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PROFESOR DANNY PERICH C.
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VIDEOS DE EJERCICIOS
ALTERNATIVAS CORRECTAS
MATEMÁTICA 2021
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS NATURALES (lN)
Corresponde al conjunto lN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...}
Números Pares: Corresponde al conjunto {2, 4, 6, 8, 10...} y
su representación algebraica es 2n, siendo n número natural.
Números Impares: Corresponde al conjunto {1, 3, 5, 7, 9...}
y su representación algebraica es 2n+1 o 2n-1, con n natural.
Números Primos: Números que tienen sólo dos divisores distintos.
Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37…
Números Compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son
primos.
Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22,…
Orden de Operación: Al efectuar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el
siguiente orden:
1º) Resolver los paréntesis. 2º) Realizar las potencias.
3º) Realizar multiplicaciones y/o divisiones. Cuando aparecen multiplicaciones y
divisiones, a la vez, se debe operar de izquierda a derecha.
4º) Realizar adiciones y/o sustracciones.
NÚMEROS CARDINALES (lN0)
Corresponde al conjunto lN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...} Números Dígitos: D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} División por 0: la división por cero, en que el divisor
corresponde a cero, NO ESTÁ DEFINIDA.
NÚMEROS ENTEROS (Z)
Corresponde al conjunto Z = {…-3, -2, -1, 0, 1, 2…}
Divisibilidad: Un número entero es divisor de otro entero,
cuando al dividirlos el resultado es un número entero y el resto de la división es cero.
Algunas reglas de la divisibilidad: Un número es divisible
Por 2: Cuando termina en cifra par. Por 3: Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de tres.
Por 4: Cuando las dos últimas cifras sean ceros o múltiplos de 4. Por 5: Cuando termina en 0 o 5.
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m): Es el menor entero positivo que es múltiplo
común de dos o más enteros.
Ejemplo: La señora Clara tiene que tomar tres medicamentos, el primero cada 6 horas, el segundo cada 8 horas y el tercero cada 12 horas. Si la primera toma de los tres medicamentos la hace al mismo tiempo, ¿Cuánto tiempo tendrá que pasar para que vuelva a tomar los tres medicamentos juntos?
Máximo Común Divisor (M.C.D): Es el mayor entero positivo que es divisor común
de dos o más enteros.
Ejemplo: Dos cintas de 36 metros y 48 metros de longitud se quieren dividir en
pedazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo?
NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales son todos aquellos números de la forma a
b con a (numerador) y b (denominador) números enteros y b ≠ 0.
En una fracción si a es menor que b la fracción es propia. Toda fracción propia se encuentra entre 0 y 1.
Si a es mayor que b la fracción es impropia. Toda fracción impropia es mayor o igual a 1.
Relación de orden en Q
Ejercicio. El orden de los números a = 3 2, b = 6 5 y c = 8 3de menor a mayor es A) a < b < c B) b < c < a C) b < a < c D) c < a < b E) c < b < a NÚMEROS DECIMALES
Se obtienen de la división entre el numerador y el denominador de una fracción. Su desarrollo decimal, puede ser finito (exacto), infinito periódico o infinito semiperiódico.
Operatoria con números decimales Ejercicio.
Al resolver (0,012 + 0,5 – 0,01) ∙ (0,005 : 0,05) se obtiene A) 0,0502 B) 0,502 C) 5,02
D) 50,2 E) 502
Transformación de decimal a fracción. Decimal exacto.
0,287 =
1,72 =
4,3 =
Decimal infinito periódico.0, 7̅ =
0, 53
̅̅̅̅ =
0, 103
̅̅̅̅̅ = 2, 7̅ =
Decimal infinito semiperiódico:0,52̅ = 3,17̅ = 0,372
̅̅̅̅ =
Ejercicios Adicionales. 1. = − + 4 1 1 2 3 1 A) 2 3 B) 3 1 C) 6 11 D) 1 E) 32. El orden de los números a =2 5, b = 5 9 y c = 3 7 de menor a mayor es A) a < b < c B) b < c < a C) a < c < b D) c < a < b E) b < c < a
3. Sea n un número entero positivo, ¿cuál de las afirmaciones siguientes es (son)
siempre verdadera(s)?
I) n+2
n−1
es racional. II) n+2
n+1 es una fracción impropia. III) n+2 n+1 = 2 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III
4. Si A = 0,69̅ ; B = 0,694̅ y C =0,692, ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera? A) B < A < C B) B < C < A C) C < B < A D) A < B < C E) A < C < B 5. Al resolver 0, 2̅ + 0,12̅ se obtiene A)
0, 32
̅̅̅̅
B) 32 90 C) 31 90 D) 0,32̅ E) 32 100 GUIA A - 01 1. El resultado al efectuar 5⋅ 5 , 0 05 , 0 es A) 0,5 B) 0,05 C) 0,005 D) 50 E) 500
2. El orden de los números a =
3 2, b = 6 5 y c = 8 3 de menor a mayor es A) a < b < c B) b < c < a C) b < a < c D) c < a < b E) c < b < a
3. Si r y s son dos números impares consecutivos tales que r < s, entonces r − s es
A) 2 B) 1 C) 0 D) -1 E) -2
4. 25 , 0 8 3 1 75 , 0 8 3 1 − + − = A) 3 15 B) 3 16 C) 3 16 − D) 4 E) 3 8
5. Si se divide el mínimo común múltiplo por el máximo común divisor entre los
números 30, 54, 18 y 12; se obtiene A) 5 B) 15 C) 30 D) 45 E) 90
6. Al dividir un número por 2
3, se obtuvo 12 como cociente. ¿Cuál es el número? A) 8
B) 9 C) 18 D) 30 E) 36
7. Cuatro niños compran D dulces cada uno. Si llegan 3 niños más, sin dulces, y el total
se reparte entre todos en partes iguales, cada niño recibe A) D 7 B) 4D 7 C) 4D – 3 D) 4 – 3D E) 4D−3 7
8. Si p =
0
,
6
, ¿cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?I. 3p
2 es un número decimal periódico infinito II. p + 1 es un decimal periódico infinito III. p +1
p es un número decimal finito
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III
9. Un hotel de cuatro pisos tiene 48 habitaciones. En el segundo piso hay una
habitación más que en el primero y en el tercero hay una habitación más que en el cuarto. Si en el cuarto piso hay 13 habitaciones, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) FALSA(S)?
I. Hay tantas habitaciones en el segundo piso como en el tercero. II. Hay tantas habitaciones en el cuarto piso como en el primero. III. En el primer piso hay 10 habitaciones.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
10. Una persona viaja desde La Serena a Los Vilos, ciudades que se encuentran a una
distancia de 210 km. Si en los tres primeros días recorre 3 7,
2 21 y
7
30 de esa distancia, respectivamente, ¿a cuántos kilómetros de Los Vilos se encuentra al término del tercer día de iniciado el viaje?
A) A 49 km B) A 51 km C) A 100 km D) A 110 km E) A 159 km 11. = − + 4 1 1 2 3 1 A) 2 3 B) 3 1 C) 6 11 D) 1 E) 3
12. Se puede determinar el numerador de cierta fracción, si: (1) El valor de la fracción es 0,8. (2) El denominador de la fracción es 15. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
13. Si a = 0,017; b = 0, 017 y c = 0,017, la relación correcta es A) a < b < c B) b > c > a C) c < a < b D) a < b = c E) a = b = c
14. Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad, el cual contiene 3 1
2 litros, ¿cuántos litros faltan para llenarlo completamente?
A) 3 1 2 B) 3 2 2 C) 2 3 2 D) 3 1 3 E) 3 2 1
15. Si n es un número entero positivo, entonces la expresión 2n+1
2n es siempre A) un número impar
B) un número par C) una fracción impropia. D) una fracción propia. E) 1
16. En la recta numérica de la figura se ubican los puntos a, b, c y d. ¿En cuál de las
siguientes operaciones el resultado es siempre menor que 1? A) a b
B) d + a C) a c D) d – c E) c + b
17. = + + + 1 1 1 1 1 1 2 A) 6 5 B) 3 10 C) 1 D) 5 6 E) 10 3
18. En un viaje Pedro se traslada 800 km. La cuarta parte del viaje lo realiza en bus.
Las tres quintas partes del resto lo hace en avión y lo que queda en tren. ¿Cuántos kilómetros anduvo Pedro en tren?
A) 120 km B) 240 km C) 320 km D) 360 km E) 480 km
19. Si a es un número de dos dígitos, en que el dígito de las decenas es m y el de las
unidades es n, entonces a + 1 = A) m+n+1 B) 10m+n+1 C) 100m+n+1 D) 100m+10n+1 E) 10(m+1)+n
20. Si a y b son números enteros positivos tales que a > b, entonces el orden
creciente de las fracciones a b, b a, −a b y −b a es A)−a b, −b a
,
b a, a bB) −a b, −b a
,
a b,
b aC) a b, b a, −b a
,
−a bD) −b a
,
−a b,
b a, a bE) −b a
,
−a b,
a b,
b a21. Se define a # b = -2a + 2b, para a y b números racionales, el valor de 2 1 # (-2 1 ) es A) 0 B) 2 C) -1 D) 1 E) -2
22. Sea p un número entero positivo múltiplo de 6, q un número entero positivo
múltiplo de 12, r un número divisor de 6 y s un número divisor de 12. ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene por resultado siempre un número racional NO
entero? A) p s B) r q C) q p D) s r E) s q
23. Se define a b = ab +b y a # b = 2a - 4b, para a y b números racionales, el valor de ( 2 1 2) # (-2 1) es A) 2 13 B) 2 5 C) 1 D) 2 11
24. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un racional?
A) -1 B) 0 C) 0,2 D) E) √−83
25. Si M = 1,4 + 4,05; P = 5,6̅ − 0,21̅ y Q = 3,21̅̅̅̅ + 2,24̅̅̅̅, ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera? A) P > Q > M B) M = Q > P C) Q > P > M D) P > M > Q E) Q > M > P 26. El 20% del 33 3 1 % de 5 3 es A) 25 9 B) 5 6 C) 25 1 D) 5 12
27. Un bidón está con jugo hasta la tercera parte de su capacidad. Si se saca 4 litros,
entonces queda sólo hasta la quinta parte de su capacidad, ¿cuál es la capacidad del bidón? A) 5,625 litros B) 8,571 litros C) 16,5 litros D) 23,8 litros E) 30,00 litros
28. El mayor de los números fraccionarios 4 3 , 2 1 , 9 1 es A) 9 1 B)5 C) 2 1 D) 4 E) 4 3 29. El valor de 1,4 3 2 − es A) 2, 2̅ B) −0, 7̅ C) 2, 1̅ D) −0, 8̅
30. Si a = 2 1 y b = 3 1, entonces b a 1 + = A) B) 5 C) 6 1 D) 6 E) 5 6
31. Dadas las fracciones a = 4 3 , b = 3 2 y c = 6 4
. ¿Qué afirmación es falsa? A) a > b B) b = c C) c > a D) b < a E) a > c 32. Si m = 2 1, n = 4 1 y p = 6
1, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
A) m > n > p B) m < n < p C) m < n = p D) p > m > n E) n > p > m
33. Dados lo racionales a = -0,2; b = -0,01 y c = -0,1; el orden creciente de ellos
será: A) a, b, c B) a, c, b C) b, a, c D) b, c, a E) c, a, b 34. Si = 99 26 99 25 x / R x
M , entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes
es(son) verdadera(s)? I) 0,25 M II) 0,252 M III) 0,26 M A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III 2 1
35. ¿Qué afirmación es correcta? A) 0,099 > 0,2 B) –0,28 > -0,35 C) 0,2·0,2 = 2·0,2 D) 0,4 : 0,2 = 0,2 E) –0,1 – (-0,01) = -0,9
36. De tres números racionales: 750 milésimas, 50 centésimas y 4 décimas, al mayor
de ellos réstele el menor y el resultado divídalo por el número racional restante; simplifique el resultado si es posible.
A) 4 1 B) 32 5 C) 16 1 D) 5 3 E) 10 7
37. Un tambor contiene 30 litros que equivalen a 1
3 de su capacidad. Entonces, para llegar, a los 7
10 de su capacidad hay que agregar A) 27 litros
B) 9 litros C) 33 litros D) 60 litros E) 63 litros
38. A es el funcionario más antiguo en una oficina. En la misma oficina C es más
antiguo que B y menos antiguo que D. De acuerdo con esta información es FALSO que: A) A es más antiguo que B B) D es más antiguo que C C) C es más antiguo que B D) A es más antiguo que C E) B es más antiguo que D
39. En un curso de 100 alumnos, 12 aprobaron sólo Matemáticas, 13 aprobaron sólo
Química, 60 aprobaron Matemáticas y Química y el resto reprobó ambas asignaturas. ¿Cuántos alumnos, en total, aprobaron Matemáticas?
A) 72 B) 60 C) 48 D) 45 E) 12
40. Entre 100 personas se reparte un cierto número de fichas azules, blancas y rojas.
45 personas reciben fichas rojas, otras 45 reciben fichas blancas, 60 personas reciben fichas azules, 15 reciben tanto rojas como blancas, 25 reciben blancas y azules, 20 reciben rojas y azules y 5 reciben de los tres colores. ¿Cuántas personas no reciben fichas?
A) 5 B) 8 C) 15 D) 30 E) 50
41. El agua que hay en un estanque en estos momentos ocupa la mitad de su
capacidad. Si a este estanque le agregasen 120 litros más de agua, entonces ésta ocuparía 5
8 de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad del estanque? A) 180 litros
B) 195 litros C) 375 litros D) 480 litros E) 960 litros
42. Un comerciante vende la mitad de una pieza de género y luego la mitad del resto,
sobrándole 4 m. ¿Cuántos metros medía las 3
4 partes de la pieza de género antes de comenzar a venderla? A) 8 m. B) 12 m. C) 16 m. D) 20 m. E) 24 m.
43. Una sala de cine rotativo con capacidad para 400 espectadores está completo. Si
terminada la función se retiran 3
10 de los espectadores y entran a la sala 3
20 de la capacidad, entonces ¿cuántas personas faltan para que la sala esté nuevamente completa? A) 60 B) 120 C) 280 D) 317 E) 340
VIDEOS GUIA A – 01
Ejercicios 5 a 8 Ejercicios 9 a 12 Ejercicios 21-22-23-27
Ejercicios 34-36-40-42 Ejercicios 25-26-37-41
APROXIMACIONES Y PORCENTAJES
Truncamiento. Para efectuar esta aproximación, se eliminan,
sin más, las cifras a partir de un orden considerado.
Ejercicio. El resultado de
(
1 3+
1 6+
2 7)
truncado a la décima es A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,8 E) 0,7Redondeo. En esta aproximación se eliminan las cifras a partir
de un orden considerado, pero teniendo en cuenta que si la primera cifra eliminada es 5 o más de 5 a la última cifra decimal que se deja se le añade uno. Si la primera cifra eliminada es menor que 5 no se añade uno.
Ejercicio. Al aproximar por redondeo el número 4,2451 a las centésimas y a las
milésimas resulta respectivamente
A) 4,24 y 4,245 B) 4,25 y 4,245 C) 4,24 y 4,246 D) 4,25 y 4,246 E) 4,25 y 4,250
Aproximación por defecto: Una aproximación es por defecto si la aproximación es menor que el número inicial. Por ejemplo, el truncamiento es siempre una
Ejercicio. Al aproximar por defecto a la milésima el número el número 18,56
̅̅̅
, resulta A) 18,560 B) 18,565 C) 18,566 D) 18,570 E) 18,565̅̅̅̅̅
Aproximación por exceso: Una aproximación es por exceso si la aproximación es mayor que el número inicial.
Ejercicio. Al aproximar por exceso a la milésima el número el número 18,56
̅̅̅
, resulta A) 18,560 B) 18,565 C) 18,566 D) 18,570 E) 18,56̅Cifras significativas.
Todas las cifras de un número son significativas, a excepción de los ceros a la izquierda de él.
Ejemplo: 9615 tiene cuatro cifras significativas, 105 tiene tres cifras significativas; 8,00 tiene tres cifras significativas, 7,0 · 102 tiene dos cifras significativas.
El número 0,005 tiene solamente una cifra significativa
PORCENTAJE
Expresión matemática que representa una fracción de
denominador 100. Así a% es
a100
.
Tabla de equivalencias: Equivalencias entre fracciones,
decimales y porcentajes.
Fracción Decimal Porcentaje Fracción Decimal Porcentaje
1 100 0,01 1% 1 4 0,25 25% 1 10 0,1 10% 1 3 0, 3̅ 33 1 3 % 1 8 0,125 12,5% 1 2 0,5 50% 1 5 0,2 20% 3 4 0,75 75% 1. Expresa en fracción: a) 60% b) 1 2% 2. Expresa en porcentaje: a) 0,12 b) 3 c) 3 10 d) 0,5
̅
3. Calcula el 12% de descuento por un artículo que vale $5.400.
4. Determina qué porcentaje es 35 alumnos de un colegio de 700 alumnos. 5. Calcula cuál es el total de una deuda, sabiendo que el 8% de ella es $56.000
Interés simple: Una cantidad C crece a una tasa del i% por unidad de tiempo en un
período n, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo. La cantidad final Cf después de cumplido el período n, está dada por:
) in 1 ( C CF = +
Ejercicio. Un capital de $ 300.000 se deposita en un banco que ofrece un 5% de
interés mensual. Al cabo de 3 meses, en un régimen de interés simple. ¿Cuánto es el nuevo capital?
A) $ 301.500 B) $ 304.523 C) $ 345.000 D) $ 450.000 E) $ 750.000
Interés compuesto: Una cantidad C crece a una tasa del i% por unidad de tiempo en
un período n, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento obtenido en cada unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad. La cantidad final Cf después de cumplido el período n, está dad por:
nF C i
C = 1+
Ejercicio. Mario invierte $ 1.000.000 a un interés compuesto anual del 10%. ¿Cuánto
es el capital final de Mario, luego de 3 años? A) $ 331.000 B) $ 1.030.301 C) $ 1.100.000 D) $ 1.300.000 E) $ 1.331.000 EJERCICIOS 1. El 5% de 1 5 es A) 5 B) 1 C) 1 5 D) 100 E) 1 100
2. El 15% del 25% de 160 es A) 1,6 B) 2,5 C) 4 D) 6 E) 8
3. Si al 20% de cierta cantidad se le suma 30, se obtiene el 40% de ella. La cantidad
es
A) 150 B) 75,5 C) 30 D) 28
4. Pedro deposita $ 1.800.000 en el banco Sandy Point a un interés simple mensual de
un 0,7%. ¿Qué ganancia obtendrá en un periodo de 5 meses? A) $ 1.863.000
B) $ 186.300 C) $ 126.000 D) $ 630.000 E) $ 63.000
5. Paulina deposita $ 5.000.000 en una entidad bancaria a un interés compuesto
semestral del 2,5%. ¿Qué expresión representa la cantidad de dinero que dispondrá Paulina, al cabo de 24 meses?
A) $ 5.000.000 (1,025)4 B) $ 5.000.000 (1,25)4 C) $ 5.000.000 (0,025)4 D) $ 5.000.000 (1,025)24 E) $ 5.000.000 (1,25)24 GUIA A - 02
1. Al aproximar a la centésima por exceso el número 4,372 resulta
A) 4,37 B) 4,36 C) 4,38 D) 4,30 E) 4,373
2. El número de cifras significativas de 0,001030 es A) 7 B) 6 C) 4 D) 3 E) 2
3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), con respecto a la
expresión decimal de 3 11?
I) El dígito de la milésima es un número par. II) Es un número decimal periódico.
III) El número truncado al dígito de la cienmilésima es 0,27273. A) Solo I
B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III
4. El número 439,915587 redondeado a la centésima es
A) 43 B) 44 C) 439,91 D) 439,92 E) 439,9156
5. ¿Cuánto se obtiene al aproximar por defecto a la centésima el número 5,2359?
A) 5,23 B) 5,24 C) 5,25 D) 5,235 E) 5,236
6. En una calculadora, cada vez que se suman números decimales, el resultado final
que muestra el visor está truncado a la centésima. Si se efectúa la suma 0,1666 + 0,164 + 0,167, ¿cuál de los siguientes valores será el resultado que mostrará el visor de esta calculadora?
A) 0,49 B) 0,497 C) 0,50 D) 0,48 E) 0,498
7. Sea P = 4,24264068 una aproximación de √18 . Si L es el redondeo a la milésima de
P y M es el redondeo a la diez milésima de P, ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera?
A) L - M < 0
B) 3 < (L - M)104 < 5
C) M = L + 10-4
D) (L - M)103 = 3
8. Si n = 2,04 y p = 2,03, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) n es la aproximación por redondeo a la milésima de 2,03851. B) n es la aproximación por redondeo a la centésima de 2,03851. C) p es la aproximación por truncamiento a la milésima de 2,03851. D) p es la aproximación por redondeo a la centésima de 2,03851. E) n es la aproximación por truncamiento a la centésima de 2,03851.
9. ¿De qué número 48 es el 20%?
A) 480 B) 240 C) 120 D) 96 10. ¿Qué porcentaje es 1 2 de 1 4? A) 50% B) 25% C) 33,6% D) 20% E) 200%
11. ¿Qué tanto por ciento de 72 es 3
5 de 80? A) 150% B) 37,5% C) 40% D) 50% E) 66,6̅%
12. El 20% del 10% del 60% de 1.000 es:
A) 120 B) 12 C) 240 D) 60 E) 30
13. ¿Cuál es el 331 3 % de 33 1 3? A) 1 B) 331 3 C) 111 9 D) 111 3 E) 11 14. El 15% del 25% de 160 es A) 1,6 B) 2,5 C) 4 D) 6 E) 8 15. El 331 3% del 66 2 3 % del cuádruplo de 90 es A) 9 B) 8 C) 91 3 D) 92 3 E) 80
16. Si al 20% de cierta cantidad se le suma 30, se obtiene el 40% de ella. La cantidad
es
A) 150 B) 75,5 C) 30 D) 28
17. La tercera parte del 20% de la mitad del 25% de 120 es
A) 30 B) 15 C) 3 D) 1 E) 1 3
18. ¿En qué porcentaje debe aumentar el numerador de la fracción 5
8, para que esta sea igual a 0,75? A) 10% B) 20% C) 25% D) 30% E) 40% 19. El 60% de (5−10x2) es A) 3x2 −3 B) 6−3x2 C) 6x3 −3 D) 5x2 −1 E) 3−6x2 20. El 80% de 800 milésimos es A) 6.400 B) 640 C) 64 D) 0,64 E) 0,064
21. La diferencia entre el 75% de z y el 12,5 % de z equivale a
A) 52,5% de z B) 62,5% de z C) 63% de z D) 67,5% de z E) 85,5% de z 22. El 20% de 60xy más el 55% de 60xy es A) 35xy B) 75xy C) 45xy D) 55xy E) 78xy
23. A un estudiante de 4° medio le ofrecen 3 alternativas A, B y C de preuniversitario.
Él tiene un 25% de posibilidades de elegir el plan A, un tercio de elegir el B y lo restante de optar por el C. ¿cuál es la posibilidad, aproximada, de elegir la alternativa C? A) 30% B) 38% C) 40% D) 42% E) 44%
24. Daniela desea vender un artículo A con un 15% de ganancia. ¿Cuál será el precio
de venta, si el costo fue de $210.000? A) $221.500
B) $231.500 C) $241.500 D) $251.500 E) $341.500
25. Andrea compró un artículo en una oferta. Si su precio sin rebaja era $380.000 y se
le hizo un 20% de descuento, ¿cuánto pagó por este artículo? A) $314.000
B) $308.800 C) $308.500 D) $304.500 E) $304.000
26. Mario invierte $ 1.000.000 a un interés compuesto anual del 10%. ¿Cuánto es el
capital final de Mario, luego de 3 años? A) $ 331.000
B) $ 1.030.301 C) $ 1.100.000 D) $ 1.300.000 E) $ 1.331.000
27. Paulina deposita $ 5.000.000 en una entidad bancaria a un interés compuesto
semestral del 2,5%. ¿Qué expresión representa la cantidad de dinero que dispondrá Paulina, al cabo de 24 meses?
A) $ 5.000.000 (1,025)4 B) $ 5.000.000 (1,25)4 C) $ 5.000.000 (0,025)4 D) $ 5.000.000 (1,025)24 E) $ 5.000.000 (1,25)24
28. Según el censo del año 1992 la ciudad de Quillota tenía aproximadamente 200.000
habitantes. Si en los siguientes 10 años creció a una tasa del 2% anual, para el censo del año 2002, los habitantes de Quillota debieron ser aproximadamente
A) 200.000 (1,2)10 habitantes B) 200.000 (0,2)10 habitantes C) 200.000 (1,02)10 habitantes D) 200.000 (0,02)10 habitantes E) 200.000 10 · 1,02 habitantes
29. ¿Qué capital debe invertirse en un negocio que rinde el 15% anual de interés
simple, para obtener $2.400.000 de utilidad en 4 años? A) $400.000
B) $460.000 C) $4.000.000 D) $4.500.000 E) $6.000.00
30. ¿Qué interés simple anual se aplicó a un capital de $8.000.000 depositado durante
8 años, si se obtiene una ganancia de $80.000? A) 125%
B) 12,5% C) 1,25% D) 0,125%
31. ¿Qué capital debe invertirse en un negocio que rinde el 6% anual de interés
simple, para obtener $6.000.000 de utilidades en 2 años? A) $ 10.000.000
B) $ 36.000.000 C) $ 50.000.000 D) $ 60.000.000 E) $ 72.000.000
32. Al depositar $C durante dos años a un régimen de interés compuesto con una tasa
de un 5% anual, se obtuvo una ganancia de $512.500. ¿Cuál fue el capital final obtenido? A) $5.515.500 B) $5.515.000 C) $5.513.500 d) $5.000.000 E) $5.512.500
33. ¿Cuál es el valor de un libro?
(1) El vendedor gana el 18% del valor del libro. (2) El 10% del valor del libro es $1.800
A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional.
34. ¿Qué porcentaje de x es y? (1) x= 3/4y (2) y = 4/3x A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional.
VIDEOS GUIA A – 02
Ejercicios 1 a 8 Ejercicios 9 a 16 Ejercicios 13 a 16
Ejercicios 17 a 22 Ejercicios 23 a 25 Ejercicios 26 a 29
POTENCIAS Y RAÍCES POTENCIAS
Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base (el factor que se repite) y el exponente (veces que se repite el factor).
Signos de una potencia
(+)
par= + (+)
impar= + (-)
par= + (-)
impar= -
an = a • a • a • ...Multiplicación y división de potencias de igual base
Para multiplicar (dividir) potencias de igual base, se suman (restan) los exponentes y se conserva la base.
Potencias de exponente cero
Toda potencia de exponente cero es igual a 1, con excepción de 00, la cual no está
definida.
a0 = 1
Potencia de exponente negativo
Se invierte con el denominador, y el exponente cambia de signo.
Potencia elevada a potencia
Se conserva la base y se multiplican los exponentes.
Multiplicación (División) de potencias de igual exponente
Se multiplican (dividen) las bases y se conserva el exponente. Ejercicios. 1. 4−2 +2−3 −2−4 = A) 8 1 B) 4 1 C) 6 1 D) -8 E) -6 2. Si 3x +3−x =P, entonces 9x +9−xes igual a: A) P2 B) P2 + 2 C) P2 – 2 D) P2 – 1 E) 3P
NÚMEROS IRRACIONALES (Q*): Son aquellos números
decimales infinitos no periódicos. Los números = 3,141592…, √2 = 1,414213… son ejemplos de números irracionales.
RAÍCES: Potencias de exponente fraccionario.
Suma y resta de raíces. Solamente pueden sumarse (o
restarse) dos o más raíces cuando son raíces semejantes; es decir, si son raíces con el mismo índice e igual cantidad subradical.
Multiplicación de raíces del mismo índice. Se multiplican las cantidades
subradicales y se conserva el índice
√a ∙ √b = √ab
Ejercicio. 3a2x+2 3ax+1 =
A) a3x+3 B) 6a3x+3 C) a3x D) ax+3 E) ax+1
Multiplicación de raíces de distinto índice. Primero se reducen a índice común y
luego se multiplican. Otra posibilidad, al resolver ejercicios, es transformar cada raíz en potencia y resolver de este modo.
Ejercicio. Si a, b, n y p son números reales positivos, entonces m
√a
2∙ √a
n 3 es igual aA) mn
√a
2n+3m B)𝑎
𝑚𝑛5 C) mn√a
5 D)√𝑎
mn 6 E) a5División de raíces del mismo índice. Se dividen las
cantidades subradicales y se conserva el índice de la raíz.
√a
n√b
n= √
a
b
n Ejercicios.1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s)?
I) Si P y Q son números irracionales, entonces P Q es un número irracional.
II) Si P y Q son números irracionales, entonces (P + Q) es un número irracional.
III) Si P es un número irracional y Q es un número entero positivo, entonces
P
Q es un número irracional.
A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) I, II y III E) Ninguna de ellas.
2. Al simplificar la expresión 7 14 7 2 + resulta: A) 2 3 B) 2 + 14 C) 2 + 2 D) 2 7 + 2 E) 4
División de raíces de distinto índice. Primero se reducen a índice común y luego se
dividen. Otra posibilidad, al resolver ejercicios, es transformar cada raíz en potencia y dividir de ese modo.
Raíz de una raíz. Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las
raíces y se conserva la cantidad subradical.
√ √a
m n=
nm√a
Ejercicio. 3 2 2 = A) 34 B) 32 C) 68 D) 62 E) 1Simplificación de una raíz. Al simplificar una raíz debe considerarse si n es par o
impar.
Si n es par, √𝑥𝑛 𝑛= |𝑥|
Si n es impar, √𝑥𝑛 𝑛
= 𝑥
Ejercicio. Si x es un número real mayor que 1, entonces (√𝑥 + 1 − √𝑥 − 1)2 es igual a
A) 0 B) 2 C) 2x - √𝑥2− 1 D) 2x - 2√𝑥2− 1 E) 2x
Racionalización. Consiste en eliminar las raíces que se
encuentran en el denominador de una fracción. Esta se realiza, si el denominador es un monomio, amplificando la fracción irracional por este monomio, y se amplifica por su binomio conjugado en caso de que el denominador sea un binomio irracional.
En caso en que la raíz del denominador sea del tipo √𝑎𝑛 𝑚 , la
fracción dada se amplifica por el irracional √𝑎𝑛 𝑛−𝑚.
Ejercicio. √2 √2+√3
=
A) √6 − 2 B) √3 − 2 C) 2 − √6 D) 2 − √3 E) √3 3 GUIA A - 03 1. c3x−5c6−4x = ? A) c B) cx C) c-x D) c2 E) c1 - x2. 10 11 2 2 + = A) 21 2 B) 22 2 C) 21 4 D) 610 E) 10 2 3 3. ? 2 2 2 2 7 6 5 4 = + + A) 2-4 B) 2-2 C) 2-1 D) 22 E) 23 4. El valor de n−4 :n−6 es: A) n-10 B) n-2 C) n2 D) n10 E) 3 2 n 5. ¿Cuál es el valor de 511 +511 +511 +511 +511? A) 555 B) 511 C) 516 D) 2555 E) 512 6. Al resolver (0,125)–2 se obtiene A) -0,25 B) 16 C) 64 D) 64 1 E) 1 16
7. ¿Cuál es el valor de 1 2 2 3 3 3 − − − − ? A) -3 B) 3 1 C) 3 D) 2 8. Si 3-x= 0,25; entonces 92x= A) 36 B) 64 C) 81 D) 243 E) 256
9. La cifra de las unidades de 3106 es
A) 1 B) 3 C) 7 D) 9 E) 2 10. El valor de
( )
2 2 1 2 a es: A) a B) a0 C) a2 D) a4 E) a5 11. = a−2 −3 2 1 A) 8a6 B) 8a-5 C) a 5 2 1 − D) a 6 8 1 − E) a6 2 112. Al resolver la expresión 3x 927−1 se tiene: A) 27x−1 B) x 3 C) 3x−1 D) 3 3x− E) 2 9 3x 13. Si 31+x −3x =18, entonces x + 1 = A) -1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 14. Si 3x+1 =15, entonces 3x = A) 45 B) 18 C) 12 D) 5 E) 14
15. Si n es un número natural, al desarrollar la expresión
(
3n−3 −3n−2)
2 resultaA) 232(n−3)
B) −23(n−3)
C) 432(n−3)
D) 1632(n−3)
E) −832(n−3)
16. Se puede determinar que P es un número irracional, si se sabe que:
(1) (P + 1)2 − (P − 1)2 es un número irracional.
(2) (P + 1)2 + (P − 1)2 es un número racional.
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional
17. Sea r un número racional positivo. De las siguientes expresiones, ¿cuál(es)
representa(n) siempre a un número irracional? I) √r II) 3r2 III) r√2 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III 18. El valor de 2 8 32 50+ − es A) 7 B) 8 C) 8 2 D) 10 2 E) 78 19. Al racionalizar la expresión 7 5 se obtiene A) 5 7 B) 2 7 5 C) 5 7 7 D) 5 7 2 E) 7 7 5
20. Sean a = √2 y b = √18. Si el resultado de (a + b) truncado a la cuarta cifra
decimal es 5,6568, entonces el resultado de (a – b) truncado a la décima es A) 4,2
B) 2,8 C) –2,8 D) –4,2 E) –5,6
21. Sean m y n números enteros, se puede determinar que
3
n2−m2 es igual a 81, si se sabe que: (1) n - m = 2 (2) 3n 3−m = 9 A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.
22. (√5 + 2√6 + √5 − 2√6)2 = A) 10√6 B) 10 + 4√6 C) 10 D) 24 E) 12
23. ¿En cuál(es) de las siguientes opciones la expresión puede representar un número
racional?
I) √2𝑥, siendo x un número entero impar y positivo. II) (𝑥 + √2)2, siendo x un número racional positivo. III) 𝑥 + √2, siendo x un número irracional.
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III
24. Al resolver √𝑥2− 2𝑥 + 1 , sabiendo que x < 0, se obtiene
A) –x + 1 B) –x - 1 C) x + 1 D) x – 1 E) x - √2𝑥 + 1 25. La expresión a 4a es equivalente a A) 6a B) 5a C) 4 3a D) 8a
26. Al resolver √x2 , sabiendo que x < 0, se obtiene A) x B) –x C) x 2 D)
x
12 E) x227. Si se considera que el valor aproximado de √10 como 3,16227766, n es √10
aproximado por exceso a la milésima, m es √10 aproximado por defecto a la milésima y r = √(m − √10)2+ √(√10 − n)2, entonces r es igual a
A) -0,001 B) 0,001 C) 0,002 D) -0,0001 E) 0 28. (2 3−3 2)2 = A) 0 B) -6 C) 30 −12 6 D) 30 +12 6 E) 30
29. Al resolver √𝑥2− 4𝑥 + 4 , sabiendo que x < 0, se obtiene
A) x - 2 B) –x – 2 C) -x + 2 D) x + 2 E) x - √4𝑥 + 4 30. ¿Cuál es el valor de
(
1− 9) (
2 1− 9)
2? A) -16 B) 4 C) 64 D) -4 E) 1631. El valor de 0,125 es A) 2 2 B) 2 C) 2 2 D) 4 2 E) 0,5 32. Si 2+ 3 − 2− 3 = t, entonces el valor de t2 – 2 es A) 2√3 − 2 B) 0 C) 2√3 D) 2 E) -2 33. Al desarrollar la expresión x x 2 x 15 4 4 + − se obtiene A) x 15 1 4 B) x 151 C) 4x D) 4 E) 15 4
34. Dadas las siguientes afirmaciones, es(son) verdadera(s)
I. b b a b a 3 3 = II. 15 14 5 3 3a a = a III. 2 3 3 2 1 = − A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
35. 3a6n−6 = A) a2n-6 B) a2n-2 C) 2n 2 1 a − D) 2n 6 1 a − E) a6n-2
36. Si a =
√3
, b = 3√4
y c =√5
4 , el orden correcto entre ellos es A) c < b < a B) b < c < a C) a < b < c D) c < a < b E) a < c < b 37. Si x = 8 + 50, entonces 14 x vale A) 2 2 B) 2 C) 8 D) 7 E) 14 38. ¿Cuál es el valor de 3 3? A) 427 B) 343 C) 4 9 D) 3 3 E) 3 6 39. El quíntuplo de 5 2 es A) 2 B) 10 C) 2 D) 5 7 E) 5 240. Al desarrollar la expresión
(
2 −1) (
2 − 1+ 2)
2 se obtiene A) −4 2 B) 2 2 C) 2 D) 2 E) 0 41. Si 1+ x =2, entonces x−5 = A) 1 B) 2 C) 3 D) 9 E) 2 5 42. Al resolver 3 4 2 se obtiene A) 2 2 3 B) 2 C) 32 D) 34 E) 2 4 343. Al ordenar las siguientes expresiones
1 2 1 − = a ; 1 2 2 + = b ; 2 3 = c en forma ascendente, resulta A) a, c, b B) b, a, c C) c, a, b D) b, c, a E) c, b, a
44. + − + + − = 25 4 8 16 1 5 4 1 6 A) 20 61 B) 5 2 4 6 2 7 + − C) 20 151 D) 20 7 8 5 6 − + +
45. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) cuando la variable x
toma los tres valores 0, 1, –1?
I) x2 = −x II) x2 = x III) x2 = x A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III 46. ( 2−2)3( 2+2)4+( 2−2)4( 2+2)3es un número A) Racional positivo B) Racional negativo C) Irracional positivo D) Irracional negativo 47. = + + + + + + + + 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 A) 5 B)
5
56 C) 1 D)5
2348. Si 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?
x x ) A
x x 1 ) B
x x 1 ) C
1 x ) D
x x ) E
49. Dados los números reales −3 2, 3 11 − ,− 7,−2 3, 3 1 4 − , al ordenarlos de menor a mayor, el término que queda en el centro es
3 2 ) A − 2 3 ) B − 7 ) C − 3 11 ) D − 3 1 4 ) E − 50. √3 − 2√2 = A) √24 B) 1 + √2 C) 1 - √2 D) √2 - 1 E) √3 − √2√2 VIDEOS GUIA A – 03
Ejercicios 1 a 8 Ejercicios 9 a 15 Ejercicios 16 a 21
Ejercicios 39 a 42 Ejercicios 43 a 45 Ejercicios 46 a 49
Ejercicio 50
LOGARITMOS
De la expresión bn = c, obtenemos Potencias (no se conoce c)
bn = x, para calcular x,
basta con calcular el resultado de la potencia. Ej. 34 = x
81 = x
Raíces (no se conoce b)
xn = c, para calcular x,
basta con calcular la raíz enésima de c. Ej. x4 = 16 x = 416 x = 2 Logaritmos (no se conoce n) bx = c, para calcular el valor de x necesitamos saber el exponente al que se debe elevar la base b para obtener c. x =
log
bc
con b>0 y distinto de 1.
Ejercicios. 1. El
log
2a
= 3 se expresa como:A) 2a = 3 B) 23 = a C) 3a = 2 D) a3 = 2
2. Si logb81 = -4, entonces la base es
A) 1 3 B) 3 C) -3 D)
−
1 3 E)−
81 4La base 10 no se escribe y algunos de los logaritmos más utilizados en base 10 son: log 1 = 0 log 10 = 1 log 100 = 2 log 1000 = 3 log 0,1 = -1 log 0,01 = -2 log 0,001 = -3
Propiedades de los logaritmos
Logaritmo del producto de dos números. El logaritmo de
un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
logc(a∙b) = logca + logcb Ejercicio. Al determinar el log 500 se obtiene
A) 5 B) log 5 C) log 105 D) log 25 E) 2 + log 5
Logaritmo del cociente de dos números. El logaritmo de un cociente es igual al
logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. Logc𝑎 𝑏 = logca – logcb Ejercicios. 1. Si a 3 1
log = , entonces log 9 es igual a A) -3a B) -2a C)
3
a D) 2a E) 3ª
2. ¿Cuál(es) de las siguiente(s) igualdades es(son) verdadera(s)? I. log3log10 =log3 II. log30 log15
2 1 log + = III. 20 20 1 log log log =
A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III
Logaritmo de una potencia. El logaritmo de una potencia es
igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: logcan =n∙logca
Ejercicio. El log 5x-1 es igual a
A) log (5x – 5) B) x C) xlog 5 – log 5 D) log (x – 1) ∙ log 5
Logaritmo de una raíz. El logaritmo de una raíz es igual al
cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz logc𝑛
√𝑎
𝑚 = 𝑚𝑛∙logca Ejercicio. El log
√
3 25 es igual aA) log 25 3 B) log 3 25 C) 3 log 25 D) 2 3 log 5 E) 1,5 log5
Cambio de base.
log
bx =
logax logab Ejercicio. La expresión 8 log 4 log 4 4 es igual a: A) 4 3 B) 3 2 C) 2 1 D) 3 1 − E) 3 2 − Desafíos.1. Desarrolla y calcula el valor numérico de:
3 2 3 2 5 625 25 · 5 · 125 log
2. Calcula el valor numérico de:
2
log 32 7log 125 6log 2433 1 5 1 4 1 + −
Video: Desafíos y errores comunes en logaritmos.
GUIA A - 04
1. El valor de
10
log28−log327 esA) 0 B) 1 C) 10 D) 0,1 E) -1
2. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a log 105?
A) log 100 + log 5 B) log 21 · log 5 C) 3 log 35
D) 3 log 5 + log 15 E) log 7 + log 3 + log 5
3. El valor de x = −21−log381 es A) 1 8 B) 0,25 C) – 0,25 D) – 0,125 E) - 8
4. Si log 2 = 0,30 y log 3 = 0,48, calcular log348.
A) 3,5 B) 1,2 C) 2,2 D) 2,5 E)
−
7 25. ¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera?
A) log3 + log5 = log8 B) log10
log2 = log5
C) log216 = 8
D)
log√7
3=
13
log7
E) log515 ∙ log53 = log545 6. Si log 1 3 = a, entonces log 1 9 es igual a A) -3a B) -2a C) a 3 D) 2a E) a2
7. Si log b = 20 y log c = 2, es correcto que
I)
log (
bc) = 18
II)
log(b + c) = 22
III)
log b
2+ log c
2 = 44 A) Sólo IB) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III
8. Si logb81 = -4, entonces la base es A) 1 3 B) 3 C) -3 D)
−
1 3 E)−
81 49. Marca la alternativa FALSA
A)
log
nn = 1
B)log
n1 0 = 1
C)log
28 = 3
D)log
n1 = 0
E)log
nn
b= b
10. Para quelog
x 164
= −6
, el valor de x debe serA) 16 B) 8 C) 4 D) 2 11. La expresión
log
6 7− log
2 3 equivale a A)log
4 21B) 2log 3 – log 7 C) 2 log3 7 D) – log 7
E) 2log 2 – 2log 3 – log 7
12. El valor de log 5
√−32
es A) -2B) 2 C) 0,2 D) 0
E) no está definido en los reales
13. El valor de
log
273 + log
232
esA) 16 3 B) 8
C)
log
2935
D) log549614. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)? I) log 5 · log 3 = log 5 + log 3
II) log (5 · 3) = log 5 + log 3 III) log8 log2
= log
82
A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 15. El valor de x, silog
1,5x = 2
es A) 3 B) -3 C) 0,75 D) -0,75 E) 2,25 16. El valor delog
216
−1es A) 1 4 B) 4 C) 8 D) 1 8 E) -4
17. Si
log
x125 = −3
, entonces x valeA) 125 3 B) −3 125 C) -5 D) 1 5 E) -0,2
18. La expresión log44 log48 es igual a A) 3 4 B) 2 3 C) 1 2 D) -1 3 E) -2 3 19. log2 9 log3 8 = A) 6 log2 8 B) 6 log3 9 C) 6 log 8 D) 6 log9 E) 6
20. Si log32 +log3(b + 1) = 1, entonces b es igual a
A) 0 B) 1 3 C) 1 2 D) 2 E) 3
21. Si log 2 = 0,3 y log 3 = 0,48; calcular log36.
A) 0,78 B) 0,48 C) 1,625 D) 0,3 22. La expresión
log
6 7+ log
2 3 equivale a A) log4 + log 7 B) 2log 3 – log 7 C) 2log2 – log 7 + 2log3 D) 2log 2 – log 7 E) 2log 2 + 2log 3 + 2log 723. Si log x = 2 – 3log 5 + 2log 3, el valor de x es A) 2:15 6 B) 7,2 C) 62− √25 D) 2 – 32 – 53 24. Si log 16−log 8
log 4
= p
, entonces log p =A) log 2 B) log 4 – log 2 C) 0,5 D) –log2 E) 2log 2 25. El valor de x en la expresión 21x = 20 es A) log21 + log20 B) log21 – log20 C) log4 + log5 D) log21 log3 + log 4 E) log 4+log 5 log 3+log 7
26. Si log 210 = 3; entonces log 2√5 = A) 0,35 B) 0,15 C) 1,25 D) 25 3 E) 7 6 27.
log
xx
x+ log
22
log x equivale a A) x + log x B) log x2 C) log 11x D)log
2xx
x⋅ 2
log x E) xlog x28.
log
xx
2+ log
33
log x= log 5 0
, entonces x =A) 50 B) 2 C) 48 D) 0,5
29. Si log 16−log 8 log 4
= p
, entonces p = A) log 2 B) log 4 – log 2 C) 2 D) 0,5 E) 2log 230. 2log 9 + log 27 – log 2187 equivale a
A) log 3 B) 2 log 3 C) 0 D) 3 log 3 31. El valor de x en la expresión 21x = 20 es A) log 21 + log 20 B) log 21 – log 20 C) log 4 + log D) log21 log3
+ log 4
E) log 4+log 5 log 3+log 732. El valor de x en la expresión
log
3( 9
2x+1) = 2x
esA) 3 B) -1 C) -3 D) 0 E) 2
33. Al calcularse el valor de
log
√5+2√6+√5−2√6√5+2√6−√5−2√6 se obtiene A) 1 2log 6 B) 1 2log √6 C) log 2 + log 3 D) 1 2(log 3 − log 2) E) 1
34. Si log 2 = 0,3 y log 3 = 0,48, entonces la raíz de la ecuación
2
x+1= 3
x−1 esA) 13 3 B) √3 2 C) 1,5 D) 0,73
35. Si a b
=
1 2, entonceslog
2a
x− log
2b
x = A) -x B) 1 x C) -1 x D) 1 E) -136. Si log 25 = p, entonces log 2 es
A) 2−p 2 B) 2+p 2 C) p 2 D) 2p 25
E) 5p 2 37.
log
ba = c
si (1) b > 0 y b ≠ 1 (2)b
c=a
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
38. Se puede determinar el valor numérico de la expresión real log a – log b, si se
conoce: (1) log(a·b) (2) log
√ab
3 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
VIDEOS GUIA A – 03
Ejercicios 1 a 6 Ejercicios 7 a 13 Ejercicios 14 a 20
Ejercicios 21 a 25 Ejercicios 26 a 30 Ejercicios 32 a 34
Ejercicios 35 a 38
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
PRODUCTOS NOTABLES
1. Cuadrado de un Binomio: (a b)2 = a2 2ab + b2
Ejercicio. Si a · b = 10 y a2 + b2 = 29, entonces el valor de
(a – b)2 es
A) 9 B) 19 C) 29
D) 49 E) no se puede determinar el valor.
2. Suma por su Diferencia: (x + y)(x – y) = x2 – y2
Ejercicio. Si
a +
1 b= 9
y a2b2−1 b2= 36
, entoncesa −
1 b = A) -9 B) 6 C) 4 D) 3 E) 13. Producto de binomios con término común: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Ejercicio. Al resolver el producto (x + √2)∙(x - √8) se obtiene
A) x2 - 4 B) x2 - √10 x - 4
C) x2 - √2 x - 4 D) x2 + √2 x - 4
4. Cubo de un binomio. Si (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 Ejercicio. Al desarrollar la expresión (a3 – b2)3 se obtiene:
A) a9 – b6 B) a6 – b5 C) a9 – 3a6b2 – 3a3b4 – b6
D) a9 – 3a6b2 + 3a3b4– b6 E) a9 - 3a6b2 + 3a3b4+ b6
FACTORIZACIÓN: Factorizar es el proceso de escribir un
polinomio como producto de sus factores Factorizar: 1) 6x – 18y + 24
2) a5 + a7
3) x2 + 3x – 10
4) 25x2 – 49 5) x2 - 2
Ejercicio. ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son)
divisor(es) de la expresión algebraica 2x2 − 6x − 20?
I) 2 II) x − 5 III) x + 2
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
Factorización de una suma y diferencia de cubos
𝐚
𝟑+ 𝐛
𝟑= (𝐚 + 𝐛)(𝐚
𝟐− 𝐚𝐛 + 𝐛
𝟐)
𝐚
𝟑− 𝐛
𝟑= (𝐚 − 𝐛)(𝐚
𝟐+ 𝐚𝐛 + 𝐛
𝟐)
Ejercicio. Si a y b son números reales positivos, P = a2 + b2, Q = (a + b)2 y
R =
a
3+b
3a+b
, ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera?A) P = Q = R B) R < P = Q C) R = P < Q D) R < P < Q E) P < Q < R
OPERATORIA CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Resolvamos: 1) a a+b
+
b a−b−
2ab a2−b2 = 2) a2−b2 x2−y2∶
a+b x+y = 3) x 2−x−2 x∙
5x2 x2−5x+6 = ECUACIONES DE PRIMER GRADO.La ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen elementos desconocidos llamados incógnitas. Para resolver una ecuación se debe despejar la incógnita, cuyo valor reemplazado en la ecuación hace que la igualdad sea verdadera.
Ejercicio. La suma de la edad de una madre con las edades de sus dos hijas es 55
años. La edad de la madre es el doble de la edad de la hija mayor y la suma de las edades de las dos hermanas es 25 años. ¿Cuál es la edad de la hija menor?
A) 5 años B) 10 años C) 15 años D) 20 años E) 30 años
En el número de soluciones de una ecuación se pueden dar que la ecuación tenga
infinitas soluciones. Por ejemplo, 2x + 4 – 2(x + 2) = 0.
Como también ecuaciones que no tienen solución. Por ejemplo, 5x + 7 = 4 + 5x.
SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON 2 INCÓGNITAS.
La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es:
a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2
donde a1, a2, b1, b2, c1 y c2 son números reales.
Se denomina solución del sistema a todo par de valores que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones. Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas existen varios métodos, entre ellos, el de sustitución, el de igualación y el de reducción.
El sistema tiene solución única si
2 1 2 1 b b a a
. Por ejemplo, 3x+2y=12x–5y=3 El sistema tiene infinitas soluciones si:
2 1 2 1 2 1 c c b b a a =
= . Por ejemplo, 6x−4y=103x−2y=5 El sistema no tiene solución si:
2 1 2 1 2 1 c c b b a a
Ejercicios.
1. Si 2A – B = 1 y A + 3B = 11, entonces A + B es A) 12 B) 5 C) 3 D) 2 E) 4
2. ¿Para qué valor de k el sistema 3x+2y=35x–ky=2 no tiene solución? A) - 4 3 B) - 10 3 C) 2 D) 10 3 E) 5 PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS
En los siguientes ejercicios, sólo escribe la ecuación o sistema de ecuaciones correspondiente al enunciado, sin resolverlos.
1. A una persona le aumentan el sueldo en 7
20 de lo que ganaba. Si su nuevo sueldo es $216.000, ¿en cuánto fue aumentado?
2. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al
menor en 8. ¿Cuáles son los números?
3. Se repartirá un premio entre Ingrid, Gerardo y Jaime. Ingrid
recibe 3
8 del total, Gerardo recibe 2
3 de lo que quedará y Jaime $130.000. ¿Cuánto reciben Ingrid y Gerardo, respectivamente?
4. Un grupo de amigos salen a almorzar a un restaurante y desean repartir la cuenta
en partes iguales. Si cada uno pone $5.500 faltan $ 3.500 para pagar la cuenta y si cada uno pone $6.500 sobran $500. ¿Cuál es el valor de la cuenta?
5. La edad de Carla es el doble que la edad de Macarena. Hace diez años la suma de
las edades era igual a la edad que tiene hoy Carla. ¿Cuál es la edad de cada una en la actualidad?
6. Encuentra dos números tales que si a cada uno le agregamos siete unidades, los
resultados están en la razón 3:2, pero si les restamos cinco unidades, la razón es 5:2.
7. Una persona tiene $8.000 en 200 monedas de $10 y de $50. ¿Cuántas monedas de
$10 y de $50 tiene?
8. La suma de las dos cifras de un número es 9 y la diferencia entre él y el que resulta
de invertir el orden de sus cifras es 45. ¿Cuál es el número primitivo?
9. Encuentra un número entre 10 y 99 sabiendo que la cifra de las unidades es el
doble que la cifra de las decenas y que si se invierten, el número aumenta en 36.
10. Descomponer 895 en dos partes, de modo que al dividir la mayor por la menor se
GUIA A - 05
1. Sea la ecuación 0,16̅x + 0,25x + 2 = 0, 3̅. Entonces, el recíproco de x es
A) -4 B) 1 4 C) −1 4 D) 1 15 E) 4 2. Si
4 −
2t−1 2= 0
, entonces t = A) 5 B) 3 C) 3 2 D) 9 2 E) 7 23. En un viaje Pedro se traslada 800 km. La cuarta parte del viaje lo realiza en bus.
Las tres quintas partes del resto lo hace en avión y lo que queda en tren. ¿Cuántos kilómetros anduvo Pedro en tren?
A) 120 km B) 240 km C) 320 km D) 360 km E) 480 km
4. Sean x e y dos reales positivos, tal que x2 + y2 = 2
9, además xy = 1 9, entonces x + y = A) 3 4 B) 9 16 C) 2 3 D) 1 8 E) √3 3
5. Juan ahorró dinero juntando en total 65 monedas entre monedas de $ 100 y de
$ 500. Si en total ahorró $ 7.300, ¿cuál de los siguientes sistemas permite encontrar la cantidad (y) de monedas de $ 500 que ahorró, sabiendo que x es la cantidad de monedas de $ 100? A) 500x+100y = 65; x+y = 7.300 B) x+y = 65; 100x+500y = 7.300 C) x+y = 65; x+y = 7.300 D) xy = 65; x + y = 7.300 E) x + y = 65; xy = 7.300 6. Si p – q = 7 y r – s = 8, entonces p – q – 2r + 2s es A) -9 B) -3 C) -1 D) 15 E) 23
7. Si a y b son números reales, positivos y distintos, tales que ab = 1, entonces el
valor de la expresión a 1+a
+
b 1+b es A) 0 B) 1 C) a D) b E) a + b8. Sean x e y dos reales positivos, tal que x2 + y2 = 6xy, con x > y, ¿cuál es el valor
de la expresión x−y x+y? A) 2√2 B)1 2 C) √2 2 D) √2 E) 2 9. En el sistema 3𝑥 − 𝑚𝑦 = 9
𝑛𝑥 + 4𝑦 = −11 ¿qué valores deben tener m y n, respectivamente, para que la solución del sistema sea el par (1, -3)?
A) -2 y 1 B) -2 y -1 C) 2 y 1 D) 4 y -23
10. La expresión xy−x y
:
ay−a y2 es igual a A) 0 B) a xy C) ax y D) xa(y−1) 2 y3 E) xy a11. Un vehículo ha recorrido pq kilómetros, donde p es el dígito de las decenas y q el
dígito de las unidades. La suma de los dígitos que componen dicho número es ocho. Dieciocho kilómetros más adelante ha recorrido qp kilómetros, donde q es el dígito de las decenas y p el dígito de las unidades. ¿Cuál de los siguientes sistemas permite determinar los kilómetros recorridos?
A) p+q = 8; p+q = 10q+p-18 B) p+q = 8; 10q+p = 10p+q+18 C) p + q = 8; p+q-18 = 10p+q D) p+q = 8; 10q+p+18 = 10p+q E) p+q = 8; p+q+18 = 10p+q 12. Al reducir la expresión
(
x y+
y x) (x + y): (
1 x+
1 y)
resulta A) x+y B) 3x+2y C) x-y D) x2+y2 E) (𝑥 + 𝑦)2 13. (p + q) + (p + q)2 = A) 3(p + q) B) (p + q)3 C) p + q + p2 + q2 D) (p + q)(1 + p + q) E) 2(p + q)214. Al reducir la siguiente expresión n2−1
a+b
⋅
a2−b2 n+1 , se tiene A) (n+1)(a-b) B) 1 C) 𝑎2+𝑏2 𝑎+𝑏 ⋅ (𝑛 − 1) D) (n-1)(a-b) E) (a+b)(n-1)15. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a a2−2ab+b2 a2−b2 ? A) -2ab B) 2 a+b C) 1 a−b D) a−b a+b E) a + b
16. Se tienen $ 16.000 en monedas de $ 500 y de $ 50. Si el total de monedas es 50,
entonces la cantidad de monedas de $ 500 es A) 32
B) 30 C) 27 D) 20 E) 18
17. ¿Para qué valor de x la expresión x−2
2x+3 NO está definida? A)
−
3 2 B) -2 C) 0 D) 2 E) -3 18. Si a = b b1− , ¿cuánto vale b, en función de a?
A) a a − 1 B) a a 1+ C) a a 1− D) a a + 1 E) a
19. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a 8x3 – 1?
A) (2x – 1)3
B) 8(x – 1)3
C) (2x - 1)(4x2 + 2x + 1)
D) 4(2x + 1)(2x – 1) E) (4x - 1)(2x + 1)
20. Si A – B – C = 2 y A⋅B + A⋅C = BC, entonces A2 + B2 + C2 = A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 21. Si bx + b = a + ax, entonces x + a = A) -1 B) –a C) -1 – a D) -1 + a E) 1 + a
22. Una persona viaja desde La Serena a Los Vilos, ciudades que se encuentran a una
distancia de 210 km. Si en los tres primeros días recorre 3 7,
2 21 y
7
30 de esa distancia, respectivamente, ¿a cuántos kilómetros de Los Vilos se encuentra al término del tercer día de iniciado el viaje?
A) A 49 km B) A 51 km C) A 100 km D) A 110 km E) A 159 km
23. Sean a, b y p números reales, tales que a > b y p = a2−b2
a2−2ab+b2
.
¿Cuál de lassiguientes afirmaciones es siempre verdadera? A) p = 1
B) p = 0 C) p > 1
D) Si b > 0, entonces p < 1 E) Si b < 0, entonces p < 1
24. El perímetro de un triángulo de lados a, b, c es 2(3p + q) cm. Si el lado a mide (p + q) cm. y el lado b mide (7p – 2q) cm., ¿cuántos centímetros mide
el lado c? A) 14p + q B) 14p - q C) 5p – 2q D) 3q – 2p E) 2p + 3q
25. Un sitio rectangular de s metros de frente por t metros de fondo fue comprado
por 3 amigos en partes iguales. Si costó $p el metro cuadrado, ¿cuánto pagó cada uno de los compradores?
A) $3stp B) $3p st C) $stp 3 D) $st 3p E) $(s−t)p 3
26. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde al recíproco de
(
𝑎 𝑏+
𝑏 𝑎)? A) ab a+b B) ab a2+b2 C) ab-1 + ba-1 D) 1 a2+b2 E) a 2+b2 a+b27. Leonardo tiene una cierta cantidad de dinero en monedas de $ 500. Si le regalaran
otras 5 de estas monedas tendría menos de $ 50.000, pero si gastara $ 10.000 le quedarían más de 20 monedas de $500. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera, con respecto al dinero que tiene Leonardo?
A) Tiene $ 20.000. B) Tiene $ 47.500. C) Tiene más de $ 47.500. D) Tiene menos de $ 20.000. E) Tiene más de $ 20.000 y menos de $ 47.500. 28. La expresión x2 - (x + a)2 es igual a A) a(2x + a) B) 2x2 + a2 C) -a2 D) -x E) -a(2x + a)
29. Sean x e y distintos de cero, entonces 1+ x y x2 y−y = A) x - y B) 1 C) 1 x+y D) 1 x−y E) x + y
30. ¿Qué condición debe cumplir p para que la ecuación en x, px – 1 = 4x + p, NO
tenga solución? A) p = -4 B) p = -1 C) p ≠ -1 D) p = 4 E) p ≠ 4
31. El perímetro de un rectángulo es de 46 cm. Si el largo disminuye en 3 cm. y el ancho
aumenta en 2 cm., el área del rectángulo no cambia. En estas condiciones, la diferencia de las medidas originales entre el largo y el ancho es
A) 15 cm. B) 12 cm. C) 8 cm. D) 7 cm. E) 5 cm.
32. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un cuadrado perfecto?
I) 25x2 - 10x + 22 II) 36x2 – 12x – 1 III) 4x2 – 8x + 1 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I, II y III E) Ninguna
33. La superficie de un cuadrado está dada por 4x2 – 12x + 9. Si el lado del cuadrado
aumenta en 2 unidades, ¿cuánto aumenta la superficie del cuadrado? A) 8x + 8
B) 8x - 8 C) 8x + 16 D) 8x - 16 E) 4
