1. Modelos Matemáticos y Experimentales Modelos Stepha Modelos Matemáticos y Experimentales

(1)

02 02 Modelos Stepha 1

1.

Modelos Matemáticos y Experimentales

1. Modelos Matemáticos y Experimentales __________________________ 1

1.1. Definición ________________________________________________________________________________________________________ 3 1.2. Variables de Estado y Ecuaciones de Estado __________________________________________________________________________ 6 1.3. Modelo Entrada-Salida ____________________________________________________________________________________________ 26 1.4. Grados de Libertad _______________________________________________________________________________________________ 27 1.5. Tipos de Procesos ________________________________________________________________________________________________ 29 1.6. Tipos de Modelos _________________________________________________________________________________________________ 30 1.7. Transformaciones _________________________________________________________________________________________________ 32 1.7.1. Transformada de Laplace _________________________________________________________________________________________________________ 34 1.8. Función de Transferencia __________________________________________________________________________________________ 35 1.9. Función transferencia y ecuaciones de estado ________________________________________________________________________ 36 1.10. Linealización ____________________________________________________________________________________________________ 42 1.11. Variables de Desviación __________________________________________________________________________________________ 45 1.12. Retardos de Trasporte ___________________________________________________________________________________________ 49 1.13. Escalado________________________________________________________________________________________________________ 53 1.14. Diagramas de bloques ____________________________________________________________________________________________ 54 1.14.1. Álgebra de bloques _____________________________________________________________________________________________________________ 56 1.15. Efecto temporal de Polos y Ceros _________________________________________________________________________________ 58

(2)

(3)

1.1. Definición

Un modelo es una descripción y reproducción de un proceso determinado para anali-zar su comportamiento.

(4)

(5)

02 02 Modelos Stepha 5 Es una tarea crítica en el diseño del control automático

¿Cómo hacerlo?

- Forma experimental – “caja negra” - perturbaciones - Forma teórica – balances

(6)

1.2. Variables de Estado y Ecuaciones de Estado

Se necesita una cantidad de variables para definir el estado de un proceso dado

Se necesita una cantidad de ecuaciones para describir la evolución dinámica del proceso

Masa Energía

(7)

Balance de Masa Total





i i j j i entradas j salidas d V F F dt      







Balance de Masa de un Componente

A

 

A



A



Ai i Aj j i entradas j salidas d n d c V c F c F dt dt rV      



Balance de Energía





i i i j j j s i entradas j salidas d U K P dE F h F h W dt dt _  _     







 Momento i i dv m dt 





(8)

Ejemplo 1. Tanque Agitado , i i F T , F T st F h Q T

Masa total de líquido en el tanque

V Ah

   donde,

: densidad del líquido (se supone independiente de la temperatura)

(9)

02 02 Modelos Stepha 9 ,

A h : área del recipiente y altura del líquido



int











E U  K cin  P pot

como el tanque no se mueve 0 dK dP dt  dt  , 0 dE dU dt  dt  para líquidos dU dH dt  dt

siendo H la entalpía total del líquido en el tanque y es,









p ref p ref

H  Vc T T  Ahc T T

donde

p

c : capacidad calórica del líquido en el tanque

ref

(10)

02 02 Modelos Stepha 10 Se definen las siguientes variables de estado: T

_

_

x  h T

parámetros constantes: , , , A c T_p _ref

Balance de masa:





i d Ah F F dt   

  F F : caudales de entrada y salida _i,

i

Ah  F  F

Balance de energía: .

Acum de energía energía de entrada energía de salida energía del vapor

tiempo  tiempo  tiempo  tiempo













p ref i p ref i p ref d Ahc T T dH F c T T F c T T Q dt dt     _         

(11)

02 02 Modelos Stepha 11 siendo Q la energía calórica por unidad de tiempo del vapor

suponiendo T_ref  0 i i p dhT Q A FT FT dt    c



i



i i p dhT dT dh dT Q A Ah AT Ah T F F FT FT dt  dt  dt  dt      c





i i p dT Q Ah F T T dt    c

(12)

02 02 Modelos Stepha 12 Las ecuaciones de estado son:





i i i p Ah F F Q AhT F T T c              variables de estado: T

_

_

x  h T

variables de salida (medidas): T

_

_

y  h T

variables de entrada (manipuladas): T

_

_

u  Q F

perturbaciones (no controladas): T

_

_

i i

d  T F

(13)

02 02 Modelos Stepha 13 Estado Estacionario No hay acumulación Derivadas nulas. Analizar: - equilibrio - una reducción de T_i - una reducción de F_i

Linealización en un punto de trabajo. Equilibrio





0 0 i i i p Ah F F Q AhT F T T c               

_

_

0 0 0 0 0 i i p F F F Q F T T c      

(14)

02 02 Modelos Stepha 14 desarrollo en serie entorno al punto de equilibrio



0





0





0





0







0 1 1 1 i i i i i F F dh dh h F F F F F F F F F F A A dF dF A A A    _  _               

































0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 ₀ 1 1 i i i i p p i i i i i i i i i p p F Q F Q T T T T T Ah c Ah Ah c Ah T T F F F F T T T T Ah Ah Ah F Q Q Q T T h h c Ah A c A h           _   _                    _   _   _ _    

(15)









0 0 ₀ ₀ ₀ ₀ 0 0 2 0 0 0 0 0 1 1 i _i _i _i i i i p p T T F F F Q T F T T Q T T h Ah Ah Ah c Ah A c A h          _   _  _ _     12 12 21 22 21 22 21 0 0 0 0 0 1 0 0 1 d i d d i b T b h Q h b b F a a T b F T h h T T                                                                

(16)

Ejemplo 2. Columna de Destilación Binaria

- mezcla líquida (saturada) de A y B - min f mol F _ _

 Flujo molar de entrada

- c_f fracción molar de A -

(17)

02 02 Modelos Stepha 17 Simplificaciones

- Vapor en plato, despreciable

- Pérdidas de la columna, despreciable Ecuaciones de Estado

- Para el Plato de entrada: i  f

Masa total: 1 1 1 f f f f f f f f f dM F L V L V dt F L L            Componente A





1 1 1 1 f f f f f f f f f f f f d M x F c L x V y L x V y dt         

(18)

02 02 Modelos Stepha 18 - Para el Plato Superior: i  N

Masa total: 1 N R N N N R N dM F V L V F L dt        Componente A





1 1 N N R D N N N N N N d M x F x V y L x V y dt      

- Para el Plato Inferior: i  1 Masa total: 1 2 1 1 2 1 dM L L V V L L dt       Componente A



1 1



2 2 b 1 1 1 1 d M x L x Vy L x V y dt    

(19)

02 02 Modelos Stepha 19 - Para el resto de los Platos: i  2N 1,i  f

Masa total: 1 1 1 i i i i i i i dM L L V V L L dt          Componente A





1 1 1 1 i i i i i i i i i i d M x L x V y L x V y dt        

- Para el Tambor (drum) de Reflujo Masa total: RD N R D dM V F F dt    Componente A









RD RD N N R D D d M x V y F F x dt   

(20)

02 02 Modelos Stepha 20 - Para la Base de la Columna

Masa total: 1 B B dM L V F dt    Componente A





1 1 B B B B B d M x L x Vy F x dt   

Estas son las ecuaciones de estado que describen la dinámica de la columna. Las variables de estado son:

Cantidades de líquido (holdups):  N  2 Concentraciones en líquido:  N  2

(21)

02 02 Modelos Stepha 21 Falta definir: Ecuaciones de equilibrio:





1, 2, , , , , 1 1 i i i x y i f N B x        

Relaciones hidráulicas (fórmula de Francis para represas):





1, 2, , , ,

i i

(22)

02 02 Modelos Stepha 22 Definición de variables y objetivos:

Perturbaciones: - F ,_f c _f

Objetivos:

- Mantener en valores deseados x , D x ,B MRD, M B

Las composiciones se especifican por consideraciones de calidad

(23)

02 02 Modelos Stepha 23 Cuidado con especificar más objetivos que el número de variables independientes

(grados de libertad). Objetivos posibles: - Mantener FD, xD,MRD y MB, o - Mantener FB, xB,MRD y MB, o Objetivo imposibles: - Mantener F , D x ,D F , B x ,B MRD y M simultáneamente B

(24)

(25)

02 02 Modelos Stepha 25 - Planta más compleja. Origen de las perturbaciones

(26)

1.3. Modelo Entrada-Salida

Los modelos vistos hasta ahora no tienen una forma directa entrada-salida Se puede pasar del modelo en Variables de Estado a uno Entrada-Salida

(27)

1.4. Grados de Libertad

Número de variables independientes que definen el proceso completamente En el Tanque agitado:

2 ecuaciones: T

_

_

x  h T

6 variables: T

_

_

y  h T , uT 



Q F



, dT 



T_i F_i



parámetros constantes: , , , A c T_p _ref

Más variables que ecuaciones Existe al menos una solución

Podemos fijar arbitrariamente 4 variables

Grados de Libertad = Cantidad de Variables – Cantidad de Ecuaciones

Si queremos fijar un comportamiento determinado, no debemos tener ningún grado de libertad.

(28)

02 02 Modelos Stepha 28 ¿Cómo logramos que GdL sea cero?

Introduciendo nuevas ecuaciones Perturbaciones T

_

_

i i

d  T F , no tenemos ecuaciones pero tienen un determinado valor

dado por el mundo exterior. Entradas T

_

_

u  Q F , las hacemos dependientes de las salidas yT 



h T



con un

la-zo de control

El número de lazos de control no pude ser superior a los grados de libertad que tiene el sistema.

(29)

1.5. Tipos de Procesos

Hay muchas formas de clasificar los procesos y sus modelos, de acuerdo a su función: válvulas, tanques, hornos

por industria: metalurgia, automotriz, alimentos por sus características físicas: térmicos, químicos

Los ingenieros de control los clasifican de acuerdo a sus características dinámicas: linealidad

estabilidad resonancia retardos

(30)

1.6. Tipos de Modelos

Atributo Atributo antagónico Determina si. . .

SISO MIMO . . . las ecuaciones del modelo tienen una entrada y una salida.

Lineal No lineal . . . las ecuaciones del modelo son linea-les en las variablinea-les del sistema.

Estacionario No Estacionario . . . los parámetros del modelo son cons-tantes.

Continuo Discreto . . . las ecuaciones describen su compor-tamiento en cada instante de tiempo, o sólo en muestras discretas.

Entrada-salida Espacio de estados . . . las ecuaciones dependen sólo de las entradas y las salidas, o también de

(31)

va-02 va-02 Modelos Stepha 31 riables de estado.

(32)

02 02 Modelos Stepha 32 1.7. Transformaciones   u t G

 

y t

Lo que se busca es encontrar una descripción del sistema de modo que exista una re-lación algebraica entre entrada y salida:

Y G U [1.1]

En el dominio tiempo, lo más cercano a esto es el producto de convolución

 

  



y t g t u t g  u t  d

 

  

_

 [1.2]

donde g t es la respuesta del sistema cuando es excitado por una delta de Dirac

_{ }

Es un poco complejo para resolver Se buscan transformaciones,

(33)

02 02 Modelos Stepha 33 En el dominio frecuencial y mediante la Transformada de Fourier se logra que

 

Y  G  U  [1.3]

en donde Y

_{ }

 y U

 

 son las transformadas de Fourier de la salida y la entrada y

 

G  e la respuesta en frecuencia de la planta.

(34)

02 02 Modelos Stepha 34 1.7.1. Transformada de Laplace





0 -st s X( s ) x(t) x(t) _e dt s = + j      

_

[1.4]

La propiedad fundamental es:

 



g t u t



G s

 

U s

 

Y s

 

(35)

1.8. Función de Transferencia

Relación entre entrada y salida en transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas.

Generalmente incluye la dinámica de los actuadores y sensores. Sistemas lineales, estacionarios, en tiempo continuo

( ( 1 ( ( 1 0 1 1 0 1 1 n n m m n n m m a y a y  a _ y a y  b u b u  b _ u b u [1.7]

 

1 1 1 0 1 1 1 0 m m m m n n n n B s _{b s} _b _s _{b s} _b G s A s a s a s a s a                 [1.9] con m n se puede factorizar

 



 





 



1 1 m n K s z s z G s s p s p        [1.10]

(36)

1.9. Función transferencia y ecuaciones de estado

Un sistema podría describirse en forma de ecuaciones de estado

 

x t Ax t Bu t y t Cx t Du t      [1.11]

... si aplicamos Transformada de Laplace obtenemos las ecuaciones algebraicas

 

0 sX s x AX s BU s Y s CX s DU s      [1.12]

  



1

  

0



1

 

X s  sI  A  x  sI  A  BU s [1.13]

 





1

 





1

 

0 Y s  C sI  A  B  D U s C sI  A  x   [1.14]

la función de transferencia será

 





1

G s  C sI  A  B  D [1.15]

(37)

(38)

02 02 Modelos Stepha 38 Terminología i z ceros de G s

 

i

p

polos de G s

_{ }

 

0 0

0 b

K

G

a



ganancia estática de G s

_{ }

n



m

grado relativo de G s

_{ }

Cuando

n



m

,

b

_mes la ganancia de alta frecuencia de G s

_{ }

Cuando

n



m

, G s es estrictamente propia

_{ }

(39)

02 02 Modelos Stepha 39 Los polos complejos de la Función de Transferencia aparecen con su conjugado

 







2 10 10 6 10 3 3 G s s s s j s j         [1.16]

La función de transferencia se puede expresar como suma de fracciones simples:

 

₂ 15 7,5 7,5 8 15 3 5 G s s s s s        [1.17]

Esto facilita la antitransformación

(40)

02 02 Modelos Stepha 40 Diferentes sistemas físicos pueden tener igual Función de Transferencia

(41)

(42)

1.10. Linealización

Todo sistema es no lineal Consideración:

Desviación pequeña del punto de trabajo Desarrollo en serie de Taylor

 









2 2 2 1 2! x x _{x x} y f x df d f f x x x x x dx _ dx _         [1.18] en forma aproximada,





y  y  K x  x [1.19] x x df K dx _  [1.20] y K x    [1.21]

(43)

02 02 Modelos Stepha 43 es lineal en y y x

(44)

02 02 Modelos Stepha 44 Ejemplo Tanque

Balance de masa total:

 

e s dh t A F t F t dt   Si F t_s

_{ }

h t

_{ }

el modelo es lineal Si F t_s

_{ }

  h t

_{ }

el modelo es no lineal

 



 



_

 

_

 





0 0 0 0 0 0 h h d h t h h t h t h dh h h t h h           _ _           La aproximación lineal es

 

0



 

0



 

0 0 0 2 e e dh t A F t h h t h F t h t h dt h h           

(45)

1.11. Variables de Desviación

Desviación sobre el estado estacionario En este caso

 

0 dx f x dt  

 

_

 

_

x x dx t df f x x t x dt   dx _ 

 



 



x x dx t _df f x x t x dt   dx _ 

 









x x d x t x _df x x dt dx _   

 

x x dx t _df x t dt dx _   

 

x t variable de desviación

(46)

02 02 Modelos Stepha 46 Si no hay estado estacionario esto no se puede lograr

(47)

02 02 Modelos Stepha 47 Ejemplo Tanque

Balance de masa total:

 

e s dh t A F t F t dt   La aproximación lineal es

 

0



 

0



 

0 0 0 2 e e dh t A F t h h t h F t h t h dt h h            En h₀, dh t0

 

0 dt 

 





 







 



0 0 0 0 2 e d h t h A F t h h t h dt h        Variables de desviación:

(48)

 

_ 0 0 s e e F h t h t h F t F t  h     _ _

(49)

02 02 Modelos Stepha 49 1.12. Retardos de Trasporte Transformada de un Impulso

 





 

0 1 -st s L  t 

_

 t _e dt  [1.22]

Impulso Desplazado en un tiempo T









-sT s

L  t T _e [1.23]

(50)

02 02 Modelos Stepha 50 Aproximación: 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 1 1 1 2 2! 2 3! 2 1 1 1 2 2! 2 3! 2 T - s -sT T s T T T s s s e e T T T e _s _s _s       _ _  _ _              _ _  _ _        [1.24]

Limitando términos se obtienen distintas aproximaciones Primer orden 2 1 2 2 1 2 -sT T s s T e T s s T       [1.25]

(51)

02 02 Modelos Stepha 51 Segundo orden: 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2! 2 2 2 1 1 2 2! 2 -sT T T s s s j T T e T T _s _j s s T T       _ _ _   _           _ _   _ _       [1.26] 2 T  2 T 2 2 j T  T 2 2 j T  T 2 2 j T T   2 2 j T T  

(52)

02 02 Modelos Stepha 52 Aproximación menos precisa:

1 sT e  Ts [1.27] 1 1 1 sT sT e e Ts     [1.28]

(53)

1.13. Escalado

Un factor importante antes de trabajar con un modelo es hacer una buena selección de los factores de escala (unidades) para las variables y el tiempo.

Un buen escalamiento hará los cálculos más simples y más precisos y disminuirá enormemente los problemas de simulación en computador.

(54)

1.14. Diagramas de bloques

Capturan la esencia del sistema en un formalismo gráfico abstracto de simple mani-pulación. Representan el flujo y procesamiento de las señales dentro del sistema.

(55)

02 02 Modelos Stepha 55 de sistemas (independizan del dominio físico).

Bomba Sistema físico señal de velocidad Caudal de salida Bomba Diagrama de Bloques u Función de transferencia G y Caudal de Salida Señal de Velocidad

(56)

(57)

(58)

1.15. Efecto temporal de Polos y Ceros

"Hoy es fácil y muy didáctico calcular polos, ceros, respuesta al escalón y división en fracciones simples" g=tf(1,poly([-1]));[y,t]=step(g);plot(t,y);grid;axis([0 6 0 1.5]) pzmap(g);sgrid;axis([-2 1 -1 1]) 0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5 Re al Axis Im a g A x is

Pole -ze ro map

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(59)

02 02 Modelos Stepha 59 g=tf(.5,poly([-.5])) 0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5 Re al Axis Im a g A x is

Pole -ze ro map

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 g=tf(.5,poly([.5])) 0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5 Real Ax is Ima g A x is Pole-zero map -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(60)

02 02 Modelos Stepha 60 g=tf(1,poly([0])) 0 500 1000 1500 0 500 1000 1500 Pole-Zero Map Real Axis Im agi na ry A x is -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.24 0.46 0.64 0.78 0.87 0.93 0.97 0.992 0.24 0.46 0.64 0.78 0.87 0.93 0.97 0.992 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

Para una función de transferencia de Primer Orden,

 

₁ 1 K Y s _K G s U s s _s        _

La respuesta temporal a un escalón es,

 

1 1





1 1 t K y t L K e s s        _ _     

(61)

02 02 Modelos Stepha 61 g=tf(5,poly([-.4+2.2i -.4-2.2i])) (85 grados)

0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Real Ax is Im a g A x is Pole-zero map -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

g=tf(5,poly([-.87+2.06i -.87-2.06i])) (75 grados)

0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Re al Axis Im a g A x is

Pole -ze ro map

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

(62)

02 02 Modelos Stepha 62 g=tf(5,poly([-1.9-1.17i -1.9+1.17i])) 0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Re al Axis Im a g A x is

Pole -ze ro map

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 g=tf(20,poly([-.8-4.4i -.8+4.4i])) 0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Re al Axis Im a g A x is

Pole -ze ro map

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(63)

02 02 Modelos Stepha 63 Para una función de transferencia de Segundo Orden,

 

_

_

_

2 2 2 2 ₂ ₂ 2 ₁ ₁ n n n n _n _n _n _n Y s K K G s U s s s _s _j _s _j     _ _ _ _ _ _      _ _ _ _ _ _

La respuesta temporal a un escalón es,

 





















2 1 1 2 2 2 2 ₂ ₂ ₂ ₂ 1 2 ₁ ₁ n n n n n _n _n _n _n K s K K K y t L L s s s s _s _s      _ _ _ _ _ _     _  _  _ _       _ _ _ _ _ _    _ _

 

2 2 2 1 1 1 1 nt n e y t K sen t arctg           _                _ _ _     

(64)

02 02 Modelos Stepha 64 Ceros g=tf(2/3*poly([-3]),poly([-1 -2])) 0 1 2 3 4 5 6 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Re al Ax is Im a g A x is

Pole -ze ro map

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(65)

02 02 Modelos Stepha 65 g=tf(2/1.5*poly([-1.5]),poly([-1 -2])) 0 1 2 3 4 5 6 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Re al Ax is Im a g A x is

Pole -ze ro map

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 g=tf(2/.5*poly([-.5]),poly([-1 -2])) 0 1 2 3 4 5 6 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Real Axis Im a g A x is Po le -z ero map -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(66)

02 02 Modelos Stepha 66 g=tf(-2/.5*poly([.5]),poly([-1 -2])) 0 1 2 3 4 5 6 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Re al Ax is Im a g A x is

Pole -ze ro map

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 g=tf(-2/1.5*poly([1.5]),poly([-1 -2])) 0 1 2 3 4 5 6 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Re al Axis Im a g A x is Po le-ze ro map -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(67)

02 02 Modelos Stepha 67 g=tf(-2/2.9*poly([2.9]),poly([-1 -2])) 0 1 2 3 4 5 6 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Re al Axis Im a g A x is Po le-ze ro map -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Las plantas con ceros en el semiplano positivo se llaman plantas de fase no mínima o

(68)

(69)

(70)

1.16. Resumen

Para poder diseñar en forma sistemática un controlador para un sistema es necesario disponer de una descripción formal — aunque posiblemente simple — del mismo. Es-ta descripción es el modelo matemático del sistema.

Los modelos matemáticos pueden obtenerse en forma experimental o analítica, y en general, en la práctica, mediante una combinación de ambos métodos.

En general, los modelos matemáticos involucran un conjunto de ecuaciones diferen-ciales no lineales. En muchos casos, estas ecuaciones pueden linearizarse alrededor de un punto de operación, con lo que se obtiene un modelo incremental lineal mucho más tratable.

La elección de unidades adecuadas (escalado) de las variables y el tiempo permite mejorar los modelos desde el punto de vista computacional.

Las funciones transferencia describen las propiedades entrada-salida de los sistemas en forma algebraica en el dominio Laplace.