TF 1313 Capítulo 3 – Resolución de Ecuaciones Implícitas (Parte 1) pdf

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(1)CAPÍTULO 3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES IMPLÍCITAS.

(2) OBJETIVO El objetivo de este capítulo es introducir al estudiante a los métodos básicos para la resolución de ecuaciones implícitas. Al final del capítulo el estudiante será capaz de diferenciar entre los métodos de dos puntos iniciales y los métodos de un solo punto inicial y seleccionar cual es el más adecuado a su problema. El estudiante será igualmente capaz de diagnosticar la calidad de la solución obtenida. Sus nociones podrán ser generalizadas a problemas multivariables. El estudiante sabrá igualmente como resolver el caso especial de los polinomios..

(3) ECUACIÓN IMPLÍCITA • Una ecuación implícita es una ecuación en la cual la(s) variable(s) no puede(n) ser obtenida(s) en forma explícita. • Se suele decir que no se puede(n) "despejar" la(s) incógnita(s). • No sólo es una ecuación no lineal ya que: ax3+byx2+cx+ d = 0 no es implícita en y..

(4) ECUACIÓN IMPLÍCITA • Su escritura genérica es de la forma:  f1 (x1 , x 2 ,..., x n ) = 0 f (x , x ,..., x ) = 0 n  2 1 2  . f ( x) = 0 =  .   .  f n (x1 , x 2 ,..., x n ) = 0.

(5) EJEMPLOS • Ecuación de estado (por ejemplo la ecuación de van der Waals): a    P + 2 (v-b) = RT v  . • Reactor de mezcla completa con reacción química y volumen variable:. Ca =. C ao v o (Vo* + v o t )k. (1 − e. − kt. ).

(6) TIPOS DE MÉTODOS Una variable • Dos puntos iniciales: basados en el Teorema de Bolzano (Bisección, Regula-Falsi, etc.) • Un punto inicial: Newton-Raphson, Punto Fijo, Métodos de Segundo Orden.

(7) TIPOS DE MÉTODOS Multivariables • Método de Newton-Raphson Multivariable. • Método de Punto Fijo Multivariable.

(8) RAÍCES DE POLINOMIOS • Polinomios: se estudiarán como un caso particular. • Se revisarán las técnicas para hallar raíces de polinomios de segundo y tercer grado (Cardano), Método de Bairstow y cociente diferencia (Rufini)..

(9) MÉTODOS CON DOS PUNTOS INICIALES Teorema de Bolzano Sea f una función contínua en cada punto del intervalo cerrado [a,b], y se supondrá que f(a) y f(b) tienen signos distintos. Existe entonces por lo menos un c en el intervalo abierto ]a,b[ tal que f(c) sea igual a cero..

(10) TEOREMA DE BOLZANO Teorema de Bolzano. y. f(a) f(b). a. ba ba f(a). a. x f(b).

(11) TEOREMA DE BOLZANO Lógica para encerrar la raíz Si f(a).f(c) = 0. c es la solución. Si f(a).f(c) > 0. a toma el valor de c. Si f(a).f(c) < 0. b toma el valor de c.

(12) MÉTODO DE LA BISECCIÓN • Este método es el más sencillo de todos. • Se basa en un sentido natural del hombre que podría transcribirse así: como el punto c está entre a y b, se podría decir que el punto c está en el medio de a y b..

(13) MÉTODO DE LA BISECCIÓN • Es evidente que el punto más sencillo de ubicar dentro del intervalo a-b es exactamente en el punto medio.. a+b c= 2.

(14) DESVENTAJAS • Si bien la puesta en funcionamiento del método es muy fácil de llevar a cabo, el número de cálculos que se debe realizar para alcanzar la precisión deseada suele ser muy elevado. • El número de iteraciones puede ser a priori evaluada..

(15) DESVENTAJAS • En cada iteración el valor aproximado de la solución cambia solamente en la cantidad ε(n), donde n representa el número de iteraciones que se han realizado hasta este paso de cálculo:. ε. (n ). b−a = n 2.

(16) Método de la bisección. y f(b). a c4 c3. f(a). c2. c1. b. x.

(17) Método de la bisección Dado f(x), a, b. c=(a+b)/2. Calcular f(c). b=c No. f(c)<Error Si Fin. No. f(a)*f(c)>0. Si. a=c.

(18) REGULA-FALSI (Interpolación Lineal) • El método de Regula-Falsi corresponde a realizar una interpolación lineal entre los puntos a y b. • Se busca, en la recta que pasa por los puntos [a;f(a)] y [b;f(b)], el punto c tal que su imagen f(c) se anule..

(19) REGULA-FALSI • En esta expresión aparece la relación (b a)/(f(b) - f(a)) que es equivalente al inverso de la derivada de primer orden de la función f. • La ecuación resultante es:. b−a af (b) − bf (a ) c = a − f (a ) = f ( b ) − f (a ) f ( b ) − f (a ).

(20) VENTAJAS • La velocidad de convergencia de este método es muy superior a la del método de la bisección cuando ambos puntos están lejos de la solución. • Se puede demostrar que la convergencia del método de interpolación lineal puede ser escrito de la forma:. ε. (n). =ε. (n -1). ε. (n - 2). f" (ξ) 2f' (ξ).

(21) DESVENTAJAS • Su eficiencia ya no es tan evidente cuando un punto está distante de la solución y el otro está muy cercano a ella. • Uno de los principales defectos de este método es que en la mayoría de los casos, uno de los límites del intervalo es utilizado como punto de apoyo y solamente el otro se ve afectado por el procedimiento de cálculo, afectando así la velocidad de convergencia..

(22) Método regula falsi. y f(a). c3. f(b). a. c2. c1. b x.

(23) Método regula falsi ó de la secante Dado f(x), a, b Calcular f(a),f(b) c=a-f(a)*(a-b)/(f(a)-f(b)). Calcular f(c). b=c No. f(c)<Error Si Fin. No. f(a)*f(c)>0. Si. a=c.

(24) REGULA-FALSI MODIFICADO • Diseñado para evitar que durante el proceso de acercamiento a la raíz, no se vaya a utilizar un punto lejano a ella como apoyo fijo. • Esto se logra mediante unas preguntas realizadas sobre los límites del intervalo..

(25) REGULA-FALSI MODIFICADO • Si durante dos iteraciones sucesivas el producto f(a).f(c) mantiene su signo negativo entonces los nuevos límites son [a; f(a)/2] y [c; f(c)]. • Si el producto f(a).f(c) mantiene su signo positivo entonces los nuevos límites son [c; f(c)] y [b; f(b)/2] • Finalmente si el f(a).f(c) cambia de signo se aplica la regla tradicional de Regula-Falsi..

(26) Método regula falsi modificado. y f(a). f(a)/2 c3. f(b). c2. c1. b x.

(27) REGULA-FALSI MODIFICADO • El valor de c se obtiene por una expresión muy similar a la de la secante, pero con un factor correctivo a nivel del denominador (que representa la derivada de primer orden). f (a ) c=a− f (a ) − f ( b ) f ( b ) − f (c ) − f (a ) − f ( b ) a−b b−c + a−b 2.

(28) MÉTODOS CON UN PUNTO INICIAL • Los métodos con un solo punto inicial suelen ser más rápidos para llegar a la solución aproximada que los métodos con dos puntos iniciales. • Además, ya que requieren un solo punto de partida, no necesitan un conocimiento a priori de la función para estimar la zona donde puede(n) estar la(s) solución(es)..

(29) DESVENTAJAS • Su principal defecto se debe al hecho que este mismo desconocimiento de la función no permite saber a priori si existe o no una solución al problema, o en el caso que exista, si puede ser alcanzada a partir del primer valor suministrado..

(30) MÉTODOS TRADICIONALES • Newton-Raphson y • Punto Fijo..

(31) NEWTON-RAPHSON • El método de Newton-Raphson, a veces conocido solamente bajo el nombre de Newton, se basa en formular un desarrollo en serie de Taylor en un punto cercano a la solución. • Este desarrollo en serie puede ser escrito: 2. h h f ( x + h ) = f ( x ) + f ′( x ) + f ′′( x ) + .... 1! 2!.

(32) NEWTON-RAPHSON • Si ahora se aplica esta fórmula, truncada al primer orden, a dos puntos consecutivos de la serie que converge hacia la solución tal que h= x(n+1)- x(n), y notando que f(x(n+1)) tiende a cero, se obtiene:. 0 = f(x. ( n +1). ) = f(x ) + ( x (n). ( n +1). −x. (n). )f ′( x. (n). ).

(33) NEWTON-RAPHSON • Reorganizando esta ecuación se obtiene:. x RF. ( n +1). =x. (n). (n). f(x ) − (n) f ′(x ).

(34) VENTAJAS • La ecuación de Newton-Raphson es muy sencilla, pero sumamente poderosa. • Se requieren pocas iteraciones para converger, pero no se tiene a priori ninguna garantía de que el método vaya a permitir obtener la solución..

(35) DESVENTAJAS • En cada iteración, se necesita evaluar una vez la función f(x) y una vez su derivada f'(x). • Su principal limitación corresponde al hecho que debe conocerse la expresión analítica de la derivada, o realizar una evaluación precisa en forma numérica..

(36) N-R y Regula-Falsi • Si se reemplaza el cálculo de la derivada por una aproximación a través de dos puntos consecutivos • f'(x(n)) = (f(x(n))- f(x(n-1)))/(x(n) - x(n-1)) • se obtiene el método de Regula-Falsi discutido anteriormente..

(37) Método de Newton-Raphson. y f(c0). f(c1) f(c2) c0. c1. c2 f’(c0). x f’(c1). f’(c2).

(38) Método de Newton-Raphson. Dado f(x), f’(x) xn. Calcular f(xn),f’(xn). xn+1 = (xn) - f(xn)/f’(xn). xn+1 - xn=Error. Si Fin. No. xn = xn+1.

(39) CRITERIO DE CONVERGENCIA. (ε. ε. (n). ). ( n −1) 2. 1 f" (ξ) = <1 2 f' (ξ).

(40) PUNTO FIJO • En el caso del método del punto fijo, la escritura general del problema debe ser presentada de forma distinta. • En efecto, en vez de tener la ecuación general f(x)=0, se debe escribir la ecuación de la forma g(x)=x. • Ciertas formas pueden ser improcedentes para la obtención de la raíz de la ecuación..

(41) PUNTO FIJO • El procedimiento utilizado en el punto fijo es sumamente sencillo. A partir de un valor inicial de la variable x (x(0) al inicio del método y x(n) en la etapa n de cálculo), se calcula la imagen de la función g en este punto g(x(0)) o g(x(n)). Si el proceso es convergente, este valor corresponde a una mejor aproximación de la solución..

(42) PUNTO FIJO • La ecuación puede escribirse de la forma:. x. ( n +1). = g( x. (n). ).

(43) CRITERIO DE CONVERGENCIA ( n +1). ε (n) ′ = f ( x ) < 1 (n) ε.

(44) Método del punto fijo. y y=x f(c3) f(c ) 2 f(c1) f(c0). c0. c1. c2 c3. x.

(45) Método del punto fijo Dado g(x), xn. xn+1 = g(xn). | xn+1 - xn | = Error. xn = xn+1 No. Si Fin.

(46) SUGERENCIAS • Dado el hecho que, como se ha mencionado anteriormente, numerosas expresiones g(x)=x pueden ser obtenidas a partir de f(x)=0, es conveniente tener un particular cuidado en seleccionar la función que sea la más representativa desde el punto de vista físico..

(47) SUGERENCIAS Relajación • Es conveniente recordar que en numerosos casos, se puede probar la expresión: x(n+1) = (1-α)x(n) + αg(x(n)) • El valor de α es un número comprendido en el intervalo ]0,1], siendo 1/2 un valor tradicional..

(48) MÉTODOS DE SEGUNDO ORDEN • Existen métodos que aceleran la convergencia del método de NewtonRaphson. • Uno de los más sencillos es el método de Steffensen que toma en cuenta la derivada de segundo orden en el desarrollo en serie de Taylor..

(49) MÉTODOS DE SEGUNDO ORDEN • La expresión que se utiliza es: 0 = f ( x ( n +1) ) = f ( x ( n ) ) + ( x ( n +1). x. ( n +1). =x. (n). ( n +1) (n) 2 ( x − x ) (n) (n) ′ − x )f ( x ) + f " (x (n ) ) 2. ) − ( n +1) (n) x −x (n) (n) ′ ′ ′ f (x ) + f (x ) 2. (. f (x. (n). ).

(50) VENTAJAS Y DESVENTAJAS • Este tipo de fórmula permite obtener una mayor precisión en un solo cálculo. • Requiere de la evaluación de un número superior de veces de la función y sus derivadas y por lo tanto requiere mayor tiempo de cálculo..

(51) DESVENTAJAS • Esta forma implícita requiere un cálculo iterativo del valor x(n+1), lo que es poco conveniente si se desea limitar el número de cálculos en cada paso. (n) f (x ) ( n +1) (n) x =x − ( n +1) (n) ( x −x ) (n) (n) ′ ′ ′ f (x ) + f (x ) 2.

(52) FÓRMULA DE HALLEY • Se conoce también la fórmula de Halley para la evaluación de la solución a partir de del conocimiento de la derivada de segundo orden. • La expresión es: x ( n +1) = x ( n ). f (x (n ) ) − (n) (n) ′ ′ f ( x ) f ( x ) (n) f ′( x ) − 2f ′( x ( n ) ).

(53) RAÍCES MÚLTIPLES • Una raíz de una función f(x) es múltiple cuando la función es tangencial al eje x. • Por ejemplo, una raíz doble resulta de: f ( x ) = ( x − x0 )( x − x1 ) 2 = x 3 − x 2 (2 x1 + x0 ) + x( x12 + 2 x0 x1 ) − x0 x12.

(54) f(x). RAICES DOBLES. 0 x1. x.

(55) RAÍCES TRIPLES. f ( x ) = ( x − x0 )( x − x1 ) f(x). 0 x1. x. 3.

(56) PROBLEMAS • Las funciones que presenten raíces múltiples pueden resultar muy problemáticas al querer hallar sus raíces por los métodos convencionales. • Por ejemplo la raíces múltiples pares (doble, cuádruple, etc.) no presentan cambio de signos y su derivada es igual a cero..

(57) MÉTODO DE RALSTONRABINOWITZ • Propusieron la siguiente modificación a la fórmula de Newton-Raphson: x i +1. f (x i ) = xi − m f ′( x i ). • donde m es la multiplicidad de la raíz (esto es que m=2 para una raíz doble, m=3 para una raíz triple, etc.)..

(58) MÉTODO DE RALSTONRABINOWITZ • Claro que no es muy satisfactorio tener que conocer la multiplicidad de una raíz previamente; por eso es que los mismos autores proponen una nueva función u(x) como la relación de una función con su derivada; es decir:. f (x) u(x) = f ′( x ).

(59) MÉTODO DE RALSTONRABINOWITZ • Demostraron que la función u(x) tiene las mismas raíces que la función original, por lo que proponen la siguiente fórmula para el cálculo iterativo:. x i +1. u(x i ) f ( x i )f ′( x i ) = xi − = xi − 2 u′( x i ) [f ′( x i )] − f ( x i )f ′′( x i ).

(60) AGENDA • Lunes 7: Terminar Capítulo 3. Entregar Tarea # 2. • Miércoles 9: Clase de ejercicios. • Lunes 14: Primer Parcial. Entregar Tarea #3..

(61) PARCIAL 1 • • • •. Día: 14 de febrero Duración: 2 horas Lugar: ENE-104 Requiere: Calculadora. Hojas blancas tamaño carta. • Tipo de examen: Libro abierto..

(62) ESTRUCTURA DEL EXAMEN • Dos partes: Teórica y práctica. • Teórica: Selección sencilla. Tres preguntas incorrectas anulan una correcta. Entre 20 y 30 preguntas. • Práctica: Tres problemas que pueden ser de: desarrollo, demostración, resolver un sistema sencillo o plantear un problema complejo..

(63) AGENDA • Lunes 7: Terminar Capítulo 3. Entregar Tarea # 2. • Miércoles 9: Clase de ejercicios. • Lunes 14: Primer Parcial. Entregar Tarea #3..

(64) CAPÍTULO 3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES IMPLÍCITAS (Segunda parte).

(65) TIPOS DE MÉTODOS Una variable • Dos puntos iniciales: basados en el Teorema de Bolzano (Bisección, Regula-Falsi, etc.) • Un punto inicial: Newton-Raphson, Punto Fijo, Métodos de Segundo Orden.

(66) TIPOS DE MÉTODOS Multivariables • Método de Newton-Raphson Multivariable. • Método de Punto Fijo Multivariable.

(67) Método de la bisección. y f(b). a c4 c3. f(a). c2. c1. b. x.

(68) MÉTODO DE LA BISECCIÓN • El punto siguiente dentro del intervalo a-b es exactamente en el punto medio.. a+b c= 2.

(69) NÚMERO DE ITERACIONES. ε. (n). b−a = n 2.

(70) Método regula falsi. y f(a). c3. f(b). a. c2. c1. b x.

(71) REGULA-FALSI b−a af (b) − bf (a ) c = a − f (a ) = f ( b ) − f (a ) f ( b ) − f (a ). ?????.

(72) Triángulos semejantes: f(a) f(a) a a. c. c. b. b f(b). f(b). b − c 0 − f (b ) = c − a f (a ) − 0 f (a )[b − c ] = −(c − a )f (b ) af (b ) − bf (a ) c= f ( b ) − f (a ).

(73) Método regula falsi modificado. y f(a). f(a)/2 c3. f(b). c2. c1. b x.

(74) REGULA-FALSI MODIFICADO f (a ) c=a− f (a ) − f ( b ) f ( b ) − f ( c) − f (a ) − f ( b ) a b b c − − + a−b 2 YO?.

(75) Método de Newton-Raphson. y f(c0). f(c1) f(c2) c0. c1. c2 f’(c0). x f’(c1). f’(c2).

(76) NEWTON-RAPHSON. x ?????. ( n +1). =x. (n). (n). f(x ) − (n) f ′(x ).

(77) f(xn) α xn+1. xn. f ( xn ) f ' ( x n ) = tanα = x n − x n +1 f ( xn ) x n − x n +1 = f ' ( xn ) f ( xn ) x n +1 = x n − f ' ( xn ).

(78) CRITERIO DE CONVERGENCIA. (ε. ε. (n). ). ( n −1) 2. 1 f" (ξ) = <1 2 f' (ξ).

(79) Método del punto fijo. y y=x f(c3) f(c ) 2 f(c1) f(c0). c0. c1. c2 c3. x.

(80) PUNTO FIJO. x. ( n +1). = g( x. (n). ).

(81) CRITERIO DE CONVERGENCIA ( n +1). ε (n) ′ = f ( x ) < 1 (n) ε.

(82) Método del punto fijo y. Convergencia monótona. Divergencia monótona. Convergencia espiral. Divergencia espiral. x.

(83) RELAJACIÓN • Es conveniente recordar que en numerosos casos, se puede probar la expresión: x(n+1) = (1-α)x(n) + αg(x(n)) • El valor de α es un número comprendido en el intervalo ]0,1], siendo 1/2 un valor tradicional..

(84) EJEMPLO Resolver las raíces del siguiente polinomio por el método de Newton-Raphson:. 3. 2. f ( x ) = x + 3x − x − 3 = 0 f ' ( x ) = 3x 2 + 6x − 1 3 2 xn + 3 xn − xn − 3 x n +1 = x n − 2 3 xn + 6 xn − 1.

(85) EJEMPLO Paso 1 (x0=0):. 3 2 x0 + 3 x0 − x0 − 3 x1 = x 0 − 3 x 02 + 6 x 0 − 1. −3 x1 = 0 − = −3 −1.

(86) EJEMPLO Paso 2 (x1=-3):. 3 2 x1 + 3 x1 − x1 − 3 x 2 = x1 − 3 x12 + 6 x1 − 1 3 2 ( − 3 ) + 3(− 3 ) − (− 3 ) − 3 = x 2 = −3 − 2. 3(− 3 ) + 6(− 3 ) − 1. 0 x 2 = −3 − = −3 8. La raiz!.

(87) EJEMPLO Resolver las raíces del siguiente polinomio por el método de Punto Fijo:. f ( x ) = x 3 + 3x 2 − x − 3 = 0 3 2 x n +1 = g ( x n ) = x n + 3 x n − 3. x 0 = −3 x1 = x 03 + 3 x 02 − 3 = ( −3)3 + 3( −3)2 − 3 = x1 = −3. La raiz!.

(88) MÉTODOS DE SEGUNDO ORDEN • Existen métodos que aceleran la convergencia del método de NewtonRaphson. • Uno de los más sencillos es el método de Steffensen que toma en cuenta la derivada de segundo orden en el desarrollo en serie de Taylor..

(89) MÉTODOS DE SEGUNDO ORDEN • La expresión que se utiliza es: 0 = f ( x ( n +1) ) = f ( x ( n ) ) + ( x ( n +1). x. ( n +1). =x. (n). ( n +1) (n) 2 ( x − x ) (n) (n) ′ − x )f ( x ) + f " (x (n ) ) 2. ) − ( n +1) (n) x −x (n) (n) ′ ′ ′ f (x ) + f (x ) 2. (. f (x. (n). ).

(90) VENTAJAS Y DESVENTAJAS • Este tipo de fórmula permite obtener una mayor precisión en un solo cálculo. • Requiere de la evaluación de un número superior de veces de la función y sus derivadas y por lo tanto requiere mayor tiempo de cálculo..

(91) DESVENTAJAS • Esta forma implícita requiere un cálculo iterativo del valor x(n+1), lo que es poco conveniente si se desea limitar el número de cálculos en cada paso. (n) f (x ) ( n +1) (n) x =x − ( n +1) (n) ( x −x ) (n) (n) ′ ′ ′ f (x ) + f (x ) 2.

(92) FÓRMULA DE HALLEY • Se conoce también la fórmula de Halley para la evaluación de la solución a partir de del conocimiento de la derivada de segundo orden. • La expresión es: x ( n +1) = x ( n ). f (x (n ) ) − (n) (n) ′ ′ f ( x ) f ( x ) (n) f ′( x ) − 2f ′( x ( n ) ).

(93) RAÍCES MÚLTIPLES • Una raíz de una función f(x) es múltiple cuando la función es tangencial al eje x. • Por ejemplo, una raíz doble resulta de: f ( x ) = ( x − x0 )( x − x1 ) 2 = x 3 − x 2 (2 x1 + x0 ) + x( x12 + 2 x0 x1 ) − x0 x12.

(94) f(x). RAICES DOBLES. 0 x1. x.

(95) RAÍCES TRIPLES. f ( x ) = ( x − x0 )( x − x1 ) f(x). 0 x1. x. 3.

(96) PROBLEMAS • Las funciones que presenten raíces múltiples pueden resultar muy problemáticas al querer hallar sus raíces por los métodos convencionales. • Por ejemplo la raíces múltiples pares (doble, cuádruple, etc.) no presentan cambio de signos y su derivada es igual a cero..

(97) MÉTODO DE RALSTONRABINOWITZ • Propusieron la siguiente modificación a la fórmula de Newton-Raphson: x i +1. f (x i ) = xi − m f ′( x i ). • donde m es la multiplicidad de la raíz (esto es que m=2 para una raíz doble, m=3 para una raíz triple, etc.)..

(98) MÉTODO DE RALSTONRABINOWITZ • Claro que no es muy satisfactorio tener que conocer la multiplicidad de una raíz previamente; por eso es que los mismos autores proponen una nueva función u(x) como la relación de una función con su derivada; es decir:. f (x) u(x) = f ′( x ).

(99) MÉTODO DE RALSTONRABINOWITZ • Demostraron que la función u(x) tiene las mismas raíces que la función original, por lo que proponen la siguiente fórmula para el cálculo iterativo:. x i +1. u(x i ) f ( x i )f ′( x i ) = xi − = xi − 2 u′( x i ) [f ′( x i )] − f ( x i )f ′′( x i ).

(100) NEWTON-RAPHSON MULTIVARIABLE f i ( x 1 + h 1 , x 2 + h 2 ,..., x n + h n ) = f i ( x 1 , x 2 ,..., x n ). J.  ∂f 1   ∂x 1  ∂f 2  ∂x  1  .  .  ∂f m   ∂x 1. ∂f 1 ∂x 2 ∂f 2 ∂x 2 . . ∂f m ∂x 2. . . . . . . . . . .. ∂f 1 ∂x n ∂f 2 ∂x n . . ∂f m ∂x n. ∂f i ∂f i ∂f i + h1 + h2 + ... + h n ∂x 1 ∂x 2 ∂x n.   ( n +1) (n )  f1 (x ( n ) )    x1 − x1      x ( n +1) − x ( n )  (n )  f 2 (x )  2   2   = − .  . .        . .   (n )    x (mn +1) − x (mn )   f m (x )    x ( n +1) = x ( n ) − J −1f (x ( n ) ).

(101) SISTEMA 2X2  ∂f 1  ( n +1) (n)  x 1   x 1   ∂x 1  ( n +1)  =  ( n )  − x   x   ∂f 2  2   2    ∂x 1. ∂f1 ∂x 2 ∂f 2 ∂x 2.      . −1.  f1 (x )   . (n)   f 2 (x )  (n).

(102) SISTEMA 2X2  ( n ) ∂f 2 f1 (x )  ∂x 2 ( n +1) (n) x 1 = x1 −   ( n ) ∂f 1  f 2 (x )  ( n +1) ∂x 1 (n) x 2 = x 2 − . − f 2 (x. (n ). ∂f1 ) ∂x 2. J − f1 (x. (n ). J. ∂f1 ∂f 2 ∂f 2 ∂f1 J = − ∂x 1 ∂x 2 ∂x 1 ∂x 2. ∂f 2 ) ∂x 1.

(103) PUNTO FIJO MULTIVARIABLE Jacobi  x 1( n +1)   g 1 ( x 1( n ) , x (2n ) ,., x i( n ) ,., x (mn−)1 , x (mn ) )    ( n +1)   (n) (n) (n) (n) (n) x g ( x , x ,., x ,., x , x  2   2 1 2 i m −1 m )      .   .    x i( n +1)  =  g i ( x 1( n ) , x (2n ) ,., x i( n ) ,., x (mn−)1 , x (mn ) )      .   .    x (mn−+11)   g m −1 ( x 1( n ) , x (2n ) ,., x i( n ) ,., x (mn−)1 , x (mn ) )    ( n +1)   (n) (n) (n) (n) (n)   x m   g m1 ( x 1 , x 2 ,., x i ,., x m −1 , x m ) .

(104) PUNTO FIJO MULTIVARIABLE Gauss-Seidel  x 1( n +1)   g 1 ( x 1( n ) , x (2n ) ,., x i( n ) ,., x (mn−)1 , x (mn ) )   ( n +1)     x 2   g 2 ( x 1( n +1) , x (2n ) ,., x i( n ) ,., x (mn−)1 , x (mn ) )   .    .      x i( n +1)  =  g i ( x 1( n +1) , x (2n +1) ,., x i( n ) ,., x (mn−)1 , x (mn ) )      .  .     x (mn−+11)   g m −1 ( x 1( n +1) , x (2n +1) ,., x i( n +1) ,., x (mn−)1 , x (mn ) )   ( n +1)    ( n +1) ( n +1) ( n +1) ( n +1) (n )   x m   g m1 ( x 1 , x 2 ,., x i ,., x m −1 , x m ) .

(105) PUNTO FIJO MULTIVARIABLE Relajación  x 1( n +1)    ωg 1 ( x 1( n ) , x (2n ) ,., x i( n ) ,., x (mn−)1 , x (mn ) ) + (1 − ω)g 1 ( x 1( n ) , x (2n ) ,., x i( n ) ,., x (mn−)1 , x (mn ) )  ( n +1)    (n) (n) (n) (n) (n) ( n +1) (n) (n) (n) (n)  x 2   ωg 2 ( x 1 , x 2 ,., x i ,., x m −1 , x m ) + (1 − ω)g 2 ( x 1 , x 2 ,., x i ,., x m −1 , x m )      . .     ( n +1) (n) (n) (n) (n) (n) ( n +1) ( n +1) (n) (n) (n)  x i  =  ωg i ( x 1 , x 2 ,., x i ,., x m −1 , x m ) + (1 − ω)g i ( x 1 , x 2 ,., x i ,., x m −1 , x m )      . .      x (mn−+11)   ωg m −1 ( x 1( n ) , x (2n ) ,., x i( n ) ,., x (mn−)1 , x (mn ) ) + (1 − ω)g m −1 ( x 1( n +1) , x (2n +1) ,., x i( n +1) ,., x (mn−)1 , x (mn ) )   ( n +1)    (n) (n) (n) (n) (n) ( n +1) ( n +1) ( n +1) ( n +1) (n)   x m   ωg m ( x 1 , x 2 ,., x i ,., x m −1 , x m ) + (1 − ω)g m1 ( x 1 , x 2 ,., x i ,., x m −1 , x m ) .

(106) POLINOMIOS Segundo grado. p 2 ( x ) = a 0 + a 1x + a 2 x = 0 2. - a1 ± a 1 - 4 a 0a 2 2. x 1;2 =. 2a 2.

(107) POLINOMIOS Tercer grado - Cardano. p 3 ( x ) = a 0 + a1x + a 2 x + a 3 x = 0 a a  a a    = c + c (3c - 2c ) b = − − a 3a 3a 9a 2. 0. 2. 0. 3. 3. 1. . 3. 2 2 2 3. . 0. 3. 2. 1. a 1 a 22 b1 = - 2 = c1 - c 22 3a 3 9a 3 a0 a1 − a2 c0 = ; c1 = ; c2 = a3 3a 3 3a 3. 2 2.

(108) DISCRIMINANTE (H) 2 0. H = b + 4b. 3 1. Si H≥0, existen dos raíces complejas conjugadas y una raíz real. E=. 3. - b0 + H 2. y1 = E + F. F=. 3. - b0 - H 2. E+F y 2;3 = − ± i 3 (E − F) 2.

(109) Si H=0, existen tres raíces reales, una siendo raíz doble.. y1 = E + F. E+F y 2; 3 = − 2. Si H<0, existen tres raíces reales:. y1= -2 -b1 cos(θ ) 4π   y 3 =-2 -b1 cos θ +  3  .  2π  y 2 = -2 -b1 cos θ+  3    b  1 -1  0  θ = cos  2 - b3  3 1  .

(110) PARCIAL 1 • • • •. Día: 14 de febrero Duración: 2 horas Lugar: ENE-104 Requiere: Calculadora. Hojas blancas tamaño carta. • Tipo de examen: Libro abierto..

(111) ESTRUCTURA DEL EXAMEN • Dos partes: Teórica y práctica. • Teórica: Selección sencilla. Cuatro preguntas incorrectas anulan una correcta. Entre 20 y 30 preguntas. • Práctica: Tres problemas que pueden ser de: desarrollo, demostración, resolver un sistema sencillo o plantear un problema complejo..

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