PIRÁMIDE, CONO Y ESFERA
I. DEFINICIÓN
Es aquel poliedro en el cual una de sus caras es una región poligonal cualquiera denominada base y sus otras caras son regiones triangulares denominadas caras la-terales, todas ellas tienen un vértice en común al cual se le denomina vértice o cúspide de la pirámide.
A E D C P h B
Altura Cara lateral Vértice Arista lateral
Arista
básica Base o
En la figura se muestra una pirámide pentagonal P – ABCDE.
A. Área de la superficie lateral (A
SL)
SLA suma de la áreas de las caras laterales
B. Área de la superficie total (A
ST)
ST SL base
A A +A Abase: área de la base
Así, como en la geometría plana es muy frecuente el uso de triángulos y cuadriláteros, también en la geometría del espacio hay sólidos cuyo estudio y aplicación a la realidad son muy frecuentes. Por ejemplo, en las construcciones de las casas, edificios, etc., es muy común ver las columnas prismáticas o cilíndricas, etc. Con este capítulo conoceremos mejor a estas formas geométricas.
PIRÁMIDE
C. Volumen (V)
base (A ).h V 3 h: longitud de la altura de la pirámide Observación
¿Cómo se nombra una pirámide?
De acuerdo al número de lados de su base las pirámides pueden ser: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, ... si su base tiene tres, cuatro, cinco, ... lados respectivamente; tal como se muestra en la siguiente figura.
Pirámide
triangular Pirámidecuadrangular
II. PIRÁMIDE REGULAR
A. ¿Qué es una pirámide regular?
Es aquella pirámide cuya base está limitada por un polígono regular (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, etc.) y, además, tiene todas sus aristas laterales de igual longitud. En toda pirámide regular las caras laterales son congruentes y el pie de su altura es el centro de la base.
¿Qué es un tetraedro regular?
Es aquella pirámide regular cuyas cuatro caras son regiones triangulares equiláteras.
Notación
Tetraedro regular P-ABC A. Altura a 6 h 3 B. Volumen 3 a 2 V 12
III. PIRÁMIDE IRREGULAR
¿Qué es una pirámide irregular?
Es aquella que no tiene todas las características de una pirámide regular.
O D A B E M h F C
En el gráfico se muestra las siguientes pirámides irre-gulares:
• Pirámide pentagonal M – ABCDE. • Pirámide cuadrangular M – ABCF • Pirámide pentagonal M – AFCDE
En cada una de las pirámides se aplica las siguientes fórmulas:
1. Área de la superficie lateral (ASL)
SL
A suma de la áreas de las caras laterales 2. Área de la superficie total (AST)
ST SL base A A +A Abase: área de la base 3. Volumen (V) base (A ).h V 3
h: longitud de la altura de las pirámides irregulares.
En toda pirámide regular se cumple:
– Las caras laterales están limitadas por triángulos
isósceles congruentes entre sí.
– Las caras laterales y la base forman ángulos
diedros de medidas iguales.
– Las aristas laterales forman con la base ángulos
de medidas iguales.
IDEAS FUERZA
Es la perpendicular trazada del vértice de la pirámide hacia una arista básica.
D B C M H O A F N E Ap ap
En la figura se muestra una pirámide hexagonal regular M – ABCDEF.
• Ap: apotema de la pirámide (MN = Ap). • ap: apotema del polígono regular ABCDEF. • O: centro de la base.
• MO : altura de la pirámide, O es el pie de dicha altura.
•
: medida del diedro formado por una cara lateral con la base.•
: medida del ángulo formado por una arista lateral con la base.MON: aplicando el teorema de Pitágoras.
2 2 2
(AP) (ap) H
H: longitud de la altura de la pirámide. 1. Área de la superficie lateral
SL
A p(Ap) p: semiperímetro de la base 2. Área de la superficie total
ST SL base
A A A Abase: área de la base 3. Volumen (V) base (A ).H V 3
I. DEFINICIÓN
El estudio sistemático de las pirámides y el conocimiento de la circunferencia y algunas otras líneas curvas, han conllevado a la obtención y subsiguiente estudio de otras figuras, entre las cuales destaca el cono, el cual es muy parecido a una pirámide, con la diferencia de que su base es una región curva en lugar de una poligonal.
Base
Altura Superficie lateral Vértice o cúspide
II. CONO DE REVOLUCIÓN O CONO
CIR-CULAR RECTO
A. ¿Qué es un cono de revolución?
Es aquel sólido geométrico generado por una región triangular rectangular al girar 360° en torno a uno de sus catetos.
g 360º
r
Eje de giro Base Superficie lateral Generatriz Vértice ó cúspide V h g O r
O: centro de la base del cono r: radio de la base
B. Área de la superficie lateral (A
SL)
SL
A = rg
g: longitud de la generatriz
C. Área de la superficie total (A
ST)
ST SL baseA =A +A Abase: área de la base
D. Volumen (V)
2 r V .h 3 h: longitud de la altura ObservaciónDesarrollo de la superficie de un cono de revolución.
g g g 2 r r r
La superficie lateral es equivalente con su respectivo desarrollo, este es un sector circular cuyo centro es el vértice del cono y tiene por radio a la generatriz. ASL < > Asector 2 r rg 360 r .360° g
I. DEFINICIÓN
Es el sólido que se genera cuando se hace girar 360° un semicírculo alrededor de su diámetro.
CONO
¿Qué es un cono equilátero?
Es aquel cono de revolución cuyas
generatrices tienen longitudes iguales
a la del diámetro de la base (g=2r).
En la figura se muestra un cono
equilátero y su respectivo desarrollo.
IDEAS FUERZA
r g 180º g rESFERA
II. FÓRMULAS
A. Área de la superficie esférica
2 SE A 4 R
B. Volumen
3 4 V R 3 Problema 1
En una pirámide cuadrangular regular, la arista lateral mide 8 cm y el radio de la circunferencia circunscrita a la base mide 4 cm. Calcula el área lateral de la pirámide. San Marcos 2001 Nivel Fácil A) 28 2 B) 30 4 C) 32 7 D) 26 2 E) 35 7 Resolución: g 8 h 2 2 2 2 2 h 64 8 56 h 2 14
Área lateral de la pirámide:
L 1 S 4 .(4 2)(2 14) 2 L S 32 7 Respuesta: E) 32 7 Problema 2
El área total de una pirámide regular pentagonal es 45 m2 y su área lateral es 25 m2. Calcula la medida del ángulo
diedro que forma una cara lateral con la base de la pirámide. San Marcos 2003 Nivel intermedio A) 15º B) 20º C) 36º D) 37º E) 45º Resolución: T 1 B S S S 2 B S 45 25 20m Pero: S1 20 S1 4 5 m2 2 25 2 S S 5 5 m2 Luego: S1S .Cos2 4 = 5.Cos Cos 4 5 37 Respuesta: D) 37º Problema 3
En la figura, el cilindro tiene 54 cm 2 de volumen y altura igual al diámetro de su base. Si la altura del cono es el
doble de la altura del cilindro, calcula el volumen del cono.
San Marcos 2004 Nivel intermedio A) 144 u3 B) 124 u3 C) 140 u3 D) 110 u3 E) 130 u3 Resolución: r 53/2 r 2 r 4 r Por dato: r (2r) 542 3 r 27 r 3 Radio del cono: R = 2r Volumen del cono:
2 1 V (2.3) (4.3) 3 V 144 u3 Respuesta: A) 144 u 3
NIVEL I
1. La base de la pirámide O – ABC es un triángulo equilátero de 3 dm de lado. Si la altura de la pirámide es de 6 dm. Calcular el volumen del sólido. A) 9 3 dm B) 27 / 2 3 dm3 C) 27 3 dm3 D) 18 3 dm3 E) 9 3/2 dm3
2. La arista básica de una pirámide cuadrangular regular mide 90 u y el apotema del sólido es de 6 dm. Calcular el área de la superficie lateral del sólido.
A) 100 u2 B) 60 u2
C) 180 u2 D) 160 u2
E) 120 u2
3. El área de la superficie lateral de un cono recto es de 60 dm 2 y la longitud de la base es de 2 12 dm . Calcular el volumen de dicho cono. A) 68 dm 3 B) 76 dm 3 C) 86 dm 3 D) 90 dm 3 E) 96 dm 3
4. De un sector circular con ángulo central de 60º se construye la parte lateral de un cono recto. Si el radio del cono mide "d". Hallar la altura.
A) d 37 B) d 35 C) d 47 D) d 33 E) N.A.
NIVEL II
5. El área lateral de un cono de revolución es el doble del área de su base. Calcular el valor del ángulo que forma la generatriz con la base.
A) 53º B) 45º
C) 60º D) 37º
E) 30º
7. ABCD es un trapecio rectángulo de la altura igual a 6 cm y cuyas bases miden 4 cm y 12 cm. Hallar el volumen del sólido generado.
A) 160 B) 130 C) 220 D) 340 E) 240
7. Hallar el volumen que genera una región triangular rectangular cuando gira alrededor de la hipotenusa si cuando gira alrededor de cada cateto genera sólidos cuyos volúmenes sea de 3 u3 y 4 u3.
A) 5 u3 B) 6 u3
C) 2,5 u3 D) 2,4 u3
E) 3,6 u3
8. En la figura, ABCD – EFGH es un cubo de volumen 216 m3. Hallar el
volumen de C – GOH.
A) 12 m3 B) 23 m3
C) 16 m3 D) 18 m3
E) 26 m3
9. Hallar el volumen de una pirámide P – ABCD cuya base ABCD es un rombo, si la pirámide P – BCD es un tetraedro regular de 3 m de arista. A) 2 3 m9 3 B) 9 2 m2 3 C) 2 3 m8 3 D) 9 3 m
4 3
E) 9 2 m
4 3
10.Si el volumen de una esfera es 243 cm .
16 3 Hallar el volumen del cubo circunscrito. A) 629 cm6 3 B) 719 cm6 3 C) 729 cm3 8 D) 729 cm5 3 E) 729 cm3 4
11.Hallar el área total de una cuña esférica de 30º, si el radio de la esfera mide 3 m.
A) 12 m 2 B) 10 m 2 C) 8 m 2 D) 13 m 2 E) 15 m 2
12.En una esfera de radio 8 cm. ¿A qué distancia de un círculo máximo debe trazarse un plano para que el área de la sección determinada sea 1/4 del área del círculo máximo? A) 3 2 cm B) 4 3 cm C) 5 3 cm D) 2 6 cm E) 6 cm
NIVEL III
13.Si una superficie esférica está inscrita en un cono equilátero, hallar la razón entre el volumen de la esfera y el volumen del cono equilátero.
A) 8/27 B) 2/3
C) 2/5 D) 5/9
E) 4/9
14.Se tiene una pirámide de altura igual a 4 2.3 ¿A qué distancia de su vértice se debe trazar un plano paralelo a su base para que el sólido quede dividido en partes equi-valentes?
A) 2 B) 1
C) 4 D) 3
E) 2 2
15.Del gráfico, los volúmenes del cono de vértice F y del cono de revolución de vértice V están en la razón de 1 a 27; si EF 1 . FV 2 Calcule EBAE . A) 1/2 B) 2/3 C) 1/3 D) 1 E) 3/2
Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 1. Las caras laterales de una pirámide son regiones
triangulares. (V) (F)
2. Si una pirámide es regular sus caras laterales son regiones triangulares equilateras. (V) (F) 3. A qué se denomina: • Pirámide acuntángula _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ • Pirámide obtusángula _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ 4. ¿A qué se denomina pirámide deficiente?
_____________________________________________ _____________________________________________ 5. ¿Cuántas pirámides existen que sus aristas sean
congruentes entre sí? _____________________________________________ _____________________________________________ 6. A qué se denomina: • Apotema de pirámide _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ • Apotema del tronco de pirámide
_______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ 7. Todos los sólidos geométricos tienen sección axial.
(V) (F) 8. ¿A qué se llama plano tangente a una superficie
cilíndrica y cónica de revolución?
_____________________________________________ _____________________________________________ 9. Un tronco de cono de revolución es un sólido de
revolución. (V) (F)
10. ¿Qué secciones se determinan en un cono de revo-lución con los planos secantes a la superficie lateral del cono?
_____________________________________________ _____________________________________________
