Guia 3 Ejercicios Resueltos de Metodo de Las Deformaciones

¾

Ejercicio Nº1:

Características geométricas de las barras Cálculo de las Inercias:

(

)

3 4 4 -2 3 -1 13333 12 20 20 I I = = cm⋅ cm = cm

(

)

3 4 5 -4 4 -3 106667 12 40 20 I I = = cm⋅ cm = cm Adoptando como 4 3 -1 0 I 13333 I = = cm

Cálculo de los Coeficientes “αij”:

0 ij ij I I α = 1,00 α α1 3 = 2 4 = => = = = = ₄4 _{− −} 0 4 -2 0 3 -1 4 -2 3 -1 13333 13333 I I I I α α cm cm 8,00 α α3 4 = 4 5 = => = = = = ₄4 _{− −} 0 5 -4 0 4 -3 5 -4 4 -3 13333 106667 I I I I α α cm cm

La ecuación de recurrencia vista en la teoría:

[

]

[

i j ij

]

ij ij 0 ij ij j i ij ij 0 ij ij 2 ω ω 3 Ψ l 2 M Ψ 3 ω ω 2 l I E 2 M M = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ = + ⋅α ⋅ ⋅ + − ⋅ Siendo: 0 ij ij I I α = 0 i i ω E I ω = ⋅ ⋅ ω_j =ω_j⋅E⋅I₀ Ψ_ij =Ψ_ij⋅E⋅I₀ Datos (por condición de vinculo): ω1 = ω2 = Ψ3-4 = Ψ4-5 = 0

Como el método no considera deformaciones por esfuerzo normal, entonces el desplazamiento de los nudos 3, 4 y 5 serán el mismo.

Δ = Δx3 = Δx4 = Δx5 Luego: Δ = l1-3 · Ψ1-3 = l2-4 · Ψ2-4 => Ψ1-3 = Ψ2-4 Cálculo de los M 0ij tm m t 1 8 4 2 8 l P M M0_3-4 =− 0_3-4 = ⋅ = ⋅ =

( )

tm m m t 3 8 12 4 2 12 l q M M 2 2 0 5 -4 0 5 -4 = ⋅ = ⋅ = − = Cálculo de los M_ij • Barra 1-3

[

1 3 1-3

]

3 1-3 3 -1 3 -1 0 3 -1 3 -1 2 ω ω 3 Ψ 2₃ω 2Ψ l α 2 M M = + ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ = −

[

3 1 1-3

]

3 1-3 1 -3 1 3 0 1 -3 1 -3 2 ω ω 3 Ψ 4₃ω 2Ψ l α 2 M M = + ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⋅ = − • Barra 2-4

[

2 4 2-4

]

4 2-4 4 -2 4 -2 0 4 -2 4 -2 2 ω ω 3 Ψ 2₃ω 2Ψ l α 2 M M = + ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ = −

[

4 2 2-4

]

4 2-4 2 -4 2 -4 0 2 -4 2 -4 2 ω ω 3 Ψ 4₃ω 2Ψ l α 2 M M = + ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ = − • Barra 3-4

[

3 4 3-4

]

3 4 4 -3 4 -3 0 4 -3 4 -3 2 ω ω 3 Ψ 1 8ω 4ω l α 2 M M = + ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ = + +

[

4 3 3-4

]

3 4 3 -4 3 -4 0 3 -4 3 -4 2 ω ω 3 Ψ 1 4ω 8ω l α 2 M M = + ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ =− + + • Barra 4-5

[

4 5 4-5

]

4 5 5 -4 0 5 -4 5 -4 _l 2 ω ω 3 Ψ 8₃ 8ω 4ω α 2 M M = + ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ = + +

Planteo de las ecuaciones de equilibrio

Planteando sumatorias de momentos en los nudos e igualándolas a cero tendremos tres ecuaciones, con lo que necesitaremos una cuarta ecuación debido a que contamos con cuatro incógnitas, por lo tanto plantearemos una ecuación de piso y la igualaremos a cero, en consecuencia obtuvimos cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.

Equilibrios de Momentos:

Para hacer el equilibrio de nudos tomaremos la acción de la barra sobre el nudo (positivo en sentido horario). • Nudo (3): 0 M M 0 M₃ = => ₃₋₁+ ₃₋₄ =

∑

3 1 4 3 4 3 3 1 4 3 1 3 Ψ ,00 0 ω ,00 4 ω 8 ,00 1 M Ψ 2,00 ω 0,00 ω 3 4 0,00 M − − − − + = − + =

( )

I => = − + + => = −

∑

M3 0 1,00 28₃ω3 4,00ω4 2,00Ψ1 3 0 • Nudo (4): 0 M M M 0 M₄ = => ₄₋₃+ ₄₋₂+ ₄₋₅ =

∑

5 4 5 4 3 1 4 2 4 4 3 3 4 ω 4,00 ω 8,00 3 8 M Ψ 2,00 ω 3 4 M ω 8,00 ω 4,00 1,00 M + + + = − + = + + − = − − − −

( )

II => = − + + + => = −

∑

M₄ 0 5₃ 4,00ω₃ 52₃ω₄ 4,00ω₅ 2,00Ψ_{1 3} 0 • Nudo (5): 0 M M 0 M₅ = => ₅₋₄+ _V =

∑

1,00 M ω 8,00 ω 4,00 3 8 M V 5 4 4 5 + = + + − = −

( )

III => = + + − => =

∑

M₅ 0 5₃ 4,00ω₄ 8,00ω₅ 0 Ecuación de Piso:

Recordando que Qij =Q0ij+QMij ; y que en este caso los Q son nulos debido a que no hay 0ij cargas horizontales actuando en la estructura; y que a los Q , los considero positivos debido a Mij que todavía no se conoce su verdadero signo.

Nota: Como queremos calcular el equilibrio de la barra para obtener sus esfuerzos de corte, es conveniente trabajar con la acción del nudo sobre la barra.

0 Q Q 0 F_H = => ₃₋₁+ ₄₋₂ =

∑

3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1 1 3 3 1 M 1 3 2₃ω 4₃Ψ 3 Ψ 2 ω 3 4 Ψ 2 ω 3 2 l M M Q − − ₋ − − − − = − − + − = + = 3 1 4 3 1 4 3 1 4 4 2 2 4 4 2 M 2 4 2₃ω 4₃Ψ 3 Ψ 2 ω 3 4 Ψ 2 ω 3 2 l M M Q − − ₋ − − − − = − − + − = + =

( )

IV => = − + => = −

∑

FH 0 2₃ω3 2₃ω4 8₃Ψ1 3 0 Sistema de Ecuaciones 0 Ψ 3 8 -0 ω 3 2 ω 3 2 0 0 0 ω 8 ω 4 0 3 5 0 Ψ 2 -ω 4 ω 3 52 ω 4 3 5 0 Ψ 2 -0 ω 4 ω 3 28 1,00 3 1 4 3 5 4 3 1 5 4 3 3 1 4 3 = = − = = − − −

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos:

0,0519738 Ψ 0,2871632 ω 0,156826 ω 0,051068 ω 0,0519738 1 0 0 0 0,2871632 0 1 0 0 0,156826 0 0 1 0 0,051068 0 0 0 1 3 1 5 4 3 − = = − = − = => − = = − = − = −

Reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones de recurrencia se obtienen los valores de los Momentos Flectores de la estructuras, como verificación si se reemplazan los valores de las rotaciones en las ecuaciones de equilibrios estas deben ser nulas.

tm tm tm tm tm tm tm tm 00 1 M 105 0 M 46 2 M 0,036 M 56 2 M 0006 0 M 034 0 M 0,07 M 4 5 2 4 3 4 1 3 5 4 4 2 4 3 3 1 , , , , , , − = − = − = = = − = − = = − − − − − − − −

Diagrama de Momentos Flectores

Diagrama de Esfuerzos de Cortantes

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Ejercicio Nº2: 2t 5t 1,5t 1 2 3 4 5 6 q= 2t/m q= 3t/m q= 4t/m q= 3t/m 3I° 4I° I° I° 3I°

Datos (por condición de vinculo): ω1 = ω4 = 0

Incógnitas: ω2 ; ω3 ; ω5 ; ω6; Ψ1-2 ; Ψ3-4; Ψ5-6 ; Ψ2-5

Como el método no considera deformaciones por esfuerzo normal, entonces el desplazamiento de los nudos 2, 3 y 5 será el mismo.

Δ = Δx2 = Δx3 = Δx5

Luego: Δ = -l1-2 · Ψ1-2 = l3-4 · Ψ3-4 = l5-6 · Ψ5-6 = función Δ

Ψ1-2 = -5/8 Ψ3-4

Ψ5-6 = 5/6 Ψ3-4

Mis incógnitas serán entonces : ω2 ; ω3 ; ω5 ; ω6; Ψ3-4; Ψ2-5

Cálculo de los M 0_ij tm 09 , 3 M0 2 -1 = tm 59 , 3 M0 1 -2 =− tm 083 , 2 M M 0 3 -4 0 4 -3 =− = tm 84 , 1 M0 5 -2 = tm 45 , 2 M0 2 -5 =− tm 25 , 2 M M 0 5 -6 0 6 -5 =− =

Cálculo de los M_ij

La ecuación de recurrencia vista en la teoría:

[

i j ij

]

ij ij 0 ij ij 2 ω ω 3 Ψ l I E 2 M M = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ • Barra 1-2

[

1 3 1-3

]

2 4-3 2 -1 2 -1 0 2 -1 2 -1 2 ω ω 3 Ψ 3,09 3₂ω 45₁₆Ψ l 2 M M = + ⋅I ⋅ ⋅ + − ⋅ = + +

[

2 1 2-1

]

2 4-3 1 -2 1 2 0 1 -2 1 -2 2 ω ω 3 Ψ 3,59 3ω 45₁₆Ψ l 2 M M = + ⋅I − ⋅ ⋅ + − ⋅ =− + + • Barra 2-3

[

2 3 2-3

]

2 3 3 -2 3 -2 0 3 -2 3 -2 _l 2 ω ω 3 Ψ 2ω ω 2 M M = + ⋅I ⋅ ⋅ + − ⋅ = +

[

3 2 2-3

]

2 3 2 -3 2 -3 0 2 -3 2 -3 _l 2 ω ω 3 Ψ ω 2ω 2 M M = + ⋅I ⋅ ⋅ + − ⋅ = − • Barra 3-4

[

3 4 3-4

]

3 4-3 4 -3 4 -3 0 4 -3 4 -3 2 ω ω 3 Ψ 2,083 32₅ω 48₅Ψ l 2 M M = + ⋅I ⋅ ⋅ + − ⋅ = + −

[

4 3 3-4

]

3 3-4 3 -4 3 -4 0 3 -4 3 -4 2 ω ω 3 Ψ 2,083 16₅ω 48₅Ψ l 2 M M = + ⋅I ⋅ ⋅ + − ⋅ =− + − • Barra 2-5

[

2 5 2-5

]

2 5 2-5 5 -2 5 -2 0 5 -2 5 -2 2 ω ω 3 Ψ 1,84 8₇ω 4₇ω 12₇Ψ l 2 M M = + ⋅I ⋅ ⋅ + − ⋅ = + + −

[

5 2 2-5

]

5 2 2-5 2 -5 2 -5 0 2 -5 2 -5 2 ω ω 3 Ψ 2,45 8₇ω 4₇ω 12₇Ψ l 2 M M = + ⋅I ⋅ ⋅ + − ⋅ =− + + − • Barra 5-6

[

5 6 5-6

]

5 6 4-3 6 5-6 5-0 6 5-6 5- 2 ω ω 3 Ψ 2,25 4ω 2ω 5Ψ l 2 M M = + ⋅I ⋅ ⋅ + − ⋅ = + + −

[

5 6 5-6

]

6 5 4-3 5 -6 5 -6 0 5 -6 5 -6 2 ω ω 3 Ψ 2,25 4ω 2ω 5Ψ l 2 M M = + ⋅I ⋅ ⋅ + − ⋅ =− + + −

Planteo de las ecuaciones de equilibrio Equilibrios de Momentos: • Nudo (3): 0 M M 0 M₃ = => ₃₋₄+ ₃₋₂ =

∑

3 2 4 3 3 -4 3 4 3 ω 2 ω M Ψ 5 48 ω 5 32 083 , 2 M − = − + = − −

( )

I 0 Ψ 5 48 ω 5 42 ω 083 , 2 0 M3 = => + 2 + 3− 4-3 = =>

∑

• Nudo (2): 0 M M M 0 M₂ = => ₂₋₁+ ₂₋₃+ ₂₋₅ =

∑

) ( 0 Ψ 7 12 Ψ 16 45 ω 7 4 ω ω 7 43 -1,75 0 M Ψ 7 12 ω 7 4 ω 7 8 84 , 1 ω ω 2 Ψ 16 45 ω 3 59 , 3 5 -2 3 -4 5 3 2 2 5 -2 5 2 5 2 3 2 3 2 3 -4 2 1 2 II M M M ⇒ = − + + + + ⇒ = − + + = + = + + − =

∑

− − − • Nudo (5): 0 M M 0 M₅ = => ₅₋₂+ _5-6 =

∑

3 -4 6 5 6 5 5 -2 2 5 2 5 Ψ 5 ω 2 ω 4 25 , 2 Ψ 7 12 ω 7 4 ω 7 8 45 , 2 − + + = − + + − = − − M M

( )

III 0 Ψ 7 12 Ψ 5 ω 2 ω 7 36 ω 7 4 2 , 0 0 M5 = => − + 2+ 5+ 6− 4-3− 2-5 = =>

∑

• Nudo (6): 0 M M 0 M₆ = => ₆₋₅+ _6-v =

∑

( )

IV 0 Ψ 5 ω 4 ω 2 37 , 3 0 M6 = => + 5+ 6− 4-3 = =>

∑

2t 2 3 5 Q Q Q 3-4 2-1 5-6 Q +3-4 2t + Q5-6-Q =02-1 5 Q5-2 Q = 05-2 0 F_H =

∑

) ( 0 Ψ 49 48 ω 49 24 ω 49 24 03 , 3 86 , 2 l M M Q _{2 5 5 2} 2 5 5 2 2 5 M 2 5 − =− + + − = ⇒ V + = ₋ − − − − 0 F_V =

∑

3 4 3 3 4 3 4 4 3 M 4 3 5 5 96₂₅ω 192₂₅Ψ l M M Q ₋ − − − − + = + − + = 3 4 2 1 2 2 1 1 2 M 1 2 45₈ 9₈ω 45₃₂Ψ 2 11 l M M Q ₋ − − − − − =− + + + = 3 4 5 5 1 2 2 1 1 2 M 6 5 ₂ 9₂ 2ω 2ω -10₃Ψ 9 l M M Q ₋ − − − − + = + + + =

( )

VI 0 Ψ 12,42 -ω 2 ω 2 ω 25 96 ω 8 9 8 137 0 FV = => − 2 + 3+ 5+ 6 4−3 = =>

∑

1 42/5 0 0 -48/5 0 -2.083 43/7 1 4/7 0 45/16 -12/7 1,75 4/7 0 36/7 2 -5 -12/7 0,2 0 0 2 4 -5 0 -3,37 24/49 0 24/49 0 0 -48/49 3,03 -9/8 96/25 2 2 -12,42 0 -137/8

Este sistema arrojo los siguientes resultados: ω2 = -3,56 ω3 = 4,67 ω5 = 1,67 ω6 = 3,25 Ψ3-4 = 3,93 Ψ2-5 = -4,05

Reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones de recurrencia se obtienen los valores de los Momentos Flectores de la estructuras, como verificación si se reemplazan los valores de las rotaciones en las ecuaciones de equilibrios estas deben ser nulas.

tm tm tm tm tm tm tm tm tm tm 62 , 5 M ,34 4 M 33 , 4 M 87 , 24 M 78 , 5 M ,22 3 M 65 , 5 M 76 , 5 M 45 , 2 M ,80 8 M 5 6 6 5 2 5 3 4 2 3 1 2 5 2 4 3 3 2 2 1 − = − = = − = = − = = − = − = = − − − − − − − − − −

Diagrama de Cuerpo Libre

2t 5t 1,5t 1 2 3 4 5 q= 2t/m q= 3t/m q= 4t/m q= 3t/m 3I° 4I° I° I° 3I° 5,9t 3,37t 1,66t 17,26t 13,82t 24,87tm 8,80tm

Diagrama de Momentos Flectores 1 2 3 4 5 8,80tm -3,22 tm 5,65tm 2,45tm -5,76tm 5,76tm 24,87tm 4,33tm 4,33tm -4,33tm -5,62tm 5,62tm

Diagrama de Esfuerzos de Cortantes

1 2 3 4 5,9t 4,10t 1,66t 17,26t 5,26t 5t 6t

Diagrama de Esfuerzos de Normales 1 2 3 4 5 -3,37t 1,16t 5,26t 1,66t

¾

Ejercicio Nº3: 1 2 3 4 3t q= 2t/m 3I° 3I° 5I°

Datos (por condición de vinculo): ω4 = 0

Incógnitas: ω1 ; ω2 ; ω3 ; Ψ1-2 ; Ψ2-3; Ψ3-4

Calculo los desplazamientos de los nudos en función de una sola incógnita Δ Luego:

Ψ1-2 = 0,4 Δ

Ψ3-2 = - 0,10 Δ Ψ4-3 = 0,25 Δ

Mis incógnitas serán entonces : ω1 ; ω2 ; ω3 ; Δ

Cálculo de los M 0_ij tm 04 , 6 M M 0 2 -3 0 3 -2 =− =

Cálculo de los M_ij

La ecuación de recurrencia vista en la teoría:

[

i j ij

]

ij ij 0 ij ij 2 ω ω 3 Ψ l I E 2 M M = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ • Barra 1-2 Δ − + =4,8ω 2,4ω 2,88 M_{1-2 1 2} Δ − + =2,4ω 4,8ω 2,88 M_{2-1 1 2} • Barra 2-3 Δ + + + =6,04 4ω 2ω 0,6 M_{2-3 2 3} Δ + + + − = 6,04 2ω 4ω 0,6 M_{3-2 2 3} • Barra 3-4 Δ − = ₃ 4 -3 2,68ω M Δ − = 341, M_4-3

Planteo de las ecuaciones de equilibrio Equilibrios de Momentos: • Nudo (1): 0 M 0 M₁ = => ₁₋₂ =

∑

( )

I 0 88 , 2 ω 4 , 2 ω 8 , 4 1+ 2− Δ= => • Nudo (2): 0 M M 0 M₂ = => ₂₋₁+ ₂₋₃ =

∑

) ( 0 28 , 2 ω 2 ω 8,8 ω 4 , 2 04 , 6 0 M 6 , 0 ω 2 ω 4 04 , 6 88 , 2 ω 8 , 4 ω 4 , 2 3 2 1 2 3 2 3 2 2 1 1 2 II M M ⇒ = Δ − + + + ⇒ = Δ + + + = Δ − + =

∑

− − • Nudo (3): 0 M M 0 M₅ = => ₃₋₂+ _3-4 =

∑

Δ + + + − = 6,04 2ω 4ω 0,6 M_{3-2 2 3} Δ − = ₃ 4 -3 2,68ω M

( )

III 0 4 , 0 ω 68 , 6 ω 2 04 , 6 0 M3 = => − + 2+ 3 − Δ= =>

∑

Ecuación de Piso: 2 3

H

2-1

H

3-4

H +

2-1

H =0

3-4 Δ − + = + = − − − − 2,88ω 2,88ω 2,3 l M M H _{1 2} 2 1 1 2 2 1 M 1 2

Tomo momento en el punto 4 M(4) = -V3-4 · 2m + H3-4 · 4m + 4 -3 4 3 3 4 l M M ₋ + ₋ = 0 Despejo el valor de H3-4 H3-4 = − − 2 4 3 V 4 1 l M M 4 -3 4 3 3 4− + − _⋅ V3-4 = 6,5t - 3 -2 2 3 3 2 l M M ₋ + ₋ = 6,5−1,2ω₂−1,2ω₃−0,24Δ Entonces Δ − − − =3,25 0,6ω 0,82ω 0,01 H

) ( 0 31 , 2 ω 82 , 0 ω 28 , 2 ω 88 , 2 25 , 3 + ₁+ ₂− ₃− Δ= => IV Sistema de Ecuaciones

( )

4,8  2,4  0  ‐2,88  0  2,4  8,8  2  ‐2,28  ‐6,04 0  2  6,68  ‐0,4  6,04 2,88  2,28  ‐0,82  ‐2,31  ‐3,25

Este sistema arrojo los siguientes resultados: ω1 = 1,92

ω2 = −0,86

ω3 = 1,31

Δ = 2,49

Reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones de Recurrencia se obtienen los valores de los Momentos Flectores de la estructuras, como verificación si se reemplazan los valores de las rotaciones en las ecuaciones de equilibrios estas deben ser nulas.

tm tm tm tm tm tm 73 , 0 M 02 , 1 M ,70 6 M 02 , 1 M 70 , 6 M 0 M 3 4 2 3 1 2 4 3 3 2 2 1 − = − = − = = = = − − − − − −

Diagrama de Cuerpo Libre

1 2 3 4 3t q= 2t/m 3I° 3I° 5I° 2,68t 7,64t 5,36t 2,68t 0,73tm

Diagrama de Momentos Flectores 1 2 3 4 0tm -6,70tm 6,70tm -1,02tm 6,15tm 1,02tm -0,73tm

Diagrama de Esfuerzos Cortantes

1 2 3 2,68t 2,68t 7,64t 2,64t 0,36tm 5,36t 0,065t

Diagrama de Esfuerzos Normales 1 2 3 4

-7,64t

-2,68t

-6,16t