3 puntos
# 1. Cada a˜no, la fecha de la Prueba Canguro es el tercer jueves de marzo. ¿Cu´al es la fecha m´as tard´ıa posible?
(A) 14 de marzo (B) 15 de marzo (C) 20 de marzo (D) 21 de marzo (E) 22 de marzo R/ Ser´ıa cuando el 1ero de marzo es viernes, por lo que ser´ıa el jueves 21 de marzo.
# 2. ¿Cu´antos cuadril´ateros, de cualquier tama˜no, hay en la figura?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 5
R/ Los dos rect´antulos grandes, y los dos peque˜nos que se forman en el rect´angulo de la izquierda. # 3. ¿Cu´al es el resultado de: 2014 · 2014 ÷ 2014 − 2014?
(A) 0 (B) 1 (C) 2013 (D) 2014 (E) 4028
R/ 2014 · 2014 ÷ 2014 = 2014, por lo que la respuesta es 0.
# 4. El ´area del rect´angulo ABCD es 10. Los puntos M y N son los puntos medios de los lados AD y BC. ¿Cu´al es el ´area del cuadril´atero M BN D? A B C D N M (A) 0.5 (B) 5 (C) 2.5 (D) 7.5 (E) 10
R/ El ´area de cada tri´angulo es 1/4 del ´area del rect´angulo, por lo que el ´area del cuadril´atero es 5. # 5. El producto de dos n´umeros es 36 y su suma es 37. ¿Cu´al es su diferencia?
(A) 1 (B) 4 (C) 10 (D) 26 (E) 35
R/ Los n´umeros deben ser 1 y 36, por lo que su diferencia es 35. # 6. Wanda tiene varias piezas cuadradas de
pa-pel de ´area 4. Ella corta cada una de ellas en cuadrados y tri´angulos rect´angulos como se mues-tra en la figura de la izquierda. Toma algunas de las piezas y hace un p´ajaro como se muestra en la figura de la derecha. ¿Cu´al es el ´area del p´ajaro?
(A) 3 (B) 4 (C) 9/2 (D) 5 (E) 6
# 7. Un balde estaba por la mitad. Un conserje a˜nade 2 litros de agua y el balde queda a tres cuartos de su capacidad. ¿Cu´al es la capacidad total del balde?
(A) 10 l (B) 8 l (C) 6 l (D) 4 l (E) 2 l
R/ 2 litros de agua corresponden a un cuarto del balde, por lo que la capacidad del balde es de 8 litros.
# 8. Jorge construy´o el s´olido que se muestra utilizando siete cubos unitarios. ¿Cu´antos de tales cubos necesita agregar para completar un cubo de lado 3?
(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 (E) 20
R/ El volumen de un cubo de lado 3 es de 27, por lo que necesita agregar 20 cubos unitarios. # 9. ¿Cu´al de las siguientes operaciones da el resultado mayor?
(A) 44 × 777 (B) 55 × 666 (C) 77 × 444 (D) 88 × 333 (E) 99 × 222
R/ En orden, se tiene 4 · 7 · 11 · 111, 5 · 6 · 11 · 111, 4 · 7 · 11 · 111, 3 · 8 · 11 · 111 y 2 · 9 · 11 · 111, por lo que el resultado mayor se obtiene al multiplicar 55 × 666.
# 10. El collar del dibujo contiene perlas oscuras y perlas blancas. Arno toma una perla tras otra del collar, siempre de uno de los extremos. Si se detiene tan pronto toma la quinta perla gris, ¿cu´al es el mayor n´umero de perlas blancas que pudo tomar Arno?
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8
R/ Toma 6 perlas del lado izquierdo (lleva dos grises y 4 blancas) y 6 perlas del lado derecho (tres grises y tres blancas), para un total de siete perlas blancas.
4 puntos
# 11. El cubo de tama˜no 3 × 3 × 3 est´a hecho de 27 cubos peque˜nos.
¿Cu´antos cubos peque˜nos se deben quitar a dicho cubo para ver la siguiente figura cuando se mira por la derecha, por arriba y por el frente?
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 9
R/ Debe quitar una fila central superior completa (3 cubos), y luego los dos cubos restantes de otra fila central superior (5 cubos en total); para que se aprecie la imagen superior, debe eliminar los dos cubos restantes de una fila central lateral (7 cubos en total).
# 12. Jack tiene lecciones de piano dos veces a la semana, y Hannah tiene lecciones de piano semana de por medio. En un periodo dado, Jack tiene 15 lecciones m´as que Hannah. ¿De cu´antas semanas es el periodo?
(A) 30 (B) 25 (C) 20 (D) 15 (E) 10
R/ En dos semanas Jack toma 4 lecciones mientras que Hannah toma 1 lecci´on, por lo que hace una diferencia de 3 lecciones. Para tener una diferencia de 15 lecciones, se necesitan 5 × 3, es decir, 10 semanas.
# 13. Hay 5 canciones: la canci´on A dura 3:00 min, la canci´on B 2:30 min, la canci´on C 2:00 min, la canci´on D 1:30 min y la canci´on E 4:00 min. Estas cinco canciones se repiten en ese orden una y otra vez. Cuando Andy se fue de la casa, estaba sonando la canci´on C. ¿Cu´al canci´on estaba sonando cuando Andy regres´o exactamente una hora despu´es?
(A) A (B) B (C) C (D) D (E) E
R/ El bloque completo dura 13 minutos; 60 = 4 × 13 + 8; por lo que han pasado 8 minutos del momento exacto en que hab´ıa quedado la canci´on C: 2 : 00 + 1 : 30 = 3 : 30; 3 : 30 + 4 : 00 = 7 : 30. Debido a que la canci´on A dura 3:00 minutos, se puede asegurar que esa canci´on es la que estaba sonando.
# 14. El ´area de cada c´ırculo es de 1 cm2, mientras que el ´
area com´un entre dos c´ırculos que se traslapan es de 1/8 cm2.
¿Cu´al es el ´area de la regi´on cubierta por los cinco c´ırculos?
(A) 4 cm2 (B) 9/2 cm2 (C) 35/8 cm2 (D) 39/8 cm2 (E) 19/4 cm2
R/ Si no se traslaparan, el ´area ser´ıa de 5. Son 4 traslapes, de 1/8, por lo que el ´area del traslape es de 1/2. As´ı, el ´area total es de 9/2 cm2.
# 15. Dan escribi´o los n´umeros del 1 al 9 en las casillas de una tabla de tama˜no 3×3. Comenz´o colocando los n´umeros 1, 2, 3 y 4 como se muestra en la figura. Resulta que para el n´umero 5, la suma de los n´umeros en casillas adyacentes (aquellas que tienen un lado en com´un) es igual a 9. ¿Cu´al es la suma de los n´umeros adyacentes al 6?
(A) 14 (B) 15 (C) 17 (D) 28 (E) 29
R/ El 5 no puede estar en el centro, porque la suma de sus n´umeros adyacentes ser´ıa 6 + 7 + 8 + 9 = 30; si estuviera entre el 1 y el 3, el n´umero central deber´ıa ser 5 (descartado); entre el 1 y el 2 el n´umero central ser´ıa 6 (que s´ı ser´ıa posible) mientras que el resto de posibilidades son f´aciles de descartar. Entonces alrededor del 6 est´an el 5, 7, 8 y 9 que suman 29.
# 16. Este a˜no Lucrecia se da cuenta que la suma de las edades de ella, su hija y su madre es de 100. Si cada una de sus edades es una potencia de 2, ¿cu´al es la edad de la hija de Lucrecia?
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 (E) 16
R/ La ´unica posibilidad es que Lucrecia tenga 32, su madre 64 y su hija 4.
# 17. Los ´arboles crecen en un solo lado del Parque Central. En total hay 60 ´arboles. Cada segundo ´
arbol es un naranjo, y cada tercer ´arbol es un lim´on o un naranjo. El resto de ´arboles son guayabos. ¿Cu´antos guayabos hay?
(A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 24 (E) 30
R/ Como cada segundo ´arbol es un naranjo, hay 30 naranjos. Como cada 3 ´arbol es un lim´on o un naranjo, entonces los ´arboles 3, 9, 15, . . . , 57 son m´as limones o naranjos (son 10 ´arboles m´as: cada 3 ´arboles ser´ıan 20, pero quitamos la mitad que coinciden con n´umeros pares, es decir los limones). Quedan entonces 20 guayabos.
# 18. Cinco rect´angulos iguales se colocan dentro de un cuadrado de lado 24 cm, como se muestra en la figura. ¿Cu´al es el ´area de cada uno de los rect´angulos?
(A) 12 cm2 (B) 16 cm2 (C) 18 cm2 (D) 24 cm2 (E) 32 cm2
R/ Sean a y b las longitudes para los lados menor y mayor del rect´angulo respectivamente. Se tiene que 2a + 2b = 24 y que 3b = 24, de donde b = 8 y a = 4, por lo que el ´area de cada rect´angulo es de 32 cm2.
# 19. Una cinta se encuentra atrapada en un cubo transparente (ver figura). ¿Cu´al de las siguientes figuras no aparece en ninguna de las perspectivas del cubo?
(A) (B) (C) (D) (E)
R/ Por arriba o por abajo se ver´ıa una Z o una N, mientras que por los lados se ver´ıa una X. De frente o por detras una U.
# 20. El coraz´on y la flecha est´an en las posiciones que se muestran en la figura, y de manera simult´anea se comienzan a mover. Cada movimiento de la flecha corresponde a tres posiciones en direcci´on de las manecillas del reloj y cada movimiento del coraz´on a cuatro posiciones en direcci´on opuesta. ¿En cu´antos movimientos coincidir´an en la misma regi´on triangular por primera vez?
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) nunca
R/ Observe que despu´es de cada movimiento, se encuentran siempre en la misma posici´on relativa, por lo que nunca van a coincidir.
5 puntos
# 21. El rey y sus mensajeros est´an viajando del castillo al palacio de verano a una velocidad de 5 km/h. Cada hora, el rey env´ıa un mensajero de vuelta al castillo, el cual viaja a una velocidad de 10 km/h. ¿Cu´al es el intervalo de tiempo entre cualquiera dos mensajeros consecutivos que llegan al castillo?
(A) 30 min (B) 60 min (C) 75 min (D) 90 min (E) 120 min
R/ Cada mensajero parte 1 hora despu´es y 5 km m´as, que tarda en recuperar 30 minutos.
# 22. La figura muestra el tri´angulo ABC en el cual BH es una altura y AD es la bisectriz de A. El ´angulo obtuso entre BH y AD es cuatro veces el ´angulo DAB. ¿Cu´al es la medida del ´angulo CAB?
(A) 30◦ (B) 45◦ (C) 60◦ (D) 75◦ (E) 90◦
R/ Dado que el ´angulo que mide 4α es externo, entonces se cumple que 4α = 90◦+α, de donde α = 30◦. # 23. Seis j´ovenes viven en un apartamento con dos ba˜nos, los que utilizan cada ma˜nana, sin com-partir, a partir de las 6:00 en punto. Un d´ıa, utilizaron el ba˜no por 8, 10, 12, 17, 21 y 22 minutos en cierto orden. ¿Cu´al es la hora m´as temprana en la que pueden haber finalizado de utilizar los ba˜nos?
(A) 6:45 (B) 6:46 (C) 6:47 (D) 6:48 (E) 6:50
R/ La distribuci´on ´optima se logra si un ba˜no se utiliza por los muchachos que tardaron 8, 17 y 21 minutos, mientras que el otro por los muchachos que tardaron 10, 12 y 22 minutos, tardando 46 y 44 minutos respectivamente.
# 24. Un rect´angulo mide 6 × 11. En ambos extremos de uno de sus lados de 11 se construyen las bisectrices, las cuales dividen el lado opuesto en tres partes. ¿Cu´ales son las longitudes de estas partes?
R/ Dado que los ´angulos de un rect´angulo miden 90◦, entonces las bisectrices forman ´angulos de 45◦, formando dos tri´angulos rect´angulos is´osceles que miden 6 cm. Dado que el lado mide 11 cm, quiere decir que el segmento en com´un debe medir 1 cm, y 5 cm cada uno de los extremos.
# 25. El Capit´an Sparrow y su tripulaci´on de piratas desenterraron varias monedas de oro. Dividieron las monedas entre ellos de manera que cada uno obtuviera el mismo n´umero de monedas. Si fueran 4 piratas menos cada uno hubiera obtenido 10 monedas m´as. Sin embargo, si hubieran sido 50 monedas menos, cada pirata hubiera obtenido 5 monedas menos. ¿Cu´antas monedas desenterraron?
(A) 80 (B) 100 (C) 120 (D) 150 (E) 250
R/ De la afirmaci´on final se concluye que en total eran 10 piratas. Si fueran 4 piratas menos, es decir 6 piratas, entonces cada uno hubiera obtenido 10 monedas m´as; es decir, 4 piratas reciben 60 monedas, 15 monedas cada uno, por lo que en total desenterraron 150 monedas.
# 26. El promedio de dos n´umeros positivos es 30% menos que uno de ellos. ¿Por qu´e porcentaje es el promedio m´as grande que el otro n´umero?
(A) 75% (B) 70% (C) 30% (D) 25% (E) 20%
R/ Sean a y b los n´umeros, donde a > b. As´ı, a + b
2 =
70
100a. Despejando a se llega a que a = 5 2b, y sustituyendo en la ecuaci´on anterior, se tiene entonces que a + b
2 =
175
100b, por lo que el promedio es 75% m´as grande que el otro n´umero.
# 27. Hab´ıa 3 n´umeros de un d´ıgito en la pizarra. Al´ı los sum´o, y obtuvo 15; entonces borr´o uno de los n´umeros y escribi´o 3 en su lugar. Entonces Riza multiplic´o los tres n´umeros y obtuvo 36. ¿Cu´ales son las posibilidades para el n´umero que borr´o Al´ı?
(A) 6 o 7 (B) 7 u 8 (C) solo 6 (D) solo 7 (E) solo 8
R/ El producto de los otros dos n´umeros es 12, por lo que pueden ser 2 y 6 o 3 y 4; para el primer caso el n´umero borrado ser´ıa 8 y para el segundo 7.
# 28. La coneja Vasya adora la lechuga y las zanahorias. En un d´ıa come ya sea 9 zanahorias; o come 2 lechugas; o come 1 lechuga y 4 zanahorias; pero algunos d´ıas tan solo come pasto. En los ´
ultimos 10 d´ıas, Vasya comi´o un total de 30 zanahorias y 9 lechugas. ¿En cu´antos de estos 10 d´ıas comi´o solamente pasto?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
R/ La ´unica posibilidad es que 2 d´ıas haya comido 9 zanahorias y otros 3 d´ıas 4 zanahorias (junto con 1 lechuga); eso quiere decir que lleva 3 lechugas, por lo que otros 3 d´ıas debe comer 2 lechugas, para un total de 8 d´ıas.
# 29. En Fabulandia, cada d´ıa soleado es precedido por dos d´ıas lluviosos. Adem´as, cinco d´ıas despu´es de cualquier d´ıa lluvioso es tambi´en un d´ıa lluvioso. Hoy est´a soleado; ¿por cu´antos d´ıas a lo sumo se puede predecir el clima con certeza?
(C) 4 d´ıas (D) ni siquiera por un d´ıa (E) todos los d´ıas de ahora en adelante
R/ Digamos que hoy es 3. As´ı 1 y 2 fueron lluviosos, as´ı que con certeza 6 y 7 tambi´en ser´an di´as lluviosos. 4 no puede ser soleado (porque deben haber antes dos d´ıas lluviosos), as´ı que con certeza 4 y 5 son lluviosos. 8 podr´ıa ser lluvioso o soleado.
# 30. Granny tiene 10 nietas, de las cuales Alice es la mayor. Un d´ıa, Granny nota que todas sus nietas tienen diferentes edades. Si la suma de las edades de sus nietas es de 180, ¿cu´al es la menor edad posible para Alice?
(A) 19 (B) 20 (C) 21 (D) 22 (E) 23
R/ La menor edad posible para Alice se obtiene cuando la diferencia entre las edades es m´ınima. Supongamos que puede ser de 1, y sea x la edad de la menor; as´ı x + (x + 1) + · · · + (x + 9) = 180; por lo que queda que 10x = 135. Como no es posible, aumentamos la edad un a˜no en las ´ultimas cinco nietas: x + (x + 1) + · · · + (x + 4) + (x + 6) + · · · (x + 10) = 180, es decir, 10x = 130, de donde la menor tendr´ıa 13 a˜nos, y Alice 23.
