CAJAMARCA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE GEOLOGÍA (DAGEO)
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA GEOLÓGICA (EAPIG) MODULO PARA ENSEÑANZA APRENDIZAJE
“APLICACIONES GEOLÓGICAS DE LAS PROYECCIONES
ESTEREOGRÁFICAS”
POR:
REINALDO RODRÍGUEZ CRUZADO ALEJANDRO CLAUDIO LAGOS MANRIQUE
Docentes de la EAPIG de la UNC
PRESENTACIÓN
El presente MODULO PARA ENSEÑANZA APRENDIZAJE, titulado “Aplicaciones
geológicas de las proyecciones estereográficas” se ha realizado con la finalidad
de introducir a los estudiantes e interesados en el conocimiento de las técnicas básicas de proyección estereográfica e indispensables para cualquier amante de las ciencias de la tierra que vaya a desarrollar trabajos relacionados con orientaciones de planos y líneas en el espacio, Cartografía (relaciones angulares entre estratos, discordancias, etc.), Geotecnia (cálculo del factor de seguridad de un talud), cristalografía, etc.
La primera parte de este módulo contiene los conceptos generales de las proyecciones estereográficas, su historia y su evolución. En su parte final se han considerado las diversas aplicaciones y una serie de problemas resueltos.
Esperamos que este manual de enseñanza sirva de apoyo en la solución de una serie de problemas de este tipo.
ÍNDICE GENERAL
PRESENTACIÓN... ÍNDICE GENERAL... INTRODUCCIÓN... 1. CONCEPTOS GENERALES... 1.1.Los círculos mayores... 1.2.Los círculos menores... 2. APLICACIONES DE LAS ESTEREOFALSILLAS... 2.1. Dirección y buzamiento real del plano... Dirección del plano:... Buzamiento real del plano... 2.2. Buzamiento y dirección de buzamiento (dip direction)... Dirección de buzamiento... Buzamiento aparente... 2.3. Forma de hallar el círculo máximo:... Polo de un plano... 2.4.Aplicaciones... Intersección de dos planos... Programas computacionales:...
3. PROYECCIÓN CICLOGRÁFICA DE UN PLANO (PROYECCIÓN β)...
4. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA DE UNA LÍNEA... 5. MÉTODO PARA PROYECTAR EL POLO DE UN PLANO... 6. MEDIDAS DE ÁNGULOS ENTRE LÍNEAS Y PLANOS... 6.1.Medida del ángulo diedro entre dos planos ... 6.2. Medida usando círculos mayores (proyección ciclográfica)... 6.3. Medida usando polos de planos (proyección polar)... 6.4. Cálculo del plano bisector del ángulo entre dos planos... 6.5. Cálculo utilizando círculos mayores (proyección ciclográfica)...
6.6. Cálculo utilizando los polos (proyección polar)... 7. APLICACIONES EN CRISTALOGRAFÍA... 7.1.Proyección esférica... 7.2. Proyecciones de los cristales... 7.3. Utilización de las falsillas estereográficas en cristalografía... 7.4.Ventajas de la falsilla estereográfica ... 8. APLICACIONES EN GEOLOGÍA ESTRUCTURAL... 9. APLICACIONES EN MINERÍA SUBTERRÁNEA... 10. APLICACIONES EN MINERÍA A TAJO ABIERTO... 10.1. Falla en cuña:... 11. APLICACIONES EN CÁLCULO DE TENSIONES... 12. APLICACIONES EN PETROLOGÍA ESTRUCTURAL... 12.1. Técnicas de laboratorio... 12.2. Ejes de referencia... 12.3. Simetría de la fábrica... 12.4. Simetría de movimiento... 12.5. Correlación entre simetría de fábrica y simetría de movimiento...
INTRODUCCIÓN
En la antigüedad ya se pensaba en la proyección estereográfica. Se usaba en Grecia, en el siglo II a.C. se logró gran popularidad entre los cristalógrafos que la desarrollaron notablemente para el estudio de la morfología de los cristales y la óptica. También fue utilizado por los geólogos en el siglo XIX, como una manera sencilla, para representar datos tridimensionales en bidimensionales.
En la antigüedad, los astrónomos definieron las posiciones relativas de las estrellas proyectándolas como puntos blancos en la superficie de una esfera de color negro. Esta representación fue denominada “esfera celestial”, en la que las distancias relativas de la tierra a las estrellas eran representadas en esta.
La proyección estereográfica es una técnica que se utiliza para la solución de problemas geométricos. Este método utiliza las líneas y planos sin tener en cuenta sus relaciones espaciales, de esta manera se representan los valores angulares. La solución de problemas por métodos de geometría descriptiva exige la construcción de vistas auxiliares; lo que significa más tiempo. Este método determina estas relaciones angulares en forma directa.
Se utilizan para representar un objeto de tres dimensiones a una superficie de dos dimensiones. En realidad no es la representación en dos dimensiones sino en tres, debido a que la semiesfera es girada dando la impresión de ser de dos dimensiones. Un mapa geológico es la proyección de la tierra redonda a un plano. La proyección estereográfica es una representación en un plano de la mitad de la proyección esférica, generalmente la semiesfera inferior. El plano de la proyección es el plano ecuatorial de la esfera y el círculo primitivo (que limita a la proyección) es el mismo ecuador. Figura 01.
El crear una imagen proyectada en la mente puede parecer difícil al comienzo, pero con una cierta práctica, el alumno puede llegar a ser casi un experto. Se
recomienda hacer dibujos en tres dimensiones para plasmar la imagen pensada y pasar a continuación la misma imagen a dos dimensiones. De esta forma se relaciona la estructura en tres dimensiones con la que vamos a ver proyectada, ya sea mediante proyección ortográfica o estereográfica.
1 CONCEPTOS GENERALES
Imaginemos un observador situado en el centro de una esfera transparente. Cualquier dirección supuesta, estará representada por un punto determinado, situado en la superficie de la esfera. Por ejemplo, la dirección “oeste” estará indicada por un punto en el ecuador de la esfera, situado a la izquierda del observador.
Una superficie esférica en la cual las posiciones de los elementos característicos están indicadas, se denomina proyección esférica, siempre teniendo en cuenta que se representan orientaciones, no distancias entre los elementos proyectados. Las proyecciones esféricas se utilizan para representar orientaciones de líneas y/o planos, siempre que la línea o el plano pase a través del centro de la esfera. En ese caso, una línea intercepta a la superficie de la esfera en dos puntos diametralmente opuestos, mientras que la intersección de un plano con la esfera será un círculo mayor. Figura 02. La intersección de la línea o el plano con la esfera es su proyección esférica.
0 P roy c ircul omá xi mo ección c írcul omáimox P B B" 0 d el Pr oy c ircu lo m á xi mo
b
Figura 02a y b. Proyección de una línea y un plano en el hemisferio inferior de la esfera.
Una proyección de este tipo, representa el elemento proyectado en tres dimensiones. Una esfera puede ser proyectada en un plano bidimensional. Las proyecciones planares más comunes de una esfera se denominan proyecciones azimutales, que se construyen haciendo pasar las líneas de proyección desde un punto común hasta la esfera, intersectando el plano de proyección. Este puede ser tangente a la superficie de la esfera, estar a una determinada distancia de ella o pasar a través del centro de la esfera. Un cambio en la posición del plano de proyección, da lugar a un cambio de escala en la proyección. El plano de proyección puede tener cualquier orientación, y esto determina que la proyección sea ecuatorial, polar u oblicua, Figura 03.
Figura 03. Proyecciones polar y oblicua, como ejemplos de posibles orientaciones del plano de proyección.
La proyección estereográfica es un caso especial de proyección azimutal, que en su principio fue desarrollada por los cristalógrafos. Su característica principal es que el punto de referencia usado en su construcción está situado en la superficie de la esfera. En geología, el plano de proyección usado para construir la proyección estereográfica pasa por el centro de la esfera, y se corresponde con su plano ecuatorial. Figura 04.
a b
c
Figura 04.aPlano en tres dimensiones, orientado tomando en cuenta el rumbo y buzamiento. b. Proyección esférica del plano, en el hemisferio sur. C. proyección estereográfica del plano.
Imaginemos un punto marcado en el hemisferio inferior de una esfera de cristal, que representa la proyección esférica de un punto en el espacio. La proyección estereográfica de este punto se construye dibujando una línea de proyección que conecte el punto situado en el hemisferio inferior, con el zenit de la esfera colocado en la parte superior de la misma. La intersección de la línea de proyección con el plano ecuatorial (plano de proyección) de la esfera, es la proyección estereográfica de ese punto. En Geología Estructural siempre
proyectamos desde el hemisferio inferior de la esfera y el elemento representado (línea o plano) pasa por el centro de la esfera de referencia.
Cada punto de un círculo mayor en el hemisferio inferior, unido con el zenit, da a su vez un punto en el círculo ecuatorial de proyección. La unión de todos estos puntos muestra la proyección estereográfica del plano que pasa por el centro de la esfera y que corresponde a un círculo mayor. Se ha reducido una forma de tres dimensiones a una de dos.
La intersección del plano ecuatorial con la esfera, se denomina “primitiva”. Tiene el mismo radio que la esfera de proyección original y todos los puntos en la superficie del hemisferio inferior quedan proyectados como puntos en o dentro de la primitiva.
La proyección estereográfica de líneas y planos se efectúa con ayuda de una falsilla de proyección. Esta falsilla está formada por un conjunto de proyecciones de círculos mayores y menores que ocupa el plano ecuatorial de proyección de la esfera de referencia. Estos conjuntos de círculos están espaciados con intervalos de 2º, apareciendo marcados con un trazo más grueso los que corresponden a valores múltiplos de 10. Figura 05.
Figura 05 Falsilla de proyección estereográfica
Los círculos mayores
Representan planos con direcciones Norte-Sur, cuyos buzamientos varían desde 0º a 90º en ambos sentidos. Estos planos se cortan según una línea horizontal representada por el norte o el sur de la falsilla.
Los círculos menores
Sirven para medir las orientaciones de los planos y líneas en la proyección. También se utilizan para hacer rotaciones de distintos elementos estructurales alrededor de ejes horizontales, verticales o inclinados. Representan la proyección sobre el plano ecuatorial de un conjunto de planos que no pasan por el centro de la esfera, espaciados de 2º en 2º.
Cada círculo menor corresponde al corte de una superficie cónica con la esfera, cuyo ápice está situado en el centro de la esfera y su altura coincide con el radio de la falsilla.
Existen dos tipos distintos de estereonet: la falsilla de Wulff y la de Schmidt. La primera conserva ángulos, mientras que la segunda conserva áreas y por tanto, se utiliza para realizar contajes estadísticos de elementos (planos de falla, ejes de cuarzo, lineaciones, etc.). La forma de proyectar planos y líneas en cualquiera de estas falsillas, es exactamente la misma.
1. APLICACIONES DE LAS ESTEREO FALSILLAS
Dirección y buzamiento real del plano
Al utilizar la estereofalsilla es necesario visualizarla como si se mirara un hueco semiesférico y los círculos máximos están en la superficie interna de esta.
Dirección del plano:
Una línea horizontal inscrita en el plano recibe el nombre de línea de dirección (rumbo en geología)y corresponde a la intersección entre el plano y un plano horizontal imaginario.
El ángulo de dirección (rumbo) del plano corresponde al ángulo formado entre esta línea horizontal y el norte geográfico. En el afloramiento se mide con la brújula.
El mejor método es el de “la mano derecha”, que considera los ángulos de 000º hasta 360º contados siempre hacia la derecha (sentido de las agujas del reloj). Ejemplo: N54º
Buzamiento real del plano
Se define como el ángulo que forma este plano con la horizontal, medido según la línea de máxima pendiente del plano, por tanto, medido en el plano vertical que es perpendicular a la línea de dirección del plano. Se representa con la letra β. Figura 06.
Figura 06 Representación de un plano en tres dimensiones con buzamiento real y aparente.
2.2. Buzamiento y dirección de buzamiento (dip direction)
Dirección de buzamiento
Es el ángulo que forma la proyección en la horizontal de la línea de máxima pendiente del plano con el norte geográfico. Por lo tanto, su valor angular está situado a 90º del valor angular correspondiente al rumbo del plano. A partir de esta definición se deduce que cualquier plano se puede orientar en el espacio mediante su sentido de buzamiento y su ángulo de buzamiento. En este caso, no es necesario añadir al valor del ángulo de buzamiento su sentido, ya que este es conocido.
Para ilustrarlo mejor sería con el ejemplo: rumbo N040º el “dip direction” será N130º. Se ha sumado 40º+90º=130º
Buzamiento aparente
Es el ángulo que forma el plano con la horizontal medido en un plano vertical, según una dirección cualquiera que no sea perpendicular a la línea de dirección del plano. Su valor angular siempre es menor que el correspondiente al buzamiento real
El valor del ángulo de buzamiento, sea este real o aparente, está comprendido entre 0º (horizontal) y 90º (vertical). El máximo valor del buzamiento aparente estará situado sobre la dirección que coincida con el sentido de buzamiento real, mientras que el valor mínimo del buzamiento aparente será cuando se mida este sobre una dirección que coincide con la dirección del plano.
El círculo máximo es una forma de proyectar un plano geológico (plano de falla, plano de fractura, plano de estrato etc.).
Ventaja: Es útil para interpretar algunos datos y sirve de base de algunos interpretaciones avanzadas.
El ingreso de los puntos (polos) que son las líneas normales a los planos. Estos puntos forman nubes, buscándose entonces el "promedio gráfico" de dicha acumulación de puntos y solamente este valor se representa como circulo máximo.
2.3. Forma de hallar el círculo máximo:
Un plano geológico (plano de falla, fractura, estrato) y la línea normal de este plano tienen una diferencia de 90º a todos lados los lados. Significa que el punto o polo que sale en la proyección (como resultado de la línea normal) tiene una distancia de 90º al círculo máximo del mismo plano.
Polo de un plano
Cuando en un estereograma aparecen gran cantidad de círculos mayores correspondientes a proyecciones β de planos, es difícil hacer una lectura y posterior interpretación, ya que las trazas de los diferentes planos se cruzan entre si y son difíciles de separar e identificar.
Afortunadamente, es posible representar la orientación de un plano mediante la normal a ese plano (figura 07, 08, 09). La normal es la línea perpendicular al plano y por tanto se proyecta como un punto que recibe el nombre de polo del plano y por definición, se sitúa a 90º del centro del círculo mayor que representa al plano.
Figura 08. a) Proyección en el hemisferio inferior de la esfera, de un plano y su polar. b) Estereograma del plano anterior y de su polo.
Figura 09 Representación del polo de un plano
En la proyección esférica de la figura 8a, se observa la relación entre la proyección ciclográfica del plano (representada por un círculo mayor) y su normal (representada por un punto). Este corresponde al punto de corte del hemisferio inferior de la esfera con la línea de esa orientación que pasa por su centro, y que es perpendicular al plano. El estereograma de la figura 8b, muestra la relación ortogonal del plano y su polo.
La distancia del polo al centro de la primitiva es rtan(β/2) siendo β el buzamiento del plano y r el radio del estereograma. Cada plano tiene una única normal que se proyecta como un único punto en la proyección, por tanto podemos representar la
orientación de cualquier plano mediante su polo. Los diagramas que representan polos de planos se conocen como diagramas π o diagramas de polos.
La relación de perpendicularidad entre normal y plano ha de ser recordada siempre. Esto significa que si el plano tiene un buzamiento de 20º, su línea perpendicular (la normal al plano) tendrá una inmersión de 90- 20 = 70º. La normal de un plano vertical será una línea horizontal que se proyectará sobre la circunferencia primitiva.
La normal de una superficie horizontal será una línea vertical, por tanto el polo se proyectará en el centro de la falsilla. Las relaciones ortogonales plano/normal significan que la dirección de la normal está a 90º de la dirección del plano, en el sentido opuesto al buzamiento del plano.
PROBLEMA
Trazar el polo de la falla N40ºE, 70ºSE Procedimiento:
1 Se coloca la transparencia encima de la falsilla. Anotar el Norte tanto en la falsilla como en la transparencia y en la misma posición.
2 Se cuenta 40º hacia la derecha (que es la posición del E respecto al norte).
3 Se traza una recta, desde los 40º y que pase exactamente por el centro del círculo. (esta recta será el rumbo de la falla).
4 Se gira la transparencia hasta que la línea construida coincida con la línea N- S.
5 Se cuenta los 70º a partir de la derecha (que es la posición del E).
6 Existirá un círculo máximo que contenga a este punto calculado. Se calca dicho círculo.(será el buzamiento del plano)
7 Se cuenta, tomando como referencia la línea E-W, los 90º partir del buzamiento para hallar el polo.
8 Ahora se gira la transparencia a su posición inicial (cuando los nortes tanta de la falsilla como de la transparencia estén en la misma posición).
Un círculo máximo recto corresponde a un plano vertical, la orientación en la proyección corresponde a la orientación en la naturaleza.
Un círculo máximo curvado corresponde a un plano con una cierta inclinación. La curva siempre marca hacia la dirección de inclinación.
La distancia entre el centro y la máxima curvatura corresponde al manteo y de esta curva al extremo del círculo la distancia angular (buzamiento).Los planos con bajo ángulo de buzamiento tienen una curva muy amplia. Planos verticales o subverticales tienen una curva muy estrecha y de ubicación muy cercana del centro. Planos horizontales coinciden con el margen y planos verticales con las de los rumbos.
Aplicaciones
a) La intersección de dos círculos máximos corresponde con la línea de intersección en la realidad.
b) la intersección de tres círculos máximos forman una cuña.
c) Los socavones, piques, túneles forman un alineamiento, de esta manera se puede graficar la simetría entre los labores y los elementos tectónicos y poder planificar la mejor trayectoria de las futuras labores mineras
d) Las perforaciones y anclajes forman también alineamientos, analizando esto se puede buscar forma más apropiada para instalar un sistema de anclajes.
e) El reconocimiento de estructuras tectónicas como pliegues: Un círculo máximo no solamente proyecta un plano, el círculo máximo también puede coincidir con un set de datos tomados en un pliegue.
Intersección de dos planos
Dos planos (no paralelos) se interceptan dicha intersección es una línea.
En geología minera muchas veces la intersección de dos planos genera una línea de mucha importancia. Tal es el caso de la intersección de vetas, en la mayoría de las minas del Perú, que genera una zona muy rica en minerales (oreshoot, clavos, caballos, etc.)
Programas computacionales:
La toma de datos de fallas y fracturas en programas de computación es mucho más fácil: se introducen los datos en los softwares y automáticamente salen todos los resultados. Se recomienda verificar los resultados con los hechos manualmente.
2. PROYECCIÓN CICLOGRÁFICA DE UN PLANO
(PROYECCIÓN β)
PROBLEMA
Representar en la estereofalsilla el estrato de arenisca de rumbo N 80º y con buzamiento 10º (método de la mano derecha)
Procedimiento
marcar sobre la primitiva el valor del ángulo N 80.
Giramos la transparencia con este valor hasta hacer coincidir con la recta N-S. En esta posición, contamos el valor del buzamiento sobre el diámetro E-O de la falsilla (10º), teniendo en cuenta su sentido, siempre desde la primitiva hacia el centro de la falsilla, y “calcamos” el círculo mayor que tiene ese ángulo de buzamiento
Giramos la transparencia para volver a su posición inicial (el N de la transparencia y el N de la falsilla de proyección deben estar en la misma posición).De esta manera habremos representado este rumbo y buzamiento de las arenisca.
PROBLEMA
Representar el estrato de caliza (aplicar el método de la mano derecha) Rumbo N 40º y buzamiento 50º
Procedimiento
Marcar, sobre la transparencia, el valor de 40º hacia la derecha de la falsilla, trazar una línea recta desde este punto y que pase por el centro de la falsilla. Figura 09a.
Girar la transparencia 40º a la izquierda haciendo coincidir esta línea con el N-S.
Contar 50º a partir de la primitiva, de afuera hacia adentro y desde la derecha. Este valor coincidirá con un círculo máximo. Calcamos este círculo. Figura 09b.
Volvemos a girar la transparencia hasta
volver a su posición inicial. Figura
09c.
a
b
c
Figura 09 Representación estereográfica de un plano. a) Ubicación de la dirección N40º. b) Giro hasta hacer coincidir con línea N-S y trazado de círculo máximo correspondiente a 50º. c) Giro para volver al estado inicial.
PROBLEMA
Dibujar los estereogramas correspondientes a los planos siguientes (Método de la mano derecha). Figura 10.
1 N0º,40º 2 N40º,50º 3 N90º, 10º Solución
Hacer una marca en la primitiva indicando la dirección dada.
Girar la transparencia haciendo coincidir esta señal con la línea N-S.
Contar el buzamiento sobre la línea E- O. (siempre de afuera hacia adentro) “Calcar” el círculo mayor correspondiente.
Figura 10 Proyección estereográfica (estereograma)
PROBLEMA
Se tiene un estrato de caliza cuyo rumbo e N40, 50. Calcular los valores de los buzamientos aparentes según el sentido 110º, 140º, 160º y 190º
Solución
Sobre la transparencia marcar la dirección 40º y girar la transparencia hasta que esta dirección coincida con la línea N-S, (se gira siempre la distancia más corta al N-S).Figura 11.
“Calcamos” el círculo máximo correspondiente al buzamiento50º contados de
afuera hacia adentro del círculo.
Giramos la transparencia hasta ponerlo en su posición original (cuando el N
Para calcular los buzamientos aparentes según un sentido determinado, marcamos sobre la primitiva el valor del sentido requerido, giramos hasta hacerlo coincidir con la línea E-W de la falsilla y contamos sobre él el ángulo entre la primitiva y el estereograma. Este procedimiento se hará para todos los sentidos deseados.
Figura 11Resolución del problema
Respuesta
Los buzamientos aparentes serán: Según 110º= 49º
Según 140º= 48º Según 160º= 40º Según 190º= 19º PROBLEMA
El rumbo de un estrato de caliza es N 40º y su buzamiento es 70º. Hallar los sentidos en los que se encontrarán los buzamientos aparentes de 30º, 50º y 70º.Ubicamos la orientación N40º. Giramos la transparencia haciendo coincidir el dato con la dirección N-S. Dibujar el círculo máximo
Una vez dibujado circulo máximo, se mueve la transparencia buscando los valores de los ángulos de buzamiento aparente sobre la línea E-O. Nota: siempre existirán dos sentidos en los que se cumple para el buzamiento aparente.
Respuesta
El buzamiento aparente es 30º, según los sentidos 207º y53º. El buzamiento aparente es 50º, según los sentidos 194º y 67º El buzamiento de 70º es el buzamiento real.
La dirección de buzamiento (dip direction) será 40+90º=130º, no existe buzamiento aparente según ese sentido. Figura 12.
Figura12 Buzamiento real y aparentes de un estrato de caliza de rumbo N40º y buzamiento 70º.(método de la mano derecha).
PROBLEMA
El plano axial de un pliegue tiene un rumbo de N 340º y se ha medido un buzamiento aparente de 18º según la dirección de N 30º. Calcular el valor del buzamiento real del plano axial.
Respuesta
Marcar sobre la primitiva, N 340º (dirección del plano axial)
Marcar la dirección N30º, llevarla a un plano vertical de la falsilla y contar desde la periferia de la primitiva hacia adentro el ángulo de buzamiento aparente de 18º. Este buzamiento aparente viene representado por un punto dentro de la falsilla de proyección.
El plano buscado se obtendrá llevando la dirección 160º sobre el diámetro N-S de la falsilla y trazando el círculo mayor que contiene el punto que representa el buzamiento aparente dado. El buzamiento real del plano leído en el estereograma, es de 23º al E. Figura13
Figura13 Buzamiento real y aparente.
PROBLEMA
En un afloramiento se observa una serie pliocénica en discordancia sobre el cretáceo. Se han medido dos buzamientos aparentes: 140º,15º y 78º, 30º.Calcular el rumbo del plano que forma dicha discordancia.
Solución
Marcar en la transparencia los rumbos N 140º y N 78º y los buzamientos
aparentes 15º y 30º.
Estos dos puntos deben estar contenidos en un círculo mayor. En tal sentido
del plano que resulta ser 348º,30º. Observar que en este caso, uno de los supuestos buzamientos aparentes, en realidad corresponde con el buzamiento real del plano.Figura14
Figura 14 Rumbo del plano de discordancia
PROBLEMA
Una falla tiene una dirección de buzamiento N 40º.
¿En qué dirección el buzamiento aparente será máximo?
¿Se mantendrá la misma dirección de buzamiento si el valor del ángulo de buzamiento varía?.
Respuesta
La dirección del buzamiento de la falla es perpendicular a la dirección (rumbo). En el dibujo se observa que el valor del buzamiento real será el valor máximo del buzamiento aparente. Bien sea según el sentido Nº 0 o N360º.Figura15
Figura15Representaciónde una falla con rumbo N270º y buzamiento 40º (método de la mano derecha)
3. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA DE UNA LÍNEA
El principio es similar a la proyección de un plano. La línea L pasa por el centro de la esfera y se extiende hasta cortar al hemisferio inferior en un punto (P).
Este punto se une con el zenit de la esfera mediante una línea recta, y la proyección estereográfica de la línea L se localiza donde esta recta corta al plano de proyección, por tanto, en un punto (P´). Las líneas se proyectan como puntos en proyección estereográfica.
PROBLEMA
Respuesta. Figura 16.
Figura 16. A. Proyección esférica de una línea. B. Representación estereográfica de líneas: horizontal, vertical e inclinada.
PROBLEMA
Línea orientada mediante dirección y cabeceo sobre un plano conocido
El plano de falla está orientado N40º, 20º y la estría tiene un cabeceo de 45ºS medido en este plano. Representar el estereograma correspondiente
Procedimiento:
Dibujar sobre la transparencia el círculo mayor que representa el plano N40ºE, 20ºSE.
Representar dentro de este círculo mayor el cabeceo 45ºS. Si el cabeceo es
el ángulo entre la línea y la dirección del plano inclinado que la contiene, solo tenemos que medir el ángulo de 45º en el plano (círculo mayor) colocado
sobre un círculo mayor de la falsilla, desde el sur, contando con ayuda de los círculos menores. Figura 17.
Este punto representa la orientación de la estría.
Figura 17. Representación estereográfica de una línea, mediante su cabeceo en un plano conocido.
PROBLEMA
Se tienen dos fallas N220º, 30º y 116º, 50º, ambas con estrías L y L´ respectivamente. ¿Cuál será el valor del ángulo de cabeceo para cada una de las estrías?
Procedimiento:
Giramos la transparencia haciendo coincidir cada plano con un círculo mayor de la falsilla.
Contamos el ángulo desde el norte o desde el sur a partir de los círculos menores, este valor será el ángulo de cabeceo de esa línea medido sobre ese plano. A
continuación del valor, colocamos su sentido, que corresponderá al cuadrante donde esté situada la línea. Al mismo tiempo, podemos medir su dirección e inmersión, como se ha explicado en el problema anterior. Figura 18
Respuesta
Los resultados son los siguientes:
L: cabeceo. 36ºS; dirección 252º; inmersión. 18º, 252º, 18º L´: cabeceo. 40ºE; dirección 144º; inmersión. 38º, 144º, 38º
Las líneas en el espacio se orientan mediante dos ángulos, que pueden ser sentido de inmersión (dirección) e inmersión, o bien dirección y cabeceo medido sobre un plano inclinado que contiene a la línea. En este caso, es necesario indicar la orientación del plano en el que se ha medido el ángulo de cabeceo de la línea.
Figura 18. Medida de dirección, inmersión y cabeceo para dos líneas L y L´ contenidas en dos planos de orientación conocida.
PROBLEMA
En una zona de estratificación, se han medido los siguientes buzamientos aparentes: 23º, 330º; 36º, 208º; 16º, 184º; 290º, 46º; 276º, 30º;230º, 18º; 234º, 47º; 262º, 70º. Hallar la orientación de la estratificación y comprobar si todos estos buzamientos aparentes pertenecen a esta superficie.
Procedimiento
Los buzamientos aparentes dados con dirección de buzamiento (dip direction) y ángulo de buzamiento, son equivalentes a líneas orientadas según sentido de
inmersión y ángulo de inmersión, por tanto, los buzamientos aparentes vienen representados por puntos en la proyección estereográfica.
Hemos visto en los problemas anteriores que dos puntos (dos buzamientos aparentes o dos líneas) contenidos en un plano, son suficientes para dibujar el círculo mayor que nos define la orientación de ese plano. En este caso, se han medido 8 buzamientos aparentes en el campo, que en el supuesto de que correspondan todos a la misma superficie de estratificación, todos ellos deben estar contenidos en un círculo mayor que define la orientación de este estrato. Aquellos que se alejen de este círculo, no son buzamientos aparentes pertenecientes a esta superficie.
Proyectamos cada uno de los buzamientos aparentes en la transparencia,
haciendo coincidir la dirección de buzamiento con un plano vertical de la falsilla, y sobre este, contamos el ángulo de buzamiento aparente correspondiente.
Giramos el transparente para hacerlos coincidir en un círculo mayor. Como se
observa en el estereograma, los tres buzamientos aparentes 30º, 276º; 18º, 230º y 70º, 262º se alejan bastante del resto. Los demás se ajustan a un círculo mayor que nos da una orientación para esta superficie de estratificación de N10ºO, 50ºO o bien 170º, 50ºO o 262º, 50º (dirección de buzamiento y buzamiento).Figura 19.
PROBLEMA
Sobre un estrato de orientación N10ºE, 55ºO, aparecen cuatro lineaciones con los siguientes sentidos de inmersión:10º; 220º; 300º y 360º. Calcular los ángulos de cabeceo para cada lineación, medidos en el plano de estratificación.
Solución
Observar que el sentido de inmersión de la primera línea, coincide con la dirección del plano en el que está contenida, por tanto, el ángulo de cabeceo en este caso será de 0º.
Dibujar el círculo mayor que representa el plano y marcar sobre la primitiva los sentidos de inmersión dados. Cada uno de estos sentidos de inmersión los llevamos sucesivamente a un diámetro vertical de la falsilla y pintamos la línea (punto) que está sobre el plano y tiene ese sentido de inmersión (Figura 20). Una vez proyectadas las líneas, contamos el valor del cabeceo sobre el mismo círculo mayor que representa el plano, desde la primitiva hasta la línea. Observar que cuanto más cerca estamos de la dirección del plano, menor es el ángulo de cabeceo de esa línea, hasta llegar a ser 0ºcuando las direcciones de plano y línea coinciden.
Respuesta
Los valores de cabeceo obtenidos son los siguientes: Para 10º, el cabeceo es de 0º.
Para 220º, el cabeceo es de 44ºS. Para 300º, el cabeceo es de 78ºN. Para 360º, el cabeceo es de 18ºN.
Figura 20 Estereograma correspondiente al problema 8. Ver texto para su explicación
PROBLEMA
Hallar la nueva orientación del plano N30ºO, 40ºNE y de su polo, después de un giro de 40º en el sentido horario, alrededor de un eje vertical.
Solución
Dibujar la orientación N30º W o (360º- 30) = 330º y buzamiento 40º al NE y su respectivo polo (P).
Contar sobre la primitiva los 40º correspondientes al giro, a partir de la dirección del plano y del sentido de inmersión del polo respectivamente.
Dibujar el plano rotado, conservando el buzamiento anterior y el polo, con
su inmersión correspondiente.
Las nuevas orientaciones del polo y el plano rotados son: 280º, 50º y 10º,40ºE. figura 21.
Figura 21 Estereograma correspondiente
PROBLEMA
¿Cuál es el ángulo que forman entre sí las líneas cuyas orientaciones son 10º, 30º y 106º, 42º?
Solución
Proyectar las dos líneas (como puntos) en la transparencia.
Giramos la transparencia haciendo coincidir estos dos puntos con un circulo
mayor (dos líneas inscritas en un plano)
Se mide el ángulo buscado a lo largo de ese círculo mayor. SE suele dar
generalmente el menor de 90º. El valor hallado es de 75º. Figura 22.
4. MÉTODO PARA PROYECTAR EL POLO DE UN PLANO
Conocemos la orientación de un plano definido mediante dirección y buzamiento, y vamos a proyectar este plano tanto en proyección ciclográfica como polar, para visualizar las relaciones entre los dos tipos de proyección.
PROBLEMA
Representar el plano N40º, 30º. Solución
Marcar la orientación del plano en la primitiva y girar el transparente haciendo coincidir esta marca con la línea N-S de la falsilla. Dibujar el círculo mayor correspondiente (proyección ciclográfica).
En esta misma posición. Contamos 90º desde el centro de la falsilla y en
sentido contrario al buzamiento del plano, este punto representa el polo (P), o bien, desde la primitiva hacia dentro el ángulo complementario al valor del buzamiento (ángulo de inmersión del polo, en este caso 60º, ya que 90º-30º = 60º) y obtenemos el mismo punto anterior. Para comprobar que efectivamente esta línea es perpendicular al plano, contamos sobre el diámetro E-O el ángulo entre el plano y su polo, y efectivamente es de 90º. Figura 23.
Figura 23. Proyección de un plano mediante un círculo mayor (ciclográfica) y su normal (polar).
5. MEDIDAS DE ÁNGULOS ENTRE LÍNEAS Y PLANOS
Medida del ángulo diedro entre dos planos
Un ángulo diedro es el ángulo formado por dos planos que se cortan, medidos en un tercer plano que es perpendicular a los anteriores. Se puede medir fácilmente mediante el ángulo entre los polos de los planos en un estereograma, o bien dibujando el plano perpendicular a la línea de corte de los dos planos, que es el plano perpendicular a los dos planos y contiene ambos polos. Como los polos son líneas, el ángulo entre dos líneas se mide en el plano que las contiene, por tanto, en el estereograma, el ángulo entre los dos polos se mide a lo largo del círculo mayor en el cual están contenidos.
En muchos casos, el ángulo diedro se especifica como un ángulo agudo (Ejemplo: entre diaclasas conjugadas), pero no siempre es así, ya que el ángulo buscado puede ser mayor de 90º (Ejemplo: ángulo entre un dique y una superficie de estratificación).
Caso especial es la medida del ángulo interlimbo (ángulo formado por los dos flancos de un pliegue), en ocasiones no muy claro. El estereograma ofrece dos posibles ángulos, uno agudo y otro obtuso. El problema principal es que no siempre es obvio cuál de los dos ángulos es el idóneo si no conocemos suficientes datos acerca del pliegue.
6.2. Medida usando círculos mayores (proyección ciclográfica)
Proyectar ambos planos como círculos mayores a partir de sus orientaciones.
La línea de intersección (L) de estos dos planos, corresponde al punto de intersección de los círculos mayores.
Dibujar el plano perpendicular a esta línea. Es el plano cuyo polo es la línea de intersección, por tanto es el plano perpendicular a los dos planos anteriores.
Medir en este tercer plano el ángulo diedro. Tener en cuenta que existen dos
posibilidades. En la Figura 3 B se observa que hay un ángulo agudo y otro obtuso entre los dos planos. La suma de ambos es 180º.
Si se mide el ángulo en otro plano que no es perpendicular a los anteriores, el resultado obtenido es distinto y no corresponde al verdadero valor del ángulo diedro.
6.3. Medida usando polos de planos (proyección polar)
Este método se basa en el hecho de que el ángulo diedro entre dos planos es igual al ángulo formado por las normales a estos planos.
Proyectar los dos planos anteriores mediante sus polos.
Mover el transparente hasta que los dos polos coincidan en un círculo mayor. Dibujar el círculo y medir el ángulo entre los polos (agudo y obtuso).Figura 24
Figura 24 Medida del ángulo entre dos planos, utilizando la proyección ciclográfica (a, b) y polar (c).
Medida del ángulo entre un plano y una línea
El ángulo entre una línea y un plano es el mismo que el formado por la línea y la perpendicular al plano (normal o polo del plano). Este ángulo se mide, en un segundo plano que contiene la línea y la perpendicular al plano. En proyección estereográfica, el ángulo entre una línea y un plano se mide en el círculo mayor que contiene a la línea (L) y al polo del plano (P). Figura 25
Cálculo del plano bisector del ángulo entre dos planos
El plano bisector del ángulo entre dos planos, es aquel que contiene a la línea de intersección de los dos planos y a la línea que bisecta el ángulo diedro formado por los dos planos. En el caso de algunos pliegues angulares (kinks, chevron, etc.) es razonable asumir que el plano que bisecta el ángulo entre los dos flancos del pliegue y contiene a la línea de charnela, es el plano axial del pliegue.
Figura 25 Medida del ángulo entre un plano de orientación conocida y una línea L.
Cálculo utilizando círculos mayores (proyección ciclográfica) PROBLEMA
Tenemos las siguientes orientaciones: 275º, 60º y 330º, 30º. Representar utilizando círculos mayores en proyección ciclográfica.
Solución
Proyectar ambos planos como círculos mayores. Su punto de corte define la
línea de intersección de los planos L, cuya orientación es: 288º, 21º. Dibujar el plano perpendicular a la línea de intersección.
Contar en este plano el ángulo que forman los dos planos y hallar su punto
medio (A).
Dibujar el plano que contiene la línea de intersección L y el punto medio del ángulo A. Este plano será bisector del ángulo entre los planos, bien del agudo o del obtuso, según el que se haya elegido.
En la figura 26, el plano bisector elegido es el correspondiente al ángulo obtuso (100º) y su orientación es 115º, 74ºSO. El punto medio correspondiente al ángulo
agudo es el punto B. Uniendo B y L podemos dibujar el plano bisector correspondiente al ángulo agudo. Comprobar que los planos bisectores de los ángulos agudo y obtuso, son perpendiculares entre sí.
Figura 26 Cálculo de la orientación
del plano bisector entre dos planos
conocidos, utilizando la
proyección ciclográfica.
Cálculo utilizando los polos (proyección polar) Proyectar los polos de los planos (P1 y P2)
Dibujar el círculo mayor que contiene a los dos polos.
La línea de corte de los dos planos (L), corresponde al polo del plano que contiene a los dos polos anteriores.
Contar los ángulos ente polos y hallar sus puntos medios respectivos (A y B). Trazando el círculo mayor que contiene la línea de corte y cada uno de los puntos medios, obtenemos los planos bisectores agudo y obtuso.
PROBLEMA
Proyectar mediante proyección ciclográfica y polar, las siguientes orientaciones correspondientes a superficies de estratificación
a) 360º, 40ºE; b) N90º, 26º; c) 45º, 90º; d) horizontal. Solución
Marcar las direcciones dadas en la primitiva y hacerlas coincidir con el diámetro N-S de la falsilla. Contar los buzamientos desde la primitiva hacia el centro, sobre el diámetro E-O. Dibujar los círculos mayores correspondientes.
Sin mover el transparente, con la dirección del plano sobre el diámetro N-S,
contar sobre el diámetro E-O el ángulo de buzamiento, desde el centro y en dirección opuesta al sentido de buzamiento del plano. Colocar el polo del plano en ese lugar.
Comprobar que el polo tiene un ángulo de inmersión cuyo valor es complementario al de buzamiento.
Comprobar que el plano y su polo están a 90º uno de otro, contando el ángulo
entre ellos a lo largo del diámetro E-O de la falsilla.
Comprobar que la dirección de la línea (polo) está a 90º de la dirección del
plano. Seguiremos el mismo procedimiento para proyectar cualquiera de los
datos del problema. Figura 27.
Figura 27 Resolución del problema
PROBLEMA
Calcular el valor del ángulo formado entre el plano de orientación 224º, 36º y la lineación mineral 10º, 26º.
Como ya se ha explicado anteriormente, el valor del ángulo formado entre un plano y una línea, es el mismo que el formado entre la línea y el polo del plano.
Proyectar la línea L en la transparencia.
Proyectar el polo del plano (P1) en la transparencia.
Dibujar el círculo mayor que contiene el polo del plano y la línea.
Contar el valor del ángulo a lo largo de este círculo mayor, utilizando los círculos menores. Se ha calculado el valor correspondiente al ángulo agudo, que es de 37º.Figura 28
Figura 28 Resolución del problema
PROBLEMA
Un plano de falla de orientación N16º, 32º, muestra unas estrías de deslizamiento con un ángulo de cabeceo de 30ºN. En el mismo plano aparece un conjunto de escalones con dirección 150º. Orientar ambas líneas mediante dirección e inmersión y calcular el ángulo que forman medido sobre el plano de falla, así como los ángulos entre el plano de falla y cada una de las líneas.
Solución
Proyectar el plano de falla N16º, 32º mediante su círculo mayor.
Colocar en este plano la línea correspondiente a las estrías, contando desde
Llevar la dirección 150º sobre un diámetro vertical de la falsilla y colocar la posición de los escalones dentro del plano de falla.
Colocamos cada una de las líneas sobre un plano vertical de la falsilla, y
medimos el ángulo de inmersión. En el caso de las estrías medimos su dirección sobre la primitiva que es 42º y su inmersión, 16º. La inmersión correspondiente a los escalones es de 24º según los 150º.
Proyectamos el polo del plano de falla (F) y dibujamos el plano que contiene
este polo y las estrías y el plano que contiene el mismo polo y los escalones. En cada uno de estos planos medimos el ángulo entre el plano de falla y estrías/ escalones y resulta ser de 90º en ambos casos. Figura 29.
Figura 29 Estereograma correspondiente
6. APLICACIONES EN CRISTALOGRAFÍA
La proyección de un cristal es una forma de representar un cristal tridimensional en una superficie plana bidimensional. El mejor método para representar un cristal es la proyección clinográfica
Proyección esférica.
Para un estudio detallado de un cristal es necesario reducir a un mínimo su aspecto bien sea tamaño y forma. Por otro lado es necesario e importante conocer las relaciones angulares de las caras.
Este método consiste en situar las caras de un cristal de acuerdo a sus relaciones angulares sin considerar su tamaño ni forma.
La proyección esférica de un cristal nos proporciona relaciones axiales importantes debido a que los polos de las caras de una zona se sitúan en un círculo máximo de la proyección. Figura 30.
Figura 30 Representación esférica de un cristal de pirira
7.2. Proyecciones de los cristales
La proyección estereográfica es una representación en un plano de la mitad de la proyección esférica. La proyección estereográfica reduce los cristales de una proyección tridimensional a una bidimensional preservando la relación angular de las caras, mostrando de esta manera la verdadera simetría.
El plano de la proyección es el plano ecuatorial de la esfera y el círculo primitivo
(que limita a la proyección) es el propio ecuador. Imaginemos una pelota con un
orifico en la parte inferior y con el ojo puesto en este orificio, la intersección de las miradas con el plano ecuatorial seria la que indicaría los polos correspondientes en la proyección estereográfica. Podemos construir una proyección estereográfica trazando líneas desde el polo sur (orificio) a los polos de las caras en el hemisferio norte. Los polos correspondientes en la proyección estereográfica se sitúan donde esas líneas cortan al plano ecuatorial.
En el ejemplo anterior las caras del cristal cubico son perpendiculares entre sí, por esta razón los polos de dichas caras se proyectan justo sobre la primitiva. Dicho
de otra manera los polos perforan a la esfera en 6 puntos, 4 en los bordes y 2 en el centro. Figuras 31a, b, c.
a b
c
Figura 31a, b, c Representación del cristal de pirita en proyección estereográfica
Se genera un problema cuando se quiere representar una cara inclinada, en este caso se realiza un análisis trigonométrico. Figura 32.
Figura 32 Representación de las caras inclinadas de un cristal, en este caso se recurre al análisis trigonométrico. Nótese al observador viendo el interior de la esfera desde un orificio.
Consideremos la cara (011) cuyo polo es visto por el observador desde la parte inferior de la esfera. Este polo perfora la superficie de esta a 45º en el punto A. Al observador le interesa saber a qué distancia de la primitiva se ubica el punto A: El ángulo NOA se denomina rho (ρ). Para determinar la distancia OA’ en función del ángulo ρse analiza de la siguiente manera:
El triánguloSOA es isósceles (tiene dos lados iguales)
El ángulo OAS = OSA (1)
OAS+OSA= SOA = ρ Por lo tanto:
2 OSA=ρ (de 1)
OSA=ρ/2
Donde OS = r, es el radio de la primitiva de la proyección tgρ/2= OA’/r (cateto opuesto sobre cateto adyacente)
Despejando se obtiene: OA’= r tgρ/2
Que viene a ser la fórmula para hallar la distancia a partir del origen de la proyección estereográfica. Además de esta medida es necesario determinar también su “longitud” o ángulo phi (Ø). Esto se mide en la primitiva. Figura 33 Para ø= - 45º y ρ = 45º se obtiene la ubicación siguiente:
Figura 33 Primitiva donde está representado la cara (001)
7.3. Utilización de las falsillas estereográficas en cristalografía
Ya hemos notado, que cuando se conocen los ángulos ø y es posible ubicar la cara en la falsilla estereográfica. En primer lugar se ubica la posición de øy luego se calcula la distancia, desde el origen, en donde se ubicará el polo de cara en cuestión.
Ventajas de la falsilla estereográfica
Entre las ventajas de la falsilla estereográfica se tienen:
Se analiza mejor la relación angular entre las caras de un cristal Se identifica fácilmente las zonas cristalográficas
Se determina fácilmente los ejes de las zonas
Se puede reducir una representación tridimensional a una bidimensional.
Basta con ubicar una cara y las otras equivalentes se ubican automáticamente.
En la figura 34, se han representado las 6 caras del cristal de pirita del sistema cúbico, donde se analiza lo siguiente:
Las caras (100) y (010) forman entre ellas 90º Se observan tres zonas cristalográficas (ver figura )
Se observan tres ejes de zonas.
La zona formada por 4 caras, dos de (100), y dos de (010) tiene como eje de zona a una línea que pasa por la cara (001).
Figura 34 Falsilla
estereográfica donde se representan las relaciones angulares, las zonas y los ejes de zonas del cristal cubico de pirita
7. APLICACIONES EN GEOLOGÍA ESTRUCTURAL
Dada las fallas: a) rumbo N30º E y buzamiento 40º al NW; b) rumbo N60ºE y buzamiento 60º al SE; suponiendo que son conjugadas hallar la orientación de los esfuerzos principales, la dirección y sentido del salto y el ángulo de rozamiento interno.
Solución
Representar las fallas en la estereofalsilla solamente como circulo máximo (no es necesario representar ya los rumbos). El punto de intersección de los buzamientos será (δ2).
Trazar el círculo máximo de δ2. Será el plano δ1 δ3 y su intersección con las fallas será las direcciones de salto.
La bisectriz del ángulo que forman los buzamientos y el círculo máximo determina δ1. δ3 estará a 90ºde δ1y comprendidos en el círculo máximo.
El ángulo comprendido entre δ1y una de las direcciones de salto de falla es el ángulo α.
El ángulo de rozamiento interno es: ø= 90- 2α. Como α= 42º entonces: ø= 90- 2 (42)
ø= 08º
RESPUESTA
Las orientaciones de los esfuerzos principales son: Para δ1= N 20º E, 82º
Para δ2=S50º W, 20º Para δ3= N 40º E, 12º
El ángulo de rozamiento interno es 08º
El sentido del salto de las fallas conjugadas es normal por la posición del δ1cerca de la vertical. Figura 35.
Sentido de salto
Figura 35 Falsilla estereográfica donde se representan las dos fallas conjugadas.
Dado un plano inclinado N50E con 50 al SE. Hallar su buzamiento aparente en la dirección N70E
Solución
Representar los 50º a la derecha de la falsilla. Girar la transparencia 50º a la izquierda.
Calcar el círculo máximo, correspondiente a los 50º de buzamiento contados a partir de la derecha, posición del E (de afuera hacia adentro). Luego girar a su posición inicial (cuando los nortes de la falsilla y la transparencia coincidan) Girar el N de la transparencia 20º a la derecha. En esta posición se hacen las lecturas
RESPUESTA
El buzamiento aparente en la posición N70ºE es 24º.
El cabeceo es N30ºE que viene a ser el ángulo comprendido entre la primitiva y el punto medido a lo largo de la traza del círculo máximo. Es la distancia angular medida desde el extremo NE del círculo máximo. Para realizar esta lectura es necesario girar la transparencia haciendo coincidir los extremos del círculo máximo con la línea N-S en su distancia más corta. Figura 36.
8. APLICACIONES EN MINERÍASUBTERRÁNEA
En una excavación minera existen tres fallas que se interceptan y que están ubicadas en el techo. El dip direction y el dip son:Fallas Dip direction Dip
F1 36º 70º
F2 144º 95º
F3 262º 55º
El ancho de la excavación es 7 metros y su eje tiene una orientación de 15° al NE.
Hallar el tonelaje de la cuña SOLUCIÓN
Los buzamientos de las fallas se representan por los círculos máximos A, B,C.Los rumbos de las fallas por las líneas a, b, c. Las aristas de la pirámide por las letras ab, ac, bc.
Se forma una cuña por la intersección por lo menos de tres buzamientos
El vértice de una cuña siempre está en el centro de la red de tal manera que se hace sencillo el análisis de su estabilidad. En planta este punto está definido por la intersección de las líneas ab, ac, bc.
La base de la cuña está definido por la intersección de los tres buzamientos y aparece achurad en el ejemplo.
Las lecturas de los valores de los ángulos aparentes alfa (α) y beta (β) se obtienen girando la transparencia hasta hacer coincidir el eje del túnel con el diámetro N- S.
La altura (h) de la cuña se obtiene construyendo una sección perpendicular al eje de la excavación y que pase por el vértice. Figura 37.
El volumen de la cuña es 1/3 del área de la base (triangulo) por su altura de la cuña Datos pe= 2,7 TN/m3 β= 70º α=80º Altura de la cuña= 4.5m Área del triangulo Cálculos:
Base x altura/2
4,9m x 7,6m/2 = 18,62m2
Volumen de la cuña
1/3(Área de la base x h de la cuña) 18,62m2 x 4,5m/3= 27,93m3
Tonelaje:
Volumen de la cuña x pe
Figura 37 Representación mediante estéreo falsillas de una cuña en minería subterránea.
9. APLICACIONES EN MINERÍA A TAJO ABIERTO
Figura 38 Falla circular generada en roca fuertemente fracturada
Falla en cuña:
El mecanismo del deslizamiento de una falla en cuña a lo largo de la línea de intersección de dos fallas puede ser evaluado de una manera sencilla mediante las estero falsillas:
Orientación de las estructuras y zonas de debilidad:
Las fallas que conforman planos de debilidad preexistentes.
La estratificación o estructuras que buzan hacia el talud, pueden ser superficies susceptibles a deslizamientos.
Análisis de cuñas:
Figura39 Las intersecciones de las fallas con la cara y superficie superior del talud
La superficie superior puede ser inclinada con respecto a la cara del talud. La altura total del talud, es la diferencia vertical entre los extremos más alto y más bajo de la línea de intersección a lo largo del cual se asume que podría ocurrir el deslizamiento.
La distribución del agua se asume que está basado en la hipótesis de que la cuña es impermeable y que el agua ingresa por la parte superior de la cuña (líneas 3 y 4) y sale por (1 y 2).
Se asume que el deslizamiento de la cuña siempre es a lo largo de la línea
de intersección 5.
La numeración de líneas de intersección de los planos que intervienen en este problema es:
Intersección de falla A con cara del talud. Intersección de falla B con cara del talud.
Intersección de falla A con la superficie superior. Intersección de falla B con la superficie superior. Intersección de fallas A y B.
El factor de seguridad de este talud será:
B w A w B AX C Y A X Tg B Y Tg C H FS ( ) ( 2 ) ( 2 ) 3 Donde:
CA y CB=Cohesión de las fallas A y B.
A y B =Ángulos de fricción de las fallas A y B
=Peso específico de la roca. w =Peso específico del agua H =Altura total de la cuña
X,Y,A y B =Factores dimensionales dependientes de la geometría de la cuña. ) 2 5 ) )( )( ( cos cos cos nanb nanb a b sen sen B ) 2 5 ) . )( )( ( cos (cos cos nanb nb na b a sen sen A ) 1 )( 35 13 cos (sen nb sen Y na sen sen X 2 )( 45 24 ) cos (
Ay B =Buzamiento de las fallas A y B.
5 = Buzamientos de la línea de intersección 5.
Los ángulos requeridos para la solución de estas ecuaciones son medidos en las proyecciones estereográficas de los datos que definen la geometría de la cuña y el talud.
PROBLEMA
Se tienen los siguientes datos. Hallar el FS
FALLAS RUMB O BUZAMIENTO PROPIEDADES A N15º 50º A = 20° CA = 2446.34 Kg/m2 B N145º 75º B = 30° CB = 4892.69 Kg/m2 CARA DE TALUD N95º 65º = 2568.34 Kg/m3 SUPERFICIE SUP. N195º 12º W = 1000 Kg/m3 La altura total de la cuña es: H = 40 m.
Solución:
La proyección estereográfica de las fallas, la cara del talud y superficie y los ángulos requeridos se muestran en el siguiente gráfico. Figura 40.
Figura 40 Proyección estereográfica donde se representan las fallas A y B, la cara y la superficie superior del talud. Las diversas intersecciones definen los ángulos requeridos para la solución del problema.
A = 50º cosA= 0.6428
B = 75º cosB= 0.2588
5 = 36º sen5= 0.5878
NANB = 109º cos NANB = 0.3256
senNANB = 0.9455
24 = 55º sen24 = 0.8192
45 = 30º sen45 = 0.5000
2NA= 67º cos2NA= 0.3907
13 = 54º sen13 = 0.8090 35 = 35º sen35 = 0.5736 1.NB = 72º cos1.NB= 0.3090 A =20º tgA = 0.3640 3836 . 1 ) 8940 . 0 )( 5878 . 0 ( ) 3256 . 0 )( 2588 . 0 6428 . 0 ( ) )( ( ) )( ( 2 5 NANB NANB B A Sen Sen Cos Cos Cos A 8908 . 0 ) 8940 . 0 )( 5878 . 0 ( ) 03256 )( 06428 2588 . 0 ( ) )( ( ) )( ( 2 5 NANB Sen Sen NANB Cos Cos Cos B B A
B =30º tgB = 0.5774 w=1000 Kg/m3 3C A /H= 0.0714 =2568.34 Kg/m3 CA=2446.34 Kg/m2 3CB /H= 0.1428 CB=4892.69 Kg /m2 H=40m. 5644 . 4 ) 3090 . 0 )( 5736 . 0 ( 8090 . 0 ) . 1 )( 35 ( 13 NB Cos Sen Sen Y 1935 . 4 ) 3907 . 0 )( 5 . 0 ( 8192 . 0 ) )( ( 45 2. 24 NA Cos Sen Sen X 1588 . 1 0012 . 0 6518 . 0 2994 . 0 FS
1.3836 (0.194)(4.1935)
(0.3640)
0.808 (0.1947)(4.5644)
(0.5774) ) 5644 . 4 )( 1428 . 0 ( ) 1935 . 4 )( 0714 . 0 ( FS B A B A Tg Y w B Tg X w A Y H C X H C FS ) ( (2 ) ) ( (2 ) ) 3 ( ) 3 ( 10.
APLICACIONES EN CÁLCULO DE TENSIONES
Las tensiones en el seno de una masa rocosa pueden ser resueltas en términos de las tensiones normales y tangenciales que actúan sobre un plano determinado, como una falla, mediante proyecciones estereográficas.
La figura muestra las tensiones sobre un elemento infinitesimal. Sumando las fuerzas en las direcciones x, y, se deducen que las tensiones sobre el plano oblicuo son:
δ= δ1 sen2α T= δ1senαcosα
Siendo α el ángulo formado por el plano principal mayor y el plano oblicuo. La tensión resultante ƒ cumple las siguientes relaciones:
ƒ2=δ2+T2 ƒ=δ2
1 cos4α+δ21 sen2α cos2α= (cos2α + sen2α) δ2 1 cos2α donde cos2α +sen2=1; por lo tanto:
ƒ2 = δ2
1 cos2α
δ1= δ1 cos α
Como la tensión resultante sobre este elemento debe tener una dirección opuesta a δ1en este caso la dirección x se designa como ƒx. Conδ2 en dirección de Y yδ3 en dirección Z pueden establecerse ecuaciones análogas es decir: ƒy= δ2cos β y ƒz= δ3 cos Ý, siendo β y Ý los ángulos que forman ƒyƒz con el polo del plano oblicuo. La resultante de las tensiones sobre el plano oblicuo Ten condiciones de tensión triaxial se determina a partir de sus componentes: ƒ2= ƒ2
x+ƒ2y+ƒ2z
ƒ2= δ2
1cos α +δ22cos β +δ23cos Ý ƒ2= δ2
1l2 +δ22m2 +δ23n2
El procedimiento para resolver la tensión resultante en términos de sus componentes normal y tangencial puede exponerse más claramente mediante un ejemplo.
Ejercicio
Se tiene un plano de falla con una orientación N135º, 20º en un campo de tensiones:
S1=703kg/cm2 a 9º, 38º
S2=351.5kg/cm2 a 135º, 36º y S3=210.8kg/cm2 a 250º, 32º
Siendo de compresión todas las tensiones. Solución
Para estudiar la estabilidad de un bloque con deslizamiento incipiente sobre un plano deben de hallarse las componentes normales y tengencial de las tensiones ejercidas por el plano sobre el bloque. Los ejes x, y, z tienen la dirección respectiva S1, S2, S3
Las tensione ortogonales de ƒ son ƒx = ƒ cos A=ƒa
ƒy= ƒ cos B=ƒb ƒz= ƒ cos C=ƒc
Para obtener la solución se comienza representando y S1, S2, S3 ,Px= polo del plano oblicuo. Se miden los ángulos α, β y Ý: (figuras 41, 42, 43)
l= cos 36º = 0.81 m=cos 76º = 0.24 n=cos 57º= 0.54 ƒ2= δ2 1l2 +δ22m2 +δ23n2 ƒ2= (703 x0.8)2 +(351.5 x0.24)2 +(210.8 x 0.54)2 ƒ2= 340472.3kg/cm 2 ƒ= 583.5kg/cm2
Por lo tanto a= (703) (0.81/583.5)= 0.975 b= (351.5) (0.24/583.5)=0.141 c= (210.8) (0.54/583.5)=0.186 a= 13º b= 82º c= 79º
Para determinar la orientación de l basta con situar la proyección de su inversa (–ƒ) que se representara en el hemisferio inferior.
Para determinar δ y T sobre el plano de falla es necesario hallar el ángulo θ formado por T y –p el cual se obtendrá haciendo pasar un plano por (–ƒ) y p obteniéndose el ángulo de 26º
δ= 583.5 cos 26º= 520.22kg/cm2
T= 583.5 sen 26º=263.08kg/cm2
Figura 42 Representación
de los ángulos α, β y Ý y de S1,
S2, S3
Figura 43 Forma de determinar el ángulo θ
El análisis de estabilidad puede hacerse utilizando la ecuación de Mohr para el esfuerzo cortante:
T=C+(δ-u) tg φ
Siendo T la tensión tangencia en el plano de rotura, c la cohesión entre las superficies, δ la tensión normal entre los planos producidos por el régimen tensional de la zona, u, la presión del agua entre los planos y φ el ángulo de rozamiento interno.
11.
APLICACIONES EN PETROLOGÍA ESTRUCTURAL
El análisis petrofábrico no es solo el estudio de las relaciones espaciales de las unidades que componen una roca sino que se refiere también a los movimientos que produjeron esa distribución.
El análisis petrofábrico se puede usar para investigar la deformación de las rocas como también la génesis de las rocas sedimentarias e ígneas.
Petrología estructural se ocupa de las rocas deformadas y de su historia tectónica.
Fabrica estructural se refiere al arreglo o distribución de las unidades que componen cualquier clase de forma externa. Estas formas pueden ser átomos, granos de mineral, pliegues etc.
Técnicas de laboratorio
Se preparan secciones delgadas para el estudio microscópico, la que pueden cortar en cualquier dirección que se desee. Pero si se va a preparar una sola sección, esta se corta generalmente perpendicular a la esquistosidad. Es necesario dar instrucciones bastante cuidadosas a las personas que preparan las secciones delgadas.
Para describir la fábrica de la rocas deformadas se usa un juego convencional de tres ejes de referencia mutuamente perpendiculares, estos tres ejes están realmente definidos dilemáticamente, es decir con relación a los movimientos en la roca
La línea c es perpendicular al plano que contiene la lineación, a es la dirección del movimiento en este plano, mientras que b que está también en este plano es perpendicular a la dirección del movimiento.es evidente que se introduce inmediatamente un elemento subjetivo en la rotulación de la muestra. Por
ejemplo una lineación representada por espejos de fricción es paralela a a, una veta de minerales (streaming) es igualmente paralela a a
La sección delgada se estudia primero por los métodos microscópicos comunes y se determina los minerales. Se prepara un diagrama petrofábrico. los minerales estudiados más comúnmente son el cuarzo biotita, muscovita y calcita. El diagrama puede estar basado en las siguientes propiedades del mineral: el retículo espacial, el clivaje, el maclado, o la forma del mineral.
Ejes de referencia
Muchos trabajos sobre lineaciones usan un sistema de ejes de referencia. Desgraciadamente, existen confusiones sobre cómo se deben establecer los ejes de referencia. Estos se podrían por lo que se ve en la roca o por los movimientos que se supone que han producido a las estructuras observadas. Imaginemos una baraja de naipes estos se deslizan sistemáticamente una sobre otra figura 44.
a= dirección del movimiento de los naipes.
b= dirección en el plano de los naipes perpendicular a la dirección del movimiento.
c= dirección perpendicular al plano de los naipes.
Los ejes de todos los pliegues que se formen bajo este sistema de esfuerzos serán paralelos a b.
