquierda de la coma y se cuenta hacia la derecha a partir de -1:

[editar] Binario a decimal (con parte fraccionaria binaria)

1. Inicie por el lado izquierdo (la primera cifra a la derecha de la coma), cada número multiplíquelo por 2 elevado a la potencia consecutiva a la inversa (comenzando por la potencia -1, 2-1_).

2.Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Ejemplos

• 0,101001 (binario) = 0,640625(decimal). Proceso:

0 · 2 elevado a -2 = 0 1 · 2 elevado a -3 = 0,125 0 · 2 elevado a -4 = 0 0 · 2 elevado a -5 = 0 1 · 2 elevado a -6 = 0,015625 La suma es: 0,640625

• 0.110111 (binario) = 0,859375(decimal). Proceso:

1 · 2 elevado a -1 = 0,5 1 · 2 elevado a -2 = 0,25 0 · 2 elevado a -3 = 0 1 · 2 elevado a -4 = 0,0625 1 · 2 elevado a -5 = 0,03125 1 · 2 elevado a -6 = 0,015625 La suma es: 0,859375

[editar] Operaciones con números binarios

[editar] Suma de números binarios

La tabla de sumar para números binarios es la siguiente: + 0 1

0 0 1 1 1 10

Las posibles combinaciones al sumar dos bits son:

• 0 + 0 = 0 • 0 + 1 = 1 • 1 + 0 = 1 • 1 + 1 = 10

Note que al sumar 1 + 1 es 102, es decir, llevamos 1 a la siguiente posición de la

izquierda (acarreo). Esto es equivalente, en el sistema decimal a sumar 9 + 1, que da 10: cero en la posición que estamos sumando y un 1 de acarreo a la siguiente posición.

Ejemplo 1 10011000 + 00010101 ———————————  10101101

Se puede convertir la operación binaria en una operación decimal, resolver la decimal, y después transformar el resultado en un (número) binario. Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10,

entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama acarreo o arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y

seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).

[editar] Resta de números binarios

El algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:

• 1 - 0 = 1 • 1 - 1 = 0

• 0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 yme llevo 1, lo que equivale a decir en el sistema

decimal, 2 - 1 = 1. Ejemplos 10001 11011001 -01010 -10101011 —————— —————————  00111 00101110

En sistema decimal sería: 17 - 10 = 7 y 217 - 171 = 46.

Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varios métodos:

• Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se

divide una resta larga en tres restas cortas:

100110011101 1001 1001 1101 -010101110010 -0101 -0111 -0010 ————————————— = ————— ————— ————— 

010000101011 0100 0010 1011

• Utilizando el complemento a dos (C2). La resta de dos números binarios puede

obtenerse sumando al minuendo el «complemento a dos» del sustraendo. Ejemplo

La siguiente resta, 91 - 46 = 45, en binario es:

1011011 1011011

-0101110 el C2 de 0101110 es 1010010 +1010010

———————— ———————— 

0101101 10101101

En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.

Un último ejemplo: vamos a restar 219 - 23 = 196, directamente y utilizando el complemento a dos:

11011011 11011011

-00010111 el C2 de 00010111 es 11101001 +11101001

————————— ————————— 

11000100 111000100

Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto: 11000100 en binario, 196 en decimal.

• Utilizando el complemento a uno. La resta de dos números binarios puede

obtenerse sumando al minuendo el complemento a uno del sustraendo y a su vez sumarle el bit que se desborda.

[editar] Producto de números binarios

La tabla de multiplicar para números binarios es la siguiente: · 0 1

0 0 0 1 0 1

El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva a cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto.

Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001:

10110 1001 —————————  10110 00000 00000 10110 —————————  11000110

En sistemas electrónicos, donde suelen usarse números mayores, se utiliza el método llamado algoritmo de Booth.

11101111 111011 __________ 11101111 11101111 00000000 11101111 11101111 11101111 ______________ 11011100010101

[editar] División de números binarios

La división en binario es similar a la decimal; la única diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la división, éstas deben ser realizadas en binario.

Ejemplo Dividir 100010010 (274) entre 1101 (13): 100010010 |1101 ——————  -0000 010101 ———————  10001 -1101 ———————  01000 - 0000 ———————  10000 - 1101 ———————  00111 - 0000 ———————  01110 - 1101 ———————  00001

[editar] Conversión entre sistema binario y octal

Para realizar la conversión de binario a octal, realice lo siguiente:

1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda. 2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:

Número en binario 000 001 010 011 100 101 110 111 Número en octal 0 1 2 3 4 5 6 7

3) La cantidad correspondiente en octal se agrupa de izquierda a derecha. Ejemplos

• 110111 (binario) = 67 (octal). Proceso:

111 = 7 110 = 6

Agrupe de izquierda a derecha: 67

• 11001111 (binario) = 317 (octal). Proceso:

111 = 7 001 = 1

11 entonces agregue un cero, con lo que se obtiene 011 = 3 Agrupe de izquierda a derecha: 317

• 1000011 (binario) = 103 (octal). Proceso:

011 = 3 000 = 0

1 entonces agregue 001 = 1

Agrupe de izquierda a derecha: 103

[editar] Octal a binario

Cada dígito octal se convierte en su binario equivalente de 3 bits y se juntan en el mismo orden.

Ejemplo

• 247 (octal) = 010100111 (binario). El 2 en binario es 10, pero en binario de 3

bits es Oc(2) = B(010); el Oc(4) = B(100) y el Oc(7) = (111), luego el número en binario será 010100111.

[editar] Conversión entre binario y hexadecimal

[editar] Binario a hexadecimal

Para realizar la conversión de binario a hexadecimal, realice lo siguiente:

1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 4 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda. 2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:

Número en binario 000 0 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Número en hexadecim al 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 3) La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa de derecha a izquierda.

• 110111010 (binario) = 1BA (hexadecimal). Proceso:

1010 = A 1011 = B

1 entonces agregue 0001 = 1

Agrupe de derecha a izquierda: 1BA

• 11011110101 (binario) = 6F5 (hexadecimal). Proceso:

0101 = 5 1111 = F

110 entonces agregue 0110 = 6

Agrupe de derecha a izquierda: 6F5

[editar] Hexadecimal a binario

Note que para pasar de Hexadecimal a binario, sólo que se remplaza por el equivalente de 4 bits, de forma similar a como se hace de octal a binario.

[editar] Tabla de conversión entre decimal, binario,

hexadecimal, octal, BCD, Exceso 3 y Código Gray o

Reflejado

Decimal Binario Hexadecimal Octal BCD Exceso 3 Gray o Reflejado 0 0000 0 0 0000 0011 0000 1 0001 1 1 0001 0100 0001 2 0010 2 2 0010 0101 0011 3 0011 3 3 0011 0110 0010 4 0100 4 4 0100 0111 0110 5 0101 5 5 0101 1000 0111 6 0110 6 6 0110 1001 0101 7 0111 7 7 0111 1010 0100 8 1000 8 10 1000 1011 1100 9 1001 9 11 1001 1100 1101 10 1010 A 12 0001 0000 1111 11 1011 B 13 0001 0001 1110 12 1100 C 14 0001 0010 1010 13 1101 D 15 0001 0011 1011 14 1110 E 16 0001 0100 1001 15 1111 F 17 0001 0101 1000

[editar] Factorialización

• Tabla de conversión entre binario, factor binario, hexadecimal, octal y decimal

Binario Factor binario Hexadecimal Octal Decimal

0000 0000 00 _{0 0 0} 0000 0001 20 _{1 1 1} 0000 0010 21 _{2 2 2} 0000 0100 22 _{4 4 4} 0000 1000 23 _{8 10 8} 0001 0000 24 _{10 20 16} 0010 0000 25 _{20 40 32}

0100 0000 26 _{40 100 64}

1000 0000 27 _{80 200 128}

[editar] Véase también

• Sistema octal

• Sistema duodecimal • Sistema hexadecimal • Nibble

[editar] Enlaces externos

• Convertidor Binario/Hex/Decimal

• Traductor Binario, Hexadecimal, Base64

• Breve VIDEO-TUTORIAL sobre el sistema Binario y Decimal

Obtenido de «http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario »

Categorías: Aritmética computacional | Sistemas de numeración posicional | Códigos binarios | Aritmética elemental

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Este método esta tomado de la Wikipedia donde exponen tres maneras, pero esta me parece la más sencilla de aplicar, asi que sin más preambulo les explico:

Consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste básicamente en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha.

Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo entre dos (y podremos un 1 en el lado derecho como anteriormente expongo), hasta llegar al resultado final que debe ser siempre 1.

Después, sólo nos queda tomar los resultados de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo para arriba, y tendremos nuestro número convertido en binario.

Ejemplo: 150|0 75|1* 37|1 18|0 9|1 4|0 2|0 1|1

El resultado para 150 en base decimal es: 10010110 en base binaria.

*Aquí ponemos 1 al lado derecho y restamos 1 de 75 para poder seguir dividiéndolo entre 2, el resultado lo ponemos debajo, y así sucesivamente.

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SISTEMAS DE NUMERACIÓN

binario, octal y hexadecimal

Sistemas de numeración

Sistema de numeración decimal

Sistema de numeración binario

Conversión entre números decimales y binarios

El tamaño de las cifras binarias Conversión de binario a decimal

Sistema de numeración octal

Conversión de un número decimal a octal

Conversión octal a decimal

Sistema de numeración hexadecimal

Conversión de números binarios a octales y viceversa

Conversión de números binarios a hexadecimales y viceversa

Sistemas de numeración

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que

permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración

actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque

.

1.

Sistema de numeración decimal:

El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el

decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición

que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.

El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10,

número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del

sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el

dígito menos uno, contando desde la derecha.

En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa:

5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:

500 + 20 + 8 = 528

En el caso de números con decimales, la situación es análoga

aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán

negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del

separador decimal. Por ejemplo, el número 8245,97 se calcularía

como:

8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7

céntimos

8*10

_{+ 2*10}

_{+ 4*10}

_{+ 5*10}

_{+ 9*10}

_{+ 7*10}

_{, es decir:}

8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97

Sistema de numeración binario.

El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el

cero (0)

y el uno (1).

En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de

la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una

potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del

dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el

sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de

dígitos utilizados (2) para representar los números.

De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor 

que se calcula así:

1*2

_{+ 0*2}

_{+ 1*2}

_{+ 1*2}

_{, es decir:}

8 + 0 + 2 + 1 = 11

y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo

escribimos así:

1011

= 11

2. Conversión entre números decimales y

binarios

Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo:

basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos

obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido

obtenidos.

Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 77

h

aremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:

77 : 2 = 38 Resto: 1

38 : 2 = 19 Resto: 0

19 : 2 = 9 Resto: 1

9 : 2 = 4 Resto: 1

4 : 2 = 2 Resto: 0

2 : 2 = 1 Resto: 0

1 : 2 = 0 Resto: 1

y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:

77

= 1001101

Ejercicio 1:

Expresa, en código binario, los números decimales siguientes: 191, 25, 67, 99, 135, 276

i. El tamaño de las cifras binarias

La cantidad de dígitos necesarios para representar un número en el

sistema binario es mayor que en el sistema decimal. En el ejemplo

del párrafo anterior, para representar el número 77, que en el sistema

decimal está compuesto tan sólo por dos dígitos, han hecho falta

siete dígitos en binario.

Para representar números grandes harán falta muchos más dígitos.

Por ejemplo, para representar números mayores de 255 se

necesitarán más de ocho dígitos, porque 2

_{= 256 y podemos afirmar,}

por tanto, que 255 es el número más grande que puede representarse

con ocho dígitos.

Como regla general, con

dígitos binarios pueden representarse un

máximo de 2

_{, números. El número más grande que puede escribirse}

con

dígitos es una unidad menos, es decir, 2

– 1. Con cuatro bits,

por ejemplo, pueden representarse un total de 16 números, porque 2

= 16 y el mayor de dichos números es el 15, porque 2

_{-1 = 15.}

Ejercicio 2:

Averigua cuántos números pueden representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cuál es el número más grande que puede escribirse en cada caso.

Ejercicio 3:

Dados dos números binarios: 01001000 y 01000100 ¿Cuál de ellos es el mayor? ¿Podrías compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?

3. Conversión de binario a decimal

El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal

es aún más sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en

cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una

potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha,

y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones

hacia la izquierda.

Por ejemplo, para convertir el número binario 1010011

a decimal, lo

desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:

1*2

_{+ 0*2}

_{+ 1*2}

_{+ 0*2}

_{+ 0*2}

_{+ 1*2}

_{+ 1*2}

_{= 83}

1010011

= 83

Ejercicio 4:

Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios:

110111, 111000, 010101, 101010, 1111110

Sistema de numeración octal

El inconveniente de la codificación binaria es que la representación

de algunos números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan

otros sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir:

el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta

muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal.

En el sistema de numeración octal, los números se representan

mediante

ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito

tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que

ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado

por las potencias de base 8.

Por ejemplo, el número octal 273

tiene un valor que se calcula así:

2*8

_{+ 7*8}

_{+ 3*8}

_{= 2*512 + 7*64 + 3*8 = 1496}

10

4. Conversión de un número decimal a octal

La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma

técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante

divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en

orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal

122

tendremos que hacer las siguientes divisiones:

122 : 8 = 15

2

15 : 8 = 1

7

1 : 8 = 0

1

Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:

122

= 172

Ejercicio 5:

Convierte los siguientes números decimales en octales: 6310, 51310, 11910

5. Conversión octal a decimal

La conversión de un número octal a decimal es igualmente sencilla,

conociendo el peso de cada posición en una cifra octal. Por ejemplo,

para convertir el número 237

a decimal basta con desarrollar el valor 

de cada dígito:

2*8

_{+ 3*8}

_{+ 7*8}

_{= 128 + 24 + 7 = 159}

10

237

= 159

Ejercicio 6:

Convierte al sistema decimal los siguientes números octales:

45

, 125

625

Sistema de numeración

hexadecimal

En el sistema

hexadecimal los números se representan con dieciséis

símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los

caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales

10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos

mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos

símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula

mediante potencias de base 16.

Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal

1A3F

:

1A3F

= 1*16

+ A*16

+ 3*16

+ F*16

1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719

1A3F

= 6719

Ejercicio 7:

Expresa en el sistema decimal las siguientes cifras hexadecimales: 2BC516, 10016, 1FF16

Ensayemos, utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la

conversión de un número decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para

convertir a hexadecimal del número 1735

será necesario hacer las

siguientes divisiones:

1735 : 16 = 108 Resto: 7

108 : 16 = 6

Resto: C

12

6 : 16 = 0

Resto: 6

De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el

número en hexadecimal:

1735

= 6C7

Ejercicio 8:

Convierte al sistema hexadecimal los siguientes números decimales: 351910, 102410, 409510

6. Conversión de números binarios a octales y

viceversa

Observa la tabla siguiente, con los siete primeros números

expresados en los sistemas decimal, binario y octal:

DECIMAL BINA

RIO

OCTAL

0

000

0

1

001

1

2

010

2

3

011

3

4

100

4

5

101

5

6

110

6

7

111

7

Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el

sistema binario. Por tanto, el modo de convertir un número entre

estos sistemas de numeración equivale a "expandir" cada dígito octal

a tres dígitos binarios, o en "contraer" grupos de tres caracteres

binarios a su correspondiente dígito octal.

Por ejemplo, para convertir el número binario 101001011

a octal

tomaremos grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente

octal:

101

= 5

001

= 1

011

= 3

y, de ese modo: 101001011

= 513

Convierte los siguientes números binarios en octales: 11011012, 1011102, 110110112, 1011010112

La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el

mismo método, reemplazando cada dígito octal por los tres bits

equivalentes. Por ejemplo, para convertir el número octal 7508 a

binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus dígitos:

7

= 111

5

= 101

0

= 000

Ejercicio 10:

Convierte los siguientes números octales en binarios:

25

, 372

, 2753

7. Conversión de números binarios a

hexadecimales y viceversa

Del mismo modo que hallamos la correspondencia entre números

octales y binarios, podemos establecer una equivalencia directa entre

cada dígito hexadecimal y cuatro dígitos binarios, como se ve en la

siguiente tabla:

DECIMAL BINARIO HEXADECIMAL

0

0000

0

1

0001

1

2

0010

2

3

0011

3

4

0100

4

5

0101

5

6

0110

6

7

0111

7

8

1000

8

9

1001

9

10

1010

A

11

1011

B

12

1100

C

13

1101

D

14

1110

E

15

1111

F

La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza

"expandiendo" o "contrayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro

dígitos binarios. Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el

número binario 101001110011

bastará con tomar grupos de cuatro

hexadecimal:

1010

= A

0111

= 7

0011

= 3

y, por tanto: 101001110011

= A73

En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de

cuatro dígitos, se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el

último grupo. Por ejemplo:

101110

= 00101110

= 2E

Ejercicio 11:

Convierte a hexadecimales los siguientes números binarios:

10101001010111010102, 1110000111100002,

10100001110101112

La conversión de números hexadecimales a binarios se hace del

mismo modo, reemplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro

bits equivalentes de la tabla. Para convertir a binario, por ejemplo, el

número hexadecimal 1F6

hallaremos en la tabla las siguientes

equivalencias:

1

= 0001

F

= 1111

6

= 0110

y, por tanto: 1F6

= 000111110110

Convierte a binario los números hexadecimales siguientes: 7A5D16, 101016, 8F8F16

Luis González Profesor de Tecnologías de la Información Departamento de Tecnología I.E.S. Santa Eugenia

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Números binarios, decimales y hexadecimales

Decimales

Para entender los números binarios y hexadecimales, lo mejor es entender bien cómo funcionan los números decimales.

Cada dígito de un número decimal va en una "posición", y el punto decimal nos dice qué posición es cada una.

La posición justo a la izquierda del punto son las "unidades". Cada vez que nos

movemos a la izquierda vale 10 veces más, y a la derecha vale 10 veces menos:

Pero esto sólo es una manera de escribir números. Hay otras maneras como los números romanos, binarios, hexadecimales, y más. ¡Incluso podrías marcar puntos en una hoja de papel!

Contar en diferentes sistemas de numeración

El sistema decimal de numeración también se llama "base 10", porque se basa en el número 10.

En decimal hay diez símbolos (0 a 9), pero fíjate en esto: no hay un símbolo para el "diez". "10" son en realidad dos símbolos juntos, un "1" y un "0":

En decimal contamos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, entonces decimos "me he quedado sin

símbolos, así que empiezo otra vez con 0, pero primero voy a añadir 1 a la izquierda". En decimal contamos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, entonces decimos "me he quedado sin

símbolos, así que empiezo otra vez con 0, pero primero voy a añadir 1 a la izquierda". Pero no es obligatorio usar 10 como "base". Podrías usar 2 ("binario"), 16

("hexadecimal"), ¡o cualquier número que quieras! Sólo sigue la misma regla: Cuenta hasta justo antes de la "base", después vuelve al 0, pero añadiendo 1 a la izquierda.

¿Por qué no pruebas tú? Intenta contar puntos con bases 2 a 16 en esta pequeña demostración:

Prueba esto: después de elegir una base y dejar que trabaje un rato, usa el botón de "Pausa" y mira si ha acertado el número de puntos, como en este ejemplo en base 2:

Ejemplo: 1×16 + 1×8 + 1×1 = 16+8+1 = 25

Números binarios

Los números binarios son en "base 2" en lugar de "base 10". Empiezas contando 0, después 1, ¡ya se te acabaron los dígitos! Así que vuelves al 0, pero aumentas en 1 el número de la izquierda.

Funciona así:

000 001

010 no hay "2" en binario, así que volvemos al 0... ... y sumamos 1 a la cifra de la izquierda

011 100

volvemos otra vez al 0, y sumamos 1 a la izquierda... ... pero ese número ya es 1 así que vuelve a ser 0... ... y el 1 se suma al siguiente número a la izquierda 101

110 etc...

Los números hexadecimales son interesantes. ¡Hay 16 dígitos diferentes! Son como los decimales hasta el 9, pero después hay letras ("A',"B","C","D","E","F") para los valores de 10 a 15.

Así que con una sola cifra hexadecimal se pueden dar 16 valores diferentes en lugar de los 10 de siempre: Decimal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Hexadecimal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

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Sistemas de numeración

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Indice

1. Introduccion

2. Sistema de numeración binario 3. Operaciones Binarias

4. Bibliografía (Internet) 1. Introducción

La importancia del sistema decimal radica en que se utiliza universalmente para

representar cantidades fuera de un sistema digital. Es decir que habrá situaciones en las cuales los valores decimales tengan que convenirse en valores binarios antes de que se introduzcan en sistema digital. Entonces habrá situaciones en que los valores binarios de las salidas de un circuito digital tengan que convertir a valores decimales para

presentarse al mundo exterior.

Por otro lado del binario y el decimal, otros dos sistemas de numeración encuentran amplias aplicaciones en los sistemas digitales. Los sistemas octal (base 8) y

hexadecimal (base 16) se usan con el mismo fin, que es ofrecer un eficaz medio de

representación de números binarios grandes. Como veremos, ambos sistemas numéricos tienen la ventaja de que pueden convenirse fácilmente al y del binario.

Tabla Comparativa

binario decimal hexa binario decimal hexa 0000 0 0 1000 8 8 0001 1 1 1001 9 9 0010 2 2 1010 10 A 0011 3 3 1011 11 B 0100 4 4 1100 12 C 0101 5 5 1101 13 D 0110 6 6 1110 14 E 0111 7 7 1111 15 F 2. Sistema de numeración binario

Conversión de binario a decimal.- El sistema de numeración binario u un sistema de posición donde cada dígito binario (bit) tiene un valor basado en su posición relativa al LSB. Cualquier número binario puede convenirse a su equivalente decimal,

simplemente sumando en el número binario las diversas posiciones que contenga un 1. Por ejemplo:

1 1 1 0 1 12 de binario a decimal

1 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 2 + 1 = 6910

Conversión de decimal a binario.- Existen dos maneras de convenir un número decimal entero a su representación equivalente en el sistema binario. El primer  método es

inverso al proceso descrito anteriormente. El número decimal se expresa simplemente como una suma de potencias de 2 y luego los unos y los ceros se escriben en las

posiciones adecuadas de los bits. Por ejemplo: 1 7 4 2 0 8 7 2 1 43 2 1 21 2 1 10 2 0 5 2 1 2 2

0 1

45 = 32 + 8 + 4 + l = 25 + 0 + 23 +2 2 + 0 + 20 entonces es igual a 1 0 1 1 0 12

Pasar a decimal el binario 101011102 1 0 1 0 1 1 1 0 0 * 20 = 0 1 * 21 = 2 1 * 22 = 4 1 * 23 = 8 0 * 24 = 0 1 * 25 = 32 0 * 26 = 0 1 * 27 = 128 174 101011102 = 17410

El segundo método consiste dividir repetidas veces el número entre dos hasta que su cociente sea menor que él. Por ejemplo:

con residuo 0

con residuo 1

con residuo 0

con residuo 0

con residuo 0

con residuo 0

con residuo 1

Entonces el número se forma tomando los residuos pero en forma inversa, es decir el primer digito será el último residuo y así sucesivamente. El número quedaría como sigue:

1 0 0 0 0 0 1 02

3. Operaciones Binarias

En lo que sigue se adopta como convención la lógica positiva, lo que implica: verdadero = 1 = activo, ---, falso = 0 = inactivo

Hay cinco operaciones binarias básicas: AND, OR, NOT, XOR y ADD. La resta,

multiplicación y división se derivan de estas cinco anteriores. Cualquiera sea la longitud de la palabra o palabras objeto de la operación, siempre se hace de a un bit por vez de derecha a izquierda (tal como si fuera una suma o resta con números decimales). Esto permite una definición de cada operación que es independiente de la longitud del o de los operando(s). La operación NOT es la única que se realiza sobre un sólo operando (es unaria), y las otras cuatro sobre dos operandos.

• La operación AND (Y) tiene resultado 1 si sus dos operandos son

ambos 1

• La operación OR (O) tiene resultado 1 si cualquiera de sus operandos

es 1

• La operación XOR tiene resultado 1 si los operandos son distintos

(uno en 0 y el otro en 1)

• La operación NOT (NO) tiene resultado 1 si el operando es 0 y

viceversa

• La operación ADD (SUMA) se define igual que con los números

decimales

AND OR XOR NOT SUMA

0 * 0 = 0 0 + 0 = 0 0 X 0 = 0 NOT 1 = 0 0 + 0 = 0 0 * 1 = 0 0 + 1 = 1 0 X 1 = 1 NOT 0 = 1 0 + 1 = 1 1 * 0 = 0 1 + 0 = 1 1 X 0 = 1 --- 1 + 0 = 1 1 * 1 = 1 1 + 1 = 1 1 X 1 = 0 --- 1 + 1 = 10

División

Reglas de la división binaria: 0/0 no permitida, 1/0 no permitida,0/1=0,1/1=1

1 1 1 1 1 Acarreo 1 1 0 0 1 25 + 1 0 1 0 1 1 + 43 1 0 0 0 1 0 0 68 1 1 Acarreo 1 1 0. 1 0 6,50 + 1 1 0 1. 0 1 + 13.25 1 0 0 1 1. 1 1 19.75 1 1 0 0 1 25 * 1 0 0 1 1 * 19 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 475

Es lo que hacemos en la suma decimal 5+5=10 (nos llevamos "1" para la operación del dígito siguiente). Este llevarse "1" es vastamente usado entre los procesadores digitales y tiene un nombre especial: carry (lo verá abreviado como CY, C o CF-por carry flag), lo que en castellano se traduce como "acarreo" (que suena muy mal, asi que le

seguiremos llamando carry). Estas operaciones también se llaman "booleanas" ya que se basan en el álgebra de Boole (invito al lector a rememorar cuando en la escuela

secundaria se preguntaba, igual que yo, si el álgebra de Boole le serviría alguna vez para algo).

En un ordenador el sistema de numeración es binario -en base 2, utilizando el 0 y el 1-hecho propiciado por ser precisamente dos los estados estables en los dispositivos digitales que componen una computadora.

Para sumar números, tanto en base 2 como hexadecimal, se sigue el mismo proceso que en base 10:

Podemos observar que la suma se

desa-1010 desa-1010b rrolla de la forma tradicional; es decir:

+ 0011 1100b sumamos normalmente, salvo en el caso de --- 1 + 1 = 102 , en cuyo caso tenemos un aca-1110 0110b rreo de 1 (lo que nos llevamos).

Complemento a dos.

En general, se define como valor negativo de un número el que necesitamos sumarlo para obtener 00h, por ejemplo:

FFh Como en un byte solo tenemos dos nibbles, es + 01h decir, dos dígitos hexadecimales, el resultado es --- 0 (observar cómo el 1 más significativo subrayado 100h es ignorado). Luego FFh=-1. Normalmente, el bit 7 se considera como de signo y, si está activo (a 1)

el número es negativo.

Por esta razón, el número 80h, cuyo complemento a dos es él mismo, se considera

negativo (-128) y el número 00h, positivo. En general, para hallar el complemento a dos de un número cualquiera basta con calcular primero su complemento a uno, que consiste en cambiar los unos por ceros y los ceros por unos en su notación binaria; a

continuación se le suma una unidad para calcular el complemento a dos. Con una calculadora, la operación es más sencilla: el complemento a dos de un número A de n bits es 2n-A.

Otro factor a considerar es cuando se pasa de operar con un número de cierto tamaño (ej., 8 bits) a otro mayor (pongamos de 16 bits). Si el número es positivo, la parte que se añade por la izquierda son bits a 0. Sin embargo, si era negativo (bit más significativo activo) la parte que se añade por la izquierda son bits a 1. Este fenómeno, en cuya demostración matemática no entraremos, se puede resumir en que el bit más

significativo se copia en todos los añadidos: es lo que se denomina la extensión del signo: los dos siguientes números son realmente el mismo número (el -310): 11012 (4 bits) y 111111012 (8 bits).

Sistema de numeración octal

El sistema de numeración octal es muy importante en el trabajo que se realiza en una computadora digital. Este tiene una base de ocho, lo cual significa que tiene ocho posibles dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Así, cada dígito de un número octal puede tener  cualquier valor del 0 al 7.

Conversi6n de octal a decimal.- Por tanto, un número octal puede convenirse fácilmente a su equivalente decimal multiplicando cada dígito octal por su valor posicional. Por  ejemplo:

2748 = 2 x 82 + 7 x 81 + 4 x 80 2848 = 2 x 64 + 7 x 8 + 4 x 1 2848 = 18810

Conversión de decimal a octal.- Un entero decimal se puede convertir a octal con el mismo método dc división repetida que se usó en la conversión de decimal a binario, pero con un factor de división dc 8 en lugar de 2. Por ejemplo:

con residuo 4

con residuo 4

Al final resulta que: 16410 = 2448

Conversión de octal a binario.- La ventaja principal del sistema de numeración octal es la facilidad con que se puede realizar la conversión entre números binarios y octales. La conversión de octal a binario se lleva a cabo conviniendo cada dígito octal en su

equivalente binario dc 3 bits.

Por medio de estas conversiones, cualquier número octal se conviene a binario,

convirtiéndolo dc manera individual. Por ejemplo, podemos convertir 516, a binario de la siguiente manera:

5 1 6

101.001 110

entonces:

5168 = 1010011102

Conversi6n de binario a octal.- La conversión de enteros binarios a octales es

simplemente la operación inversa del proceso anterior. Los bits del número binario se agrupan en conjuntos de tres comenzando por el LSB. Luego, cada grupo se convierte a su equivalente octal. Por ejemplo:

111 001 101 110 7 1 5 6

entonces:

1110011011102 = 71568

Sistema De Numeración Hexadecimal

Conversión de hexadecimal a decimal.- Un número hexadecimal se puede convenir a su equivalente decimal utilizando el hecho de que cada posición de los dígitos

hexadecimales tiene un valor que es una potencia de 16. El LSD tiene un valor de l60 = 1; el siguiente dígito en secuencia tiene un valor de 161 = 16; el siguiente tiene un valor  de 162 = 256 y así sucesivamente. Por ejemplo:

81216 = 8 x 162 + 1 x 161 + 2 x 160 81216 = 2048 + 16 + 2

81216 = 206610

Conversión de decimal a hexadecimal.- Recuerde que efectuamos la conversión de decimal a binario por medio de la división repetida entre 2 y de decimal a octal por  medio de la división repetida entre 8. De igual manera, la conversión de decimal a hexadecimal se puede efectuar por medio de la división repetida entre 16. Por ejemplo:

con residuo 7

con residuo 010

con residuo 1 entonces:

Conversión de hexadecimal a binario.- Al igual que el sistema de numeración octal, el sistema hexadecimal se usa principalmente como método ‘taquigráfico" en la

representación de números binarios. Es una tarea relativamente simple la de convertir  un número hexadecimal en binario. Cada dígito hexadecimal se convierte en su

equivalente binario de 4 bits. Por ejemplo: 6 D 2 3

110.1101 0010 0011

entonces:

6D2316 = 1101101001000112

Conversión de binario a hexadecimal.- Esta conversión es exactamente la operación inversa del proceso anterior. El número binario se agrupa en conjuntos de cuatro bits y cada grupo se convierte a su dígito hexadecimal equivalente. Cuando es necesario se añaden ceros para completar un grupo de cuatro bits.

11101001102 = 0011 1010 0110 3 A 6 11101001102 = 3A616 4. Bibliografía (Internet) • http://www.geocities.com/eidan.rm/assemg1.htm • http://fismat.umich.mx/~elizalde/curso/node114.html • http://fismat.umich.mx/~elizalde/curso/node115.html • http://atc.ugr.es/docencia/udigital/01.html • http://uvirtual.ing.ucv.edu/datos/facultades/tecnica/datos/esctelecom unicaciones/datos/materias/informatica1/datos/informatica1_cap2_5.h tm

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SUMA DE NUMEROS BINARIOS

ASÍ

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– Sistemas numéricos

– Base de un sistema numérico

– Descomposición de un número en factores – Conversión de un sistema numérico a otro > Suma de números binarios

– Bits y bytes

SUMA DE NÚMEROS BINARIOS

Suma consecutiva de números binarios de 1 en 1 hasta completar 10

Suma de dos números binarios

Sean los números binarios 00102y 01102

Primer paso

De la misma forma que hacemos cuando sumamos números del sistema decimal, esta operación matemática la comenzamos a realizar de derecha a izquierda, comenzando por los últimos dígitos de ambos sumandos, como en el siguiente ejemplo:

Segundo paso

Se suman los siguientes dígitos 1 + 1 = 10 (según la tabla), se escribe el “0” y se acarrea o lleva un “1”. Por tanto, el “0” correspondiente a tercera posición de izquierda a derecha del primer sumando, adquiere ahora el valor “1”.

Tercer paso

Al haber tomado el “0” de la tercera posición el valor “1”, tendremos que sumar 1 + 1 = 10. De nuevo acarreamos o llevamos un “1”, que tendremos que pasar a la cuarta posición del sumando.

Cuarto paso

El valor “1” que toma el dígito “0” de la cuarta posición lo sumamos al dígito “0” del sumando de abajo. De acuerdo con la tabla tenemos que 1+ 0 = 1.

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Universidad de Colombia

Conversiones de un Sistema a Otro

Las conversiones entre números de bases diferentes se efectúan por medio de operaciones aritméticas simples. Dentro de las conversiones más utilizadas se encuentran:

Conversión de Decimal a Binario

Para la conversión de decimal a binario se emplean dos métodos. El primero es divisiones sucesivas y el segundo es suma de potencias de 2.

Por divisiones sucesivas

Se va dividiendo la cantidad decimal por 2, apuntando los residuos, hasta obtener un cociente cero. El último residuo obtenido es el bit más significativo ( MSB) y el primero

es el bit menos significativo (LSB).

Ejemplo

Convertir el número 15310a binario.

Figura 1.2.1.Ejemplo de conversión de decimal a binario El resultado en binario de 15310es 10011001

Por sumas de potencias de 2

Este método consiste en determinar el conjunto de pesos binarios cuya suma equivalga al número decimal.

Ejemplo

Convertir el número 15310a binario.

15310= 27 + 24 + 23+ 20= 128 + 16 +8 +1

15310= 100110012

Como se aprecia, si se cuenta con alguna familiaridad con las potencias de 2 este último método es más rápido.

Para la conversión de fracciones decimales a binario se emplean el siguiente método.

Por suma de potencias de 2

Emplea la misma metodología de la suma de potencias de 2 pero se trabaja con potencias negativas.

Ejemplo

Convertir el número 0,87510a binario.

0,87510 = (2-1)+ (2-2)+ (2-3)= 0,5 + 0,25 + 0,125 = 0,1112

Por multiplicaciones sucesivas

La conversión de números decimales fraccionarios a binario se realiza con

multiplicaciones sucesivas por 2. El número decimal se multiplica por 2, de éste se extrae su parte entera, el cual va a ser el MSB y su parte fraccional se emplea para la

siguiente multiplicación y seguimos sucesivamente hasta que la parte fraccional se

vuelva cero o maneje un error moderado. El último residuo o parte entera va a constituir  el LSB.

Ejemplo

Convertir el número 0,87510a binario. Número N N X 2 Parte entera Peso 0,875 1,75 1 MSB 0,75 1,5 1

0,5 1,00 1 LSB

Tabla 1.2.1. Ejemplo de Conversión de Decimal a Binario. El resultado en binario de 0,87510es 0,1112.

Conversión de Decimal a Hexadecimal

En la conversión de una magnitud decimal a hexadecimal se realizan divisiones sucesivas por 16 hasta obtener un cociente de cero. Los residuos forman el número hexadecimal equivalente, siendo el último residuo el dígito más significativo y el primero el menos significativo.

Ejemplo

Convertir el número 186910 a hexadecimal.

Figura 1.2.2. Ejemplo de Conversión de decimal a hexadecimal El resultado en hexadecimal de 186910 es 74D16.

Conversión de Decimal a Octal

En la conversión de una magnitud decimal a octal se realizan divisiones sucesivas por 8 hasta obtener la parte entera del cociente igual a cero. Los residuos forman el número

octal equivalente, siendo el último residuo el dígito más significativo y el primero el menos significativo.

Ejemplo

Convertir el número 46510a octal.

Número N N ÷ 8 Parte decimal Parte decimal x 8 Peso

465 58,12₅ 0,125 1 LSB

58 7,25 0,25 2

0,5 0,875 0,875 7 MSB

Tabla 1.2.2. Ejemplo de Conversión de Decimal a Hexadecimal. El resultado en octal de 46510 es 721.

Conversión de Binario a Decimal

Un número binario se convierte a decimal formando la suma de las potencias de base 2 de los coeficientes cuyo valor sea 1 (ver  lección 1).

Ejemplo

Convertir el número 11002a decimal. 11002= 1x23+ 1x22= 1210

Conversión de Binario a Hexadecimal

El método consiste en conformar grupos de 4 bits hacia la izquierda y hacia la derecha del punto que indica las fracciones, hasta cubrir la totalidad del número binario.

Enseguida se convierte cada grupo de número binario de 4 bits a su equivalente hexadecimal.

Ejemplo

Convertir el número 10011101010 a hexadecimal.

Conversión de Binario a Octal

El método consiste en hacer grupos de 3 bits hacia la izquierda y hacia la derecha del punto que indica las fracciones, hasta cubrir la totalidad del número binario. Enseguida se convierte cada grupo de número binario de 3 bits a su equivalente octal.

Ejemplo

Convertir el número 010101012 a octal.

Conversión de Hexadecimal a Decimal

En el sistema hexadecimal, cada dígito tiene asociado un peso equivalente a una

potencia de 16, entonces se multiplica el valor decimal del dígito correspondiente por el respectivo peso y realizar la suma de los productos.