03 Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidades

ANÁLISIS DE DATOS EN

INGENIERÍA

VARIABLES ALEATORIAS Y

DISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDADES

3. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (10HT, 5 HP) 3.1 Variables aleatorias discretas y sus distribuciones de probabilidad, distribución de probabilidad acumulada.

3.2 Valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta, propiedades.

3.3 Distribuciones de probabilidad discreta especiales (Binomial, Hipergeométrica, Poisson, Binomial Negativa, Geométrica,

Uniforme Discreta)

3.4 Distribuciones de probabilidad continua y sus distribuciones de probabilidad.

3.5 Valor esperado y varianza de una variable aleatoria continua, función de distribución.

3.6 Distribuciones de probabilidad continua especiales (Normal, Exponencial, Uniforme continua)

3.7 Aproximaciones entre las distribuciones de probabilidad.

3 3

Bibliografía

• Statistics for Engineering and the Sciences.

Mendenhall William. Pearson Prentice-Hall, 2007.

• Probabilidad y Estadística para Ingeniería y

Ciencias

Walpole, Ronald E., Myers, Raymond H.,

Myers, Sharon L., YE, Keying.

Octava edición

Editorial PEARSON Educación.

• Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería.

Montgomery, Douglas C. y George C. Runger.

CONCEPTO DE VARIABLE

ALEATORIA

•

_{La estadística realiza inferencias acerca de}

las poblaciones y sus características.

•

_{Por ejemplo, el espacio muestral que ofrece}

una descripción detallada de cada posible

resultado, cuando se prueban tres

componentes electrónicos, se escribe como:

S = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA

(continuación)

•

_{Evidentemente, nos interesa el número de no}

conformes que se presenten.

•

_{A cada punto en el espacio muestral se le asignará}

un valor numérico de 0, 1, 2, ó 3.

•

_{Estos valores son, por supuesto, cantidades}

aleatorias determinadas por el resultado del

experimento.

•

_{Esos valore se pueden ver como valores que toma}

la variable aleatoria X.

Una variable aleatoria es una función que asocia

un número real con cada elemento del espacio

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA

(continuación)

•

_{Utilizamos una letra mayúscula, digamos X, para}

denotar una variable aleatoria; y su correspondiente

letra minúscula, x en este caso, para uno de sus

valores.

•

_{En el ejemplo de la prueba de componentes}

electrónicos, la variable aleatoria X toma el valor de

x = 2 para todos los elementos en el subconjunto

E = {DDN, DND, NDD}

del espacio muestral S. Esto es, cada valor posible

de X representa un evento que es un subconjunto

del espacio muestral para el experimento dado.

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA

(continuación)

Simulación del ejemplo de tres componentes electrónicos. Componente electrónico defectuoso para # aleatorio ≤ 0,5

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA

(continuación)

Ejemplo 3.1 W

•

_{Se sacan dos bolas de manera sucesiva sin}

reemplazo, de una urna que contiene 4 bolas rojas

y 3 negras.

•

_{Los posibles resultados y los valores y de la}

variable aleatoria Y, donde Y es el número de

bolas rojas, son:

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA

(continuación)

Ejemplo 3.2 W

• _{El empleado de un almacén regresa tres cascos de seguridad al} azar a tres trabajadores de un taller siderúrgico que ya los

habían probado. Si Smith, Jones y Brown, en ese orden, reciben uno de los tres cascos, liste los puntos muéstrales para los

posibles órdenes de regreso de los cascos, y encuentre m de la variable aleatoria M que representa el número de asociaciones correctas.

• _{Solución: Si S, J y B representan, respectivamente, los cascos} de Smith, Jones y Brown, se tiene:

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA

(continuación)

•

_{En cada uno de los ejemplos anteriores, el espacio}

muestral contiene un número finito de elementos.

•

_{Cuando se lanza un dado hasta que salga un 5,}

obtenemos un espacio muestral con una secuencia

de elementos interminables,

S = {F, NF, NNF, NNNF, NNNNF,…},

donde F y N representan, respectivamente, la

ocurrencia y la no ocurrencia de un 5.

•

_{Sin embargo, incluso en este experimento el número}

de elementos puede ser igual a todos los números

enteros, de manera que hay un primer elemento, un

segundo, un tercero y así sucesivamente, y en este

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA

(continuación)

•

_{Hay casos en los que la variable aleatoria es}

categórica por naturaleza y se utilizan las llamadas

variables ficticias o indicadoras.

•

_{Un buen ejemplo de ello es el caso en que la variable}

aleatoria es binaria por naturaleza, como se indica a

continuación:

Ejemplo

3.

3 W

•

_{Considere la condición en que los componentes}

llegan de la línea de ensamble y se clasifican como

no conformes y conformes. Defina la variable

aleatoria X mediante

11









||||||||||

_

_

_

_

||||

,

0

_

_

_

_

_

||||

,

1

conforme

es

componente

el

si

conforme

no

es

componente

el

si

X

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA

(continuación)

Ejemplo 3.4 W

•

_{Los estadísticos utilizan planes de muestreo ya}

sea para aceptar o para rechazar lotes de

materiales. Suponga que uno de los planes de

muestreo implica el muestreo independiente de 10

artículos de un lote de 100 de ellos, donde hay 12

no conformes.

•

_{Sea X la variable aleatoria definida como el}

número de artículos que están no conformes en la

muestra de 10. En este caso, la variable aleatoria

toma los valores de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA

(continuación)

Ejemplo 3.5 W

•

_{Suponga que un plan de muestreo implica el muestro}

de artículos hasta cuando se encuentre uno no

conforme.

•

_{La evaluación del proceso dependerá de cuantos}

artículos consecutivos se observan.

•

_{En este aspecto, sea X una variable aleatoria que se}

define como el número de artículos observados hasta

cuando salga uno no conforme.

•

_{Se asigna N a conforme y D a no conforme; los}

espacios muéstrales son S = (D) dado que X = 1

S = (ND) dado que X = 2, S = (NND) dado que X = 3,

S = (NNND) dado que X = 4, y así sucesivamente.

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA

(continuación)

Ejemplo 3.6 W

•

_{El interés se centra en la proporción de personas}

que responden a cierta encuesta por correo. Sea X

tal proporción. X es una variable aleatoria que

toma todos los valores de x para los cuales

0 <= x <= 1.

Ejemplo 3.7 W

•

_{Sea X la variable aleatoria definida como el tiempo}

de espera, en horas, entre conductores sucesivos

que exceden los límites de velocidad detectados

por una unidad de radar. La variable aleatoria X

toma los valores de x tales que x >= 0.

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA

(continuación)

Si un espacio muestral contiene un número

finito de posibilidades, o una serie

interminable con tantos elementos como

números enteros existen, se llama espacio

muestral discreto.

Si un espacio muestral contiene un número

infinito de posibilidades igual al número de

puntos en un segmento de línea, se le llama

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA

(continuación)

•

_{Una variable aleatoria se llama variable}

aleatoria discreta si se puede contar su

conjunto de resultados posibles, como en

los ejemplos 3.1 W, 3.2 W, 3.3 W, 3.4 W y

3.5 W .

•

_{Cuando una variable aleatoria puede tomar}

valores en una escala continua, se

denomina variable aleatoria continua,

como en los ejemplos 3.6 W y 3.7 W.

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

DE PROBABILIDAD

• _{Una variable aleatoria discreta toma cada uno de sus valores} con cierta probabilidad.

• _{Al lanzar una moneda 3 veces, la variable X, que representa} el número de caras, toma el valor de 2 con probabilidad de 3/8, pues 3 de los puntos muéstrales igualmente probables tienen como resultado 2 caras y un sello.

17 Elementos del espacio muestral SSS SSC SCS CSS CCS CSC SCC CCC # de caras 0 1 2 3 caras Ley de correspondencia Probabilidad

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE

PROBABILIDAD (continuación)

•

_{Si se suponen pesos iguales para los eventos}

simples del ejemplo 3-2 W, la probabilidad de

que ningún empleado obtenga de vuelta su

casco correcto, es decir, la probabilidad de que

M tome el valor cero es 1/3. Los valores

posibles m de M y sus probabilidades son:

•

_{Note que los valores de m agotan todos los}

casos posibles y por ello las probabilidades

suman 1.

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE

PROBABILIDAD (continuación)

• _{Con frecuencia es conveniente representar todas las}

probabilidades de una variable aleatoria X usando una fórmula, la cual necesariamente sería una función de los valores numéricos x que denotamos con f(x), g(x), r(x), y así sucesivamente.

• _{Escribimos entonces, f(x) = P(X = x); es decir, f(3) = P(X = 3).} • _{El conjunto de pares ordenados (x, f(x)) se llama función de}

probabilidad o función de masa de probabilidad o

distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X.

El conjunto de pares ordenados (x, f(x)) es una función de

probabilidades, una función de masa de probabilidad o una distribución de probabilidad de la variable aleatoria X si, para

cada resultado posible x,

| ) ( ) ( ||| . 3 1 ) ( ||| . 2 0 ) ( ||| . 1 x f x X P x f x f x    



DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE

PROBABILIDAD (continuación)

Ejemplo 3.8 W

• _{Un embarque de 8 computadores similares para una tienda al} detalle contiene 3 que están defectuosos. Si una escuela hace una compra al azar de 2 de estos computadores, encuentre la función de probabilidad para el número de defectuosos.

• _{Solución: Sea X una variable aleatoria cuyos valores x son los} números posibles de computadores defectuosos que la escuela compra. Entonces, x puede ser cualquiera de los números 0, 1 y

2. Así:

De manera que la función de probabilidad de X es: 3 0 5 2 3 ) 2 ( ) 2 ( 28 15 2 8 1 5 1 3 ) 1 ( ) 1 ( 28 10 2 8 2 5 0 3 ) 0 ( ) 0 (                                                          X P f X P f X P f 2 , 1 , 0 2 5 3 ) ( ) (                    P X x x x para x x f

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE

PROBABILIDAD (continuación)

Ejemplo 3.9 W

• _{Si una agencia automotriz vende el 50% de su inventario de}

cierto vehículo extranjero equipado con bolsas de aire, encuentre una fórmula para la distribución de probabilidad del número de automóviles con bolsas de aire entre los siguientes 4 vehículos que venda la agencia.

• _{Solución: Como la probabilidad de vender un automóvil con} bolsas de aire es 0.5, los 24 = 16 puntos del espacio muestral

tienen la misma probabilidad de ocurrencia. El denominador para todas las probabilidades y también para la función, es 16. El

evento de vender x modelos con bolsas de aire y 4 – x sin bolsas de aire puede ocurrir de formas, donde x pude ser 0, 1, 2, 3, 4, entonces la distribución de probabilidad:

21 22       x 4 . 4 : , 3 : , 2 : , 1 : , 0 _ ||| , 16 4 ) ( : ||| ) ( ) (           x para x x f es x X P x f

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE

PROBABILIDAD (continuación)

•

_{Hay muchos problemas donde queremos calcular la}

probabilidad de que el valor observado de una

variable aleatoria X sea menor o igual que algún

número real x.

•

_{Al escribir F(x) = P(X ≤ x) para cualquier número real}

x, definimos F(x) como la función de la

distribución acumulada de la variable aleatoria X.

La función de la distribución acumulada

F(x) de una variable aleatoria discreta X, con

distribución de probabilidad f(x) es:

.

__

__

),

(

)

(

)

(

x



P

X



x





f

x

para







x





F

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE

PROBABILIDAD (continuación)

23

Ejemplo 3.10 W

Para el ejemplo 3.9 W, los valores de F(x) están dados por: 0, para x < 0, 1/16, para 0 <= x < 1, 5/16, para 1 <= x < 2, 11/16, para 2 <= x < 3, 15/16, para 3 <= x < 4, 1, para x >= 4. F(X) = 20 . 1 16 16 16 1 16 4 16 6 16 4 16 1 ) 4 ( ) 4 ( 16 15 16 4 16 6 16 4 16 1 ) 3 ( ) 3 ( 16 11 16 6 16 4 16 1 ) 2 ( ) 2 ( 16 5 16 4 16 1 ) 1 ( ) 1 ( 16 1 ) 0 ( ) 0 ( . 4 _ , 3 _ , 2 _ , 1 _ , 0 _ ___ , 16 4 ) (                                       X P F X P F X P F X P F X P F x para x x f

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE

PROBABILIDAD (continuación)

1/16 1/16 1/4 _1/4 3/8 = f( x)

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE

PROBABILIDAD (continuación)

1 2 3 4 5 1 /1 6 4 /1 6 6/ 16 HISTOGRAMA DE PROBABILIDAD P ro ba bi lid a d de x = f (x )

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE

PROBABILIDAD (continuación)

1/ 16 4 /1 6 6/ 16 P ro ba bi lid ad d e x = f (x )

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE

PROBABILIDAD (continuación)

27 1 2 3 4 5 0.0000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 0.0625 0.3125 0.6875 0.9375 1.0000 15/16 = 16/16 = 0 1 2 3 4

Distribución Acumulada Discreta

1/16 = 5/16 = 11/16 = F (x ) = P (X ≤ x ) = f (x )

DISTRIBUCIÓN

UNIFORME DISCRETA

•

_{La más simple de todas las}

distribuciones de

probabilidad discreta es

aquella donde la variable

aleatoria toma cada uno de

sus valores con probabilidad

idéntica.

29

DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA

(continuación)

Una variable aleatoria X es una variable aleatoria

uniforme discreta si cada uno de los n valores de su

rango, por ejemplo, x₁, x₂, x₃,..., x_n, tiene la misma probabilidad, por lo tanto

para x = x₁, x₂, x₃,...,

x_n

Suponga que X es una variable aleatoria uniforme discreta en los números enteros consecutivos a, a+1,

a+2, ..., b, para

Figura. Función de

masa de probabilidad para una variable

aleatoria discreta uniforme a b

 

n

n

x

f

;



1

b

a



   

_

     n i i x n a b X E 1 1 2 











       n i i x n a b 1 2 2 1 12 1 1  

DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA

(continuación)

Ejemplo 5.1 W

•

_{Cuando se selecciona al azar una bombilla}

de luz de una caja que contiene una bombilla

de 40 watts, una de 60 watts, una de 75

watts y una de 100 watts, cada elemento del

espacio muestral S = {40, 60, 75, 100}

ocurre con probabilidad de ¼. Por lo tanto

tenemos una distribución uniforme, con

.

100

,

75

,

60

,

40

____

,

4

1

)

4

;

(

x



x



f

DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA

(continuación)

Ejemplo 5.2 W

•

_{Cuando se lanza un dado legal, cada}

elemento del espacio muestral

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ocurre con probabilidad

de 1/6. Por lo tanto, tenemos una

distribución uniforme con

.

6

,

5

,

4

,

3

,

2

,

1

____

,

6

1

)

6

;

(

x



x



f

DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA

(continuación)

Ejemplo 5.3 W

•

_{Para el problema 5.2 W encontramos}

que

5

.

3

2

1

6

6

6

5

4

3

2

1





















            _1.7078 12 35 6 5 . 17 6 5 . 3 6 5 . 3 5 5 . 3 4 5 . 3 3 5 . 3 2 5 . 3 1 2 2 2 2 2 2                









_1.7078 12 35 12 1 1 1 6 12 1 1 2 2           b a



•

_{Un ensayo que sólo tiene dos resultados posibles}

se usa con tanta frecuencia como bloque de

construcción de un experimento aleatorio que se

conoce como ensayo de Bernoulli.

•

_{Por lo general se supone que los ensayos que}

constituyen el experimento aleatorio son

independientes.

•

_{Esto implica que el resultado de un ensayo no}

afecta el resultado que se obtiene en cualquier otro

ensayo.

•

_{Además, con frecuencia es razonable suponer que}

la probabilidad de un éxito en cada ensayo es

constante.

33

DISTRIBUCIÓN

BINOMIAL

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

(continuación)

• _{Ejemplo: Las probabilidades de que un bit transmitido a} través de un canal de transmisión digital se reciba con error es 0.1. Suponga además que los ensayos de

transmisión son independientes. Sea X el número de bits con error en los siguientes 4 bits transmitidos. Determine P(X = 2).

• _{Solución: E = bit con error; O = bit correcto.}

0486 . 0 ) 0081 . 0 ( 6 ) 2 ( 0081 . 0 ) 9 . 0 ( ) 1 . 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2       X p EEOO P O P O P E P E P EEOO P

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (continuación)

Un experimento aleatorio que consta de n ensayos

repetidos tales que:

1. Los ensayos son independientes,

2. cada ensayo produce únicamente dos resultados

posibles, etiquetados como “éxito” o “fracaso”, y

3. la probabilidad de un éxito en cada ensayo, denotado como p, permanece constante,

se llama experimento binomial

.

La variable aleatoria X que es igual al número de ensayos que producen un éxito tiene una

distribución binomial con parámetros p y n = 1,

2,....

La función de masa de probabilidad de X es

x = 0, 1, ..., n

 

p

x



1

p



n x

,

x

n

x

f



















DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

(continuación)

• Si X es una

variable aleatoria binomial

con parámetros p y n,

. Figura. Ejemplo de una distribución binomial con n = 20 y p = 0.5

 

X

n

p

E











2

_

_V

 

_X

_

_n

_

_p

_



₁

_

_p



DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

(continuación)

Distribución Binomial para Valores seleccionados de n y p x f(x)

 

_x





n x

p

p

x

n

x

f



















1

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

(continuación)

 

_x





n x p p x n x f          1

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

(continuación)

 

_x





n x

p

p

x

n

x

f



















1

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

(continuación)

Ejemplo 5.4 W

•

_{La probabilidad de que cierto componente}

sobreviva a una prueba de choque es 3/4.

Encuentre la probabilidad de que sobrevivan

exactamente 2 de los siguientes cuatro

componentes que se prueben.

•

_{Solución: Supongamos que las pruebas son}

independientes y como p = ¾ para cada una de

las 4 pruebas, obtenemos

 





128

27

4

3

!

2

!

2

!

4

4

1

4

3

2

4

1

₄ 2 2 2











































































_x nx

p

p

x

n

x

f

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

(continuación)

Ejemplo 5.5 W

• _{La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara}

enfermedad sanguínea es 0.4. Si se sabe que 15 personas contraen tal enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que: a) sobrevivan al

menos 10; b) sobrevivan de 3 a 8; y c) sobrevivan exactamente 5?.

•

_Solución:

 _{Respuesta a)}  Respuesta b)  Respuesta c)     0338 . 0 9662 . 0 1 ) 10 ( 1 ) 10 ( 4 . 0 1 4 . 0 15 1 ) 10 ( 1 ) 10 ( 9 0 15                      X P X P x X P X P x x x         8779 . 0 0271 . 0 9050 . 0 ) 8 3 ( 4 . 0 1 4 . 0 15 4 . 0 1 4 . 0 15 ) 8 3 ( 2 0 15 8 0 15                          X P x x X P x x x x x x           0.4 1 0.4 0.1859 5 15 ) 5 ( 1859 . 0 2173 . 0 4032 . 0 ) 5 ( 4 . 0 1 4 . 0 15 4 . 0 1 4 . 0 15 ) 5 ( 5 15 5 4 0 15 5 0 15                                 X P X P x x X P x x x x x x

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

(continuación)

Ejemplo 5.6 W

•

_{Una cadena grande de tiendas al detalle compra cierto}

tipo de dispositivo electrónico de un fabricante. El

fabricante indica que la tasa de defectos del dispositivo

es 3%.

a) El inspector de la cadena elige 20 artículos al azar de

un cargamento ¿Cuál es la probabilidad de que haya al

menos un artículo defectuoso entre estos 20?

b) Suponga que el detallista recibe 10 cargamentos en un

mes y que el inspector prueba aleatoriamente 20

dispositivos por cargamento ¿Cuál es la probabilidad

de que haya 3 cargamentos que contengan al menos

un dispositivo defectuoso?

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

(continuación)

•

_Solución:

• _{Denote con X el número de dispositivos defectuosos entre los} 20. Esta X sigue una distribución b(x; 20, 0.03). Por

consiguiente:

• _{a) X = número de dispositivos} defectuosos entre los veinte

• _{b) Y = número de cargamentos que}

contienen al menos un artículo defectuoso Esta Y sigue una distribución b(y; 10, 0.4562).

    0.03 1 0.03 0.4562 0 20 1 ) 1 ( 1 1 ) 0 ( 1 ) 1 ( 20 0                        X P p p x n X P X P x n x   0.4562 1 0.4562 0.1602 3 10 1 ) 3 ( 3  7                _py _p ny y n Y P

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

(continuación)

•

_{Taller en Clase 1: 4-17 M}

_{. Cada muestra de aire}

tiene 10% de probabilidades de contener una

molécula rara particular. Suponga que las

muestras son independientes con respecto a la

presencia de la molécula rara X.

1. Encuentre la probabilidad de que en las

siguientes 18 muestras, exactamente dos

contengan la molécula rara.

2. Determine la probabilidad de que al menos

cuatro muestras contengan la molécula rara.

3. Determine la probabilidad de que 3 ≤ X ≤ 7.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

(continuación)

• Taller en Clase 2: 5.8 W. Se conjetura que hay

impurezas en 30% del total de pozos de agua potable de cierta comunidad rural. Para obtener algún

conocimiento del problema, se determina que debería realizarse algún tipo de prueba. Es muy costoso probar todos los pozos del área, por lo que se eligieron 10

aleatoriamente para una prueba.

a) Utilizando la distribución binomial, ¿cuál es la

probabilidad de que exactamente 3 pozos tengan

impurezas considerando que la conjetura es correcta? b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 3 pozos

tengan impurezas.

c) Suponga que 6 pozos tienen impurezas. ¿Qué implica

DISTRIBUCIÓN

GEOMÉTRICA

•

_{Considérese un experimento aleatorio que}

guarda una estrecha relación con el que se

utilizó en la definición de la distribución

binomial.

•

_{Suponga una serie de ensayos de Bernoulli}

independientes con una probabilidad constante

p de un éxito en cada ensayo.

•

_{Sin embargo, en lugar de mantener fijo el}

número de ensayos, éstos se realizan hasta

cuando se obtiene un éxito.

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

(continuación)

•

_{Ejemplo: Las probabilidades de que un bit}

transmitido a través de un canal de transmisión digital

se reciba con error es 0.1. Suponga además que los

ensayos de transmisión son independientes. Sea

que la variable aleatoria X denote el número de

ensayos hasta el primer éxito. Determine P(X = 4).

•

_{Solución: E = bit con error; O = bit correcto.}

0729

.

0

)

1

.

0

(

)

9

.

0

(

)

(

)

1

.

0

)(

9

.

0

)(

9

.

0

)(

9

.

0

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

3

_







OOOE

P

OOOE

P

E

P

O

P

O

P

O

P

OOOE

P

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

(continuación)

En una serie de ensayos Bernoulli

independientes, con probabilidad

constante p de un éxito, sea que

la variable aleatoria X denote el

número de ensayos hasta el primer

éxito. Entonces X tiene una

distribución geométrica con

parámetro p y

x=1, 2,

...

  

x

1

p



1

p

,

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

. Figura. Distribución geométrica para un valor del parámetro p de 0.1.

• Si X es una variable aleatoria

geométrica con parámetros p

 

p

X

E



1





2

  

1

₂



p

p

X

V









DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

(continuación)

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

(continuación)

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

(continuación)

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

(continuación)

Ejemplo 4.19 M

• _{La probabilidad de que un bit transmitido a través de un canal} de transmisión digital se reciba con error es 0.1. Suponga que las transmisiones son eventos independientes y sea que la

variable aleatoria X denote el número de bits transmitido hasta el primer error.

• _{¿Cuál es P(X = 5), es decir, que el quinto bit transmitido tenga} error?

• _SOLUCIÓN:

• _{Este evento puede denotarse como {OOOOE}, donde O denota} un bit correcto. Como los ensayos son independientes y la

probabilidad de una transmisión correcta es 0.9.

P(X = 5) = P(OOOOE) = (1 - p)X-1 p = (0.94)(0.1) = 0.066

• _{Obsérvese de que hay cierta probabilidad de que X sea igual a} cualquier valor entero. Así mismo, si el primer ensayo es un

éxito, entonces X = 1. Por lo tanto, el rango de X es {1, 2, 3,..},

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

(continuación)

Ejemplo 4.20 M

•

_{La probabilidad de que una oblea contenga una}

partícula de contaminación grande es 0.01. Si se

supone que las obleas son independientes, ¿cuál es la

probabilidad de que sea necesario analizar

exactamente 125 obleas antes de detectar una

partícula grande?

•

_SOLUCIÓN:

•

_{Sea que X denote el número de muestras analizadas}

hasta cuando se detecta una partícula grande.

Entonces X es una variable aleatoria geométrica con p

= 0.01. La probabilidad pedida es:

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

(continuación)

Ejemplo 4.21 M

• _{La probabilidad de que un bit transmitido a través de un canal de}

transmisión digital se reciba con error es 0.1. Suponga que las transmisiones son eventos independientes y sea que la variable aleatoria X denote el número de bits transmitido hasta el primer error.

a) ¿Cuál es el número promedio de transmisiones hasta el primer error?

b) ¿Cuál es su desviación estándar?

SOLUCIÓN:

c) El número promedio de transmisiones hasta el primer error es

d) La desviación estándar del número de transmisiones antes del primer error es 55





_9.49

1

.

0

0.1

-1

1

2 2









p

p



 

10 1 . 0 1 1     p X E



DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

(continuación)

•

_{Taller en Clase 1: 4.22 M}

_.

•

_{La probabilidad de que un bit transmitido a}

través de un canal de transmisión digital se

reciba con error es 0.1. Suponga que las

transmisiones son eventos independientes y

sea que la variable aleatoria X denote el

número de bits transmitido hasta el primer

error.

•

_{Suponga que se han transmitido 50 bits. ¿Cuál}

es el número promedio de bits, hasta el

siguiente error?. Compárelo con los resultados

del ejemplo 4.21 M

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

(continuación)

•

_{Taller en Clase 2: 4.63 M}

_.

•

_{La probabilidad de una alineación óptica de éxito en}

el ensamble de un producto de almacenamiento

óptico de datos es 0,8. Suponga que los ensayos son

independientes.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera alineación

de éxito requiera exactamente cuatro ensayos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera alineación

de éxito requiera a lo sumo cuatro ensayos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera alineación

de éxito requiera al menos cuatro ensayos?

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

NEGATIVA

•

_{Una generalización de una distribución}

geométrica en la que la variable

aleatoria es el número de ensayos de

Bernoulli requeridos para obtener r

éxitos resulta en la distribución

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

(continuación)

Ejemplo 4.23 M

• Suponga que la probabilidad de que un bit transmitido a través de un canal de transmisión digital se reciba con error es 0.1. Suponga que las transmisiones son eventos independientes, y sea que la variable

aleatoria X = 10 denote el número de bits transmitido hasta el cuarto

error. Entonces, X tiene una distribución binomial negativa con r = 4.

• _{Las probabilidades que involucran a X pueden encontrarse como} sigue: P(X = 10) es la probabilidad de que ocurran exactamente 3 errores en los 9 primeros ensayos y que el ensayo 10 sea el cuarto error. La probabilidad de que ocurran exactamente 3 errores en los 9 primeros ensayos se determina a partir de la distribución binomial como

• _{Puesto que los ensayos son independientes, la probabilidad de que} ocurran exactamente 3 errores en los 9 primeros ensayos y que el ensayo 10 sea el cuarto error es el producto de la probabilidad de estos dos eventos, es decir,

   

3 6

9

.

0

1

.

0

3

9













     

3 6

   

4 6 9 . 0 1 . 0 3 9 1 . 0 9 . 0 1 . 0 3 9             

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

(continuación)

El resultado del ejemplo 4.23 M

puede generalizarse así:

En una serie de ensayos Bernoulli

independientes, con probabilidad constante

p de un éxito, sea que la variable aleatoria

X denote el número de ensayos hasta que

ocurran r éxitos. Entonces X tiene una

distribución binomial negativa con

parámetro p y r = 1, 2, 3, ..., y

Para x = r, r+1, r+2, ...

 



_p



x r

_p

r

r

x

x

f





















1



1

1

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

(continuación)

• Si X es una variable aleatoria binomial

negativa con parámetros p y r,

entonces

• La distribución binomial negativa

es

una

generalización

de

la

distribución geométrica en la que la

variable aleatoria es el número de

ensayos Bernoulli requeridos para

obtener r éxitos.

 

p

r

X

E







2

  

1

₂



p

p

r

X

V









DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

(continuación)

_•

_{Ejemplo 5.17 W}

• _{En la serie de campeonato de la NBA, el equipo que gana 4} juegos de 7 será el ganador. Suponga que el equipo A tiene una probabilidad de 0.55 de ganarle al equipo B, y que

ambos equipos A y B, se enfrentarán entre sí en los juegos de campeonato.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo A gane la serie en el 6 juegos?

b) ¿ Cuál es la probabilidad de que el equipo A gane la serie? c) Si ambos equipos se enfrentan entre sí en una serie

regional de play-off y el ganador es el que gana 3 de 5

juegos, ¿cuál es la probabilidad de que el equipo A gane el juego de play-off?

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

(continuación)

_{• Solución:}

a) Se tiene:

b) P(el equipo A gane la serie de campeonato) es:

c) P(el equipo A gane el juego de play-off) es:

63

 







1 0.55



0.55 0.1853 3 5 1 1 1 _{6 4 4}                    xr r  p p r x x f         6083 . 0 1668 . 0 1853 . 0 1647 . 0 0915 . 0 55 . 0 55 . 0 1 3 6 55 . 0 55 . 0 1 3 5 55 . 0 55 . 0 1 3 4 55 . 0 55 . 0 1 3 3 ) 55 . 0 , 4 : 7 ( * ) 55 . 0 , 4 : 6 ( * ) 55 . 0 , 4 : 5 ( * ) 55 . 0 , 4 : 4 ( * 4 4 7 4 4 6 4 4 5 4 4 4                                             b b b b













5931 . 0 2021 . 0 2246 . 0 1664 . 0 55 . 0 55 . 0 1 2 4 55 . 0 55 . 0 1 2 3 55 . 0 55 . 0 1 2 2 ) 55 . 0 , 3 : 5 ( * ) 55 . 0 , 3 : 4 ( * ) 55 . 0 , 3 : 3 ( * 3 3 5 3 3 4 3 3 3                                 b b b

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

(continuación)

_•

_{Ejemplo 4.24 M}

• Un avión de alto rendimiento contiene tres computadoras idénticas. Se utiliza únicamente una para operar el avión; las dos restantes son repuestos que pueden activarse en caso de que el sistema primario falle. Durante una hora de operación, la probabilidad de una falla en la computadora primaria ( o de cualquiera de los sistemas de repuesto activados) es

0.0005. Suponiendo que cada hora representa un ensayo independiente, ¿cuál es el tiempo promedio para que fallen las tres computadoras?

• Sea que X denote el número de horas hasta cuando los tres sistemas fallen, y sea que X₁, X₂ y X₃ denoten el número de horas de operación antes de una falla de la primera, la

segunda y la tercera computadoras usadas, respectivamente. Entonces X = X₁ + X₂ + X₃. Además que las horas comprenden ensayos independientes con probabilidad constante de falla p = 0.0005. Por otra parte, una computadora de repuesto no es afectada por la

cantidad de tiempo que transcurra antes de activarse. Por consiguiente, X tiene una distribución binomial negativa con p = 0.0005 y r = 3. En consecuencia,

E(X) = 3 / 0.0005 = 6000 horas

• _{¿Cuál es la probabilidad de que las 3 computadoras fallen en un vuelo de 5 horas?} • _{La probabilidad pedida es P(X <= 5) y} P(X <= 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)    0 3  1 3  2 3 0005 . 0 0005 . 0 1 2 4 0005 . 0 0005 . 0 1 2 3 0005 . 0 0005 . 0 1 2 2 5                          X P   p r X E   

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

(continuación)

Taller en Clase 1: 4.69 M

.

Suponga que X es una variable

aleatoria binomial negativa con p = 0,2

y r = 4. Determine lo siguiente:

a)E(X)

b)V(X)

c) P(X=20)

d)P(X=19)

e)P(X=21)

DISTRIBUCIÓN

HIPERGEOMÉTRICA

• _{Ejemplo 4.8 M: La producción de un día de 850 piezas}

manufacturadas contiene 50 piezas que no cumplen con los

requerimientos del cliente. Se seleccionan 2 piezas, al azar y sin reemplazo, de la producción de un día. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra haya 2 piezas que no cumplan con los

requerimientos?

• _{Este experimento consta de 2 ensayos: se selecciona la primera} pieza y luego se selecciona la segunda. Si embargo, este

experimento presenta diferencias fundamentales con los ejemplos basados en la distribución binomial.

• _{En este experimento, los ensayos no son independientes.}

Obsérvese que en el inusual caso de que se hiciera el reemplazo de cada unidad seleccionada antes de la siguiente selección, los ensayos serían independientes y la probabilidad de que una pieza no cumpla en cada ensayo sería constante.

• _{En tal caso, el número de piezas de la muestra que no cumplen,} es una variable aleatoria binomial. 66

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

(continuación)

• _{Sea que A y B denoten los eventos de que la primera y la} segunda pieza no cumplen, respectivamente; luego P(A) = 50 / 850 = 0,0588 y P(B | A) =49 / 849 = 0,0577. Por consiguiente, saber que la primera pieza no cumple, sugiere que es menos factible que la segunda pieza

seleccionada no cumpla con los requerimientos del cliente. • _{Sea X igual al número de piezas de la muestra que no}

cumplen. Entonces,

P(X = 0) = P(ambas piezas cumplen) = (800 / 850)(799 / 849) = 0.886

P(X = 1) = P(la primera pieza cumple y la segunda no, o la primera pieza no cumple y la segunda si) = (800 / 850) (50 / 849) + (50 / 850)(800 / 849) = 0.111

P(X = 2) = P(ambas partes no cumplen) = (50 / 850)(49 / 849) = 0.0034

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

(continuación)

Un conjunto de N objetos contiene

K objetos clasificados como éxitos y

N – K objetos clasificados como fracasos

Se seleccionan una muestra con tamaño de n objetos al azar (sin reemplazo) de los N objetos, donde K ≤ N y n ≤ N.

Sea que la

variable aleatoria X

denote el número de éxitos en la muestra. Entonces X tiene una

distribución hipergeométrica y x = máx {0, n + K – N} hasta mín. {K, n}

 

                n N x n K N x K x f

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

(continuación)

donde p = K /

N.

A la expresión

se le conoce como factor de corrección

para poblaciones finitas.

Si X es una variable aleatoria hipergeométrica con parámetros

N, K y n, entonces la media y la varianza de X son:

 

X

n

p

E









 





_



























1

1

2

N

n

N

p

p

n

X

V



















1

N

n

N

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

(continuación)

•

_{Ejemplo 4.25 M}

• _{En el ejemplo 4.8 M, la producción de un día de 850 piezas} manufacturadas contiene 50 piezas que no cumplen con los

requerimientos del cliente. Se seleccionan 2 piezas, al azar y sin

reemplazo, de la producción de un día. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra haya x piezas que no cumplan con los requerimientos? x = 0, 1, 2 003 . 0 1225 0 800 2 50 ) 2 ( 111 . 0 360825 40000 2 850 1 800 1 50 ) 1 ( 886 . 0 360825 319600 2 850 2 800 0 50 ) 0 (                                                            X P X P X P

 

                n N x n K N x K x f

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

(continuación)

•

_{Ejemplo 4.26 M}

• _{Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de} un proveedor de otra ciudad. Si se seleccionan 4 piezas al azar y sin reemplazo,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas sean del proveedor local?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local? 0119 . 0 4 300 0 200 4 100 ) 4 (                     X P 408 . 0 4 300 0 200 4 100 4 300 1 200 3 100 4 300 2 200 2 100 ) 2 (                                                         X P 804 . 0 4 300 4 200 0 100 1 ) 0 ( 1 ) 1 (                         P X X P                   n N x n K N x K x f

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

(continuación)

•

_{Ejemplo 4.27 M}

• _{Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local} y 200 unidades de un proveedor de otra ciudad. Si se

seleccionan 4 piezas al azar y sin reemplazo,

a) ¿Cuál es la media para el proveedor local? b) ¿Cuál es la varianza para el proveedor local?

• _{Sea la variable aleatoria X el número de piezas de la}

muestra del proveedor local. Entonces p = 100 / 300 = 1/3.

por lo tanto: a) b)

 

1

.

33

3

1

4











E

X

n

p



 





0

.

88

1

300

4

300

3

2

3

1

4

1

1

2

_







































N

n

N

p

p

n

X

V



DISTRIBUCIÓN DE

POISSON

Ejemplo 4.29 M

• Considere la transmisión de n bits en un canal de comunicación digital. Sea la variable aleatoria X igual al número de bits con error. Cuando la probabilidad de que un bit tenga un error es constante y las transmisiones son independientes, X tiene una distribución binomial. Sea que p denote la probabilidad de que un bit tenga un error.

Entonces, E(X) = pn.

• Ahora bien, suponga que el número de bits transmitido aumenta y que la probabilidad de un error disminuye justo lo suficiente para que pn se mantenga igual a una constante, digamos , o sea  = pn. Es decir, n

se incrementa y p decrece consecuentemente, de tal modo que la E(X) permanece constante. Entonces, p =  / n

• _{Se pude demostrar que}

73 x n x x n x n n x n p p x n x X P   _                            ) (1 )  1  ( ,.... 2 , 1 , 0 _____ , ! ) (       _x x e x X P lím x n  

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

(continuación)

Ejemplo 4.30 M

• _{Se presentan imperfecciones aleatoriamente a lo largo de} un alambre delgado de cobre. Sea que X denote la variable aleatoria que cuenta el número de imperfecciones en una longitud de L milímetros de alambre, y suponga que el

número promedio de imperfecciones en L milímetros es . • _{Se hace la partición de la longitud del alambre en n}

subintervalos de longitud pequeña, digamos, un micrón

(milésima de milímetro) cada uno. Si este subintervalo es lo suficientemente pequeño, la probabilidad de que ocurra más de una imperfección en el subintervalo es despreciable.

Como se supuso que las imperfecciones ocurren

aleatoriamente, se puede interpretar de que cada intervalo tiene la misma probabilidad de contener una imperfección,

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

(continuación)

• _{Supóngase que la probabilidad de que un subintervalo} contenga una imperfección es independiente de otros

subintervalos, entonces el modelo de la distribución de X puede establecerse aproximadamente como una variable aleatoria binomial. Puesto que

E(X) =  = np

se obtiene p =  / n

Es decir, la probabilidad de que un subintervalo contenga una imperfección es  / n. Con subintervalos lo

suficientemente pequeños, n es muy grande y p es muy pequeña. Por lo tanto, la distribución de X se obtiene como en el ejemplo anterior.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON (continuación)

Dado un intervalo de números reales, suponga que ocurren conteos al azar a lo largo del intervalo. Si puede hacerse la partición del intervalo en subintervalos con una longitud suficientemente pequeña tal que

1.- La probabilidad de más de un conteo en un subintervalo es cero,

2.- La probabilidad de un conteo en un intervalo es la misma para todos los subintervalos y proporcional a la longitud del intervalo, y

3.- El conteo en cada subintervalo es independiente de los demás subintervalos, entonces el experimento aleatorios se denomina proceso de Poisson.

Si el número promedio de conteos en el intervalo es  la variable aleatoria X, que es igual al número de conteos en el intervalo, tiene una distribución de Poisson con parámetro la función de masa de probabilidad de X es

 

,

_{x = 0, 1, 2, ...}

!

x

e

x

f

x





_





DISTRIBUCIÓN DE POISSON

(continuación)

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

(continuación)

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

(continuación)

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

(continuación)

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

(continuación)

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

(continuación)

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

(continuación)

Si X es una variable aleatoria de

Poisson con parámetro





entonces

la media y la varianza de X son



DISTRIBUCIÓN DE POISSON

(continuación)

•

_{Es importante usar unidades consistentes en el}

cálculo de probabilidades, medias y varianzas

cuando se trabaja con variables aleatorias de Poisson.

•

_{Por ejemplo, si el número promedio de imperfecciones}

por mm de alambre es 3.4, entonces:

– _{el número promedio de imperfecciones en 10 mm de alambre} es 34, y

– _{el número promedio de imperfecciones en 100 mm de} alambre es 340.

•

_{Si una variable aleatoria de Poisson representa el}

número de conteo en cierto intervalo, entonces la

media de la variable aleatoria debe ser igual al

número esperado de conteos en la misma longitud del

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

(continuación)

Ejemplo 4.31 M

• Para el caso del alambre delgado de cobre, suponga que el número de imperfecciones sigue una distribución de Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por milímetro. Determine la probabilidad de exactamente 2 imperfecciones en un milímetro de alambre.

• Sea que X denote el número de imperfecciones en un mm de alambre. Entonces E(X) = 2.3 imperfecciones y

• Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 mm de alambre. Sea que X denote el número de imperfecciones en 5 mm de alambre. Entonces, X tiene una distribución de Poisson con

E(X) = 5 mm * 2.3 imperfecciones/mm = 11.5 imperfecciones Por lo tanto, P(x = 10) = e-11.5 _11.510 _{/ 10! = 0.113}

• Determine la probabilidad de al menos una imperfección en 2 mm de alambre. Sea que X denote el número de imperfecciones en 2 mm de alambre. Entonces X tiene una distribución de Poisson con,

E(X) = 2 mm * 2.3 imperfecciones/mm = 4.6 imperfecciones

265 . 0 ! 2 3 . 2 ) 2 ( 2 3 . 2    e X P

 

,

!

x

e

x

f

x





_





DISTRIBUCIÓN DE POISSON

(continuación)

Ejemplo 4.32 M

• La contaminación constituye un problema en la fabricación de discos de

almacenamiento óptico. El número de partículas de contaminación que ocurre en un disco óptico tiene una distribución de Poisson y el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. El área del disco bajo estudio es de 100 cm2_{. Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del} disco bajo estudio.

• _{Sea que X denote el número de partículas en el área del disco bajo estudio. Puesto} que el número promedio de partículas es de 0.1 por cm2

E(X) = 100 cm2 x 0.1 partículas/cm2 = 10 partículas Por lo tanto,

• La probabilidad de que ocurran cero partículas en el área del disco bajo estudio es P(X = 0) = e-10 = 4.54 x 10-5

• _{Determine la probabilidad de que 12 o menos partículas ocurran en el área del disco} bajo estudio. La probabilidad es

095

.

0

!

12

10

)

12

(

12 10







e



X

P

791 . 0 ! 10 ) 12 ( ... ) 1 ( ) 0 ( ) 12 ( 12 0 10          



  x x x e X P X P X P X P

 

,

!

x

e

x

f

x





_



