República Bolivariana de Venezuela
Universidad Pedagógica Experimental Libertador Instituto De Mejoramiento Profesional Del
Magisterio Núcleo Académico Trujillo
Nombre: Manuel Peña C.I: 16.267.405
MAYO 2017
Transformaciones lineales
En primer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales VV y WW, y una función que va de VV a WW. O sea una regla de asignación que transforma vectores de VV en vectores de WW. Pero no toda función que transforme vectores de VV en vectores de WW es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones:
F: V→WF:V→W es una transformación lineal si y sólo si:
1. F(u+v)=F(u)+F(v) ∀u,v∈VF(u+v)=F(u)+F(v) ∀u,v∈V 2. F(k.v)=k.F(v) ∀v ∈ V, ∀k∈R
Transformación nula. La aplicación 0V → W: V→ W definida por 0V→W(x) = 0W ∀ x ∈ V
Es una transformación lineal y se llama la transformación nula.
Transformación identidad. La aplicación I : V → V definida por I(x) = x ∀ x ∈ V
Es lineal y se llama la transformación identidad.
Ejemplo:
Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función T: V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c: a) T (u + v) = T (u) + T (v)
b) T (c u) = c T (u)
Demuestre que la transformación T: R2 →R2 definida por
Es lineal.
Entonces:
Como se cumplen las dos condiciones:
T es lineal. Homotecias:
Si a cada vector x de un espacio E le hacemos corresponder el vector 2x obtenemos la función h2: E 3 x 7→ 2x ∈ E. Esta función es una TL ya que
h2 (a + b) = 2 (a + b) = 2a + 2b =h2 (a) + h2 (b)
h2 (λa) = 2λa = λ2a = λh2 (a)
Obsérvese; que en el segundo renglón se usa la conmutatividad del producto de escalares.
Lo mismo ocurre si en lugar del escalar 2 usamos cualquier otro escalar α ∈ K obteniendo la TL hα: E 3 x 7→ αx ∈ E. A las funciones hα se les llama homotecias.
Hay dos casos particulares de homotecias especialmente importantes. Si α = 1 entonces obtenemos la función identidad x 7→ x. A esta función se la denotara por L.
Si α = 0 entonces obtenemos la función nula x 7→ 0 que se denotara por O. En el caso del campo R las homotecias tienen una interpretación geométrica muy clara.
Si α > 0 entonces cada punto x ∈ Rn se transforma en el punto αx que está en la misma recta por el origen que x pero a una distancia del origen α veces mayor que x. Esto quiere decir que hα es la dilatación de razón α.
Si 0 < α < 1 entonces hα es una contracción de razón 1/α.
Propiedades de una transformación lineal
Propiedad 1
La imagen del vector nulo del dominio 0V0V es el vector nulo del codominio 0w0w:
T(0V)=0wT(0V)=0w
Demostración:
T(0V)=T(0.v)=0.T(v)=0.w=0WT(0V)=T(0.v)=0.T(v)=0.w=0W
Donde hemos expresado a 0V0V como el producto del escalar 00 por cualquier vector del espacio vectorial VV, hemos usado la segunda condición que debe cumplir una transformación lineal, y finalmente hemos vuelto a usar la propiedad de espacios vectoriales sobre el producto del escalar 0 por cualquier vector.
Propiedad 2
La imagen del vector –v–v es igual al opuesto de la imagen de vv:
T (–v)=–T(v)T(–v)=–T(v)
Demostración:
La justificación de los pasos dados en la demostración es similar a la anterior.
Propiedad 3
Consideremos r vectores del espacio vectorial V:
v1,v2,…,vr∈Vv1,v2,…,vr∈V
Tomemos una combinación lineal en el dominio:
α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvrα1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr
Donde αi∈Rαi∈R.
Si aplicamos la transformación lineal FF de VV a WW, teniendo en cuenta las propiedades enunciadas en la definición, resulta:
F(α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr)=α1F(v1)+α2F(v2)+…+αrF(vr)F(α1v1+α2v2+α3v3+... +αrvr)=α1F(v1)+α2F(v2)+…+αrF(vr)
Es decir que una transformación lineal “transporta” combinaciones lineales de VV a WW, conservando los escalares de la combinación lineal.
Núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal.
Definición. Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V → W una transformación lineal. Entonces:
El kernel (o núcleo) de T, denotado como ker T, está dado por ker T = {v ∈ V: Tv = 0}
Observación. Note que ker T es no vacío ya que por el Teorema 1 de las Transformaciones lineales, T(0) = 0 de manera que 0 ∈ ker T para toda transformación lineal T. Será interesante encontrar otros vectores en V que sean
"mapeados al cero". De nuevo, nótese que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V, y el 0 de la derecha está en W.
Ejemplo:
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, . . . , vn}. Sean w1, w2,. . ., wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2, . . ., n. Entonces para cualquier vector v ∈ V, T1v = T2v; es decir T1 = T2.
Imagen de una transformación lineal.
Definición. Sean V y W espacios vectoriales y sea T: V → W una transformación lineal. Entonces:
imag V = { w ∈ W: w = Tv para alguna v ∈V}
Observación. El concepto imag T es simplemente el conjunto de "imágenes" de vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, diremos que w es también la imagen de v bajo T.
Teorema. Si T : V → W es una transformación lineal, entonces:
i. ker T es un subespacio de V.
ii. imag T es un subespacio de W.
Demostración.
i. Sean u y v en ker T; entonces T (u + v) = Tu + Tv = 0 + 0 = 0 y T(αu) = αTu = α0= 0 de modo que u + v y αu están en ker T.
ii. Sean w y x en imag T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vectores u y v en V. Esto significa que T(u + v) = Tu + Tv = w + x y T(αu) = αTu = αw. De esta manera w + x y αw están en imag T.
Ejemplo.
T es el operador de proyección de R3 en el plano xy.
Entonces x = y = 0. Así, nu T = {(x,y,z):x = y = 0, zϵR}, es decir, el eje z, e Im T = {(x,y,z): z = 0}, es decir el plano xy. Observe que dim un T = 1 y dim Im T = 2.
