Problemas Resuelto de Cinematica

(1)

PROBLEMAS RESUELTOS CINEMÁTICA

RAPIDEZ MEDIA Y VELOCIDAD MEDIA

1.

1. Una partícula se encuentra en la posición (4, 2, -2) m y en 10 segundos se traslada a laUna partícula se encuentra en la posición (4, 2, -2) m y en 10 segundos se traslada a la posición (8, 12, 20) m.

posición (8, 12, 20) m. SuSu velocidad mediavelocidad media es:es: a) a) 0.40.4ii + 1.2+ 1.2 j j - 1.2- 1.2k k (m/s)(m/s) b) b) 44ii + 10+ 10 j j + 22+ 22k k "" c) c) 1212ii + 10+ 10 j j - 22- 22k k "" d) d) 1.21.2ii ++ j j - 2.2- 2.2k k "" e) e) 0.40.4ii ++ j j + 2.2+ 2.2k k "" Solución: Solución:

Expresemos la posición de la partícula en término

Expresemos la posición de la partícula en término de sus coordenadas cartesianas yde sus coordenadas cartesianas y llamemos por

llamemos por r r 11yy r r 22al vector posición que las identifica.al vector posición que las identifica. r r 11= = 44i i + 2+ 2 j j – – 22k k r r 22= 8= 8i i +12+12 j j + 20+ 20k k t t r r r r t t vv_m_m rr 22 11 m m vv

=

10 10 2 2 2 2 4 4 10 10 10 10 8 8ii j j k k ii j j k k m m vv

=

ii j j k k 00,,44ii j j 22,,22k k 10 10 22 22 10 10 4 4

m/s

2. La velocidad media y la rapidez media, para un mismo intervalo de tiempo, tienen igual valor 2. La velocidad media y la rapidez media, para un mismo intervalo de tiempo, tienen igual valor cuando:

cuando:

I. La partícula se mueve en línea recta con velocidad constante I. La partícula se mueve en línea recta con velocidad constante

II. La partícula se mueve en línea recta y regresa a su posición inicial II. La partícula se mueve en línea recta y regresa a su posición inicial III. El desplazamiento y la longitud de la trayectoria son iguales. III. El desplazamiento y la longitud de la trayectoria son iguales.

a)

a) Sólo ISólo I b)

b) Sólo IISólo II c)

c) Sólo IIISólo III d) d) I y III y II e) e) I y IIII y III Solución: Solución:

La velocidad media y la rapidez media

La velocidad media y la rapidez media tienen el mismo valor sólo cuando el tienen el mismo valor sólo cuando el desplazamiento de la partícula tiene la misma magnitud que la longitud de la desplazamiento de la partícula tiene la misma magnitud que la longitud de la trayectoria. Esto ocurre cuando la partícula se mueve en línea recta y en la misma trayectoria. Esto ocurre cuando la partícula se mueve en línea recta y en la misma dirección,

(2)

C

B

A

3. Una partícula se desplaza desde el punto p

3. Una partícula se desplaza desde el punto p11 de coordenadas (3, -2, 1)m, al punto pde coordenadas (3, -2, 1)m, al punto p22 dede

coordenadas (10,

coordenadas (10, 8, 7)m. 8, 7)m. Si en el pSi en el punto punto p11 la partícula tenía una velocidad dela partícula tenía una velocidad de VV = 2= 2ii + 4+ 4 j j m/s.m/s.

El

Elángulo que forma la velocidad en el punto pánguloque forma la velocidad en el punto p11y el desplazamiento de la partícula es:y el desplazamiento de la partícula es:

a) 27,4º a) 27,4º b) 34,1º b) 34,1º c) 56,8º c) 56,8º d) 65,2º d) 65,2º e) 71,4º e) 71,4º Solución: Solución: Nos

Nos piden piden el el ángulo ángulo formado formado entre entre el el vevector velocictor veloci dad dad en el puntoen el punto pp11 y y el el vector vector desplazamiento

desplazamiento entre los puntosentre los puntos p p11 y y p p22. Utilicemos la definición del producto escalar . Utilicemos la definición del producto escalar entre el vector velocidad y el vector desplazamiento. Necesitamos conocer el módulo de entre el vector velocidad y el vector desplazamiento. Necesitamos conocer el módulo de los dos vectores y expresar el vector desplazamiento en función de sus componentes los dos vectores y expresar el vector desplazamiento en función de sus componentes ortogonales. ortogonales. r r == r r 22 – – r r 11 r r 22=10=10i i + 8+ 8 j j + 7 + 7 k k r r 11= 3= 3i i – – 22 j j ++k k r

r =(10=(10i i + 8+ 8 j j + 7 + 7 k k ) ) – – (3(3i i – – 22 j j ++k k ) ) r r = 7 = 7 i i +10+10 j j + 6 + 6 k k r r

=

181855

, (m)

V

=

22i i + 4+ 4 j j

V

=

2020

,,

(m/s)(m/s) Cos Cos V V r r V V r r V V r r V V r r Cos Cos Cos Cos == 20 20 1 18855 40 40 1 144

= 27,4

4.

Una partícula describe la trayectoria mostrada en la figura, el tramo AB es horizontal

y BC un tramo de circunferencia de 10 m d

y BC un tramo de circunferencia de 10 m de radio.

e radio. Determine el módulo de la

Determine el módulo de la

velocidad media de la partícula entre

velocidad media de la partícula entre los puntos A y

los puntos A y C sabiendo que ésta se mueve con

C sabiendo que ésta se mueve con

rapidez constante de 8 m/s y tarda 10 s en realizar el recorrido.

a)

a) 3.4 m/s

3.4 m/s

b)

b) 4.4 m/s

4.4 m/s

c)

c) 5.2 m/s

5.2 m/s

d)

d) 6.2 m/s

6.2 m/s

e)

e) 8.0 m/s

8.0 m/s

(3)

C

B

A

3. Una partícula se desplaza desde el punto p

3. Una partícula se desplaza desde el punto p11 de coordenadas (3, -2, 1)m, al punto pde coordenadas (3, -2, 1)m, al punto p22 dede

coordenadas (10,

coordenadas (10, 8, 7)m. 8, 7)m. Si en el pSi en el punto punto p11 la partícula tenía una velocidad dela partícula tenía una velocidad de VV = 2= 2ii + 4+ 4 j j m/s.m/s.

El

Elángulo que forma la velocidad en el punto pánguloque forma la velocidad en el punto p11y el desplazamiento de la partícula es:y el desplazamiento de la partícula es:

a) 27,4º a) 27,4º b) 34,1º b) 34,1º c) 56,8º c) 56,8º d) 65,2º d) 65,2º e) 71,4º e) 71,4º Solución: Solución: Nos

Nos piden piden el el ángulo ángulo formado formado entre entre el el vevector velocictor veloci dad dad en el puntoen el punto pp11 y y el el vector vector desplazamiento

desplazamiento entre los puntosentre los puntos p p11 y y p p22. Utilicemos la definición del producto escalar . Utilicemos la definición del producto escalar entre el vector velocidad y el vector desplazamiento. Necesitamos conocer el módulo de entre el vector velocidad y el vector desplazamiento. Necesitamos conocer el módulo de los dos vectores y expresar el vector desplazamiento en función de sus componentes los dos vectores y expresar el vector desplazamiento en función de sus componentes ortogonales. ortogonales. r r == r r 22 – – r r 11 r r 22=10=10i i + 8+ 8 j j + 7 + 7 k k r r 11= 3= 3i i – – 22 j j ++k k r

r =(10=(10i i + 8+ 8 j j + 7 + 7 k k ) ) – – (3(3i i – – 22 j j ++k k ) ) r r = 7 = 7 i i +10+10 j j + 6 + 6 k k r r

=

181855

, (m)

V

=

22i i + 4+ 4 j j

V

=

2020

,,

(m/s)(m/s) Cos Cos V V r r V V r r V V r r V V r r Cos Cos Cos Cos == 20 20 1 18855 40 40 1 144

= 27,4

4.

Una partícula describe la trayectoria mostrada en la figura, el tramo AB es horizontal

y BC un tramo de circunferencia de 10 m d

y BC un tramo de circunferencia de 10 m de radio.

e radio. Determine el módulo de la

Determine el módulo de la

velocidad media de la partícula entre

velocidad media de la partícula entre los puntos A y

los puntos A y C sabiendo que ésta se mueve con

C sabiendo que ésta se mueve con

rapidez constante de 8 m/s y tarda 10 s en realizar el recorrido.

a)

a) 3.4 m/s

3.4 m/s

b)

b) 4.4 m/s

4.4 m/s

c)

c) 5.2 m/s

5.2 m/s

d)

d) 6.2 m/s

6.2 m/s

e)

e) 8.0 m/s

8.0 m/s

(4)

C

B

A

Solución: Solución: La

La velocidad velocidad media media se se define define como como la la relación relación entre entre el el desplazamiento desplazamiento y y el el tiempotiempo empleado. El desplazamiento es el vector que parte del punto A y se dirige hasta el empleado. El desplazamiento es el vector que parte del punto A y se dirige hasta el punto

punto

C.

Para

Para calcular calcular el el desplazamiento desplazamiento necesitamos necesitamos conocer conocer la la magnitud magnitud del del tramo tramo AB.AB. Sabemos que la rapidez de la partícula es de 8 m/s, la rapidez representa la relación Sabemos que la rapidez de la partícula es de 8 m/s, la rapidez representa la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado, con la rapidez y el tiempo podemos entre la distancia recorrida y el tiempo empleado, con la rapidez y el tiempo podemos determinar la longitud de

determinar la longitud de la trayectoria, esto es la longitud del tramo AB y la longitud la trayectoria, esto es la longitud del tramo AB y la longitud de las ¾ de circunferencia. de las ¾ de circunferencia.

V =

10 10 2 2 * * ¾ ¾ r r AB AB t t d d

80 = AB +

1515

AB = 32,87 m

r r

= (32,87 + 10)

ii

+ 10

j

r r

= 42,87

ii

+ 10

j

10 10 10 10 87 87 ,, 42 42 ii jj t t r r

= 4,287

ii

+

j j

El módulo de la velocidad media será 4,4 m/s

5.

5. ¿Cuáles de los ¿Cuáles de los siguientes enunciados siguientes enunciados son falsos?son falsos?

I.- El módulo de la velocidad media no puede ser mayor a la rapidez media.

I.- El módulo de la velocidad media no puede ser mayor a la rapidez media. Correcto!!Correcto!!

II.- Un cuerpo puede experimentar desplazamiento positivo

II.- Un cuerpo puede experimentar desplazamiento positivo cuando su velocidad media escuando su velocidad media es negativa.

negativa. Falso!!.Falso!!.El signo del desplazamiento corresponde al signo de la velocidad media.El signo del desplazamiento corresponde al signo de la velocidad media. III.- La velocidad media y la aceleración media vectorialmente tienen la misma dirección. III.- La velocidad media y la aceleración media vectorialmente tienen la misma dirección. Falso!!!.

Falso!!!.La dirección de la velocidad media corresponde a la dirección del desplazamiento. LaLa dirección de la velocidad media corresponde a la dirección del desplazamiento. La dirección de la aceleración corresponde a la dirección del

dirección de la aceleración corresponde a la dirección del vector “cambio de velocidad”vector “cambio de velocidad” IV.- Un cuerpo con aceleración positiva experimentará siempre desplazamientos positivos. IV.- Un cuerpo con aceleración positiva experimentará siempre desplazamientos positivos. Falso!!.

Falso!!. No necesariamente, los cuerpos pueden desplazarse en No necesariamente, los cuerpos pueden desplazarse en dirección contraria a ladirección contraria a la aceleración.

aceleración.

V.- En el movimiento rectilíneo uniformemente variado, la aceleración media es una constante. V.- En el movimiento rectilíneo uniformemente variado, la aceleración media es una constante. Correcto!!!.

Correcto!!!.

a)

II, III, IV

b)

b) III, IV, V

III, IV, V

c)

c) I, II, III, IV

I, II, III, IV

d)

d) I, III, IV

I, III, IV

e)

(5)

6. El gráfico de la figura representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si

para todo el recorrido la rapidez media y la velocidad media son de 20 m/s y 10 m/s

respectivamente. Determine los valores de x y x

o

x(m)

x

o

(m)

x(m)

a)

50 -150

b)

50 -100

x

c)

200 -150

d)

100 -100

e)

200 -100

0 10 t(s)

- x

o Solución:

Observando el gráfico notamos que la partícula a t=0 parte del punto – xo y se mueve en dirección positiva llegando hasta el punto x, luego regresa (invierte la dirección de movimiento) y se detiene en el origen a los 10 segundos.

Rapidez Media =

20 10

2 10

tan xo x x xo x

t cia dis xo + 2x = 200

Velocidad Media =

10 10 xo t ento desplazami xo = 100 100 + 2x = 200 x = 50 m xo + 2x = 200 xo + 2(50) = 200 xo = 100 m. (-) F lorencio Pinela C.

x

0 -x

o _{desplazamiento}

x

(6)

7. Una partícula tarda 5s en ir de la posición a hasta la posición b, como se indica en la

figura. El módulo de la velocidad media de la partícula es

a) 1.95 m/s

z

b) 1.75 “

b

c) 1.5 “ d) 1.25 “

e) Falta indicar la trayectoria

8m

de la partícula.

a

y

5m

x

10m

Solución:

Encontremos los vectores posición inicial y posición final para luego determinar el vector desplazamiento.

z

b

8m

a

y

5m

x

10m

r

a

= 2,5

i

+ 5

j

r

b

= 10

j

+ 8

k

Desplazamiento = r

=

r

b

-

r

a

r

= (10

j

+ 8

k)

_–

(

2,5

i

+ 5

j)

r

= -2,5

i

+5

j

+ 8

k

Velocidad Media

=

vm 

=

r

/ t

Velocidad Media

= - 0,5

i

+

j

+ 1,6

k

m v

=

2 2 2 6 , 1 1 5 , 0

= 1,95 m/s

F lorencio Pinela C.

(7)

8. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si la rapidez media y la velocidad media para todo el recorrido son de 20 m/s y 5 m/s respectivamente, los valores de V1y V2son:

V

1

(m/s)

V

2

(m/s)

a) 15.5 12.3 b) 24.6 22.0 c) 21.5 18.5 d) 18.7 22.5 e) 10.5 15.5 Solución:

En el gráfico velocidad versus tiempo el área bajo la curva representa el desplazamiento. Velocidad positiva desplazamiento positivo, velocidad negativa desplazamiento negativo. Recuerde que la distancia es una cantidad escalar y carece de signo.

El desplazamiento neto será:

s = 10 V 1- 5 V 2 La distancia total recorrida será:

d = 10 V 1+ 5 V 2 Velocidad media =

s

/

t

Rapidez media = d/ t s / t = 5 = (10 V 1- 5 V 2 )/15 d/ t = 20 = (10 V 1+ 5 V 2)/15 Formamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

75 = 10 V 1- 5 V 2 300 = 10 V 1+ 5 V 2

Resolviendo este sistema de ecuaciones encontr amos: V 1 = 18,7 m/s y V 2 = 22,5 m/s

15

10 V

1

V

2 v m/s t (s) Desplazamiento positivo Desplazamiento negativo

V

t

0

(8)

9. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si durante

los 10 primeros segundos su velocidad media es cero y su rapidez media 10 m/s.

La velocidad inicial de la partícula es

a) 15 m/s

b) 20 m/s

c) 25 m/s

d) 30 m/s

e) 35 m/s

Solución:

Si la velocidad media es cero, el desplazamiento positivo (amarillo) y el desplazamiento negativo (azul) deben tener la misma magnitud. Los triángulos deben ser iguales y simétricos.

El desplazamiento neto será:

s = ½ Vo(5) – ½ Vo(5) = 0 La distancia total recorrida será:

d = ½ Vo(5) + ½ Vo(5)

d = 5 Vo

Rapidez media = d/ t d/ t = 10 = 5Vo/10 Vo = 20 m/s F lorencio Pinela C.

V(m/s)

t(s)

0 V(m/s)

t(s)

10 Vo

-Vo

5

(9)

PROBLEMAS PROPUESTOS CINEMÁTICA

RAPIDEZ MEDIA Y VELOCIDAD MEDIA

1. Una partícula se encuentra a t=0 en un punto de coordenadas (-5, 6, 10)m y se

mueve con velocidad media de 3

i

–

2 j

m/s durante cinco segundos. La posición de

la partícula a los cinco segundos es.

a) ( 10, -10, 4 )m

b) ( 15, 10, -10 )m

c) ( 10, -4, 10 )m

d) ( 5, 6, 10 )m

e) ( 15, -10, 0 )m

2. Un helicóptero parte y sube verticalmente 100 m. De aquí vuela horizontalmente

hacia el este 200 m y finalmente vuela horizontalmente hacia el norte 200 m. El

desplazamiento del helicóptero fue

a) 100 m

b) 200 m

c) 300 m

d) 400 m

e) 500 m

3. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta. Durante los primeros cinco segundos la velocidad media de la partícula fue de 50 m/s. Determine la velocidad media de la partícula hasta el instante en que adquiere la mitad de su velocidad inicial.

V(m/s)

a) 20.0 m/s b) 30.3 “

60

c) 44.7 “ d) 47.1 “ e) 50.0 “

vo

5 8 t(s)

3. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta (el gráfico no se

encuentra a escala). Si la velocidad media durante los 10 primeros segundos es

cero, el valor de la rapidez media durante este intervalo es:

a) 6 m/s

b) 10 m/s

c) 15 m/s

d) 20 m/s

e) 60 m/s

F lorencio Pinela C. -20 0 10 0 v(m/s) t(s) 3

(10)

MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Una partícula describe una trayectoria no rectilínea, entonces:

I. la partícula está acelerada. Correcto!!. Sólo el hecho que la partícula cambie la dirección del vector velocidad, esta estará acelerada.

II. si la rapidez es constante su aceleración será cero. Falso!!!.Esto sería cierto si la trayectoria fuera rectilínea y la partícula no invierta la dirección de movimiento.

III. si la rapidez es constante su velocidad media lo será también. Falso!!. La rapidez y la velocidad media son iguales en magnitud sólo cuando la partícula se mueve en línea recta.

a) I y II son verdaderos b) I y III son verdaderos

c) Solo I es verdad

d) I, II y III son verdaderos e) I, II y III son falsos

2. Para una partícula moviéndose en línea recta, ¿cuál(es) de (el) los siguientes casos no es posible?

a) Desplazamiento negativo con aceleración positiva. b) Rapidez media menor que la velocidad media.

c) Rapidez media mayor que la velocidad media d) Desplazamiento nulo con aceleración cero.

e) Desplazamiento positivo con aceleración media cero.

a) El gráfico de la derecha muestra un movimiento Con aceleración positiva. El área bajo la curva representa el desplazamiento, en este caso

desplaza-miento negativo. Si es posible!

b) La velocidad media iguala en magnitud a la rapidez media solo en el caso en que la partícula se mueva en línea recta y en la misma dirección, por lo tanto la rapidez media es siempre mayor o igual que la velocidad media. No es posible!

c) Si es posible!!!.

d) No es posible!!. Si la aceleración es cero, la velocidad es constante. Si la velocidad es constante el desplazamiento no puede ser cero.

e) Si es posible!!. Si la partícula se mueve en línea recta y su aceleración es cero, significa que su velocidad es constante. Si la velocidad es constante su desplazamiento puede ser positivo o negativo.

V

(11)

3. Dos partículas se aceleran desde el reposo al mismo instante a razón de 5 m/s2 y 3 m/s2 respectivamente. Si las partículas se encuentran al cabo de 10 segundos. La distancia que estaban separadas al instante de partir fue:

a) 50 m

b) 100 m

c) 125 m

d) 150 m

e) 200 m

Solución:

Si las partículas parten del reposo con diferente aceleración, y se encuentran luego de viajar una determinada distancia. Las partículas debieron haber partido de diferente posición , llevando ventaja en distancia (xo) la partícula con menor aceleración.

Instante t = 0, en que parten

A B

5 m/s2 3 m/s2 x

x = 0

xo

Instante t, en que se encuentran

(la posición final de las dos partículas es la misma)

x = 0

xA= xB

Posición final de una partícula.

x = x

o

+ V

o

t + ½ a t

2

Posición final de la partícula A:

= x

o

+ 150

La posición final de las dos partículas es la misma; x

A

= x

B

250 = xo + 150

x

o

= 100 m

(12)

4. El gráfico representa el movimiento de dos partículas A y B que viajan con aceleraciones

a

B y

a

A en línea recta. La relación entre

a

By

a

Aes:

a) 6

b)

5 25

c)

4

d)

3

e)

2 Solución:

En este problema aplicaremos el concepto de que la pendiente de una curva en el plano velocidad versus tiempo representa la aceleración.

La pendiente de la curva A es:

a A = t t 5 20 25

la pendiente de la curva B es:

a B = t t 30 5 25 a B/ a A= t t 5 30 = 6

5. Los movimientos de dos cuerpos “A” y “B” en línea recta se encuentran representados

en la gráfica. El tiempo t que transcurre desde el instante que parten hasta que ambos

cuerpos seencuentran en la misma posición es:

a) 6 s b) 5 s 10 c) 4 s d) 3 s e) 2 s Solución:

20

A

v (m/s)

t

B

0 -5

t (s)

2 t 1 -2 x (m) t (s) A B

(13)

Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano posición versus tiempo. En este plano la pendiente representa la velocidad, por lo tanto estamos en presencia de un movimiento rectilíneo con velocidad constante.

De acuerdo a los datos del gráfico, el cuerpo A al instante t = 0 se encuentra en la posición inicial x = -2m, después de un segundo pasa por el origen y luego de t segundos se encuentra en la posición x = 10m.

Con esta información podemos determinar la pendiente de la curva (

V

A ) y el tiempo que tarda en llegar a la posición x A=10m.

x

A

= x

o

+ V

A

t

10 = -2 + 2 t

t = 6s

6. El gráfico que se muestra representa la variación de la velocidad en el transcurso del tiempo para una partícula que se mueve en línea recta y que se encuentra en el origen al instante t =0. Para el intervalo de tiempo mostrado, la máxima distancia que la partícula se aleja del origen es

v(m/s) a) 250 m 20 b) 500 m c) 350 m d) 150 m 0

30

40

t(s) e) 100 m

5

10

20

-20 Solución:

Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano velocidad versus tiempo. En este plano la pendiente representa la aceleración y el área bajo la curva el desplazamiento.

De acuerdo al grafico, la partícula experimenta desplazamiento positivo durante los primeros 20 segundos, y luego regresa (desplazamiento negativo) durante los siguientes

20 segundos.

El desplazamiento positivo es:

5*20/2 + 5*20 + 10*20/2 = 250 m

1

(14)

El desplazamiento negativo es:

10*20/2 + 10*20/2

= 200 F lorencio Pin ela C.

La partícula se aleja 250 metros y luego regresa 200 metros. Se nos pregunta la máxima distancia que la partícula se aleja del origen, la respuesta es lógica, esta distancia corresponde al desplazamiento positivo.

250 metr os

7. Dos vehículos

parten del reposo

y de la misma posición, los vehículos se

aceleran en

direcciones contrarias

. ¿Cuál de los siguientes gráficos

representaría mejor el movimiento de los dos vehículos?

x

t

x

t

Solución:

Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano posición versus tiempo. En este plano la pendiente representa la velocidad.

Si los vehículos parten del reposo, la pendiente de la curva al instante t = 0 debe ser igual a cero. El único gráfico que cumple esta condición es el e).

Ratifiquemos el resultado a partir de la se gunda condición, “los vehículos se aceleran en direcciones contrarias”. Acelerarse en direcciones contrarias significa que los vehículos incrementarán su velocidad positivamente el uno y negativamente el otro. El

gráfico e) es el único que cumple esta condición.

F lor encio Pinela C.

(a)

(b)

(c)

(d)

(15)

9. Dos vehículos parten del reposo y de la misma posición moviéndose en línea recta, el uno se acelera a razón de 2 m/s2 _{y el otro a 4 m/s}2_{. Si los vehículos se encuentran después de haber}

viajado 1000 m. ¿Después de cuánto tiempo que salió el primero partió el segundo?. a) 3.15 s b) 9.26 s c) 6.26 s d) 11.30 s e) 10.62 s Solución:

En este problema podemos calcular el tiempo que emplearía en recorrer los 1000 metros cada uno de los vehículos. Por supuesto que será mayor el del vehículo que viaja acelerado a 2 m/s2 , la diferencia entre estos dos tiempos es el intervalo de tiempo que debería tomar “ventaja” éste vehículo.

Tiempo que le toma al vehículo que viaja a

2 m/s

2 en recorrer los 1000 metros

.

0 x = Vo t + ½ a t 2 t 1= a x

2

t 1 = 31,62 s

Tiempo que le toma al vehículo que viaja a

4 m/s

2 en recorrer los 1000 metros

.

x = Vo t + ½ a t 2 t 2= a x 2 t 2 = 22,36 s

¿Después de cuánto tiempo que salió el primero parte el segundo?.

Es la diferencia entre estos dos tiempos: 9,26 s

10. Un bloque resbala sobre un plano como se indica en la figura. El bloque al deslizarse:

a) su velocidad y aceleración aumentan

b) su velocidad aumenta y su aceleración es constante c) su velocidad aumenta y su aceleración disminuye d) su velocidad y aceleración disminuyen

e) su velocidad disminuye y su aceleración es constante

(16)

11. La ecuación del movimiento de una partícula en línea recta viene dada por la siguiente expresión x = 4t2 _{+ 2t + 8, donde x está en metros y t en segundos, el desplazamiento, la}

velocidad y la aceleración de la partícula al cabo de 2 segundos son

Desplazamiento (m) Velocidad (m/s) Aceleración (m/s2)

a) 32 16 8 b) 32 2 4 c) 28 18 8 d) 20 16 8

e)

20

18

8

Solución:

De acuerdo a la expresión de la posición, podemos determinar por comparación los valores de: la posición inicial ( xo), la velocidad inicial (Vo) y la aceleración( a)

x = 4t2+ 2t + 8

x = x

o

+ Vo t + ½ a t

2

x

o

= 8 m

V

o

= 2 m/s

a = 8 m/s

2

Con esta información determinemos el desplazamiento a los 2s.

x = V

o

t + ½ a t

2

x = 2(2) + ½ (8)(2)

2

x = 20 m

.

Calculemos ahora la velocidad a los 2s.

V = V

o

+ a t

V = 2 + 8(2)

V = 18 m/s

La aceleración a los 2s.

El movimiento es con aceleración constante, por lo tanto la aceleración es la misma para cualquier instante de tiempo, a = 8 m/s 2

(17)

12. Un móvil recorre 300 m en 20 segundos con aceleración constante. Si la velocidad al terminar su recorrido es de 20 m/s, la velocidad con la que empezó su movimiento es :

a) 0 b) 5 m/s c) 10 m/s d) 12 m/s e) 15 m/s solución:

Una de las ecuaciones útiles para resolver problemas de cinemática es:

x = V V o t 2

La que representa el área bajo la curva (trapecio) del plano velocidad versus tiempo, esta ecuación involucra cuatro de los cinco términos utilizados en cinemática, no contempla la aceleración. De acuerdo a la información dada en este problema, es la

ecuación ideal. V o = V t x 2 V o= 20 20 300 * 2 V o = 10 m/s

13. El gráfico representa el movimiento de dos partículas en línea recta. En el instante correspondiente al punto

A

(intersección de las rectas), de los siguientes enunciados:

I. Las partículas tienen la misma velocidad. Falso!!. Este es un gráfico posición versus tiempo. II. Las partículas se encuentran. Correcto!!. En ese instante las partículas tienen la misma posición

III. Las partículas experimentaron el mismo desplazamiento. Falso!!. Las partículas se mueven en direcciones contrarias.

a) Solo I es correcto b) Solo II es correcto

c) I y II son correctos d) I y III son correctos e) Todos son correctos

F lorencio Pinela C. A x m t s 0

V

Vo

t

(18)

14. El gráfico representa el movimiento de dos partículas en línea recta. El instante en que las partículas tienen la misma velocidad es:

a) 8,5 s b) 8,0 s c) 7,5 s d) 7,0 s e) 6,5 s Solución:

Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano velocidad versus tiempo. En este plano la pendiente representa la aceleración.

Llamemos (1) a la partícula con aceleración positiva y (2) a la partícula con

aceleración negativa. Sea t el instante en que las partículas tienen la misma velocidad.

V 1= V _o1 + a1t

V 2= V _o2 + a2t

V 1= -10 + a1t V 2= 20 + a2t

Los valores de la aceleración la determinamos del gráfico a partir de la pendiente. a1= 5 10 = 2 m/s2 a2= 2 10 20 m/s2 V 1= V 2 -10 + a1 t

=

20 + a2t -10 + 2 t

=

20 +(-2) t 4 t = 30

t = 7,5 s

t s v m/s 0 5 10 20 -10

V

(1)

t

(2)

t

(19)

15. Dos vehículos se mueven en línea recta con velocidad constante y en la misma dirección, con velocidades de 20 m/s y 30 m/s. Si al instante t=0 los vehículos están separados 200 m y si uno de ellos le da alcance al otro. ¿En cuánto tiempo lo logra?

a) 20.0 s b) 16.6 s c) 10.6 s d) 6.6 s e) 4.0 s Solución:

Si los vehículos se mueven con velocidad constante y diferentes, y además se

encuentran separados una cierta distancia. Para que uno de ellos (1) le de alcance al otro (2), el que viaja a mayor velocidad (1) debe encontrarse atrás.

Posición ini cial t = 0, de los vehícul os

(2)

(1) 30 m/s 20 m/s

x =0

200 m

Posici ón de los vehícul os al instante t en que le da alcance

20 m/s x =0

x1= x2

La posición del vehículo (1) al instante t es: 0 x1= x_o + V _o t + ½ a t 2

x1= x_o+ V _ot x1= 0 + 30 t

La posición del vehículo (2) al instante t es: 0 x2= x_o + V _o t + ½ a t 2

x2= x_o+ V _ot x2 = 200 + 20 t El instante en que los vehículos se encuentran es:

x1= x2

30 t = 200 + 20 t 10 t = 200

F lorencio Pinela C. t = 20 s

(20)

MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si la velocidad media de una partícula que se mueve en línea recta es cero,

entonces, ¿cuál de las siguientes alternativas es verdadera?

a) La velocidad de la partícula, en algún instante, será cero.

b) La aceleración de la partícula es positiva en un tramo y negativa en el otro tramo.

c) El desplazamiento de la partícula es igual a la distancia total recorrida.

d) La velocidad de la partícula es constante.

e) La velocidad media de la partícula será cero, solamente si ésta no se mueve.

2.

Dos vehículos A y B se mueven con velocidad constante y en la misma dirección;

V

A

= 15 m/s y

V

B

= 20 m/s. Si los vehículos se encuentran separados 100 m.¿ Qué

aceleración deberá imprimir el vehículo A para que le de alcance al vehículo B al cabo

de 10 segundos?

a) 1,0 m/s

2

b) 2,0 m/s

2

c) 3,0 m/s

2

d) 4,0 m/s

2

e) 5,0 m/s

2

3.

Dos partículas A y B se encuentran en las posiciones indicadas en la figura a t =0. Si

las partículas se mueven con velocidades de 20 m/s y 10 m/s respectivamente. ¿Cuál

es la distancia total recorrida por las partículas al instante de encontrarse?

A

B

-200

0

100 x(m)

a) 400 m.

b) 500 m.

c) 700 m.

d) 900 m.

e) 1200 m.

4. Para el problema 3, si en la posición indicada la partícula A se acelera a razón de

2m/s

2

, mientras B continúa con velocidad constante.¿ Qué distancia se habrá desplazado

A en el instante que le da alcance a B.

a) 260 m.

b) 290 m.

c) 340 m.

d) 392 m.

e) 430 m.

(21)

5. Un auto se mueve con velocidad constante de 20 m/s acercándose a una intersección donde existe un semáforo. En el instante en que el vehículo se encuentra a 80m de la intersección, el semáforo cambia a rojo. El conductor reacciona y aplica los frenos dos segundos después de ver la luz roja, deteniéndose 4 segundos después. El auto se detendrá

a) 20 m antes del semáforo b) 20 m después del semáforo

c) 40 m antes del semáforo d) 40 m después del semáforo e) exactamente bajo el semáforo

6. Dos partículas parten al mismo instante desde el origen de un sistema de coordenadas. La una parte en dirección vertical con rapidez constante de 4 m/s. La otra parte desde el reposo y se mueve en dirección perpendicular a la anterior con una aceleración de 8 m/s 2 durante los primeros 4s, para luego continuar moviéndose con velocidad constante. Desde el instante en que partieron, al cabo de cuánto tiempo las partículas estarán separadas 0.15 km.

a) 2.2 s. b) 3.3 s. c) 4.4 s. d) 5.5 s. e) 6.6 s.

7. La gráfica x-t representa el movimiento de dos partículas en línea recta. A los cinco segundos las partículas están separadas 5 metros. ¿ Cuál es la velocidad de la partícula 2, si la velocidad de la partícula 1 es 1 m/s.? . a) 1 m/s b) 2 m/s c) 3 m/s d) 4 m/s e) 5 m/s 0

8. El gráfico de la figura representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si a

los nueve segundos la partícula se encuentra en la posición x = 20m. la posición de la

partícula a t=0 es

v(m/s)

a) -45 m

20 b) -25 m

c) -20 m

d) -10 m

6

9 t(s)

e) 0

o

20 5 5 x (m) t (s) 1 2

(22)

9.

Un automóvil viaja con una rapidez inicial v se para en un intervalo de tiempo t. Si la

desaceleración durante este intervalo t es constante ¿Cuál de las siguientes afirmaciones

es correcta para dicho intervalo?

a) La distancia recorrida es vt/2

b) La rapidez media es vt

c) La aceleración es -v/2t

d) La distancia recorrida es vt

2

/2

e) La velocidad media es vt/2

10. Un cuerpo con aceleración constante tiene una velocidad de 8 m/s al instante t = 5s

y una velocidad de 26 m/s para el instante t = 8s, la aceleración y la velocidad media de

la partícula para el intervalo de tiempo indicado fueron

Aceleración media Velocidad media

a) 6 m/s

2

17 m/s

b) 6 "

11,3 "

c) 9 "

17 "

d) 9 "

11,3 "

e) 12 "

17 "

11. Una partícula parte del origen de coordenadas y se desplaza hacia un punto P con velocidad media 20 i m/s en 10 segundos, a continuación experimenta un desplazamiento de (25 i + 30 j) m durante un tiempo de 5 segundos hasta un punto Q. La velocidad media de la partícula durante los 15 segundos fue

a) 200

i

m/s

b) 250

i

+ 300

j

"

c) 45

i

+ 30

j

"

d) 5

i

+ 30

j

"

e) 15

i

+ 2

j

"

12. En relación a la definición de aceleración ¿ cuál de las siguientes alternativas es

FALSA?

a) Si un cuerpo moviéndose en línea recta con velocidad constante, cambia la dirección de su movimiento, el cuerpo experimentará aceleración.

b) Un cuerpo con velocidad negativa puede tener aceleración positiva.

c) El vector aceleración siempre se encuentra en la dirección de movimiento de un cuerpo. d) Un cuerpo con aceleración positiva puede tener desplazamiento nulo.

(23)

13. Una partícula describe una trayectoria circular de 50 cm de radio, moviéndose con

rapidez constante de 200 m/s . El módulo de la aceleración media entre los puntos a y b

es

a) 509 m/s

2 b) 1018 “ c) 2036 “ d) 25464 “ a b e) 50929 “

14. Un automovilista viaja a 20 m/s cuando observa que un semáforo situado a 150

m delante de él cambia a rojo. El semáforo está en rojo durante 10 segundos. Si

desea cruzar el semáforo en el instante en que cambia a verde sin detenerse,

calcular la desaceleración uniforme que requiere el automóvil y la velocidad del

automóvil cuando pase el semáforo.

a)

150 m

15. Una partícula parte del reposo con una aceleración de 2 m/s

2

. La distancia

recorrida por la partícula en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 2s y t

= 3s es.

a) 3 m

b) 4 m

c) 5 m

d) 9 m

e) 13 m

16. La función de posición de una partícula es: x(t) = 16 t

2

- 4 t. La velocidad media

de la partícula para el intervalo comprendido entre t = 1s y t = 2s, es

a) 12 m/s

b) 34 m/s

c) 44 m/s

d) 56 m/s

e) 68 m/s

a) -1 m/s ,

5 m/s

b) -1 m/s

2

,

10 m/s

c) -1 m/s

2

,

10 m/s

d) -2 m/s

2

8 b)

32

2

4 c)

8

18

8 d)

8

2

8 e)

32

18

(25)

21. Un automóvil parte del reposo y se acelera uniformemente a 10 m/s

2

para pasar

dos semáforos consecutivos que se encuentran separados 200 m. Si el vehículo

tarda 4s en

pasar los dos semáforos, determine la distancia a la que se encu entra el primer semáforo del pu nto de parti da.

a) 80 m

b) 45 m

c) 35 m

d) 20 m

e) 18 m

22. La posición de una partícula en el tiempo está dada por: x =10 + 8t – t2, en donde t esta

en segundos y x en metros. ¿Qué distancia recorre la partícula durante los primeros 6 segundos de su movimiento? a) 12 m b) 20 m c) 22 m d) 26 m e) 30 m

23. Para el problema anterior, la velocidad media en el mismo intervalo de tiempo fue: a) 2.0 m/s

b) 3.3 m/s c) 3.7 m/s d) 4.0 m/s e) – 3.7 m/s

24. Una partícula parte del reposo y realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Durante los primeros 15 segundos tiene una velocidad media de 20 m/s. La velocidad de la partícula a los 10 segundos fue

a) 15.4 m/s b) 20.0 m/s c) 26.7 m/s d) 32.6 m/s e) 40.0 m/s

25. Dos vehículos A y B viajan en direcciones contrarias con velocidades de 80 Km/h y 120 Km/h respectivamente. Si al instante t=0 cuando los vehículos se encuentran separados una distancia de 1 Km, el vehículo B frena deteniéndose al cabo de 15 segundos. ¿Cuál es la distancia que separa los vehículos en el instante en que B se detiene? El vehículo A mantiene su velocidad

a) 500 m b) 450 m c) 417 m d) 407 m e) 397 m

(26)

MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN

CONSTANTE-CAÍDA LIBRE

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Una piedra se suelta desde la terraza de un edificio de 80 m de altura. Dos

segundos después se lanza una segunda piedra desde la misma posición ¿Con

qué velocidad inicial se debería lanzar la segunda piedra, para que dé alcance a

la primera justo en el instante en que ésta llega al suelo?

a) 38,2 m/s

b) 35,8 m/s

c) 33,6 m/s

d) 32,1 m/s

e) 29,2 m/s

Solución:

Si llamamos t 1 al tiempo que tarda el objeto que se suelta en llegar al suelo, el objeto que se lanza deberá tardar dos segundos menos en llegar al suelo para darle alcance y por supuesto, debe ser lanzado con una determinada velocidad.

Determi nemos el ti empo que tarda el objeto que se suelta en llegar al suelo. Escojamos nuestro sistema de referencia

de tal forma que todas las cantidades vectoriales que apuntan hacia abajo sean positivas. y = V oy t + ½ g t 2 Si el objeto se suelta, V oy = 0 y = ½ g t 2 g y t 2 8 , 9 80 * 2 t t = 4,04 s

Por lo tanto, el objeto que se lanza deberá recorrer los 80 metros en 2,04 segundos. Determi nemos la velocidad ini cial con la que deberíamos lanzarl o.

V

oy

=0

80 m

g

y = +80 m

+

(27)

y = Voy t + ½ g t 2

80 = Voy (2,04) + ½ (9,8)(2,04)

2

(2,04) Voy = 59,6

Voy = 29,2 m/s

2. Un cohete se acelera desde el reposo a razón de 5 m/s

2

. Al cabo de 10 segundos

se le termina el combustible

. La altura máxima a la que llegará el cohete es

a) 250,0 m

b) 377,5 m

c) 397,0 m

d) 405,5 m

e) 425,5 m

Solución:

Desde que el cohete parte hasta que alcanza su altura máxima, el cohete experimenta dos movimientos diferentes. El primero en el que lleva una aceleración hacia arriba de 5 m/s2 durante 10 segundos (instante en que se le termina el combustible), y el segundo en el que lleva una aceleración hacia abajo de 9,8 m/s2 hasta que llega a su altura máxima. Es importante anotar que en el instante en que se termina el combustible, el cohete sigue ascendiendo, ya que en ese instante tenía una determinada velocidad (V) (velocidad a los 10 segundos), luego por acción de la gravedad, esta velocidad disminuye continuamente hasta hacerse cero, cuando llega a la altura máxima.

Florencio Pinela C.

Voy

y

a

=5 m/s

2

V

y

1

Determinemos el desplazamiento

y1

y la velocidad

del cohete a los 10 segundos

.

y1= V _ot + ½ a t 2 y1= ½ a t 2 y1= ½(5)(10)2 y 1 =250 m V = V o+ a t V = 0 + 5(10) V = 50 m/s

+

Vo=0

(28)

3. El gráfico representa el movimiento de un objeto lanzado verticalmente y hacia arriba desde la terraza de un edificio de altura h. El valor de h es:

a) 76.8 m b) 56.4 m c) 50.6 m d) 40.8 m e) 20.4 m Solución:

Suponemos que el objeto es lanzado desde la terraza y tarda 6 segundos en llegar al piso del edificio.

Recuerde que el área bajo una curva en el plano velocidad versus tiempo representa el desplazamiento. El área positiva (superior) representa el desplazamiento del objeto desde la terraza del edificio hasta alcanzar la altura máxima. El área negativa (inferior) representa el desplazamiento del objeto desde la altura máxima hasta llegar al piso. Lo que significa que la di ferenci a entre estos desplazamientos (áreas) sería la altur a del edif icio.

Recuerde además que la pendiente de esta curva representa la aceleración (-9,8 m/s2 ). Conociendo este valor podemos determinar, usando el gráfico, el tiempo que tarda el objeto en llegar a la altura máxima( t ) y la velocidad con que impacta el piso (-V).

0

20

6 v (m/s)

t (s)

Determinemos ahora el desplazamiento

del cohete desde el instante en que se

acaba el combustible (

inicial)

hasta el

instante en que alcanza la altura

máxima (

final)

y

2

.

Calculemos primero el tiempo que tarda en llegar a la altura máxima

V final = V inicial +g t 0 = 50 + (-9,8) t t = 5,1 s y2 = V _inicialt + ½ g t 2 y2= 50(5,1) + ½(-9,8)(5,1)2 y 2 = 127,6 m

La altura máxima a la que llegará el

cohete es

y 1 + y 2 = 377,6 m

V

final

=0

V

inicial

=50m/s

g =

-

9,8 m/s2

y

2

+

(29)

Determinación del valor de t.

La pendiente de la recta es el valor de la gravedad 8 , 9 20 t t = 2,04 s

Determinación de V, la velocidad de impacto con el piso.

La pendiente de la recta es el valor de la gravedad 8 , 9 6 t V V = 9,8(6-2,04) V = 38,8 m/s

Con estos valores podemos calcu lar las áreas de los triángu los (desplazami entos)

V

20

t

6 -V

t

Desplazamiento positivo

( y

m

(30)

4. El gráfico representa el movimiento de un cohete lanzado verticalmente con aceleración

a. Después de 10 segundos de haber partido se apagan los motores. La aceleración del

cohete mientras los motores estuvieron prendidos es: a) 7.2 m/s2 b) 6.2 m/s2 c) 4.9 m/s2 d) 2.5 m/s2 e) El gráfico no es correcto Solución:

Recuerde que en un gráfico velocidad versus tiempo, la pendiente representa la aceleración y el área bajo la curva el desplazamiento.

La pendiente del primer tramo (entre 0 y 10 segundos) es positiva y representa la aceleración del cohete mientras los motores están prendidos. La pendiente del segundo tramo (entre 10 y 15 segundos) es negativa y representa la aceleración de la gravedad desde el instante en que se apagan los motores.

A partir del gráfico podemos determinar la aceleración del cohete mientras los motores están prendidos, si llegáramos a determinar la velocidad en el instante en que se apagan los motores.

La velocidad en el instante en que se apagan los motores la podemos determinar, conociendo que la pendiente de la recta entre los 10 y 15 segundos es la aceleración de la gravedad.

La pendiente de la recta entre los 10 y 15 segundos es la aceleración de la gravedad: 8 , 9 5 V m/s2 V = 49 m/s

Con este valor de velocidad vamos a determinar la pendiente de la recta entre t=0 y 10 segundos, pendiente que representa la aceleración del cohete.

a = V/10 = 4,9 m/s 2 F lorencio Pinela C.

15

0 v (m/s)

t (s)

15

0 v (m/s)

t (s)

10 V

(31)

5. Un objeto se lanza desde la terraza de un edificio de 50 m de altura con una

velocidad de 40 m/s y hacia arriba. Determine el tiempo que tardará el objeto en

pasar por un punto ubicado a 20 m por debajo del punto de partida.

a) 8.6 s.

b) 8.9 s.

c) 9.6 s.

d) 10.2 s.

e) 10.8 s.

Solución:

Si el objeto es lanzado desde la terraza (posición inicial), y pasa por un punto ubicado 20 metros más abajo después de un tiempo t, significa que el objeto ha experimentado un desplazamiento de 20 m ( ó – 20 m), dependiendo del sistema de referencia. Si tomamos nuestro sistema de referencia considerando como positiva todas las canti dades vectoriales que apun tan hacia arr iba, tenemos:

El tiempo que tarda el objeto en adquirir un desplazamiento de

_–

20 m

y = Vo t + ½ a t 2

-20 = 40 t + ½ (- 9,8) t

2

-20 = 40 t

–

4,9 t

2 Tenemos que resolver la siguiente ecuación de segundo grado.

4,9 t

2 –

40t

–

20 = 0

t =

) 9 , 4 ( 2 ) 20 )( 9 , 4 ( 4 40 ) 40 ( 2

t =

8 , 9 63 , 44 40

t = 8,6 s

+

V

o

+

y =

-

20 m

-

g

des lazamiento

(32)

6. Un astronauta en cierto planeta lanza una esfera verticalmente hacia arriba con una velocidad de 72 km./h y encuentra que regresa a su punto de partida en 7 segundos. El valor de la aceleración de la gravedad en este planeta es

a) 1,2 m/s2

b) 2,8 m/s2 c) 5,7 m/s2 d) 9,5 m/s2

e)

No se puede determinar

Solución:

Si la esfera es lanzada hacia arriba y vuelve al mismo punto, significa que ha experimentado un desplazamiento nulo durante los 7 segundos que la esfera permanece en movimiento. Consideremos nuestr o sistema de referencia hacia abajo positivo 72 km/h = 20 m/s

y = Vo t + ½ a t 2 0 = -20(7) + ½ a(7)2

a = 5,71 m/s 2

7. Un cuerpo se lanza verticalmente y hacia arriba, pasa dos veces por un mismo punto ubicado a 8.6 m desde el suelo en un intervalo de tiempo de 3 segundos. La velocidad inicial del cuerpo es:

a) 30 m/s b) 25 m/s c) 20 m/s d) 14 m/s e) 10 m/s

Solución:

Si un objeto se lanza verticalmente hacia arriba pasa por un punto y al volver pasa nuevamente por el mismo punto, la magnitud de la velocidad

del objeto en ese punto es la misma cuando sube y cuando baja, además el desplazamiento es nulo.

Si el objeto tarda 3 segundos en pasar por el mismo punto. V final = V inicial + g t - V = V + (-9,8)3 2 V = 29,4 V = 14,7 m/s

Vo(

-

)

Posición inicial Posición final

V

-

V

y=8,6 m

V

o

(33)

-Con este valor de velocidad podemos determinar la velocidad con la que fue lanzado el objeto. V 2= V _o2+ 2g y 2 o V = V 2- 2g y 2 o V = (14,7)2 – 2(-9,8)8,6 2 o V = 197,96 Vo = 14 m/s

8. Desde un globo que está ascendiendo a una velocidad de 50 m/s se suelta un

cuerpo para que caiga libremente. Si tarda 20 segundos en llegar al suelo, la

altura a la que estaba el globo en el instante de soltar el cuerpo es:

a) 960 m

b) 1260 m

c) 1660 m

d) 1960 m

e) 2960 m

Solución:

Desde el instante y posición en que el objeto se suelta, hasta el instante y posición en que toca el suelo (20 segundos), la magnitud de este desplazamiento ( y) representa la altura a la qu e se encontr aba el globo en el momento de soltarse el objeto .

Cuidado!!!. Aunque el cuerpo se suelta , recuerde que éste se encuentra en movimiento junto con el globo, es decir, que en el momento de soltarlo, el objeto se movía hacia

arriba con una velocidad de 50 m/s (con respecto al suelo)

1

= y

2.

y = yo+ V ot + ½ g t 2 y1 = y_o1 + V o1 t + ½ g t

2 y2 = y_o2 + V o2 t + ½ g t 2

yo1=

Posición inicial del objeto (1)

yo2=

Posición inicial del objeto (2)

y1= 50 + 20 t + ½ (-9,8) t 2 y2= 0 + 30 t + ½ (-9,8) t 2

Para el instante en que se encuentran; y

1

= y

2 50 + 20 t – 4,9 t 2= 30 t – 4,9 t 2 10 t = 50

t = 5 s

50 m

Vo

1

=

20 m/s

Vo

2=30m/s

y = y

1

= y

2

(35)

MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN

CONSTANTE-CAIDA LIBRE

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Un cohete impulsado por turbinas se acelera constantemente desde el reposo y en

dirección vertical a razón de 10 m/s

2

. A los 10 segundos después de su partida, las

turbinas se apagan repentinamente.

Determine la

altura máxima

a la que llega el cohete

a)

490 m

b)

510 m

c)

620 m

d)

1010 m

e)

1110 m

2. Determine el tiempo que tarda el cohete en

volver al suelo

a) 20 s

b)

24,5 s

c)

34,5 s

d)

40,4 s

e)

44,5 s

3. Desde lo alto de un edificio de 75 m de altura se lanza verticalmente hacia arriba una esfera con una velocidad inicial de 10 m/s. La velocidad inicial con que debe lanzarse verticalmente hacia abajo otra esfera desde un edificio de 150 m de altura para que lle guen juntos al suelo si se lanzan al mismo tiempo es:

a) 35 m/s b) 25 m/s c) 15 m/s d) 5 m/s e) no puede determinarse

4. Un cuerpo se suelta desde una altura H, se observa que los últimos 10 m los recorre en 1 segundo. Entonces la altura H es:

a) 25.8 m b) 19.6 m c) 17.2 m d) 14.5 m e) 11.3 m

5. Dos cuerpos de masas m y M, (M > m) se dejan caer desde el reposo y desde

diferentes alturas en

caída libr e

. ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta?

a) El cuerpo de masa M experimentará un mayor incremento en su velocidad para

iguales intervalos de tiempo.

b) El cuerpo de masa m experimentará un mayor incremento en su velocidad para

iguales intervalos de tiempo.

c) El bloque de masa M experimentará mayor fuerza gravitacional y por tanto mayor

aceleración.

d) El incremento de velocidad para iguales intervalos de tiempo es el mismo para los

dos cuerpos.

(36)

6. Desde el mismo punto y a una altura h sobre el suelo se lanzan verticalmente dos cuerpos simultáneamente con velocidades +Vo y – Vo. Entonces, ¿cuál de las siguientes alternativas es

falsa?

a) Ambos cuerpos llegan al suelo con la misma velocidad.

b) El cuerpo que se lanza hacia abajo llega antes que aquel que se lanza hacia arriba. c) Los cuerpos llegan al suelo a intervalo de (2 Vo/g) segundos.

d) El desplazamiento de ambos cuerpos es el mismo.

e) El cuerpo que es lanzado hacia abajo llega con mayor rapidez que el otro.

10. Dos objetos idénticos A y B caen desde el reposo desde alturas diferentes hasta llegar a tierra. Si B tarda dos veces más que A para llegar a tierra, ¿cuál es la relación de las alturas desde las que cayeron A y B? Despréciese la resistencia del aire.

a) 1 : 2 b) 1 : 2

c) 1 : 4 d) 1 : 8 e) 1 : 16

8. Un fuego artificial explosivo se dispara desde el suelo verticalmente hacia arriba y estalla a su máxima altura directamente por encima de la cabeza de la persona que oye la explosión 1,5 segundos después de verla. La velocidad del sonido es 340 m/s. La velocidad de lanzamiento del explosivo era

9.

Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el nivel de la calle con una

rapidez de 20 m/s y es atrapada por una persona desde una ventana que se encuentra a

12 m de altura. Si la pelota es atrapada cuando va de bajada, el

tiempo que la pelota

estuvo en el aire fue

a) 0,73 s

b) 0,95 s

c) 2,24 s

d) 3,35 s

e) 3,90 s

(37)

10. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Determine el desplazamiento del objeto durante el último segundo de su recorrido ascendente antes de llegar

a su altura máxima. a) 2,2 m b) 2,8 m c) 3,6 m d) 4,9 m e) 9,8 m

11. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la terraza de un edificio de altura h con

una velocidad de 20 m/s. Si el objeto tarda 5 segundos en llegar a la planta baja del edificio, el valor de hes: a) 122,5 m b) 100,0 m c) 77,5 m d) 55,0 m e) 22,5 m

12. Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba. ¿Con qué velocidad debería ser lanzado para que regrese a su punto de partida al cabo de 6 s?.

13. Se lanza verticalmente una pelota alcanzando una altura máxima de 80 m, Dos segundos después de haber sido lanzada la primera una segunda pelota es lanzada en la misma dirección, de la misma posición y con la misma velocidad inicial. La distancia a la que se cruzan las pelotas desde el punto de partida es

a) 80 m. b) 75 m. c) 60 m. d) 45 m. e) 25 m.

14. Un muchacho se encuentra en una ventana a 10 m del suelo y deja caer un objeto. Otro muchacho ubicado en el suelo lanza al mismo instante otro objeto con una velocidad de 10 m/s.

L a alt ur a sobre el piso a la qu e se cruzan los objetos es:

a) 3,1 m b) 3,5 m c) 1.87 m d) 6,1 m e) 5,1 m

(38)

15. El gráfico representa el movimiento de un objeto lanzado verticalmente y hacia

arriba desde la terraza de un edificio. La altura del edificio es:

a) 20 m

b) 40 m

c) 60 m

d) 80 m

e) 160 m

16. Un objeto se suelta desde lo alto de un edificio de 60 m de altura, al mismo instante

se lanza desde el suelo verticalmente y hacia arriba un segundo objeto. Se desea que los

objetos se encuentren a la mitad del edificio, la velocidad del segundo objeto es

a) 24.5 m/s

b) b) 22.3 m/s

c) c) 20.2 m/s

d) d) 18.5 m/s

e) e) 16.4 m/s

v (m/s) t (s) 0 -60 20

(39)

MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN

CONSTANTE-MOVIMIENTO PARABÓLICO

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Desde una camioneta que se mueve con velocidad constante de 20 m/s sobre una

superficie horizontal, se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una

velocidad de 10 m/s. El desplazamiento horizontal que experimentará el objeto

hasta llegar al suelo es (desprecie el rozamiento del aire)

a) 10,2 m

b) 20,4 m

c) 30,6 m

d) 40,8 m

e) 51,0 m

Solución:

Si el objeto se lanza verticalmente hacia arriba, el desplazamiento horizontal del objeto será el mismo que experimentará la camioneta moviéndose con velocidad constante. Ya

que al ir el objeto junto a la camioneta, la componente horizontal de la velocidad inicial del objeto es igual a la velocidad de la camioneta.

Determinemos el tiempo que tarda el objeto en regresar al suelo.

El tiempo que tarda en volver al suelo, es el tiempo que tardaría un objeto lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 10 m/s en experimentar un desplazamiento nu lo

y = V oy t + ½ g t 2 V oy = 10 m/s

0 = 10 t - 4,9 t 2 t(10 – 4,9t) = 0

t 1= 0 (instante en que parte)

t 2 = 2,04 s (instante en que vuelve al piso)

10 m/s

(40)

El tiempo lo podemos calcular también de la siguiente manera:

Si el objeto regresa al mismo punto de partida

(componente vertical del movimiento),

la velocidad en ese punto debe ser la misma

(en magnitud).

V

final

= V

inicial

+ g t

-V = V + g t

t = -2V/g

t = - 20/-9,8

t = 2,04 s

Ahora podemos determinar el desplazamiento horizontal del objeto (el mismo

desplazamiento de la camioneta).

x = Vx t

x = 20*2,04 = 40,8 m

2. Un globo asciende con velocidad constante de 20 m/s. A los cinco segundos de

su partida se lanza desde el globo un objeto horizontalmente con una velocidad

de 10 m/s. El tiempo que tardará el objeto en llegar al suelo desde el instante en

que fue lanzado es

a) 4,5 s.

b) 5,0 s.

c) 6,0 s.

d) 7,0 s.

e) 8,0 s.

Solución: F lorencio Pinela C.

V

-

V

H

Voy= 20 m/s Vox= 10 m/s

+

y

g

(41)

Aún cuando el objeto se lanza horizontalmente, observe que este se mueve verticalmente junto con el globo, es decir, el objeto describirá una trayectoria parabólica donde los 10 m/s corresponde a V ox y los 20 m/s corresponde a V oy.

Para determinar el tiempo que tarda en llegar al suelo, necesitamos saber desde que altura fue lanzado. Conociendo la altura, ya podremos calcular el tiempo que tarda el objeto en experimentar un desplazamiento vertical igual en magnitud a la altura determinada anteriormente.

Determinación de la altura desde donde fue lanzado el objeto.

H = V oy t; el globo asciende con velocidad constante H = 20(5) =100 m

Determinación del tiempo que tarda el objeto en llegar al suelo.

Tomemos como sistema de referencia el suelo y consideremos que todas las

cantidades vectoriales que apuntan hacia abajo son positivas.

Desde que el objeto parte hasta que llega al suelo experimenta un desplazamiento vertical de 100 metros. y = V oy t + ½ g t 2 100 = - 20 t + 4,9 t 2 4,9 t 2 – 20 t – 100 = 0 t = ) 9 , 4 ( 2 ) 100 )( 9 , 4 ( 4 20 20 2 t = 8 , 9 58 , 48 20 t = 7,0 s F lorencio Pinela C.

(42)

La figura representa el movimiento parabólico de un proyectil y se

aplica a los problemas 3, 4, 5 y 6.

3. Utilizando los datos dados en la figura, la altura h desde donde fue lanzado el proyectil

es: a) 75 m b) 85 m c) 95 m d) 106 m e) 120 m

Solución:

Determinemos el tiempo que tarda el proyectil en l legar al suelo , este tiempo lo encontramos conociendo el desplazamiento horizontal, y recordando que la componente horizontal del movimiento parabólico es un movimiento rectilíneo uniforme. x = V ox t V ox = V o Cos 40 V ox= 72 m/s t = 1000/72 t = 13,89 s

Tomemos como sistema de referencia el suelo y consideremos que todas las

cantidades vectoriales que apuntan hacia abajo son positivas.

y = V oy t + ½ g t 2 V oy = - Vo Sen40 V oy = - 60,4 m/s F lorencio Pinela C.

1000 m

40º

y = (-60,4)(13,89) + ½ (9,8)(13,89)2 y = 106,4 m

4. La altura máxima que alcanza el proyectil medida desde el punto donde fue lanzado es: a) 186 m b) 168 m c) 148 m d) 136 m e) 126 m Solución:

Cuando el objeto alcanza la altura máxima la componente de la velocidad en “y” es cero (Vy = 0). y g V V _y2 _oy2 2 0 = (-60,4)2+ 2(9,8) y y = - 186 m

la altur a máxi ma al canzada es de 186 m.

5. La rapidez del proyectil al llegar al suelo es: a) 104,5 m/s b) 89,0 m/s c) 84,5 m/s d) 76,0 m/s e) 68,5 m/s Solución:

ox

(44)

6. Para el punto de altura máxima, los vectores que representan la velocidad, aceleración y peso del objeto son:

Velocidad aceleración peso a)

b) 0

c)

d) 0 0

e) 0

7. En un partido de fútbol un jugador cobra un tiro libre. Los gráficos representan los movimientos de la pelota. Despreciando la resistencia del aire. La rapidez con que la pelota llega al suelo es:

a) 31.2 m/s b) 24.0 m/s c) 25.0 m/s d) 22.6 m/s e) 20.2 m/s 0 0 Solución:

Los gráficos representan las diferentes posiciones de la pelota en “y” y en “x” con respecto al tiempo.

Analicemos el gráfico “y” Vs t. Nos podemos dar cuenta que el balón alcanza una altura máxima de 19,6 m, y lo logra en 2 segundos.

Al analizar el gráfico “x” Vs t. Nos podemos dar cuenta que el balón experimenta un alcance horizontal máximo de 20 metros en 4 segundos.

Para este tipo de parábola, la velocidad(magnitud) con que es disparado el balón es la misma con la que impacta el suelo.