Modelado de la geometría del conducto auditivo externo mediante el método de los elementos finitos

Resumen: El objetivo del trabajo es diseñar un modelo

com-putadorizado tridimensional del conducto auditivo externo humano. Nos basamos en el método de los elementos finitos, que consiste en dividir un determinado recinto espacial en una malla de elementos simples conectados entre sí por no-dos, asociando después a cada elemento ecuaciones que defi-nen sus características físicas. Al resolver las ecuaciones resul-tantes se logra reproducir la realidad mediante una ejecución numérica computadorizada. El modelo reproduce las caracte-rísticas acústicas y mecánicas del conducto auditivo externo humano, lo que nos permitirá, tras acoplarlo a un modelo del oído medio, conocer la respuesta de ambos sistemas ante una excitación sonora, sin necesidad de acudir a mediciones reales o modelos biológicos. El desarrollo de este modelo computa-dorizado permite conocer las características mecanoacústicas del conducto, lo que facilita la comprensión de la fisiología de esta porción externa del órgano de la audición.

Palabras clave: Modelización. Conducto auditivo externo. Método elementos finitos.

Modelling of the geometry of the external auditory canal by the finite elements method

Abstract: The aim of this work is to design a computerized

3-D model of the human external ear, based on the finite elements method. The method consists to splitting a specific special area in a simple element net connected between themselves by nodes. The elements are associated to equa-tions that define their physical characteristics. We realize a coupling with the middle ear model to know the behaviour of both systems with an acoustic excitation without the use of real measures or biological models. The model simulates the acoustic and biomechanic characteristics of the human

external auditory canal. The development of a computeri-zed model allows a better knowledge of the external ear mechanic-acoustic behaviour, this makes easier understand the physiology of the human external ear.

Key words: Human external ear. 3-D model. Finite elements method.

INTRODUCCIÓN

El oído externo capta las ondas vibratorias que son transportadas por el aire y las conduce al oído medio de donde pasarán a la cóclea aún en forma de vibración mecá-nica, en el órgano de Corti serán transformadas en impulsos eléctricos. Hasta el momento en el que la vibración se trans-forma en un potencial de acción sigue las leyes de la mecá-nica y por tanto su comportamiento puede ser modelizado.

Para comprender el comportamiento del conducto au-ditivo externo (CAE) en cuanto a la fisiología de la audición se refiere, se han utilizado modelos biológicos animales o humanos1,2_{, modelos físicos o modelos matemáticos}3_.

Se han descrito los resultados obtenidos al modelizar el oído medio empleando para ello el método de los ele-mentos finitos4-7_{. Pero la onda sonora no alcanza el oído} me-dio directamente sino que, desde el foco emisor, viaja por el aire, es captada por el pabellón auricular y transformada en una onda plana en el CAE. La onda sonora en el oído exter-no exter-no es simplemente vehiculizada sin más, siexter-no que debi-do a la morfología del pabellón y sobre todebi-do a la del con-ducto, van a potenciarse algunas frecuencias (denominadas de resonancia) frente a otras que resultan preteridas.

En el trabajo que nos ocupa describimos los pasos reali-zados hasta modelizar tridimensionalmente el CAE mediante el método de los elementos finitos, las dificultades encontra-das, el modelo obtenido y, por último, su validación.

Es decir, el objetivo del presente trabajo es diseñar un modelo 3D del CAE humano que nos permita comprender su comportamiento acústico. En trabajos futuros, ya en fase de realización, lo ensamblamos con un modelo 3D del oído medio. El conducto es modelado aplicándole las propieda-des del aire para, a continuación, limitarlas mediante unas

Modelado de la geometría del conducto auditivo

externo mediante el método de los elementos finitos

L.A. Vallejo

_{, V. M. Delgado}

_{, A. Hidalgo}

_{, E. Gil-Carcedo}

_{, L. M. Gil-Carcedo}

_{, F. Montoya}

1_{Hospital Universitario Río Hortega. Universidad de Valladolid.} 2_{Departamento de Ingeniería Mecánica e Ingeniería de los Procesos de Fabricación.}

Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. Universidad de Valladolid. 3_{Departamento de Acústica del Centro de Investigación y}

Desarrollo de la Automoción (CIDAUT). Universidad de Valladolid.

INVESTIGACIÓN BÁSICA

Correspondencia: Luis Ángel Vallejo Valdezate

Departamento de Cirugía, Oftalmología y Otorrinolaringología. Facultad de Medicina. C/ Ramón y Cajal, s/n. 47006 Valladolid E-mail: [email protected] Fecha de recepción: 25-5-2005 Fecha de aceptación: 10-1-2006

condiciones de contorno, de forma que el modelo resultante simule los procesos vibroacústicos que en él acontecen. MATERIAL Y MÉTODOS

De forma general el desarrollo de este modelo se divi-de en tres partes:

1. Preprocesado.

• Generación de la geometría del modelo con el pa-quete informático I-DEAS.

• Definición del tipo de elementos a utilizar y mallado de la geometría con el programa HYPERMESH, verificando su validez.

• Determinación, mediante el programa SYSNOISE, del tipo de análisis a realizar, ya sea mediante elementos fi-nitos (método finalmente elegido) o mediante elementos de contorno.

• Definición en SYSNOISE del material que constituirá el CAE (aire) e imposición de las condiciones de contorno del modelo.

2. Procesado.

• Cálculo y resolución de las ecuaciones planteadas utilzando el software SYSNOISE.

3. Postprocesado.

• Evaluación de los resultados.

El movimiento ondulatorio supone la transmisión de una perturbación entre dos puntos sin transporte alguno de materia, lo único que se transmite entre ambos es energía. Supongamos un pulso o un tren de ondas defini-do por la siguiente ecuación denominada ecuación de ondas

x t

y(x,t) = A.cos2π





λ T

Teniendo en cuenta que la frecuencia puede definirse como f=1/T o la frecuencia angular ω = 2πf la ecuación que-dará:

x

y(x,t) = A.cos2π





El desplazamiento de un punto quedará definido si se conoce la amplitud de las oscilaciones y otras dos magnitu-des una espacial (λ o k) y otra temporal (T, f o ω).

Para aproximarnos al comportamiento del CAE y cal-cular las frecuencias propias de vibración lo asemejamos a un tubo cilíndrico, cerrado en uno de sus extremos por una pared perpendicular al eje de dicho tubo, que hace las veces de membrana timpánica. El tubo se adapta, sólo en algún dato como veremos en el apartado Resultados, a las medi-ciones y formas obtenidas del molde de pacientes a los que se iba a adaptar un audífono. El cálculo de estas frecuencias propias es importante puesto que en ellas surgirán las ma-yores diferencias de presión entre un punto situado cerca de la membrana timpánica y un punto situado en la sección de entrada del CAE.

Hipótesis aplicable y ecuación de onda acústica

El objetivo último de nuestro estudio es el conocimien-to de la evolución espacial y del comportamienconocimien-to en fun-ción de la frecuencia de la presión acústica dentro del espa-cio tridimensional que vamos a abarcar. Disponemos de tres expresiones que vamos a poder relacionar entre sí para, bajo ciertas hipótesis que estableceremos a continuación, obtener una ecuación que describa el comportamiento espa-ciotemporal de la presión acústica.

• Ecuación de continuidad o de conservación de la masa

δρ

+ ∇(ρ៬ν) = 0 (3)

δt

• Ecuación de conservación de la cantidad de movi-miento

δ៬ν

ρ. + ρ.៬ν.ញញ∇(៬ν) = ρ.៮៬fm+ ៮៬∇(ញញτ’) - ៮៬∇(P) (4)

δt

• Sobre la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento consideraremos despreciables las fuerzas mási-cas debido a que el fluido con el que nosotros trabajaremos será aire.

Tampoco tendremos en consideración fuerzas tangen-ciales de fricción.

De este modo la expresión (4) quedará descrita así, δ៬ν ρ. + ρ.៬ν.ញញ∇(៬ν) = - ៮៬∇(P) (5) δt • Ecuación de estado, δp ρ’ p’ =

 

Asumimos un comportamiento acústico lineal, por lo que podemos despreciar los términos de orden superior en la serie de Taylor que define la evolución de la presión con la densidad.

Experimentalmente se ha comprobado que los proce-sos acústicos son proceproce-sos casi adiabáticos puesto que el in-tercambio de energía térmica entre las partículas del fluido es insignificante. Es decir durante el tiempo de perturbación la conductividad térmica del fluido y el gradiente de tem-peratura en el medio serán despreciables.

En resumen, trabajaremos bajo la presunción de que nuestro fluido es un fluido ideal, puesto que no considera-remos ni fuerzas de fricción debidas a la viscosidad, ni gra-dientes de temperatura en el interior de nuestro modelo de-bido a la escasa conductividad térmica.

Así pues, podemos concluir que los procesos acústicos son fenómenos que se desarrollan a entropía constante (isentrópicos) puesto que además de ser adiabáticos son ideales.

Sólo queda por formular una última hipótesis y es que los campos de velocidad, presión y densidad les podremos representar superponiendo pequeñas perturbaciones a un campo uniforme (ambiente), de modo que,

p= po+ p’

ρ = ρo+ ρ’ (7)

៬ν = ៮៬ν’

Donde, en la expresión que relaciona las velocidades, se ha considerado que el ambiente se encuentra en reposo, es decir que ν៮៬o= 0.

Método de los elementos finitos en acústica

El método de los elementos finitos consiste en dividir un determinado recinto espacial en una malla de elementos simples (denominados elementos finitos y conectados entre sí por nodos) y asociar a cada elemento ecuaciones que des-criban ciertas características físicas de los mismos. Posterior-mente se resolverá el sistema de ecuaciones resultante, de forma que el objetivo será reproducir la realidad a partir de la resolución numérica por ordenador de las ecuaciones que gobiernan dicha realidad. Este tipo de estudio ha significado un importante avance tecnológico puesto que permite cono-cer el comportamiento de lo que es el objeto de nuestro estu-dio antes de que se encuentre en servicio real, pudiendo de esta forma evitar problemas antes de que se produzcan.

En acústica lo que se pretende es calcular el campo so-noro que existe en un recinto conocidas sus condiciones de contorno, para ello el método implica la resolución de la ecuación de ondas (ecuación 1).

Hipótesis básicas de un modelo de elementos finitos: • El volumen del recinto se dividirá en un número fini-to de elemenfini-tos, cuyo comportamienfini-to se define mediante un conjunto finito de parámetros. Los elementos están conec-tados entre sí mediante un número discreto de puntos, deno-minados nodos, situados fundamentalmente en el contorno de los elementos (aunque pueden existir nodos interiores). La presión en los nodos será la variable incógnita del problema.

• El campo de presiones dentro de cada elemento vie-ne determinado por las funciovie-nes de forma, que relacionan esta distribución con el valor de la presión en los nodos, de modo que,

p’(x,y,z) = [N(x,y,z)]e{p’}e

donde,

N(x,y,z) son las funciones de forma.

{p}ees el vector de la presión sonora en los nodos.

Las funciones de forma se eligen por el usuario, cuan-do se crea el modelo, al elegir el tipo de elemento.

RESULTADOS

El primer logro del trabajo es calcular los sistemas pro-pios de vibración de la estructura del CAE, los cuáles

con-tienen la información necesaria de todos los nodos, e impor-tarlos sobre nuestra malla acústica como una condición más de contorno sobre la zona más interna del conducto, donde se produce la unión con la membrana timpánica.

Inicialmente el diseño fue planteado de manera que el canal se comportase como un transformador de una onda esférica, emitida desde un punto situado en el exterior de la cabeza, en una onda plana. Para conseguirlo propusimos un diseño como el mostrado en la Figura 1.

El modelo, como puede apreciarse, estaba formado por la malla correspondiente al CAE (constituida, además, por secciones elípticas que descartaríamos más adelante) y por la correspondiente a una semiesfera acoplada a la entrada del mismo, que pretendía emular el campo de presiones fuera de la cabeza del individuo.

Para ello se pensó en asignar a los elementos situados en la superficie externa de la semiesfera condiciones de tipo

Sommerfield, de manera que pudiera simularse así el hecho de que las ondas reflejadas en el tímpano no volvieran a re-flejarse en la sección de entrada al CAE. Estos elementos se denominan elementos finitos infinitos y poseen ciertas pe-culiaridades en cuanto a sus funciones de forma. Estas se definen de manera que, entre otras cosas, la amplitud decai-ga al incrementarse la distancia de alejamiento del punto del campo externo respecto a la fuente.

Aparte de la malla en sí resultaba lógicamente necesa-rio situar una fuente de ondas que cumpliera con el cometi-do de excitar el modelo. La fuente elegida, como hemos mencionado, fue una fuente puntual de ondas esféricas si-tuada en el interior de la semiesfera. Sin embargo el modelo fue abandonado, dado que el resultado de los cálculos plan-teados no se ajustaba a las mediciones reales.

1. Diseño de la geometría del CAE

Diseñamos un primer modelo basado en mediciones obtenidas del molde de un paciente a quien se iba a im-plantar un audífono. Su geometría era perfectamente defini-da puesto que conocíamos todo el conjunto de secciones

transversales, situadas perpendicularmente al eje curvo del canal, que limitaba el conducto de un individuo en particu-lar. Sin embargo las dimensiones del conducto no eran pro-porcionales con las del modelo del oído medio con el que pretendíamos ensamblar por lo que fue abandonado.

De este primer modelo, sin embargo, aprovechamos la forma del eje curvo que ha permanecido invariable y nos ha servido como columna vertebral en el diseño del resto del modelo. A partir de su forma lo dividimos en tantas partes, equidistantes entre sí sobre la longitud del eje curvo, como número de secciones conocíamos a partir de los datos apor-tados por Stinson y Lawton1_.

Basándonos en estos puntos de división construimos planos normales a la tangente del eje curvo en cada punto, y sobre ellos dibujamos las secciones con su forma corres-pondiente. Una vez construidas todas las secciones procedi-mos a cubrirlas mediante una envolvente que contuviera a todas ellas.

Intentamos construir otro formado por secciones circu-lares de radio variable y de esta forma obtener un modelo con un diseño de líneas muy suave en el que, además, el área de cada una de sus secciones respeta la evolución que se le supone al área promedio a lo largo de la longitud del canal.

Esta función área es una función promediada entre to-das las muestras utilizato-das en el trabajo de Stinson y Law-ton1_{, a partir de una muestra de 15 individuos,} consideran-do tanto la proporcionalidad entre estas medidas y el modelo 3D del oído medio desarrollado por nuestro grupo,

como el eje curvo del que partimos al desarrollar el primer modelo.

Todas las secciones que constituyen el modelo son elípticas salvo aquella que se coloca en la situación ideal que se le presupone a la membrana timpánica. Esto es debi-do a que en esa sección pretendemos que se produzca el en-samble físico con el modelo de elementos finitos que contie-ne tanto a la membrana como a los huesecillos, y puesto que la membrana se ha construido con una base circunfe-rencial, debemos tratar de amoldar nuestro diseño a ese modelo. El resultado se muestra en la Figura 2.

La dificultad con la que nos encontramos era la dispo-sición relativa entre secciones adyacentes a lo largo del CAE por lo cual desarrollamos un modelo nuevo construido con secciones circulares de forma que se obviara el problema de la disposición de las secciones adyacentes

En este modelo el conducto se construye empleando secciones transversales cuyo perímetro, en todo caso, fuese una circunferencia.

De la misma forma que promediamos el área, prome-diamos la forma y disposición del eje curvo que discurre entre los centros de masas de todas las secciones transversa-les. Para ello hicimos igualmente uso de las muestras apor-tadas por Stinson y Lawton1_{. Los parámetros que definen} las proyecciones de los ejes curvos de quince individuos di-ferentes sobre dos planos vienen establecidos mediante las siguientes expresiones:

γx(z)=a1+a2.z+a3.cos(β.z)+a4.cos(2β.z)+a5.sen(β.z)+a6.sen(2β.z)

γy(z)=b1+b2.z+b3.cos(β.z)+b4.cos(2β.z)+b5.sen(β.z)+b6.sen(2β.z)

Con lo cual podemos obtener una curva en tres dimen-siones para cada muestra.

Sin embargo, de todas ellas, nosotros únicamente utili-zamos cinco, puesto que nueve corresponden a canales au-ditivos izquierdos mientras que nosotros estamos fijando nuestra atención en conductos correspondientes al lado de-recho del sujeto. Esto no tiene otra explicación que la limita-ción que nos impone el modelo de elementos finitos corres-pondiente a la membrana timpánica y los huesecillos realizado con anterioridad.

El modelo resultante fue el elegido ya que era el que mejor se ensamblaba con el modelo del oído medio y cuyas respuestas más se acercaban a las mediciones reales. El mo-delo se muestra en la Figura 3.

Una vez elegida la geometría del conducto procedimos a ensamblar nuestro modelo con el modelo que componen la membrana timpánica y los huesecillos. Lo hicimos a tra-vés de la sección circunferencial que habíamos construido previamente en el extremo interno del CAE. El resultado queda representado en la Figura 3. En él se puso especial atención a la inclinación del CAE respecto a los huesecillos y a que las secciones del fondo del CAE y la correspondien-te a la membrana timpánica fuesen coplanarias.

Elegida la geometría del CAE y realizado su ensambla-je con el modelo del oído medio, viendo que su

miento se asemejaba a las mediciones reales obtenidas de la literatura, procedimos a su mallado que, además del volu-men del CAE, también ha de cubrir el voluvolu-men encerrado entre la membrana timpánica y la zona de ensamblaje con el conducto.

Realizamos un primer mallado exterior (en superficie) a modo de cáscara, a partir del que seguidamente defini-mos el mallado en volumen del conjunto. Un punto impor-tante era respetar el mallado de la membrana timpánica pa-ra poder hacer efectivo el ensamblaje, con lo cual teníamos que hacer coincidir los nodos y elementos de la membrana con los de la zona más profunda del conducto auditivo.

También consideramos importante la elección del ta-maño de malla. Para ello hemos de tener en cuenta lo que queremos representar. Puesto que nuestra intención es re-presentar variaciones sinusoidales que se moverán en un rango de entre 20 Hz y 20 KHz, procuraremos que estas va-riaciones se aprecien claramente sin que ello reporte una in-versión de tiempo y recursos excesiva a la hora de realizar los cálculos por parte de la computadora.

El tamaño de malla, en este caso, estará limitado por la frecuencia de 20 KHz puesto que ésta implicará la menor longitud de onda que deberemos representar, ya que,

c

λ = = 1,7 cm

f

donde c es la velocidad de propagación del sonido en el aire (343 m/s).

En consonancia con esto, el tamaño de elemento elegi-do es de aproximadamente 0,34 mm. Además de la elección del tamaño de elemento acorde con los resultados que se

pretenden, el mallado ha ser lo más homogéneo posible y ejecutado de manera que ningún elemento se incruste en otro.

2. Aplicación de las condiciones de contorno

Planteamos como condición una velocidad variable a la entrada del conducto, con objeto de conseguir, para todo el rango de frecuencias audible, un valor del módulo de presión en torno a 80 dB justamente delante de la membra-na timpánica.

Suponer ese nivel de presión en la parte más interna del canal para todo el rango audible implica que la veloci-dad de la onda emitida por la fuente de excitación situada en la entrada sea variable y dependiente de la frecuencia. Entonces, se plantea la cuestión de cómo determinar la fun-ción velocidad de excitafun-ción-frecuencia. La respuesta no es simple puesto que la enorme influencia de la morfología del conducto hace muy difícil establecer esa relación de forma que respete el valor del módulo de presión en puntos muy cercanos al tímpano.

A partir de aquí imponiendo, como hemos dicho, un valor de presión de 80 dBs. sobre la cara interna del canal, obtendremos toda una colección de valores para la ampli-tud de la velocidad en el rango de frecuencias audible.

3. Frecuencias propias del CAE

Calculamos, en primer lugar, las frecuencias propias correspondientes al CAE (dependientes en gran medida de su morfología y longitud), calculando la función de transfe-rencia del canal en el rango audible. Realizamos una apro-ximación calculando las frecuencias en un modelo ideal ci-líndrico cerrado por un extremo y obtuvimos tres frecuencias propias f1 = 3.176 Hz., f2 = 9.528 Hz. y f3 = 15.880 Hz. por lo que nos dispusimos a calcular las de nues-tro diseño, junto con el nivel de presión sonora.

Comprobadas las frecuencias propias del modelo trata-mos, como acabamos de decir, de verificar la relación o ni-vel de presión sonora (SPL) existente entre puntos cercanos a la membrana timpánica y puntos cercanos a la entrada del canal. Este nivel viene definido de la siguiente manera,

pint’ ∆ L = 20 . log

pext’ donde,

– p’intes el módulo de la presión en un punto cercano a la membrana timpánica e impondremos para todo el rango audible en torno a 80 Db (0,2 Pa).

– p’extes el módulo de la presión en un punto cercano a la sección de entrada del canal.

Los resultados obtenidos quedan reflejados en la Figu-ra 4, en la que se compaFigu-ran con la envolvente de las referi-das en otros estudios8-10_{. Observamos tres picos que van de} mayor a menor magnitud al aumentar la frecuencia, y un valle bastante pronunciado. La presencia de ese valle

ximadamente a 1.300 Hz) es debida a la dificultad de ajuste de la velocidad de excitación con objeto de conseguir una presión de en torno a 80 Db delante de la membrana timpá-nica. La velocidad de excitación utilizada aportaría resulta-dos ideales en un conducto perfectamente cilíndrico de lon-gitud similar a nuestro conducto pero no en uno tortuoso como el de nuestro modelo; la presencia de este valle da idea de la diferencia con la idealidad que existe al aplicar esas condiciones sobre un modelo ciertamente tortuoso.

La primera frecuencia propia, y la de mayor magnitud, se localiza en 3.500 Hz, la segunda surge a 9.500 Hz y la tercera, que se aprecia con mayor dificultad, a 16.500 Hz.

Estos valores son las denominadas frecuencias de reso-nancia del modelo lo que, lógicamente, implica mayor o menor cercanía de los valores de frecuencias propias del mismo dependiendo del coeficiente de amortiguamiento de elementos como la membrana o los huesecillos.

En cuanto al nivel de presión sonora (SPL) o magnitud de los picos de resonancia podemos destacar que práctica-mente todo el nivel calculado para nuestro modelo se en-cuentra dentro del rango de validez indicado, salvo el máxi-mo situado a 3.500 Hz, que en nuestro caso llega hasta los 24 dB, mientras que las medidas experimentales lo han esta-blecido en 15 dB.

Es de esperar que la razón de ser de este elevado valor de la magnitud venga explicada por los mismos motivos que expusimos para el valle situado a 1.300 Hz.

4. Comprobación de la impedancia acústica en el CAE

Elegiremos varios puntos de medida, en concreto tres; uno situado a aproximadamente 0,85 cm de la entrada del canal, otro cercano a la membrana timpánica (a unos 4 mm de ella) y el tercero justo en el umbo. Es decir, supondre-mos que en el tercero de ellos calcularesupondre-mos la impedancia

acústica ZDy en el segundo la ZRsegún la nomenclatura

utilizada por Hudde y Engel3_{(Fig. 5).}

• Puntos situados cerca de la entrada del canal

La impedancia acústica en las cercanías de la entrada del conducto, viene representada en nuestro modelo por el nodo número 16.994. Los datos obtenidos se representan en la Figura 6, comparándolos con otros datos obtenidos de la bibliografía.

Las conclusiones que podemos extraer, a la vista del gráfico, son claras. La tendencia de la impedancia acústica calculada a partir de nuestro modelo es muy aceptable. Se puede comprobar perfectamente la presencia del mínimo característico que aparece en las medidas experimentales, aproximadamente situado entre los 6.000 y 8.000 Hz, ade-más del otro pequeño valle, que en nuestro caso es bastante más acentuado que los que aparecen referidos en la biblio-grafía, situado sobre los 1.300 Hz. Sin duda esto es propi-ciado, como ya hemos resaltado anteriormente, por el defec-to de presión que obteníamos a esa frecuencia tras aplicar las condiciones de contorno en velocidad a la entrada del canal.

Figura 4.

Figura 5.

• Puntos situados en las cercanías de la región de

acopla-miento

Estos serán puntos cercanos a la membrana pero fuera de la región de acoplamiento entre ésta y el canal, es decir, en lo que Hudde y Engel3_{denominaban sección de} referen-cia. En concreto, el punto que nosotros hemos tomado como muestra es el nodo 16.904.

• Punto situado en el umbo

Por último representaremos ahora los resultados de la impedancia acústica en el nodo correspondiente a la situa-ción del umbo en nuestro modelo, en concreto será el nodo 942.

Como podemos ver el comportamiento es aceptable a frecuencias superiores a 2.500 Hz. A frecuencias menores de 1 KHz la tendencia es bastante aproximada, aunque no así la magnitud, que es bastante superior. El mínimo caracterís-tico de la envolvente situado próximo a los 1000 Hz es muy acentuado en nuestro caso, volviendo a adquirir relevancia el defecto de presión acústica a 1.300 Hz, que provoca esa gran disminución de la impedancia.

DISCUSIÓN

Con el desarrollo de un modelo del conducto auditivo externo no perseguimos conocer la respuesta física origina-da por las distintas peculiariorigina-dades que podemos encontrar en el CAE humano sino facilitar la comprensión de los fe-nómenos físicos que, de forma general, ocurren en la por-ción más externa del órgano de la audipor-ción.

Hablando en términos de frecuencias de resonancia observamos tres picos que van de mayor a menor magnitud al aumentar la frecuencia, y un valle bastante pronunciado. La presencia de ese valle (aproximadamente a 1.300 Hz) es debida, entre otras cosas, a la dificultad de ajuste de la velo-cidad de excitación con objeto de conseguir una presión de en torno a 80 dB delante de la membrana timpánica (defec-to de presión). La velocidad de excitación utilizada aporta-ría resultados ideales en un conducto perfectamente cilín-drico de longitud similar al nuestro pero no en uno tortuoso como el del modelo; la presencia de este valle da idea de la diferencia con la idealidad que existe al aplicar esas condiciones sobre un modelo morfológicamente dife-rente.

La primera frecuencia propia, y la de mayor magnitud, se localiza en 3.500 Hz, la segunda surge a 9.500 Hz y la tercera, el pico que se aprecia con mayor dificultad, a 16.500 Hz, cercanas todas ellas a las que habíamos determinado a partir del análisis numérico realizado suponiendo un con-ducto cilíndrico y por tanto resultados válidos si nos atene-mos al rango de validez determinado por los estudios de Stinson y Lawton1_{. Sus investigaciones confirman la} presen-cia de tres frecuenpresen-cias de resonanpresen-cia dentro del rango audi-ble humano, como ocurría con el modelo simplificado del cilindro, valores que pueden variar bastante dependiendo de la geometría del canal.

Estas frecuencias de resonancia implican una mayor o menor cercanía a los valores de frecuencias propias del

mo-delo dependiendo del coeficiente de amortiguamiento de elementos como la membrana o los huesecillos.

En cuanto al nivel de presión sonora (SPL) o magnitud de los picos de resonancia podemos destacar que práctica-mente todo el nivel calculado para nuestro modelo se en-cuentra dentro del rango de validez indicado, salvo el máxi-mo situado a 3.500 Hz que en nuestro caso llega hasta los 24 dB, mientras que las medidas experimentales lo han esta-blecido en 15 dB.

Es de esperar que la razón de ser de este elevado valor de la magnitud venga explicada por los mismos motivos que expusimos para el valle situado a 1.300 Hz.

Refiriéndonos ahora a los cálculos de impedancia acús-tica podemos representar, en primer lugar, los correspon-dientes a zonas cercanas a la entrada del canal, comparán-dolos con los datos obtenidos de la bibliografía8_.

Las conclusiones que podemos extraer, a la vista del gráfico, son claras. La tendencia de la impedancia acústica calculada a partir de nuestro modelo es muy aceptable. Se puede comprobar perfectamente la presencia del mínimo característico que aparece en las medidas experimentales, aproximadamente situado entre los 6.000 y 8.000 Hz, ade-más del otro pequeño valle, que en nuestro caso es bastante más acentuado que los que aparecen referidos en la biblio-grafía, situado sobre los 1.300 Hz. Sin duda esto es propi-ciado, como ya hemos resaltado anteriormente, por el defec-to de presión sobre la membrana timpánica que obteníamos a esa frecuencia tras aplicar las condiciones de contorno en velocidad a la entrada del canal.

Si nos referimos a la zona situada en la sección limí-trofe con la Región de Acoplamiento con la Membrana Timpánica (DCR: Drum Coupling Region2,3_{), el acuerdo} tan-to en tendencia como en magnitud es bastante aceptable a frecuencias mayores de 3.000 Hz, siendo la principal ca-racterística del gráfico el valle bastante pronunciado que posee en frecuencias próximas a 14.000 Hz para después iniciar de nuevo el ascenso y aproximarse a 0 dB a 17.000 Hz.

Donde tenemos más problemas de ajuste es a 2.600 Hz, situación en la que aparece un pico que no se ve reflejado en las medidas experimentales y, como de costumbre, a 1.300 Hz, donde se percibe la influencia del defecto de pre-sión ya comentado para ese valor de la frecuencia.

Por último, en la zona del umbo, el comportamiento es aceptable (zona establecida a partir de los estudios de Hud-de y Engel9-11_{y Shaw}12_{) a frecuencias superiores a 2.500 Hz.} A frecuencias menores de 1 KHz la tendencia es bastante aproximada, aunque no así la magnitud, que es bastante su-perior. El mínimo característico de la envolvente situado próximo a los 1000 Hz es muy acentuado en nuestro caso, volviendo a adquirir relevancia el defecto de presión acústi-ca a 1.300 Hz, que provoacústi-ca esa gran disminución de la im-pedancia.

Es interesante señalar, además, que la primera cia de resonancia hallada en el CAE coincide con la frecuen-cia de resonanfrecuen-cia de la membrana timpánica hallada me-diante vibrometría láser por Kempe13_.

CONCLUSIONES

1ª. Hemos desarrollado el modelo acústico del CAE y su acoplamiento con el modelo del oído medio (ya existente).

2ª. Se ha validado el modelo acústico del CAE y su acoplamiento con el modelo del oído medio, hablando en términos de frecuencias de resonancia, puesto que los resul-tados obtenidos, comparados tanto con los teóricos estable-cidos a partir de la asimilación de la geometría del CAE a la de un tubo cilíndrico, como con los experimentales llevados a cabo por estudios precedentes, han sido satisfactorios.

3ª. A su vez, la validación, en cuanto al módulo de im-pedancia acústica del canal, se superpone con las medicio-nes obtenidas en oídos humanos (salvo casos concretos co-mo a 1.300 Hz) y en todos los puntos de medida, tanto en los cercanos a la entrada del CAE como en el situado en el umbo, como en los ubicados a poca distancia de la DCR.

Referencias

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