Unidad II
Ecuaciones No Lineales
Ing. Juan De La Rosa.
Calculo Numérico
Ingeniería de Sistemas
Temario
Métodos cerrados:
Métodos gráficos
Método de bisección
Método de la posición falsa Métodos abiertos
Iteración simple de punto fijo Método de Newton-Raphson Método de la secante
27/03/12 29/03/12
10/04/12 12/04/12
Examen Parcial 17/04/2012
Métodos gráficos
Los métodos gráficos consisten en graficar la función
f(x) y observar donde la función cruza el eje x.
Ejemplo 1
0 40
38 1 .
667 0.146843x
x e x
f
x f(x)
4 34.11488938 8 17.65345264 12 6.066949963 16 -2.268754208 20 -8.400624408
Encontrar la raíz de:
-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
0 5 10 15 20 25
Ejemplo 2
x f(x)
0.00 1.00
0.25 1.33
0.50 -0.89
0.75 0.31
1.00 -1.53
1.25 -0.89
1.50 0.44
1.75 -0.46
2.00 1.87
2.25 0.41
2.50 0.21
2.75 0.31
3.00 -1.90
3.25 -0.06
3.50 -0.90
3.75 0.05
4.00 1.59
4.25 -0.01
4.50 1.45
4.75 -0.48
5.00 -1.02
-2.50 -2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
Grafica de: f(x) = sen 10x + cos 3x
Método de la bisección
Se trata de encontrar los ceros de f(x) = 0
Donde f es una función continua en [a,b] con f(a) y f(b) con signos diferentes.
y = f(x)
x y
a
b f(a)
Método de la bisección
De acuerdo con el teorema del valor medio, existe p [a,b] tal que f(p) = 0.
El método consiste en dividir a la mitad el intervalo y localizar la mitad que contiene a p.
El procesos se repite hasta la lograr la precisión deseada.
Método de la bisección
y = f(x)
x y
a
b
f(b) f(a)
p=(a+b)/2
f(p1)
p
Mitad del intervalo que contiene a p
Primera iteración del algoritmo
Método de la bisección
y = f(x)
x y
a =p1
b
f(b) f(a)
p2=(a+b)/2 f(p2) p
Mitad del intervalo que contiene a p
Segunda iteración del algoritmo
Error Iteración Xa Xr Xb f(Xa) f(Xr) f(Xb)
0.1 0 0.7 0.8 0.9 0.2748 0.056 -0.188
0.05 1 0.8 0.85 0.9 0.056 -0.062 -0.188
0.025 2 0.8 0.825 0.85 0.056 -0.00206 -0.062
0.0125 3 0.8 0.8125 0.825 0.056 0.027 -0.00206 0.00625 4 0.8125 0.81875 0.825
Método de la bisección
Ejemplo 1
Aplicando el método de bisección encuentre con un error de 0.00 la solución positiva de la ecuación Cos (X) – X² = 0, entre los puntos (0.7,0.9)
Xa=primer intervalo (0.7) Xb= segundo intervalo (0.9)
Error= Xr- Xa Xr= Xa+Xb
2
F(Xa)=Cos (0.7) – (0.7)² = 0.2748 F(Xr)= Cos (0.8) – (0.8)² = 0.056 F(Xb)= Cos (0.9) – (0.9)² = -0.188
Método de falsa posición
xl
xu f(xl)
f(xu)
xr
Este método considera cual límite del intervalo está más próximo a la raíz.
De la figura
u r
u l
r l
x x
x f x
x x f
u l
u l
u u
r f x f x
x x x x f
x
Despejando
f(xr)
Es una técnica semejante a la bisección, salvo que la siguiente iteración se toma en la intersección de una recta entre el par de valores x y el eje x, en vez del punto medio
Este método converge a la raíz por un sólo lado, esto hace que la velocidad de aproximación baje. Existen modificaciones a este método que permiten mejorar este problema
Ejemplo
0 40 38 1
.
667 0.146843x
x e x
Encontrar la raíz de: f
Error Iteración Xa Xr Xb f(Xa) f(Xr) f(Xb)
0.1 0 0.7 0.8 0.9 53.131 52.4628 51.8004
0.05 1 0.7 0.75 0.8 53.131 52.7964 52.4628
0.025 2 0.7 0.725 0.75 53.131 52.9638 52.7964 0.0125 3 0.7 0.7125 0.725 53.131 53.0476 52.9638 0.00625 4 0.7 0.70625 0.7125
Métodos abiertos
Iteración simple de punto fijo
Método de Newton-Raphson
Método de la secante
Iteración de punto fijo x=g(x)
Para usar este método, (x) se reordena en una forma x=g(x) equivalente.
Observe que si (r)=0, donde r es una raíz de (x), se concluye que r=g(r)
Dependiendo del reordenamiento las expresiones que resulten la evaluación de éstas pueden ser divergentes o no, por lo cual debe considerarse en la búsqueda de raíces
Es decir, se deriva la función 4 veces.
Ejemplo
Se presenta la siguiente función (x)=sen x=0 con x=0
` (x)=cos x = 1
`` (x)=- sen x = 0
``` (x)=-cos x = -1
```` (x)=sen x = 0
Método de Newton-Raphson
Es uno de los métodos más usados para resolver ecuaciones
Se basa en una aproximación lineal de la función, aunque aplicando una tangente a la curva
A partir de una estimación inicial x
0se efectúa un
desplazamiento a lo largo de la tangente hacia su
intersección con el eje x, y se toma ésta como la
siguiente aproximación
x0-x1
x1 x0
(x0)
Ejemplo
Utilice el método de Newton-Raphson para calcular la raíz
aproximada de la función
(x)=tomando como valor inicial X= 1.5 tomando como valor de error 10¯³
Iteración Xn f(Xn) f`(Xn) Xn+1 Xn+1 - Xn Xn +1
1 1.5 8.72313 26.776870 1.174230 -
2 1.174230 1.785246 16.236736 1.064279 0.10333 3 1.064279 0.166968 13.247301 1.051675 0.012 4 1.051675 0.002048 12.922892 1.051517 1.5025x10-4 Xn+1 = Xn - f(Xn)
f`(X )
Se supone que (x) es lineal en la vecindad de la raíz
Se eligen puntos próximos a ésta y se traza una línea recta
Si bien es cierto (x) no es lineal y x
2no es igual a la raíz debe estar muy próxima. Mejores estimaciones se logran iterando y reemplazando los valores x
oy x
1El método de la secante
(x1)
x2
(x0)
x1 x0
Raíz
Es una variación del método de Newton-Raphson, donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.
X i+1 = X i .f(X i-1 )-X i-1 . f (X i )
f(X i-1 )- f (X i )
Iteración Xi -1 Xi f( Xi -1 ) f(Xi) Xi - Xi -1
0 1.5 2 -0.391802 0.386294 0.5
1 2 1.751770 0.386294 -0.017911 0.248230
2 1.751770 1.762769 -0.017911 -0.000711 0.010999
3 1.762769 1.763224 -0.000711 0.000465
4 1.763224
Determine la raíz de f(x)= x.ln(x)-1 con X0 = 1.5 y X1= 2 con precisión menor a 10¯³
