Ejercicios Unidad 3 Fase 3- David Carrero.docx

(1)

UNIDAD 3: TAREA 3 UNIDAD 3: TAREA 3 ESPACIOS VECTORIALES ESPACIOS VECTORIALES

Trabajo presentado por: Trabajo presentado por: David Sebastián Carrero Sáenz David Sebastián Carrero Sáenz

1049628281 1049628281

Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD Centro de Educación de Adultos a Distancia (CEAD) Tunja Centro de Educación de Adultos a Distancia (CEAD) Tunja Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería ECBTI Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería ECBTI

Ingeniería electrónica Ingeniería electrónica III Semestre III Semestre 2018 2018

(2)

UNIDAD 3: TAREA 3 UNIDAD 3: TAREA 3 ESPACIOS VECTORIALES ESPACIOS VECTORIALES

Trabajo presentado por: Trabajo presentado por: David Sebastián Carrero Sáenz David Sebastián Carrero Sáenz

1049628281 1049628281

Trabajo presentado a: Trabajo presentado a: Tutor Carlos Manuel Sarmiento Tutor Carlos Manuel Sarmiento

En el área de: En el área de: Algebra Lineal Algebra Lineal En el grupo: En el grupo: 208046_313 208046_313

Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD Centro de Educación de Adultos a Distancia (CEAD) Tunja Centro de Educación de Adultos a Distancia (CEAD) Tunja Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería ECBTI Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería ECBTI

Ingeniería electrónica Ingeniería electrónica III Semestre III Semestre 2018 2018

(3)

INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN

El presente trabajo pretende introducir al lector en el desarrollo de los ejercicios propuestos en la El presente trabajo pretende introducir al lector en el desarrollo de los ejercicios propuestos en la guía de actividades y rúbrica de evaluación de la unidad 3, tarea 3. En dichos ejercicios se abordará guía de actividades y rúbrica de evaluación de la unidad 3, tarea 3. En dichos ejercicios se abordará la temática de espacios vectoriales y matrices en su esencia.

la temática de espacios vectoriales y matrices en su esencia.

En razón de ello, se elaboró el presente trabajo explicando los procedimientos con la pretensión En razón de ello, se elaboró el presente trabajo explicando los procedimientos con la pretensión de ser lo más entendible posible para que un esperado lector del presente pueda apropiarse de los de ser lo más entendible posible para que un esperado lector del presente pueda apropiarse de los conocimientos aquí contenidos y así, extender la dinámica de conocimiento que se experimento conocimientos aquí contenidos y así, extender la dinámica de conocimiento que se experimento con el desarrollo de la presente.

(4)

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

A continuación, encontrará 5 ejercicios que conformaran la tarea 3 esto se desarrollan A continuación, encontrará 5 ejercicios que conformaran la tarea 3 esto se desarrollan individualmente, el ejercicio 6 es colaborativo.

individualmente, el ejercicio 6 es colaborativo.

Ejercicio 1: Conceptualización de Espacios Vectoriales Ejercicio 1: Conceptualización de Espacios Vectoriales Descripción del ejercicio 1:

Descripción del ejercicio 1:

Luego de haber realizado lectura de los contenidos indicados, presentar un

Luego de haber realizado lectura de los contenidos indicados, presentar unmapa conceptualmapa conceptual que ilustre uno de los siguientes contenidos de la unidad 3, utilizando para su construcción la que ilustre uno de los siguientes contenidos de la unidad 3, utilizando para su construcción la herramienta Cmaptools. En el foro informar sobre el tema elegido, para que no coincida con herramienta Cmaptools. En el foro informar sobre el tema elegido, para que no coincida con la elección de otro compañero:

la elección de otro compañero: c)

(5)

Ejercicio 2. Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y Ejercicio 2. Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales.

operaciones relacionadas con espacios vectoriales.

Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 3 Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 3 referentes a espacios vectoriales, axiomas de la suma y multiplicación.

referentes a espacios vectoriales, axiomas de la suma y multiplicación. Descripción del ejercicio 2

Descripción del ejercicio 2 2 Dados:

2 Dados: a)

a) X=<1,3,5>; Y=<2,4,5>; Z=<1,0,2> vectores que pertenecen a un espacio vectorial V,X=<1,3,5>; Y=<2,4,5>; Z=<1,0,2> vectores que pertenecen a un espacio vectorial V, demuestre el axioma número 2 denominado Ley conmutativa de la suma de vectores. demuestre el axioma número 2 denominado Ley conmutativa de la suma de vectores. Siendo

Siendo X= (1,3,5)

X= (1,3,5)

→→

X= x+3y+5z X= x+3y+5z Y= (2,4,5)

Y= (2,4,5)

→→

Y= 2x+4y+5z Y= 2x+4y+5z Z= (1,0,2)

Z= (1,0,2)

→→

Z= x+2z Z= x+2z

La ley conmutativa de la suma de vectores es expresada como: La ley conmutativa de la suma de vectores es expresada como:

X+Y=Y+X X+Y=Y+X

(x+3y+5z) + (2x+4y+5z) = (2x+4y+5z) + (x+3y+5z) (x+3y+5z) + (2x+4y+5z) = (2x+4y+5z) + (x+3y+5z)

x+3y+5z+2x+4y+5z = 2x+4y+5z+x+3y+5z x+3y+5z+2x+4y+5z = 2x+4y+5z+x+3y+5z 3x+7y+10z = 3x+7y+10z 3x+7y+10z = 3x+7y+10z Y+Z=Z+Y Y+Z=Z+Y (2x+4y+5z) + (x+2z) = (x+2z) + (2x+4y+5z) (2x+4y+5z) + (x+2z) = (x+2z) + (2x+4y+5z) 2x+4y+5z+x+2z = x+2z+2x+4y+5z 2x+4y+5z+x+2z = x+2z+2x+4y+5z 3x+4y+7z = 3x+4y+7z 3x+4y+7z = 3x+4y+7z X+Z=Z+X X+Z=Z+X (x+3y+5z) + (x+2z) = (x+2z) + (x+3y+5z) (x+3y+5z) + (x+2z) = (x+2z) + (x+3y+5z) x+3y+5z+x+2z = x+2z+ x+3y+5z x+3y+5z+x+2z = x+2z+ x+3y+5z 2x+3y+7z = 2x+3y+7z 2x+3y+7z = 2x+3y+7z X+Y+Z = Z+Y+X X+Y+Z = Z+Y+X

(x+3y+5z) + (2x+4y+5z) + (x+2z) = + (x+2z) +(x+3y+5z) +(2x+4y+5z) (x+3y+5z) + (2x+4y+5z) + (x+2z) = + (x+2z) +(x+3y+5z) +(2x+4y+5z)

x+3y+5z+2x+4y+5z+ x+2z = x+2z+x+3y+5z+2x+4y+5z x+3y+5z+2x+4y+5z+ x+2z = x+2z+x+3y+5z+2x+4y+5z

4x+7y+12z = 4x+7y+12z 4x+7y+12z = 4x+7y+12z

(6)

b)

b) Siendo α y β variables escalares, demuestre el séptimo y octavo axioma para espaciosSiendo α y β variables escalares, demuestre el séptimo y octavo axioma para espacios

vectoriales usando los vectores del espacio vectorial V del punto anterior. Use valores de vectoriales usando los vectores del espacio vectorial V del punto anterior. Use valores de

3 y 4 para α

3 y 4 para α y β respectivamente.y β respectivamente. α (X+Y+Z) = αX+

α (X+Y+Z) = αX+ αY+ αZ (Primera Ley αY+ αZ (Primera Ley Distributiva)Distributiva) (α +β)X=

(α +β)X= αX +αX + βX (Segunda Ley Distributiva)βX (Segunda Ley Distributiva)

Siendo Siendo X= (1,3,5)

X= (1,3,5)

→→

X= x+3y+5z X= x+3y+5z Y= (2,4,5)

Y= (2,4,5)

→→

Y= 2x+4y+5z Y= 2x+4y+5z Z= (1,0,2) Z= (1,0,2)

→→

Z= x+2z Z= x+2z α=3 α=3 β=4 β=4

Séptimo axioma: Propiedad distributiva del producto de un escalar con respecto a la suma Séptimo axioma: Propiedad distributiva del producto de un escalar con respecto a la suma de vectores:

de vectores:Si α es cualquier número real Si α es cualquier número real yy

⃗  ⃗  

son vectores de V, entonces son vectores de V, entonces

 ∙ ∙  ⃗ + 

⃗ +  = =

 ∙ ⃗ +  ∙ 

_{α (X+Y+Z) = αX+}_{α (X+Y+Z) = αX+ αY+ αZ (Primera Ley Distributiva)}_{αY+ αZ (Primera Ley Distributiva)}

33xx+ 3y

+ 3y + 5z

+ 5z + 2+ 2x + x + 4y +

_{α Xα X+ Y +}

_{+ Y + Z Z = 3 + 9 +}

4y + 5z +

5z + xx+ 2+ 2zz = = 33xx+ 3+ 3y + 5

_{= 3 + 9 + 15 +}

_{15 + 6 +}

_{6 +12 +}

y + 5zz + 3 + 32x2x+ 4+ 4y + 5

_{12 + 15 +}

_{15 + 3 + 6}

_{3 + 6}

y + 5zz + 3 + 3xx+ + 22zz

α α XX+ Y+ Y+ Z+ Z  = 12

= 12 + 2

 + 21 +

1 + 3636

Octavo axioma: Propiedad distributiva del producto de un escalar por un vector con Octavo axioma: Propiedad distributiva del producto de un escalar por un vector con respecto a la suma de escalares:

respecto a la suma de escalares:Si α y β son cualquSi α y β son cualquier par de escalares yier par de escalares y

⃗⃗

es cualquier vector es cualquier vector

de V entonces

 +  + ∙ ⃗ =  ∙ ⃗ +  ∙ ⃗

∙ ⃗ =  ∙ ⃗ +  ∙ ⃗

(α +β)X= αX + βX (Segunda Ley Distributiva) (α +β)X= αX + βX (Segunda Ley Distributiva)

33+ 4+ 4xx+ 3+ 3y + y + 5z5z = = 33xx+ 3+ 3y + y + 5z5z + 4 + 4xx+ 3+ 3y + 5

_{α + βX = 3x +x +3y 3y + 5+ 5zz + 4 + 4xx+ 3+ 3y + 5}

_{α + βX = 3}

_{y + 5zz}

y + 5zz

α α + β+ βX = 3 + 9 + 15 + 4 + 12 +20

X = 3 + 9 + 15 + 4 + 12 +20

_{α α + β+ βX = 7 +21 + 35}

_{X = 7 +21 + 35}

(7)

Ejercicio 3. Demostraciones matemáticas a partir del uso de conjuntos generadores y Ejercicio 3. Demostraciones matemáticas a partir del uso de conjuntos generadores y combinación lineal.

combinación lineal.

Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 3 Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 3 referentes a espacios vectoriales, conjuntos generadores y combinación lineal.

referentes a espacios vectoriales, conjuntos generadores y combinación lineal. Descripción del ejercicio 3

Descripción del ejercicio 3 a)

a) Dado el conjuntoDado el conjunto

  ==  



,,



  

 



= =  5,15,1    



= =  −3,−2

−3,−2

. Demostrar que S. Demostrar que S genera a R

genera a R 22_..

Se puede demostrar que S genera R

Se puede demostrar que S genera R 22_{, si éste es linealmente independiente, entonces:}_{, si éste es linealmente independiente, entonces:}

  = = 



 + 





  = = 5,15,1+ + −3,−2

_{  ==  5,1}

−3,−2    

_{5,1 +−3,−2}

     0

_{+−3,−2}

 0

 =  = 5 −

5 − 3,3, − 2

 − 2

Entonces se tiene que: Entonces se tiene que:

5 5 −−33 = = 00

_{ − 2}

_{ − 2 = = 00}

Multiplicar la segunda ecuación por -5 y sumar las ecuaciones Multiplicar la segunda ecuación por -5 y sumar las ecuaciones

5 − 3 + 5 − 10 = 0

_{−3 − 10 = 0}

−7 = 0

 = 0/−7

_{  = = }

Si se sustituye

  = = 

en la segunda expresión, tenemos que: en la segunda expresión, tenemos que:

 − 2 = 0

 − 20 = 0

_{ − 0 = 0}

  = = 

Así, se comprueba que los vectores son linealmente independientes y por lo tanto generan a R Así, se comprueba que los vectores son linealmente independientes y por lo tanto generan a R 22_..

(8)

b)

b) Dados los vectoresDados los vectores

 = −6 + 9

yy

 = − + 9

¿es correcto afirmar que el vector ¿es correcto afirmar que el vector

  ==

−11 −9

es una combinación lineal de u y v? Justificar la respuesta. es una combinación lineal de u y v? Justificar la respuesta. Para saber si el vector w es combinación lineal de u y v, entonces:

Para saber si el vector w es combinación lineal de u y v, entonces:

 = ⃗ + 

  = −6 + 9

= −6 + 9  +  +− +

− + 99

  ==  −6 + 9

−6 + 9 + +  − + 9

− + 9

  ==  −6 + 9

−6 + 9 + +  − + 9

− + 9

−11 − 9 = −6 − ,9 + 9

_{− = −− }

− − = = + + 

Estas últimas expresiones corresponden a un sistema de ecuaciones, las cuales despejaremos para Estas últimas expresiones corresponden a un sistema de ecuaciones, las cuales despejaremos para hallar los valores de

hallar los valores de

  

−11 = −6 − 

_{−9 −9 = = 9 9 ++99}

Entonces: Entonces:

−11 = −6 − 

−9 = 9 + 9



−1 =  + 

     = −

   = −− − 

Se reemplaza

 = −

 = −− − 

en laen la primera primera expresiónexpresión

−11 = −6−

−11 = −6−11−  −

_{−1−11 = 6}

_{1 = 6+ 6+ 6 − }

−  − 

_{ − }

−11 = 6 + 5

_{−11 − 6 = 5}

−11 − 6 = 5

_{−17 = 5}

−−= = 

Se reemplaza el valor de



en la expresión en la expresión

 = −11− − 

 = −

(9)

 = −1

 = −1− − −−171755  

  ==  

Comprobamos: Comprobamos:

−11 = −6 − 

−11 = −6

−11 = −6121255  − − −−171755  

_{−11 = −11}

−9 −9 = = 9 9 ++99

−9 = 9

−9 = 9121255  + + 99−−171755  

_{−9 = − 9}

Ya que se comprueban que los valores de

  

existen y son comprobables en el sistema de existen y son comprobables en el sistema de ecuaciones obtenido, entonces el vector w es combinación lineal de los vectores u y v.

ecuaciones obtenido, entonces el vector w es combinación lineal de los vectores u y v.

Ejercicio 4 Demostraciones matemáticas a partir del uso de rango de una matriz, Ejercicio 4 Demostraciones matemáticas a partir del uso de rango de una matriz, dependencia e independencia lineal.

dependencia e independencia lineal.

Desarrollar los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 3 Desarrollar los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 3 referentes a espacios vectoriales, rango de una matriz, dependencia e independencia lineal.

referentes a espacios vectoriales, rango de una matriz, dependencia e independencia lineal. Descripción del ejercicio 4

Descripción del ejercicio 4

De la siguiente matriz que agrupa a tres vectores de un espacio vectorial, calcule: De la siguiente matriz que agrupa a tres vectores de un espacio vectorial, calcule:

||7 −9 −11

7 −9 −11

3 4 − 1

_{4 −13 −10}

_{4 −13 −10||}

a) a) DeterminanteDeterminante

   =  = ||7 −9 −11

_{4 −13 −10||}

7 −9 −11

3 4 − 1

_{4 −13 −10}

  = 7

  = 7∙ ∙  4 4 −1−1

_{−13 −10}

_{−13 −10−−  −9−9 ∙  ∙ 3 3 −1−1}

_{4 −10}

_{4 −10− 1− 11 ∙ 1 ∙ 3 3 44}

_{4 −13}

_{4 −13}

dedett = [7 ∙

 = [7 ∙  4 ∗ −10

4 ∗ −10 − −−1 ∗

_{− [−11 ∙}

_{− [−11 ∙  3 ∗ −13}

−1 ∗ −13

_{3 ∗ −13 − −4 4 ∗∗44]]}

−13] − [] − [−9−9 ∙ ∙  3 ∗ −10

3 ∗ −10 − −−1 ∗ 4

−1 ∗ 4]]

(10)

dedett = 7

 = 7−53−53−−  −9−9−26−26 − 11−55

_{det = −371 − 234 + 605}

− 11−55

dedett = 0

 = 0

El determinante de la matriz es igual a cero El determinante de la matriz es igual a cero b)

b) Rango y c) Matriz escalonada usando Gauss JordanRango y c) Matriz escalonada usando Gauss Jordan

Se procede a hallar el rango de la matriz por medio de la reducción Gauss Jordan Se procede a hallar el rango de la matriz por medio de la reducción Gauss Jordan

||7 −9 −11

7 −9 −11

3 4 − 1

_{4 −13 −10}

_{4 −13 −10||}

Se realiza Se realiza





−  − 







  → → 



7 −9 −11

7 −9 −11

_{00 555577 262677}

_{4 −13 −10}

_{4 −13 −10}





−  − 







  → → 





7 −9 −11

00 555577 262677

_{0 0 −−555577 −−262677  }





+ +  11



 → → 



7 −9 −11

7 −9 −11

_{00 555577 262677}

_{0 0 0 0 00 }









  → → 



7 −9 −11

7 −9 −11

_{0 0 11 26265555}

_{0 0 0 0 00 }





+ +99



 → → 



(11)

7 7 0 0 −−

_{0 0 11 26265555}

_{0 0 0 0 00 }

3713715555

Se realiza









  → → 



7 7 0 0 −−

_{0 0 11 26265555}

_{0 0 0 0 00 }

53535555

El rango corresponde al número de filas que no son cero, por lo tanto, el

El rango corresponde al número de filas que no son cero, por lo tanto, elrango es 2rango es 2 c)

c) Justifique desde cada proceso si hay dependencia o independencia linealJustifique desde cada proceso si hay dependencia o independencia lineal



 En el primer caso (determinante) hay dependencia lineal, ya que el determinante es igual aEn el primer caso (determinante) hay dependencia lineal, ya que el determinante es igual a

cero. cero.



 En el segundo caso el rango es igual a 2 por lo que es linealmente dependiente.En el segundo caso el rango es igual a 2 por lo que es linealmente dependiente. 

 En el caso de la reducción Gauss Jordan, ya que la matriz no es posible reducirla comoEn el caso de la reducción Gauss Jordan, ya que la matriz no es posible reducirla como

matriz escalonada, hay dependencia lineal. matriz escalonada, hay dependencia lineal.

Ejercicio 5 Demostraciones matemáticas a partir del uso de dependencia e independencia Ejercicio 5 Demostraciones matemáticas a partir del uso de dependencia e independencia lineal

lineal

Desarrollar los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 3 Desarrollar los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 3 referentes a espacios vectoriales, dependencia e independencia lineal.

referentes a espacios vectoriales, dependencia e independencia lineal. Descripción del ejercicio 5

Descripción del ejercicio 5

Determine independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores. Determine independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores.

a)

a) V1=(0,2,2) V2=(3,3,3) V3=(0,0,4)V1=(0,2,2) V2=(3,3,3) V3=(0,0,4)

Para comprobar la independencia lineal de los vectores, es necesario cumplir con: Para comprobar la independencia lineal de los vectores, es necesario cumplir con:





+ 



+ 



= = 00

Para realizar dicha comprobación realizamos la eliminación de Gauss-Jordan Para realizar dicha comprobación realizamos la eliminación de Gauss-Jordan

(12)

Realizamos Realizamos





↔ ↔ 



2 2 3 3 00

0 0 3 3 00

2 2 3 3 44||000000





→ → 



−  − 



2 2 3 3 00

0 0 3 3 00

0 0 0 0 44||000000





→ →







2 2 3 3 00

0 0 3 3 00

0 0 0 0 11||000000





→ →







2 2 3 3 00

0 0 1 1 00

0 0 0 0 11||000000





→ → 



− 3



2 2 0 0 00

0 0 1 1 00

0 0 0 0 11||000000





→ →

 





1 1 0 0 00

0 0 1 1 00

0 0 0 0 11||000000

Como es posible obtener la matriz escalonada por medio de la eliminación Gauss Jordan, se Como es posible obtener la matriz escalonada por medio de la eliminación Gauss Jordan, se concluye que los vectores son linealmente independientes.

concluye que los vectores son linealmente independientes.

b)

b) V1=(6,-2,8) V2=(1/2,4,0) V3=(-10,6,2) V4=(2,1,4)V1=(6,-2,8) V2=(1/2,4,0) V3=(-10,6,2) V4=(2,1,4)

Para comprobar la independencia lineal de los vectores, es necesario cumplir con: Para comprobar la independencia lineal de los vectores, es necesario cumplir con:

(13)

Para realizar dicha comprobación realizamos la eliminación de Gauss-Jordan Para realizar dicha comprobación realizamos la eliminación de Gauss-Jordan

66 1122 −10 2

_{−−2 2 4 4 6 6 11}

_{8 8 0 0 2 2 44}

−10 2

000000





↔ ↔ 



8 0

−−2 2 4 4 6 6 11

8 0 2 2 44

_{66 1122 −10 2}

−10 2000000





→ → 



+ +

 





((

8 8 0 0 2 2 44

0 0 44 131322 22

66 1122 −10 2

−10 2

000000))





→ → 



− −

 





((

8 8 0 0 2 2 44

0 0 44 131322 22

00 1122 −−232322 −1−1

000000))





→ → 



− −

 





((

8 8 0 0 2 2 44

0 0 44 131322 22

0 0 0 0 −−1971971616 −−5544

000000))





→ → −−







((

8 8 0 0 2 2 44

0 0 44 131322 22

0 0 0 0 11 2020197197

000000))





→ → 



− −

 





(14)

((

8 8 0 0 2 2 44

0 0 4 4 00 264264197197

0 0 0 0 11 2020197197

000000))





→ → 



− 2



((

8 8 0 0 00 748748197197

0 0 4 4 00 264264197197

0 0 0 0 11 2020197197

000000

))





→ →







((

8 8 0 0 00 748748197197

0 0 1 1 00 6666197197

0 0 0 0 11 2020197197

000000

))





→ →

 





((

1 1 0 0 00 187187394394

0 0 1 1 00 6666197197

0 0 0 0 11 2020197197

000000

))

Como no es posible obtener la matriz escalonada por medio de la eliminación Gauss Jordan, se Como no es posible obtener la matriz escalonada por medio de la eliminación Gauss Jordan, se concluye que los vectores son linealmente dependientes.

concluye que los vectores son linealmente dependientes.

Ejercicio 6. Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y Ejercicio 6. Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales.

operaciones relacionadas con espacios vectoriales. Descripción del ejercicio 6

Descripción del ejercicio 6 Demostrar lo siguiente: Demostrar lo siguiente: Si

Si AA y yBB son matrices, demuestre las siguientes propiedades y comprobar mediante ejemplo: son matrices, demuestre las siguientes propiedades y comprobar mediante ejemplo: a.

(15)

Sea

  = = 5 5 66

7 7 88

y y

  = =  8 8 2626

13 12

13 12

Entonces

  = = 5 5 66

_{7 7 88 8 8 2626}

_{13 12 =  = 55∗∗88 + +  6∗13}

_{13 12}

_{77∗∗88 + +  8∗13}

6∗13  55∗ ∗ 2266 + +  6 6 ∗∗1122

_{8∗13  77∗ ∗ 2266 + +  8 8 ∗∗1122}

  = = 118 202

118 202

_{160 278}

_{160 278}



 Rango (AB)=RangoRango (AB)=Rango

118 202

118 202

160 278

160 278





↔ ↔ 



160 278

160 278

_{118 202}

_{118 202}





→ → 



− −

 





160 278

160 278

_{0 0 −−1211214040  }





→ → −−







160 278

160 278

_{0 0 11 }





→ → 



− 278



160 0

160 0

_{0 0 11}





→ →







1 1 00

_{0 0 11}

El Rango de AB es igual a 2 El Rango de AB es igual a 2   Rango (BRango (BttAAtt)) Sea

Sea

  = = 5 5 66

7 7 88

y y

  = =  8 8 2626

13 12

13 12

Transpuesta

  = = 5 5 77

6 6 88

Transpuesta

(16)





 



= = 5 5 77

_{6 6 88 8 8 1313}

_{26 12}

_{26 12  = = 55∗∗88 + +  77∗ ∗ 2266  55∗ 1∗ 133 + +  77∗ ∗ 1122}

_{66∗∗88 + +  88∗ ∗ 2266  66∗ 1∗ 133 + +  88∗ ∗ 1122}





 



= = 222 149

222 149

_{256 174}

_{256 174}

Rango (





 



)=Rango)=Rango

222 149

222 149

256 174

256 174





↔ ↔ 



256 174

256 174

_{222 149}

_{222 149}





→ → 



− −

 





256 174

256 174

_{0 0 −−1211216464  }





→ → −−







256 174

256 174

_{0 0 11 }





→ → 



− 174



256 0

256 0

_{0 0 11}





→ →







1 1 00

_{0 0 11}

El Rango de





 



es igual a 2 es igual a 2

Por lo tanto, se comprueba que Rango (AB)= rango (B Por lo tanto, se comprueba que Rango (AB)= rango (Btt_A_Att_)._).

b.

b. SiSi AA no es una matriz cuadrada, los vectores fila o los vectores de columna de no es una matriz cuadrada, los vectores fila o los vectores de columna de AA serán serán linealmente dependientes.

linealmente dependientes. Sea

Sea

  = = 5 13 26

5 13 26

6 22 12

6 22 12

Entonces los vectores columna serán: Entonces los vectores columna serán:





+ 



+ 



= = 00

(17)

5,6

5,6 + +  13,22

13,22 + +  26,12

26,12 = =  0,00,0

El sistema de ecuaciones será: El sistema de ecuaciones será:

5 + 13 + 26 = 0

_{6 + 22 + 12 = 0}

6 + 22 + 12 = 0

Por otro lado, los vectores fila serán: Por otro lado, los vectores fila serán:





+ 



= = 00

5,13,26

5,13,26 +  + 6,22,12

6,22,12 = =  0,0,00,0,0

5,13,26

5,13,26 + +  6,22,12

6,22,12 = =  0,0,00,0,0

El sistema de ecuaciones será: El sistema de ecuaciones será:

5 5 ++66 = 0

 = 0

13 +22 = 0

_{26 +12 = 0}

26 +12 = 0

En ambos casos, los vectores son linealmente dependientes ya que existen infinitas soluciones ya En ambos casos, los vectores son linealmente dependientes ya que existen infinitas soluciones ya que, por ejemplo, no existen el mismo número de ecuaciones como de incógnitas

(18)

CONCLUSIONES CONCLUSIONES



 Del presente trabajo se puede concluir que principalmente que los espacios vectoriales sonDel presente trabajo se puede concluir que principalmente que los espacios vectoriales son

el principal objeto de estudio de la rama de la matemática llamada “Algebra

el principal objeto de estudio de la rama de la matemática llamada “Algebra lineal”, siendolineal”, siendo

éste el foco de atención del presente curso. éste el foco de atención del presente curso.



 Los espacios vectoriales poseen elementos denominados “Vectores”Los espacios vectoriales poseen elementos denominados “Vectores”. Con los mismos, se. Con los mismos, se

pueden realizar

pueden realizar dos operaciones sidos operaciones siendo estas “endo estas “la multiplicación por escalares y la adiciónla multiplicación por escalares y la adición”.”.



 Un vector puede tener diversas dimensiones, a los unidimensionales se les conoce con suUn vector puede tener diversas dimensiones, a los unidimensionales se les conoce con su

nombre (Vector), mientras que a los multidimensionales se les llama “Matriz”, éstas, son nombre (Vector), mientras que a los multidimensionales se les llama “Matriz”, éstas, son

a su vez un arreglo de vectores que permiten comprender de manera más profunda ciertos a su vez un arreglo de vectores que permiten comprender de manera más profunda ciertos fenómenos matemáticos.

fenómenos matemáticos.



 Las matices son conformadas porLas matices son conformadas por “elementos” (Cada uno de los números que la“elementos” (Cada uno de los números que la

conforman) y un elemento difiere del otro por la posición que ocupa dentro de la matriz, conforman) y un elemento difiere del otro por la posición que ocupa dentro de la matriz, así pues, el valor numérico por sí mismo puede ser el mismo pero se operará de acuerdo a así pues, el valor numérico por sí mismo puede ser el mismo pero se operará de acuerdo a su posición.

(19)

BIBLIOGRAFÍA BIBLIOGRAFÍA



 Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México: Larousse - Grupo Editorial Patria.Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México: Larousse - Grupo Editorial Patria.

Disponible en

Disponible en la Biblioteca la Biblioteca virtual de la virtual de la UNAD. Páginas UNAD. Páginas 61 a la 61 a la 30. Recuperado de30. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=76&docID=1101

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=76&docID=1101

3215&tm=1468971154423

3215&tm=1468971154423..



 Guzmán, A. F. (2014). Álgebra Lineal: Serie Universitaria Patria. México: Larousse -Guzmán, A. F. (2014). Álgebra Lineal: Serie Universitaria Patria. México: Larousse

-Grupo Editorial Patria.

Grupo Editorial Patria. Disponible en la Disponible en la Biblioteca virtual UNBiblioteca virtual UNAD. Páginas 72 a AD. Páginas 72 a la 90.la 90.

Recuperado de Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=76&docID=1101 http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=76&docID=1101 3205&tm=1469034479383 3205&tm=1469034479383.. 

 Néstor Sanz. (s.f.). Espacio Vectorial. En Monografías, recup Néstor Sanz. (s.f.). Espacio Vectorial. En Monografías, recuperado el 28 de noviembre derado el 28 de noviembre dee

2018 de

2018 de https://www.monografias.com/trabajos82/espacio-vectorial/espacio-

https://www.monografias.com/trabajos82/espacio-vectorial/espacio-vectorial.shtml

vectorial.shtml..



 Professor.ingeniero. (25 septiembre 2012). ESPACIOS VECTORIALES. Recuperado elProfessor.ingeniero. (25 septiembre 2012). ESPACIOS VECTORIALES. Recuperado el

28 de noviembre de 2018 de

28 de noviembre de 2018 de https://www.youtube.com/watch?v=L9K2YzLlNYQhttps://www.youtube.com/watch?v=L9K2YzLlNYQ..



 A.A. (s.f.). Matrices. Recuperado el 28 de noviembre de 2018 deA.A. (s.f.). Matrices. Recuperado el 28 de noviembre de 2018 de

https://www.vitutor.com/algebra/matrices/matrices.html