Año 2017 1 PRÁCTICA TEMA 2
INTEGRALES MÚLTIPLES
Ejercicio 1. Escriba la expresión que permite calcular por integrales dobles.
a. El área de una región plana R.
b. El volumen de un sólido V, de altura z = f(x,y).
c. La masa total de una lámina R, con densidad ( ).
Ejercicio 2. En los siguientes apartados, grafique la región de integración R y plantee mediante integración iterada, de dos formas distintas, ∬
a. {
√ b. {
c. {
, siendo ( ) ( √ )
Ejercicio 3. Calcule el área de las siguientes regiones.
a. b.
c. d.
Ejercicio 4. Calcule el área de las siguientes regiones.
a. {
b. {
Año 2017 2 c. {
d. {
Ejercicio 5.
a. Indique analítica y gráficamente los cambios de coordenadas que puede realizar en el cálculo de áreas de regiones en por integrales dobles.
b. Proporcione un ejemplo de región plana en el que utilice los cambios de coordenadas mencionados en el apartado a.
Ejercicio 6. Calcule ∬
( )⁄ , donde R es el recinto dado por .
Ejercicio 7. Calcule el área de las regiones dadas a continuación
a. b. c.
c.
e.
f. {
Ejercicio 8. Escriba la expresión que permite calcular por integrales triples el volumen de un sólido.
Año 2017 3 Ejercicio 9. Escriba la expresión que permite calcular por integrales triples la masa de un sólido con densidad ( ).
Ejercicio 10. Encontrar el volumen de la región acotada por los tres planos coordenados y el plano
Ejercicio 11. Calcular ∬ √ , si R es la región acotada por las respectivas rectas y .
Ejercicio 12. Determine el volumen o la masa de los siguientes sólidos
Ejercicio 13.
a. Indique analítica y gráficamente los cambios de coordenadas que puede realizar en el cálculo de volúmenes de regiones en R3 por integrales triples.
b. Deduzca la expresión del Jacobiano e indique su significado geométrico.
Ejercicio 14. Calcular el volumen encerrado por el cono y el plano
Ejercicio 15. Calcule el volumen de los sólidos definidos a continuación
Año 2017 4 d. {
e. {
f. {
Año 2017 5 PRÁCTICA TEMA 2
INTEGRALES DE LÍNEA Ejercicio 1. Escriba en forma paramétrica la ecuación de.
a. Una recta en el plano b. Una circunferencia
c. Una recta en el espacio d. Una elipse
Ejercicio 2. ¿Cuál es el concepto físico a partir del cual se define integral curvilínea para campos vectoriales?
Ejercicio 3. Indique la expresión que permite calcular ∫ ⃗ ⃗.
Ejercicio 4. Calcule la integral de línea ∫ ( ) , entre los puntos (2,1,0) y (4,0,2).
Ejercicio 5. Calcule el trabajo realizado por la fuerza ⃗ ( ) ̂ ̂, para mover una partícula desde el punto (1,0) al punto (2,2), a lo largo de la curva .
Ejercicio 6. Calcule las integrales de línea de los campos siguientes.
a. ⃗( ) ̂ ̂, a lo largo de la curva recorrida en forma negativa desde (√ ) hasta ( √ ).
b. ⃗( ) ̂ ̂ ( ) ̂, a lo largo del segmento de recta de extremos( ) y ( ).
c. ⃗( ) ̂ ( ) ̂, a lo largo de la curva , desde el punto (2,4) al punto (1,-1).
d. ∫ ( ) , siendo .
e. ⃗( ) ̂ ̂, a lo largo de la curva {
, con .
Año 2017 6 Ejercicio 7. Un hombre que pesa 85 kg asciende por una escalera helicoidal. Da tres vueltas completas y transporta un balde de pintura de 20 litros (30 kg). Si la ecuación de la escalera es {
a. ¿Cuál es el trabajo que efectúa el hombre, en contra de la gravedad, para subir por la escalera?
b. Suponiendo que el balde de pintura tiene un orificio en su parte inferior, por el cual se van perdiendo 0.6 litros (0.9 kg) de pintura continuamente, encuentre el trabajo realizado. Considere la función de pérdida ( ) ( ) .
Ejercicio 8. Completar
a. ∫ ( ) …………...
b. La interpretación física que puede darse al resultado anterior es………..
Ejercicio 9. Calcule las integrales de línea con respecto a la longitud de arco dadas a continuación.
a. ∫ ( ) y entre los puntos (-1,-2) y (2,7).
b. ∫ y recorrida en sentido positivo entre los puntos (√ √ ) y ( √ ).
c. ∫ ( ) y C el triángulo de vértices (0,0), (1,0) y (0,1), recorrido en sentido negativo.
Ejercicio 10.
a. ¿Cuáles son las consecuencias del Primer Teorema Fundamental de Integrales de Línea?
b. ¿Para qué se usa el Segundo Teorema Fundamental de Integrales de Línea?
c. ¿Cuándo un campo vectorial es gradiente?
d. ¿Cómo es el trabajo de un campo gradiente a lo largo de diferentes trayectorias entre dos puntos?
e. ¿Cuánto vale el trabajo de un campo conservativo a lo largo de una trayectoria cerrada? Justifique su respuesta.
f. Indique la expresión de las funciones potenciales de los campos siguientes y las condiciones que se deben cumplir, ⃗( ) y ⃗( ).
Año 2017 7 Ejercicio 11. Averiguar si el campo ⃗( ) ( ) ̂ ( ) ̂ es conservativo. Si lo es, hallar la función potencial.
Ejercicio 12. Dado el campo ⃗( ) ( ) ̂ ( ) ̂,
a. Determine si el campo es conservativo. En caso afirmativo, halle la función potencial.
b. Calcule la integral del campo ⃗ a lo largo de.
i. desde (0,0) hasta (1,1).
ii. desde (0,0) hasta (1,1).
iii. desde (0,0) hasta (1,1).
c. Use el teorema correspondiente para resolver ∫( )( ) ⃗ ⃗.
d. ¿Existirá otra trayectoria a lo largo de la cual la anterior también valga igual?
Ejercicio 13. Dado el campo ⃗( ) ( ) ̂ ( ) ̂,
a. Determine si el campo es conservativo. En caso afirmativo, halle la función potencial.
b. Calcule ∫( )( ) ⃗ ⃗.
Ejercici 14. Dada la función ( ) , calcular ∫( )⃗⃗⃗
( ) ⃗. Justifique.
Ejercicio 15. Calcule el trabajo realizado por el campo ⃗( ) ( ) ̂ ̂ a lo largo de , desde (0,1) a (-1,0). Si puede aplicar algún teorema.
Ejercicio 16. Calcule las integrales curvilíneas aplicando el teorema de Green.
a. ⃗( ) ̂ ̂ y el triángulo de vértices ( ) ( ) ( √ ).
b. ⃗( ) ( ) ̂ ( ) ̂ y la frontera de la región , , .
Ejercicio 17. Calcule las integrales de línea de los campos dados a continuación, a. ⃗( ) ( ) ̂ √ ̂ y el segmento que une los puntos ( ) y
( ).
b. ∫ ( ) y , recorrida en sentido positivo.
c. ⃗( ) ̂ ̂ y desde el punto (0,0) al punto (1,1).
Año 2017 8 PRÁCTICA TEMA 2
INTEGRALES DE SUPERFICIE
Ejercicio 1. Indique la expresión de , si la superficie está dada.
a. En forma explícita ( ) b. En forma implícita ( )
Ejercicio 2. Calcule el área lateral de las superficies dadas a continuación.
a. en el primer octante b. ,
c. , d. , e.
f. ,
Ejercicio 3. Calcule el flujo de los campos siguientes.
a. ⃗( ) ̂ ̂ ̂, con en el primer octante b. ⃗( ) √ ̂ ̂ ( ) ̂, con y c. ⃗( ) ̂ ̂ ̂, siendo el cubo de vértices ( ) Ejercicio 4. Dado el campo ⃗( ) ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) ̂
a. Indique la expresión que permite calcular la divergencia b. ¿Cuál es su interpretación física?
Ejercicio 5. Dado el campo ⃗( ) ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ a. Indique la expresión que permite calcular el rotor
b. ¿Cuál es su interpretación física?
Ejercicio 6. Sea ( ) un campo escalar y ⃗( ) un campo vectorial. Diga si cada una de las expresiones siguientes tiene significado. Si no es así, explique la razón. Si tienen significado, diga si el resultado es un campo escalar o vectorial
a. ⃗⃗⃗
b. ⃗⃗⃗ ⃗⃗
c. ⃗⃗⃗ ⃗⃗
d. ⃗⃗⃗
e. ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗ ) f. ⃗⃗⃗( ⃗⃗⃗ )
Año 2017 9 Ejercicio 7. Dado el campo vectorial ⃗( ) ̂ ̂ ̂, determine su divergencia.
Ejercicio 8. Calcule la divergencia y el rotor del campo ⃗( ) ( ) ̂ ( ) ̂ ̂. Este campo es incompresible o irrotacional. Justifique.
Ejercicio 9. Dada la siguiente figura y considerando que representa a un campo vectorial ⃗, responda.
a. ¿Los puntos y son fuentes o sumideros para ⃗? Proporcione una explicación basada sólo en la figura.
b. Teniendo en cuenta que ⃗( ) ̂ ̂, aplique la definición de divergencia para comprobar su respuesta en a.
Ejercicio 10. Enuncie el Teorema de Gauss o de la divergencia, distinguiendo hipótesis y tesis ¿Qué tipo de integrales relaciona?
Ejercicio 11. Calcular el flujo de los campos siguientes a través de las superficies indicadas.
a. ⃗( ) ̂ ̂ ̂, , b. ⃗( ) ̂ ̂ ̂, ,
c. ⃗( ) ̂ ̂ ̂, siendo el tetraedro limitado por los planos
,
d. ⃗( ) ̂ ̂ ̂, y
Ejercicio 12. Enuncie el Teorema de Stokes, distinguiendo hipótesis y tesis
¿Qué tipo de integrales relaciona?
Ejercicio 13. Calcular el flujo del rotor de los campos siguientes a través de las superficies indicadas.
a. ⃗( ) ̂ ̂ ̂, siendo {
Año 2017 10 b. ⃗( ) ̂ ̂ ̂, siendo {
c. ⃗( ) ̂ ̂ ̂, a través de la superficie √ d. ⃗( ) ̂ ̂ ̂, a través de la superficie con
e. ⃗( ) ̂ ̂ ̂, a través de la superficie con
