MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE VARIACIONES

(1)

ELEMENTOS FINITOS

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO

DE VARIACIONES

(2)

6 4 .1 4 mé to d o d e lo s e le me n

to

MÁXIMOS Y MÍNIMOS (I)

 Para la una función f(x) dada se puede hallar

un extremo mediante:

 Por ejemplo, para

f(x)=seno(x)

en [p;2p],

tendremos:

 



 



_{ }

2

3

0 



p



cos

x

_extr

x

_extr

dx

x

seno

d

dx

x

df

 

_{ }

.

b

;

a

x

dx

x

df

_

_

un

para

0

(3)

6 4 .1 4 mé to d o d e lo s e le me n to

 

cuando

 

₂

0

2





dx

x

f

d

Max

x

f

_extr extr

MÁXIMOS Y MÍNIMOS (II)

 Tendremos que:

 

cuando

 

₂

0

2





dx

x

f

d

Min

x

f

_extr extr

(4)

to

MÁXIMOS Y MÍNIMOS (III)

 En nuestro ejemplo:

 En consecuencia, tenemos un mínimo para

x_extr.

 

_{ }

extr extr extr

_seno

_x

dx

x

seno

d

dx

x

f

d





2 ₂ 2 2

 

1

0

2

3

2

3 

























p

seno

p

x

_extr

(5)

to

MÁXIMOS Y MÍNIMOS (IV)

-1.1 -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 3.142 3.456 3.770 4.084 4.398 4.712 5.027 5.341 5.655 5.969 6.283 x Se n o (x )

(6)

to

DEFINICIÓN DE FUNCIONAL (I)

 Supongamos que

queremos hallar la curva que hace mínima la

distancia entre dos puntos. ¿Cómo

deberíamos proceder?

 ¿Existe alguna manera

de obtener matemáticamente esta curva? A B Curva 1 Curva 2 Curva 3 Curva 4

(7)

to

DEFINICIÓN DE FUNCIONAL (II)

 El caso anterior es

para un plano, pero ¿qué pasa si la

superficie no es plana, como por ejemplo una esfera? Este es un

problema muy común en los navegantes,

pues la Tierra puede aproximarse con una esfera (elipsoide de revolución).

(8)

to

DEFINICIÓN DE FUNCIONAL (III)

 Ambos casos se parecen al cálculo de

máximos y mínimos. Pero tienen una

diferencia fundamental: en lugar de un valor que haga mínima (o máxima) a una función, lo que se busca es una función que haga

mínima (o máxima) un valor.

 En ambos casos se debe que cumplir:

Mín B A

L

ds

I







(9)

to

DEFINICIÓN DE FUNCIONAL (IV)

 Veamos como resolver este problema en el

plano:

Primero expresemos ds en función de dx y dy:

Por lo tanto nos queda:























2 2 2 2 ₂2 2

1 dx

dy

dx

ds

dy

dx

ds

dx

dy

ds

_















1

₂2



















B

dx

dy

I

₂ 2

1

(10)

DEFINICIÓN DE FUNCIONAL (V)

 ¿Cómo seguimos ahora? Para ello debemos

partir de un concepto nuevo.

Vamos a definir como

funcional

a la

expresión: con







b a

dx

)

y

,

y

,

x

(

F

I

 

a

,

b

y

(

a

)

A

,

y

(

b

)

B

x



y



(11)

to

ECUACIÓN DE EULER (I)

 Vamos a suponer que existe una función

y(x)

que haga mínima (o máxima) la expresión anterior.

 Entonces, definamos una función arbitraria

de la siguiente manera: tal que

que no modifican las condiciones anteriores, como se ve en la figura.

)

x

(

)

x

(

y

)

x

(

y

₁







0 



(

b

)

a

(



(12)

to

ECUACIÓN DE EULER (II)

0 y y(x) y₁(x)=y(x)+(x) (x) x a A b B

(13)

to

ECUACIÓN DE EULER (III)

 Para esta nueva función tendremos que:

 Podemos decir que













b a _y ₍ _x ₎ _y ₍ _x ₎

dx

)

y

,

y

,

x

(

F

)

(

I

_

_

_

_

_

_

_

1 1









0 cuando

0 si







d

)

(

dI

Mín

)

(

I

(14)

to

ECUACIÓN DE EULER (IV)

 Definamos que:

y por lo tanto obtenemos que:



₁ ₁



1

F

x

,

y

,

y

F







































y

F

y

F

y

F

y

F

d

dF

d

y

d

y

F

d

dy

y

F

d

dF

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(15)

ECUACIÓN DE EULER (V)

 En consecuencia tenemos que:

 Como , entonces , por lo tanto:

0

1 1















_













b a

dx

y

F

y

F

d

)

(

dI

_



0 



F

₁



F

0 













_













b a

dx

y

F

y

F

d

)

(

dI

_



(16)

to

ECUACIÓN DE EULER (VI)

 Si integramos por partes el segundo término,

nos queda:

pero como , entonces

0 





















































b a b a

y

F

dx

y

F

x

d

y

F

_

0 



(

b

)

a

(



0 



































b a

dx

)

x

(

y

F

x

d

y

F

_

(17)

to

ECUACIÓN DE EULER (VII)

 Como es arbitraria se debe cumplir que:

ecuación que se conoce como

ecuación de

Euler o de Euler-Lagrange

también expresada como:

 

x



0 





















y

F

dx

d

y

F

0 





















y

F

y

F

dx

d

(18)

to

ECUACIÓN DE EULER (VIII)

 Otras formas de expresarla son:

 Si

0 































































y

F

dx

y

d

y

F

y

dx

dy

y

F

y

F

x





0

2 2







_ _  ,y y ,y y ,x y y

F

dx

dy

F

dx

y

d

F

C

dx

dy

y

F

x

F

_













0

Identidad de Beltrami

(19)

EJEMPLO 1 (I)

 Resolvamos el caso de la distancia mínima

entre dos puntos en el plano

2 1 F 1 y C dx dy y F F          1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 C y y y y y y y y y F _ _                        C C y C y C y y y y 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2                         D Cx y C dx dy y     

(20)

EJEMPLO 1 (II)

B ) b ( y ; A ) a ( y D Cx y                          a a b A B A D a b A B C D Cb B D Ca A



x a



A a b A B ) x ( y     

La curva que hace mínima la distancia entre dos puntos en el plano es una recta.

(21)

to

CONDICIONES DE CONTORNO (I)

 Condiciones esenciales de contorno

Cuando se fijan las condiciones para y(a) y para

y(b).

 Condiciones naturales de contorno

Cuando no se fijan las condiciones para y(a) y para y(b).

En este caso se cumple que:

0                      b x a x ) x ( y F ) x ( y F _ _

(22)

to

CONDICIONES DE CONTORNO (II)

0 



































 

)

a

(

y

F

)

b

(

y

F

a x b x



Como

 

a



0 



 

b



0 

0

0 _





































 b x a x

y

F

y

F

(23)

to

NOTACIÓN VARIACIONAL (I)

 Habíamos visto que para hallar el mínimo (o

máximo) de una

funcional

proponíamos la

siguiente función:

 Cuando entonces .

 Vamos a definir que

que llamaremos

variación de y

.

)

x

(

)

x

(

y

)

x

(

y

₁







0 



y

₁

(

x

)



y

(

x

)

x

(

y







(24)

to

NOTACIÓN VARIACIONAL (II)

 Ahora podemos escribir que:

 Desarrollando el miembro de la derecha en

potencia de



:

 Por analogía con el cálculo diferencial:



x

,

y

,

y

 

F

x

,

y

,

y



F













































y

F

y

F



















y

F

y

F

(25)

to

NOTACIÓN VARIACIONAL (III)

 Además:

 Entonces nos queda:

 Como por lo tanto

y

F

y

F



















_y



_



0 

x



y

F

y

F

x

F

















(26)

to

NOTACIÓN VARIACIONAL (IV)

 Con esto podemos decir que:

Mientras la diferencial de una función es una

aproximación de primer orden al incremento de la función según una curva específica,

La variación de una funcional es una

aproximación de primer orden al incremento de

curva a curva.

 Como consecuencia de esto, se cumplen las

(27)

NOTACIÓN VARIACIONAL (V)

 Así:



F

₁

· F

₂





F

₁

· F

₂

F

₁

· 

F

₂









x

,

y

,

y



y

F



x

,

y

,

y



ny

y

F





n









n1





x

,

y

,

y



y

· y

F



x

,

y

,

y



y

· y

y

· y

F

























2 2 2 1 2 1 2 1

F

· F

F

· F

F



_















(28)

EJEMPLO 2 (I)

 Este ejemplo es el considerado como

iniciador del cálculo variacional:

¿Cuál es la curva que describe un cuerpo que cae

por efecto de la gravedad (sin fricción) que hace mínimo el tiempo que tarda en ir de un punto al otro?

 Se conoce como “El problema de la

(29)

EJEMPLO 2 (II)

A

B

y1(x) y2(x) y3(x)

(30)

EJEMPLO 2 (III)

 Para resolverlo, planteamos la siguiente

expresión:

 Sabemos que:

donde

ds

es la distancia recorrida





b a

v

ds

I

dx

'

y

ds



1 

2

(31)

EJEMPLO 2 (IV)

 En consecuencia, tenemos:

 Por el principio de la conservación de la

energía se cumple que:

dx

v

y

I

b a









1

2



y

(

x

)

y

(

a

)



v

g



y

(

x

)

y

(

a

)



mg

mv









2 

2

1

₂

(32)

EJEMPLO 2 (V)

 Así, nuestra funcional queda:

 Si hacemos

y(a)=0

, entonces:









g



y( x ) y( a )



' y y , y , x F dx ) a ( y ) x ( y g ' y I b a       



2 1 con 2 1 2 2





) x ( y g ' y y , y , x F dx ) x ( y g ' y I b a 2 1 con 2 1 2  2    



(33)

EJEMPLO 2 (VI)

 Aplicando la identidad de Beltrami,

tendremos que:

 Desarrollando nos queda:

C gy ' y ' y gy ' y gy ' y C ' y F ' y F          2 ₂ 1 2 2 1 2 1



2



2

1

1 k

gC

)

x

(

y

)

x

(

'

y





(34)

EJEMPLO 2 (VII)

 La solución de la ecuación anterior,

expresada en forma paramétrica, es :

 





 









cos

k

)

(

y

seno

k

)

(

x









1

2

1

2

1

2 2

La curva que hace mínimo el tiempo para ir desde A hasta B bajo acción gravitatoria es un

(35)

CONCLUSIONES (I)

 El cálculo variacional resuelve algunos

problemas que con el cálculo diferencial sería muy engorroso.

 Se puede aplicar para resolver ecuaciones

diferencial de manera alternativa, con

aplicación de principios ya establecidos o demostrarlos por un método diferente.

 La solución es obtenida mediante un

procedimiento analítico, por lo que se puede considerar “exacta”.

(36)

CONCLUSIONES (II)

 En clases posteriores se verá que además se

aplica para resolver ecuaciones diferenciales mediante técnicas de aproximación.

 La existencia de principios variacionales en la

mecánica (en nuestro caso particular, la estática) facilita la resolución de problemas complejos obteniendo resultados numéricos.

(37)

BIBLIOGRAFÍA

1. F.B. Hildebrand, Métodos de la Matemática

Aplicada. Eudeba. 1973.

2. M.L. Krasnov, G.I. Makarenko y A.I. Kiseliov,

Cálculo variacional (ejemplos y problemas).

Editorial Mir. 1976.

3. K.J. Bathe, Finite Element Procedures. Prentice Hall. 1996.

4. Y.C. Fung, Foundations of Solid Mechanics. Prentice Hall. 1965.

(38)

BIBLIOGRAFÍA

5. El Kacimi Alaoui, A., Introducción al Análisis

Funcional. Editorial Reverté. 1994.

6. J. Fischer, Introduction to the Calculus of

Variations. 1999.

7. J.J. O’Connor y E.F. Robertson, The

Brachistochrone problem. The MacTutor

History of Mathematics History. University of St Andrews. 2002.

8. J. Ferguson, A Brief Survey of the History of

the Calculus of Variations. University of