Teoría y cálculo de estructuras

Teoría y cálculo de

Teoría y cálculo de

estructuras

estructuras

MSA, una aplicación para cálculo

estructural con Python

Vigo, 25 de octubre de 2009. España

© 2008, 2009 Jorge Rodríguez Araújo [email protected]

1. Cálculo de estructuras...1

1.1 Introducción...1

1.2 Cálculo...1

1.2.1 Cálculo de reacciones...2

1.2.2 Cálculo de solicitaciones...2

1.2.3 Cálculo de desplazamientos y giros...2

1.3 Resolución de una estructura simple...2

1.4 Cálculo resistente...4 1.4.1 Ejemplo...5 1.5 Esfuerzos térmicos...6 1.6 Pandeo...6 1.6.1 Cálculo a pandeo...7 1.6.2 Longitud de pandeo...7 1.7 Fatiga...8 1.8 Acciones en la edificación...8

2. Determinación de desplazamientos y giros...10

2.1 Teoremas de Mohr...10

2.1.1 Determinación de giros y desplazamientos relativos...10

2.1.2 Determinación de giros y desplazamientos absolutos...11

2.2 Teorema de Castigliano...13

2.2.1 Método de la acción unidad...13

2.3 Potencial interno...13

2.4 Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti...14

3. Pórtico simétrico...16

3.1 Cálculo de acciones...17

3.2 Cálculo de correas de cubierta...18

4. Estructuras reticuladas...19

4.1 Introducción...19

4.2 Ejemplo...19

4.3 Principio de los trabajos virtuales...20

4.3.1 Aplicación del P.T.V. al cálculo de desplazamientos...21

5. Método de la rigidez...22

5.1 Introducción...22

5.2 Método...22

5.2.1 Descripción estructural...22

5.2.2 Matriz de rigidez de barra y vector de cargas nodales equivalente...23

5.2.2.1 Matriz de rigidez de barra...23

5.2.2.2 Vector de cargas nodales...23

5.2.2.3 Matriz de rotación...23

5.2.3 Matriz de rigidez global y vector de cargas global de la estructura...24

5.2.3.1 Matriz de rigidez de la estructura...24

5.2.5 Solución del sistema de ecuaciones...24

5.2.6 Cálculo de solicitaciones en los extremos de barras y reacciones...24

5.2.7 Comprobación del equilibrio...25

5.2.7.1 Equilibrio global...25

5.2.7.2 Equilibrio local...25

5.3 Barra con carga uniformemente distribuida...25

5.3.1 Reacciones de empotramiento perfecto...25

5.3.2 Diagramas de esfuerzos...26 5.3.3 Deformada...26 5.4 Comprobaciones...27 5.4.1 Comprobación a resistencia...27 5.4.2 Comprobación a deformación...27 5.4.3 Comprobación a pandeo...28 5.5 Implementación (MSA)...28 5.6 Ejemplo...29

5.6.1 Definición del problema...29

5.6.2 Solución...30

6. Cálculo de una marquesina...34

6.1 Introducción...34 6.1.1 Parametrización...34 6.1.2 Hipótesis de carga...34 6.2 Cálculo de reacciones...35 6.2.1 Peso propio...35 6.2.2 Carga de viento...36 6.3 Cálculo de solicitaciones...36 6.3.1 Diagramas de esfuerzos...37 6.4 Cálculo resistente...37 6.4.1 Cálculo de la viga...37

6.4.2 Cálculo del pilar...38

6.5 Cálculo de desplazamientos...38

6.6 Placas de anclaje...39

6.6.1 Dimensionado de la placa...40

6.7 Referencias...41

7. Anexo...42

7.1 Principales materiales estructurales...42

7.2 Propiedades mecánicas de los materiales elásticos...43

7.3 Parámetros elásticos del material...44

7.4 Otras características de los materiales...45

7.5 Momentos de inercia...45

7.6 Forjados...46

7.7 Cimentaciones...46

7.8 Pasos para la ejecución de una edificación...47

1. Cálculo de estructuras

1.1 Introducción

Una estructura es un conjunto mecánico encargado de soportar y transmitir un determinado número de cargas hasta la cimentación, donde serán absorbidas por el terreno.

Para ello, la estructura se encuentra constituida por unas serie de barras enlazadas entre si por medio de nudos. Estos nudos pueden ser articulados o rígidos según permitan o no el giro entre barras en el punto donde confluyen. Si los nudos son rígidos los ángulos entre barras tras la deformación se conservarán y la flecha será pequeña, mientras que si son articulados no transmitirán los momentos flectores dado que su giro será libre.

El conjunto estructural básico es el pórtico, que se encuentra constituido por dos elementos sustentadores verticales (pilares o columnas) sobre los que se apoya otro horizontal (viga o dintel) sobre el que actúan las cargas verticales provenientes del forjado o de la cubierta que sostiene. Además, los pórticos suelen recibir cargas horizontales debidas a la acción del viento.

Mientras que el forjado es el elemento encargado de repartir las cargas al resto de elementos estructurales, la cubierta y demás cerramientos constituyen la envolvente del edificio, siendo su función la de resguardar el espacio interior a la edificación.

En las edificaciones tipo nave industrial, la envolvente del edificio suele estar compuesta en su gran mayoría por panel de chapa tipo sándwich, donde una serie de ondulaciones (grecas) la dan rigidez. Estos paneles se apoyan en los pórticos por medio de una serie de correas, normalmente de acero conformado en frío, que como elementos estructurales transversales al pórtico son los encargados de soportar los cerramientos y transmitir su carga.

Las vigas y los pilares son los principales elementos estructurales, y mientras la funcionalidad del primero es ofrecer resistencia a la flexión, la del segundo es ofrecerla a compresión.

Las vigas son generalmente prismáticas, en el caso de ser de hormigón, y sus dimensiones se conocen como luz o largo para la dimensión principal, y base y canto para las de la sección, siendo la base la longitud que define la superficie de apoyo. Cuando son de acero, presentan diferentes perfiles, como los que presentan forma de I o H, donde se busca maximizar el momento de inercia de la sección al alejar de la línea neutra las dos alas que se unen por medio de un alma.

1.2 Cálculo

El cálculo de una estructura se puede reducir, de forma genérica, a los siguientes tres pasos fundamentales: cálculo de reacciones, cálculo de momentos y cálculo de desplazamientos y giros.

1.2.1 Cálculo de reacciones

Para el cálculo de reacciones se plantean las ecuaciones de la estática (

∑

F =0

,

∑

M =0

), y se resuelven las incógnitas.

Cuando existan uniones articuladas, dado que permiten libremente el giro entre las dos secciones que unen, se tiene que la suma de momentos vista a cada uno de los lados ha de ser nula, lo que añadirá una nueva ecuación al sistema.

Cuando la estructura es hiperestática, o sea, el número de incógnitas es mayor que el de ecuaciones (

GH = I −E0

), se sustituyen las ligaduras necesarias por las reacciones correspondientes hasta que el sistema sea isostático, y se igualan sus desplazamientos a cero.

Tipos de apoyos

Apoyo articulado móvil Permite desplazamiento y giro

Apoyo articulado fijo Permite giro

Empotramiento No permite ningún desplazamiento

1.2.2 Cálculo de solicitaciones

Por norma general, los desplazamientos y giros debidos a esfuerzos normales y cortantes serán despreciables frente a los producidos por flexión o torsión, de tal modo que se puede reducir el problema al cálculo de los momentos.

Para ello, se secciona la estructura por cada uno de los tramos en que no existen cambios en los estados de carga y se calculan los esfuerzos normales, cortantes, flectores y torsores en cada una de las secciones según el criterio de signos adoptado.

1.2.3 Cálculo de desplazamientos y giros

Para el cálculo de los desplazamientos se aplican principalmente los teoremas de Mohr y Castigliano, explicados más adelante.

1.3 Resolución de una estructura simple

Calcular el desplazamiento y el giro en D para la estructura de la figura. Ejes globales

X Y

Z

Si existe una carga aplicada sobre una rótula, se divide la estructura en dos y se suponen aplicadas en cada parte de la estructura dos cargas que sumarán finalmente la carga aplicada y cuyos desplazamientos serán iguales en ambas partes.

Dado que en una articulación el momento es nulo, de modo que en ella sólo pueden aparecer los esfuerzos normal y cortante, dividimos la estructura por las rótulas, de tal modo que:

Dado que no existen cargas horizontales no existirán esfuerzos normales, y dado que la carga está centrada, ambas reacciones serán verticales e iguales de valor P.

Ahora se pueden representar los tramos AC y EG, de tal modo que:

K

B

=

3 E I

_L

K

F

=

4 E I

_L

La rigidez al giro de una barra relaciona el momento ejercido en un extremo con el giro efectuado,

de tal modo que

K =

M



. Sabiendo que para barras empotradas

K =

4⋅E⋅I

z

L

, y para barras con

A B C L L E F G L L 2P L D L Criterio de signos N>0 V>0 M f>0 M_t>0 2P D C E R_C=P R_E=P M_f

+

_PL A B C P L L M_f

-

P L E F G P L L M_f +

-

PL PL/2

apoyo articulado

K =

3⋅E⋅I

z

L

, se puede utilizar para determinar el giro en el extremo de una barra.

Cuando en un determinado punto confluyen más de dos barras, se utilizan los coeficientes de reparto (

C

r ) para determinar que parte del momento total aplicado sobre el nudo es absorbido por cada una de las barras que concurren en el, de modo que:

C

_r

=

K

barra

K

=

M

_barra

M

Siendo (

K

) la suma de las rigideces de las barras que concurren en un nudo (rigidez del nudo), dado que todos los extremos de barra que confluyen en un nudo rígido giran el mismo ángulo.

1.4 Cálculo resistente

Cada solicitación produce un determinado esfuerzo normal o cortante que debe ser absorbido de forma elástica por el material, de modo que la máxima tensión que debe soportar será la causada por la suma de los esfuerzos debidos a cada una de las solicitaciones.

Solicitaciones Tensiones generadas

N

Tracción / Compresión

=

N

S

=

E⋅

(Ley de Hooke)

V

Cortadura

=

V⋅M

e

B⋅I

z

M

_F Flexión

=

M

F

⋅

y

I

z (Ecuación de Navier)

M

_T Torsión (barras cilíndricas)

=

M

_T

⋅

r

I

p

(Teoría elemental de Coulomb) Tabla 1: Esfuerzos producidos por cada una de las solicitaciones

En la ecuación de Navier, dado que

y

es la distancia a la línea neutra, el esfuerzo normal máximo se producirá en las zonas más alejadas del centro de gravedad de la sección, motivo por el cual los perfiles laminados empleados en estructuras metálicas tienen esa forma en la que alejan del centro la mayor cantidad posible de material.

Como esa distancia es una característica geométrica de la sección, al igual que el momento de inercia, se caracteriza cada barra por medio de su módulo resistente:

W

_z

=

I

z

Teniendo en cuenta que normalmente los esfuezos debidos al cortante serán despreciables, frente a los del normal y los del momento flector, se tiene que el material debe verificar:

N

S



M

_F

W

z

≤

_adm

Así, el esfuerzo normal máximo se dará donde la suma de las tensiones debidas al normal y al flector sea máxima, teniendo en cuenta los sentidos de las tensiones generadas según sean de tracción o compresión.

Dado que en el estudio resistente de los materiales se considera que son homogéneos, para garantizar su resistencia en la práctica, hay que considerar un coeficiente de seguridad (



) sobre su resistencia característica (

f

k ), teniéndose que la tensión admisible (



adm ) vendrá dada por:



_adm

=

f

k



Siendo para el acero



_s

=1,15

, y para el hormigón



_c

=1,5

. 1.4.1 Ejemplo

Determinar el perfil IPE necesario para que la viga de la figura, cuyas longitudes LAB y LBC son 4 y 1

metros respectivamente, verifique la condición de resistencia cuando la carga P es de 5000 kg, siendo la tensión admisible (



_adm = 1600 kg/cm2_).



_B

=0

⇒

R

B

⋅

L

AB 3

3 E I

=

P⋅L

_BC

⋅

L

2_AB

2 E I



P⋅L

3_AB

3 E I

⇒

2 R

B

⋅

L

AB 3

_{=3 P L}

BC

⋅

L

2AB

2 P⋅L

3AB ⇒

R

_B

=

3 P⋅L

BC

2 P⋅L

AB

2 L

AB = 6875 kg L_BC L_AB A B C P

El estudio de los esfuerzos y la determinación de aquellos que sean máximos es lo que justifica la determinación de los diagramas de

Condición de resistencia IPE 330



_max

=

M

max

W

z



_adm



_max = 7,01 kg/mm2



_max

=

V

max

A





_adm



3



max = 2,46 kg/mm 2

1.5 Esfuerzos térmicos

Un elemento se encontrará sometido a esfuerzos térmicos cuando sufra contracciones o dilataciones por efecto de la variación de la temperatura y estas se encuentren impedidas.

Un caso habitual es en el que la temperatura provoca variaciones lineales de la longitud en función de la variación de la temperatura, de modo que:

L

_f

=

L

_i

1⋅T 

donde



es el coeficiente de dilatación lineal térmica. Debido a esta dilatación se producirá en la barra una tensión normal de valor:

=⋅

T⋅E

1.6 Pandeo

Cuando un elemento esbelto se encuentra sometido a compresión, típicamente pilares metálicos, se puede producir el fenómeno conocido como pandeo.

L_BC L_AB A B C P R_B M_f 5000 kg·m 2500 kg·m -+

El pandeo es la pérdida de equilibrio que experimenta una barra prismática de cuerpo elástico sometida a compresión axial. Cuando dicha barra es suficientemente esbelta (larga y delgada), y la carga sobrepasa un cierto valor denominado carga crítica, la barra pasa a estar en equilibrio inestable, lo que significa que la más mínima alteración (que siempre existe) provoca el agotamiento de la barra sin un nuevo incremento de la carga.

De modo que la carga crítica o de pandeo representa el menor valor de la carga de compresión que provoca que la barra pase del equilibrio estable

al inestable, pudiendo ceder aún cuando la tensión en el material no supere el límite elástico de compresión.

1.6.1 Cálculo a pandeo

La carga crítica (

N

_cr ) se determina a partir de la expresión de la carga crítica de Euler (caso fundamental), conociendo la longitud de pandeo (

L

_p ), dado que es la longitud equivalente a la que tendría en el caso fundamental.

N

_cr

=



2

⋅E⋅I

_min

L

2_p donde

I

min es el momento de inercia mínimo de la sección.

Por medio del cálculo de la esbeltez (



) se verifica que se puede aplicar la ecuación de Euler (

105

) y se establece el coeficiente de seguridad a pandeo (

C

_sp

=3,5

).

=

L

p

r

_gmin donde

r

gmin

=



I

_min

S

es el radio de giro mínimo de la sección.

Así, la tensión crítica se define como :



_cr

=

N

cr

S

=



2

⋅E



2

1.6.2 Longitud de pandeo

Se denomina longitud de pandeo a aquella equivalente a la de una barra biarticulada sometida a un esfuerzo normal de compresión que tenga la misma carga crítica que la considerada.

Así, la longitud de pandeo (

L

k ) viene dada por el coeficiente de pandeo (



) según la longitud Existen tres tipos de equilibrio a los que puede estar sometido un cuerpo:

- Equilibrio estable: cuando se separa el cuerpo de su posición de equilibrio de forma infinitesimal este retorna a su antigua posición. (esfera sobre superficie cóncava)

- Equilibrio indiferente: cuando se separa el cuerpo de su posición de equilibrio de forma infinitesimal este permanece en su nueva posición. (esfera sobre superficie plana) - Equilibrio inestable: cuando se separa el cuerpo de su posición de equilibrio de forma infinitesimal este se aleja más de su posición inicial. (esfera sobre superficie convexa)

real de la barra (

L

), de tal modo que:

L

k

=⋅

L

En el caso de piezas de sección constante sometidas a compresión centrada, se tiene que:

– Barra biarticulada:

=1

– Barra biempotrada:

=0,5

– Barra empotrada- articulada:

=

0,7

– Barra empotrada-libre:

=

2

1.7 Fatiga

Cuando un material se ve sometido a cargas alternantes, que provocan esfuerzos variables de forma continuada, se pude producir su rotura aunque en ningún caso se haya sobrepasado su límite resistente.

A este fenómeno en el que un material dúctil sufre una rotura repentina y sin deformación plástica (frágil) por debajo de su resistencia, o incluso de su límite elástico, se lo conoce como rotura por fatiga.

Para el acero se ha comprobado que existe una tensión por debajo de la cual el material no sufre la rotura por fatiga. A esta tensión se la denomina límite de fatiga (



_e ) y consideraremos que su valor admisible vendrá dado por:



_{e , ad}

=



e

C

siendo



e

=



_R

2

, y



R la tensión de rotura.

1.8 Acciones en la edificación

Las acciones que pueden aparecer sobre una edificación se dividen en tres grupos:

– Acciones permanentes (G) – Acciones variables (Q) – Acciones accidentales (A)

Y quedan recogidos en el documento básico, DB SE-AE, del Código Técnico de la Edificación.

Acciones permanentes (G)

Acciones que siempre se encuentran presentes.

Peso propio

Acciones debidas al propio peso de las edificaciones y a aquellas cargas cuyo carácter sea permanente, como en el caso de

determinados equipos industriales de ubicación fija.

Acciones variables (Q)

Acciones que por su carácter no son permanentes. L

β = 1

β = 2 β = 0,5 β = 0,7

Sobrecarga de uso

Acciones climáticas

Viento Las acciones de viento se contemplan como fuerzas perpendiculares a la superficie expuesta y vienen determinadas por la presión dinámica del viento (función del emplazamiento geográfico de la obra), por un coeficiente de exposición (función de la altura del punto considerado y

del grado de aspereza del entorno) y por un coeficiente eólico de presión (función de la forma y orientación de la superficie). En construcciones diáfanas sin forjados intermedios (naves) hay que

considerar la superficie de huecos que presentan los cerramientos dado que pueden dar lugar a succiones en el interior.

Nieve Dependen de la ubicación geográfica y de la altitud, y de un coeficiente de forma de la cubierta que determina la acumulación de

nieve.

Térmicas Acciones debidas a las tensiones que provocan, cuando se encuentran impedidas, las dilataciones y contracciones causadas por las

variaciones térmicas.

Tanto en estructuras metálicas como de hormigón no se contemplan mientras no existan elementos continuos de más de más de 40 m de longitud, en cuyo caso, para evitar su aparición, se colocan juntas de

dilatación.

Acciones accidentales (A)

Acciones cuyo carácter es fortuito y eventual.

Sismo Las acciones debidas a movimientos sísmicos son contempladas por la

Norma de construcción sismorresistente (NCSE).

Incendio Las acciones producidas por un incendio son contempladas por el

documento básico de seguridad en caso de incendio (DB-SI).

Impacto

Son cargas impulsivas (de aplicación instantánea) producidas, normalmente, por la colisión de un vehículo, típicamente, en garajes y

naves.

El análisis del problema de impacto suele reducirse a la determinación de la carga estática equivalente, o sea, aquella que aplicada sobre la

estructura provocaría la misma deformación que la de impacto.

A partir de las diferentes acciones posibles, se generan una serie de hipótesis de cálculo, por medio de sumas ponderadas según el tipo de acción y efecto, favorable o desfavorable, que servirán para el correcto diseño y dimensionado de la estructura.

2. Determinación de desplazamientos y giros

Hay que tener presente que una fuerza produce un desplazamiento lineal en su mismo sentido, mientras que un momento causa un giro. Así, la deformación



_k será aquella correspondiente a la acción exterior

F

k , de modo que si se trata de una fuerza (P) es un desplazamiento (), y si se trata de un momento (M) es un giro ().

2.1 Teoremas de Mohr

2.1.1 Determinación de giros y desplazamientos relativos

Primer teorema de Mohr: El ángulo relativo girado entre dos secciones de una viga es igual al área del diagrama de momentos flectores comprendido entre ambas secciones, dividido por la rigidez a flexión (

E I

z ).



_AB

=

∫

A B

_M

F

E I

_z

dx

Segundo teorema de Mohr: El desplazamiento sufrido por una sección con respecto a la tangente en un punto de la viga es igual al área del diagrama de momentos flectores comprendido entre ambos puntos por la distancia desde su centro de gravedad al punto del que se quiere calcular su desplazamiento relativo, dividido por la rigidez a flexión.



_{B tA}

=

∫

A B

x

_B

M

F

E I

_z

dx

EJEMPLO: Determinar el desplazamiento y el giro en A de la viga empotrada en voladizo que presenta una carga vertical uniformemente repartida de valor q.

_M

f

=−

q⋅x⋅

x

2

Ambos teoremas son aplicables a torsión sin más que utilizar momentos torsores (

M

_T ) y la rigidez a torsión (

G I

_p ).

L

A B

q

x



_A

=

∫

0 L

q⋅x

2

2 E I

dx=

q⋅L

3

6 E I



_A

=

∫

0 L

q⋅x

2

2 E I

⋅

x dx=

q⋅L

4

8 E I

EJEMPLO: Determinar el desplazamiento en B y el giro en A.

Esta estructura puede ser descompuesta en dos, sabiendo que por el principio de superposición, los efectos de las cargas combinadas son iguales a la suma de los efectos de las cargas aisladas. Así:

Partiendo del diagrama de momentos y por medio de la aplicación del primer y del segundo teorema de Mohr se obtienen cada uno de los desplazamientos, que combinados, compondrán los de la estructura inicial.

2.1.2 Determinación de giros y desplazamientos absolutos

La determinación de los desplazamiento y/o giros absolutos por medio del tercer y cuarto teorema de Mohr requiere la aplicación del teorema de la viga conjugada.

Dada una viga, a la que llamaremos primitiva, definimos la viga conjugada de la primera como aquella de la misma longitud que la primitiva, cuya única carga sea repartida de valor en cada sección igual al momento flector dividido por la rigidez (

E⋅I

z ), en la correspondiente sección de la primitiva.

Además, la viga conjugada debe cumplir las siguientes condiciones de sustentación:

a) Cuando los extremos de la viga primitiva están apoyados mediante articulaciones, los extremos de la conjugada deben estarlo de igual forma.

b) Si un extremo de la viga primitiva está volado, el correspondiente extremo de la conjugada debe estar empotrado, y viceversa.

c) Los apoyos en puntos intermedios de la viga primitiva deben sustituirse por φ δ P A _B C L L M A B P C _(II) M_f

-P L M_f

-

M (I) A B C M

+

articulaciones en las correspondientes secciones de la conjugada, y viceversa.

Tercer teorema de Mohr: El ángulo girado por una sección de la viga primitiva es igual al esfuerzo cortante en la correspondiente sección de la viga conjugada, y su sentido de giro es dextrógiro cuando el esfuerzo cortante en la sección de la viga conjugada es positivo.

Cuarto teorema de Mohr: La flecha de una sección de la viga primitiva es igual al momento flector en la correspondiente sección de la viga conjugada, y su sentido es hacia abajo cuando el momento flector en la sección de la viga conjugada es positivo.

EJEMPLO: Determinar el giro de A por el tercer teorema de Mohr.

Se calculan las reacciones en A y B y se obtiene el diagrama de momentos flectores que proporcionará la carga a la que se encontrará sometida la viga conjugada.

_M

f

=

M

L

⋅

x−M

Se representa la viga conjugada con su carga correspondiente para poder aplicar el tercer teorema de Mohr.

Calculando la reacción vertical en A se obtiene el valor del giro a izquierdas que provoca el momento M. M L A B M/L M_f

-M M A B M/L M /E I ML/2EI 2L/3 L/3

De modo que :

_

A

=

M L

3 E I

2.2 Teorema de Castigliano

El teorema de Castigliano permite determinar el desplazamiento en una sección determinada, dado que vendrá dado por la derivada parcial de la energía interna del sistema con respecto a la acción causante del desplazamiento en dicha sección.



_k

=

∂

U

∂

F

_k

2.2.1 Método de la acción unidad

La forma de aplicar el teorema de Castigliano es por medio de las integrales de Mohr, las cuales simplifican enormemente los cálculos. Así:

1. Si no existe una carga donde se quiere calcular el desplazamiento correspondiente, se supone y al final se iguala a cero.

2. Se calculan las solicitaciones, teniendo en cuenta que normalmente bastará con calcular el momento flector, dado que el normal y el cortante suelen ser despreciables.

3. Se derivan respecto a la carga, de tal modo que:

N

1

=

∂

N

∂

F

_k

M

F1

=

∂

M

_F

∂

F

k

M

_T 1

=

∂

M

_T

∂

F

k

4. Se calculan las integrales de Mohr extendidas a toda la estructura, lo que nos dará la deformación producida por cada solicitación.



_N

=

∫

L

N⋅N

₁

S⋅E

dx



MF

=

∫

L

M

_F

⋅

M

_F1

E⋅I

_z

dx



MT

=

∫

L

f

_t

M

T

⋅

M

T1

G⋅I

_p

dx

NOTA: Cuando la acción del punto de desplazamiento tiene la misma designación simbólica que alguna otra carga, habrá que cambiársela para poder realizar la derivación, así como asignársela si viene dada por un valor numérico.

2.3 Potencial interno

Cuando un cuerpo es sometido a deformación se generan unas fuerzas internas que producirán un trabajo conocido como energía de deformación o energía interna. Esta energía vendrá dada por la suma de los trabajos directos e indirectos del sistema.

El trabajo directo es aquel que viene dado por la ecuación de Clapeyron: φ

W

_ii

=

1

2

P

i

⋅

i Y el trabajo indirecto o mutuo:

W

ij

=

P

i

⋅

ij

⋅

P

j , donde por el teorema de Betti se sabe que los trabajos indirectos recíprocos son iguales, o sea

W

ij

=

W

ji

∀

i≠ j

.

Por ejemplo, para un sistema cargado con una fuerza y un momento:

U =

1

2

P 

A



1

2

M 

B

=

1

2

P

2

⋅

_AA



1

2

M

2

⋅

_BB



P⋅M⋅

_AB

Como el potencial interno no es función lineal de las acciones, no es aplicable el principio de superposición a la energía interna. Sin embargo, la energía interna puede ser determinada por medio de la suma de las energías de deformación debidas a cada una de las solicitaciones, cuyas expresiones son:

U

N

=

∫

L

N

2

2⋅E⋅S

dx

U

MF

=

∫

L

M

F 2

2⋅E⋅I

_z

dx

U

V

=

∫

L

f

c

V

2

2⋅G⋅S

dx

U

MT

=

∫

L

f

_t

M

T 2

2⋅G⋅I

_p

dx

De modo que finalmente tendremos que la energía total del sistema vendrá dada por la suma de las producidas por cada solicitación.

U

_TOTAL

=

U

_N



U

_V



U

_MF



U

_MT

Como las energías de tracción y cortadura suelen ser despreciables cuando coexisten con las de flexión y torsión, el problema se reducirá a la determinación de la energía interna debida a flexión.

2.4 Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti

El cálculo de desplazamientos por Maxell-Betti consiste en establecer dos sistemas de acciones distintas para una misma estructura, de tal modo que la suma de los productos de las acciones de uno de los sistemas por los correspondientes desplazamientos en el otro, es igual a la suma de productos de los desplazamientos en el primero por las correspondientes acciones del segundo.

∑

F

_{i I }

⋅

_{i II }

=

∑

F

_{j II }

⋅

_{j I } Así:

1. Se establece una acción para el sistema de cargas (II) en el punto donde se quiere calcular el desplazamiento.

existen cargas aplicadas en el sistema (I).

3. Se aplica Maxwell-Betti y se despeja el desplazamiento buscado.

EJEMPLO: Determinar el desplazamiento de B en el sistema I aplicando el teorema de Betti. Se parte del sistema I y se define el sistema II para determinar el desplazamiento.

De este modo:

M⋅

_{A II }

=

P⋅

_{B I }

Como por el primer teorema de Mohr tenemos que el giro de A en el sistema II a derechas vale:



_{A II }

=−

PL⋅L /2



B I 

=−

M L

2

2

Que como tiene signo menos, significa que el desplazamiento será hacia arriba.

A B P C L L A B C L L M (I) (II) A B P C _(II) M_f

-P L

3. Pórtico simétrico

Uno de los conjuntos estructurales más recurrido, en las edificaciones industriales, es el pórtico rígido biempotrado a dos aguas. Este tipo de estructura consta de dos pilares empotrados a la cimentación y a los que se encuentra rígidamente unido el dintel.

Cuando el pórtico es metálico es necesaria la comprobación a pandeo, pero en el plano perpendicular al mismo, el pandeo se encontrará impedido gracias a la acción de arriostramiento de las correas y del muro de cerramiento perimetral.

Este conjunto presenta la particularidad de ser simétrico, tanto de material, como de geometría, como de condiciones de sustentación, de modo que su resolución teórica se simplifica notablemente.

Cuando una estructura es simétrica puede ser descompuesta en dos, cuya suma será igual a la primera. Una con un estado de cargas simétrico y la otra con uno antisimétrico (las cargas a un lado del eje de simetría son de sentidos contrarios a los que le corresponderían si fuesen simétricas).

La simplificación que conlleva la descomposición del problema en dos, viene de que, en la sección situada en el plano de simetría, en la parte simétrica el desplazamiento horizontal, el giro y el esfuerzo cortante son nulos (δH = φ = V = 0), mientras que en la parte antisimétrica lo son el desplazamiento

vertical, el esfuerzo normal y el momento flector (δV = N = Mf = 0).

A la estructura con carga simétrica se la denomina también como no traslacional, dado que sus Ilustración 1: Pórtico rígido

A B C E D 15 6 5 A B M C E D M φ = 0 δ_H = 0 V = 0 Simétrico A B M C E D M δ_V = 0 N = 0 M_f = 0 Antisimétrico +

nudos no sufren desplazamiento lineal si sólo se tiene en cuenta la flexión.

3.1 Cálculo de acciones

Una nave industrial de 15x30 m2 _{presenta una estructura constituida por pórticos rígidos a dos}

aguas de 5 m de pilar y 6 metros de altura a cumbrera, con una separación entre los mismos de 5 m. La cubierta se encuentra constituida por panel grecado tipo sandwich, que se apoya en la estructura a través de una serie de correas de perfil en Z que se encuentran separadas 1,5 m. Esta edificación presentaría una serie de acciones que para el cálculo estructural se consideran como cargas uniformemente repartidas y directamente aplicadas sobre el pórtico.

ACCIONES Acciones permanentes (G)

Peso propio (G) - Peso de los paneles

- Peso de las correas

Acciones variables (Q)

Sobrecarga de uso (Q1) - Sobre carga de mantenimiento

Viento (Q2) Nieve (Q3)

Para el cálculo de la sobrecarga de uso, dado que la cubierta sólo es accesible para personal de mantenimiento, según CTE (DB-SE AE), la sobrecarga puntual de uso para cubiertas ligeras sin forjado y accesibles únicamente para conservación es de 1 kN.

Para convertir la carga puntual en distribuida se aplica un criterio de resistencia, de modo que el momento máximo producido por la carga aplicada en el punto medio del vano sobre una correa debe ser igual al producido por la carga distribuida equivalente.

Momento máximo

(se produce en el centro x = L/2)

Viga biarticulada con carga puntual en

el centro

M

c

=

P⋅L

4

Viga biarticulada con carga

uniformemente repartida

M

c

=

q⋅L

2

8

L A B P L A B q

Así, la carga distribuida que genera el mismo momento máximo que una puntual (

P

= 100 kg) viene dada por

q=

2⋅P

L

, de tal modo que para

L

= 5 m:

q

= 40 kg/m

Finalmente, como la distancia entre correas (

d

) será de 1,5 m y la carga es absorbida por una única correa (

q

d

), tendremos una sobrecarga superficial de 26,67 kg/m2.

3.2 Cálculo de correas de cubierta

Las correas son los elementos resistentes cuya misión es soportar el peso de los cerramientos, en particular, el peso de la cubierta. Para ello se apoyan sobre los dinteles constituyendo vigas continuas que actuarán como soporte del faldón del tejado cuando la cubierta es inclinada. En este caso, el momento flector no coincide con ninguno de los ejes principales de inercia del perfil, con lo que se trata de un caso de flexión desviada, y por tanto, habrá que resolverlo por superposición.

De este modo, se tiene que la tensión máxima que debe soportar una correa de cubierta viene dada por la suma de las tensiones producidas por las acciones descompuestas según los ejes del perfil.

M

_z

W

z



M

y

W

y



_adm [flexión desviada]

Una viga que cubre tres o más vanos, o sea, que tiene más de tres apoyos, se la conoce como viga continua, y su principal ventaja reside en que presenta una menor flexión, y por tanto una menor flecha, aunque es muy sensible a los asientos diferenciales.

M

max

=

q⋅L

2

10

L q L L α y q z α q q_z = q·sen α q_y = q·cos α

4. Estructuras reticuladas

4.1 Introducción

Las estructuras reticuladas o reticulares son aquellas que se encuentran constituidas por entramados de barras unidos por nudos articulados. Debido a esto, si sólo existen cargas sobre los nudos, las barras se encontrarán sometidas únicamente a esfuerzos normales, o sea, sólo trabajarán a tracción o a compresión. Dado que mientras que con un nudo rígido todas las barras que confluyen en él sufrirán desplazamientos y giros iguales, con nudos articulados los giros serán libres, lo que implica que el momento flector en la misma sea nulo, y por tanto no se transmitirá.

Para la resolución de una estructura reticulada todas las cargas deben estar aplicadas en los nudos, para de ese modo considerar que todas las barras se encuentran sometidas a tracción, siendo el signo el que indique si se trata de un esfuerzo de tracción (+) o de compresión (-). Así, cuando alguna barra se encuentre cargada, para resolver la estructura, se trasladará la carga a la correspondiente sobre los nudos, y cuando sea el momento de resolver el desplazamiento o el giro de la barra cargada se tendrán en cuenta los momentos flectores que aparecen sobre dicha barra por el hecho de encontrarse cargada. Además, recordar que cuando la barra está sometida a tracción, el nudo lo está a compresión, y viceversa.

Si la estructura es hiperestática interiormente (

GH =3b – 2⋅n

> 0, donde

b

es el número de barras y

n

el de nudos), para su resolución hay que eliminar un número de barra igual a

GH

y sustituirlas por las fuerzas que ejercerían, fijando las condiciones que imponían sus coacciones.

4.2 Ejemplo

Determinar los esfuerzos normales en las barras, cuando la barra que se encuentra cargada es la BC. Ilustración 2: Modelo estructural para

soporte de colectores solares

A B C L · cos(α) L · se n( α ) α L

GH =3b – 2⋅n

= 3 + 3 – 2·3 = 0 Estructura isostática⇒ 1. Cálculo de reacciones.

R

_HA

=

q

_v

⋅

L

_AB

R

VA

=



q

p

⋅

L

2AC

2

−

q

v

⋅

L

2AB

2



/

L

AC

R

_VC

=



q

p

⋅

L

AC 2

2



q

v

⋅

L

AB 2

2



/

L

AC

4.3 Principio de los trabajos virtuales

Si superponemos a los desplazamientos en equilibrio un campo de desplazamientos arbitrarios compatible con las condiciones de vínculo y de magnitud infinitesimal (desplazamientos virtuales), el incremento de trabajo hecho por las fuerzas externas durante la aplicación de los desplazamientos será igual al experimentado por el trabajo realizado por las fuerzas internas, o sea, el trabajo virtual externo será igual al trabajo virtual interno.

A B C L_AC L_AB q_p q_v A B C q_p·L_AC q_v·L_AB R_HA R_VC R_VA D

4.3.1 Aplicación del P.T.V. al cálculo de desplazamientos

En estructuras reticulares con cargas únicamente en los nudos resulta sencilla la aplicación del P.T.V. al sistema dado que el trabajo sólo será debido a los esfuerzos normales, de tal modo que:

1. Se determinan los esfuerzos normales sobre nuestro problema (sistema congruente de desplazamientos).

2. Se calculan los esfuerzos normales sobre un sistema formado por la misma estructura pero con una única carga de valor unitario y correspondiente al desplazamiento que se desea hallar (sistema de fuerzas de equilibrio).

Recordemos que se entiende por correspondiente a una fuerza de la misma dirección y sentido, y aplicada sobre la misma sección que el desplazamiento requerido, o a un momento de igual dirección y sentido, y punto de aplicación que el giro que se busca.

3. Finalmente, por el principio de los trabajos virtuales, se tiene que para sistemas de nudos articulados y cargas sobre los nudos, el desplazamiento correspondiente en el punto de aplicación de la carga unitaria viene dado por:

=

∑

N

_i

'

N

i

⋅

L

S E

donde:

N

_i



son los esfuerzos de tracción soportados por cada una de las barras en el sistema de

fuerzas real.

N

_i

' 

son los esfuerzos de tracción soportados por cada una de las barras en el sistema de

5. Método de la rigidez

5.1 Introducción

Un sistema estructural, constituido por un entramado de barras rectas de sección constante y que cumplen las hipótesis de pequeñas deformaciones, se puede resolver por medio de la ecuación matricial que relaciona las cargas en los nudos (

L

) y sus desplazamientos (

D

) a través de la matriz de rigidez (

S

) de la estructura.

L=S⋅D

La definición de la matriz de rigidez se realiza de forma sistemática, de modo que el método se sintetiza en una serie de etapas mediante las cuales se da solución al sistema estructural.

1. Descripción de la estructura.

2. Cálculo de la matriz de rigidez de cada barra y del vector de cargas nodales equivalente.

3. Cálculo de la matriz de rigidez global (ensamblaje) y del vector de cargas global de la estructura.

4. Introducción de las condiciones de contorno.

5. Cálculo de desplazamientos y giros (solución del sistema de ecuaciones).

6. Cálculo de solicitaciones en los extremos de las barras. 7. Cálculo de reacciones.

5.2 Método

5.2.1 Descripción estructural

La estructura se define respecto a un sistema de referencia global (X, Y, Z) respecto al que se establecen las coordenadas de los nudos y sus cargas.

Sin embargo, cada barra presenta su propio sistema de referencia local (x, y, z) respecto al cual se definen sus características, así como las acciones aplicadas sobre ella. Este sistema presenta el eje x coincidiendo con el geométrico de la barra, mientras que los ejes y y z lo hacen con los ejes principales de la sección transversal de la barra.

Ilustración 3: Sistema de referencia local h t_w y z x b

Entrada de datos

Entrada de datos

Algoritmo de cálculo

Algoritmo de cálculo

Salida de resultados

Salida de resultados

5.2.2 Matriz de rigidez de barra y vector de cargas nodales equivalente

5.2.2.1 Matriz de rigidez de barra

La matriz de rigidez (

k

) de una barra respecto al sistema de referencia local (

x

,

y

,

z

) que sigue la orientación indicada por los nudos inicial (

1

) y final (

2

) de la barra se define de forma única como:

k =

[

E A

L

0

0

−

E A

L

0

0

0

12 E I

L

3

6 E I

L

2

0

−12 E I

L

3

6 E I

L

2

0

6 E I

L

2

4 E I

L

0

−6 E I

L

2

2 E I

L

−

E A

L

0

0

E A

L

0

0

0

−12 E I

L

3

−6 E I

L

2

0

12 E I

L

3

−6 E I

L

2

0

6 E I

L

2

2 E I

L

0

−6 E I

L

2

4 E I

L

]

Así, por medio de esta matriz quedan relacionadas las fuerzas en extremo de barra (

f

) con los desplazamientos nodales en ejes locales (

d

).

5.2.2.2 Vector de cargas nodales

Las cargas aplicadas sobre las barras deben ser sustituidas por unas equivalentes que, aplicadas en los nudos, produzcan en la estructura los mismos efectos que las originales, siendo estas cargas equivalentes (

p

) las reacciones de empotramiento perfecto cambiadas de signo.

5.2.2.3 Matriz de rotación

Dado que una barra puede presentar una orientación arbitraria (



), medida en el sentido levógiro, se define la matriz de rotación (

r= f 

) para convertir los vectores y matrices entre los sistemas de referencia absoluto y local, de tal modo que:

r =

[

cos

sin  0

0

0

0

−sin  cos 0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

cos

sin  0

0

0

0 −sin  cos  0

0

0

0

0

0

1

]

K =r

t

⋅

k⋅r

Y el vector de cargas global de la barra, como:

P=−r

t

⋅

p

5.2.3 Matriz de rigidez global y vector de cargas global de la estructura

5.2.3.1 Matriz de rigidez de la estructura

La matriz de rigidez de la estructura (

S

) se construye como la suma de las rigideces correspondientes a cada nudo y aportadas por cada barra. Para ello se identifican las submatrices que componen la matriz de rigidez de la barra y se suman a su posición correspondiente en S.

S=

∑

K

K =

[

K

11

K

12

K

₂₁

K

₂₂

]

5.2.3.2 Vector de cargas de la estructura

El vector de cargas de la estructura (

L

) se construye como la suma de las cargas aplicadas en cada nudo, incluyendo las producidas por cada barra.

L=

∑

P

P=

[

P

1

P

₂

]

5.2.4 Introducción de las condiciones de contorno Las filas y columnas de cada desplazamiento

impedido se ponen a cero, salvo el elemento de la diagonal que se igual a uno, y se elimina la acción (carga) correspondiente.

5.2.5 Solución del sistema de ecuaciones

La resolución del sistema de ecuaciones proporciona el vector de desplazamientos nodales (

D

) en función de sus cargas (

L

), de tal modo que:

D=S

−1

⋅

L

5.2.6 Cálculo de solicitaciones en los extremos de barras y reacciones

– Las solicitaciones (

f

) en los extremos de cada barra se calculan por medio de la matriz de

rigidez de la misma gracias a que los desplazamientos de sus extremos son conocidos, y se aplica una transformación para expresar sus valores en el sistema de coordenadas local de la barra.

F =K⋅D

f =r⋅F

– Las reacciones (

R

) se expresan en el sistema de coordenadas global, siendo el resultado de

Para resolver estructuras reticuladas hay que igualar los momentos de inercia a 0 (

I

_z

=0

)

sumar los esfuerzos de extremo de barra que confluyen en el nudo más las cargas que sobre el se encuentran aplicadas.

R=

∑

F

5.2.7 Comprobación del equilibrio

5.2.7.1 Equilibrio global

Para comprobar los resultados obtenidos por el método de la rigidez se aplican las ecuaciones de equilibrio global de la estructura, cargas frente a reacciones.

∑

F

X

=0

∑

F

Y

=0

∑

M

Z

=0

5.2.7.2 Equilibrio local

Para verificar la precisión del cálculo se plantean las ecuaciones locales de cada barra.

∑

F

_x

=0

∑

F

_y

=0

∑

M

_z

=

0

La precisión de la solución final se mide a través del cálculo del error cuadrático medio de los errores determinados a través de las ecuaciones de equilibrio de cada barra.

∑

F

_x

=

N

₁



N

₂



F

_x1



F

_x2

∑

F

_y

=

V

₁



V

₂



F

_y1



F

_y2

∑

M

_z

=

M

₁



M

₂



M

_z1



M

_z2



V

₂

– F

_y2



L

5.3 Barra con carga uniformemente distribuida

Reacciones de empotramiento perfecto generadas por una carga uniformemente distribuida.

5.3.1 Reacciones de empotramiento perfecto

Las reacciones de empotramiento perfecto son las que aparecen cuando una barra cargada se encuentra empotrada.

Para el cálculo de las reacciones se expresa la carga distribuida como concentrada aplicada en el centro.

2 1

q

Dado que la carga está aplicada de forma simétrica las reacciones y momentos generados son iguales en ambos extremos, pero dado que los momentos tienen sentidos opuestos, los signos serán distintos según sea levógiro (positivo) o dextrógiro (negativo).

V

1

=

V

2

=−

q⋅L

2

M

1

=−

M

2

=

q⋅L

2

12

5.3.2 Diagramas de esfuerzos

La ley de momentos (

M  x 

) de una barra sometida a la acción de una carga uniformemente distribuida (

q

) vine dada por:

M  x =M

₁



V

₁

⋅

x−q⋅x⋅

x

2

x ∈[0, L]

Y por tanto, el momento flector máximo, que es aquel donde la derivada vale cero:

V

₁

– q⋅x=0 ⇒ x=

V

1

q

M

_max

=

M

₁



V

1 2

2⋅q

5.3.3 Deformada

La ecuación de la elástica o deformada (

y  x 

) se obtiene a partir de la ecuación diferencial de la línea elástica:

y ' '  x =

−

M  x 

E⋅I

_z Integrando:

y '  x=−

1

E⋅I

_z



M

1

xV

1

x

2

2



q

x

3

6





C

1 V₁ M₂ M₁ V₂ q·L M₁ V₁ x

y  x =−

1

E⋅I

z



M

1

x

2

2



V

1

x

3

6



q

x

4

24





C

1

xC

2

y ' 0=C

1

=

1 y

y 0=C

2

=

1

5.4 Comprobaciones

Para calcular y dimensionar los elementos de una estructura hay que verificar que se cumplen los criterios de tensión, flecha y esbeltez. Siendo el primero el criterio resistente, que indican que el material soportará la tensión a la que se encontrará sometido en la estructura bajo las condiciones previstas, el segundo el criterio de servicio, que responde a las deformaciones máximas admisibles bajo un determinado uso, y el tercero el de estabilidad.

Así, para el dimensionado de los elementos estructurales habrán de verificarse los estados límite de servicio (ELS) y último (ELU).

– Estado límite último de resistencia. – Estado límite de servicio de deformación. – Estado límite último de pandeo.

5.4.1 Comprobación a resistencia

Se ha de comprobar que ninguna de las secciones bajo carga mayorada sobrepase la resistencia del material minorada (tensión última del material).

Así, la resistencia de una sección a solicitación compuesta (

N

+

M

+

V

):

N

A



M

_z

W

z



M

y

W

y

≤

f

_yd siempre que

V 

1

2

A

v

f

_yd



3

con

f

_yd

=

f

y



=

u y

A

v

=

h⋅t

w

Para el acero más típicamente usado en España, S275JR, la tensión de límite elástica:

f

y

=275

N/mm2_.

5.4.2 Comprobación a deformación

Se ha de comprobar bajo cargas sin mayorar la limitación de flecha, la cual se especifica según servicio en forma de flecha máxima relativa, que es aquella cuyo valor es función de la longitud del tramo.

f  f

_adm

La flecha de un elemento estructural es el desplazamiento en la dirección normal a su directriz, siendo por tanto el valor puntual de la deformación (

y  x 

) que sufre una pieza sometida a flexión (

M  x 

).

5.4.3 Comprobación a pandeo

Se ha de comprobar, bajo cargas mayoradas, la resistencia a pandeo en aquellos elementos esbeltos sometidos a compresión como los pilares metálicos. Dado que si se alcanza la carga crítica (

N

cr ), el equilibrio del elemento estructural pasará a inestable y cualquier perturbación, por pequeña que sea, provocará una curvatura inicial que irá creciendo hasta llegar al colapso de la pieza, dando lugar al fenómeno de pandeo.

Así, se definen los coeficientes de pandeo (



) según las condiciones de vínculo en los extremos, con lo que se obtiene la longitud de pandeo (

L

k

=⋅

L

), y con ella la carga crítica de Euler:

N

_cr

=





L

_k



2

⋅

E⋅I

Finalmente, la comprobación a pandeo:

≤

cr

=



2

⋅

E



2

=

L

k

i

[esbeltez mecánica]

i=



I

A

[radio de giro]

Para que la teoría de Euler sea aplicable:

≥103,9

, aunque hay que tener en cuenta que se recomienda que no supere 200.

En la antigua Norma Básica de la Edificación, la comprobación a pandeo se realiza por medio de la

determinación de unos coeficientes de pandeo (

=



u



cr

) tabulados, que se determinan en función de

la resistencia del material (

f

y ) y de la esbeltez mecáncia (



) del perfil. Teniéndose:

N⋅

A



M

W

_z

≤

u

5.5 Implementación (MSA)

Para la implementación del método se utiliza el lenguaje Python junto a una serie de paquetes para cálculo matricial (Numpy) y representación gráfica (matplotlib).

Con la unión de estos “softwares” se tiene una herramienta de programación similar a MATLAB, multiplataforma, open source y con coste cero.

Aunque “MSA” se encuentra en desarrollo se puede descargar la última versión disponible en la página del proyecto:

http://code.google.com/p/msapy/

Dado que se trata de un proyecto totalmente abierto, se esperan sugerencias, comentarios, colaboraciones...

Las estructuras reticulares sólo admiten cargas en los nudos, mientras que las de nudos rígidos, también admiten cargas uniformemente distribuidas en el sentido perpendicular a la barra.

5.6 Ejemplo

5.6.1 Definición del problema

El problema se define en el archivo “input.csv” como: Material;Tipo;E[N/m2];fyd[N/m2]; M0;MAT;29000;330; Propiedades;Tipo;A[m2];Iz[m4];Wz[m3]; P0;PROP;0,12;0,006;0,001; Nudos;X[m];Y[m];Tipo;FX[N];FY[N];MZ[Nm]; N0;2,40;1,80;rj;0;0;0; N1;0;0;fs;0;0;0; 2 1 0 250 0 1 2,40 2,40 1 ,8 0 I = 0,006 A = 0,12 E = 29000 Descarga MSA

N2;4,80;1,80;fs;0;0;0; Barras;Ni;Nf;qy[N/m];Tipo; B0;1;0;0;PROP; B1;0;2;-250;PROP; 5.6.2 Solución

Informe de resultados

Nudos Coordenadas Cargas

X [m] Y [m] FX [N] FY [N] MZ [Nm]

0 2.4 1.8 0 0 0

1 0.0 0.0 0 0 0

2 4.8 1.8 0 0 0

Barras Propiedades Cargas

L [m] A E Iz qy [N/m]

1/0 3.00000 0.12 29000 0.0060000 0

Nudos Reacciones RX [N] RY [N] MZ [Nm] 0 0.00 0.00 0.00 1 204.49 184.84 46.47 2 -204.49 415.16 -247.32 Esfuerzos

Barras N1 V1 M1 N2 V2 M2 1/0 274.50 25.18 46.47 -274.50 -25.18 29.07 0/2 204.49 184.84 -29.07 -204.49 415.16 -247.32 Desplazamientos Nudos Desplazamientos dX [m] dY [m] gZ [rad] 0 0.141029 -0.582434 -0.149999 1 0.000000 0.000000 0.000000 2 0.000000 0.000000 0.000000 ______________________________

Informe generado mediante MSA, con la aplicación del método matricial de la rigidez.

6. Cálculo de una marquesina

6.1 Introducción

El problema consiste en resolver el cálculo de la estructura metálica de una marquesina, cuyo modelo se plantea a continuación, aunque quedará pendiente el dimensionado de la placa de anclaje y de la cimentación necesaria.

6.1.1 Parametrización

6.1.2 Hipótesis de carga

La estructura estará afectada por las acciones debidas al peso propio, la sobrecarga de nieve y la sobrecarga de viento; estando afectadas cada una de ellas por el correspondiente coeficiente de ponderación según su clase (acción permanente o variable) y efecto (favorable o desfavorable).

CTE-DB-SE-AE

Así, para la determinación de las acciones actuantes se tendrán en cuenta:

– Peso propio de la estructura.

– Carga permanente debida al peso de la cubierta y las correas que la soportan.

– Sobrecarga de viento según la zona eólica, la situación topográfica y la altura de la estructura. – Sobrecara de nieve sobre la cubierta dependiendo de su inclinación y de la altitud de la

localización de la obra. b/cos α a/cos α D H a L α A B C L·sen α b·tan α a·tan α b

Se descompone en dos y se aplica superposición: (I) + (II)

6.2 Cálculo de reacciones

6.2.1 Peso propio

V

D

=

q

p

⋅

L

M

_D

=

q

p

2⋅cos 

⋅



b

2

−

a

2



A B C D q_p q_v A B C D q_p (I) V_D M_D

6.2.2 Carga de viento

H

_D

=

q

_v

⋅

L⋅sin 

M

_D

=

q

v

2

⋅tan

2

⋅



b

2

−

a

2



6.3 Cálculo de solicitaciones

Para encontrar las solicitaciones internas se descomponen las cargas, de modo que:

+

Con lo que se tiene que la carga normal y cortante distribuida a lo largo de la longitud (

L

) de la viga es:

w

_N

=

q

_p

⋅

sin q

_v

⋅

sin ⋅cos 

w

_V

=

q

_p

⋅

cos  – q

_v

⋅

sin ⋅sin 

H_D M_D A B C D q_v (II) α (I) q p q p·cos α α q p·sen α α α (II) q_v q_v·cos α q v·sen α L·sen α

6.3.1 Diagramas de esfuerzos

6.4 Cálculo resistente

El cálculo resistente responde a que las tensiones máximas no sobrepasen el umbral admisible por el material, y dado que los valores máximos se producen en las mismas secciones, se tiene que:



_max

=

N

max

A



Nmax



M

max

W

z



Mmax

≤

_adm 6.4.1 Cálculo de la viga

Tanto el esfuerzo normal máximo como el momento flector se darán en la barra BC, justo antes del nudo:

x=

b

cos

[desde B] D A B C M

-D A B C N

+

-D A B C V

+

-+

Esfuerzo normal máximo:

N

_max

=

w

_N

⋅

b

cos

Momento flector máximo:

M

max

=

w

v

⋅

b

2

2⋅cos

2



Dado que el momento flector en la viga, desde los extremos al nudo, vale:

M =−w

v

⋅

x

2

2

6.4.2 Cálculo del pilar

Aunque el pilar (barra CD) se encontrará arriostrado por las correas de la cubierta se realizará su comprobación a pandeo.

Esfuerzo normal máximo:

N

max

=

q

p

⋅

L

Momento flector máximo:

M

_max

=

w

v

2⋅cos

2





b

2

_{– a}

2

_

En el pilar hay que tener presente su orientación, dado que el módulo resistente encargado de soportar el esfuerzo de flexión cambiará según esta.

6.5 Cálculo de desplazamientos

Dado que el pilar se encuentra empotrado en su base y puesto que los efectos sobre el desplazamiento tanto del normal como del cortante serán despreciables, se tiene que el desplazamiento máximo de la estructura, que se da en el extremo B de la viga, será causado por el momento flector, de tal modo que:



_B

=

_C

⋅

b

_CB

⋅cos

Por Mohr:

=

∫

0 L

q x

2

2 E I

dx=

q L

3

6 E I

=

∫

0 L

q x

2

2 E I

⋅

x⋅dx=

q L

4

8 E I

6.6 Placas de anclaje

Debido a que el hormigón de la cimentación no resistiría las tensiones transmitidas directamente por el pilar metálico se utilizan bases de apoyo. De este modo, se aumenta la superficie de apoyo entre pilar y cimentación hasta disminuir la tensión a valores admisibles para el hormigón.

Las placas de anclaje se encuentran formadas por la placa base a la que se suelda directamente el pilar, las cartelas de rigidez y los pernos de anclaje que embebidos en el hormigón la fijan a la cimentación, inmovilizando el pilar ante posibles tracciones.

Geometría Viga H [m] 3 Perfil IPE L [m] 5 Dimensión 400 α [º] 35 E [N/mm²] 210000 a [m] 1 A [mm²] 84500 b [m] 4 1160000 Nmax [N] 67488,13 Cargas Mmax [N·m] 107467,78 20000 0,8 5000 92,64 13820,76 93,44 18027,99 Pilar

Reacciones Perfil HEB

100000 Dimensión 300 14339,41 E [N/mm²] 210000 201502,09 A [mm²] 14900 1680000 Nmax [N] 100000 Mmax [N·m] 201502,09 6,71 119,94 126,65 Wz [mm3_] q_p [N/m] σ_Nmax [N/mm²] q_v [N/m] σ_Mmax [N/mm²] w_N [N/m] σ_max [N/mm²] w_V [N/m] V_D [N] H_D [N] M_D [N·m] Wz [mm3_] σ_Nmax [N/mm²] σ_Mmax [N/mm²] σ_max [N/mm²] Pilar Cartela Placa de anclaje Perno Hormigón de limpieza Zapata