Unidad 3 Fase 5 Ecuaciones Diferenciales Unidad 3 Fase 5 Ecuaciones Diferenciales
Diseño Resolver Problemas y Ejercicios por Medio de Diseño Resolver Problemas y Ejercicios por Medio de
Series y Funciones Especiales Series y Funciones Especiales
Presentado por: Presentado por:
Diego Fernando Bermúdez Medina: 1062083900 Diego Fernando Bermúdez Medina: 1062083900
Alberto Córdoba Pérez: 10293258 Alberto Córdoba Pérez: 10293258
Sthevan Kamilo Naranjo López: 1085265857 Sthevan Kamilo Naranjo López: 1085265857
Sulma Lizeth Tosne: Sulma Lizeth Tosne:
Grupo: 39 Grupo: 39
Presentado a: Presentado a: Ángelo Albano Reyes Ángelo Albano Reyes
Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD) Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD) Escuela de Ciencias Básica Tecnología e Ingeniería Escuela de Ciencias Básica Tecnología e Ingeniería
CEAD Popayán Cauca CEAD Popayán Cauca
Agosto 08 2017 Agosto 08 2017
INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN
En el presente trabajo se realiza el componente práctico de la unidad tres en el modo En el presente trabajo se realiza el componente práctico de la unidad tres en el modo colaborativo del módulo ecuaciones diferenciales, en donde se abordaran temas claves colaborativo del módulo ecuaciones diferenciales, en donde se abordaran temas claves para la resolución de ecuaciones diferenciales, en donde se aborda los conocimientos para la resolución de ecuaciones diferenciales, en donde se aborda los conocimientos adquiridos desde la definición y clasificación de series matemáticas, las técnicas para adquiridos desde la definición y clasificación de series matemáticas, las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales, mediante series matemáticas, hasta el estudio de resolver ecuaciones diferenciales, mediante series matemáticas, hasta el estudio de propiedades y convergencia de series de potencia, teniendo como complemento las propiedades y convergencia de series de potencia, teniendo como complemento las series de Taylor y Maclaurin como apoyo a la solución de ecuaciones diferenciales series de Taylor y Maclaurin como apoyo a la solución de ecuaciones diferenciales lineales de orden dos o superior.
lineales de orden dos o superior.
Con lo anterior se busca afianzar el conocimiento, proponiendo una serie de ejercicios Con lo anterior se busca afianzar el conocimiento, proponiendo una serie de ejercicios acordes a las temáticas de la unidad de estudio, los cuales se resolvieron utilizando los acordes a las temáticas de la unidad de estudio, los cuales se resolvieron utilizando los planteamientos expuestos, teniendo en cuenta referencias bibliográficas y videografías planteamientos expuestos, teniendo en cuenta referencias bibliográficas y videografías con las que se basó el trabajo. Con esto se pretende alcanzar el reconocimiento, con las que se basó el trabajo. Con esto se pretende alcanzar el reconocimiento, definición y aplicación de los temas expuestos hacia la resolución de ecuaciones definición y aplicación de los temas expuestos hacia la resolución de ecuaciones diferenciales.
OBJETIVOS
Por medio de la realización de la actividad colaborativa se pretende que cada
estudiante aporte y afiance sus conocimientos con respecto a la temática.
Aplicar los conocimientos adquiridos y ponerlos en práctica mediante la aplicación
en los ejercicios planteados.
Socializar la elección de los dos ejercicios que cada estudiante tomo, para
presentarlos en el trabajo consolidado
Realizar la socialización de los ejercicios por cada uno de los estudiantes, para que
entre todos los integrantes del grupo colaborativo, se puedan verificar y compartir la resolución de los ejercicios.
Consolidar el documento final con los ejercicios que se alcanzaron a socializar y
PRIMERA ACTIVIDAD INDIVIDUAL FASE 5 APORTE: DIEGO BERMÚDEZ
A continuación, se presentan un contexto generalizando la temática de las ecuaciones diferenciales de primer orden, en el que posterior a él, se presentan diez (10) preguntas tipo SABER PRO, de las cuáles cada integrante debe seleccionar dos y seleccionar la respuesta correcta justificándola con todo el procedimiento empleando el método adecuado para llegar a su solución general y/o particular.
El estudiante debe garantizar que los ejercicios seleccionados sean diferentes a los de sus compañeros.
Responda las preguntas 1 y 2 con base a la siguiente información.
Pregunta # 1. Un método alternativo para hallar soluciones con series de potencias de ecuaciones diferenciales como:
̈̇ 0
, alrededor de un punto ordinario x = 0 es el método de la serie de Taylor .Este método usa los valores de las derivadas evaluadas en el punto ordinario, los cuales se obtienen de la ecuación diferencial por diferenciación sucesiva. Cuando se encuentran las derivadas, usamos luego la expansión en serie de Taylor
̇̈
2!
⃛
3!
⋯
Dando la solución requerida. Considerando lo anterior, la solución para la ecuación
̇1
es: A. 1
+
!
+
!
⋯
B. 1
−
!
−
!
⋯
C. 1
+
!
+
!
⋯
D. 1
−
!
−
!
⋯
Solución.
Hallamos las derivadas de la ecuación
̇1
´´1´
´´´´´
Evaluamos las derivadas en
, para 0
Siendo.
´ 1011
´´ 1´112
´´´ ´´ 2
Remplazamos en la ecuación y obtenemos:
´´
2!
´´´
3!
⋯
1020
2!
20
3!
⋯
1
+
!
+
!
⋯
Rta.Pregunta # 2:
Al emplear el método de series de potencia, la solución delproblema de valor inicial de la ecuación dada
̈2̇8 0; 0
3,̇0 0
Es: A.312
4
B.312
4
C.312
3
D.312
3
Solución.
̈2̇80
Condiciones iniciales0 3, ̇0 0
2
y 8
ambas analíticas en
0
con
∞
Sustituyendo.
=
−
=
´´ 1
−
=
1
−
2
=
8
=
0
=
Termino independiente2
8
0
4
Coeficiente de x6
2
8
0
Coeficiente de
21
+
2
8
0
Luego
+
−
++
De donde
−
−
−
≥ 2
La solución tal que
0 3, ̇0 0
es decir tal que
3
y
0
Por lo tanto la secuencia quedaría
3
0
12
⋯ 0
4
12 4
0
⋯ 0
Por lo tanto la respuesta correcta es: B:
312
4
APORTE: ALBERTO CÓRDOBA PÉREZ
Pregunta # 3: Utilizando el método de series de potencia, la solución para la ecuación de segundo orden
0
es: A. ∑ 1
=
....
∑
=
−
....+
B. ∑ 1
=
....
∑
=
−
....+
C. ∑ 1
=
....
∑
=
....+
D. ∑ 1
=
....
∑
=
....+
Respuesta: Consideremos la solucióny
=
ⁿ
Se deriva:y
=
ⁿ⁻¹
y
1
=
ⁿ⁻²
Sustituyendo en la ecuación diferencial se tiene que:
1
=
ⁿ
−
=
ⁿ
−
=
ⁿ 0
1
=
ⁿ
−
=
ⁿ
=
ⁿ 0
Realizamos:2
0
=12
Se sustituye: 21
=
+
ᴷ
=
ᴷ
=
ᴷ 0
21
⁰ 21
=
+
ᴷ
=
ᴷ
=
ᴷ
0
Se obtiene entonces:2
21
=
+
ᴷ
=
ᴷ
=
ᴷ
0
2
[21
=
+
ᴷ
ᴷ
ᴷ]
0
2
[21
=
+
] ᴷ
0
Luego:2
0 →
2
1
2
21
+
0 →
+
21
+
1
211,2,3,4….
Se escoge
1
0
de este modo se encuentran las demás
+
21
0,
18,
0,
7240,
0
Al presente escogemos
0
1
13,
18,
115,
148,
1105,
Por consiguiente, la respuesta sería: A.
∑ 1
=
Pregunta # 4: La solución de la ecuación:
̈
−
0 , 0 ̇0 1
teniendo en cuenta la condición iniciales x=0 y utilizando las series de Maclaurin es:A.
1
!
!
⋯
B. 1
!
!
⋯
C. 1
!
!
⋯
D. 1
!
!
⋯
Respuesta:̈
−
0
Se considera la solución:
=
ⁿ
Se deriva:
=
ⁿ⁻¹
1
=
ⁿ⁻²
Luego se sustituye en la ecuación diferencial obteniendo que:
1
=
ⁿ
−
−
ᵡ
=
ⁿ 0
Formamos:2
0
1
2
Sustituimos: 21
=
+
ᴷ⁻ᵡ
=
ᴷ 0
Obteniendo: [21
=
+
ᴷ
−
ᵡ
ᴷ] 0
[21
=
+
−
ᵡ
] ᴷ 0
De:21
+
−
ᵡ
0
+
21
−
ᵡ
−
ᵡ
ⁿ!
=
0 ⁻ᵡ1
′0
′′0 1
′′′0 0
⁽⁴⁾0 0
⁽⁵⁾0 1
Por consiguiente, la solución es:A.
1
!
!
⋯
APORTE: STHEVAN KAMILO NARANJO
Pregunta # 5: Para la ecuación diferencial
̈̇0,
si se desea saber el comportamiento de la solución en el infinito, se realiza un cambio de variables así:
,
→ ∞ ⇒ → 0
. Teniendo en cuenta el concepto anterior los puntos e n el infinito para la ecuación diferencial de Euler,̈
̇
0
, son:A. X en el infinito es un punto singular regular con exponente 1 y 2 B. X en el infinito es un punto singular irregular con exponente 1 y 2 C. X en el infinito es un punto singular regular con exponente 2 y 4 D. X en el infinito es un punto singular irregular con exponente 2 y 4
Solución: Según la ecuación diferencial de Euler tenemos:
0
Como primer paso se busca la solución general en el intervalo de 0 < x < ∞
Para el intervalo -∞ < x < 0 las soluciones se dan t = -x en la ecuación diferencial, para
lo cual tenemos.
−
1
−
Remplazando y resolviendo la ecuación quedaría así:
∗
−
∗1
−
1
(1)
Para lo cual la solución general es
1
2
Conociendo este resultado se puede decir que X en el infinito es un punto singular regular con exponente 1 y 2.
Pregunta # 6 polinomio
de Taylor que aproxima la solución en torno de x0=0 del problema:̈3̇
⁄
, 0 10, ̇0 5
con valoresiniciales es: A.
105
…
B.
510
…
C.
55
…
D.
105
…
SOLUCION:Resolviendo la ecuación tenemos
Con y0 10
y′0 5
y
3y
0
∗ y0 15
y3 3y
0
∗ y0
45
y 4 3y 3 0 7 3 y0 ′′ 135
Tomando el polinomio de Taylor
∗00
!
=
Remplazando tenemosP4x 10 5x y´0∗x y´´0∗
0
3!
0
4!
Px 10 5x 15
2!
45
3!
135
4! ∗
respuestaPx 10 5x 15
2
15
2
45
8 ∗
APORTE: SULMA LIZETH TOSNE
Pregunta # 7. Se dice que x = a es un punto ordinario de la Ecuación Diferencial. y′′ + P (x)y′ + Q(x)y = 0, si P (x) y Q(x) son analíticas en x = a, es decir, si P (x) y Q(x) se pueden expandir en serie de potencias de x − a con un radio de convergencia positivo. Si u n
punto no es ordinario se dice que es singular.
Teniendo en cuenta el concepto anterior, los puntos ordinarios y singulares de la ecuación diferencial
4̈2̇30
son:1.
±2
Puntos Singulares 2. ≠ ±2
Puntos Ordinarios 3. ±4
Puntos Ordinarios 4. ≠ ±4
Puntos SingularesRta.
40
Luego
±2
≠ ±2
Pregunta # 8: Los puntos singulares de la ecuación diferencial:
2̈
1̇2 0
son: 1. 1
2. 2
3. 1
4. 2
Hallamos: 1
2
2
2
Factorizando: 1
21
2
21
Simplificando: 1
2
1
1
Primera actividad Grupal:
Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.
Problema:
Si tenemos en cuenta que la carga Q en el capacitor de un circuito RLC queda descrita por:
̈̇
, donde L es la Inductancia, Rla resistencia, C la capacitancia y E la fuente de voltaje. Como la resistencia de un resistor se incrementa con la temperatura, supongamos que el resistor se calienta de modo que
1
Ω
. 0,1 ℎ, 2 , 0,0 10 ̇0 0
Determine al menos los primeros cuatro términos no nulos en un desarrollo en serie de potencias en torno a
0
para la carga del capacitor.Solución
´´´1
Remplazamos los valores e igualamos a cero
1
10´´
10
10 ´
1
0
Considerando´
=
´
−
=
´1
−
=
Sustituimos
multiplicándola por10
=
1
−
10
−
5
=
0
=
Se concluye 2, 1,
2, 1
Sustituimos21
+
=
101
+
5
=
0
=
[21
+
101
+
5
]
0
=
21
+
101
+
5
Despejando
+
[101
21
+
5
+
10
2
+
5
0,1,2,3…
1
0
52
253
425
24
325
12 …
Segunda actividad Grupal:
Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:
Enunciado y solución planteada:
Enunciado y solución planteada:
Se resalta en amarillo las posibles diferencias encontradas con el procedimiento y solución que se presenta en la guía de actividades.
SOLUCION SEGÚN GUIA DE ACTIVIDADES COMPLEMENTO y/o CORRECION
La solución de la Ecuación Diferencial con coeficientes no polinomiales
̈ 0
, Esta dada así:Usando la serie de Maclaurin para
, junto con la suposición usual ∑
=
Tenemos que.̈ 1
−
=
1
2!
4!
6! ⋯
La solución de la Ecuación Diferencial con coeficientes no polinomiales
̈ 0
, Esta dada así:Usando la serie de Maclaurin para
, junto con la suposición usual ∑
=
Primera derivada.´
−
=
Forma correcta:̈ ∑ 1
=
−
!
!
!
⋯∑
=
̈2
6
12
20
⋯
3!
5!
7! ⋯
⋯
̈2
6
12
20
⋯
⋯
3!
⋯
5!
⋯
7!
⋯
̈2
6
12
20
3!
3!
3!
5!
3!
5!
5!
7!
5!
7!
9
⋯0
Segunda derivada´´1
−
=
Sustituimos y tenemos que
̈ 1
−
=
3!
5!
7! ⋯
=
̈2
6
12
20
⋯
3!
5!
7! ⋯
⋯
Forma correcta:
̈ ∑ 1
=
−
!
!
!
⋯∑
=
̈2
6
12
20
⋯
3!
5!
7! ⋯
⋯
̈2
6
12
20
⋯
⋯
3!
⋯
5!
⋯
7!
⋯
̈2
6
12
20
3!
3!
3!
5!
3!
5!
5!
7!
5!
7!
7!
9
7!
⋯0
̈2
6
12
12
20
12
⋯0
Se tiene que2
0
6
0
Segunda derivada´´1
−
=
Sustituimos y tenemos que
̈ 1
−
=
3!
5!
7! ⋯
=
̈2
6
12
20
⋯
3!
5!
7! ⋯
⋯
̈2
6
12
20
⋯0
Se tiene que:2
0
6
0
12
0
20
0 Escriba aquí la ecuación.
Resolviendo tenemos:
12
,
16
,
112
,
130
0,
16
,
112
,
1120
Agrupando los términos llegamos a la solución general
, donde
1
⋯
⋯
12
0
20
0
Resolviendo tenemos:
12
,
16
,
112
,
120
Agrupando los términos llegamos a la solución general
, donde
⋯
⋯
Debido a lo anterior se concluye que la ecuación diferencial no tiene puntos singulares finitos, ambas ecuaciones convergen para
|| < ∞
12
0
20
0 Escriba aquí la ecuación.
Resolviendo tenemos:
12
,
16
,
112
,
130
0,
16
,
112
,
1120
Agrupando los términos llegamos a la solución general
, donde
1
⋯
⋯
12
0
20
0
Resolviendo tenemos:
12
,
16
,
112
,
120
Agrupando los términos llegamos a la solución general
, donde
⋯
⋯
Debido a lo anterior se concluye que la ecuación diferencial no tiene puntos singulares finitos, ambas ecuaciones convergen para
|| < ∞
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 113-154). Recuperado de:
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 193-217). Recuperado de:
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022 Alvarado, E. (2014). Solución de ecuaciones diferenciales por el método de Series de
