SECCIÓN DE POSTGRADO. Dr. Ing. Jorge E. Alva Hurtado

(1)

SECCIÓN DE POSTGRADO

(2)

PROBLEMAS DE INGENIER

Í

A QUE

INVOLUCRAN A LA DIN

Á

MICA DE SUELOS

(3)

CIMENTACIÓN DE MAQUINAS

Maquinaria Reciprocante y Rotativa Otras Maquinarias Industriales

Desarrollo de la Era Espacial

EFECTOS DE EXPLOSIÓN NUCLEAR Aplicaciones Civiles Construcción de Protección INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Cimentaciones de Edificios Deslizamientos Presas de Tierra

CONTENIDO

(4)

HINCADO DE PILOTES

COMPACTACIÓN POR VIBRACIÓN OTROS PROBLEMAS DE INGENIERÍA DEFINICIÓN DE DINÁMICA DE SUELOS

(5)

INTRODUCCI

Ó

N

Suelo como cimentación de estructuras y terraplenes Suelo como material de construcción

Diseño de estructuras de retención Suelo en problemas especiales

Dinámica de Suelos parte de la Mecánica de Suelos que trata el comportamiento y respuesta del suelo durante la aplicación rápida de carga, uso de vibraciones para la mejora de propiedades y transmisión de ondas para evaluar las propiedades

(6)

CIMENTACI

Ó

N DE M

Á

QUINAS

Maquinaria que produce vibraciones o fuerzas dinámicas desbalanceadas que se apoyan en un bloque de cimentación sobre el suelo

Si los movimientos son excesivos:

1. Imponen condiciones no soportables para el personal 2. Causan daño a la máquina o tuberías

3. Producen grandes asentamientos que impiden el funcionamiento

(7)

Maquinaria

Maquinaria ReciprocanteReciprocante y Rotativay Rotativa

Compresores y motores grandes ocasionan fuerzas dinámicas sinusoidales, que resultan en movimiento de la cimentación

Turbina bien diseñada origina fuerzas pequeñas que con el desgaste conduce a desbalance y fuerzas dinámicas

Otras Maquinarias Industriales

Prensas, vibradores, las cargas pueden no ser sinusoidales o periódicas

(8)

Desarrollo de la Era Espacial

Cimentación adecuada para antenas de radar de gran precisión. Las fuerzas dinámicas ocurren conforme la antena se acelera o desacelera, en elevación o en azimut

Plataforma de encendido de las diversas etapas del cohete Saturno V en las Misiones Apolo

Verificar el comportamiento de los componentes precisos de guía, como los giroscopios. Deben conocerse las vibraciones ambientales del tráfico y de los microsismos, para minimizarlos o para aplicar las compensaciones adecuadas

(9)

EFECTOS DE EXPLOSI

Ó

N NUCLEAR

El estudio de los problemas civiles y militares ocasionados por las explosiones atómicas, ha dado un mayor ímpetu a la dinámica de suelos

Aplicaciones Civiles

Las explosiones nucleares tienen potencial en las excavaciones rápidas de grandes masas de tierra: canales, puertos y cortes profundos y largos de carreteras y ferrocarriles

Se ha estudiado un nuevo Canal de Panamá

El costo de excavación con explosiones nucleares es mucho menor que el costo de una excavación convencional

(10)

Construcci

Construccióón de Proteccin de Proteccióónn

Las estructuras subterráneas de protección de bombas nucleares varían de personales hasta misiles balísticos intercontinentales

(11)

INGENIER

Í

A SISMORRESISTENTE

Relación entre las condiciones del suelo y los daños durante terremotos. Especial atención después de los sismos de Chile de 1960, Alaska y Niigata en 1964. La construcción de Centrales Nucleares ha contribuido al conocimiento de la Dinámica de Suelos.

Cimentaciones de Edificios

Cimentación de Centrales Nucleares en suelo, a diferencia de aquellas construidas en roca

Amplificación sísmica de edificaciones sobre suelo en relación a roca, tal como ocurrió en Caracas en 1967 y México en 1985

Pérdida de capacidad portante como resultado de licuación de suelos en Niigata, Japón en 1964

(12)

Deslizamientos

Han ocurrido grandes deslizamientos durante terremotos. El de Turnagain en Alaska destruyó 75 casas y muchas vidas. En el lago Riñihue en Chile un deslizamiento involucró 30 millones de metros cúbicos. En Santa Tecla, El Salvador en el 2001 causó 600 muertos.

Presas de Tierra

Análisis de licuación y flujo

Respuesta dinámica de la presa

Análisis de deformaciones sísmicas Mejoramiento de la cimentación

(13)

HINCADO DE PILOTES

Interpretación del hincado de pilotes con martillo Teoría de la propagación de ondas

Máquinas vibratorias para el hincado de pilotes. Condición de resonancia

(14)

COMPACTACI

Ó

N POR VIBRACI

Ó

N

Rodillos vibratorios para compactar suelos

Alternativa de mejoramiento de suelo para licuación en comparación a vibroflotación o uso de pilotes

Métodos de laboratorio por vibración para determinar densidades máximas de suelos granulares

(15)

OTROS PROBLEMAS DE INGENIER

Í

A

Refracción sísmica para determinar la estratigrafía y propiedades del suelo

Efecto del tráfico en pavimentos y subrasantes

Daño a edificaciones por explosiones en canteras o excavaciones

(16)

DEFINICI

Ó

N DE DIN

Á

MICA DE SUELOS

Problemas de ingeniería geotécnica que involucran aplicación rápida de carga

Evaluación de las propiedades esfuerzo-deformación del suelo aplicadas a carga dinámica

Técnicas para calcular o estimar el rol de las fuerzas de inercia presentes durante la carga dinámica

Procedimientos y experiencia para aplicar este conocimiento a la solución de problemas prácticos

(17)

SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE

LIBERTAD

C

apítulo II

(18)

Comportamiento de sistemas con parámetros concentrados

La masa está concentrada en uno o más cuerpos rígidos y éstos están conectados por resortes y amortigüadores.

Sistemas de un grado de libertad Tanque elevado de agua

Viga en cantilever

Un sistema de parámetros concentrados es lineal si la resistencia de los elementos que conectan las masas es proporcional al movimiento o a la velocidad de movimiento.

(19)

M (a) x k M (b) x k δ

(20)

Resorte de extensión

(b) Modelo idealizado

M M

(a) Tanque real

FIGURA 2.2 TANQUE ELEVADO DE AGUA

Resorte de corte

(21)

(c) Viga real M M M Resorte de corte

(b) Aproximación de masas concentradas

(22)

VIBRACIONES LIBRES

Ecuación de movimiento

0 kx

x

M

&&

+

=

Solución

t

M

k

cos

B

t

M

k

sen

A

x

=

+

A y B son constantes

(23)

Para que la masa se mueva x_o para carga estática Fo = k x_o t Mk cos x x = ₀ Período k M 2 T =

π

Frecuencia

M

k

2

1 f

_n

π

=

Frecuencia circular M k ω =

T

t

2 cos

x

t

f

2 cos

x

ωt

cos

x

=

₀

=

₀

π

_n

=

₀

π

(24)

Energía

Vibración libre amortiguada

2 0 2 2 0

M

x

2

1 x

k

2

1 E

=

ω

0 kx

x

δ

x

M

_&&

+ &

+

=

kM 2 δ_cr = cr

δ

D

=

t)

ω

sen

ω

D

t

ω

(cos

e

x

₁ 1 1 ωDt -0

+

=

Decremento logarítmico

D

2 π

=

Δ

(25)

FIGURA 2.4 VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA X₀ -X₀ x X₀e-wDt -X₀e-wDt

Punto de tangencia casi en en el punto de movimiento máximo t

(26)

Solución para (x = = 0 para t = 0)

VIBRACIONES FORZADAS POR LA APLICACI

Ó

N

DE CARGAS PERI

Ó

DICAS

t

Ω

sen

P

kx

x

δ

x

M

_&&

+ &

+

=

_o x& 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 Dt ω -2 2 o ω Ω D 4 ω Ω -1 t ω sen 1 -ω Ω 2D ωΩ t ω cos ω Ω 2D e t Ω cos ω Ω 2D t Ω sen ω Ω -1 k P x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ + + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Amortiguamiento pequeño 2 Dt ω -o ω Ω -1 t ω sen ω Ω e t Ω sen k P x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

(27)

Movimiento libre

Movimiento forzado

Movimiento total

FIGURA 2.5 VIBRACIÓN FORZADA AMORTIGUADA

t x

(28)

Vibración Forzada 2 2 2 2 2 2 o ω Ω 4D ω Ω 1 t Ω cos ω Ω 2D t Ω sen ω Ω -1 k P x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 2 2 o ω Ω 4D ω Ω 1 α) t (Ω sen k P x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 2 _-_Ω ω Ω ω 2D α tg =

(29)

Masa Excéntrica Ωt sen LΩ Me P = 2 2 2 2 2 ω Ω 4D ω Ω 1 1 DLF ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = DLF k P x o o =

(30)

5 3 4 2 1 0 0 0.5 1.0 1.5 2.0

FIGURA 2.6 AMPLITUD ADIMENSIONAL DEL MOVIMIENTO

D = 0 D = 0.1 D = 0.2 0.60.5 0.4 0.3 X₀ P₀/ k f / fn

(31)

5 3 4 2 1 0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 D = 0 D = 0.1 0.2 0.6 0.5 0.4 0.3 X₀M M_e_l f/fn

(b) Para el caso de masa desbalanceada

(32)

1 2 4 6 8 10 12 14 15 0.8 0.7 0.6 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 4 6 8 10 12 14 15 0.8 0.7 0.6 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.5 0.5 l e M M X ó p k X 0 0 0 en resonancia

FIGURA 2.7 AMPLITUD ADIMENSIONAL DEL MOVIMENTO EN RESONANCIA

Rela

c

ión de

(33)

FIGURA 2.8 ÁNGULO DE FASE 180° 90° 0° 0 1.0 2.0 ω Ω D 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1.0 Á n g u lo d e f ase, ∝

(34)

Tabla 2.1

Propiedades de la Relación Factor de Carga Dinámica vs. Frecuencia

Fuerza Actuante Respuesta adimensional cuando f = 0 Respuesta adimensional cuando f → ∞ Relación de frecuencia resonante fr/fn Respuesta adimensional cuando f = fr Respuesta adimensional para f << fr o f >> fr 1 0 → 0 _{→ 1} 2 D 2 1− ₁ ₂_D2 1 − 2 D 1 D 2 1 − ₂_D ₁ _D2 1 − 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − fn f 1 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ fn f 1 fn f

(35)

Carga escalón Carga rampa Pulso cuadrado

Carga sinusoidal de duración limitada

VIBRACIONES DEBIDAS A CARGAS

TRANSITORIAS

(36)

FIGURA 2.9 RESPUESTA A UNA CARGA ESCALÓN x P₀ k0 p 2 t _t P

FIGURA 2.10 RESPUESTA A UNA CARGA RAMPA

t τ P₀ P ₂ 1 0 0 τ 2τ 3τ 4τ 3 10T = τ τ = 4T tiempo k0 p 0 P Xk

(37)

2 1 0 0 1 2 3 4 τ/T 0 max P k X

FIGURA 2.11 MÁXIMA RESPUESTA A UNA CARGA RAMPA

FIGURA 2.12 RESPUESTA A UNA CARGA PULSO

P₀ P 0 P k X τ 2 1 0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ T 4 5 = τ t 4 T = τ

FIGURA 2.13 MÁXIMA RESPUESTA A UNA CARGA PULSO

2 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 τ/T 0 max P k X

(38)

FIGURA 2.14 AUMENTOS DE LA CONDICIÓN INICIAL DE REPOSO PARA FUERZAS SINUSOIDAL CON Ω = ω 0 P k X 2 ωt X_max = ω 2T t = 2D1 2D1 (a) No - Amortiguado t t (b) Amortiguado 0 P k X

(39)

P₀ P 2.0 0 P k Xmax 1.5 1.0 0.5 0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

X_maxdurante vibraciones residuales

τ/T Ω

= π

τ t

FIGURA 2.15 MÁXIMA RESPUESTA PARA PULSO SENO MEDIO

(40)

Movimientos sinusoidales de cimentación

VIBRACIONES FORZADAS PRODUCIDAS POR

MOVIMIENTOS PERI

Ó

DICOS DE CIMENTACI

Ó

N

s

M

-ky

y

M

_&&

+

δ

_&

+

=

_&&

S = S_o sen Ωt P_o → = -M S_o Ω2 DLF S y 2 o o ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ω = ω

(41)

FIGURA 2.16 SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR CON MOVIMIENTO DE APOYO

M

x

y

(42)

Movimiento seno-verso Espectro de respuesta

Varios pulsos de seno-verso Dos movimientos superpuestos Efecto del amortiguamiento

VIBRACIONES DEBIDAS A MOVIMIENTOS

TRANSITORIOS DE CIMENTACI

(43)

FIGURA 2.17 RESPUESTAS TÍPICAS A UN MOVIMIENTO DE CIMENTACIÓN SENO VERSO (UN CICLO) 4 1 = T τ 2 1 -1 0 1 0 0 1 1 2 1 0 0 S s y+ t/τ 2 1 2 1 -1 0 -2 1 ₁ 2 1 -1 0 2 3 1 S_o 1 2 1 3 2 3 2 1 2 12 3 2 12 3 2 0 S s y+ 0 S s y+ t /τ

(44)

2

1

0

FIGURA 2.18 CURVAS DE RESPUESTA PARA UN MOVIMIENTO DE CIMENTACIÓN SENO VERSO (UN CICLO)

S max R Y 1 2 3 4 τ/T 0 1 2 3 4 0 2 1 0 2 1 0 o S max S Y+ Ω ω /T= τ τ/T o S max Y 0 1 2 3 4

(45)

Frecuencia, cps.

FIGURA 2.19 LAMINA ESPECTRAL PARA GRAFICAR EL ESPECTRO DE RESPUESTA

500 ₂₅0 100 50 2.5 5 2.5 1.0 0.5 0.25 0.10 0.05 0 0.02 5 0.01 0 0.00 5 10 00_g 50 0 _g 25 0 g 10 0 g 50_g 2.5_g 10_g 5.0_g 2.5_g 1.0_g 0.5 0 g 0.2 5 g 0.1 0 g 0.0 5 g 0.002 50 0.0₁₀ g 0.0₀₅ g 0.001 0 0.000 5 0.0₂₅ g De_sp laz_am ien to, _pu lg Acele ració n, g’ s 50 00_g 25₀₀ g 0.1 0.25 0.50 1.0 2.5 5.0 10 25 5.0 100 250 500 1000 500 250 100 50 25 10 5.0 2.5 1.0 10 Ps eudo – V e loc idad, pulg/s e g.

(46)

FIGURA 2.20 ESPECTRO DE RESPUESTA PARA MOVIMIENTO DE CIMENTACIÓN SENO VERSO

Frecuencia natural de un sistema de un grado de libertad

Ps eudo – V e loc idad, pulg/s e g. 100 500 250 100 2.5 1.0 0.1 0.25 0.5 1.0 2.5 5.0 10 25 50 100 250 500 1000 10 5 2.5 n = 4 n ∞ 1.0 Acele ració n 10 00_g 10 0 g 50_g 25_g 10_g 5 g 0.5 0.25 0.1 2.5_g 1 g 0.1_g 0.01 0.6 0.00 1 Des plaz am ien to, pu lgs Seno verso S_n= 1 pulgada F = 10 cps 5.0 5 2.5 1 0.1_g

(47)

FIGURA 2.22. ESPECTROS DE RESPUESTA PARA MOVIMIENTOS DEL TERRENO SENO VERSO SUPERIMPUESTOS

Frecuencia natural de un sistema de un grado de libertad

Ps eudo – V e loc idad, pulg/s e g. 10 00 50₀ 25₀ 10₀ 50 25 10 5 2.5 1 0.5 0.2₅ 0.01 0.001 0.1 0.1 0.25 0.5 2.5 De_sp laz_am ien to, _pu lg. 1.0 Acel erac ión, pul g. 500 250 100 25 10 0.1 0.25 0.50 1.0 2.5 5 10 25 5.0 100 250 500 1000 50 5 2.5 1

FIGURA 2.21 DOS MOVIMIENTOS SENO VERSO SUPERIMPUESTOS

Respuesta al movimiento combinado del terreno

S dado por ec. 6.51 con S₀= pulg. F = 10 cps. n = 5 1 ciclos a 10 cps. 5 ciclos a 50 cps. 2π W t S S0

(48)

Rango de frecuencias contenidas en el terremoto Rango medio

Rango controlado por desplazamiento máx máx S X&& = && max max S Y = No amortiguado Altamente amortiguado

Frecuencia natural (escala logarítmica)

Ps eudo-Ve loc idad S v (e scala lo g a rí tm ica) Rango controlado por aceleración

FIGURA 2.23 CARACTERÍSTICAS DEL ESPECTRO DE RESPUESTA PARA MOVIMIENTOS TRANSITORIOS DEL TERRENO CONTENIENDO MUCHAS FRECUENCIAS

(49)

5 6 4 2 0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 PERIODO-SEGUNDOS PERIODO-SEGUNDOS 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 10 5 6 4 2 0 Sv -p ie/seg Sv -p ie/seg

FIGURA 2.24 ESPECTRO DE RESPUESTA DE SISMOS REALES

Espectro de Velocidad para el Sismo de Olympia, Washigton, 13 de Abril 1949

Componente S 80° W

Espectro de Velocidad para el Sismo de El Centro, 18 de Mayo 1940

Componente E-W

(50)

C

apítulo III

SISTEMAS LINEALES DE VARIOS

GRADOS DE LIBERTAD

(51)

INTRODUCCI

Ó

N

Con un sistema de dos grados de libertad, la respuesta dinámica puede evaluarse por solución directa de las ecuaciones diferenciales. Para más grados de libertad es tedioso obtener soluciones directas, por lo que se utiliza el método de los modos.

(52)

VIBRACI

Ó

N LIBRE DE SISTEMAS DE DOS

GRADOS DE LIBERTAD

Vibración Libre de Sistema no Amortiguado de 2 Masas

Vibración Libre Acoplada de Sistema no Amortiguado de 1 Masa

(53)

1 Dos masas, cada una con un grado de libertad

2a Una masa, con dos grados de libertad independientes

2b Una masa, con dos grados de libertad acoplados

(54)

FIGURA 3.3. PATRÓN DE DISTORSIÓN PARA MODOS NORMALES DE VIBRACIÓN (EJEMPLO 3.1) FIGURA 3.2. EDIFICIO DE DOS PISOS CON COLUMNAS QUE RESISTEN MOMENTOS

X1 M₂ K2 K₁ M₁ X2

Modo Fundamental Segundo Modo

0 1 2 -1 0 + 1 2 A2 A₁ A2 A1 A₂

(55)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

FIGURA 3.4. MOVIMIENTO DE LA MASA SUPERIOR EN EL EJEMPLO 3.1

1.0 0 -1.0 0.4 0 -0.4 1.0 0 -1.0 -0.171 Xocos 1.62 t K M π 21 1.171 X_ocos 0.618 MK t t MK Movimiento Resultante

(56)

VIBRACIONES DE SISTEMAS FORZADOS DE

2 GDL POR CARGAS PERI

Ó

DICAS

Vibraciones Forzadas Acopladas de Sistema no Amortiguado de una Masa

Vibración Forzada Acoplada de Sistema de una Masa Amortiguada

(57)

FIGURA 3.5. SISTEMA CON MOVIMIENTOS HORIZONTAL Y CABECEO ACOPLADOS L ky I₀ θ δ_y K_e, δ_e Z Y CG

(58)

FIGURA 3.7 FRECUENCIAS NATURALES EN EL EJEMPLO 3.2

FIGURA 3.6 GRÁFICO PARA DETERMINAR LAS DOS FRECUENCIAS NATURALES ACOPLADAS

2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ θ ω ωy 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 15.0 10.0 5.0 0 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 1.00 0.60 0.80 0.40 0.20 0 0.9 0.8 0.4 0.7 0.6 0.5 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ θ θ ω ωy 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ θ θ ω ωy I I0 Acoplado Inferior Frecuencia cps

Horizontal _{Acoplado Superior}

5 10 15 20

Cabeceo

I I0

(59)

Y c -P ie s xc e Y D -P ie s Y_D 13’ 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.1 0 - 0.04 - 0.06 - 0.08 - 0.10 X_C 0.08 0.06 0.04 0.02 0 - 0.02 - 0.04 - 0.06 - 0.08 - 0.1 16’ C D Z Y X - 0.02 Y_C

E_nC X_c = (8.5) θ = 0.0483 (cos 37.9t - cos 1.09 t) en pies

Y_c = Y + 16 (θ) = 0.1199 cos 37.9t - 0.0199 cos 1.09 t en pies E_nD X_D = X_c

Y_D= Y = 0.0291 cos 37.9 t + 0.0709 cos 1.09 t en pies

(60)

FIGURA 3.9. FUERZAS APLICADAS AL SISTEMA CON MOVIMIENTOS ACOPLADOS

(a) Fuerzas Aplicadas

Z •CG • (b) Fuerzas y Momentos Equivalentes P T • Y_o θ_o ω_θ ω_y _ω θ ω_y ω_y_θ

FIGURA 3.10. NATURALEZA GENERAL DE LAS CURVAS DEL FACTOR DE CARGA DINÁMICA DE MOVIMIENTOS ACOPLADOS

Ω Ω

ω_yI_θ

II _ω

(61)

P_o= 4525 lbs. a 30 cps

FIGURA 3.11. FUERZA APLICADA Y MOVIMIENTO RESULTANTE EJEMPLO 3.3

Movimiento en C (en 10-4_{pulg) en el momento}

que la fuerza es máxima hacia arriba

Debido a movimiento horizontal Debido a cabeceo Movimiento resultante Debido a movimiento vertical Debido a cabeceo 5.29 8.79 7.50 4.67 Z 8.5’ 16’ CG 3.5’

(62)

AN

Á

LISIS MODAL DE SISTEMAS DE VARIOS

GRADOS DE LIBERTAD

Conceptos Básicos

Aplicación a Problemas Sísmicos

Para Fuerzas Aplicadas a las Masas Para Movimiento de la Cimentación

(63)

FIGURA 1: IMPORTANCIA RELATIVA DE TRASLACIÓN Y CABECEO DE BLOQUE DE CIMENTACIÓN RECTANGULAR (L/B=2) EN LA SUPERFICIE DE CUERPO ELÁSTICO (ν = 0.35)

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0 5 10 15 0 ω/ω_y L H ω_Yθ ω_Y I ω_θ ω_Y ω_Yθ ω_Y II θ_o. H y_o 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 L H

(64)

FIGURA 2. EFECTO DE LA FRECUENCIA HORIZONTAL RESONANTE EN LA RESPUESTA DE UN BLOQUE DE CIMENTACIÓN RECTANGULAR (I / I_O = 2) SUJETO A CABECEO

3 1 ≈ L H 2 1 0 3 2 1 0 ω_Yθ ω_Y I ω_Yθ ω_θ II ω_Y ω_θ ω ω_θ ω_Y ω_θ θ. H Y_o estático 0 0.5 1.0 1.5 2.0

(65)

C

apítulo IV

PROPAGACI

(66)

INTRODUCCI

Ó

N

Estudio de la propagación de ondas en semiespacios infinitos homogéneos o estratificados, así como en barras de longitud finita.

Se presentan los fundamentos de propagación de ondas que se requieren para el manejo de los conceptos que se tratan en la dinámica de suelos.

(67)

PROPAGACI

Ó

N DE ONDAS EN UN MEDIO INFINITO

Ondas de compresión o primarias Ondas cortantes o secundarias

(68)

FIGURA 4.1. ESFUERZOS ACTUANDO SOBRE UN ELEMENTO PEQUEÑO Z ) z ( xz xz ∂ Δ ∂ + z τ τ τ_xy X (σx + ∂_∂σ_xx Δx) τ_xz ) (τxy + ∂_∂τ_yxy Δy Y z Δ x σ y Δ x Δ

(69)

FIGURA 4.2. NATURALEZA DE LOS DESPLAZAMIENTOS DE LAS PARTÍCULAS DE UN SUELO DURANTE EL PASO DE a) ONDAS DE COMPRESIÓN P, b) ONDAS CORTANTES S, c) ONDAS RAYLEIGH R Y d) ONDAS LOVE L

(a) (b)

(70)

PROPAGACI

Ó

N DE ONDAS EN UN MEDIO

SEMI

-

INFINTO

Ondas Rayleigh Ondas Love

(71)

FIGURA 4.3. SISTEMA DE COORDENADAS EN UN SEMIESPACIO ELÁSTICO

Porción de semiespacio elástico Frente de ondas

Superficie

Z

X

(72)

FIGURA 4.4. RELACIÓN ENTRE V_S, V_P, y V_R CON ν Relación de Poisson, ν Ondas P Ondas S Ondas R 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 5 4 3 2 1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 5 4 3 2 1 0 ρ _G Val o res de v v = _v s

(73)

Amplitud a la prof. z Amplitud en la superficie -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Componente horizontal Componente vertical ν = 0.25 ν = 0.33 ν = 0.40 ν = 0.50 ν = 0.25 ν = 0.33 ν = 0.40 ν = 0.50 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 [W(z)] [U(z)]

FIGURA 4.5. RELACIÓN DE LA AMPLITUD DE LAS ONDAS RAYLEIGH VS LA PROFUNDIDAD (Ref. 1)

Profundidad

Longitud de onda

(74)

Longitud = Velocidad de onda frecuencia

FIGURA 4.6. INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE LA LONGITUD DE ONDA

Amplitud Tiempo

(75)

Onda P Onda S Onda R (+ en la dirección de propagación) Movimiento menor (+ hacia abajo) (a) (b) Mov. mayor W t t u 1 1

FIGURA 4.7. SISTEMA DE ONDAS ORIGINADAS POR LA EXCITACIÓN EN UN PUNTO DE LA SUPERFICIE DE UN MEDIO IDEALIZADO (Ref. 1)

(76)

PROPAGACI

Ó

N DE ONDAS EN UN MEDIO

ESTRATIFICADO

Ondas llegan a las superficies de contacto de dos estratos con propiedades diferentes.

(77)

Plano vertical de incidencia

Rayo incidente Plano perpendicular al rayo _incidente

SV E

SH S

s

(78)

P _θ _θ P θ₁ SV P θ θ₁ SV SV P θ_cr SV θ_cr SV

FIGURA 4.9. REFLEXIÓN EN LA SUPERFICIE DE UNA ONDA INCIDENTE P

FIGURA 4.10. REFLEXIÓN DE UNA ONDA INCIDENTE SV EN UNA SUPERFICIE LIBRE

FIGURA 4.11. REFLEXIÓN HORIZONTAL DE UNA ONDA P CUANDO UNA ONDA SV INCIDE CON UN ÁNGULO CRÍTICO

(79)

FIGURA 4.12. ÁNGULO DE INCIDENCIA CRÍTICO PARA LAS ONDAS SV, EN FUNCIÓN DE LA RELACIÓN DE POISSON ν 40 θ_cr 30 20 10 0 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 Para ondas SV

(80)

d = 0 d d d θ = 0° a a a d θ = 20° θ = 30° θ = 34° d Superficie Superficie θ = 30° 16’ a d d a a d a d a a θ = 37° θ = 37° 1/2 θ = 85° θ = 40° θ = 45° θ = 75° θ = 63° θ = 50° Superficie a d a Sup. d a d d a a θ = 90°

FIGURA 4.13. DESPLAZAMIENTOS (AMPLITUD Y DIRECCIÓN) DE UNA PARTÍCULA SUPERFICIAL PRODUCIDOS POR UNA ONDA SV QUE TIENE UN ÁNGULO DE INCIDENCIA θ (Ref. 2). rayo rayo rayo rayo ray o ray o rayo ray o rayo

rayo rayo rayo

(81)

FIGURA 4.14. INCIDENCIA Y REFLEXIÓN DE UNA ONDA SH

θ θ

(82)

FIGURA 4.15. DISTRIBUCIÓN DE ONDAS ELÁSTICAS EN LA INTERFASE DE DOS MEDIOS ELÁSTICOS

(a) Onda incidente P (b) Onda incidente SV c) Onda incidente SH

P-P₁ P P-SV₁ Medio 1 Medio 2 P-P₂ P-SV₂ e _f f SV-SV₁ SV SH SH-SH₁ a a b b b b a SV-P1 SH-SH₂ P₁, v_P1, v_S1 P₂, v_P2, v_S2 SV-SV₂ f b e SV-P₂ S2 V f sen P2 V e sen S1 V b sen P1 V a sen = = =

(83)

FIGURA 4.16: REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN MÚLTIPLE DE ONDAS EN UN SISTEMA ESTRATIGRÁFICO (Ref. 1) Punto de excitación P₁, v_P1, v_S1 P₂, v_P2, v_S2 P₃, v_P3, v_S3 P₄, v_P4, v_S4 (P₎ (P -S ) (P – P)1 (P – P 2₎ (P – P 2₎

(84)

PROPAGACI

(85)

FIGURA 4.17. FUERZAS ACTUADO SOBRE UN ELEMENTO DE UNA BARRA CONTÍNUA x σ u Área A x x x x Δ ∂ ∂ + σ σ

(86)

FIGURA 4.18. DESPLAZAMIENTOS OBSERVADOS EN LOS TIEMPOS t₁y t₂, PARA UN FUNCIÓN DEL TIPO SEÑALADO POR LA EC. 2-5 Movimiento observado en el tiempo t1 Movimiento observado en el tiempo t2 t₁ t2 u x x V_L(t₂–t₁)

(87)

Figura 4.19. PRIMEROS TRES MODOS NATURALES DE VIBRACIÓN DE UNA BARRA CON UN EXTREMO FIJO Y EL OTRO LIBRE

( a ) ( b ) x A4 ) (n sen A u 1 2 x 1 = 4 = l π ) (n sen A u 3 2 x 3 4 2 = = l π ) (n sen A u 2 x 5 4 3 = = 5 l π A4 A4 l