Departamento de Ingeniería Química
Título: Aplicación de métodos matemáticos en la determinación
de uso de aditivos en la industria del papel.
Autor: Anamary Acosta Valladares
Tutores: Dr. Cs. Erenio González Suárez
Dr. C. Fernando Ramos Miranda
Department of Chemical Engineering
Title: Application of mathematical methods in the determination
of the use of additives in the paper industry.
Author: Anamary Acosta Valladares
Thesis Director: Dr. Cs. Erenio González Suárez
Dr. C. Fernando Ramos Miranda
Este documento es Propiedad Patrimonial de la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas, y se encuentra depositado en los fondos de la Biblioteca Universitaria “Chiqui Gómez Lubián” subordinada a la Dirección de Información Científico Técnica de la mencionada casa de altos estudios.
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Pensamiento
“El que sabe más, vale más. Saber es tener. La moneda se funde, y
el saber no. Los bonos, o papel moneda, valen más, o menos, o
nada: el saber siempre vale lo mismo, y siempre mucho. Un rico
necesita de sus monedas para vivir, y pueden perdérsele y ya no
tiene modos de vida. Un hombre instruido vive de su ciencia, y
como la lleva en sí, no se le pierde, y su existencia es fácil y segura”.
Dedicatoria
A mi familia por su apoyo incondicional en todo momento, en
especial a mis padres y mi hermana, por tanto amor y por estar
siempre para mí.
Agradecimientos
A mis tías y mi tío por confiar siempre en mí y por todo el apoyo que
siempre me han brindado.
A mis primas y primos, por su cariño y preocupación constante.
A mis tutores por su esfuerzo y dedicación para lograr alcanzar esta
meta.
A Cary y Wilfredo por su entrega y su ayuda indispensable en los
trabajos de laboratorio realizados, y a todo el personal de la Papelera
Damují por las buenas atenciones brindadas.
A mis amigos del alma, son muchos, ellos lo saben, por quererme,
apoyarme y estar siempre cuando los necesito.
A mis compañeros de aula por compartir estos años inolvidables de
universidad.
A todos los profesores que han contribuido a mi formación
profesional a lo largo de estos 5 años de universidad.
A todas las personas que de alguna forma han tenido que ver con la
Resumen
La Unidad Empresarial de Base (UEB) Papelera Damují pertenece a la Empresa del Papel y se dedica a la producción de papeles y cartones industriales, que abarca diferentes tipos de cartulinas, liners y fundamentalmente cartoncillo para corrugar. En el proceso de fabricación del papel intervienen gran número de factores entre los que destaca la mezcla fibrosa de que está constituido el mismo. En el presente trabajo se realizó un estudio de la calidad de las materias primas y los aditivos químicos (almidón y AKD) utilizados en la producción de cartoncillo para corrugar y su influencia en las propiedades de resistencia del producto final.
En la actualidad los métodos matemáticos y los softwares existentes nos posibilitan enfrentar el procesamiento y análisis de alternativas cada vez más complejas. Además permiten no solo el desarrollo de los procesos incrementando al máximo la eficiencia en la utilización de los recursos, sino también la dirección de estos con vista a mantenerlos siempre en las condiciones óptimas.
Para el desarrollo de la investigación se usó como herramienta fundamental la modelación matemática, con el propósito de encontrar un óptimo en las condiciones de operación que garanticen los estándares de calidad acorde a lo exigido por la norma. Mediante los modelos estimados se obtuvo como resultado que es necesario emplear una formulación de la pasta compuesta en su totalidad por recorte de buena calidad para cumplir con lo estipulado por la norma. Además se comprobó que el almidón es el aditivo que mayor influencia ejerce sobre la mejora de los resultados de las propiedades físicas del papel evaluadas que fueron el CMT, SCT, RCT y CCT y se determinó mediante el método del paso ascendente que la cantidad de almidón necesaria para cumplir con los requisitos de calidad es de 0,028 kg almidón/kg papel.
Abstract
The Base Business Unit (UEB) Papelera Damují belongs to the Paper Company and is dedicated to the production of industrial papers and cartons, which covers different types of cardboards, liners and mainly paperboard. In the paper manufacturing process, they intervene great number of factors among which the fibrous mixture of which it is constituted stands out. In the present work, a study of the quality of the raw materials and the chemical additives (starch and AKD) used in the production of paperboard to corrugate and its influence on the endurance properties of the final product was carried out. At present the mathematical methods and the existing software allow us to face the processing and analysis of increasingly complex alternatives. They also allow not only the development of the processes, maximizing efficiency in the use of resources, but also the management of these with a view to keeping them always in optimal conditions.
For the development of the research, mathematical modeling was used as a fundamental tool, with the purpose of finding an optimum in the operating conditions that guarantee the quality standards according to the requirements of the standard. By means of the estimated models, it was obtained as a result that it is necessary to use a paste formulation composed entirely of good quality cut to comply with the stipulations of the standard. It was also found that starch is the additive that has the greatest influence on the improvement of the results of the physical properties of the evaluated paper that were the CMT, SCT, RCT and CCT and was determined by the method of the ascending step that the amount of starch necessary to meet the quality requirements is 0,028 kg starch / kg paper.
Índice
Introducción ... 1
Capítulo 1. Análisis de la literatura ... 4
1.1 Introducción ... 4
1.2 El concepto de sistema y modelo ... 4
1.3 La aplicación de los modelos, sus propiedades y clasificación ... 6
1.3.1 Clasificación de los modelos... 8
1.4 Estrategia para la construcción de modelos. Principios lógicos y heurísticos ... 9
1.5 Optimización de procesos mediante modelos ... 12
1.6 Antecedentes en la industria del papel ... 14
1.7 Características del proceso de producción de Papelera Damují ... 16
1.8 Propiedades físicas del cartón para ondular ... 20
1.9 Planteamiento del problema de optimización del proceso de fabricación de cartoncillo 21 1.9.1 La optimización del sistema fundamental de la estrategia ... 22
1.10 Conclusiones parciales ... 24
Capítulo 2. Estudio de la etapa de preparación de las pastas... 25
2.1 Introducción ... 25
2.2 Planificación y selección de los materiales para el experimento ... 25
2.3 Ensayos experimentales y sus resultados ... 27
2.4 Conclusiones parciales ... 44
Capítulo 3. Modelación de la máquina de papel... 45
3.1 Introducción ... 45
3.2 Composición y desarrollo de las máquinas de papel ... 45
3.3 Elaboración del modelo de la máquina de papel. ... 47
3.4 Modelo matemático de la máquina de papel ... 48
3.5 Modelo del proceso tecnológico ... 53
3.6 Estudio del efecto de las mezclas binarias. ... 54
3.7 Aplicación del método del paso ascendente ... 56
3.8 Conclusiones parciales ... 58
Conclusiones Generales ... 59
Recomendaciones ... 60
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Introducción
La industria papelera cubana de hoy tiene varios retos que enfrentar para continuar avanzando, tales como el consumo de materias primas recicladas con alto por ciento de materias prohibidas para reciclar y excluibles, que contienen cargas de productos químicos orgánicos e inorgánicos elevados, lo que implica la localización e instalación de equipos tecnológicos en la línea de producción de pastas capaces de lograr pulpas más limpias, y además la utilización de agentes de retención y resistencia (almidones, AKD).
A su vez la correcta identificación de los materiales reciclados para las formulaciones industriales debe tener como base diseños de experimentos a nivel de laboratorio capaces de producir propiedades físicas finales para garantizar una calidad estable, de acuerdo a los estándares del cliente en correspondencia con los análisis de costo para la competitividad del producto. El elemento básico para la fabricación del papel es la mezcla fibrosa de que está constituido, cuyas propiedades varían en función de sus características físico-químicas básicas y del tratamiento mecánico que en el proceso de preparación de las pastas haya recibido.
En el proceso de fabricación del papel se presta gran atención a toda la etapa de preparación y mezcla de las fibras componentes de la pasta final, en adición a esto, al estudiar el proceso de fabricación debe considerarse que la calidad de un papel no depende solamente de las características de sus componentes fibrosos, sino que también de los factores inherentes a las condiciones específicas de la máquina de papel donde se fabrica.
Se puede decir entonces que en el proceso de producción del papel intervienen factores de dos naturalezas, a saber, los parámetros de operación de los equipos tecnológicos, y los parámetros físico- químicos de las pastas utilizadas, los efectos de los primeros son característicos de las máquinas de papel, y pueden ser verdaderamente estudiados mediante modelos de planta, sin embargo, los efectos de los parámetros físico- químicos de las pastas pueden ser simulados a escala de laboratorio, y mediante la extrapolación y análisis consecuente de los resultados desbrozar el camino para la obtención de
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modelos industriales capaces de representar adecuadamente el moderno proceso tecnológico.
Se propone este proyecto de investigación por la necesidad de mejorar la calidad del cartoncillo o cartón para ondular en la Unidad Empresarial de Base (UEB), Papelera ¨Damují¨, en el momento actual y después de un proceso inversionista propuesto por el Ministerio de Industrias que será financiado, proyectado y suministrado por la República Popular China. Para ello es necesario conocer la procedencia y calidad de la materia prima a partir de diferentes mezclas de recorte, así como los agentes químicos a utilizar en el proceso para lograr la calidad óptima del papel.
Con la confección y puesta en marcha de este proyecto se persigue obtener un óptimo de calidad en el producto final teniendo en cuenta las condiciones de producción actual en la fábrica.
En correspondencia con lo anterior se hace necesario encontrar un modelo del sistema que permita predecir de acuerdo a las calidades de las materias primas y los aditivos químicos que se incorporan al proceso, la mejor decisión para lograr un cartoncillo de calidad exportable o para el consumo nacional según los requerimientos del país.
Atendiendo a lo expresado anteriormente se plantea:
Problema científico
En la Papelera Damují no se han definido modelos experimentales capaces de predecir los parámetros óptimos de operación y calidad en las condiciones tecnológicas actuales de la planta.
Hipótesis
Si se obtienen modelos experimentales que pronostiquen las variables de operación y calidad del cartón para ondular, se podrán aplicar en el proceso y mejorar el producto terminado en las condiciones de producción actual.
Objetivo general
Determinar un modelo matemático experimental que permita establecer la región óptima de trabajo para maximizar la calidad del cartón para ondular.
3 Objetivos específicos
1. Establecer los fundamentos teóricos científicos que sustenten la investigación propuesta.
2. Obtener los modelos matemáticos correspondientes a cada propiedad estudiada teniendo en cuenta la influencia de los aditivos químicos. 3. Realizar la modelación de la máquina de papel.
4. Efectuar la integración de los modelos experimentales con los de la máquina de papel.
5. Evaluar la influencia de los aditivos sobre las propiedades de resistencia del cartón para ondularmediante el método del paso ascendente.
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Capítulo 1. Análisis de la literatura
1.1 Introducción
En la industria de pulpa y papel de Cuba se han desarrollado con éxito varios estudios para determinar las condiciones óptimas de operación de fábricas de papel con apoyo de diseños experimentales y modelos estadísticos a partir de estudios de laboratorio y datos operacionales, entre los que resaltan los de (González Suárez, 1982) para un tecnología de producción de papel para ondular y (Morales Pérez, 1994) para una fábrica de papeles blancos; fundamentados en los modernos métodos cibernéticos de estudio y simulación de procesos que también han sido aplicados a otras industrias (González Suárez, 2008) gracias a una concepción metodológica del tratamiento de datos a nivel industrial (González Suárez, 2003) (Cardoso Romero, 1993).
1.2El concepto de sistema y modelo
La teoría de los sistemas, que junto con la teoría de la información, la teoría de la regulación, la teoría de los juegos y la teoría de los algoritmos, conforman la cibernética, tiene como concepto central el de ¨sistema¨. Al definir el concepto de sistema, se debe ser cuidadoso, pues el intento de generalizar las acepciones, conduce inevitablemente, a que se comience a entender todo lo que se quiera por sistema(González Rodríguez, 1978). La literatura entre otras registra las siguientes definiciones:
Betalanfi: ¨Sistema es un complejo de componentes interactivos¨(Orudzhev, 1978a).
Pavelzing: ¨…todo sistema consta de elementos organizados de manera determinada¨(Pavelzing, 1970).
Klaus: ¨…un sistema es una totalidad de objetos entre los cuales existen determinadas relaciones¨(Klaus, 1974).
Reinisch: ¨…un sistema es una continuidad de elementos, que están unidos por acoples en ambos sentidos, así como también la cantidad de esos acoples¨(Reinisch, 1974).
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Kafarov: En el caso específico de los procesos se define un sistema químico como ¨la totalidad de los procesos químico-físicos que se desarrollan, así como los medios técnicos que lo posibilitan¨(Kafarov, 1976).
En la teoría de los sistemas el análisis de los mismos es la metódica para la obtención de los resultados, en el estudio activo de un sistema, es decir, su acción y dirección, se requieren métodos de modelación que sean capaces de representar los aspectos y rasgos que se necesitan estudiar en el comportamiento de los sistemas. En la ciencia moderna se han desarrollado las ideas de la simulación, los métodos de análisis y síntesis, siendo el carácter sistemático el principio metodológico más importante del saber científico. Esto significa que el saber en general y todos sus componentes fundamentales se deben analizar como sistemas particulares (Kafarov, 1976).
El concepto de modelo matemático, ha sido abordado por varios autores:
Kaplick y Lorenzz: ¨Un modelo matemático es una representación matemática necesaria para las tareas de las facetas esenciales de un objeto en un rango limitado, con una exactitud determinada con una forma apropiada para su utilización¨(Kaplick and Lorenzz, 1973).
Buslenko: ¨La descripción abstracta y formal del objeto cuyo estudio, es posible por medios matemáticos¨(Buslenko, 1972).
Koening: ¨Es un sistema de ecuaciones que relacionan las variables del proceso y lo describen¨(Koening, 1968).
Resumiendo las definiciones anteriores podemos aceptar la dada por Moisieyev (Moisieyev, 1978): como concepto de modelo matemático se entiende una verdad relativa que refleja determinadas características de los fenómenos estudiados, siendo el estudio de los modelos de los sistemas, el método fundamental del conocimiento que debe servir para conocer las correlaciones cuantitativas propias de los fenómenos y con ello mejorar el sistema de dirección del proceso en el aspecto que se estudia de modo que por modelación entenderemos un método de manejo práctico o teórico de un sistema por medio del cual será estudiado el
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sistema, pero no como tal sino por medio de un sistema auxiliar natural o artificial, el cual desde el punto de vista de los intereses planteados concuerda con el sistema real que se estudia.
La aplicación de las técnicas de optimización a los sistemas simulados es la línea principal de previsión de las condiciones óptimas de funcionamiento de un sistema. La optimización de sistemas, dentro del análisis de sistemas, se estudia mediante la simulación de los fenómenos reales, lo que permite la realización de experimentos por medio de una computadora y con la ayuda de modelos matemáticos. Como simulación entendemos, todo procedimiento para la realización de experimentos por medio de una computadora y con la ayuda de modelos matemáticos, con el fin de obtener información sobre el comportamiento del sistema real.
1.3 La aplicación de los modelos, sus propiedades y clasificación
La modelación y los modelos, juegan un papel decisivo en la solución de los problemas planteados en la tecnología de los procesos, por ello el empleo y desarrollo de los modelos parasistemas de procesos es una de las tareas científicas de importancia en la actualidad. El mundo moderno exige de los dirigentes industriales el empleo de ideas nuevas para incrementar al máximo la eficiencia en la utilización de los recursos, así, el empleo de los modelos matemáticos como herramientas para reducir los gastos en la producción es una fuerza que actúa favorablemente sobe la eficiencia económica del proceso tecnológico.
Al examinar los aspectos concernientes a la modelación matemática de los procesos continuos debe fijarse siempre la atención en el propósito fundamental para el cual se desarrollan los modelos, en lugar de dejarnos influir demasiado por la posible excelencia teórica de la presentación matemática de determinado modelo, por el hecho de que sea elegante (Williams and Novack, 1971), por ello debe realizarse un balance entre la realidad del fenómeno y el modelo con el cual es conveniente estudiarlo; una consigna importante en la modelación es no utilizar
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una compleja técnica para resolver problemas que pueden ser resueltos por un análisis simple (Rudd and Watson, 1979).
Los modelos tienen pues propósitos básicos, Williams y Novack (Williams and Novack, 1971), señalan dos formas fundamentales acorde con esos propósitos:
a) Modelos dinámicos, tipo de ecuación generalmente diferencial, modelos de control automático y estudios afines.
b) Modelos estáticos tipo de ecuaciones generalmente algebraicas, modelos de diseños técnicos y estudios de optimización económica.
La forma y el uso de los modelos también determinan indirectamente los límites de su tamaño físico en términos de número de variables que se estimen y la cantidad de ecuaciones implicadas, así como el tamaño y la complejidad de los medios físicos que se consideren. Debido a la complejidad de los procesos reales y las limitaciones de las matemáticas, cualquier modelo que sea desarrollado, está sujeto a ser idealizado y generalmente solo representará fielmente algunas de las propiedades del proceso, con el objetivo de salvar esta limitante en lo posible, en los últimos años se ha trabajado en tres líneas paralelas de desarrollo, a saber:
1) Métodos mejores de aproximar respuestas complejas para modelos simples.
2) Más completa y exacta caracterización de los parámetros no lineales de los sistemas de procesos.
3) El desarrollo y uso de más rápidos y capaces sistemas de computadoras, para sistemas de simulación de procesos.
La descripción cuantitativa de los sistemas, es una de las tareas de más interés en la actualidad, para lograr este objetivo una de las condiciones previas es que la cantidad de información disponible permita describir, las relaciones entre los elementos y dentro de los elementos, de manera que con el modelo obtenido de un sistema real, se pueda en determinada etapa del proceso del conocimiento sustituir al sistema real, y por medio de su investigación y estudio obtener la información deseada sobre el sistema real, con la requerida calidad; la calidad de
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un modelo matemático está determinada por la precisión con que coincidan los procesos en el sistema real, con los procesos obtenidos mediante el modelo, para ello en el modelo debe existir (Dolonik, 1976):
1) Concordancia objetiva con el propio sistema.
2) Posibilidad de sustituir al sistema en el proceso del conocimiento. 3) Propiedad de suministrar información práctica sobre el sistema.
4) Determinadas reglas mediante las cuales la información del modelo pueda transformarse en información del sistema.
Las tres propiedades fundamentales de los modelos son la habilidad de abstracción, de semejanza y de extrapolación de los resultados (González Rodríguez, 1978).
1.3.1 Clasificación de los modelos
Los modelos pueden clasificarse atendiendo a muchos factores, entre otras clasificaciones tenemos las siguientes:
1) De acuerdo a la teoría o técnica utilizada en su construcción, se clasifican en tres tipos de modelos y sus combinaciones:
a) Modelos de fenómenos de transporte. Basados en principios físico-químicos(Domínguez and Friedman, 1977).
b) Modelos de balances de población. Aplicando los principios de balance de población (Levenspiel, 1974).
c) Modelos empíricos. Su construcción se basa en técnicas de ajuste de datos empíricos (Hernández Clavijo, 1977).
2) Desde el punto de vista de la naturaleza de las ecuaciones se clasifican en pares opuestos como sigue:
a) Modelos determinísticos o estocásticos: b) Modelos lineales o no lineales.
c) Modelos estacionarios o dinámicos.
d) Modelos de parámetros combinados o de parámetros distribuidos.
Otras clasificaciones de los modelos son dados en la literatura, así en (González Rodríguez, 1978) se clasifican según los aspectos de los objetos que el modelo
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refleja, a saber, modelos de estructuras, funcionales, de comportamiento, combinados, etc.
1.4 Estrategia para la construcción de modelos. Principios lógicos y heurísticos
La modelación como parte de la teoría de los sistemas, está relacionada con una serie de principios que son la base de los estudios posteriores de la modelación. El análisis de cómo se satisfacen dichos principios por la modelación y los modelos se recoge en la literatura y es presentada de forma resumida en (González Rodríguez, 1978) de la siguiente manera:
1) Principio de lógica
Analizando el principio de Bellman se concluye que un modelo adecuado de un sistema exige modelos adecuados de los elementos.
Según el principio de la continuidad, la solución de un problema de modelación requiere una adecuada intensidad y sistematización.
El principio de la homogeneidad se aplica considerando que sobre los modelos de los elementos y el modelo del sistema deben las influencias cualitativas ser separadas equitativamente.
La confección de modelos para la base de una secuencia lógica de pasos redunda en la calidad de la solución del problema (principio de confección de modelos).
El principio del completamiento exterior analizado en la modelación plantea que el obtener las propiedades de un sistema exige la introducción sistemática de información exterior, en lo posible discriminada, en el modelo.
2) Principios heurísticos
El principio de confección de metas parciales se aplica en la modelación considerando que el establecimiento de un modelo de un sistema, resulta de la consecuencia de modelos de los elementos.
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Según el principio de la cooperación, la confección y solución de un modelo o teoría de modelación no es posible sin la utilización de otros métodos y procedimientos desarrollados en otros campos del saber.
De acuerdo con el principio de la retroalimentación se hacen necesarios los resultados parciales de algunos elementos para la modelación de otros elementos o etapas.
Según el principio de la interacción entre la calidad y la cantidad debe una elevación cuantitativa de los parámetros de influencia traer como resultado una nueva calidad del método de solución del modelo en un paso determinado de la modelación.
El planteamiento de un modelo matemático de un proceso exige, por un lado el entendimiento del desarrollo del proceso y por otro, que la persona encargada del desarrollo del modelo posea capacidad de abstracción que le permita integrar por medio de formulación matemática todas las peculiaridades del objeto, deberá además ser capaz de despreciar los factores no influyentes y de simplificar el modelo en todo lo que sea posible. Esta tarea por su complejidad y requerimientos hace que las exigencias en el modelo y su planteamiento sean elevadas, en el desarrollo de una tarea de tal magnitud juegan los programas heurísticos (deductivos) un papel fundamental (González Rodríguez, 1978) ya que el fin de la confección de dichos programas es el obtener experiencias metódicas para la estructuración efectiva del trabajo creador del hombre, lo que se representa gráficamente, como sigue:
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Sistema hombre- máquina
Canal 1: Proceso creador del hombre.
Canal 2: Selección de programas determinados.
Canal 3: Implementación de los programas determinados y los datos. Canal 4: Recepción delos resultados de cálculo.
Si analizamos este aspecto encontramos en la confección de un modelo matemático un movimiento de la contemplación, al pensamiento abstracto y de ahí a lo concreto pensado (que no es otra cosa que el modelo), como reflejo ideal del mundo real, lo que al comparar su adecuación completa lo que se conoce como contemplación viva. Los pasos que llevan a un modelo matemático total han sido señalados por Kafarov (Kafarov, 1976) y una representación gráfica tomada de (González Rodríguez, 1978) es la siguiente:
La elaboración de un modelo matemático constará de tres partes fundamentales: concepción del modelo, elaboración de un algoritmo que sea capaz de modelar el
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objeto, y comprobación de la adecuacidad del modelo, es decir la concordancia entre modelo y objeto. La estrategia general para el análisis de procesos sigue una trayectoria definida y razonable, la que aunque no debe ser aplicada mecánicamente pues las peculiaridades de cada sistema dan lugar a divergencias en el desarrollo de los métodos (Eykhoff, 1969), se resume en los siguientes pasos lógicos:
1) Estudio preliminar.
2) Elaboración del modelo matemático detallado. 3) Fijación de los valores de parámetros empíricos.
4) Confección y puesta a punto de los programas para la computadora. 5) Sistema de trabajo en la computadora.
6) Desarrollo de los cálculos numéricos con el modelo.
7) Comprobación de la adecuacidad del modelo matemático y adaptación al proceso real.
1.5 Optimización de procesos mediante modelos
Los modelos y métodos de optimización constituyen un importante medio auxiliar en la solución de problemas concernientes a la ciencia. Los métodos de la cibernética posibilitan ya, no solo el desarrollo de los procesos óptimos, sino también la dirección de estos con vista a mantenerlos siempre en los regímenes óptimos y las rutas deseadas (Kafarov, 1974).
El mundo moderno exige de los dirigentes industriales, el empleo de ideas nuevas para incrementar al máximo la eficiencia en la utilización de los recursos, cualquier idea que tienda a reducir gastos en la industria es, hoy por hoy, una fuerza que actúa positivamente sobre la eficiencia económica (Friedman, 1976).
Los métodos matemáticos de optimización por su propia naturaleza no pueden ser aplicados de forma directa a la realidad estudiada, sino a modelos matemáticos de determinado conjunto de manifestaciones del fenómeno estudiado, los que al ser investigados solo presentan un interés práctico si los mismos reflejan de un modo suficientemente adecuado, las situaciones reales y satisfacen determinado grado de exactitud. Llamamos modelo matemático de optimización a aquel que las
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relaciones de elementos del sistema se expresan en términos de maximizar (según el caso de una cierta función sujeta a un conjunto de restricciones).
En la teoría de los sistemas automatizados se ha demostrado que no se puede plantear el problema de alcanzar, simultáneamente, al extremo para dos o más funciones de una o varias variables (Orudzhev, 1978b), por ello, antes de que un óptimo pueda estimarse, debe seleccionarse un criterio de optimización que pueda ser una variable del proceso, tal como, el rendimiento de un producto, el mínimo costo de un producto con determinadas especificaciones de salida, etc.
En base al criterio de optimización, se desarrolla la función objetivo, la cual relaciona el criterio de optimización con las variables de proceso.
En general la optimización de los sistemas multivariables requiere dos aspectos (González Suárez, 2016):
a) El establecimiento de los modelos de optimización.
b) La selección de un método de optimización para la solución del problema de optimización.
El primer aspecto contempla el establecimiento de un criterio de lo que se desea optimizar, o sea una expresión matemática del proceso a ser optimizado cuya formulación y posterior optimización es realmente el corazón del problema de la optimización que puede expresarse por una variable no física, tal como son, la ganancia, el costo y la calidad, pues la base de la optimización de todo proceso lo constituye un adecuado conocimiento del mismo, lo que permite modelar su comportamiento. No debe olvidarse que los modelos no siempre son rígidos, sino que requieren una actualización en la misma medida que cambian los aspectos económicos y técnicos productivos en las empresas (Domínguez and Friedman, 1980).
El objetivo general en la optimización de un sistema es seleccionar los valores de las variables independientes, sujeto a varias restricciones, las cuales produzcan la respuesta óptima para el problema particular que se está examinando. Bevridge y
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Schechter (Bevridge and Schechter, 1977)exponen como procedimiento general para la optimización el siguiente:
1) Definir el objetivo del problema que se estudia.
2) Examinar las restricciones impuestas al problema por factores externos. 3) Seleccionar un sistema o sistemas para estudios.
4) Examinar la estructura de cada sistema y las interrelaciones de los elementos del sistema y sus componentes.
5) Construir un modelo para el sistema. En esta etapa el objetivo debe ser definido en términos de variables del sistema.
6) Examinar y definir las restricciones internas delas variables del sistema. 7) Simular el problema mediante modelo del sistema, considerando las
variables del sistema.
8) Analizar el problema y reducirlo a sus rasgos esenciales.
9) Verificar que los propósitos del modelo están representados en el sistema que es estudiado.
10) Determinar la solución óptima para el sistema y discutir la naturaleza de las condiciones óptimas.
11) Utilizar la información obtenida y repetir el procedimiento hasta que un resultado satisfactorio sea encontrado.
En la literatura (Lapidus, 1969)se reporta el desarrollo de las técnicas modernas de optimización como una aplicación de las Matemáticas, en particular el desarrollo de la optimización dinámica reviste especial importancia en los procesos químicos por las posibilidades que ofrece en el análisis de las características dinámicas de un proceso complejo. Los métodos más utilizados en la industria de los procesos químicos se relacionan por Kafarov (Kafarov, 1976).
1.6 Antecedentes en la industria del papel
El concepto de modelo matemático de optimización es la unidad conceptual básica en la teoría de la optimización y representa una abstracción condicionada por el nivel de la ciencia. En los últimos años en nuestro país se han venido realizando trabajos relacionados con la modelación matemática en general, apoyándose para
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su desarrollo en la creciente disponibilidad de computadoras digitales poderosas y en numerosos casos, con el auxilio también de sistemas de registro continuo de información.
En el campo económico se pueden señalar entre otros los trabajos donde se determinan los modelos para estimar y analizar los costos de producción de pulpa semiquímica (González Suárez, 1979) y de pulpa blanqueada (Rodríguez Rico, 1988).
En la industria del papel la aplicación de los métodos cibernéticos en nuestro país aunque estuvieron encaminados inicialmente al desarrollo de nuevas tecnologías como es el caso de tecnologías para obtener pulpa para disolver (Hernández Clavijo and Terentiev, 1972) y producir papel (Tapanes, 1978), igualmente en la evaluación del empleo de pulpas en nuevas tecnologías (Agüero, 1976), la Universidad Central Marta Abreu de Las Villas, y con ello en la región central de Cuba se ha trabajado mucho en la intensificación de procesos (Santos Cuba, 1997) (Rodríguez Rico, 1993) (Esteban Felissia, 2006) y también en otras industrias de procesos (Flores, 1989) (Reyes Estrada, 1998) (González Suárez, 2008).
En el plano mundial se puede subrayar el interés de los productores de papel sobre la aplicación de las técnicas cibernéticas como un medio para el aumento gradual de la productividad y calidad, especialmente en conexión con las nuevas inversiones, pues como ha señalado Kafarov “el desarrollo de la industria moderna ha promovido nuevas exigencias en la organización de los planteamientos de los trabajos científicos investigativos, en la proyección de las empresas químicas, y en la realización de los regímenes óptimos, de los procesos químicos”(Kafarov, 1974).
De manera que en el mundo moderno se desarrollan continuamente métodos que fijan los principios de localización de los datos para obtener con precisión los modelos matemáticos de los procesos.
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En la literatura se reportan valiosos trabajos aplicando los métodos cibernéticos en la industria de los procesos químicos, así por ejemplo, se han reportado trabajos para incrementar la productividad industrial, estimar los precios, cálculo del promedio de obreros, evaluación y pronóstico de la producción, igualmente se trabaja en la utilización de modelos de cálculo en la planificación, lo que permite hacer la coordinación y optimización de las soluciones de los planes, pues el proceso científico actual es tal que los métodos tradicionales resultan insuficientes cuando se trata de problemas económicos del proceso científico técnico, de la evaluación de la nueva producción y su difusión (Kantorovich, 1976), cuestiones que se caracterizan por la diversidad de variantes y dinamismo.
En la industria papelera, la automatización es hoy día una parte indivisible de su tecnología moderna, que posibilita una construcción y funcionamiento de líneas de producción con gran capacidad, manifestándose el aporte económico de la automatización, sobre todo en el aumento de la capacidad de producción de las máquinas, la calidad de los productos, la productividad del trabajo, la disminución de los costos de producción y en el ahorro de materias primas y energía, gracias al empleo de las computadoras en el control de la fabricación del papel perfeccionándose en los últimos años los métodos de producción de papel con la ayuda de computador.
Mención aparte requieren los considerables esfuerzos que se han realizado para caracterizar el comportamiento de las máquinas de papel, en los trabajos realizados se enfatiza el estudio del control de los parámetros de calidad del papel (Anderson and Penniman, 1974), en particular es de interés el trabajo de Spitz (Spitz, 1974) por relacionar las condiciones de operación de la máquina con los resultados finales, pues como han explicado Molina y Ramírez (Molina and Ramírez, 1974) la calidad de un papel también depende de factores inherentes a los equipos donde se fabrica.
1.7 Características del proceso de producción de Papelera Damují
La Papelera ¨Damují¨ comenzó a operar en 1962 y desde entonces ha producido fundamentalmente papel Kraft Linner, cartoncillo para corrugar, papeles para
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envolver y cartulina de segunda calidad, utilizando como materia prima diferentes tipos de papel de desecho reciclados que llegan a la fábrica en forma de pacas de diferentes tamaños y pesos.
El proceso tecnológico de la máquina de papel consta de varias etapas en las cuales se tratan las materias primas para modificarlas hasta lograr convertirlas en una pasta homogénea con la cual se obtiene una hoja de papel con las características físico-químicas necesarias para su uso, de forma tal que cumpla con los requisitos de calidad que los clientes necesitan.
Las etapas de este proceso son: 1. Desfibrado
2. Preparación de pasta
3. Sistema de aproximación de flujo 4. Máquina de papel
5. Bobinadora
Estas etapas funcionan de forma continua y secuencial, de la forma siguiente: Primeramente se tiene la etapa de desfibrado. En esta etapa es donde se procesa el papel reciclado y tiene como objetivo, modificar la materia prima y cambiar su forma de presentación (pacas) a una suspensión acuosa de fibras. Esto se logra aplicando energía mecánica en el Ecopulper a este material sólido en presencia de suficiente cantidad de agua.
Una vez obtenida la suspensión fibrosa, esta se envía a la etapa de preparación de pasta. Primeramente la pulpa obtenida en el Ecopulper es bombeada a la cuba de hidratación, es aquí donde se hidrata la fibra que no ha sido hidratada en el proceso de desfibrado. Luego se somete la fibra a dos tipos de tratamientos diferentes: depuración y refinado.
La depuración se lleva a cabo en tres equipos. Primero el depurador de pasta espesa (DPE), que es un depurador ciclónico que separa las impurezas pesadas y trabaja por diferencia de densidades. En el mismo se separan partículas metálicas, fragmentos de vidrio y arena gruesa. Posteriormente el ADS (depurador
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con placa perforada) separa las impurezas ligeras por su mayor tamaño que la fibra y algunas pesadas que hayan pasado por el depurador ciclónico. Tiene acción despastilladora por las cuchillas que posee en su rotor y en la placa perforada. Por último, en el diábolo (depurador con placa perforada), se procesa el rechazo del ADS y se recupera la fibra acompañante. También tiene acción despastilladora.
La fibra depurada es sometida al tratamiento de refinado, que no es más que la acción mecánica que se le aplica a la fibra para modificarla superficie externa de la misma de forma que esta posea microfibras capaces de enlazar entre sí las fibras, dando lugar a una hoja continua con una resistencia mecánica suficientemente grande para realizarla función para la cual es fabricada. La pulpa depurada y refinada se almacena en la cuba de máquina, donde se agregan los aditivos químicos que sean necesarios, de acuerdo con el tipo de papel que se vaya a fabricar. Luego pasa al sistema de aproximación de flujo, el cual está compuesto por el refinador Master, la bomba de mezcla, el clasificador Beloit y el vibrador plano.
En el refinador Master se somete la fibra a un tratamiento mecánico ligero para ayudar a que forme una suspensión uniforme de las fibras individuales, eliminando posibles grumos. La pasta a 3% de consistencia que sale del refinador Master va a la caja de nivel constante, que se encarga de mantener un flujo a presión constante de pasta en la succión de la bomba mezcladora, a través de la válvula de peso básico, la cual es usada para dar al papel final el peso básico requerido. La bomba mezcladora tiene la función de mezclar la suspensión de 3% de consistencia con el agua de circulación de la máquina para llevarla a una consistencia entre 0,7% y 1,0% que es la consistencia de operación de la caja cabecera (primer tratamiento de la etapa de máquina de papel).
En el clasificador Beloit se separan las fibras y grumos que por su tamaño (muy grandes) no cumplen con lo requerido para formar una buena hoja de papel. Estos conglomerados de fibra son enviados como rechazo al vibrador plano, el cual retorna el agua y las fibras que pasan por su chapa perforada al proceso y las
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partículas grandes que se rechazan, se envían al drenaje. El flujo aceptado es enviado a la caja cabecera, que es el primer equipo de la máquina de papel.
La etapa máquina de papel es un sistema complejo dividido en subetapas, con funciones bien definidas. Dichas subetapas son: la parte húmeda y la parte seca. La etapa de máquina de papel comienza en la subetapa de parte húmeda, con la entrada de la suspensión fibrosa diluida a la caja cabecera. La caja cabecera tiene como función distribuir uniformemente a lo ancho de la mesa formadora, la suspensión de fibras que viene del clasificador Beloit y depositarlo sobre la malla de drenaje, donde se le extrae más del 90% del agua que trae la suspensión, producto de lo cual se obtiene al final de dicha malla, una hoja de papel con una estructura definida. El proceso de extracción del agua en la mesa formadora se lleva a cabo por drenaje libre en su mayoría, solo al final de la operación se aplica vacío en un grupo de cajas diseñadas a este fin.
La hoja formada sale de la mesa de formación y entra a las prensas, donde se le extrae más agua, mediante la acción combinada del vacío y la presión en la primera prensa o mediante solo presión en la segunda y la tercera.
El agua que no pudo extraerse mediante los mecanismos de gravedad, vacío o presión, se debe extraer aplicando calor a la hoja, hasta lograr la evaporación de dicha agua, dejando el papel con una humedad final ajustada a las necesidades de los clientes.
La subetapa de parte seca comienza con la aplicación de calor a la hoja, que se hace mediante una sucesión de cilindros en serie calentados con vapor, el cual circula interiormente de forma continua extrayéndose el condensado formado continuamente, logrando de esa forma un flujo continuo de energía térmica de forma tal que mantiene una temperatura estable en los secadores.
Una vez que se lleva el papel al nivel de humedad deseado, se mantiene la producción continua del mismo en esas condiciones.
Debido a que el proceso de la máquina de papeles totalmente continuo en el tiempo y el de bobinado no, se hace necesario enrollar dicho papel en algún
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elemento que sirva como almacén temporal. Este elemento son los rolos de hierro conocidos como reeles, en los cuales se enrolla la hoja a todo su ancho hasta un diámetro determinado, entonces la hoja se transfiere a un nuevo reel vacío para continuar enrollando, y el rollo de papel obtenido conocido como bobina madre, se transfiere a los soportes que constituyen el ¨parqueo¨ de bobinas madres en espera de ser bobinadas. El equipo encargado de hacer estas operaciones antes descritas es la enrolladora.
La última etapa del proceso es el bobinado, donde se obtiene ya el papel con las características finales con que el cliente lo va a recibir. En esta etapa se transfiere el papel que viene de la enrolladora en los reeles de hierro para los cores de cartón en los cuales se enrolla, para lo cual se corta la hoja longitudinalmente, de forma que se originen bobinas de papel de diferentes anchos, que se enrollan al diámetro requerido, teniendo en cuenta las solicitudes de los clientes.
1.8 Propiedades físicas del cartón para ondular
El cartón para ondular requiere de propiedades mecánicas importantes como la resistencia. Estas propiedades son fuertemente dependientes del nivel de enlace interfibrilar y por lo tanto son favorecidas por una mejor consolidación de la hoja. El gramaje de este tipo de papel es normalmente de 105 a 230 g/m2. Para la performance de la caja de cartón corrugado se requiere en el papel principalmente resistencia a la compresión en su plano (AREA, 2008).
La resistencia CMT (Corrugating Medium Test) está considerada como una de las propiedades de calidad más importantes del cartoncillo. La resistencia al aplastamiento del papel corrugado de laboratorio es la fuerza que, bajo determinadas condiciones de ensayo, se requiere para aplastar la pieza de ensayo corrugada entre dos superficies planas paralelas en un medidor de aplastamiento, cuando la fuerza se aplica perpendicularmente al plano.
Otra de las propiedades más importantes del cartoncillo es la resistencia a la compresión interna que puede soportar una probeta de ensayo antes que se colapse, y que se determina por el método de resistencia SCT (Short Compresion Test).
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La resistencia RCT (Ring Crush Test) es la propiedad que mide la resistencia a la compresión (aplastamiento) de borde de una probeta de papel en forma de anillo, cortada en el sentido longitudinal. La carga se aplica con una placa plana sobre el borde del anillo. La resistencia depende de la resistencia a la compresión pura del papel y a la resistencia estructural de la porción libre del anillo. La falla de la estructura del anillo, hace que la resistencia RCT sea menor a la correspondiente a la resistencia a la compresión pura del papel.
Por otra parte el CCT (Corrugated Crush Test) mide la resistencia a la compresión de canto o borde de una probeta de papel ondulada en el laboratorio y cortada en sentido longitudinal de la máquina papelera. Igualmente al ensayo RCT, la mitad de la altura de la probeta es sujetada por el soporte en el ensayo (Cordillera, 2015).
En este proyecto investigativo se tendrán en cuenta las propiedades de resistencia del cartoncillo anteriormente mencionadas para analizar su calidad, basado en lo establecido por la norma (Norma Cubana Papel y Cartón, 2001).
1.9 Planteamiento del problema de optimización del proceso de fabricación de cartoncillo
La economía actual representa un sistema extraordinariamente complejo de eslabones, los cuales a la vez que ejercen funciones diferentes, influyen directa o indirectamente unos en otros, con ello, la dirección de toda la economía y de sus eslabones individuales se hacen cada vez más difíciles, dada la variedad de posibles decisiones de producción que se toman en los distintos niveles.
En los procesos productivos de las empresas a nivel nacional se pueden obtener determinadas producciones de diversas maneras, escogiendo las materias primas, las instalaciones, la tecnología y la organización del proceso productivo de manera que con diferentes cantidades de recursos invertidos se obtendrán calidades y costos del producto también diferentes.
Los métodos matemáticos de optimización por su propia naturaleza no pueden ser aplicados de forma directa a la realidad estudiada, sino a modelos matemáticos de
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determinado conjunto de manifestaciones del fenómeno analizado, los que al ser estudiados solo representan un interés práctico si los mismos reflejan de un modo suficientemente adecuado, las situaciones reales y satisfacen determinado grado de exactitud.
1.9.1 La optimización del sistema fundamental de la estrategia
En el proceso de fabricación de papel intervienen gran número de factores, siendo el interés de los productores, entre otros, el incremento de la producción y la calidad, por lo que se hace necesario la aplicación de métodos que permitan conocer cuáles son las condiciones óptimas.
En la industria encontramos multitud de variables que caracterizan los procesos que en ella tienen lugar, es posible afirmar que todos los procesos existentes pueden representarse por sistemas multivariables, susceptible de ser estudiados con las herramientas matemáticas disponibles (González, 2012), sin embargo, en la búsqueda de la solución óptima de la operación de un sistema, se requiere que el comportamiento del mismo, sea representado por estimación de un simple criterio escalar. En sistemas complejos en los que muchas consideraciones entran en la evaluación del comportamiento, el índice seleccionado para representar todos o algunos de esos aspectos es, a menudo, arbitrario y subjetivo.
Para solucionar este problema Zadeh (Zadeh, 1973) propuso un procedimiento basado en definir un vector índice de comportamiento, con un ordenamiento en subclases de los sistemas posibles.
Entre las técnicas de optimización se procede a señalar las siguientes: -Optimización dinámica:
1) Programación dinámica.
2) Principios de máximo de Pontriaquin. -Optimización estática:
1) Métodos de gradiente.
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3) Métodos de programación lineal. 4) Métodos de programación no lineal.
En la producción de cartoncillo para corrugar el problema a estudiar es encontrar un modelo del sistema que permita predecir de acuerdo a las calidades de las materias primas y de los aditivos químicos que se usan en el proceso, el comportamiento del sistema considerando como variable de interés en la descripción del proceso los parámetros de calidad.
De lo anterior se desprende, que para la optimización del sistema se requieren modelos que describan la contribución de cada una de las variables a las propiedades finales del papel.
Cuando la optimización se aplica a un sistema de múltiples variables requieren dos aspectos (González Suárez, 2016):
a) El establecimiento del modelo de optimización.
b) La selección de un método para la solución del problema de optimización. Para ellos debemos tener presente, que la descripción matemática de los procesos exigen, no solo el estudio detallado de los fenómenos que tienen lugar en el objeto de estudio, sino la manifestación de todas las correlaciones cuantitativas entre los parámetros del proceso estudiado, así como la dependencia entre los índices económicos y técnicos ya que el óptimo del proceso no siempre resulta el modo más económico de su desarrollo (González Suárez, 2018).
En síntesis, el modelo de optimización consiste en la formulación de la función objetivo, las restricciones y el modelo matemático. A partir de ese momento se hace necesario encontrar las variables de control que maximicen o minimicen la función objetivo dentro de un espacio multivariable.
Las variables de estado y control están sujetas, en general, a restricciones que delimitan el régimen de trabajo del sistema, siendo su efecto más común degradar el óptimo.
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En la solución de un problema de optimización, se requiere sustituir el problema real por otro, expresado en forma de relaciones matemáticas, es decir, por un modelo matemático apropiado del proceso, de los objetivos del sistema, y de las restricciones impuestas al mismo, considerando siempre que los modelos matemáticos son solo idealizaciones y aproximaciones del mundo real y por tanto no son únicos.
Para el presente estudio se decidió considerar el sistema de producción de Papelera Damují en dos etapas bien definidas, a saber:
Preparación de pastas
Máquina de papel
En los siguientes capítulos se estudian estas etapas.
1.10 Conclusiones parciales
1) En la época moderna los métodos matemáticos representan un importante factor para la optimización de los procesos de la industria.
2) La elaboración de un modelo matemático consta de tres partes fundamentales: concepción del modelo, elaboración de un algoritmo capaz de modelar el objeto y comprobación de la adecuacidad del modelo.
3) La optimización de un sistema tiene como objetivo fundamental la selección de los valores de las variables independientes, sujeto a varias restricciones, las cuales produzcan la respuesta óptima para el problema en estudio. 4) En nuestro país se han realizado trabajos relacionados con la modelación
matemática en general, los cuales en el caso del sector industrial, se han encaminado a la optimización de procesos tecnológicos.
5) La etapa de preparación de pasta tiene una influencia determinante sobre los resultados que se obtienen en las propiedades de resistencia del papel. 6) La calidad del papel está estrechamente vinculada con la calidad de la
mezcla con que se fabrica y también depende de factores inherentes a los equipos donde se fabrica.
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Capítulo 2. Estudio de la etapa de preparación de las pastas
2.1 Introducción
La etapa de preparación de las pastas tiene el propósito de preparar adecuadamente el material fibroso para la fabricación de papel y en este caso específico al no poder, de momento, incluir en la formulación papelera pulpa de bagazo semiquímica (González Suárez, 1982) u Organosolv (Turrado Saucedo, 2001) (González Cortés, 2004) (González Cortés, 2003) (Pajón Poblet, 1998) (Pajón Poblet, 1999) (González Suárez, 2004), se decidió estudiar el impacto de aditivos tales como almidón y AKD en diferentes mezclas y componentes puros de recorte de calidad buena y corriente utilizando diseños de mezclas como utilizó (García, 1988).
2.2 Planificación y selección de los materiales para el experimento
Para la realización de los experimentos se seleccionó cuidadosamente el recorte, clasificándolo en dos tipos: recorte de buena calidad y recorte de calidad corriente. Experimentalmente, primeramente se procedió a la desintegración de la pulpa en agua y luego el desfibrado del recorte se realizó a nivel de laboratorio, ajustándose en ambos casos la molida deseada para cada ensayo en un molino de laboratorio tipo Holandesa.
Finalmente, las hojas se formaron en un equipo de laboratorio Rapid Kothen, con accesorios de secado del modelo UNGER. Para la formación de las hojas se usaron almidón y AKD como aditivos de la pulpa, en un rango establecido previamente.
Se seleccionó una matriz experimental factorial completa del tipo 22 de 4 ensayos. Los ensayos se realizaron por duplicado para obtener las varianzas de reproductibilidad, realizando a las hojas formadas la medición de las siguientes propiedades físicas:
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CMT, SCT, RCT y CCT; las que fueron evaluadas en el laboratorio de propiedades físicas de la Papelera Damují, de acuerdo a las normas establecidas para su realización (Norma Cubana Papel y Cartón, 2001).
La Matriz Experimental se presenta en la Tabla 2.1, fue la siguiente (Akahnazarova & Kafarov, 1982).
Tabla2.1. Matriz Experimental
N X1 X2 CMT SCT RCT CCT 1 + + ¿? ¿? ¿? ¿? 2 + - ¿? ¿? ¿? ¿? 3 - + ¿? ¿? ¿? ¿? 4 - - ¿? ¿? ¿? ¿? Siendo:
CMT: Resistencia a la compresión plana. SCT: Resistencia a la compresión interna. RCT: Resistencia a la compresión de anillo. CCT: Resistencia al corrugado de canto.
Para la ejecución de los experimentos se valoraron dos tipos de materias primas, a saber el recorte bueno y el llamado recorte malo, se valoró también la posibilidad de utilizar mezclas de ambos como materia prima por lo que partiendo del modelo de mezclas de (Scheffe, 1958), se diseñó un experimento global del tipo mezcla ternaria en el cual uno de los tres componentes no estaba presente, por lo que la estrategia experimental se simplificó a valores experimentales para los dos componentes puros y la mezcla de ambos como simplificó (Salvador, 2018).
Con estos experimentos de mezcla se puede obtener un modelo de mezcla binaria del tipo.
Propiedad: P1 F1 + P2F2 + P12F1F2(2.1) Donde:
P es la propiedad de la mezcla
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P2: la propiedad del componente puro 2
P12: la propiedad de la mezcla de componentes F1: Fracción del componente 1
F2: Fracción del componente 2
Los valores de P1, P2 y P12 se determinan de acuerdo con lo propuesto por (González, 2003) de un estudio experimental.
Siendo:
Tabla 2.2.Valores de la fracción de cada componente.
F1 F2 yexperimental 1 0 Y1 0 1 Y2 0,5 0,5 Y12 Entonces (González, 2003): P1= Y1 P2= Y2 P12= 4Y12 – 2Y1 – 2Y2 (2.2) Expresión que nos será muy útil en esta investigación.
Los niveles seleccionados para cada variable fueron los siguientes:
Tabla 2.3. Variables y niveles en la formación de hojas a nivel de laboratorio. Variables independientes Niveles (kg aditivo/ kg papel)
Almidón (X1) 0,010-0,014
AKD (X2) 0,010-0,014
2.3 Ensayos experimentales y sus resultados Determinando el valor de los coeficientes:
En los experimentos para cada tipo de recorte o su mezcla se estimaron los coeficientes del modelo correspondientes a cada una de las propiedades finales del papel medidas en el laboratorio como se ha propuesto en investigaciones
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anteriores (González Suárez, 1982), según lo propuesto por (Akahnazarova and Kafarov, 1982):
b0=(∑ȳ)/N(2.3)
b1=(∑〖x1*ȳ〗)/N(2.4) b2=(∑〖x2*ȳ〗)/N(2.5)
b12=(∑〖x1*x2*ȳ〗)/N (2.6) Así, para 100% de recorte corriente en el caso del CMT.
Tabla 2.4.Cálculo de la varianza de reproductibilidad para el CMT.
N x1 x2 y1 y2 ȳ (ȳ-ymenor)2 1 + + 59 61,35 60,175 1,380625
2 + - 46,8 50 48,4 2,56
3 - + 48,2 47,7 47,95 0,0625 4 - - 53,05 55,1 54,075 1,050625
S(Y)2 = ∑(ȳ-ymenor)2/4= 1,2634375
Los coeficientes del modelo fueron estimados mediante las ecuaciones 2.3, 2.4, 2.5 y 2.6: b0= 52,65 b1= 1,6375 b2= 1,4125 b12= 4,475 Modelo: y=52,6+1,6375*x1+1,4125*x2+4,475*x1*x2
De idéntico modo para el SCT en la Tabla 2.5se muestran los resultados experimentales y el cálculo de la varianza de reproductibilidad
Tabla 2.5.Cálculo de la varianza de reproductibilidad para el SCT.
N x1 x2 y1 y2 ȳ (ȳ-ymenor)2 1 + + 1,284 1,393 1,3385 0,00297 2 + - 1,323 1,38 1,3515 0,0008122 3 - + 1,381 1,2765 1,3288 0,002735 4 - - 1,478 1,4995 1,4888 0,000117 S(Y)2 = ∑(ȳ-ymenor)2/4= 0,001659 b0= 1,3769
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b1= -0,0319 b2= -0,0433 b12= 0,0368
Modelo: y= 1,3769-0,0319*x1-0,0433*x2+0,0368*x1*x2
De idéntico modo para el RCT en la Tabla 2.6 se muestran los resultados experimentales y el cálculo de la varianza de reproductibilidad.
Tabla 2.6.Cálculo de la varianza de reproductibilidad para el RCT.
N x1 x2 y1 y2 ȳ (ȳ-ymenor)2 1 + + 62,5 66 64,25 3,0625 2 + - 88 93,5 90,75 7,5625 3 - + 78 75,5 76,75 1,5625
4 - - 81 87 84 9
S(Y)2 = ∑(ȳ-ymenor)2/4= 5,296875 b0= 78,9375
b1= -1,4375 b2= -8,4375 b12=-4,8125
Modelo: y= 78,9375-1,4375*x1-8,4375*x2-4,8125*x1*x2
De idéntico modo para el CCT en la Tabla 2.7 se muestran los resultados experimentales y el cálculo de la varianza de reproductibilidad.
Tabla 2.7.Cálculo de la varianza de reproductibilidad para el CCT.
N x1 x2 y1 y2 ȳ (ȳ-ymenor)2 1 + + 80 85,5 82,75 7,5625 2 + - 95 96,5 95,75 0,5625
3 - + 93 91 92 1
4 - - 97 98 97,5 0,25
S(Y)2 = ∑(ȳ-ymenor)2/4= 2,34375
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b1= -2,75 b2= -4,625 b12= -1,875
Modelo: y= 92-2,75*x1-4,625*x2-1,875*x1*x2
Verificación de la significación de los coeficientes
Utilizando la varianza de reproductibilidad se calculan los valores de ∆bj a diferentes valores de la t de Student de acuerdo con la tabla correspondiente en la literatura (Eilon, 1975).
Tabla 2.8. Cálculo de los valores de ∆bj y comparación con los coeficientes de
cada modelo. Propiedad ∆bj (t= 2,132) ∆bj (t= 1,533) ∆bj (t= 0,941) Coeficientes CMT 1,1982 0,8615 0,5288 b0=52,65 b1= 1,6375 b2= 1,4125 b12=4,475 SCT 0,0439 0,0316 0,0194 b0= 1,3769 b1= -0,0319 b2= -0,0433 b12=0,0368 RCT 2,4533 1,764 1,083 b0= 78,9375 b1=-1,4375 b2= -8,4375 b12=-4,8125 CCT 1,6320 1,1735 0,7203 b0= 92 b1=-2,75 b2=-4,625 b12=-1,875 Para que un coeficiente sea significativo se debe cumplir que el valor de ∆bj sea menor que el valor del coeficiente. Comparando entonces los valores tabulados anteriormente se puede concluir que todos los coeficientes de los modelos hallados son estadísticamente significativos para un 80% de probabilidad.
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Los coeficientes obtenidos se sustituyeron en el modelo y se realizaron los estimados de las variables de respuesta para obtener la varianza de adecuación (S(ad)2).
Tabla 2.9. Comparación de los resultados experimentales y los estimados por el
modelo para el CMT. N X1 X2 ȳ ŷ (ŷ-ȳ)2 1 + + 60,175 60,175 0 2 + - 48,4 48,4 0 3 - + 47,95 47,95 0 4 - - 54,075 54,075 0 ∑ȳ=210,6 ∑(ŷ-ȳ)2 =0 S(ad)2 = ∑(ŷ-ȳ)2 / f (2.7) f= grados de libertad = N – (k +1) = 4 – (2+1) = 1
Mediante el cálculo de la varianza de adecuación realizado es posible verificar que el modelo obtenido para el CMT es adecuado, pues no varía la respuesta estimada de la variable por dicho modelo respecto al resultado obtenido experimentalmente.
En la Tabla 2.10 se verifica la comparación entre los resultados de los experimentos y los estimados del modelo para el SCT.
Tabla 2.10.Comparación de los resultados experimentales y los estimados por el
32 N X1 X2 ȳ ŷ (ŷ-ȳ)2 1 + + 1,3385 1,3385 0 2 + ¨- 1,3515 1,3515 0 3 - + 1,3288 1,3288 0 4 - - 1,4888 1,4888 0 ∑ȳ= 5,5076 ∑(ŷ-ȳ)2 = 0
S(ad)2 = ∑(ŷ-ȳ)2 / f y f= grados de libertad = N – (k +1) = 4 – (2+1) = 1
Mediante el cálculo de la varianza de adecuación realizado es posible verificar que el modelo obtenido para el SCT es adecuado, pues no varía la respuesta estimada de la variable por dicho modelo respecto al resultado obtenido experimentalmente. En la Tabla 2.11 se verifica la comparación entre los resultados de los experimentos y los estimados del modelo para el RCT.
Tabla 2.11.Comparación de los resultados experimentales y los estimados por el
modelo para el RCT. N X1 X2 ȳ Ŷ (ŷ-ȳ)2 1 + + 64,25 64,25 0 2 + ¨- 90,75 90,75 0 3 - + 76,75 76,75 0 4 - - 84 84 0 ∑ȳ=315,75 ∑(ŷ-ȳ)2 =0
S(ad)2 = ∑(ŷ-ȳ)2 / f y f= grados de libertad = N – (k +1) = 4 – (2+1) = 1
Mediante el cálculo de la varianza de adecuación realizado es posible verificar que el modelo obtenido para el RCT es adecuado, pues no varía la respuesta estimada de la variable por dicho modelo respecto al resultado obtenido experimentalmente. En la Tabla 2.12 se verifica la comparación entre los resultados de los experimentos y los estimados del modelo para el CCT.
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Tabla 2.12.Comparación de los resultados experimentales y los estimados por el
modelo para el CCT. N X1 X2 ȳ ŷ (ŷ-ȳ)2 1 + + 82,75 82,75 0 2 + ¨- 95,75 95,75 0 3 - + 92 92 0 4 - - 97,5 97,5 0 ∑ȳ=368 ∑(ŷ-ȳ)2 =0
S(ad)2= ∑(ŷ-ȳ)2 / f y f= grados de libertad = N – (k +1) = 4 – (2+1) = 1
Mediante el cálculo de la varianza de adecuación realizado es posible verificar que el modelo obtenido para el CCT es adecuado, pues no varía la respuesta estimada de la variable por dicho modelo respecto al resultado obtenido experimentalmente. Luego se verifica la adecuación de cada modelo, donde se debe obtener que Fcal<Ftab para que el modelo sea adecuado.
Siendo Fcal = S(ad)2 / S(Y)2 (2.8) En todos los casos se obtiene como resultado que Fcal= 0, pues las varianzas de adecuación (S(ad)2 ) son iguales a cero y Ftab=7,71. Por tanto se cumple que Fcal<Ftab y se puede concluir que los modelos hallados son adecuados.
Luego utilizando 100% de recorte de buena calidad, se tiene para el caso del CMT:
34 N x1 x2 y1 y2 ȳ (ȳ-ymenor)2 1 + + 116,4 109 112,7 13,69 2 + - 127,4 123,6 125,5 3,61 3 - + 103,2 99,045 101,1225 4,3160063 4 - - 98,3 98,96 98,63 0,1089 ∑(ȳ-ymenor)2/4= 5,4312266 b0=109,4881 b1= 9,6119 b2= -2,5769 b12=-3,8231 Modelo: y= 109,4881+9,6119*x1-2,5769*x2-3,8231*x1*x2
De idéntico modo para el SCT en la Tabla 2.14 se muestran los resultados experimentales y el cálculo de la varianza de reproductibilidad.
Tabla 2.14. Cálculo de la varianza de reproductibilidad para el SCT.
N x1 x2 y1 y2 ȳ (ȳ-ymenor)2 1 + + 1,837 1,454 1,6455 0,0366723 2 + - 2,124 2,209 2,1665 0,0018063 3 - + 1,55 1,99 1,77 0,0484 4 - - 1,183 1,726 1,4545 0,0737123 ∑(ȳ-ymenor)2/4= 0,0401477 b0=1,7591 b1= 0,1469 b2= -0,0514 b12=-0,2091 Modelo: y= 1,7591+0,1469*x1-0,0514*x2-0,2091*x1*x2
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De idéntico modo para el RCT en la Tabla 2.15 se muestran los resultados experimentales y el cálculo de la varianza de reproductibilidad
Tabla 2.15.Cálculo de la varianza de reproductibilidad para el RCT.
N x1 x2 y1 y2 ȳ (ȳ-ymenor)2 1 + + 128 123 125,5 6,25 2 + - 166 172,5 169,25 10,5625 3 - + 135 127 131 16 4 - - 111 119 115 16 ∑(ȳ-ymenor)2/4= 12,203125 b0=135,1875 b1= 12,1875 b2= -6,9375 b12=-14,9375 Modelo: y= 135,1875+12,1875*x1-6,9375*x2-14,9375*x1*x2
De idéntico modo para el CCT en la Tabla 2.16 se muestran los resultados experimentales y el cálculo de la varianza de reproductibilidad.
Tabla 2.16.Cálculo de la varianza de reproductibilidad para el CCT.
N x1 x2 y1 y2 ȳ (ȳ-ymenor)2 1 + + 111 119,5 115,25 18,0625 2 + - 173 180 176,5 12,25 3 - + 155 148,5 151,75 10,5625 4 - - 144 144 144 0 ∑(ȳ-ymenor)2 /4= 10,21875 b0=146,875 b1= -1 b2= -13,375 b12=-17,25
