MIRAFLORES SCHOOL MIRAFLORES SCHOOL TR LCE TR LCE 1 1 I I
Cap ít ulo
Cap ít ulo
2
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TRI
TRI
Á NGUL
Á NGUL
OS
OS
Definición Definición:: F F B B Elementos Elementos 1. 1. Vértices Vértices : : A, A, B, CB, C 2.
2. Lados : Lados : AB, AB, BC BC y ACy AC
Interiores :
Interiores :
3. Ángulos
3. Ángulos <<)) A, A, <<))B, <B, <))CC
Exteriores : <
Exteriores : <)) EAB, <EAB, <)) FBC,<FBC,<)) BCHBCH
E
E A A C C HH
Notación
Notación:: ABC ABC,, TT ABC ABC, etc., etc.
Observaciones :
Observaciones :
*
* Se denomina región triangular a la reunión de los puntosSe denomina región triangular a la reunión de los puntos
interiores con el conjunto de puntos de sus lados.
interiores con el conjunto de puntos de sus lados.
Propiedades Básicas Propiedades Básicas 1. 1. 2.2. Bº Bº eºeº22 Aº Aº CºCº Aº + Bº + Cº Aº + Bº + Cº = 180º= 180º eº
eº eºeº33
eº
Geometría MIRAFLORES SCHOOL 3. 5. xº =º +º yº yº =º +º º zº =º +º xº zº º xº º 4. xº = º + º + º b c a b - c < a < b + c
Líneas Notables en el Triángulo
1. Mediana B BM :mediana A b M b C 2. Bisectriz B º º BI : bisectriz interior B L L : bisectriz exterior A I C A C
MIRAFLORES SCHOOL AF : altura 3. Altura B A BH : altura A C C H F B 4. Mediatriz B L L : mediatriz de AC A b b C * Ceviana B BF : ceviana interior B BE : es ceviana exterior A C A E F C Relaciones Angulares 1. Bº xº x 90 B 2 2. Bº x 90 B 2
Geometría MIRAFLORES SCHOOL 3. xº Bº x B 2 4. B xº A H I x 2 C BH : altura BI : bisectriz
B
Test de aprendizaje preliminar
01. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero, calcule
"xº". 04. En el gráfico, calcule (ºº). B º 120º 80º A xº C º 100º
02. En el gráfico, calcule "xº". 05. En el gráfico, calcule "xº", si : AB = BQ = QF = FC.
3x-10 A
Q
130º 4x
xº C
F
03. En el gráfico, calcule "xº". 06. En el gráfico, calcule "xº".
100º
xº
150º
xº
59º
07. En el gráfico, AB = DC, calcule "º". 10. Calcule la m) BDC.
B º 5º B 60º D 3º A º C A C D
08. En el gráfico mostrado, ¿cuál de los segmentos es el de menor longitud?
C
B 61º D
60º
Practiquemos :
11. Calcule el ángulo que forman las perpendiculares trazadas desde el vértice B de un triángulo ABC a las bisectrices interiores de los ángulos A y C, si :
m) B = 110°.
60º
61º 61º
A F 60º E
12. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo están en progresión aritmética cuya razón es 10. Calcule la medida de cada ángulo.
09. Calcule "xº".
xº
60º 13. En un triángulo ABC (mBC = 2 cm y AC = 5 cm. Calcule el valor o valores) B>90°), se sabe que :
14. En un triángulo acutángulo, dos de sus lados suman 30u. Calcule el mayor valor entero que puede tomar la altura relativa al tercer lado.
15. Los lados de un triángulo isósceles miden 5 u y 13 u. Calcule su perímetro.
19. En un triángulo ABC, la suma de las medidas de los ángulos B y C es 105°. Si la medida del ángulo A excede a la medida del ángulo B en 4°. Calcule la medida del ángulo C.
20. En el gráfico, NM = NC y CB es bisectriz del ángulo ACN. Calcule la m) BAC.
B 40º
16. En un triángulo ABC, m) A = 2(m) C), la bisectriz interior BD prolongada intersecta en "E" a la bisectriz exterior del ángulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE.
17. En un triángulo ABC, la medida del ángulo formado por la bisectriz interior del ángulo A, y la bisectriz exterior del ángulo C es siete veces la medida del ángulo B. Calcule la medida del ángulo B.
18. Los catetos de un triángulo rectángulo ABC, miden : AB = 16 u, BC = 30 u, se traza la altura BH y las bisectrices BP , y BQ de los ángulos ABH y HBC respectivamente. Calcule PQ.
A C
M
Problemas propuestos
21. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Calcule la medida de cada ángulo.
a) 60°, 80° y 100° b) 40°, 60° y 80°
c) 30°, 40° y 50° d) 45°, 60° y 75°
e) 36°, 48° y 60°
22. Calcule la medida del ángulo formado por la altura y la bisectriz que parten del vértice A de un triángulo ABC. Sabiendo que : m) A + 2(m) C) = 100°.
a) 20° b) 30° c) 40°
d) 50° e) 60°
23. Los catetos de un triángulo rectángulo ABC miden AB = 8 u; BC = 15 u. Se traza la altura BH y las bisectrices BP y BQ de los ángulos ABH y HBC respectivamente. Calcule PQ.
a) 2 u b) 4 u c) 5 u
24. En el gráfico, calcule "xº", si : AD y BC son bisectrices de los ángulos A y C respectivamente.
B D 30. Calcule "xº". 130º xº 20º A xº 60º C a) 130° b) 100° c) 120° d) 70° e) 110°
25. Calcule la medida de los ángulos de un triángulo ABC,
a) 15° b) 20° c) 25°
d) 30° e) 50°
31. En el gráfico, calcule "xº". si: 3(m) B) = 2(m) A) y 3(m) C) = 7(m) A).
a) 20°, 30°, 130° b) 45°, 30°, 105°
c) 48°, 32°, 100° d) 51°, 34°, 195°
e) 60°, 40°, 80°
26. Dado el triángulo ABC; si por el vértice C se traza CH perpendicular a AB y también la bisectriz exterior del ángulo C y la diferencia de las medidas de los ángulos A y B es 26°. Calcule la medida del ángulo que forma la
bisectriz y la perpendicular.
a) 110° b) 123° c) 103°
d) 77° e) 96°
27. En el triángulo ABC, AD es la altura correspondiente al lado BC y BE es la bisectriz del ángulo B, las cuales se cortan en F. Si : m) A = 64° y m) C = 42°.
Calcule la medida del ángulo AFB.
a) 127° b) 150° c) 170° d) 132° e) 130° 28. Calcule "x°". B 80º xº xº a) 12° b) 18° c) 24° d) 36° e) 60°
32. En un triángulo ABC, m) A = 2m) C, AB = 4 u.
Calcule el máximo y mínimo valor entero que puede tomar el lado BC .
a) 8 u y 7 u b) 5 u y 4 u c) 5 u y 2 u
d) 7u y 6 u e) 5 u y 3 u
33. Si dos lados de un triángulo son 15 u y 18 u, el tercer lado puede ser :
a) 1 u b) 2 u c) 12 u
d) 35 u e) 3 u
34. El ángulo CAD es igual a tres veces el ángulo CAB y el ángulo BCA es mayor al ángulo CBA. El mayor lado del triángulo ABC es :
C xº A C D a) 140° b) 130° c) 120° d) 110° e) 125°
29. Sobre el lado BC de un triángulo ABC, se ubica el punto "D", tal que la medida del ángulo ADC es igual a la semisuma de los ángulos interiores de A y B. Calcule BD, si además :
AC = 12 u y BC = 16 u.
a) 14 u b) 10 u c) 8 u
a) 5 b) 6 c) 4
c) 7 e) 8
º
35. Calcule "º". 39. En el gráfico, calcule la suma de las medidas de los
ángulos señalados. 60º 50º a) 110° b) 110° c) 90° d) 55° e) 60° 36. Calcule : ººº. 70º º a) 405° b) 180° c) 390° d) 450° e) 360°
40. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BT, si : AB = AT, BC = AC. Calcule el máximo valor entero de
la m) CBT.
a) 36° b) 35° c) 30°
d) 45° e) 44°
41. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero. Calcule "xº". º B º xº a) 70° b) 100° c) 110° d) 140° e) 130°
37. En el triángulo ABC, m) A = 80°, m) B = 60°. Si :
AN y BM son alturas, calcule : "xº".
70º A C a) 10° b) 45° c) 36° d) 72° e) 30° 42. En el gráfico, AB = BC, B mide 35°. Calcule"º". BCDE y el ángulo BEC D C N xº A C M A E B a) 40° b) 140° b) 120° d) 50° e) 60°
38. Calcule el número de triángulos escalenos que tienen todos los lados enteros y de perímetro 22 cm.
a) 32° 30' b) 30° 30' c) 27° 30'
d) 20° 15' e) 20° 5'
43. Sea el triángulo ABC en el cual se cumple que : m) ABC = 64°, m) ACB = 72° y BM y CP bisectrices
de los ángulo ABC y ACB respectivamente; dichas bisectrices se intersectan en el punto I (incentro). Además, se traza la altura BH . Calcule la medida de
44. En el gráfico, BH es altura del triángulo ABC y BD es bisectriz del ángulo ABC. Calcule "xº".
B 48. En el gráfico, calcule "xº". xº xº º 3º 3 A C º 3º xº H D a) 2 b) c) / 2 d) 2 / 3 e) / 3 a) 60° b) 45° c) 36° d) 72° e) 30°
45. En el gráfico, calcule el máximo valor entero de .
Si : x° + y° + z° > 300°. 49. En el gráfico, calcule "xº".
Si : ab50. 3º 2ºº xº yº zº 6º xº a b a) 22° b) 23° c) 24° d) 25° e) 26°
46. En el gráfico, las medidas de los ángulos interiores del triángulo ABC están dadas en grados sexagesimales. Ca l cul e el men o r v a l o r ent ero (en gra d o s sexagesimales) que puede tomar "bº".
B a) 62° b) 66° c) 63° d) 64° e) 65° 50. En el gráfico : x+y+z = 240° y a+b+c = 170°. Calcule : ººº. 2bº-aº x º aº+bº A aº-bº C c z º a b y º a) 45° b) 46° c) 40° d) 35° e) 36° 47. Calcule "xº". 4xº xº a) 60° b) 80° c) 100° d) 140° e) 50°
51. La bisectriz de uno de los ángulos de un triángulo escaleno, forma con el lado opuesto dos ángulos que son entre sí como 7 es a 13. Calcule el menor de los ángulos del triángulo asumiendo que la medida que la medida en grados de cada uno de los tres ángulos es un número entero menor que 80º.
a) 24º b) 25º c) 26º
52. Calcule "xº", si ; AM = NC. 56. En el gráfico, calcule "xº", AB = BC, EF = FD. B F M xº 20º A N 60º 80º C A xº C 58º E D a) 40° b) 60° c) 80° d) 90° e) 70° 53. En el gráfico, calcule "x° ". 60º 94º B a) 20° b) 15° c) 30° d) 18° e) 25° 57. En el gráfico : PA = 2 u y BR - RC = 3 u. Calcule PQ. 2 2 xº B R 2 A 3 Q C a) 45° b) 60° c) 30° d) 90° e) 75° 54. En el gráfico, calcule "xº". P a) 6 u b) 5 u c) 4 u d) 3 u e) 7 u
58. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BM , si :
º m) ACB = º,m) CAB ºº y la medida del
º º º 40º º º xº º º
ángulo exterior del ángulo A es "", donde :
AB = 8u, MC =3u. Calcule BC.
a) 10 u b) 11 u c) 12 u
d) 13 u e) 14 u
59. En un triángulo ABC se traza la ceviana BP , si :
AB = PC.
m) BAC = 10º, m) BCA = 2º.
a) 115° b) 125° c) 135°
d) 14° e) 140°
55. Dado un triángulo ABC equilátero, se ubica el punto D exterior al triángulo, tal que el segmento BD intersecta al lado AC .
Si m) ADC > 90°, AD = 8u y CD = 15u. Calcule el
m) CBP = º. Calcule "º".
a) 5º b) 8º c) 9º
d) 10º e) 12º
60. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BT , si : BC = AT y m) BAC = 60º - 2xº ;
