Capítulo 14. Interacción con campos eléctricos y magnéticos

Capítulo 14. Interacción con campos eléctricos y

magnéticos

14.1. Propiedades como derivadas 14.2. Efectos del campo eléctrico

14.2.1. Átomo hidrogenoide un un campo eléctrico uniforme 14.2.2. Efecto Stark en una molécula lineal

14.3. Interacciones magnéticas 14.3.1. Efecto Zeeman

14.3.2. Interacción del campo magnético con el espín nuclear 14.3.2.1. Ejemplo: sistema con dos núcleos

14.3.3. Interacción entre los espines nucleares 14.3.3.1. Ejemplo: dos nucleos equivalentes

14.3.3.2. Ejemplo: dos núcleos equivalentes con un vecino distinto

14.3.4. Resonancia del espín electrónico

14.3.4.1. Ejemplo: radical libre que tiene sólo un núcleo con espín I = 1

2

14.3.4.2. Ejemplo: radical libre con dos núcleos con espín, I₁ 1 2 =

14. Interacción con campos eléctricos y magnéticos

La interacción entre átomos y moléculas proviene de los campos generados por sus electrones y núcleos. Por esta razón es importante entender la respuesta de los sistemas electrónicos ante la presencia de fuerzas eléctricas y magnéticas. Por otro lado, las técnicas espectroscópicas involucran la interacción de las especies químicas con el campo electromagnético de la radiación y, en algunos casos, también con un campo externo adicional.

En este capítulo se presentan algunos ejemplos de este tipo de interacciones y sus efectos en las propiedades del sistema. También se trata el fenómeno de la resonancia magnética, tanto en los núcleos como en los electrones.

14.1. Propiedades como derivadas

Algunas propiedades de los átomos y las moléculas representan la respuesta del sistema ante el cambio en los campos externos. Por ejemplo, la constante de fuerza en una molécula diatómica es la segunda derivada de la superficie de energía potencial,

k

d W

dr

_{r r}

=

= 2 2 min .

La constante de fuerza puede usarse para representar a la superficie de energía potencial por una aproximación armónica,

( )

W r ≈W0 + kr

1 2

2_.

Al aplicar un campo eléctrico uniforme, la energía depende de la intensidad del campo,

( )

W E =W₀ − _d ⋅ +E 1E⋅ ⋅ +E

2

µ

α

~ _,

en donde

µ

d es el momento dipolar,

~

α

es la polarizabilidad, etc. Estas propiedades están asociadas con derivadas de la energía,

µ

d E dW dE ≡ − =0 ,

α

~≡ = d W dEdE _E 2 0 ,

etc. En forma silimar, se define la suceptibilidad magnética, ~

χ

≡ = d W dBdB _B 2 0 .

La respuesta ante los campos oscilatorios depende de la frecuencia de oscilación, por lo tanto las propiedades dependen de dicha frecuencia, por ejemplo,

α α ω

~

=

~

( )

.

14.2. Efectos del campo eléctrico

La energía de interacción de una carga puntual, Q, localizada en la posición r, con un campo eléctrico está dada por

( )

E

_int

=

Q

φ

r

,

en donde

φ

es el potencial eléctrico, que está relacionado con el campo por E= −∇

φ

. Por lo tanto, el hamiltoniano de interacción con el campo eléctrico tiene la forma

( )

( )

H_E e r_i Z e R i N A A A M = − + = =

φ

φ

1 1 .

Al resolver la ecuación de valores propios del hamiltoniano

H

₀

+

H

_E, las soluciones

dependen de la intensidad del campo, por lo que la funciones de respuesta al campo pueden aproximarse usando el método de diferencias finitas,

(

)

(

)

µ

x x x x W E W E W E ≈ − = − = − = − ∆ ∆ 1 0 1 0 ,

(

)

(

)

(

)

α

xx x x x x x W E E W E W E W E ≈ = = − = + = − ∆ ∆ ∆ 2 _{2 2 1 0} 2 0 , etc.

La polarizabilidad permite calcular el momento dipolar inducido por el campo eléctrico,

µ

ind

= −

α

E

Esta propiedad es muy importante para las moléculas que no presentan un dipolo permanente, ya que permite evaluar la respuesta al campo mediante la energía de polarización,

E

_pol

≡

1

E E

= −

E

⋅

_ind 2 1 2

~

α

µ

.

14.2.1. Átomo hidrogenoide un un campo eléctrico uniforme

Para un campo eléctrico uniforme en la dirección del eje z,

E

=

Ek

, el potencial

eléctrico toma la forma

φ

= −

Er

3.

Así, el hamiltoniano de interacción de un átomo de hidrógeno con este campo queda expresado como

H

_E

=

eEr

₃

−

eZER

₃.

Dado que la función del centro de masa es una onda plana, el promedio de

R

3 es cero,

por lo que a la interacción con el campo eléctrico sólo contribuye la parte electrónica. Usando la teoría de perturbaciones y tomando como hamiltoniano de referencia al hamiltoniano hidrogenoide, se tiene que,

( )

H

₀

=

H

hidro , Ψ( )0 = nlm , Enlm( ) En( ) hidro 0 ₌ ,

cos

′ =

=

H

eEr

3

eEr

θ

.

Dado que sólo el estado 1s no es degenerado, entonces

( )

_{( )}

w100 H eE R r r dr 1 10 2 3 0 100 100 00 00 0 = ′ = ∞ cos

θ

= .

Por lo tanto, no hay un efecto lineal en el campo. Usando la identidad

cos

θ

lm

=

A

lm

l

+

1

,

m

+

B

lm

l

−

1

,

m

,

(

)

(

)(

)

A

l

m

l

l

lm 2 2 2

1

2

1 2

3

=

+

−

+

+

,

B

lm

=

A

l−1,m, y definiendo Cn l nl′ ′ Rn l′ ′R r drnl ∞ ≡ , 3 0 ,

se tiene que la matriz del hamiltoniano de interacción toma la forma

[

]

[

]

[

]

′ ′ ′ ′

=

′ ′

=

′ ′ +

+

′ ′ −

=

+

=

+

′ ′ ∞ ′ ′ ′ ′ ′ + ′ − ′ − ′ ′ ′ ′ + − ′ − ′

n l m H nlm

eE R

R r dr l m

lm

eEC

A

l m l

m

B

l m l

m

eEC

A

A

eEC

A

A

n l nl n l nl lm lm n l nl lm l l m m l m l l m m n l nl lm l l l m l l m m

cos

,

,

, , , , , , , , , , , , 3 0 1 1 1 1 1 1

1

1

θ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

.

Así, a segundo orden,

( )

( )

w

nlm H

E

E

eE

Z

R

r R

n

n nlm n n 100 2 2 1 100 2 0 2 1 10 2 2 1

100

₂

3

1 1

=

′

−

= −

−

≠

ε

≠ .

Por lo tanto, el estado 1s no tiene momento dipolar, aunque la polarizabilidad es distinta de cero,

α

ε

zz n n

e

Z

R

r R

n

= −

−

≠

4

3

1 1

2 0 2 1 10 2 2 1 .

Para n>1, los estados son degenerados y la matriz de perturbación sólo mezcla

estados con m′ = m y l′ − = ±l 1. Por ejemplo, para n=2,

~

~

, , , , , , , ,

′ =

′

′

′

′

′

′

=

=

− −

H

H

H

H

H

H

H

eEC

A

eEC

A M

200 200 200 210 210 200 210 210 211 211 21 1 21 1 20 21 00 20 21 00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

.

( ) ( )

~

MC

0

=

xC

0 , w( )1 = xeEC20 21, A00. En donde

x

es solución de

(

)

(

)

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

2 2

=

−

=

−

−

−

−

=

−

det

M

~

xI

~

x

x

x

x

x

x

,

por lo tanto

x

= −

1 1 0 0

,

, ,

. Entonces, las combinaciones de

211

y

21 1

−

no presentan

efecto a primer orden. Por otro lado, para x= ±1, los coeficientes de la función de orden cero satisfacen − + = − = xc c c xc 200 210 200 210 0 0,

y una de las ecuaciones es dependiente. Tomando sólo la primera, se tiene que

c

₂₁₀

=

xa

₁,

a

₁

≡

c

₂₀₀, Ψ( )0 =a₁

(

200 +x 210

)

.

Parte angular de la función |Y+>.

( )

(

)

Ψ2 0 1 2 200 210 + = + , w2( ) eEC A 1 20 21 00 + = , , ( )

₍

₎

Ψ2 0 1 2 200 210 − = − , w2( ) eEC A 1 20 21 00 − = − , .

La parte angular de una de estas funciones se muestra en la figura anterior. El efecto del campo eléctrico en los orbitales hidrogenoides se presenta a continuación.

Niveles hidrogenoides en un campo eléctrico uniforme.

14.2.2. Efecto Stark en una molécula lineal

Una molécula lineal con momento dipolar permanente (

µ

d

≠

0

) interactúa con un

campo eléctrico, modificando sus niveles rotacionales y su espectro. A este fenómeno se le denomina efecto Stark.

Considere un campo eléctrico uniforme, en la dirección del eje z,

E

=

Ek

. El

hamiltoniano de interacción con el campo tiene la forma

cos

H

_E

= − ⋅

E

µ

_d

= −

E

µ

_d

θ

,

en donde

θ

es el ángulo que forman el campo eléctrico y el eje molecular. El hamiltoniano de referencia corresponde al hamiltoniano del rotor rígido,

H L I 0 2 2 = , E( )

(

)

I J J JM 0 2 2 1 = + , ΨJM( ) JM YJM

( )

0 _{= =}

θ φ

, .

Los elementos de la matriz de perturbación pueden evaluarse directamente,

(

)

′ ≡ ′ ′ ′ = − ′ ′ = − + ′ ′ ′ + − ′ − ′ H J M H JM E J M JM E A A J M JM d d JM J J J M J J M M , , , , , cos

µ

θ

µ

δ

1 1

δ

1

δ

, en donde

(

)

(

)(

)

A

J

M

J

J

JM 2 2 2

1

2

1 2

3

=

+

−

+

+

.

Así, a primer orden no hay efecto en el estado no degenerado (J =0), ni en los estados

degenerados (J >0),

(

)

′

_′

= −

₊

+

_{− − ′}

=

H

_{JM JM,}

E

µ

_d

A

_JM

δ

_{J J, 1}

A

_{J 1,M}

δ

_{J J, 1}

δ

_{M M,}

0

.

Para J =0, a segundo orden,

( ) w H E E I I E JM J JM d 00 2 00 2 0 00 2 2 3 2 2 2 = − ′ − = − ≠ ,

µ

, por lo que ( )

W

E

w

I

I

E

d 00 0 00 2 2 2 2

3

≈

+

= −

µ

.

Cuando J >0, los estados con el mismo valor de J son 2J+1 veces degenerados.

Para calcular la corrección a segundo orden en la energía es necesario evaluar los algunos coeficientes de primer orden, como se ve en la ecuación correspondiente,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

=

0 _′ 2

+

1 _′ 1

−

1 _{′′ ′′}

′

_{′ ′′ ′′} ′′ ′′

a

_{JM JM}

w

_JM

a

_{JM JM}

w

_JM

a

_{JM J M}

H

_{JM J M} J M , , , , , o bien, ( ) ( )

(

( ) ( )

)

a_{JM JM}0_{, ′}w_JM2 = −E

µ

_d a_{JM J}1_{, −1M′}A_J−1,M′ +a_{JM J}1 _{, +1M′}A_JM′ . Estos coeficientes se calculan con la ecuación de primer orden,

( ) ( ) ( )

a

a

H

E

E

E

I A

J

A

J

a

JM J M JM J M J M J M J M J J d JM J J J M J J JM JM , , , , , , , ′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′ ′ ′ + − ′ ′ − ′

=

′

−

=

+

−

1 0 2 1 1 1 0

1

µ

δ

δ

, y, al sustituir en la ecuación de segundo orden,

( ) ( ) ( )

(

)

(

(

)(

)

)

(

)(

)

(

)

( )

a

w

E

Ia

J J

J J

M

J

J

E

I

J

J

M

J J

a

JM JM JM d JM JM d JM JM , , , ′

=

₊

′ ′

+ −

′

−

+

=

−

+

−

′

+

0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0

1

1

3

2

1 2

3

2

1 2

3

1

3

1

µ

µ

. Entonces, para a( )_{JM JM}0_, ≠0, la corrección a segunda orden resulta ser

( )

(

)(

)

(

)

w

E

I

J

J

M

J J

JM d 2 2 2 2 2

2

1 2

3

1

3

1

=

−

+

−

+

µ

_, por lo tanto,

(

)

₍

₎₍

₎

₍

₎

W I J J E I J J M J J JM d ≈ + + − + − + 2 2 2 2 4 2 2 1 2 2 1 2 3 1 3 1

µ

.

En este caso, las transiciones permitidas están dadas por la regla de selección ∆J =1

y ∆M =0. Por lo tanto, el campo genera un corrimiento y un desdoblamiento del

espectro.

Líneas espectrales de un rotor rígido en presencia de un campo eléctrico uniforme (negro) y sin campo

(verde)

Una representación del efecto del campo sobre los estados se muestra en la figura siguiente. Los efectos del campo sobre las líneas espectrales dependen del cuadrado del momento dipolar, por lo que con esta espectroscopía es posible determinar su

Estados de un rotor rígido en presencia de un campo eléctrico uniforme.

14.3. Interacciones magnéticas

14.3.1. Efecto Zeeman

Al aplicar un campo magnético uniforme en la dirección del eje z, el hamiltoniano de interacción tiene la forma

H

_B

= −

µ

_m

⋅

B

,

en donde el momento magnético depende del momento angular del sistema, por ejemplo

µ

µ

µ

µ

m L B L S B S I B I g L g espacial g S g espín g I g núcleo = − = − ≈ 1 2 .

H_B = B

µ

_BM_L.

El átomo de berilio en su estado basal está representado por el término espectroscópico

1 0

S , mientras que el estado excitado 1s2_2s1_2p1 _{tiene L}=_1,

_S

=

_{0 1}

_,

_y

_J

=

_{1 0 1}

_{, , ,2}

_{, por lo}

tanto le corresponden los términos 3 0 P , 3 1

P

, 3 2

P

y 1 1

P

. Como la regla de selección en

átomos es ∆S=0, ∆L= ±1 y ∆J = ±1, entonces se observa la transición 1S₀→1P₁. La presencia del campo magnético separa a las tres componentes (L=1) del estado final

(1 1

P

), con un espaciamiento uniforme, pero el estado inicial (1S0) permanece sin

cambio. Por lo tanto, el campo magnético permite resolver las tres transiciones asociadas con la línea espectral, generando tres líneas unformente espaciadas, con separación

µ

BB.

Efecto del campo magético en algunos estados del átomo de berilo.

Cuando S≠0, se tiene un momento magnético total, debido al acoplamiento de los

momento angulares orbital y de espín,

µ

m gJ

µ

B

J

La energía de interacción de los estados de la base acoplada queda en la forma

JLSM

_J

H JLSM

_{B J}

=

g

_J

µ

_B

BM

_J,

en donde la constante

g

J se denomina factor g de Landé y está dado por

(

)

(

) (

₍

)

₎

(

)

g

g

J J

S S

L L

J J

J

= +

S

−

+ +

+ −

+

+

1

1

1

1

1

2

1

.

Con esta expresión es posible calcular el efecto del campo sobre cada estado de los multipletes. Observe que cada multiplete tiene una separación distinta, ya que depende de los tres número cuánticos de momento angular.

La rotación de una molécula sin momento angular electrónico total también da origen a un momento magnético, por lo que los estados rotacionales interactúan con el campo en la forma

H_B = Bg_mol

µ

_BM_J.

Sin embargo, para estos casos, la constante g molecular normalmente presenta valores muy pequeños.

Aunque el efecto Zeeman queda descrito a primer orden, es curioso que el efecto Stark, que tiene efectos de segundo orden, produce efectos más fuertes.

14.3.2. Interacción del campo magnético con el espín nuclear

Tanto el protón como el neutrón tiene espín I = 1

2. Por lo que en un núcleo se

produce un acoplamiento de los momentos angulares de espín. En forma similar al caso de los electrones en un átomo, tambien se tiene estados nucleares que dan origen a la estructura nuclear, aunque en la mayoría de los casos, el núcleo se encuentra en el estado basal, ya que las energías de excitación son muy grandes.

El momento magnético asociado al espín nuclear es proporcional al momento angular de espín, pero la constante g es distinta para cada núcleo. Así,

µ

m A gI A

µ

n

I

en donde

µ

n es el magnetón de Bohr del protón. La interacción de un núcleo con un

campo magnético está dada por el hamiltoniano

H

IB

= −

µ

m

⋅

B

.

Cuando hay varios núcleos, se tiene que

,

HIB m A B

A

= −

µ

⋅ ,

mientras que la presencia de los electrones genera una respuesta al campo tratando de minimizarlo, por lo que los núcleos sienten un campo apantallado,

( )

~

_~

,

H

_{IB m A}

I

B

A

= −

µ

−

σ

,

en donde

σ

~

es el tensor de apantallamiento magnético debido a los electrones,

~

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

=

11 12 13 21 22 23 31 32 33 .

Normalmente se usa una aproximación isotrópica del tensor de apantallamiento,

~

~

σ

σ

σ

σ

σ

iso iso iso iso iso

I

≡

=

0

0

0

0

0

0

, en donde

(

)

σ

iso

=

1

σ

+

σ

+

σ

3 11 22 33 .

Dentro de esta aproximación, el hamiltoniano de interacción toma la forma

(

)

,

(

)

,

H

IB A

B

g

I

B

iso m A A A iso I A B A A

≈ −

1

−

σ µ

⋅ = −

1

−

σ

µ

⋅

,

y para un campo en dirección del eje z,

B

=

Bk

,

(

)

,

H

_{IB A}iso

g

_{I A} B

B

I

A A

Adicionalmente, el tensor

σ

~

puede escribirse en términos de la aproximación isotrópica,

(

)

(

)

(

)

(

)

~

~

~

~

~

σ σ

σ σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

=

+

−

=

−

−

−

−

−

−

−

iso iso iso

I

1 3 11 22 33 12 13 21 1 3 22 11 33 23 31 32 1 3 33 11 22

2

2

2

.

Considere como ejemplo el caso de varios núcleos, cada uno caraterizado por su espín,

{ }

I_A . El hamiltoniano de interacción con el campo magnético, en la aproximación isotrópica, puede escribirse como

(

)

H

_{IB A} A

BI

A A

= −

1

−

σ α

₃,

en donde las constantes

α

A

=

g

I A,

µ

n son características de cada núcleo. En la base

desacoplada, la energía de interacción tiene la forma

(

)

(

)

(

)

E m m H m m B m m I m m B m m m m m m B m m IB A A A A A A A A A A A A 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 = = − − = − − = − −

σ α

σ α

σ α

.

14.3.2.1. Ejemplo: sistema con dos núcleos

Para el caso con I₁ I₂ 1 2

= = y con

α

1 <

α

2, hay cuatro estados de la base

desacoplada y sus energías son

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

E B E B E B E B − − − − = − + − = − − + − = − − − = − − − − 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , ,

σ α

σ α

σ α

σ α

σ α

σ α

σ α

σ α

.

En este caso, la regla de selección es

∆

m

_i

= ±

1

,

∆

m

_{j i≠}

=

0

, por lo que se presentan

(

)

(

)

E

E

B

E

E

B

m m m m m m m m 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2

1

1

− −

−

=

−

−

=

−

, , , ,

σ α

σ α

,

dos con el primer valor, para m₂ 1

2

= ± , y dos con el segundo valor, donde m₁ 1

2 = ± . Cuando las constantes

α

A son muy diferentes, las dos transiciones aparecen en zonas

muy alejadas.

Estados de la base nuclear desacoplada y sus transiciones.

Tradicionalmente, en la espectroscopía RMN una transición se reporta como la diferencia relativa de la energía de transición con respecto a un estándar. Esta diferencia relativa, denominada desplazamiento químico, es adimensional y se expresa en partes por millón (ppm), y se define como

δ

ω

ω

ω

≡

∆

−

∆

=

−

∆

E

E

E

ref ref ref ref .

Para la resonancia de hidrógeno (protón), la energía de referencia corresponde al tetrametilsilano (TMS: Me4Si). En esta molécula todos los hidrógenos son equivalentes,

Para la molécula H-F,

α

2 =

α

F >>

α

H =

α

1, y sus cuatro transiciones se representan

en la figura previa. Estas transiciones generan solamente dos señales muy separadas. Normalmente se requieren de experimentos independientes para observar las

transiciones de núcleos distintos ya que las señales aparencen en rangos de energía diferentes.

Si se tienen dos núcleos iguales,

α

1 =

α

2, pero en ambientes diferentes,

σ

1 ≠

σ

2, las

transiciones generan dos señales asociadas con las energías siguientes,

(

)

(

)

E

E

B

E

E

B

m m m m m m m m 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2

1

1

− −

−

=

−

−

=

−

, , , ,

σ α

σ α

.

14.3.3. Interacción entre los espines nucleares

El hamiltoniano de interacción entre el momento angular de espín de dos núcleos tiene la forma

HII = J I ⋅I

12

2 1 2,

en donde la constante J₁₂ se denomina constante de acoplamiento y normalmente se

determina a partir del espectro experimental, ya que depende del ambiente que rodea a cada núcleo y de su separación.

Para el caso de dos núcleos iguales con ambientes diferentes, la energía de

interacción entre los núcleos puede evaluarse perturbativamente. Debido a que no hay estados degenerados, la energía de interacción tiene la forma siguiente,

( ) w m m H m m J m m I I I I I I m m J m m m m_{1 2} II 1 1 2 1 2 12 2 1 2 13 23 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 1 2 , = = + + = + − − + _.

Por lo tanto, los estados se estabilizan cuando m₁ = −m₂,

w

( )1 1

J

4 12

= −

, mientras que su

líneas espectrales, por lo que ahora ya no hay transiciones con energías iguales. En este caso se puede decir que las señales se han desdoblado debido a la interacción. Estos efectos se nuestran en las gráficas siguientes.

Efecto de la interacción entre dos núcleos

Si se tienen tres núcleos iguales, con diferente ambiente cada uno, hay tres grupos de señales, una por cada nucleo. En cada grupo se observan los desdoblamientos debido a las interacciones presentes

14.3.3.1. Ejemplo: dos nucleos equivalentes

Cuando se tienen dos núcleos equivalentes,

α

1 =

α

2 y

σ

1 =

σ

2, se presenta una

degeneración doble al considerar la interacción con el campo,

(

)

(

)

E

B

E

E

E

B

− − − −

=

−

=

=

= −

−

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1

0

1

, , , ,

σ α

σ α

.

Para evaluar perturbativamente el efecto de la interacción entre los núcleos en los estados

degenerados es necesario resolver el problema matricial

H C

~

′ =

w C

( )1

,

en donde

~ ~ ′ = ′ ′ ′ ′ = = − − − = − − − − − − − − − − − H H H H H J J JM 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 1 2 2 1 .

Resolviendo, se obtiene que

w

( )1 3

J

J

4 1 4

= −

,

y las funciones de orden cero son los kets

de la base acoplada. La interacción entre los núcleos rompe la degeneración como se observa en la figura siguiente.

Para este caso, la regla de selección es ∆I =0 y ∆M_I = ±1. Por lo tanto, se observan

dos transiciones,

11

→

10

y

10

→ −

1 1

, con energías idénticas, debido a que los

tres estados con espín total I =1 se ven efectados de la misma forma. Así, el espectro

muestra sólo una señal, de intensidad doble.

14.3.3.2. Ejemplo: dos núcleos equivalentes con un vecino distinto

Para este tipo de sistema, el hamiltoniano tiene la forma

( )

( )

( )

( )

,2

( )

,

( )

,

H =h_IB 1 +h_IB 2 +h_IB 3 +h_II 1 +h_II 1 3 +h_II 2 3 .

Si se toma el sistema de dos núcleos equivalentes como sistema de referencia, entonces se pueden aprovechar los cálculos previos, así,

( )

( )

( )

,2

(

)

(

)

H

0

=

h

IB

1

+

h

IB

2

+

h

II

1

= −

α

1

−

σ

B

I

13

+

I

23

+

J

2

I

1

⋅

I

2,

( )

( )

,

( )

,

(

)

′ = + + = − − ′ + ′ + ⋅

H h_IB 3 h_II 1 3 h_II 2 3

α

1

σ

BI₃₃ J₂ I₁ I₂ I₃.

Los kets del problema anterior son los kets propios de

H

₀, por tanto, el producto directo

de aquellos kets con los kets del espín del tercer núcleo forman una base desacoplada de los tres núcleos,

IM m

_{I 3} . Con estas funciónes, la energía a primer orden tiene la forma

( )

₍

₎

(

)

(

)

w IM m H IM m Bm J IM m I I IM m Bm J IM m I I I I I I IM m Bm J M m IM m I I I I I z I I I 3 1 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 33 1 2 3 1 2 3 3 3 3 1 1 1 = ′ = − − ′ + ′ ⋅ = − − ′ + ′ + + = − − ′ + ′ + − − +

α

σ

α

σ

α

σ

,

en donde I ≡ +I₁ I₂. Por lo tanto,

(

)

[

(

)

]

(

)

E

IM m H IM m

IM m H

H IM m

BM

J I I

Bm

J M m

IM m I I I I I I I 3 3 3 3 0 3 1 2 3 2 3 3

1

1

1

=

=

+ ′

= −

α

−

σ

+

+ − −

α

− ′

σ

+ ′

.

Con la regla de selección ∆I=0, ∆M_I =0 y

∆

m

₃

= ±

1

se tienen las transiciones

(

)

EIM_I,−1 2 −EIM_I1 2 =

α

1− ′ − ′

σ

B J MI.

Para

I

=

0 1

,

, se obtienen cuatro transiciones, dos de ellas con la misma energía

(M_I =0). Por lo tanto, el espectro presenta tres señales uniformemente espaciadas y la

señal central tiene intensidad doble. Estas señales están asociadas con el

desdoblamiento que presenta la línea del tercér núcleo debido a la interacción con sus dos vecinos que son equivalentes.

Estados del sistema formado por tres núcleos, dos equivalentes y uno vecino distinto. Por otro lado, para ∆I =0, ∆MI = ±1 y

∆

m

3

=

0

, se tienen transiciones con la

energía siguiente,

(

)

E_{IM m} E_{IM m} B J m

I−1, 3 − I 3 =

α

1−

σ

− ′ 3.

En este caso, sólo los estados con I =1 están involucrados y se tienen cuatro

transiciones, M_I =1 0, y

m

₃ 1 2

= ±

. Éstas se agrupan en dos señales, cada una asociada

con dos transiciones idénticas. Este grupo de líneas está asociado con el desdoblamiento de la señal de los dos núcleos equivalentes debido a la interacción con el vecino, ya que el centro del grupo coincide con la señal que presentarían ambos núcleos en ausencia del tercero.

Señales de tres núcleos, dos equivalentes y uno vecino distinto. En general, el grupo de señales de un conjunto de núcleos equivalentes contiene n+1 líneas, en donde

n

es el número de núcleos vecinos.

Para el caso particular en que el tercer núcleo es equivalente a los otros dos, se pueden acoplar los momentos angulares.La energía de estos estados está dada por

(

)

(

(

)

)

E

_{I M}

I M H I M

_{I I}

BM

_I

J I I

I ′ ′

= ′ ′

′ ′ = −

α

1

−

σ

′ +

12

′ ′ + −

1

9 4 .

La regla de selección, ∆ ′ =I 0 y ∆ ′ = ±MI 1, predice cinco transiciones, todas con la

misma energía de excitación, por lo que sólo hay una señal para los tres núcleos equivalentes. En general, un grupo de núcleos equivalentes sin vecinos produce una señal.

14.3.4. Resonancia del espín electrónico

Una molécula con uno o más espínes desapareados (S≠0) presenta un momento

magnético que puede interactuar con un campo. Esta interacción da origen a la espectroscopía de resonancia del espín electrónico (ESR). En la resonancia magnética nuclear se usan campos muy fuertes, por lo que la interacción del campo con el espín nuclear constituye el efecto dominante. Por otro lado, en la espectroscopía ESR se usan campo menores debido a que la respuesta electrónica en más grande, en este caso, la interacción entre los momentos magnéticos ya no es pequeña. Tradicionalmente se han usado dos modelos para describir la espectroscopía ESR, con campo fuerte y con campo débil. En el primer caso, se toma a la interacción con el campo como el efecto más relevante, mientras que, en el segundo caso, se toma a la interacción entre momentos magnéticos como punto de partida.

El hamiltoniano en presencia del campo magnético incluye la interacción del campo con los momentos angulares y la interacción entre estos momentos angulares,

(

)

, '

H

H

H

H

H

g

B

S

g

B

I

J

I

I

j

I

S

SB IB II IS S B z I A n A A A AC A C A C A A A

=

+

+

+

=

−

−

+

⋅

+

⋅

>

µ

µ

1

σ

3 _{2 2} .

En cada modelo, el sistema de referencia es distinto y la teoría de perturbaciones conduce a expresiones diferentes. Las constantes jA dependen de la densidad

electrónica y normalmente a un valor grande de esta constante se le asocia una gran localización del electrón no apareado (densidad de espín).

En el modelo de campo fuerte, el hamiltoniano de referencia está asociado con la interacción con el campo, así,

H

₀

=

H

_SB

+

H

_IB,

H

′ =

H

_II

+

H

_IS,

y una base desacoplada es la más conveniente,

M m m

_{S 1 2} , con

M

_S

= −

S

,

,

S

, m_A = −I_A, ,I_A. A primer orden, la energía de estos estados está dada por

(

)

E

M m m

H

H M m m

Bg

M

B

g

m

J

M m m

I

I M m m

j

M m m

I

S M m m

M m m S S S B S I A n A A A AC S A C S A C A S A S A S 1 2 1 2 0 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

1

=

+ ′

=

−

−

+

⋅

+

⋅

> , '

µ

µ

σ

. o bien,

(

)

E

_{M m m}

Bg

_{S B}

M

_S

B

g

_{I A n A}

m

_A

J

m m

j m M

A AC A C A C A A S A S 1 2

=

−

1

−

+

+

>

µ

,

µ

σ

' _.

En el modelo de campo débil, la selección del hamiltoniano de referencia es diferente,

H

0

=

H

II

+

H

IS,

H

′ =

H

SB

+

H

IB.

En general, este caso es mucho más complicado, sin embargo, más adelante se muestra el uso de este modelo en un problema particular.

14.3.4.1. Ejemplo: radical libre que tiene sólo un núcleo con espín I= 1 2

Un radical es una especie con un electrón desapareado, S= 1

2. La energía de los

estados del modelo de campo fuerte tiene la forma

(

)

E_{M m} Bg_{S B}M_S Bg_{I n} m_I jm M_{I S} S I =

µ

−

µ

1−

σ

+ , en donde

M

_S

= ±

1 2 y mI = ± 1

2. La regla de selección para las transiciones electrónicas,

∆

M

S

= ±

1

y ∆mI =0, permite dos excitaciones,

E

_m

E

_m

Bg

_{S B}

jm

_I

I I

1 2

−

−1 2

=

µ

+

,

para m_I = ±1

2. Los cuatro estados y las transiciones permitidas están representados en

la figura siguiente. La regla de selección ∆mI = ±1 y

∆

M

S

=

0

está asociada con dos

líneas en el espectro RMN,

(

)

E_M E_M Bg_{I n} jM_S

Estados y transiciones electrónicas en el modelo de campo fuerte.

El espectro ESR para este caso se muestra en la figura siguiente. Además de las líneas asociadas con las transiciones permitidas aparece la derivada de la señal en color verde. La derivada permite localizar mejor el centro de cada línea y facilita la determinación de la constante de interacción

j

.

Espectro ESR y derivada de la señal (verde).

Este sistema permite que el modelo de campo débil pueda evaluarse con la base acoplada del espín total,

F

≡ +

S

I

. Con este operador, el hamiltoniano de referencia en

H₀ jI S₂ j F₂ I S

2 2 2 2

= ⋅ = − − .

Con la base acoplada, la energía de los estados resulta ser

( )

[

₍

_{) (}

_{) (}

₎

]

E

_FSIM

j F F

I I

S S

F 0 1 2

1

1

1

=

+ −

+ −

+

.

Como

F

=

0 1

,

, se tienen cuatro estados, tres de ellos degenerados.

La correción a primer orden, para F=0, corresponde a

( )

w

₀1 ₀ 1

H

_SB

H

_IB 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

0

0

0

0

=

+

.

Este ket de la base acoplada puede escribirse en términos de la base desacoplada,

[

]

0

1

0

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

=

,

− − −

,

, por lo que ( )

[

]

(

)

(

)

[

]

w

H

H

H

H

B

g

g

g

g

SB IB SB IB S B I I n S B I I n 0 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1

1

0

=

−

+

− + −

+

−

=

+

−

−

−

−

=

,

,

,

,

µ

σ µ

µ

σ µ

.

Así, para campos pequeños, la energía de este estado no depende del campo. Para F=1, se tienen estados degenerados, por lo que usando la teoría de

perturbaciones se obtiene la expresión siguiente,

( )

[

(

)

]

w

_M

B g

_{S B}

g

_{I n I}

M

_F F 1 1 1 2 1 2 1 2

1

=

µ

−

µ

−

σ

.

Así, la energía hasta primer orden toma la forma

( ) ( )

[

₍

₎

]

[

(

)

]

W

_{F M}

E

_{F M}

w

_{F M}

j F F

B g

S B

g

I n I

M

F F F F 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 1 2 3 2 1 2

1

1

≈

+

=

+ − +

µ

−

µ

−

σ

.

La variación de la energía de los estados como función de la intensidad del campo se muestra a en la figura siguiente. Para un campo débil, la regla de selección es ∆F=0 y

∆M_F = ±1, por lo que se observan dos señales de energía cercana. Estas señales se van

modificando conforme se incrementa la intensidad del campo, hasta llegar al límite del campo fuerte, en donde se tienen las dos transiciones descritas previamente..

Energía de los estados como función de la intensidad del campo.

14.3.4.2. Ejemplo: radical libre con dos núcleos con espín, I1 1 2

= e I2 =1

En el modelo de campo fuerte,

(

)

(

)

E

Bg

M

Bg

m

Bg

m

J m m

j m M

j m M

M m m S B S I n I n S S S 1 2 1 1 1 2 2 2 12 1 2 1 1 2 2

1

1

=

−

−

−

−

+

+

+

µ

,

µ

σ

,

µ

σ

, en donde

M

S

= ±

1 2 , m1 1 2

= ± y m2 = ±0 1, . Las transiciones electrónicas están

asociadas con la regla de selección

∆

M

_S

= ±

1

y ∆m₁ =∆m₂ =0, esto es,

E

_{1 2m m}

E

_{1 2m m}

Bg

_{S B}

j m

_{1 1}

j m

_{2 2}

1 2

−

− 1 2

=

µ

+

+

,

para m₁ 1

2

= ± y m₂ = ±0 1, . Por lo tanto, se tienen seis transiciones que corresponden a

seis señales. Por ejemplo, cuando j₂ > j₁, se tiene el espectro que se muestra en la figura siguiente.

Espectro ESR para un radical con dos núcleos con espín.

Estos ejemplo no agotan las posibilidades de los distintos tipos de interacción entre las moléculas y los campos eléctricos y mágneticos, pero muestran el uso de los métodos de la mecánica cuántica para describir algunos fenómenos que dan origen a algunos tipos de espectroscopía que son utilizados actualmente.